Co je pí. Toto je magické číslo pí. Historie čísla "pi"

Poměr obvodu kruhu k jeho průměru je u všech kruhů stejný. Tento vztah se obvykle označuje řeckým písmenem („pí“ je počáteční písmeno řeckého slova , což znamenalo "kruh").

Archimedes v eseji "Měření kruhu" vypočítal poměr obvodu k průměru (číslu) a zjistil, že je mezi 3 10/71 a 3 1/7.

Dlouhou dobu se jako přibližná hodnota používalo číslo 22/7, i když již v 5. století v Číně bylo nalezeno přiblížení 355/113 = 3,1415929 ..., které bylo v Evropě znovu objeveno až v 16. století.

Ve starověké Indii byl považován za rovný = 3,1622….

Francouzský matematik F. Viet vypočítal v roce 1579 s 9 číslicemi.

Nizozemský matematik Ludolph Van Zeilen v roce 1596 zveřejňuje výsledek své desetileté práce - číslo počítané s 32 číslicemi.

Ale všechna tato upřesnění hodnoty čísla byla provedena metodami, které naznačil Archimedes: kruh byl nahrazen mnohoúhelníkem s rostoucím počtem stran. V tomto případě byl obvod vepsaného mnohoúhelníku menší než obvod a obvod popisovaného mnohoúhelníku byl větší. Zároveň ale zůstávalo nejasné, zda je číslo racionální, tedy poměr dvou celých čísel, nebo iracionální.

Teprve v roce 1767 německý matematik I.G. Lambert dokázal, že číslo je iracionální.

A o více než sto let později, v roce 1882, dokázal další německý matematik F. Lindemann její transcendenci, která znamenala nemožnost sestrojit pomocí kružítka a pravítka čtverec o velikosti rovnající se dané kružnici.

Nejjednodušší rozměr

Na tlustou lepenku nakreslete kruh o průměru d(= 15 cm), vystřihněte vzniklý kruh a omotejte kolem něj tenkou nit. Měření délky l(= 46,5 cm) jedna celá otáčka nitě, rozdělte l pro délku průměru d kruhy. Výsledný kvocient bude přibližná hodnota čísla, tzn. = l/ d= 46,5 cm / 15 cm = 3,1. Tato poněkud hrubá metoda za normálních podmínek poskytuje přibližnou hodnotu čísla s přesností na 1.

Měření vážení

Nakreslete čtverec na karton. Napíšeme do něj kruh. Vystřihneme čtverec. Určete hmotnost kartonového čtverce pomocí školního měřítka. Ze čtverce vystřihněte kruh. Pojďme to také zvážit. Znát masy náměstí m čtverečních (= 10 g) a vepsaný kruh m kr (= 7,8 g) použijeme vzorce

kde p a h- podle toho hustotu a tloušťku lepenky, S Je plocha postavy. Zvažte rovnosti:

Přirozeně v tomto případě závisí přibližná hodnota na přesnosti vážení. Pokud jsou vážené kartonové figurky poměrně velké, pak je možné i na běžných váhách získat takové hodnoty hmotností, které zajistí aproximaci čísla s přesností 0,1.

Součet ploch obdélníků vepsaných do půlkruhu

Obrázek 1

Nechť A (a; 0), B (b; 0). Popišme půlkruh na AB jako na průměru. Rozdělte úsečku AB na n stejných částí body x 1, x 2, ..., x n-1 a obnovte z nich kolmice k průsečíku s půlkruhem. Délka každé takové kolmice je hodnotou funkce f (x) =. Z obrázku 1 je zřejmé, že plochu S půlkruhu lze vypočítat podle vzorce

S = (b - a) ((f (x 0) + f (x 1) +… + f (x n-1)) / n.

V našem případě b = 1, a = -1... Pak = 2 S.

Čím více dělících bodů je na segmentu AB, tím přesnější hodnoty budou. Pro usnadnění monotónní výpočetní práce pomůže počítač, pro který je níže uveden program 1, zkompilovaný v BASICu.

Program 1

REM "Vypočítat pí"
REM "Metoda obdélníku"
INPUT "Zadejte počet obdélníků", n
dx = 1 / n
PRO i = 0 AŽ n - 1
f = SQR (1 – x ^ 2)
x = x + dx
a = a + f
Příště já
p = 4 * dx * a
TISK "Hodnota pi se rovná", s
KONEC

Program byl napsán a spuštěn s různými hodnotami parametrů n... Výsledné hodnoty čísla jsou zapsány do tabulky:

Metoda Monte Carlo

Jedná se vlastně o statistickou testovací metodu. Své exotické jméno získalo podle města Monte Carlo v Monackém knížectví, známém svými hernami. Faktem je, že metoda vyžaduje použití náhodných čísel a jedním z nejjednodušších zařízení pro generování náhodných čísel je ruleta. Náhodná čísla však můžete získat pomocí ... rain.

Pro pokus si připravíme karton, nakreslíme na něj čtverec a do čtverce napíšeme čtvrt kruhu. Pokud je taková kresba nějakou dobu držena v dešti, zůstanou na jejím povrchu stopy kapek. Spočítejme počet stop uvnitř čtverce a uvnitř čtvrtiny kruhu. Je zřejmé, že jejich poměr bude přibližně stejný jako poměr ploch těchto obrazců, protože kapky stejně pravděpodobně zasáhnou různá místa na výkresu. Nech být N kr- počet kapek v kruhu, N čtverec Je tedy počet kapek na druhou?

4 N kr / N čtverečních

Obrázek 2

Déšť lze nahradit tabulkou náhodných čísel, která se sestavuje pomocí počítače pomocí speciálního programu. Ke každé stopě kapky přiřadíme dvě náhodná čísla charakterizující její polohu podél os Ach a OU... Náhodná čísla lze z tabulky vybrat v libovolném pořadí, například v řadě. Nechte v tabulce první čtyřmístné číslo 3265 ... Z něj můžete připravit několik čísel, z nichž každé je větší než nula a menší než jedna: x = 0,32, y = 0,65... Tato čísla budeme považovat za souřadnice poklesu, tj. zdá se, že pokles zasáhl bod (0,32; 0,65). Totéž provedeme se všemi vybranými náhodnými čísly. Pokud se ukáže, že k věci (x; y) nerovnost platí, pak to znamená, že leží mimo kruh. Li x + y = 1, pak bod leží uvnitř kruhu.

Pro výpočet hodnoty použijte znovu vzorec (1). Chyba výpočtu u této metody je zpravidla úměrná, kde D je nějaká konstanta a N je počet testů. V našem případě N = N čtverečních. Tento vzorec ukazuje, že pro snížení chyby faktorem 10 (jinými slovy, abyste získali v odpovědi ještě jednu správnou desetinnou čárku), musíte zvýšit N, tedy množství práce, 100krát. Je jasné, že použití metody Monte Carlo bylo možné jen díky počítačům. Program 2 implementuje popsaný způsob na počítači.

Program 2

REM "Vypočítat pí"
REM "Metoda Monte Carlo"
INPUT "Zadejte počet kapek", n
m = 0
PRO i = 1 až n
t = INT (RND (1) * 10 000)
x = INT (t \ 100)
y = t - x * 100
IF x ^ 2 + y ^ 2< 10000 THEN m = m + 1
Příště já
p = 4* m/n

KONEC

Program byl napsán a spuštěn při různých hodnotách parametru n. Výsledné hodnoty čísla jsou zapsány do tabulky:

n
n

Metoda padající jehly

Vezměte obyčejnou šicí jehlu a kus papíru. Nakreslete na list několik rovnoběžných přímých čar tak, aby vzdálenosti mezi nimi byly stejné a přesahovaly délku jehly. Nákres musí být dostatečně velký, aby z něj náhodně hozená jehla nespadla. Představme si notaci: A- vzdálenost mezi rovnými čarami, l- délka jehly.

Obrázek 3

Poloha jehly náhodně hozené na výkresu (viz obr. 3) je určena vzdáleností X od jejího středu k nejbližší přímce a úhlem j, který jehla svírá s kolmicí pokleslou ze středu jehly k nejbližší přímka (viz obr. 4). To je jasné

Obrázek 4

Na Obr. 5 funkci znázorníme graficky y = 0,5 cos... Všechny možné polohy jehly jsou charakterizovány body se souřadnicemi (; y) umístěné v sekci ABCD. Stínovaná oblast AED jsou body, které odpovídají průsečíku jehly s přímkou. Pravděpodobnost události A- „jehla překročila přímku“ - se vypočítá podle vzorce:

Obrázek 5

Pravděpodobnost p (a) lze zhruba určit opakovaným házením jehly. Nechte jehlu hodit na výkres Cčasy a p jednou spadl, překřížil jednu z přímých čar, pak s dostatečně velkým C my máme p (a) = p / c... Odtud = 2 l s / k.

Komentář. Popsaná metoda je variací statistické testovací metody. Je to zajímavé z didaktického hlediska, protože pomáhá spojit jednoduchou zkušenost s přípravou poměrně složitého matematického modelu.

Výpočet pomocí Taylorovy řady

Vraťme se k úvahám o libovolné funkci f (x). Předpokládejme, že právě pro ni x 0 existují deriváty všech řádů až n včetně. Pak pro funkci f (x) můžete napsat sérii Taylor:

Výpočty pomocí této řady budou tím přesnější, čím více členů řady bude zapojeno. Nejlepší je samozřejmě implementovat tuto metodu na počítači, k čemuž můžete použít program 3.

Program 3

REM "Vypočítat pí"
REM "Rozšíření řady Taylor"
VSTUP n
a = 1
PRO i = 1 až n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1) ^ i * d
a = a + f
Příště já
p = 4 * a
PRINT "pi se rovná"; p
KONEC

Program byl napsán a spuštěn při různých hodnotách parametru n. Výsledné hodnoty čísla jsou zapsány do tabulky:

Existují velmi jednoduchá mnemotechnická pravidla pro zapamatování významu čísla:

Význam čísla „Pi“, stejně jako jeho symbolika, je známý po celém světě. Tento termín označuje iracionální čísla (to znamená, že jejich význam nelze přesně vyjádřit jako zlomek y/x, kde y a x jsou celá čísla) a je vypůjčen ze starořecké frazeologické jednotky „periferie“, kterou lze do ruštiny přeložit jako „ kruh".
Číslo „pi“ v matematice označuje poměr obvodu kruhu k délce jeho průměru. Historie původu čísla „Pi“ sahá do daleké minulosti. Mnoho historiků se pokoušelo zjistit, kdy a kým byl tento symbol vynalezen, ale nepodařilo se jim to zjistit.

pí" je transcendentální číslo, nebo jednoduše řečeno nemůže být kořenem nějakého polynomu s celočíselnými koeficienty. Lze jej označit jako reálné číslo nebo jako nepřímé číslo, které není algebraické.

Pi je 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 ...

pí" může být nejen iracionální číslo, které nelze vyjádřit pomocí několika různých čísel. Pi může být reprezentováno jako desetinný zlomek s nekonečným počtem číslic za desetinnou čárkou. Dalším zajímavým bodem je, že všechna tato čísla se nemohou opakovat.

pí" lze korelovat se zlomkovým číslem 22/7, tzv. symbolem „trojité oktávy“. Toto číslo znali i starověcí řečtí kněží. Kromě toho by ji mohli používat i běžní obyvatelé k řešení jakýchkoli každodenních problémů a také ji používat k navrhování tak složitých staveb, jako jsou hrobky.
Podle vědce a badatele Hayense lze podobný počet vysledovat mezi ruinami Stonehenge a také v mexických pyramidách.

pí" zmínil ve svých spisech Ahmese, v té době známého inženýra. Pokusil se jej nejpřesněji vypočítat pomocí měření průměru kruhu ze čtverců nakreslených uvnitř. Pravděpodobně má toto číslo v určitém smyslu mystický, posvátný význam pro starce.

pí" je ve skutečnosti nejzáhadnějším matematickým symbolem. Může být hodnocen jako delta, omega atd. Je to takový postoj, který se ukáže být naprosto stejný, bez ohledu na to, kde ve vesmíru bude pozorovatel. Navíc se nezmění od měřeného objektu.

S největší pravděpodobností první osobou, která se rozhodla vypočítat číslo "Pi" pomocí matematické metody, je Archimedes. Rozhodl se, že nakreslí pravidelné mnohoúhelníky v kruhu. S ohledem na průměr kruhu jako jednotku určil vědec obvod mnohoúhelníku nakresleného v kruhu, přičemž obvod vepsaného mnohoúhelníku považoval za horní odhad a za dolní odhad obvodu.

Co je Pi

Úvod

Článek obsahuje matematické vzorce, takže pro čtení přejděte na web, kde se zobrazí správně.Číslo \ (\ pi \) má bohatou historii. Tato konstanta představuje poměr obvodu kruhu k jeho průměru.

Ve vědě se číslo \ (\ pi \) používá při jakýchkoli výpočtech, kde jsou kruhy. Od objemu plechovky sody až po oběžné dráhy satelitů. A nejen kruhy. Ve skutečnosti při studiu zakřivených čar číslo \ (\ pi \) pomáhá pochopit periodické a oscilační systémy. Například elektromagnetické vlny a dokonce i hudba.

V roce 1706, v knize „Nový úvod do matematiky“ od britského vědce Williama Jonese (1675-1749), bylo řecké písmeno \ (\ pi \) poprvé použito k označení čísla 3,141592 ... Toto označení pochází z počátečního písmene řeckých slov περιϕερεια - kruh, obvod a περιµετρoς - obvod. Obecně přijímané označení se stalo po dílech Leonarda Eulera v roce 1737.

Geometrické období

Stálost poměru délky libovolného kruhu k jeho průměru byla pozorována již dlouhou dobu. Obyvatelé Mezopotámie používali poměrně hrubou aproximaci čísla \ (\ pi \). Jak vyplývá ze starověkých problémů, používají ve svých výpočtech hodnotu \ (\ pi ≈ 3 \).

Přesnější význam pro \ (\ pi \) používali staří Egypťané. V Londýně a New Yorku existují dvě části starověkého egyptského papyru zvaného Rinda papyrus. Papyrus sestavil písař Armes v letech 2000-1700. př. n. l. .. Armes ve svém papyru napsal, že plocha kruhu o poloměru \ (r \) se rovná ploše čtverce se stranou rovnou \ (\ frac (8) (9) \ ) průměru kružnice \ (\ frac (8 ) (9) \ cdot 2r \), tedy \ (\ frac (256) (81) \ cdot r ^ 2 = \ pi r ^ 2 \). Proto \ (\ pi = 3,16 \).

Starověký řecký matematik Archimedes (287-212 př. n. l.) jako první stanovil úkol změřit kruh na vědeckém základě. Obdržel odhad \ (3 \ frac (10) (71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Metoda je poměrně jednoduchá, ale při absenci hotových tabulek goniometrických funkcí budete muset extrahovat kořeny. Navíc aproximace konverguje k \ (\ pi \) velmi pomalu: s každou iterací se chyba sníží pouze čtyřnásobně.

Analytické období

Navzdory tomu se až do poloviny 17. století všechny pokusy evropských vědců o výpočet počtu \ (\ pi \) omezily na zvětšování stran mnohoúhelníku. Například holandský matematik Ludolph van Zeulen (1540-1610) vypočítal přibližnou hodnotu čísla \ (\ pi \) s přesností na 20 desetinných míst.

Výpočet mu zabral 10 let. Zdvojnásobením počtu stran vepsaných a opsaných mnohoúhelníků Archimédovou metodou dosáhl \ (60 \ cdot 2 ^ (29) \) - gon s cílem vypočítat \ (\ pi \) s 20 desetinnými místy.

Po jeho smrti bylo v jeho rukopisech nalezeno 15 přesnějších číslic čísla \ (\ pi \). Ludolph odkázal, aby znaky, které našel, byly vytesány na jeho náhrobku. Na jeho počest bylo číslo \ (\ pi \) někdy nazýváno „Ludolfovým číslem“ nebo „Ludolfovou konstantou“.

Jedním z prvních, kdo zavedl jinou metodu než Archimedovu, byl François Viet (1540-1603). Došel k výsledku, že kruh, jehož průměr je roven jedné, má obsah:

\ [\ frac (1) (2 \ sqrt (\ frac (1) (2)) \ cdot \ sqrt (\ frac (1) (2) + \ frac (1) (2) \ sqrt (\ frac (1) ) (2))) \ cdot \ sqrt (\ frac (1) (2) + \ frac (1) (2) \ sqrt (\ frac (1) (2) + \ frac (1) (2) \ sqrt (\ frac (1) (2) \ cdots)))) \]

Na druhou stranu je oblast \ (\ frac (\ pi) (4) \). Nahrazením a zjednodušením výrazu můžete získat následující vzorec pro nekonečný součin pro výpočet přibližné hodnoty \ (\ frac (\ pi) (2) \):

\ [\ frac (\ pi) (2) = \ frac (2) (\ sqrt (2)) \ cdot \ frac (2) (\ sqrt (2 + \ sqrt (2))) \ cdot \ frac (2 ) (\ sqrt (2+ \ sqrt (2 + \ sqrt (2)))) \ cdots \]

Výsledný vzorec je prvním přesným analytickým výrazem pro číslo \ (\ pi \). Kromě tohoto vzorce dal Viet pomocí Archimedovy metody aproximaci čísla \ (\ pi \) s 9 správnými znaménky.

Anglický matematik William Brounker (1620-1684) pomocí nepřetržitého zlomku získal pro \ (\ frac (\ pi) (4) \ následující výsledky výpočtu:

\ [\ frac (4) (\ pi) = 1 + \ frac (1 ^ 2) (2 + \ frac (3 ^ 2) (2 + \ frac (5 ^ 2) (2 + \ frac (7 ^ 2) ) (2 + \ frac (9 ^ 2) (2 + \ frac (11 ^ 2) (2 + \ cdots)))))) \]

Tato metoda výpočtu aproximace čísla \ (\ frac (4) (\ pi) \) vyžaduje poměrně hodně výpočtů, abychom získali byť jen malou aproximaci.

Hodnoty získané v důsledku substituce jsou někdy větší, někdy menší než číslo \ (\ pi \), a pokaždé se přibližují skutečné hodnotě, ale pro získání hodnoty 3,141592 bude nutné provádět poměrně velké výpočty.

Jiný anglický matematik John Machin (1686-1751) v roce 1706 použil vzorec odvozený Leibnizem v roce 1673 k výpočtu čísla \ (\ pi \) se 100 desetinnými místy a použil jej následovně:

\ [\ frac (\ pi) (4) = 4 arctg \ frac (1) (5) - arctg \ frac (1) (239) \]

Řada rychle konverguje a s její pomocí můžete s velkou přesností vypočítat číslo \ (\ pi \). Vzorce tohoto typu byly použity k vytvoření několika rekordů v počítačovém věku.

V XVII století. se začátkem období matematiky proměnlivé velikosti začala nová etapa ve výpočtu \ (\ pi \). Německý matematik Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) v roce 1673 našel rozšíření čísla \ (\ pi \), v obecném tvaru jej lze zapsat do následující nekonečné řady:

\ [\ pi = 1 - 4 (\ frac (1) (3) + \ frac (1) (5) - \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) - \ frac (1) (11) + \ cdots) \]

Řada se získá dosazením x = 1 do \ (arktan x = x - \ frac (x ^ 3) (3) + \ frac (x ^ 5) (5) - \ frac (x ^ 7) (7) + \ frac (x ^ 9) (9) - \ cdots \)

Leonard Euler rozvíjí Leibnizovu myšlenku ve svých dílech o použití řad pro arctan x při výpočtu čísla \ (\ pi \). V pojednání "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (O různých způsobech vyjádření kvadratury kruhu přibližnými čísly), sepsaném v roce 1738, jsou uvažovány způsoby zdokonalování výpočtů podle Leibnizova vzorce.

Euler píše, že řada pro arkustangens bude konvergovat rychleji, pokud má argument tendenci k nule. Pro \ (x = 1 \) je konvergence řady velmi pomalá: pro výpočet s přesností na 100 číslic je nutné sečíst \ (10 ​​​​^ (50) \) členy řady. Výpočty můžete urychlit snížením hodnoty argumentu. Pokud vezmeme \ (x = \ frac (\ sqrt (3)) (3) \), dostaneme řadu

\ [\ frac (\ pi) (6) = artctg \ frac (\ sqrt (3)) (3) = \ frac (\ sqrt (3)) (3) (1 - \ frac (1) (3 \ cdot 3) + \ frac (1) (5 \ cdot 3 ^ 2) - \ frac (1) (7 \ cdot 3 ^ 3) + \ cdot) \]

Pokud podle Eulera vezmeme 210 členů této řady, dostaneme 100 správných číslic čísla. Výsledná řada je nepohodlná, protože je nutné znát přesnou hodnotu iracionálního čísla \ (\ sqrt (3) \). Také ve svých výpočtech Euler použil rozklad arkustangens na součet arkustangens menších argumentů:

\ [kde x = n + \ frac (n ^ 2-1) (m-n), y = m + p, z = m + \ frac (m ^ 2 + 1) (p) \]

Zdaleka nebyly zveřejněny všechny vzorce pro výpočet \ (\ pi \), které Euler používal ve svých sešitech. V publikovaných dokumentech a sešitech zvažoval 3 různé řady pro výpočet arkustangens a také uvedl mnoho prohlášení o počtu sčítacích členů nezbytných k získání přibližné hodnoty \ (\ pi \) s danou přesností.

V následujících letech postupovalo zpřesňování hodnoty \ (\ pi \) stále rychleji. Takže například v roce 1794 Georg Vega (1754-1802) identifikoval již 140 znaků, z nichž pouze 136 se ukázalo jako správné.

Období počítačových výpočtů

20. století bylo ve znamení zcela nové etapy ve výpočtu čísla \ (\ pi \). Indický matematik Srinivasa Ramanujan (1887-1920) objevil mnoho nových vzorců pro \ (\ pi \). V roce 1910 získal vzorec pro výpočet \ (\ pi \) prostřednictvím rozvoje arkustangens Taylorovy řady:

\ [\ pi = \ frac (9801) (2 \ sqrt (2) \ suma \ limity_ (k = 1) ^ (\ infty) \ frac ((1103 + 26390 k) \ cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

Pro k = 100 je dosaženo přesnosti 600 správných číslic \ (\ pi \).

Nástup počítače umožnil výrazně zvýšit přesnost získaných hodnot v kratším čase. V roce 1949, za pouhých 70 hodin s pomocí ENIAC, skupina vědců vedená Johnem von Neumannem (1903-1957) získala 2037 desetinných míst \ (\ pi \). David a Gregory Chudnovsky v roce 1987 získali vzorec, pomocí kterého byli schopni nastavit několik rekordů ve výpočtu \ (\ pi \):

\ [\ frac (1) (\ pi) = \ frac (1) (426880 \ sqrt (10005)) \ součet \ limity_ (k = 1) ^ (\ infty) \ frac ((6k)! (13591409 + 545140134k )) ((3k)! (K!) ^ 3 (-640320) ^ (3k)). \]

Každý výraz v řadě má 14 číslic. V roce 1989 bylo přijato 1 011 196 691 číslic za desetinnou čárkou. Tento vzorec funguje dobře pro výpočet \ (\ pi \) na osobních počítačích. V současné době jsou bratři profesory na Polytechnickém institutu New York University.

Důležitým nedávným vývojem byl objev vzorce v roce 1997 Simonem Pluffem. Umožňuje extrahovat libovolnou hexadecimální číslici čísla \ (\ pi \) bez počítání předchozích. Vzorec se nazývá Bailey-Borwain-Pluff Formula podle autorů článku, kde byl vzorec poprvé publikován. Vypadá to takto:

\ [\ pi = \ suma \ limity_ (k = 1) ^ (\ infty) \ frac (1) (16 ^ k) (\ frac (4) (8k + 1) - \ frac (2) (8k + 4 ) - \ frac (1) (8k + 5) - \frac (1) (8k + 6)). \]

V roce 2006 Simon získal několik pěkných vzorců pro výpočet \ (\ pi \) pomocí PSLQ. Například,

\ [\ frac (\ pi) (24) = \ suma \ limity_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (1) (n) (\ frac (3) (q ^ n - 1) - \ frac (4) (q ^ (2n) -1) + \ frac (1) (q ^ (4n) -1)), \]

\ [\ frac (\ pi ^ 3) (180) = \ suma \ limity_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (1) (n ^ 3) (\ frac (4) (q ^ (2n) - 1) - \ frac (5) (q ^ (2n) -1) + \ frac (1) (q ^ (4n) -1)), \]

kde \ (q = e ^ (\ pi) \). V roce 2009 japonští vědci používající superpočítač T2K Tsukuba System získali číslo \ (\ pi \) s 2 576 980 377 524 desetinnými místy. Výpočty trvaly 73 hodin a 36 minut. Počítač byl vybaven 640 čtyřjádrovými procesory AMD Opteron, které poskytovaly výkon 95 bilionů operací za sekundu.

Další úspěch v oblasti výpočetní techniky \ (\ pi \) patří francouzskému programátorovi Fabrice Bellardovi, který na konci roku 2009 vytvořil rekord na svém osobním počítači s Fedora 10 s 2 699 999 990 000 desetinnými místy \ (\ pi \). Za posledních 14 let jde o první světový rekord bez použití superpočítače. Pro vysoký výkon použil Fabrice formuli bratří Chudnovských. Celkem výpočet trval 131 dní (103 dní výpočty a 13 dní kontrola výsledku). Bellardův úspěch ukázal, že takové výpočty nevyžadují superpočítač.

O pouhých šest měsíců později překonali Françoisův rekord inženýři Alexander Yee a Singer Kondo. K dosažení rekordu 5 bilionů desetinných míst \ (\ pi \) byl také použit osobní počítač, ale s působivějšími vlastnostmi: dva procesory Intel Xeon X5680 na 3,33 GHz, 96 GB RAM, 38 TB diskové paměti a operační systém Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Pro výpočty použili Alexander a Singer vzorec bratří Chudnovských. Proces výpočtu trval 90 dní a 22 TB místa na disku. V roce 2011 vytvořili další rekord, když pro \ (\ pi \) vypočítali 10 bilionů desetinných míst. Výpočty probíhaly na stejném počítači, na kterém byl vytvořen jejich předchozí záznam, a trvaly celkem 371 dní. Na konci roku 2013 Alexander a Singer vylepšili rekord na 12,1 bilionu číslic \ (\ pi \), což jim zabralo pouhých 94 dní, než se vypočítali. Tohoto zvýšení výkonu je dosaženo optimalizací výkonu softwaru, zvýšením počtu procesorových jader a výrazným zlepšením odolnosti softwaru.

Aktuální rekord je rekord Alexandera Yee a Singera Konda, což je 12,1 bilionu číslic za desetinnou čárkou \ (\ pi \).

Prozkoumali jsme tedy metody pro výpočet čísla \ (\ pi \) používané ve starověku, analytické metody a také zhodnotily moderní metody a záznamy pro výpočet čísla \ (\ pi \) na počítačích.

Seznam zdrojů

1. Žukov A.V. Všudypřítomné číslo Pi - M.: Nakladatelství LKI, 2007 - 216 s.
2. F. Rudio. O kvadratuře kruhu, s aplikací historie problematiky, sestavil F. Rudio. / Rudio F. - M .: ONTI NKTP SSSR, 1936 .-- 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. - Springer, 2001 .-- 270s.
4. Shukhman, E.V. Přibližný výpočet pí pomocí řady pro arctan x v publikovaných a nepublikovaných dílech Leonarda Eulera / E.V. Shukhman. - Dějiny vědy a techniky, 2008 - №4. - S. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi / Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 - Vol.9 - 222-236s.
6. Shumikhin, S. Číslo Pi. Historie dlouhá 4000 let / S. Shumikhin, A. Shumikhin. - M .: Eksmo, 2011 .-- 192s.
7. Borwein, J.M. Ramanujan a Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Ve světě vědy. 1988 – #4. - S. 58-66.
8. Alex Yee. Svět čísel. Režim přístupu: numberworld.org

Líbí se?

sdělit

Význam čísla(výrazný "pí") Je matematická konstanta rovna poměru

Označuje se písmenem řecké abecedy „pí“. staré jméno - Ludolphovo číslo.

co je pí? V jednoduchých případech stačí znát první 3 znaky (3.14). Ale na víc

složité případy a tam, kde je potřeba větší přesnost, musíte znát více než 3 číslice.

co je pí? Prvních 1000 číslic pí za desetinnou čárkou:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...

Za normálních podmínek lze přibližnou hodnotu pí vypočítat podle následujících kroků

Níže uvedené:

1. Vezmeme kruh, jednou omotáme nit podél jeho okraje.
2. Změříme délku nitě.
3. Změříme průměr kruhu.
4. Délku závitu vydělíme délkou průměru. Obdržel číslo pí.

Vlastnosti pí.

• pí- iracionální číslo, tzn. hodnotu pí nelze ve tvaru přesně vyjádřit

zlomky m / n, kde m a n jsou celá čísla. To ukazuje, že desetinná reprezentace

pi nikdy nekončí a není periodické.

• pí- transcendentální číslo, tzn. nemůže to být kořen žádného polynomu s celými čísly

koeficienty. V roce 1882 profesor Königsberg dokázal transcendenci pí, a

později profesor na univerzitě v Mnichově Lindemann. Zjednodušený důkaz

Felix Klein v roce 1894.

• protože v euklidovské geometrii jsou plocha kruhu a délka kruhu funkcemi pí,

pak důkaz transcendence pí ukončil spor o kvadraturu kruhu, který trval déle než

2,5 tisíce let.

• pí je prvek periodického prstenu (tj. vypočitatelné a aritmetické číslo).

Ale nikdo neví, jestli to patří do kruhu období.

Vzorec pro pí.

• Francois Viet:

• Wallisův vzorec:

• Leibnizova série:

• Další řádky:

Text práce je umístěn bez obrázků a vzorců.
Plná verze práce je k dispozici v záložce "Soubory práce" ve formátu PDF

ÚVOD

1. Relevance práce.

V nekonečné množině čísel, stejně jako mezi hvězdami Vesmíru, vynikají jednotlivá čísla i celé jejich „souhvězdí“ úžasné krásy, čísla s mimořádnými vlastnostmi a jedinečnou harmonií, která je jim vlastní. Jen je potřeba tato čísla vidět, všímat si jejich vlastností. Podívejte se pozorně na přirozenou řadu čísel – a najdete v ní spoustu překvapivých i bizarních, vtipných i vážných, nečekaných i kuriózních. Kdo se dívá, vidí. Koneckonců, lidé si ani za letní hvězdné noci nevšimnou ... záře. Polární hvězdy, pokud nesměřují svůj pohled do bezmračných výšin.

Při přechodu z třídy do třídy jsem se seznámil s přirozeným, zlomkovým, desetinným, záporným, racionálním. Letos jsem studoval iracionální. Mezi iracionálními čísly existuje zvláštní číslo, jehož přesné výpočty provádějí vědci po mnoho staletí. Setkal jsem se s tím už v 6. třídě při studiu tématu „Obvod a plocha kruhu“. Bylo zdůrazněno, že se s ním budeme často setkávat na hodinách střední školy. Zajímavé byly praktické úlohy na zjištění číselné hodnoty čísla π. Číslo π je jedním z nejzajímavějších čísel nalezených při studiu matematiky. Nachází se v různých školních oborech. S číslem π je spojeno mnoho zajímavých skutečností, proto vzbuzuje zájem o studium.

Když jsem o tomto čísle slyšel mnoho zajímavého, rozhodl jsem se sám prostudováním další literatury a hledáním na internetu o něm zjistit co nejvíce informací a odpovědět na problematické otázky:

Jak dlouho lidé vědí o pí?

Proč je nutné to studovat?

Jaká zajímavá fakta jsou s tím spojena

Je pravda, že pi je přibližně 3,14

Proto jsem se postavil před sebe fotbalová branka: prozkoumat historii čísla π a význam čísla π v současné fázi vývoje matematiky.

úkoly:

Prostudujte si literaturu, abyste získali informace o historii čísla π;

Zjistit některá fakta z „moderní biografie“ čísla π;

Praktický výpočet přibližné hodnoty poměru obvodu k průměru.

Předmět studia:

Předmět výzkumu: Počet PI.

Předmět studia: Zajímavosti související s počtem PI.

2. Hlavní část. Úžasné číslo π.

Žádné jiné číslo není tak tajemné jako Pí se svou slavnou nekonečnou číselnou řadou. V mnoha oblastech matematiky a fyziky vědci toto číslo a jeho zákony používají.

Jen málokterému ze všech čísel, která se používají v matematice, vědě, inženýrství a každodenním životě, je věnována taková pozornost jako pí. Jedna kniha říká: "Pí zachycuje mysl vědeckých géniů a amatérských matematiků po celém světě" ("Fraktály pro třídu").

Lze jej nalézt v teorii pravděpodobnosti, při řešení problémů s komplexními čísly a v dalších nečekaných a vzdálených geometrii oblastí matematiky. Anglický matematik Augustus de Morgan kdysi nazval „pí“ „...záhadné číslo 3.14159...které leze dveřmi, oknem a střechou“. Toto záhadné číslo, spojené s jedním ze tří klasických problémů starověku – se stavbou čtverce, jehož plocha se rovná ploše daného kruhu – s sebou nese řadu dramatických historických a kuriózních zábavných faktů.

Někteří ho dokonce považují za jedno z pěti nejdůležitějších čísel v matematice. Ale, jak je uvedeno v knize "Fraktály pro třídu", se vší důležitostí pí "je obtížné najít oblasti ve vědeckých výpočtech, které by vyžadovaly více než dvacet desetinných míst pí."

3. Pojem pí

Číslo π je matematická konstanta vyjadřující poměr obvodu kruhu k délce jeho průměru... Číslo π (vyslov "pí") Je matematická konstanta vyjadřující poměr obvodu k délce jeho průměru. Označuje se písmenem řecké abecedy „pí“.

Numericky, π začíná na 3,141592 a má nekonečné matematické trvání.

4. Historie čísla "pí"

Podle odborníků toto číslo objevili babylonští mágové... Byl použit při stavbě slavné Babylonské věže. Nedostatečně přesný výpočet hodnoty pí však vedl ke krachu celého projektu. Je možné, že tato matematická konstanta je základem stavby legendárního chrámu krále Šalamouna.

Historie pí, která vyjadřuje poměr obvodu kruhu k jeho průměru, začala ve starověkém Egyptě. Oblast průměru kruhu d Egyptští matematici definovali jako (d-d / 9) 2 (tento záznam je zde uveden v moderních symbolech). Z výše uvedeného výrazu můžeme usoudit, že v té době bylo číslo p považováno za rovné zlomku (16/9) 2 , nebo 256/81 , tj. π = 3,160...

V posvátné knize džinismu (jedno z nejstarších náboženství, které existovalo v Indii a vzniklo v 6. století př. n. l.) je údaj, z něhož vyplývá, že číslo p bylo v té době považováno za rovné, což udává zlomek 3,162... Starověcí Řekové Eudoxus, Hippokrates a další měření kruhu byla redukována na konstrukci segmentu a měření kruhu bylo redukováno na konstrukci stejně velkého čtverce. Je třeba poznamenat, že po mnoho staletí se matematici různých zemí a národů snažili vyjádřit poměr obvodu k průměru racionálním číslem.

Archimedes ve III století. PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Ve svém malém díle „Měření kruhu“ zdůvodnil tři ustanovení:

Každý kruh se rovná pravoúhlému trojúhelníku, jehož ramena se rovnají délce kruhu a jeho poloměru;

Oblasti kruhu odkazují na čtverec vynesený na průměru 11 až 14;

Poměr jakéhokoli kruhu k jeho průměru je menší 3 1/7 a více 3 10/71 .

Podle přesných výpočtů Archimedes poměr kruhu k průměru je mezi čísly 3*10/71 a 3*1/7 , což znamená, že π = 3,1419... Skutečný význam tohoto vztahu 3,1415922653... Ve století V. PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. čínský matematik Zu Chongzhi byl nalezen přesnější význam tohoto čísla: 3,1415927...

V první polovině 15. stol. observatoře Ulugbek, blízko Samarkand, astronom a matematik al-Kashi vypočítané pí na 16 desetinných míst. Al-Kashi provedl jedinečné výpočty, které byly potřeba k sestavení tabulky sinus s krokem 1" ... Tyto tabulky hrály důležitou roli v astronomii.

O století a půl později v Evropě F. Viet našli pí pouze s 9 správnými desetinnými místy, což představuje 16 dvojnásobků počtu stran mnohoúhelníků. Ale v tu samou dobu F. Viet nejprve si všiml, že pí lze nalézt pomocí limitů některých řad. Tento objev byl skvělý

hodnotu, protože nám to umožnilo vypočítat pí s jakoukoli přesností. Teprve po 250 letech al-Kashi jeho výsledek byl překonán.

Narozeniny čísla „“.

Neoficiální svátek „PI Day“ se slaví 14. března, což se v americkém formátu (den / den) zapisuje jako 3/14, což odpovídá přibližné hodnotě čísla PI.

Existuje i alternativní verze dovolené – 22. července. Říká se tomu Přibližný den pí. Faktem je, že zobrazení tohoto data ve formě zlomku (22/7) dává ve výsledku také číslo Pi. Předpokládá se, že svátek vynalezl v roce 1987 fyzik ze San Francisca Larry Shaw, který upozornil na skutečnost, že datum a čas se shodují s prvními číslicemi čísla π.

Zajímavá fakta související s číslem ""

Vědcům z Tokijské univerzity pod vedením profesora Yasumasa Canada se podařilo vytvořit světový rekord ve výpočtech pí až na 12 411 bilionů číslic. K tomu potřebovala skupina programátorů a matematiků speciální program, superpočítač a 400 hodin počítačového času. (Guinessova kniha rekordů).

Německý král Fridrich II byl tímto číslem natolik fascinován, že mu věnoval ... celý palác Castel del Monte, v jehož proporcích lze vypočítat PI. Nyní je kouzelný palác pod ochranou UNESCO.

Jak si zapamatovat první číslice čísla „“.

První tři číslice čísla  = 3,14 ... není těžké si je zapamatovat. A abyste si zapamatovali více znamení, existují vtipná rčení a verše. Například takové:

Musíte to prostě zkusit

A pamatujte si vše tak, jak to je:

Devadesát dva a šest.

S. Bobrov. "The Magic Bicorn"

Každý, kdo se naučí toto čtyřverší, dokáže vždy vyjmenovat 8 znaků čísla :

V následujících frázích lze znaky čísla  určit podle počtu písmen v každém slově:

“Co vím o kruzích?" (3,1416);

“Takže znám číslo pí. - Výborně!"

(3,1415927);

“Učte a vězte, v čísle známém za figurkou, jak zaznamenat štěstí “

(3,14159265359)

5. Označení čísla pí

Anglický matematik jako první zavedl zápis poměru obvodu k průměru moderním symbolem pí W. Johnson v roce 1706 vzal první písmeno řeckého slova jako symbol "periferie", což v překladu znamená "kruh"... Představeno W. Johnson označení se stalo běžným po zveřejnění prací L. Euler který zadaný znak použil poprvé v 1736 G.

Na konci 18. stol. A.M. Lajandre na základě děl I.G. Lambert dokázal, že pí je iracionální. Pak německý matematik F. Lindeman stavět na výzkumu S. Hermita, našel rigorózní důkaz, že toto číslo je nejen iracionální, ale i transcendentální, tzn. nemůže být kořenem algebraické rovnice. Pátrání po přesném vyjádření pí pokračovalo i po skončení práce F. Vieta... Na počátku 17. stol. Nizozemský matematik z Kolína nad Rýnem Ludolph van Zeulen(1540-1610) (někteří historici mu říkají L. van Keilen) nalezeno 32 správných znaků. Od té doby (rok vydání 1615) se hodnota čísla p s 32 desetinnými místy nazývá číslo Ludolph.

6. Jak si zapamatovat číslo „Pi“ s přesností na jedenáct číslic

Pi je poměr obvodu kruhu k jeho průměru a vyjadřuje se jako nekonečný desetinný zlomek. V běžném životě nám stačí znát tři znamení (3.14). Některé výpočty však vyžadují větší přesnost.

Naši předkové neměli počítače, kalkulačky a příručky, ale od dob Petra Velikého se zabývali geometrickými výpočty v astronomii, strojírenství a stavbě lodí. Následně sem přibyla elektrotechnika - existuje pojem "kruhová frekvence střídavého proudu". Pro zapamatování číslice „Pi“ bylo vynalezeno dvojverší (autora a místo jeho prvního vydání bohužel neznáme, ale na konci 40. let dvacátého století se moskevští školáci učili podle Kiselevovy učebnice geometrie, kde to bylo citováno).

Dvojverší je psáno podle pravidel starého ruského pravopisu, podle kterého po souhláska na konci slova bylo nutně uvedeno "měkký" nebo "pevný" podepsat. Tady to je, tento nádherný historický dvojverší:

Kdo si dělá srandu a bude brzy přát

"Pí" zjistit číslo - už ví.

Každý, kdo se v budoucnu bude zabývat přesnými výpočty, má smysl si to pamatovat. Co je tedy pí až jedenáct číslic? Spočítejte počet písmen v jednotlivých slovech a napište tato čísla do řady (první číslo oddělte čárkou).

Tato přesnost je již pro inženýrské výpočty dostačující. Kromě starého existuje i moderní způsob memorování, na který upozornil čtenář, který si říkal George:

Abychom nedělali chyby,

Musí se správně číst:

Tři, čtrnáct, patnáct,

Devadesát dva a šest.

Musíte to prostě zkusit

A pamatujte si vše tak, jak to je:

Tři, čtrnáct, patnáct,

Devadesát dva a šest.

Tři, čtrnáct, patnáct,

Devět, dva, šest, pět, tři, pět.

dělat vědu,

To by měl vědět každý.

Můžete to prostě zkusit

A opakujte častěji:

"Tři, čtrnáct, patnáct,

Devět, dvacet šest a pět."

Matematici s pomocí moderních počítačů mohou vypočítat téměř libovolný počet číslic čísla "Pi".

7. Zaznamenejte zapamatování čísla pí

Lidstvo se již dlouhou dobu snaží zapamatovat si znaky pí. Ale jak lze nekonečno zapamatovat? Oblíbená otázka profesionálních mnemonistů. Bylo vyvinuto mnoho jedinečných teorií a technik pro zvládnutí obrovského množství informací. Mnoho z nich je testováno na pí.

Světový rekord vytvořený v minulém století v Německu je 40 000 znaků. Ruský rekord v hodnotách pí byl stanoven 1. prosince 2003 v Čeljabinsku Alexandrem Beljajevem. Alexander hodinu a půl s krátkými přestávkami psal na tabuli 2500 číslic pí.

Předtím bylo v Rusku považováno za rekord uvést 2000 znaků, což bylo provedeno v roce 1999 v Jekatěrinburgu. Podle Alexandra Beljajeva, vedoucího centra pro rozvoj obrazové paměti, může takový experiment se svou pamětí provést každý z nás. Důležité je pouze znát speciální techniky zapamatování a pravidelně trénovat.

Závěr.

Pi se objevuje ve vzorcích používaných v mnoha oblastech. Fyzika, elektrotechnika, elektronika, teorie pravděpodobnosti, konstrukce a navigace jsou jen některé z nich. A zdá se, že stejně jako není konce znamének pí, nekončí ani možnosti praktické aplikace tohoto užitečného, ​​neuchopitelného čísla pí.

V moderní matematice není pí pouze poměrem obvodu k průměru, je zahrnuto ve velkém množství různých vzorců.

Tato a další vzájemné závislosti umožnily matematikům porozumět ještě hlouběji povaze pí.

Přesná hodnota čísla π v moderním světě má nejen vlastní vědeckou hodnotu, ale používá se také pro velmi přesné výpočty (například dráha družice, stavba obřích mostů) a také pro posouzení rychlost a výkon moderních počítačů.

V současnosti je číslo π spojeno s těžko viditelným souborem vzorců, matematických a fyzikálních faktů. Jejich počet stále rychle roste. To vše vypovídá o vzrůstajícím zájmu o nejdůležitější matematickou konstantu, jejíž studium trvá již více než dvaadvacet století.

Odvedená práce byla pro mě zajímavá. Chtěl jsem vědět o historii čísla π, jeho praktické aplikaci a myslím, že jsem svého cíle dosáhl. Shrnu-li práci, docházím k závěru, že toto téma je aktuální. S číslem π je spojeno mnoho zajímavých skutečností, proto vzbuzuje zájem o studium. Při své práci jsem podrobněji poznal číslo - jednu z věčných hodnot, kterou lidstvo používá po mnoho staletí. Naučil jsem se některé aspekty jeho bohaté historie. Zjistil jsem, proč starověký svět neznal správný poměr obvodu k průměru. Jasně jsem se podíval, jakými způsoby můžete číslo získat. Na základě experimentů různými způsoby vypočítal přibližnou hodnotu čísla. Provedlo zpracování a analýzu výsledků experimentu.

Každý školák by dnes měl vědět, co to číslo znamená a jaká je přibližná hodnota. Koneckonců, každý má první seznámení s číslem, jeho použití při výpočtu obvodu kruhu, plochy kruhu se vyskytuje v 6. Ale bohužel tato znalost zůstává pro mnohé formální a po roce nebo dvou si málokdo pamatuje nejen to, že poměr obvodu kruhu k jeho průměru je u všech kruhů stejný, ale dokonce si sotva pamatuje číselnou hodnotu číslo rovné 3, čtrnáct.

Pokusil jsem se poodhrnout závoj nejbohatší historie čísla, které lidstvo používá po mnoho staletí. Prezentaci své práce jsem udělal sám.

Historie čísel je fascinující a tajemná. Rád bych pokračoval ve výzkumu dalších úžasných čísel v matematice. To bude předmětem mých dalších výzkumných studií.

Bibliografie.

1. Glazer G.I. Dějiny matematiky ve školních ročnících IV-VI. - M .: Vzdělávání, 1982.

2. Depman I. Ya, Vilenkin N. Ya. Za stránkami učebnice matematiky - M .: Osvícení, 1989.

3. Žukov A.V. Všudypřítomné číslo „pí“. - M .: Editorial URSS, 2004.

4. Kampan F. Historie čísla "pí". - Moskva: Nauka, 1971.

5. A.A. Svechnikov cesta do dějin matematiky - M .: Pedagogika - Press, 1995.

6. Encyklopedie pro děti. T.11.Matematika - M .: Avanta +, 1998.

Internetové zdroje:

- http: // crow.academy.ru/ materials_ / pi / history.htm

Http: //hab/kp.ru// denně / 24123/344634 /