Slough -t hívják, ha nincs megoldása. Hogyan találjuk meg a lineáris egyenletrendszer általános és sajátos megoldását. Megoldás egy új változó bevezetésével

Az iskolában mindannyian tanulmányoztunk egyenleteket, és minden bizonnyal egyenletrendszereket. De nem sokan tudják, hogy számos módszer létezik ezek megoldására. Ma részletesen elemezzük a lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásának minden módját, amelyek több mint két egyenlőségből állnak.

Történelem

Ma már ismert, hogy az egyenletek és rendszereik megoldásának művészete az ókori Babilonból és Egyiptomból ered. Az egyenlőség azonban a szokásos formában megjelent az "=" egyenlőségjel megjelenése után, amelyet 1556 -ban vezetett be a Record angol matematikus. Ezt a jelet egyébként okkal választották: két párhuzamos egyenlő szegmenst jelent. Valóban nincs jobb példa az egyenlőségre.

A modern alapítója betűjelölések ismeretlenek és jelek a diplomák egy francia matematikus, de jelölései jelentősen különböztek a maiétól. Például egy ismeretlen szám négyzetét Q betűvel (latinul "quadratus"), a kockát C betűvel (latinul "cubus") jelölte. Ez a jelölés most kínosnak tűnik, de akkor ez volt a legérthetőbb módja lineáris algebrai egyenletrendszerek írásának.

Az akkori megoldási módszerek hátránya azonban az volt, hogy a matematikusok csak pozitív gyökereket vettek figyelembe. Talán ennek az az oka, hogy a negatív értékeknek nem volt praktikus alkalmazás... Így vagy úgy, Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano és Rafael Bombelli olasz matematikusok voltak az elsők, akik a XVI. A modern megjelenés, a megoldás fő módszere (a megkülönböztetőn keresztül) csak a 17. században jött létre Descartes és Newton műveinek köszönhetően.

A 18. század közepén Gabriel Kramer svájci matematikus megtalálta új út a lineáris egyenletrendszerek megoldásának megkönnyítése érdekében. Ezt a módszert később róla nevezték el, és a mai napig használjuk. De Cramer módszeréről kicsit később fogunk beszélni, de egyenlőre a rendszertől külön tárgyaljuk a lineáris egyenleteket és azok megoldására szolgáló módszereket.

Lineáris egyenletek

A lineáris egyenletek a legegyszerűbb változók (egyenletek). Algebrai besorolásúak. általános formában a következőképpen írva: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n = b. Szükségünk lesz az ő ábrázolásukra ebben a formában a rendszerek és mátrixok további összeállításakor.

Lineáris algebrai egyenletek rendszerei

Ennek a kifejezésnek a meghatározása a következő: ez az egyenletek halmaza, amelyek közös ismeretlen mennyiségekkel és közös döntés... Általában az iskolában mindent két vagy akár három egyenlettel rendelkező rendszerek oldottak meg. Vannak azonban olyan rendszerek, amelyek négy vagy több összetevőből állnak. Először találjuk ki, hogyan írhatjuk le őket, hogy a jövőben kényelmes legyen megoldani. Először is, a lineáris algebrai egyenletrendszerek jobban fognak kinézni, ha minden változót x -nek írunk a megfelelő indexszel: 1,2,3 és így tovább. Másodszor, minden egyenletet kanonikus formába kell hozni: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n = b.

Mindezen lépések után elkezdhetjük elmondani, hogyan lehet megoldást találni a lineáris egyenletrendszerekre. A mátrixok nagyon hasznosak ehhez.

Mátrixok

A mátrix egy táblázat, amely sorokból és oszlopokból áll, és elemei metszéspontjukon vannak. Ezek lehetnek konkrét értékek vagy változók. Leggyakrabban az elemek kijelöléséhez alárendelések kerülnek alá (például egy 11 -es vagy 23 -as). Az első index a sorszám, a második az oszlop. Különféle műveletek hajthatók végre mátrixokon, valamint bármely más matematikai elemen. Így a következőket teheti:

2) Szorozzuk meg a mátrixot tetszőleges számmal vagy vektorral.

3) Transzponálás: alakítsa át a mátrix sorait oszlopokká, az oszlopokat pedig sorokká.

4) Szorozzuk meg a mátrixokat, ha egyikük sorainak száma megegyezik a másik oszlopainak számával.

Mindezen technikákat részletesebben tárgyaljuk, mivel hasznosak lesznek számunkra a jövőben. A mátrixok kivonása és összeadása nagyon egyszerű. Mivel azonos méretű mátrixokat veszünk, az egyik táblázat minden eleme megfelel a másik elemének. Így összeadjuk (kivonjuk) ezt a két elemet (fontos, hogy ugyanazon a helyen álljanak a mátrixukban). Amikor egy mátrixot megszorozunk egy számmal vagy vektorral, csak meg kell szorozni a mátrix minden elemét ezzel a számmal (vagy vektorral). Az átültetés nagyon érdekes folyamat. Néha nagyon érdekes látni őt való élet például amikor megváltoztatja táblagépének vagy telefonjának tájolását. Az asztalon lévő ikonok mátrixok, és amikor megváltoztatja a pozíciót, az átültetődik és szélesebb lesz, de csökken a magassága.

Elemezzük egy olyan folyamatot is, mint Bár nem hasznos számunkra, mégis hasznos lesz tudni. Két mátrixot csak akkor lehet megszorozni, ha az egyik táblázat oszlopainak száma megegyezik a másikban lévő sorok számával. Most vegyük az egyik mátrix sorának elemeit és a másik oszlop elemeit. Szorozzuk meg őket egymással, majd adjuk össze őket (azaz például az a 11 és a 12 elemek szorzata b 12 és b 22 egyenlő lesz: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Így megkapjuk a táblázat egyik elemét, és hasonló módon tovább töltjük.

Most elkezdhetjük mérlegelni a lineáris egyenletrendszer megoldását.

Gauss módszer

Ezt a témát az iskolában kezdik vitatni. Jól ismerjük a "két lineáris egyenletrendszer" fogalmát, és képesek vagyunk azokat megoldani. De mi van akkor, ha az egyenletek száma több mint kettő? Ez segít nekünk

Természetesen ezt a módszert kényelmes használni, ha mátrixot készít a rendszerből. De nem tudod átalakítani és megoldani a legtisztább formájában.

Tehát hogyan oldható meg a lineáris Gauss -egyenlet rendszere ezzel a módszerrel? Egyébként, bár ezt a módszert róla nevezték el, az ókorban fedezték fel. Gauss a következőket javasolja: műveletek végrehajtása egyenletekkel annak érdekében, hogy végül a teljes halmazt lépésről lépésre csökkentse. Vagyis szükséges, hogy felülről lefelé (ha helyesen van elhelyezve) az első egyenlettől az utolsóig csökkenjen egy ismeretlen. Más szóval, meg kell győződnünk arról, hogy mondjuk három egyenletet kapunk: az elsőben - három ismeretlen, a másodikban - kettőt, a harmadikban - egyet. Ezután az utolsó egyenletből megkeressük az első ismeretlent, az értékét behelyettesítjük a második vagy az első egyenletbe, majd megkeressük a fennmaradó két változót.

Cramer módszere

Ennek a módszernek az elsajátításához létfontosságú a mátrixok összeadásának, kivonásának képessége, és meg kell találnia a meghatározókat is. Ezért, ha mindezt rosszul teszi, vagy egyáltalán nem tudja, hogyan kell tanulnia és gyakorolnia.

Mi ennek a módszernek a lényege, és hogyan tehetjük úgy, hogy lineáris Cramer -egyenletrendszert kapjunk? Minden nagyon egyszerű. A lineáris algebrai egyenletrendszer numerikus (majdnem mindig) együtthatóiból mátrixot kell felépítenünk. Ehhez egyszerűen az ismeretlenek elé vesszük a számokat, és a rendszerbe írt sorrendben a táblázatba helyezzük őket. Ha a szám előtt "-" jel van, akkor írjon le egy negatív együtthatót. Összeállítottuk tehát az ismeretlenek együtthatóinak első mátrixát, nem számítva az egyenlőségjelek utáni számokat (természetesen az egyenletet kanonikus formára kell redukálni, amikor csak egy szám van a jobb oldalon, és minden ismeretlen együtthatóval bal oldalon vannak). Ezután több mátrixot kell létrehoznia - egyet minden változóhoz. Ehhez az első mátrixban cserélje ki az egyes oszlopokat az együtthatókkal az egyenlőségjel utáni számoszlopra. Így több mátrixot kapunk, majd megtaláljuk azok meghatározóit.

Miután megtaláltuk a selejtezőket, az ügy kicsi. Van egy kezdeti mátrixunk, és számos eredő mátrix létezik, amelyek különböző változóknak felelnek meg. A rendszermegoldások megszerzéséhez a kapott táblázat determinánsát elosztjuk a kezdeti táblázat determinánsával. A kapott szám az egyik változó értéke. Hasonlóképpen minden ismeretlent megtalálunk.

Más módszerek

Számos további módszer létezik a lineáris egyenletrendszerek megoldására. Például az úgynevezett Gauss-Jordan módszer, amellyel megoldásokat keresnek a rendszerre másodfokú egyenletekés a mátrixok használatához is kapcsolódik. Létezik egy Jacobi módszer is a lineáris algebrai egyenletrendszer megoldására. Ez a legegyszerűbb alkalmazkodni a számítógéphez, és a számítástechnikában használják.

Nehéz esetek

A komplexitás általában akkor fordul elő, ha az egyenletek száma kisebb, mint a változók száma. Akkor biztosan kijelenthetjük, hogy vagy a rendszer következetlen (vagyis nincs gyökere), vagy megoldásainak száma a végtelenségig hajlik. Ha megvan a második eset, akkor le kell írnunk egy lineáris egyenletrendszer általános megoldását. Legalább egy változót tartalmaz.

Következtetés

Itt a végére értünk. Összefoglalva: elemeztük, mi a rendszer és a mátrix, megtanultuk, hogyan lehet általános megoldást találni a lineáris egyenletrendszerre. Ezen kívül más lehetőségeket is mérlegeltek. Kitaláltuk, hogyan oldják meg a lineáris egyenletrendszert: a Gauss -módszert és Beszéltünk a nehéz esetekről és más megoldási módokról.

Valójában ez a téma sokkal kiterjedtebb, és ha jobban meg szeretné érteni, akkor javasoljuk, hogy olvasson több szakirodalmat.

Lineáris algebrai egyenletrendszer. Alapfogalmak. Mátrix jelölés.

Lineáris algebrai egyenletrendszer meghatározása. Rendszermegoldás. A rendszerek osztályozása.

Alatt lineáris algebrai egyenletrendszer(SLAE) a rendszert jelenti

Az aij paramétereket hívják együtthatókés bi - szabad tagok SLAU. Néha az egyenletek és ismeretlenek számának hangsúlyozása érdekében azt mondják, hogy „m × n lineáris egyenletrendszer”, ezzel jelezve, hogy az SLAE m egyenletet és n ismeretlenet tartalmaz.

Ha az összes szabad kifejezés bi = 0, akkor az SLAE meghívásra kerül homogén... Ha az ingyenes tagok között van legalább egy nulla, akkor az SLAE -t hívják heterogén.

Az SLAE megoldásával(1) bármely rendezett számgyűjtemény (α1, α2, ..., αn) meghívásra kerül, ha ennek a gyűjteménynek az elemei, adott sorrendben helyettesítve az ismeretlen x1, x2, ..., xn helyett, minden egyenletet konvertálnak az SLAE -ből az identitásba.

Bármely homogén SLAE rendelkezik legalább egy megoldással: nulla(más terminológiával - triviális), azaz x1 = x2 =… = xn = 0.

Ha az SLAE (1) rendelkezik legalább egy megoldással, akkor az ún közös, ha nincs megoldás - következetlen... Ha egy közös SLAE -nek pontosan egy megoldása van, akkor az ún egy bizonyos ha a megoldások végtelen halmaza - határozatlan.

Mátrix jelölés lineáris algebrai egyenletrendszerekhez.

Az egyes SLAE -khez több mátrix társítható; ráadásul maga az SLAE is mátrixegyenlet formájában írható fel. Az SLAE (1) esetében vegye figyelembe a következő mátrixokat:

Az A mátrixot ún rendszermátrix... Ennek a mátrixnak az elemei az adott SLAE együtthatói.

Az A˜ mátrixot ún mátrix kiterjesztett rendszer... Ezt úgy kapjuk meg, hogy a rendszer mátrixához hozzáadunk egy oszlopot, amely tartalmazza a b1, b2, ..., bm szabad kifejezéseket. Általában ezt az oszlopot függőleges vonal választja el az egyértelműség érdekében.

A B oszlopmátrixot nevezzük szabad tagok mátrixa, és az X oszlopmátrix az ismeretlenek mátrixa.

A fenti jelölés használatával az SLAE (1) mátrixegyenlet formájában írható fel: A⋅X = B.

jegyzet

A rendszerhez tartozó mátrixokat többféleképpen is meg lehet írni: minden a figyelembe vett SLAE változóinak és egyenleteinek sorrendjétől függ. De mindenesetre az adott SLAE minden egyenletében az ismeretlenek sorrendjének azonosnak kell lennie

Kronecker-Capelli tétel. Lineáris egyenletrendszerek vizsgálata a kompatibilitás érdekében.

Kronecker-Capelli tétel

A lineáris algebrai egyenletek rendszere akkor és csak akkor következetes, ha a rendszer mátrixának rangja megegyezik a rendszer kiterjesztett mátrixának rangjával, azaz rangA = rangA˜.

Egy rendszert közösnek nevezünk, ha legalább egy megoldása van. A Kronecker-Capelli-tétel a következőket mondja: ha rangA = rangA˜, akkor van megoldás; ha rangA ≠ rangA˜, akkor ennek az SLAE -nek nincs megoldása (következetlen). A megoldások számával kapcsolatos kérdésre a választ a Kronecker-Capelli-tétel következménye adja. A következtetés megfogalmazásakor az n betűt használják, amely megegyezik az adott SLAE változóinak számával.

Következtetés a Kronecker-Capelli-tételből

Ha ringA ≠ rangA˜, akkor az SLAE következetlen (nincs megoldás).

Ha ringA = rangA˜

Ha rangA = rangA˜ = n, akkor az SLAE határozott (pontosan egy megoldása van).

Ne feledje, hogy a fenti tétel és annak következményei nem jelzik, hogyan lehet megtalálni a megoldást az SLAE -re. Segítségükkel csak azt lehet megtudni, hogy léteznek -e ezek a megoldások, és ha léteznek, akkor hány.

SLAE -k megoldásának módszerei

Cramer módszere

Cramer módszerének célja azoknak a lineáris algebrai egyenletrendszereknek (SLAE) a megoldása, amelyeknél a rendszer mátrixának determinánsa nem nulla. Ez természetesen azt jelenti, hogy a rendszer mátrixa négyzet (a determináns fogalma csak négyzet mátrixok esetén létezik). Cramer módszerének lényege három pontban fejezhető ki:

Töltsük fel a rendszer mátrixának determinánsát (más néven a rendszer determinánsát), és győződjünk meg arról, hogy nem egyenlő nullával, azaz Δ ≠ 0.

Minden xi változóra össze kell állítani a Δ determinánsból kapott Δ X i determinánst úgy, hogy az i.

Keresse meg az ismeretlenek értékeit az xi = Δ X i / Δ képlettel

Lineáris algebrai egyenletek rendszereinek megoldása inverz mátrix segítségével.

A lineáris algebrai egyenletek (SLAE) rendszereinek inverz mátrixot használó megoldása (néha ezt a módszert mátrix -módszernek vagy inverz mátrix -módszernek is nevezik) előzetes megismerést igényel egy olyan fogalommal, mint az SLAE mátrix formája. Az inverz mátrix módszer azon lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására szolgál, amelyeknél a rendszer mátrixának determinánsa nem nulla. Ez természetesen azt jelenti, hogy a rendszer mátrixa négyzet (a determináns fogalma csak négyzet mátrixok esetén létezik). Az inverz mátrix módszer lényege három pontban fejezhető ki:

Írjon fel három mátrixot: az A rendszer mátrixát, az X ismeretlenek mátrixát, a B szabad tagok mátrixát.

Keresse meg az A -1 mátrix inverzét!

Az X = A -1 ⋅B egyenlőséget használva kapjon megoldást az adott SLAE -re.

Gauss módszer. Példák lineáris algebrai egyenletek Gauss -módszerrel történő megoldására.

A Gauss -módszer az egyik legegyszerűbb és legegyszerűbb megoldás lineáris algebrai egyenletrendszerek(SLAE): mind homogén, mind heterogén. Röviden, ennek a módszernek a lényege az ismeretlenek egymást követő felszámolása.

A Gauss -módszerrel engedélyezett konverziók:

Két sor helyének megváltoztatása;

A karakterlánc összes elemének megszorzása valamilyen számmal, amely nem egyenlő nullával.

Az egyik sor elemeihez hozzáadva a másik sor megfelelő elemeit, szorozva bármely tényezővel.

Húzzon át egy vonalat, ahol minden elem nulla.

Húzza át az ismétlődő sorokat.

Ami az utolsó két pontot illeti: az ismétlődő sorok a megoldás bármely szakaszában törölhetők a Gauss -módszerrel - természetesen, egyiküket elhagyva. Például, ha a # 2, # 5, # 6 sorok ismétlődnek, akkor az egyiket elhagyhatja - például az 5. sort. Ebben az esetben a 2. és 6. sor törlődik.

A nulla sorok eltávolításra kerülnek a kibővített rendszermátrixból, ahogy megjelennek.

A lineáris algebrai egyenletek (SLAE) rendszereinek megoldása kétségtelenül a lineáris algebrai kurzus legfontosabb témája. A matematika minden ágából származó számos probléma lineáris egyenletrendszerek megoldására redukálódik. Ezek a tényezők magyarázzák a cikk létrehozásának okát. A cikk anyaga úgy van kiválasztva és felépítve, hogy a segítségével megteheti

• válassza ki az optimális módszert lineáris algebrai egyenletrendszerének megoldásához,
• tanulmányozza a választott módszer elméletét,
• oldja meg lineáris egyenletrendszerét, ha részletesen megvizsgálja a tipikus példák és problémák elemzett megoldásait.

A cikk anyagának rövid leírása.

Először is megadjuk az összes szükséges definíciót és fogalmat, és bevezetjük a jelölést.

Ezután megvizsgáljuk azokat a módszereket lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására, amelyekben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlen változók számával, és amelyek egyedi megoldással rendelkeznek. Először is Cramer módszerével foglalkozunk, másodszor mátrix módszert mutatunk be az ilyen egyenletrendszerek megoldására, harmadszor pedig elemezzük a Gauss -módszert (az ismeretlen változók egymás utáni kiküszöbölésének módszerét). Az elmélet megszilárdítása érdekében mindenképpen több SLAE -t fogunk megoldani különböző módon.

Ezt követően rátérünk az általános alakú lineáris algebrai egyenletek megoldási rendszereire, amelyekben az egyenletek száma nem esik egybe az ismeretlen változók számával, vagy a rendszer fő mátrixa elfajult. Fogalmazzuk meg a Kronecker - Capelli tételt, amely lehetővé teszi az SLAE -k kompatibilitásának megállapítását. Elemezzük a rendszerek megoldását (kompatibilitásuk esetén) a mátrix alapmoll fogalmának felhasználásával. Megfontoljuk a Gauss -módszert is, és részletesen leírjuk a példák megoldásait.

Mindenképpen foglalkozunk a lineáris algebrai egyenletek homogén és inhomogén rendszereinek általános megoldásának felépítésével. Adjuk meg a megoldások alapvető rendszerének fogalmát, és mutassuk be, hogyan íródik az SLAE általános megoldása a megoldások alapvető rendszerének vektorjai segítségével. A jobb megértés érdekében nézzünk néhány példát.

Összefoglalva, figyelembe vesszük a lineárisra redukálódó egyenletrendszereket, valamint különféle problémákat, amelyek megoldásában SLAE -k merülnek fel.

Oldal navigáció.

Fogalommeghatározások, fogalmak, megnevezések.

Megvizsgáljuk p lineáris algebrai egyenletek rendszereit n ismeretlen változóval (p lehet egyenlő n)

Ismeretlen változók, - együtthatók (néhány valós vagy összetett szám), - szabad kifejezések (valós vagy összetett számok is).

Ezt a SLAE jelölési formát nevezik koordináta.

V mátrix forma jelölés, ennek az egyenletrendszernek a formája van,
ahol - a rendszer fő mátrixa, - ismeretlen változók mátrixoszlopa, - szabad tagok mátrixoszlopa.

Ha az A mátrixhoz (n + 1). Oszlopként hozzáadjuk a szabad tagok mátrixoszlopát, akkor kapjuk az ún. kibővített mátrix lineáris egyenletrendszerek. Általában a kibővített mátrixot T betű jelöli, a szabad tagok oszlopát pedig függőleges vonal választja el a többi oszloptól, azaz

Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásával ismeretlen változók értékkészlete, amely a rendszer összes egyenletét identitásokká alakítja. Az ismeretlen változók adott értékeinek mátrixegyenlete is identitássá változik.

Ha egy egyenletrendszernek van legalább egy megoldása, akkor az ún közös.

Ha az egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor az ún következetlen.

Ha az SLAE egyedi megoldással rendelkezik, akkor az ún bizonyos; ha több megoldás létezik, akkor - határozatlan.

Ha a rendszer minden egyenletének szabad feltételei nulla , akkor a rendszert hívják homogén, másképp - heterogén.

Lineáris algebrai egyenletek elemi rendszereinek megoldása.

Ha a rendszer egyenleteinek száma megegyezik az ismeretlen változók számával, és a fő mátrixának determinánsa nem egyenlő nullával, akkor az ilyen SLAE -ket alapvető... Az ilyen egyenletrendszerek egyedi megoldással rendelkeznek, és homogén rendszer esetén minden ismeretlen változó nulla.

A középiskolában elkezdtük tanulmányozni az ilyen SLAU -kat. Megoldásukkor vettünk egy egyenletet, egy ismeretlen változót fejeztünk ki másokkal, és behelyettesítettük a fennmaradó egyenletekbe, majd vettük a következő egyenletet, kifejeztük a következő ismeretlen változót és helyettesítettük más egyenletekbe stb. Vagy a hozzáadás módszerét használták, vagyis két vagy több egyenletet adtak hozzá néhány ismeretlen változó kiküszöböléséhez. Ezekkel a módszerekkel nem foglalkozunk részletesen, mivel valójában a Gauss -módszer módosításai.

A lineáris egyenlet elemi rendszereinek megoldásának fő módszerei a Cramer módszer, a mátrix módszer és a Gauss módszer. Elemezzük őket.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerével.

Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk egy lineáris algebrai egyenletrendszert

amelyben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlen változók számával és a rendszer fő mátrixának determinánsa nem nulla, azaz ,.

Legyen a rendszer fő mátrixának meghatározója, és - a mátrixok meghatározói, amelyeket A -ból cserélve kapunk 1., 2., ..., n oszlop, illetve a szabad tagok oszlopa:

Ezzel a jelöléssel az ismeretlen változókat Cramer módszerének képleteivel számítják ki ... Így találjuk meg a lineáris algebrai egyenletrendszer Cramer -módszerrel történő megoldását.

Példa.

Cramer módszere .

Megoldás.

A rendszer fő mátrixának formája van ... Számítsuk ki a determinánsát (ha szükséges, lásd a cikket):

Mivel a rendszer fő mátrixának meghatározója nem nulla, a rendszer egyedi megoldással rendelkezik, amely Cramer módszerével megtalálható.

Összeállítjuk és kiszámítjuk a szükséges determinánsokat (a determinánst úgy kapjuk meg, hogy az A mátrix első oszlopát szabad tagok oszlopával helyettesítjük, a determinánst - a második oszlopot szabadtagok oszlopával helyettesítve, - az A mátrix harmadik oszlopát szabad tagok oszlopával ):

Keressen ismeretlen változókat a képletek alapján :

Válasz:

A Cramer -módszer fő hátránya (ha hátránynak nevezhető) a determinánsok kiszámításának összetettsége, ha a rendszerben lévő egyenletek száma több mint három.

Lineáris algebrai egyenletek rendszereinek megoldása mátrix módszerrel (inverz mátrix használatával).

Adjuk meg a lineáris algebrai egyenletek rendszerét mátrix formában, ahol az A mátrixnak n -es dimenziója van, és determinánsa nem nulla.

Mivel az A mátrix megfordítható, vagyis van egy inverz mátrix. Ha az egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk a bal oldallal, akkor képletet kapunk az ismeretlen változók oszlopmátrixának megkeresésére. Tehát megkaptuk a lineáris algebrai egyenletrendszer megoldását mátrix módszerrel.

Példa.

Oldja meg a lineáris egyenletrendszert mátrix módszer.

Megoldás.

Írjuk át az egyenletrendszert mátrix formában:

Mivel

akkor az SLAE megoldható mátrix módszerrel. Az inverz mátrix használatával a megoldás erre a rendszerre megtalálható .

Konstruáljunk inverz mátrixot az A mátrix elemeinek algebrai kiegészítéseiből álló mátrix segítségével (ha szükséges, lásd a cikket):

Marad a számítás - ismeretlen változók mátrixa az inverz mátrix szorzatával szabad tagok oszlopmátrixához (ha szükséges, olvassa el a cikket):

Válasz:

vagy más jelölésben x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

A lineáris algebrai egyenletrendszerek mátrix módszerrel történő megoldáskeresésének fő problémája az inverz mátrix megtalálásának összetettsége, különösen a harmadiknál ​​magasabb rendű négyzetmátrixok esetén.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel.

Tegyük fel, hogy megoldást kell találnunk egy n ismeretlen változót tartalmazó lineáris egyenletrendszerre
amelynek mátrixának meghatározója nem nulla.

A Gauss -módszer lényege az ismeretlen változók egymás utáni kiküszöböléséből áll: először is x 1 ki van zárva a rendszer minden egyenletéből, kezdve a másodikkal, majd x 2 kizárásra kerül minden egyenletből, a harmadikkal kezdve, és így tovább, amíg csak az ismeretlen változó xn marad az utolsó egyenletben. A rendszer egyenleteinek ilyen ismeretlen változók egymás utáni kiküszöbölésére való átalakításának folyamatát nevezzük a Gauss -módszer közvetlen útján... A Gauss-módszer előremeneti futásának befejezése után x n az utolsó egyenletből kerül megállapításra, ezen érték felhasználásával x n-1 kiszámítása az utolsó előtti egyenletből, és így tovább, x 1 az első egyenletből. Az ismeretlen változók kiszámításának folyamatát, amikor a rendszer utolsó egyenletéről az elsőre lépünk, hívjuk visszamenő Gauss -módszer.

Írjuk le röviden az ismeretlen változók kiküszöbölésére szolgáló algoritmust.

Feltételezzük, hogy mivel ezt mindig elérhetjük a rendszer egyenleteinek átrendezésével. Távolítsa el az ismeretlen x 1 változót a rendszer minden egyenletéből, kezdve a másodiktól. Ehhez a rendszer második egyenletéhez hozzáadjuk az elsőt, megszorozva, a harmadik egyenlethez hozzáadjuk az elsőt, megszorozva és így tovább, az n-edik egyenlethez hozzáadjuk az elsőt, megszorozva. Az ilyen transzformációk utáni egyenletrendszer a formáját veszi fel

hol, és .

Ugyanahhoz az eredményhez jutnánk, ha x 1 -et más ismeretlen változókban fejeznénk ki a rendszer első egyenletében, és a kapott kifejezést minden más egyenlettel helyettesítenénk. Így az x 1 változó a másodikból kiindulva minden egyenletből kizárt.

Ezután hasonló módon járunk el, de csak a kapott rendszer egy részével, amelyet az ábra jelöl

Ehhez a rendszer harmadik egyenletéhez hozzáadjuk a másodikat szorozva, a negyedik egyenlethez hozzáadjuk a másodikat szorozva, és így tovább, az n-edik egyenlethez hozzáadjuk a másodikat szorozva. Az ilyen transzformációk utáni egyenletrendszer a formáját veszi fel

hol, és ... Így az x 2 változó minden egyenletből kizárt, a harmadikkal kezdve.

Ezután folytatjuk az ismeretlen x 3 kiküszöbölését, miközben hasonlóan járunk el a rendszer ábrán jelzett részével.

Tehát folytatjuk a Gauss -módszer közvetlen menetét, amíg a rendszer el nem éri a formáját

Ettől a pillanattól kezdjük a Gauss-módszer fordított menetét: xn-t az utolsó egyenletből számoljuk ki, mivel az xn kapott értékét felhasználva az utolsó előtti egyenletből x n-1-et találunk, és így tovább, x 1-et az első egyenlet.

Példa.

Oldja meg a lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel.

Megoldás.

Távolítsa el az ismeretlen x 1 változót a rendszer második és harmadik egyenletéből. Ehhez adja hozzá a második és a harmadik egyenlet mindkét részéhez az első egyenlet megfelelő részeit, szorozva, ill.

Most kizárjuk az x 2 -t a harmadik egyenletből, ha bal és jobb oldalához hozzáadjuk a második egyenlet bal és jobb oldalát, megszorozva:

Ezzel befejeződik a Gauss -módszer előre lépése, elkezdjük a fordított lépést.

A kapott egyenletrendszer utolsó egyenletéből x 3 -at találunk:

A második egyenletből azt kapjuk.

Az első egyenletből megtaláljuk a fennmaradó ismeretlen változót, és ez befejezi a Gauss -módszer fordított menetét.

Válasz:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Általános formájú lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása.

Általában a p rendszer egyenleteinek száma nem esik egybe az ismeretlen n változók számával:

Az ilyen SLAE -knek nincsenek megoldásaik, egyetlen megoldásuk van, vagy végtelen sok megoldásuk van. Ez az állítás vonatkozik az egyenletrendszerekre is, amelyek alapmátrixa négyzet alakú és degenerált.

A Kronecker - Capelli tétel.

Mielőtt megoldást találna a lineáris egyenletrendszerre, meg kell állapítani annak kompatibilitását. A választ arra a kérdésre, hogy az SLAE kompatibilis és mikor nem kompatibilis, az adja meg a Kronecker - Capelli tétel:
ahhoz, hogy n ismeretlen p egyenletrendszer (p lehet egyenlő n -vel) konzisztens, szükséges és elegendő, hogy a rendszer fő mátrixának rangja egyenlő legyen a kiterjesztett mátrix rangjával, azaz rangjával (A) = Rang (T).

Vegyük példaként a Kronecker - Capelli -tétel alkalmazását a lineáris egyenletrendszer kompatibilitásának meghatározására.

Példa.

Tudja meg, hogy a lineáris egyenletek rendszere megoldásokat.

Megoldás.

... Használjuk a határos kiskorúak módszert. A másodrendű kiskorú nem nulla. Soroljuk fel a vele szomszédos harmadrendű kiskorúakat:

Mivel a harmadik rend minden határoló kiskorúja nulla, a fő mátrix rangja kettővel egyenlő.

Viszont a kiterjesztett mátrix rangja egyenlő hárommal, mivel a harmadrendű kiskorú

nem nulla.

És így, Rang (A), ezért a Kronecker - Capelli tétel alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy az eredeti lineáris egyenletrendszer következetlen.

Válasz:

A rendszernek nincs megoldása.

Tehát megtanultuk megállapítani a rendszer következetlenségét a Kronecker - Capelli tétel segítségével.

De hogyan lehet megoldást találni az SLAE -re, ha a kompatibilitását megállapították?

Ehhez szükségünk van egy mátrix alapmollorának és egy mátrix rangú tételének fogalmára.

Az A mátrix legmagasabb rendű mollját, a nullától eltérőnek nevezzük alapvető.

Az alap kiskorú definíciójából következik, hogy annak sorrendje megegyezik a mátrix rangjával. Egy nem nullás A mátrix esetében több alapvető kiskorú is lehet; mindig van egy alap moll.

Vegyük például a mátrixot .

Ennek a mátrixnak minden harmadrendű kiskorúja nulla, mivel a mátrix harmadik sorának elemei az első és a második sor megfelelő elemeinek összege.

A következő másodrendű kiskorúak alapvetőek, mivel nem nulla

Kiskorúak nem alapvetőek, mivel nulla.

Mátrix rang tétele.

Ha egy p sorrendű mátrix rangja n egyenlő r -vel, akkor a mátrix sorainak (és oszlopainak) minden olyan eleme, amely nem képezi a kiválasztott alapvető mollot, lineárisan fejeződik ki a sorok megfelelő elemeiben ( és oszlopok), amelyek az alap mollot alkotják.

Mit ad nekünk a mátrix rang tétele?

Ha a Kronecker - Capelli -tétel alapján megállapítottuk a rendszer kompatibilitását, akkor a rendszer alapmátrixának bármelyik mollját választjuk (sorrendje r), és kizárunk a rendszerből minden olyan egyenletet, amely nem képződik a választott alap moll. Az így kapott SLAE egyenértékű lesz az eredetivel, mivel az elvetett egyenletek továbbra is feleslegesek (a mátrix rang tétele szerint a fennmaradó egyenletek lineáris kombinációja).

Ennek eredményeként a rendszer szükségtelen egyenleteinek elvetése után két eset lehetséges.

Ha a kapott rendszerben az r egyenletek száma megegyezik az ismeretlen változók számával, akkor ez határozott lesz, és az egyetlen megoldást Cramer módszerével, mátrix módszerével vagy Gauss módszerével lehet megtalálni.

Példa.

.

Megoldás.

A rendszer fő mátrixának rangja egyenlő kettővel, mivel a másodrendű kiskorú nem nulla. Kiterjesztett mátrix rang szintén kettővel egyenlő, mivel a harmadik rend egyetlen mollja nulla

és a fentebb tárgyalt másodrendű kiskorú nem nulla. A Kronecker - Capelli -tétel alapján kijelenthetjük az eredeti lineáris egyenletrendszer kompatibilitását, mivel a rang (A) = rang (T) = 2.

Alap kiskorúnak vesszük ... Ezt az első és a második egyenlet együtthatói alkotják:


A rendszer harmadik egyenlete nem vesz részt az alap -moll kialakításában, ezért kizárjuk a rendszerből a mátrix rangjára vonatkozó tétel alapján:


Így kaptunk egy elemi lineáris algebrai egyenletrendszert. Oldjuk meg Cramer módszerével:


Válasz:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ha a kapott SLAE-ben az r egyenletek száma kisebb, mint az ismeretlen n változók száma, akkor az egyenletek bal oldalán hagyjuk az alapmollót alkotó kifejezéseket, a fennmaradó tagok átkerülnek a jobb oldalra a rendszer egyenletei ellenkező előjellel.

Az egyenletek bal oldalán maradt ismeretlen változókat (vannak r-ek) hívjuk a fő.

Ismeretlen változókat (n -r darab) jelennek meg a jobb oldalon ingyenes.

Most feltételezzük, hogy a szabad ismeretlen változók tetszőleges értékeket vehetnek fel, és r alapvető ismeretlen változókat egyedi módon, szabad ismeretlen változókban fejezzük ki. Kifejezésük megtalálható a kapott SLAE Cramer -módszerrel, mátrix- vagy Gauss -módszerrel történő megoldásával.

Vegyünk egy példát.

Példa.

Oldja meg a lineáris algebrai egyenletrendszert .

Megoldás.

Keresse meg a rendszer fő mátrixának rangját a kiskorúak határának módszerével. Az 1 1 = 1-et elsőrendű kiskorúnak tekintjük. Kezdjünk el keresni egy nullától eltérő másodrendű kiskorút, amely körülveszi ezt a kiskorút:


Így találtunk egy nullától eltérő másodrendű kiskorút. Kezdjük keresni a harmadrendű, nulla határoló kiskorúakat:


Így a fő mátrix rangja három. A kiterjesztett mátrix rangja is három, vagyis a rendszer következetes.

A talált nullától eltérő harmadrendű kiskorút tekintjük alapnak.

Az egyértelműség kedvéért bemutatjuk az alapvető mollot alkotó elemeket:


A rendszer egyenleteinek bal oldalán hagyjuk az alap -mollban részt vevő kifejezéseket, a többit ellentétes jelekkel átvisszük a jobb oldalra:


Rendeljünk tetszőleges értékeket az x 2 és x 5 szabad ismeretlen változókhoz, vagyis vegyük , ahol tetszőleges számok találhatók. Ebben az esetben az SLAE formát ölt


A kapott lineáris algebrai egyenletek elemi rendszerét Cramer módszerével oldjuk meg:


Ennélfogva, .

Ne felejtse el szabad válaszokban feltüntetni az ismeretlen változókat.

Válasz:

Hol vannak tetszőleges számok.

Összesít.

Az általános formájú lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásához először a Kronecker - Capelli tétel segítségével találjuk meg kompatibilitását. Ha a fő mátrix rangja nem egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszer inkompatibilis.

Ha a fő mátrix rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával, akkor az alapmollort választjuk, és elvetjük a rendszer azon egyenleteit, amelyek nem vesznek részt a kiválasztott alapmoll kialakításában.

Ha az alap moll sorrendje megegyezik az ismeretlen változók számával, akkor az SLAE egyedi megoldással rendelkezik, amelyet bármely ismert módszerrel megtalálunk.

Ha az alap moll sorrendje kisebb, mint az ismeretlen változók száma, akkor a rendszer egyenleteinek bal oldalán hagyjuk a feltételeket az alapvető ismeretlen változókkal, helyezzük át a fennmaradó tagokat a jobb oldalra, és tetszőleges értékeket adjon a szabad ismeretlen változóknak. A kapott lineáris egyenletrendszerből a Cramer -módszerrel, a mátrix -módszerrel vagy a Gauss -módszerrel megtaláljuk a fő ismeretlen változókat.

Gauss módszer általános alakú lineáris algebrai egyenletek rendszereinek megoldására.

A Gauss módszerrel bármilyen lineáris algebrai egyenletrendszert fel lehet oldani anélkül, hogy előzetesen megvizsgálnánk a kompatibilitást. Az ismeretlen változók egymást követő kiküszöbölésének folyamata lehetővé teszi az SLAE kompatibilitásának és összeférhetetlenségének megállapítását, és ha létezik megoldás, lehetővé teszi annak megtalálását.

Számítási munka szempontjából a Gauss -módszer előnyösebb.

Lásd részletes leírását és elemzett példáit a Gauss -módszer cikkben, általános lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására.

A homogén és inhomogén lineáris algebrai rendszerek általános megoldásának megírása az alapvető megoldásrendszer vektorainak felhasználásával.

Ebben a részben a lineáris algebrai egyenletek kompatibilis homogén és inhomogén rendszereire fogunk összpontosítani, végtelen megoldásokkal.

Először foglalkozzunk a homogén rendszerekkel.

Alapvető döntési rendszer A p lineáris algebrai egyenletek homogén rendszere n ismeretlen változóval a rendszer lineárisan független megoldásainak halmaza (n - r), ahol r a rendszer alapmátrixának alap molljának sorrendje.

Ha a homogén SLAE lineárisan független megoldásait X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) n-1-gyel jelöljük oszlopmátrixok), akkor ennek a homogén rendszernek az általános megoldása az alapvető megoldásrendszer vektorainak lineáris kombinációjaként jelenik meg tetszőleges állandó С 1, С 2, ..., С (nr), azaz ,.

Mit jelent a lineáris algebrai egyenletek (oroslau) homogén rendszerének általános megoldása kifejezés?

A jelentés egyszerű: a képlet minden lehetséges megoldást megad az eredeti SLAE -hez, más szóval, tetszőleges С 1, С 2, ..., С (nr) állandók értékkészletét figyelembe véve, a szerezze be az eredeti homogén SLAE egyik megoldását.

Így ha megtaláljuk a megoldások alapvető rendszerét, akkor képesek leszünk ennek a homogén SLAE -nek az összes megoldását megadni.

Mutassuk meg a homogén SLAE alapvető megoldásrendszerének kialakításának folyamatát.

Az eredeti lineáris egyenletrendszer alap mollját választjuk, kizárunk minden más egyenletet a rendszerből, és minden, ismeretlen változókat tartalmazó kifejezést átviszünk a rendszer ellentétes előjelű egyenleteinek jobb oldalára. Adjuk meg a szabad ismeretlen változóknak az 1,0,0, ..., 0 értékeket, és számítsuk ki a fő ismeretleneket úgy, hogy a kapott lineáris egyenletrendszert bármilyen módon megoldjuk, például Cramer módszerével. Ezzel X (1) lesz az első megoldás az alapvető rendszerre. Ha a szabad ismeretleneknek megadjuk a 0,1,0,0, ..., 0 értékeket és kiszámítjuk a fő ismeretleneket, akkor X (2) értéket kapunk. Stb. Ha a 0.0, ..., 0.1 értékeket megadjuk a szabad ismeretlen változóknak, és kiszámítjuk az alapvető ismeretleneket, akkor X (n-r) értéket kapunk. Így épül fel a homogén SLAE alapvető megoldásrendszere, és általános formájában megírható.

A lineáris algebrai egyenletek inhomogén rendszerei esetében az általános megoldás a következő formában jelenik meg, ahol a megfelelő homogén rendszer általános megoldása, és az eredeti inhomogén SLAE sajátos megoldása, amelyet az ismeretlenek szabad értékeinek megadásával kapunk 0,0, ..., 0 és a fő ismeretlenek értékeinek kiszámítása.

Nézzünk példákat.

Példa.

Keresse meg a megoldások alapvető rendszerét és a lineáris algebrai egyenlet homogén rendszerének általános megoldását! .

Megoldás.

A homogén lineáris egyenletrendszerek fő mátrixának rangja mindig megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával. Keressük a fő mátrix rangját a határos kiskorúak módszerével. Nem nulla elsőrendű mollként a rendszer fő mátrixának 1 1 = 9 elemét vesszük. Keressen egy határon kívüli másodrendű kiskorút:

Nem nulla másodrendű kiskorút találtak. Nézzük végig a vele szomszédos harmadrendű kiskorúakat, és keressünk egy nem nullát:

A harmadik rend minden határoló kiskorúja nulla, ezért a fő és a kiterjesztett mátrix rangja kettő. Vegyük alap kiskorúnak. Az egyértelműség kedvéért jegyezzük meg a rendszert alkotó elemeket:

Az eredeti SLAE harmadik egyenlete nem vesz részt az alap -moll kialakításában, ezért kizárható:

Az egyenletek jobb oldalán hagyjuk a fő ismeretleneket tartalmazó kifejezéseket, a jobb oldalon pedig a szabad ismeretlenekkel rendelkező kifejezéseket:

Konstruáljunk alapvető megoldási rendszert az eredeti homogén lineáris egyenletrendszerhez. Ennek az SLAE -nek az alapvető megoldási rendszere két megoldásból áll, mivel az eredeti SLAE négy ismeretlen változót tartalmaz, és az alap moll sorrendje kettő. Az X (1) megkereséséhez az ismeretlen szabad változókat az x 2 = 1, x 4 = 0 értékekhez rendeljük, majd megtaláljuk a fő ismeretleneket az egyenletrendszerből
.

Oldjuk meg Cramer módszerével:

És így, .

Most felépítjük az X (2) -et. Ehhez hozzárendeljük az ismeretlen szabad változókhoz az x 2 = 0, x 4 = 1 értékeket, majd megtaláljuk a fő ismeretleneket a lineáris egyenletrendszerből
.

Használjuk újra Cramer módszerét:

Kapunk.

Tehát megkaptuk a megoldások alapvető rendszerének két vektorát, és most felírhatjuk a lineáris algebrai egyenletrendszer homogén rendszerének általános megoldását:

, ahol C 1 és C 2 tetszőleges számok. egyenlőek a nullával. A mollot is alapnak tekintjük, kizárjuk a harmadik egyenletet a rendszerből, és a szabad ismeretlenekkel rendelkező kifejezéseket átvisszük a rendszer egyenleteinek jobb oldalára:

Ahhoz, hogy megtaláljuk, megadjuk az ismeretlen szabad változóknak az x 2 = 0 és x 4 = 0 értékeket, majd az egyenletrendszer , ahonnan Cramer módszerével megtaláljuk a fő ismeretlen változókat:

Nekünk van , ennélfogva,

ahol C 1 és C 2 tetszőleges számok.

Meg kell jegyezni, hogy a határozatlan homogén lineáris algebrai egyenletek megoldásai generálnak lineáris tér

Megoldás.

A téglalap alakú derékszögű koordinátarendszerben az ellipszoid kanonikus egyenlete a következő alakú ... Feladatunk az a, b és c paraméterek meghatározása. Mivel az ellipszoid áthalad az A, B és C ponton, amikor koordinátáikat az ellipszoid kanonikus egyenletébe helyettesíti, identitássá kell válnia. Tehát három egyenletből álló rendszert kapunk:

Jelöljük , akkor a rendszer lineáris algebrai egyenletek rendszerévé válik .

Számítsuk ki a rendszer fő mátrixának determinánsát:

Mivel nem nulla, Cramer módszerével megtalálhatjuk a megoldást:
). Nyilvánvaló, hogy x = 0 és x = 1 ennek a polinomnak a gyökei. Az osztás hányadosa tovább egy . Így van egy kiterjesztésünk, és az eredeti kifejezés veszi fel a formát .

Használjuk a meghatározatlan együtthatók módszerét.

Egyenlővé téve a számlálók megfelelő együtthatóit, elérjük a lineáris algebrai egyenletek rendszerét ... Megoldása megadja a kívánt, nem definiált A, B, C és D együtthatót.

Oldjuk meg a rendszert Gauss módszerrel:

A Gauss -módszer fordított menetében D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.

Kapunk

Válasz:

.