Fizika oszcillációs mozgásképletek. Mechanikai rezgések. Energiaátalakítás oszcillációs rendszerekben

4.2. A "rezgések és hullámok" szakasz fogalmai és meghatározásai

Az egyenlet harmonikus rezgésekés a megoldása:

, x = Acos (ω 0 t +α ) ,

A- a rezgések amplitúdója;

α az oszcillációk kezdeti fázisa.

Oszcillációs periódus anyagi pont rezgés a rugalmas erő hatására:

ahol m- egy anyagi pont tömege;

k A merevségi együttható.

A matematikai inga lengési periódusa:

ahol l- az inga hossza;

g= 9,8 m / s 2 - gravitációs gyorsulás.

Két egyenlő irányú harmonikus rezgés összeadásával kapott rezgések amplitúdója:

ahol A 1 és A 2 - az oszcillációk kifejezéseinek amplitúdói;

φ 1 és φ 2 az oszcillációk tagjának kezdeti fázisai.

A két egyforma irányú harmonikus rezgés összeadásával kapott rezgések kezdeti fázisa:

.

Az egyenlet csillapított oszcillációkés a megoldása:

, ,

- a csillapított rezgések gyakorisága,

itt ω 0 a rezgések sajátfrekvenciája.

Logaritmikus csillapítás csökkenése:

ahol β a csillapítási együttható;

- csillapított rezgések periódusa.

Az oszcilláló rendszer Q-tényezője:

ahol θ a logaritmikus csillapítás csökkenése

A kényszerrezgések egyenlete és annak állandósult állapotú megoldása:

, x = A kötözősaláta (ω t-φ ),

ahol F 0 - az erő amplitúdója;

- csillapított rezgések amplitúdója;

φ= - a kezdeti fázis.

Rezonancia frekvencia ingadozások:

,

ahol ω 0 - az oszcillációk természetes ciklikus frekvenciája;

β a csillapítási együttható.

Csillapított elektromágneses rezgések egy kapacitásból álló áramkörbenC, induktivitásLés ellenállásR:

,

ahol q- töltés a kondenzátoron;

q m- a kondenzátor töltésének amplitúdója;

β = R/2L- csillapítási együttható,

itt R- hurokellenállás;

L- tekercs induktivitása;

- ciklikus rezgési frekvencia;

itt ω 0 - az oszcillációk természetes frekvenciája;

α az oszcillációk kezdeti fázisa.

Elektromágneses rezgési periódus:

,

ahol VAL VEL- kondenzátor kapacitása;

L- tekercs induktivitása;

R- hurokellenállás.

Ha a hurokellenállás kicsi, akkor ( R/2L) 2 <<1/LC, akkor az oszcillációs periódus:

Hullámhossz:

ahol v - hullámterjedési sebesség;

T- ingadozások időszaka.

Síkhullám egyenlet:

ξ = A kötözősaláta (ω t-kx),

ahol A- amplitúdó;

ω - ciklikus frekvencia;

A hullámszám.

Gömbhullám egyenlet:

,

ahol A- amplitúdó;

ω - ciklikus frekvencia;

k- hullámszám;

r A hullám középpontja és a közeg figyelembe vett pontja közötti távolság.

? Szabad harmonikus rezgések az áramkörben

Ideális áramkör egy olyan elektromos áramkör, amely egy kapacitású, sorba kapcsolt kondenzátorból áll VAL VELés induktorok L. A harmonikus törvény szerint a kondenzátorlapokon a feszültség és az induktivitás árama megváltozik.

? Harmonikus oszcillátor. Rugós, fizikai és matematikai ingák, lengési periódusaik

A harmonikus oszcillátor minden olyan fizikai rendszer, amely oszcillál. Klasszikus oszcillátorok - rugós, fizikai és matematikai ingák. Rugós inga - súly m egy abszolút rugalmas rugóra függesztve, és rugalmas erő hatására harmonikus rezgéseket hajt végre. T=. A fizikai inga tetszőleges alakú merev test, amely a gravitáció hatására egy vízszintes tengely körül oszcillál, amely nem megy át a súlypontján. T=. A matematikai inga egy olyan elszigetelt rendszer, amely egy tömeggel rendelkező anyagi pontból áll m egy nyújthatatlan, súlytalan hosszúságú fonalra függesztve L, és a gravitáció hatására oszcillál. T= .

? Szabad csillapítatlan mechanikai rezgések (egyenlet, sebesség, gyorsulás, energia). Harmonikus rezgések grafikus ábrázolása.

Az oszcillációkat szabadnak nevezzük, ha az eredetileg átadott energia miatt következnek be, és az oszcillációs rendszerre gyakorolt ​​​​külső hatások hiánya miatt. A mennyiség a szinusz vagy koszinusz törvény szerint változik. , S- elmozdulás az egyensúlyi helyzetből, A–Amplitúdó, w 0 - ciklikus frekvencia, –rezgések kezdeti fázisa. Sebesség, gyorsulás. Teljes energia - E=. Grafikusan - szinusz vagy koszinusz használatával.

? Az oszcillációs folyamatok fogalma. Harmonikus rezgések és jellemzőik. A rezgések periódusa, amplitúdója, frekvenciája és fázisa. Harmonikus rezgések grafikus ábrázolása.

Az időnként ismétlődő időszakos folyamatokat oszcillációsnak nevezzük. Harmonikusnak nevezzük azokat a periodikus rezgéseket, amelyekben a test koordinátája idővel a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint változik. A periódus egy lendítés ideje. Az amplitúdó egy pont maximális elmozdulása az egyensúlyi helyzetből. A frekvencia a teljes rezgések száma időegységben. A fázis a szinusz vagy koszinusz jel alatti érték. Az egyenlet: , itt S- az oszcilláló rendszer állapotát jellemző érték, - a ciklikus frekvencia. Grafikusan - szinusz vagy koszinusz használatával.

? Csillapított oszcillációk. Differenciálegyenlet ezekre a rezgésekre. Logaritmikus csillapítás csökkenés, relaxációs idő, minőségi tényező.

Oszcillációk, amelyek amplitúdója idővel csökken, például a súrlódási erő hatására. Az egyenlet: , itt S- az oszcilláló rendszer állapotát jellemző érték, - a ciklikus frekvencia, - a csillapítási együttható. Logaritmikus csillapítás csökkenése, ahol N- az in amplitúdó csökkenése során végrehajtott rezgések száma N egyszer. Relaxációs idő t- amely alatt az amplitúdó e-szeresére csökken. Q minőségi tényező =.

? Folyamatos kényszerrezgések. Differenciálegyenlet ezekre a rezgésekre. Mit nevezünk rezonanciának? A kényszerrezgések amplitúdója és fázisa.

Ha az oszcillációk energiaveszteségei, amelyek a csillapításukhoz vezetnek, teljesen kiegyenlítésre kerülnek, tartós rezgések jönnek létre. Az egyenlet: ... Itt a jobb oldal egy harmonikus törvény szerint változó külső hatás. Ha a rendszer természetes rezgési frekvenciája egybeesik a külsővel, akkor rezonancia lép fel - a rendszer amplitúdója élesen megnövekszik. Amplitúdó , .

? Ismertesse az azonos irányú és azonos frekvenciájú, egymásra merőleges rezgések összeadását! Mi a verés?

Két azonos irányú és frekvenciájú harmonikus rezgés összeadásából eredő rezgés amplitúdója, itt A- amplitúdók, j - kezdeti fázisok. A keletkező ingadozás kezdeti fázisa ... Kölcsönösen merőleges rezgések - pályaegyenlet , itt Aés V a hozzáadott rezgések amplitúdója, j-fázis különbség.

? Ismertesse a relaxációs oszcillációkat; önoszcilláció.

Relaxáció - önrezgések, amelyek alakja élesen különbözik a harmonikusoktól, az önoszcilláló rendszerekben bekövetkező jelentős energiadisszipáció miatt (mechanikai rendszerek súrlódása). Az önrezgések olyan tartós rezgések, amelyeket külső energiaforrások támogatnak külső változó erő hiányában. Az erőltetettektől az a különbség, hogy az önrezgések frekvenciáját és amplitúdóját magának az oszcillációs rendszernek a tulajdonságai határozzák meg. Különbség a szabad rezgésektől - különböznek az amplitúdó időtől való függetlenségében és a kezdeti rövid távú hatástól, amely a rezgések folyamatát gerjeszti. Az önoszcilláló rendszerre példa az óra.

? Hullámok (alapfogalmak). Hosszanti és keresztirányú hullámok. Álló hullám. Hullámhossz, kapcsolata a periódussal és a frekvenciával.

A rezgések térbeli terjedésének folyamatát hullámnak nevezzük. A rezgési energia hullám általi átvitelének iránya a hullám mozgásának iránya. Longitudinális - a közeg részecskéinek oszcillációja a hullámterjedés irányában történik. Keresztirányú - a közeg részecskéinek rezgései merőlegesek a hullámterjedés irányára. Állóhullám - két haladó hullám egymásra helyezésekor, azonos frekvenciájú és amplitúdójú, egymás felé terjedő, keresztirányú hullámok esetén pedig azonos polarizációval jön létre. A hullámhossz az a távolság, amelyet a hullám egy periódus alatt megtesz. (hullámhossz, v- hullámsebesség, T- oszcillációs periódus)

? A hullámok szuperpozíciójának (átfedésének) elve. A csoportsebesség és kapcsolata a fázissebességgel.

A szuperpozíció elve - ha több hullám terjed egy lineáris közegben, mindegyik úgy terjed, mintha nem is léteznének más hullámok, és a közeg egy részecskéjének ebből adódó elmozdulása bármikor megegyezik az elmozdulások geometriai összegével, amelyet a részecskék fogadnak. amikor részt vesz az egyes alkotó hullámfolyamatokban. A csoportsebesség egy olyan hullámcsoport mozgási sebessége, amely a térben minden időpillanatban lokalizált hullámcsomagot alkot. A hullámfázis mozgásának sebessége a fázissebesség. Szétoszlatatlan környezetben ezek egybeesnek.

? Az elektromágneses hullám és tulajdonságai. Az elektromágneses hullámok energiája.

Elektromágneses hullám - az űrben terjedő elektromágneses rezgések. Kísérletileg a Hertz által 1880-ban nyert tulajdonságok - közegben és vákuumban is terjedhet, vákuumban egyenlő c-vel, közegben kevesebb, keresztirányban, E és B egymásra merőleges és a terjedési irányra merőleges. Az intenzitás a kibocsátó töltött részecske gyorsulásának növekedésével növekszik, bizonyos körülmények között tipikus hullámtulajdonságok nyilvánulnak meg - diffrakció stb. Tömeges energiasűrűség .

Optika

Az optika alapképletei

A fény sebessége a környezetben:

ahol c- a fény sebessége vákuumban;

n A közeg törésmutatója.

A fényhullám optikai úthossza:

L = ns,

ahol s– fényhullám geometriai úthossza törésmutatójú közegben n.

Két fényhullám optikai útkülönbsége:

∆ = L 1 – L 2 .

A fáziskülönbség függése a fényhullámok optikai útkülönbségétől:

ahol λ a fényhullám hossza.

A fény maximális erősítésének feltétele interferencia esetén:

∆ = kλ (= 0, 1, 2,…).

Maximális fénycsillapítási feltétel:

A monokromatikus fény vékony filmről való visszaverődéséből származó fényhullámok optikai útkülönbsége:

∆ = 2d ,

ahol d- filmvastagság;

n A film törésmutatója;

én i A fénytörés szöge a filmben.

A fényes newtoni gyűrűk sugara visszavert fényben:

r k = , (k = 1, 2, 3, ...),

ahol k- gyűrűszám;

R- görbületi sugár.

Newton sötét gyűrűinek sugara visszavert fényben:

r k = .

A maximumnak (fénysávnak) megfelelő sugarak elhajlási szögét egy résből a diffrakció során a feltétel alapján határozzuk meg.

a sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, ...),

ahol a- rés szélessége;

k A maximum sorszáma.

Injekcióφ a maximumnak (fénysávnak) megfelelő sugarak elhajlását a fény diffrakciójában egy diffrakciós rácson a feltételből határozzuk meg

d sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

ahol d A diffrakciós rács periódusa.

Diffrakciós rácsfelbontás:

R= = kN,

ahol ∆λ a legkisebb különbség két szomszédos spektrumvonal hullámhossza között (λ és λ + ∆λ), amelynél ezek a vonalak külön-külön láthatók az ezzel a ráccsal kapott spektrumban;

N A rácsrések teljes száma.

Wolfe - Bragg képlet:

2d sin θ = κ λ,

ahol θ a görbületi szög (a kristályra beeső párhuzamos röntgensugár iránya és a kristály atomi síkja közötti szög);

d A kristály atomsíkjai közötti távolság.

Brewster törvénye:

tg ε B = n 21 ,

ahol ε B- az a beesési szög, amelynél a dielektrikumról visszavert nyaláb teljesen polarizált;

n 21 - a második közeg relatív törésmutatója az elsőhöz képest.

Malus törvénye:

én = én 0 cos 2 α ,

ahol én 0 az analizátorra beeső síkpolarizált fény intenzitása;

én- ennek a fénynek az intenzitása az analizátor után;

α az analizátorra beeső elektromos fényvektor rezgési iránya és az analizátor átviteli síkja közötti szög (ha a beeső fény elektromos vektorának rezgései egybeesnek ezzel a síkkal, akkor az analizátor ezt a fényt anélkül továbbítja csillapítás).

A monokromatikus fény polarizációs síkjának elfordulási szöge optikailag aktív anyagon való áthaladáskor:

a) φ = αd(szilárd anyagban),

ahol α - állandó forgás;

d- a fény által megtett út hossza egy optikailag aktív anyagban;

b) φ = [α] pd(oldatokban),

ahol [α] - fajlagos forgás;

p Az optikailag aktív anyag tömegkoncentrációja az oldatban.

Enyhe nyomás normál fellépéskor egy felületen:

,

ahol Neki- energia megvilágítás (besugárzás);

ω a térfogati sugárzási energiasűrűség;

ρ a reflexiós együttható.

4.2. Az "optika" szakasz fogalmai és meghatározásai

? Hullám interferencia. Koherencia. Maximális és minimális állapot.

Interferencia - a koherens hullámok kölcsönös felerősítése vagy gyengülése, amikor szuperponálják őket (koherens - azonos hosszúságú és állandó fáziskülönbséggel szuperpozíciójuk pontján).

Maximális;

minimális .

Itt D az optikai útkülönbség, l a hullámhossz.

? Huygens-Fresnel elv. A diffrakció jelensége. Réses diffrakció, diffrakciós rács.

A Huygens-Fresnel elv - a tér minden pontja, amelyet egy terjedő hullám egy adott időpontban elér, elemi koherens hullámok forrásává válik. Diffrakció - hullámok az akadályok körül, ha az akadály mérete összemérhető a hullámhosszal, a fény eltérése az egyenes vonalú terjedéstől. Diffrakció a résnél - párhuzamos nyalábokban. Az akadályra síkhullám érkezik, a diffrakciós mintázat a képernyőn figyelhető meg, amely az akadályon áthaladó fény útjába helyezett gyűjtőlencse fókuszsíkjában helyezkedik el. A képernyőn egy távoli fényforrás "diffrakciós képe" jelenik meg. A diffrakciós rács egy síkban elhelyezkedő, azonos szélességű párhuzamos rések rendszere, amelyeket egyenlő szélességű átlátszatlan szakaszok választanak el. A fény spektrumra bontására és a hullámhossz mérésére szolgál.

? Fényszórás (normál és abnormális). Bouguer törvénye. Az abszorpciós együttható jelentése.

Fényszórás - egy anyag abszolút törésmutatójának függősége n az anyagra beeső fény ν frekvenciáján (vagy λ hullámhosszán). A fény sebessége vákuumban nem függ a frekvenciától, így a vákuumban nincs diszperzió. A fény normál szórása - ha a törésmutató a frekvencia növekedésével monoton nő (a hullámhossz növekedésével csökken). Rendellenes diszperzió - ha a törésmutató monoton csökken a frekvencia növekedésével (növekszik a hullámhossz növekedésével). A diszperzió következménye a fehér fény spektrummá bomlása, amikor az anyagban megtörik. A fény anyagban való elnyelését Bouguer törvénye írja le

én 0 és én- a sík monokromatikus fényhullám intenzitása egy vastagságú abszorbeáló anyagréteg bemeneténél és kimeneténél NS, a - abszorpciós együttható, a hullámhossztól függ, különböző anyagoknál eltérő.

? Mit nevezünk hullámpolarizációnak? Polarizált hullámok megszerzése. Malus törvénye.

A polarizáció abból áll, hogy a nyíróhullámok rezgési irányának preferált orientációját szerezzük meg. Rendezettség az elektromágneses hullám elektromos és mágneses tereinek erősségei vektorainak a fénysugár terjedési irányára merőleges síkban való tájolásában. E , B -merőleges. A természetes fény polarizátorok segítségével polarizált fénnyé alakítható. Malus törvénye ( én 0 - áthaladt az analizátoron, én- áthaladt a polarizátoron).

? Korpuszkuláris - hullám dualizmus. De Broglie hipotézise.

Történelmileg két fényelmélet született: korpuszkuláris - világító testek részecskéket bocsátanak ki (bizonyíték - fekete test sugárzás, fotoelektromos hatás) és hullám - a világító test rugalmas rezgéseket okoz a környezetben, amelyek hanghullámokként terjednek a levegőben ( bizonyíték - az interferencia, diffrakció, fénypolarizáció jelenségei). Broglie hipotézise - a hullámrészecskék tulajdonságai nemcsak a fotonokra jellemzőek, hanem a nyugalmi tömegű részecskékre is - elektronokra, protonokra, neutronokra, atomokra, molekulákra. ? Fotó hatás. Einstein egyenlete.

A fotoeffektus a fény és az anyag közötti kölcsönhatás jelensége, melynek eredményeként a fotonok energiája átkerül az anyag elektronjaira. Az egyenlet: (a fotonenergiát az elektron munkafunkciójára és a mozgási energia elektronnak történő átvitelére fordítják)

Minden rezgés változó gyorsulású mozgás. Az eltérés, a sebesség és a gyorsulás ebben az esetben az idő függvényei. Bármilyen ingadozást periodicitás jellemez, pl. a mozgás az idő letelte után megismétlődik T a fluktuáció időtartamának vagy periódusának nevezzük. Oszcilláció akkor következik be, amikor energiát adnak át egy rezgésre képes rendszernek.
Különbséget kell tenni a következők között:

Folyamatos oszcillációk

A folyamatos rezgések állandó amplitúdójúak Y m... Feltételezzük, hogy ebben az esetben a szolgáltatott energia megmarad. Körülbelül ilyen körülmények alacsony energiaveszteségek és rövid megfigyelési idők mellett állnak fenn. A valóban csillapítatlan rezgések eléréséhez rendszeresen pótolni kell az elvesztett energiát.

Csillapított oszcillációk

Csillapított rezgések, fokozatosan csökkentve az amplitúdót Y m... Az energia utánpótlás nélkül minden rezgés elcsillapodik.

Fontos vibrációs jellemzők

A harmonikus rezgések a törvény szerint fordulnak elő:

x = A cos (ω t + φ 0),

ahol x- egy részecske elmozdulása az egyensúlyi helyzetből, A- rezgés amplitúdója, ω - szögfrekvencia, φ 0 - kezdeti fázis, t- idő.

Oszcillációs periódus T = .

Az oszcilláló részecske sebessége:

υ = = – Aω sin (ω t + φ 0),

gyorsulás a = = –Aω 2 cos (ω t + φ 0).

Az oszcilláló mozgást végző részecske kinetikus energiája: E k = =
sin 2 (ω t+ φ 0).

Helyzeti energia:

E n =
cos 2 (ω t + φ 0).

Az inga lengési periódusai

- tavasz T =
,

ahol m- a rakomány tömege, k- rugómerevségi együttható,

- matematikai T = ,

ahol l- felfüggesztés hossza, g- a gravitáció gyorsulása,

- fizikai T =
,

ahol én- az inga tehetetlenségi nyomatéka a felfüggesztési ponton átmenő tengelyhez képest, m Az inga tömege, l- a felfüggesztési pont és a tömegközéppont távolsága.

A fizikai inga csökkentett hossza a következő feltételből adódik: l np = ,

a jelölések ugyanazok, mint a fizikai ingánál.

Ha két azonos frekvenciájú és egyirányú harmonikus rezgést adunk össze, akkor azonos frekvenciájú, amplitúdójú harmonikus rezgést kapunk:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos (φ 2 - φ 1)

és a kezdeti fázis: φ = arctán
.

ahol A 1 , A 2 - amplitúdók, φ 1, φ 2 - a hozzáadott rezgések kezdeti fázisai.

Az eredményül kapott mozgás pályája azonos frekvenciájú, egymásra merőleges oszcillációk hozzáadásával:

+ – cos (φ 2 - φ 1) = sin 2 (φ 2 - φ 1).

A csillapított rezgések a törvény szerint következnek be:

x = A 0 e - β t cos (ω t + φ 0),

ahol β a csillapítási együttható, a többi paraméter jelentése ugyanaz, mint a harmonikus rezgéseknél, A 0 - kezdeti amplitúdó. Az idő egy pillanatában t rezgés amplitúdója:

A = A 0 e - β t .

A csillapító logaritmikus csökkenést:

λ = ln
= β T,

ahol T- rezgési periódus: T = .

Az oszcillációs rendszer minőségi tényezőjét:

A síkban haladó hullám egyenlete a következőképpen alakul:

y = y 0 cos ω ( t ± ),

ahol nál nél- az ingadozó mennyiség elmozdulása az egyensúlyi helyzetből, nál nél 0 - amplitúdó, ω - szögfrekvencia, t- idő, NS Az a koordináta, amely mentén a hullám terjed, υ - hullámterjedési sebesség.

A "+" jel a tengely ellen terjedő hullámnak felel meg x, a "-" jel a tengely mentén terjedő hullámnak felel meg NS.

A hullámhosszt térbeli periódusának nevezzük:

λ = υ T,

ahol υ - a hullám terjedési sebessége, T– Az oszcillációk terjedésének időszaka.

A hullámegyenlet felírható:

y = y 0 cos 2π (+).

Az állóhullámot a következő egyenlet írja le:

y = (2y 0 cos ) cos ω t.

Az állóhullám amplitúdója zárójelben van. A maximális amplitúdójú pontokat antinódusoknak nevezzük,

x n = n ,

nulla amplitúdójú pontok - csomópontok,

x y = ( n + ) .

Példák problémamegoldásra

20. feladat

A harmonikus rezgések amplitúdója 50 mm, periódusa 4 s és a kezdeti fázis ... a) Írja fel ennek az oszcillációnak az egyenletét! b) keresse meg az oszcilláló pont elmozdulását az egyensúlyi helyzetből az at t= 0 és for t= 1,5 s; c) rajzolja meg ennek a mozgásnak a grafikonját!

Megoldás

Az oszcillációs egyenletet a következőképpen írjuk fel x = a cos ( t+  0).

Feltétel szerint az oszcillációs periódus ismert. Ezen keresztül kifejezheti a körfrekvenciát  = . A többi paraméter ismert:

a) x= 0,05 cos ( t + ).

b) Eltolás x nál nél t= 0.

x 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 m.

Nál nél t= 1,5 s

x 2 = 0,05 cos ( 1,5 + ) = 0,05 cos  = - 0,05 m.

v ) függvénygrafikon x= 0,05 cos ( t + ) alábbiak szerint:

Határozzuk meg több pont helyzetét. Ismert NS 1 (0) és NS 2 (1,5), valamint az oszcillációs periódus. Ezért -n keresztül t= 4 s érték NS ismétlődik, majd  után t = 2 c előjelet vált. Középen a magas és az alacsony között 0.

21. feladat

A pont harmonikus rezgést kelt. Az oszcillációs periódus 2 s, az amplitúdó 50 mm, a kezdeti fázis nulla. Határozzuk meg egy pont sebességét abban az időpontban, amikor az egyensúlyi helyzetből való elmozdulása 25 mm.

Megoldás

1 út. Felírjuk egy pont lengési egyenletét:

x= 0,05 cos  t, mert  = =.

Keresse meg a sebességet az adott pillanatban t:

υ = = – 0,05 cos  t.

Megtaláljuk azt az időpillanatot, amikor az elmozdulás 0,025 m:

0,025 = 0,05 cos  t 1 ,

ezért cos  t 1 = ,  t 1 = . Helyettesítse ezt az értéket a sebesség kifejezésébe:

υ = - 0,05  sin = - 0,05  = 0,136 m/s.

2. módszer. A vibrációs mozgás teljes energiája:

E =
,

ahol a- amplitúdó,  - körfrekvencia, m – részecske tömeg.

Az idő minden pillanatában ez a pont potenciális és mozgási energiájának összege

E k = , E n = , de k = m 2 tehát E n =
.

Írjuk fel az energia megmaradás törvényét:

= +
,

innen kapjuk: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 m/s.

22. feladat

Anyagi pont harmonikus rezgésének amplitúdója A= 2 cm, összenergia E= 3 ∙ 10 -7 J. Az egyensúlyi helyzetből milyen elmozdulásnál hat az erő az oszcillációs pontra F = 2,25 ∙ 10 -5 N?

Megoldás

A harmonikus rezgéseket végző pont összenergiája egyenlő: E =
. (13)

A rugalmas erő modulusa a pontoknak az egyensúlyi helyzetből való elmozdulásán keresztül fejeződik ki x a következő módon:

F = k x (14)

A (13) képlet tartalmazza a tömeget més a szögfrekvencia , és a (14)-ben - a merevségi együttható k... De a körkörös frekvencia összefügg més k:

 2 = ,

innen k = m 2 és F = m 2 x... Kifejezésével m 2 a (13) relációból kapjuk: m 2 = , F = x.

Ahonnan az eltolás kifejezését kapjuk x: x = .

A számértékek helyettesítése a következőket eredményezi:

x =
= 1,5 ∙ 10 -2 m = 1,5 cm.

23. feladat

A pont két rezgésben vesz részt, azonos periódusokkal és kezdeti fázisokkal. Oszcillációs amplitúdók A 1 = 3 cm és A 2 = 4 cm Határozza meg a keletkező rezgés amplitúdóját, ha: 1) az oszcillációk egy irányban fordulnak elő; 2) a rezgések egymásra merőlegesek.

Megoldás

Ha az oszcillációk egy irányban fordulnak elő, akkor az eredő rezgés amplitúdója a következőképpen kerül meghatározásra:

ahol A 1 és A 2 - a hozzáadott rezgések amplitúdója,  1 és  2 - kezdeti fázisok. Feltétel szerint a kezdeti fázisok megegyeznek, ami azt jelenti, hogy  2 -  1 = 0, és cos 0 = 1.

Ennélfogva:

A =
=
= A 1 +A 2 = 7 cm.

Ha a rezgések egymásra merőlegesek, akkor a keletkező mozgás egyenlete a következő lesz:

cos ( 2 -  1) = sin 2 ( 2 -  1).

Mivel a  2 -  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0 feltétellel az egyenlet a következő formában lesz felírva:
=0,

vagy
=0,

vagy
.

Az ebből eredő kapcsolat között xés nál nél grafikonon ábrázolható. A grafikonon látható, hogy egy pont eredő oszcillációja egy egyenesen MN... Ennek az ingadozásnak az amplitúdója a következőképpen lesz meghatározva: A =
= 5 cm.

24. feladat

Csillapított oszcillációs periódus T= 4 s, a logaritmikus csillapítás csökkenése  = 1,6, a kezdeti fázis nulla. Ponteltolás at t = egyenlő 4,5 cm 1) Írja fel ennek az oszcillációnak az egyenletét! 2) Készítsen grafikont erről a mozgásról két periódusra.

Megoldás

A nulla kezdeti fázisú csillapított rezgések egyenlete a következő:

x = A 0 e -  t cos2 .

Nincs elegendő kezdeti amplitúdóérték a számértékek helyettesítésére A 0 és csillapítási együttható .

A csillapítási tényező a logaritmikus csillapítási csökkenés arányából határozható meg:

 = T.

Így  = = = 0,4 s -1.

A kezdeti amplitúdó a második feltétel helyettesítésével határozható meg:

4,5 cm = A 0
cos 2 = A 0
cos = A 0
.

Innen találjuk:

A 0 = 4,5∙

(cm) = 7,75 cm.

A mozgás végső egyenlete:

x = 0,0775
költség.

25. feladat

Mekkora a matematikai inga logaritmikus csillapítási csökkenése, ha t = 1 perc, a rezgés amplitúdója felére csökkent? Inga hossza l = 1 m.

Megoldás

A logaritmikus csillapítás csökkenése a következő összefüggésből kereshető:  =  T,

ahol  a csillapítási együttható, T- ingadozások időszaka. A matematikai inga természetes körfrekvenciája:

 0 =
= 3,13 s -1.

Az oszcilláció csillapítási együtthatója a következő feltételből határozható meg: A 0 = A 0 e -  t ,

t= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c -1.

 óta<<  0 , то в формуле  =
elhanyagolható  0-hoz képest, és az oszcillációs periódus a következő képlettel határozható meg: T = = 2c.

Helyettesítő  és T a logaritmikus csillapítási csökkenés kifejezésébe, és kapjuk:

 = T= 0,0116 s -1 ∙ 2 s = 0,0232.

26. feladat

A perzisztens rezgések egyenlete a formában van megadva x= 4 sin600  t cm.

Határozzuk meg egy távolságra lévő pont egyensúlyi helyzetétől való elmozdulását l= 75 cm-re a rezgés forrásától, után t= 0,01 másodperccel az oszcilláció kezdete után. A rezgés terjedési sebessége υ = 300 m/s.

Megoldás

Írjuk fel az adott forrásból terjedő hullám egyenletét: x= 0,04 sin 600  ( t– ).

Megtaláljuk a hullám fázisát adott időpontban egy adott helyen:

t– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5,

sin 4,5 = sin = 1.

Ezért a pont eltolása x= 0,04 m, azaz a távolságon l = 75 cm-re az akkori forrástól t= 0,01 s maximális pontelmozdulás.

Bibliográfia

Volkenstein V.S.... Feladatgyűjtemény a fizika általános kurzusához. - SPb .: SpetsLit, 2001.

Saveliev I.V... Kérdések és problémák gyűjteménye az általános fizikából. - M .: Nauka, 1998.

Harmonikus rezgések - a szinusz és a koszinusz törvényei szerint végrehajtott rezgések. A következő ábra egy pont koordinátájának időbeli változását mutatja be a koszinusztörvény szerint.

kép

A rezgés amplitúdója

A harmonikus rezgés amplitúdója a test egyensúlyi helyzetből való elmozdulásának legnagyobb értéke. Az amplitúdó különböző értékeket vehet fel. Ez attól függ, hogy a kezdeti pillanatban mennyire mozdítjuk ki a testet az egyensúlyi helyzetből.

Az amplitúdót a kezdeti feltételek határozzák meg, vagyis a kezdeti pillanatban a testnek adott energia. Mivel a szinusz és a koszinusz értéke -1 és 1 között lehet, az egyenletnek tartalmaznia kell egy Xm tényezőt, amely kifejezi a rezgések amplitúdóját. A harmonikus rezgések mozgásegyenlete:

x = Xm * cos (ω0 * t).

Oszcillációs periódus

Az oszcilláció periódusa egy teljes rezgés befejezésének ideje. Az oszcilláció periódusát T betű jelöli. A periódus mértékegységei az időegységeknek felelnek meg. Vagyis SI-ben ezek másodpercek.

Oszcillációs frekvencia - az időegység alatt végrehajtott rezgések száma. A rezgési frekvenciát ν betű jelzi. A rezgési frekvencia az oszcilláció periódusával fejezhető ki.

ν = 1/T.

Frekvencia mértékegységei SI-ben 1/mp. Ezt a mértékegységet Hertznek hívják. Az oszcillációk száma 2 * pi másodperc alatt egyenlő lesz:

ω0 = 2 * pi * ν = 2 * pi / T.

Oszcillációs frekvencia

Ezt az értéket ciklikus rezgési frekvenciának nevezzük. Egyes irodalomban a körfrekvencia elnevezés megtalálható. Az oszcilláló rendszer sajátfrekvenciája a szabad rezgések frekvenciája.

A természetes frekvencia kiszámítása a következő képlettel történik:

A természetes frekvencia az anyag tulajdonságaitól és a terhelés tömegétől függ. Minél nagyobb a rugó merevsége, annál nagyobb a természetes frekvencia. Minél nagyobb a terhelés tömege, annál kisebb a természetes rezgések gyakorisága.

Ez a két következtetés egyértelmű. Minél merevebb a rugó, annál nagyobb gyorsulást kölcsönöz a testnek, ha a rendszer kiegyensúlyozatlan. Minél nagyobb a test tömege, annál lassabb lesz ennek a testnek a sebessége.

Szabad oszcillációs periódus:

T = 2 * pi / ω0 = 2 * pi * √ (m / k)

Figyelemre méltó, hogy kis elhajlási szögeknél a test rugón való rezgési periódusa és az inga lengési periódusa nem függ az oszcillációk amplitúdójától.

Írjuk fel a matematikai inga szabad rezgésének periódusának és gyakoriságának képleteit.

akkor az lesz az időszak

T = 2 * pi * √ (l / g).

Ez a képlet csak kis elhajlási szögekre érvényes. A képletből azt látjuk, hogy a lengési periódus az ingaszál hosszával nő. Minél hosszabb a hossza, annál lassabban fog rezegni a test.

A kilengések periódusa egyáltalán nem függ a terhelés tömegétől. De ez a gravitáció gyorsulásától függ. Ahogy g csökken, az oszcillációs periódus nő. Ezt a tulajdonságot széles körben használják a gyakorlatban. Például a szabad gyorsulás pontos értékének mérésére.