A harmonikus oszcilláció egyenletében az érték áll. Harmonikus rezgések egyenlete. Maxwell elektromágneses térre vonatkozó elméletének alapjai

Több fizikailag teljesen különböző rendszert vettünk figyelembe, és megbizonyosodtunk arról, hogy a mozgási egyenletek ugyanarra a formára redukálódnak

A fizikai rendszerek közötti különbségek csak a mennyiség eltérő meghatározásában nyilvánulnak meg és másban fizikai érzék változó x: ez lehet koordináta, szög, töltés, áram, stb. Vegye figyelembe, hogy ebben az esetben, amint az (1.18) egyenlet szerkezetéből következik, a mennyiségnek mindig az inverz idő dimenziója van.

Az (1.18) egyenlet leírja az ún harmonikus rezgések.

Az (1.18) harmonikus rezgésegyenlet egy másodrendű lineáris differenciálegyenlet (mivel a változó második deriváltját tartalmazza x). Az egyenlet linearitása azt jelenti

ha valamilyen funkciót x (t) megoldás erre az egyenletre, akkor a függvény Cx (t) az ő megoldása is lenne ( C- tetszőleges állandó);

ha funkciókat x 1 (t)és x 2 (t) ennek az egyenletnek a megoldásai, majd ezek összege x 1 (t) + x 2 (t) ugyanennek az egyenletnek a megoldása is lesz.

Bizonyított egy matematikai tétel is, amely szerint a másodrendű egyenletnek két független megoldása van. Minden más megoldás, a linearitás tulajdonságai szerint, lineáris kombinációik formájában kapható. Közvetlen differenciálással könnyen ellenőrizhető, hogy a független függvények teljesítik-e az (1.18) egyenletet. Eszközök, közös döntés ennek az egyenletnek a formája:

ahol C 1,C 2- tetszőleges állandók. Ez a megoldás más formában is bemutatható. Bemutatjuk az értéket

és határozza meg a szöget az arányokkal:

Ekkor az általános megoldást (1.19) így írjuk le

A trigonometriai képletek szerint a zárójelben lévő kifejezés az

Végül elérkeztünk a harmonikus rezgésegyenlet általános megoldása mint:

Nem negatív érték A hívott oszcillációs amplitúdója, - az oszcilláció kezdeti fázisa. Az egész koszinusz érvet - kombinációt - hívják swing fázis.

Az (1.19) és (1.23) kifejezések teljesen egyenértékűek, így az egyszerűség kedvéért bármelyiket használhatjuk. Mindkét megoldás az periodikus funkciók idő. Valójában a szinusz és a koszinusz periodikus periódussal . Ezért a harmonikus rezgéseket végző rendszer különböző állapotai bizonyos idő elteltével ismétlődnek t*, amelynél az oszcilláció fázisa olyan növekedést kap, amely többszöröse :

Ezért ebből következik

A legkevesebb ilyenkor

hívott ingadozások időszaka (1.8. Ábra), és - az körkörös (ciklikus) frekvencia.

Rizs. 1.8.

Használja is frekvencia habozás

Ennek megfelelően a szögfrekvencia egyenlő a per oszcillációk számával másodpercig.

Tehát, ha a rendszer az adott pillanatban t a változó értéke jellemzi x (t), akkor a változó egy idő után ugyanazt az értéket kapja (1.9. ábra), azaz

Ugyanez a jelentés természetesen megismétlődik idővel. 2T, ZT stb.

Rizs. 1.9. Oszcillációs periódus

Az általános megoldás két tetszőleges állandót tartalmaz ( C 1, C 2 vagy A, a), amelynek értékeit kettővel kell meghatározni kezdeti feltételek. Általában (bár nem feltétlenül) szerepüket a változó kezdeti értékei játsszák x (0)és származéka.

Mondjunk példát. A harmonikus oszcillációs egyenlet megoldása (1.19) írja le a rugó inga mozgását. Az önkényes állandók értékei attól függnek, hogy miként hoztuk ki az inga egyensúlyából. Például egy távolabbra húztuk a rugót és kezdeti sebesség nélkül elengedte a labdát. Ebben az esetben

Helyettesítés t = 0 az (1.19)-ben megtaláljuk a konstans értékét C 2

A megoldás a következő:

A terhelés sebességét időben differenciálva találjuk meg

Helyettesítés itt t = 0, megtaláljuk az állandót C 1:

Végül

Az (1.23) -hoz képest azt találjuk az oszcillációk amplitúdója, és kezdeti fázisa nulla :.

Most más módon oldjuk ki az inga egyensúlyát. Üssük meg a terhelést, hogy az felvegye a kezdeti sebességet, de gyakorlatilag ne mozduljon el az ütközés során. Ekkor további kezdeti feltételeink vannak:

megoldásunk az

A rakomány sebessége a jogszabályoknak megfelelően változik:

Itt helyettesítsük:

Ingadozások ilyen folyamatokat hívnak, amelyekben a rendszer többé -kevésbé gyakran megy át az egyensúlyi helyzeten.

Rezgés osztályozás:

a) természetesen (mechanikai, elektromágneses, koncentráció-, hőmérséklet -ingadozások stb.);

b) formában (egyszerű = harmonikus; komplex, amely az egyszerű harmonikus rezgések összege);

v) gyakoriság szerint = periodikus (a rendszer jellemzői egy szigorúan meghatározott időtartam (periódus) után ismétlődnek) és időszakos;

G) az időhöz képest (folyamatos = állandó amplitúdó; bomló = csökkenő amplitúdó);

G) az energián -ingyenes (egyszeri energiabevitel a rendszerbe kívülről = egyszeri külső hatás); kényszerű (többszörös (időszakos) energiaellátás a rendszerbe kívülről = időszakos külső behatás); önrezgések (tartós oszcillációk, amelyek abból adódnak, hogy a rendszer képes szabályozni az állandó forrásból származó energiaáramlást).

A rezgések előfordulásának feltételei.

a) Lengőrendszer (inga felfüggesztésen, rugóinga, lengőkör stb.) jelenléte;

b) Külső energiaforrás jelenléte, amely legalább egyszer képes a rendszert egyensúlyból kimozdítani;

c) kvázi-rugalmas helyreállító erő (azaz az elmozdulással arányos erő) megjelenése a rendszerben;

d) A tehetetlenségi rendszer (tehetetlenségi elem) jelenléte.

Szemléltető példaként tekintsük egy matematikai inga mozgását. Matematikai inga kis méretű testnek nevezik, vékony, nem nyújtható szálra függesztve, amelynek tömege elhanyagolható a test tömegéhez képest. Egyensúlyi helyzetben, amikor az inga függőleges vonal mentén lóg, a gravitációs erőt kiegyensúlyozza a menet feszítőereje
... Amikor az inga egy bizonyos szöggel eltér az egyensúlyi helyzettől α megjelenik a gravitáció érintő komponense F=- mg sinα. A mínusz jel ebben a képletben azt jelenti, hogy az érintő komponens az inga kitérésével ellentétes irányba van irányítva. Ő egy helyreállító erő. Kis α szögeknél (kb. 15-20 °) ez az erő arányos az inga elmozdulásával, azaz kvázi rugalmas, és az inga lengései harmonikusak.

Amikor az inga eltér, felemelkedik egy bizonyos magasságra, pl. bizonyos potenciális energiát kap ( E izzad = mgh). Amikor az inga egyensúlyi helyzetbe kerül, a potenciális energia kinetikus energiává alakul. Abban a pillanatban, amikor az inga áthalad az egyensúlyi helyzeten, a potenciális energia nulla, a mozgási energia pedig maximális. A tömeg jelenléte miatt m(a tömeg fizikai mennyiség, amely meghatározza az anyag tehetetlenségi és gravitációs tulajdonságait) Az inga áthalad az egyensúlyi helyzeten, és az ellenkező irányba tér el. Súrlódás hiányában a rendszerben az inga rezgései a végtelenségig folytatódnak.

A harmonikus rezgés egyenlete a következő:

x (t) = x m cos (ω 0 t +φ 0 ),

ahol NS- a test elmozdulása az egyensúlyi helyzetből;

x m (A) A rezgések amplitúdója, azaz a maximális elmozdulás modulusa,

ω 0 - ciklikus (vagy körkörös) rezgési frekvencia,

t- idő.

A koszinuszjel alatti mennyiség φ = ω 0 t + φ 0 hívott fázis harmonikus rezgés. A fázis határozza meg az eltolást egy adott időpontban t. A fázist szögegységben (radián) fejezzük ki.

Nál nél t= 0 φ = φ 0 , ezért φ 0 hívják a kezdeti fázis.

Az időintervallumot, amelyen keresztül az oszcillációs rendszer egyes állapotai megismétlődnek, nevezzük ingadozások időszaka T.

Az oszcillációs periódussal fordított fizikai mennyiséget nevezzük rezgési frekvencia:
... Oszcillációs frekvencia ν mutatja, hogy hány rezgés történik időegységenként. Frekvencia egység - hertz (Hz) - egy oszcilláció másodpercenként.

Oszcillációs frekvencia ν ciklikus frekvenciával kapcsolatos ω és az oszcillációs időszak T arányok:
.

Vagyis a körfrekvencia a 2π időegység alatt bekövetkező teljes rezgések száma.

Grafikusan a harmonikus rezgések függőségként ábrázolhatók NS tól től t és a vektoros diagramok módszerét.

A vektordiagramok módszere lehetővé teszi a harmonikus rezgések egyenletében szereplő összes paraméter megjelenítését. Valóban, ha az amplitúdóvektor A szögletes φ a tengelyhez NS, majd annak tengelyre vetítése NS egyenlő lesz: x = Acos (φ ) ... Injekció φ és van egy kezdeti szakasz. Ha a vektor A pörögj vele szögsebességω 0, egyenlő a körkörös rezgés frekvenciájával, akkor a vektor végének vetülete a tengely mentén mozog NSés vegye fel az értékeket -A előtt + A, és ennek a vetületnek a koordinátája idővel változni fog a törvény szerint: x(t) = Akötözősaláta(ω 0 t+ φ) ... Az az idő, amelyre az amplitúdóvektornak szüksége van egy teljes fordulat elvégzésére, egyenlő a periódussal T harmonikus rezgések. A vektor másodpercenkénti fordulatszáma megegyezik az oszcillációk gyakoriságával ν .

Harmonikus rezgések - olyan rezgések, amelyekben a fizikai mennyiség idővel változik a harmonikus (szinuszos, koszinusz) törvény szerint. A harmonikus rezgésegyenlet a következőképpen írható fel:
X (t) = A ∙ cos (ω t + φ)
vagy
X (t) = A ∙ sin (ω t + φ)

X - eltérés az egyensúlyi pozíciótól a t időpontban
A - rezgés amplitúdója, az A méret egybeesik az X dimenzióval
ω - ciklikus frekvencia, rad / s (radián másodpercenként)
φ - kezdeti fázis, rad
t - idő, s
T - oszcillációs periódus, s
f - rezgési frekvencia, Hz (Hertz)
π konstans körülbelül 3,14, 2π = 6,28

Az oszcillációs periódust, a hertzben mért gyakoriságot és a ciklikus frekvenciát arányok határozzák meg.
ω = 2πf, T = 2π / ω, f = 1 / T, f = ω / 2π
Ahhoz, hogy emlékezzen ezekre a kapcsolatokra, meg kell értenie a következőket.
Az ω, f, T paraméterek mindegyike egyedileg határozza meg a többit. Az oszcillációk leírásához elegendő az egyik ilyen paraméter használata.

A T periódus egy lengés ideje, kényelmesen használható lengő diagramok ábrázolásához.
Ciklikus frekvencia ω - az oszcillációs egyenletek írására szolgál, lehetővé teszi matematikai számítások elvégzését.
F frekvencia - az időegységre eső rezgések száma, mindenhol használatos. Hertzben mérjük a rádióvevők frekvenciáját, valamint a működési tartományt mobiltelefonok... Hertzben a húrok rezgésének gyakoriságát mérik a hangszerek hangolásakor.

Az (ωt + φ) kifejezést az oszcilláció fázisának, a φ értékét pedig kezdeti fázisnak nevezzük, mivel egyenlő a rezgés fázisával a t = 0 időpontban.

A szinusz és a koszinusz függvény a felek viszonyát írja le derékszögű háromszög... Ezért sokan nem értik, hogy ezek a funkciók hogyan kapcsolódnak a harmonikus rezgésekhez. Ezt az összefüggést egy egyenletesen forgó vektor mutatja. Egy egyenletesen forgó vektor vetülete harmonikus rezgéseket hajt végre.
Az alábbi kép egy példát mutat három harmonikus rezgésre. Frekvenciájában azonos, de fázisában és amplitúdójában eltérő.

Harmonikus oszcillációs egyenlet

A harmonikus rezgésegyenlet megállapítja a test koordinátáinak időfüggését

A koszinuszgráfnak a kezdeti pillanatban van egy maximális értéke, a szinuszgráfnak pedig nulla értéke a kezdeti pillanatban. Ha elkezdjük az oszcilláció vizsgálatát az egyensúlyi helyzetből, akkor az oszcilláció megismétli a szinuszot. Ha elkezdjük figyelembe venni az oszcillációt a maximális eltérés helyzetéből, akkor az oszcilláció leírja a koszinuszt. Vagy egy ilyen rezgés leírható a szinuszos képlettel egy kezdeti fázissal.

A sebesség és a gyorsulás változása harmonikus rezgéssel

Nemcsak a test koordinátája változik az idő múlásával a szinusz vagy a koszinusz törvény szerint. De az olyan mennyiségek, mint az erő, a sebesség és a gyorsulás is ugyanúgy változnak. Az erő és a gyorsulás akkor maximális, ha a rezgő test a szélső helyzetekben van, ahol az elmozdulás maximális, és egyenlő nullával, amikor a test áthalad az egyensúlyi helyzeten. A sebesség, éppen ellenkezőleg, szélső helyzetekben egyenlő a nullával, és amikor a test áthalad az egyensúlyi helyzeten, eléri a maximális értékét.

Ha az oszcillációt a koszinusz törvény szerint írjuk le

Ha az oszcillációt a szinusztörvény szerint írjuk le

A sebesség és a gyorsulás maximális értékei

A v (t) és a (t) függőség egyenleteinek elemzése után sejthető, hogy a sebesség és a gyorsulás maximális értékeit akkor veszik fel, ha a trigonometrikus tényező 1 vagy -1. A képlet határozza meg

« Fizika - 11. évfolyam

A gyorsulás a koordináta második deriváltja.

A pont pillanatnyi sebessége a pont koordinátájának időderiváltja.
Egy pont gyorsulása a sebességének időhöz viszonyított deriváltja, vagy a koordinátának az időhöz viszonyított második deriváltja.
Ezért az inga mozgásegyenlete a következőképpen írható fel:

ahol x "a koordináta második deriváltja.

Szabad rezgésekkel a koordináta NS idővel változik úgy, hogy a koordináta második deriváltja az idő függvényében egyenesen arányos magával a koordinátával és ellentétes előjelben.

Harmonikus rezgések

Matematikából: a szinusz és a koszinusz második deriváltjai az érvelésükben magukkal a függvényekkel arányosak, ellentétes előjellel, és más függvények nem rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal.
Ezért:
A szabad rezgéseket végző test koordinátája idővel változik a szinusz vagy a koszinusz törvény szerint.

Időszakos változások fizikai mennyiség időtől függően a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint előforduló ún harmonikus rezgések.

A rezgés amplitúdója

Amplitúdó a harmonikus rezgéseket a test legnagyobb elmozdulási modulusának nevezzük az egyensúlyi helyzetből.

Az amplitúdót a kezdeti feltételek, vagy inkább a testnek adott energia határozza meg.

A test koordinátáinak időfüggőségének grafikonja egy koszinusz.

x = x m cos ω 0 t

Ekkor az inga szabad rezgéseit leíró mozgásegyenlet:

A harmonikus rezgések időtartama és gyakorisága.

Ingadozások esetén a testmozgások időszakosan megismétlődnek.
A T időintervallumot, amely alatt a rendszer egy teljes rezgésciklust teljesít, nevezzük ingadozások időszaka.

A rezgési frekvencia az időegységre eső rezgések száma.
Ha a T időben egy rezgés következik be, akkor az oszcillációk száma másodpercenként

A Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) a frekvencia mértékegységét ún hertz(Hz) tiszteletére Német fizikus G. Hertz.

Az oszcillációk száma 2π -ben egyenlő:

A ω 0 mennyiség a ciklikus (vagy körkörös) rezgési frekvencia.
Egy periódusnak megfelelő idő elteltével a rezgések megismétlődnek.

Frekvencia szabad rezgések hívják természetes frekvencia oszcillációs rendszer.
Gyakran a rövidség kedvéért a ciklikus frekvenciát egyszerűen frekvenciának nevezik.

A szabad rezgések gyakoriságának és periódusának függősége a rendszer tulajdonságaitól.

1.tavaszi inga számára

A rugó inga természetes rezgési frekvenciája egyenlő:

Minél nagyobb, minél nagyobb a rugómerevség k, és minél kisebb, annál nagyobb az m testtömeg.
A merev rugó nagyobb gyorsulást kölcsönöz a testnek, gyorsabban megváltoztatja a test sebességét, és minél masszívabb a test, annál lassabban változtatja a sebességet az erő hatására.

Az oszcillációs periódus a következő:

A rugóinga lengési periódusa nem függ a rezgések amplitúdójától.

2.menetingához

A matematikai inga lengésének természetes gyakorisága a menet függőleges irányból való kis eltérési szögein az inga hosszától és a gravitáció gyorsulásától függ:

Ezen ingadozások periódusa egyenlő

A menetinga lengési periódusa kis elhajlási szögeknél nem függ a rezgések amplitúdójától.

A lengési periódus az inga hosszával növekszik. Nem függ az inga tömegétől.

Minél kisebb g, annál hosszabb az inga rezgési periódusa, és ennélfogva annál lassabban jár az inga óra. Tehát egy rúd terhelése formájában ingával ellátott óra egy nap alatt majdnem 3 másodperccel lemarad, ha az alagsorból a Moszkvai Egyetem felső emeletére emelik (magasság 200 m). És ez csak annak köszönhető, hogy a gravitáció gyorsulása a magassággal csökken.