Виміряй сторони знайди периметр фігури. як знайти периметр різних геометричних форм. Просте завдання: як знайти периметр. Як бути, якщо невідома довжина однієї або декількох сторін трикутника

Напевно кожен з нас вчив у школі таку важливу складову геометрії, як периметр. Знаходження периметра просто необхідно для вирішення безлічі завдань. Про те, як знайти периметр, розповість наша стаття.

Варто пам'ятати, що периметр будь-якої фігури це майже завжди сума її сторін. Давайте розглянемо декілька різних геометричних фігур.

1. Прямокутник - це такий чотирикутник, у якого паралельні сторони рівні попарно між собою. Якщо одна сторона X, а інша Y, то ми отримаємо таку формулу для знаходження периметра цієї фігури:

   P \u003d 2 (X + Y) \u003d X + Y + X + Y \u003d 2X + 2Y.

   Приклад рішення задачі:

   Припустимо, що сторона X \u003d 5 см, сторона Y \u003d 10 см. Значить, підставивши ці значення в нашу формулу, ми отримаємо - P \u003d 2 * 5 см + 2 * 10см \u003d 30 см.

2. Трапеція - це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, але не рівні між собою. Периметр трапеції - це сума всіх чотирьох її сторін:

   P \u003d X + Y + Z + W, де X, Y, Z, W - сторони фігури.

   Приклад рішення задачі:

   Припустимо, що сторона X \u003d 5 см, сторона Y \u003d 10 см, сторона Z \u003d 8 см, сторона W \u003d 20 см. Значить, підставивши ці значення в нашу формулу, ми отримаємо - P \u003d 5 см + 10 см + 8 см + 20 см \u003d 43 см.

3. Периметр кола (довжину окружності) можна обчислити за формулою:

   P \u003d 2rπ \u003d dπ, де r - це радіус кола, d - діаметр кола.

   Приклад рішення задачі:

   Припустимо, що радіус r нашого кола дорівнює 5 см, тоді діаметр d дорівнюватиме 2 * 5 см \u003d 10 см. Відомо, що π \u003d 3,14. Значить, підставивши ці значення в нашу формулу, ми отримаємо - P \u003d 2 * 5 см * 3,14 \u003d 31,4 см.

4. Якщо Вам необхідно знайти периметр трикутника, то Ви можете зіткнутися з низкою проблем при цьому, оскільки трикутники можуть мати дуже різні форми. Наприклад, є гострий, тупий, рівнобедрений, прямокутний або рівносторонній трикутники. Хоча формула для всіх видів трикутників така:

   P \u003d X + Y + Z, де X, Y, Z - сторони фігури.

   Проблема в тому, що при вирішенні багатьох завдань на знаходження периметра цієї фігури Вам не завжди будуть відомі довжини всіх сторін. Наприклад, замість інформації про довжину однієї зі сторін Ви можете мати градус кута або довжину висоти конкретного трикутника. Це істотно ускладнить завдання, але не зробить її рішення нереальним. Про те, як знайти периметр трикутника, якої форми б він не був можна прочитати "".

5. Периметр такої фігури, як ромб знаходять також як і периметр квадрата, адже ромб - це паралелограм, який має рівні сторони. Дізнатися, як знайти периметр квадрата можна прочитавши статтю на нашому сайті "".

   Тепер Ви знаєте, як знайти сторону периметра тієї геометричної фігури, який Вам потрібно!

Одним з базових понять математики є периметр прямокутника. На цю тему існує безліч завдань, при вирішенні яких не обійтися без формули периметра і навичок його обчислення.

Основні поняття

Прямокутник - це чотирикутник, у якого всі кути прямі, а протилежні сторони попарно рівні і паралельні. У нашому житті багато фігур мають форму прямокутника, наприклад, поверхня стола, зошит та інше.

Розглянемо приклад: по межах земельної ділянки необхідно поставити паркан. Для того щоб дізнатися довжину кожної зі сторін необхідно їх виміряти.

Мал. 1. Земельна ділянка формою прямокутника.

Земельна ділянка має боку довжиною 2 м., 4 м., 2 м., 4 м. Тому щоб загальну дізнатися довжину забору необхідно скласти довжини всіх сторін:

2 + 2 + 4 + 4 \u003d 2 · 2 + 4 · 2 \u003d (2 + 4) · 2 \u003d 12 м.

Саме ця величина в загальному випадку і називається периметром. Таким чином, для знаходження периметра необхідно скласти всі сторони фігури. Для позначення периметра використовують букву P.

Для обчислення периметра прямокутної фігури не потрібно розділяти її на прямокутники, потрібно виміряти лінійкою (рулеткою) лише всі сторони даної фігури і знайти їх суму.

Периметр прямокутника вимірюється в мм., См., М., Км і так далі. При необхідності, дані в завданні, переводять в однакову систему вимірювання.

Периметр прямокутника вимірюється в різних одиницях: мм., См., М., Км і так далі. При необхідності, дані в завданні, переводять в одну систему вимірювання.

Формула периметра фігури

Якщо прийняти до уваги той факт, що протилежні сторони прямокутника рівні, то можна вивести формула периметра прямокутника:

$ P \u003d (a + b) * 2 $, де а, b - сторони фігури.

Мал. 2. Прямокутник, з позначеними протилежними сторонами.

Існує й інший спосіб знайти периметр. Якщо в завдання дано лише одну сторону і площу фігури, можна використовувати висловити іншу сторону через площу. Тоді формула буде виглядати наступним чином:

$ P \u003d ((2S + 2a2) \\ over (a)) $, де S - площа прямокутника.

Мал. 3. Прямокутник з сторонами a, b.

завдання : Обчислити периметр прямокутника, якщо його сторони рівні 4 см. І 6 см.

Рішення:

Використовуємо формулу $ P \u003d (a + b) * 2 $

$ P \u003d (4 + 6) * 2 \u003d 20 см $

Таким чином, периметр фігури $ P \u003d 20 см $.

Так як периметр - це сума все сторін фігури, то напівпериметр це сума тільки однієї довжини і ширини. Щоб отримати периметр необхідно напівпериметр помножити на 2.

Площа і периметр - це два основних поняття вимірювання будь-якої фігури. Їх не можна плутати, хоч вони і пов'язані між собою. Якщо збільшити, або зменшити площу, то, відповідно, збільшиться або зменшиться його периметр.

Що ми дізналися?

Ми дізналися, як знайти периметр прямокутника. А також ознайомилися з формулою його обчислення. З цією темою можна зіткнутися не тільки при вирішенні математичних завдань, але і в реальному житті.

Тест по темі

оцінка статті

Середня оцінка: 4.5. Всього отримано оцінок: 363.

У наступних тестових завданнях потрібно знайти периметр фігури, зображеної на малюнку.

Знайти периметр фігури можна різними способами. Можна перетворити вихідну фігуру таким чином, щоб периметр нової фігури можна було б легко обчислити (наприклад, перейти до прямокутника).

Інший варіант рішення - шукати периметр фігури безпосередньо (як суму довжин усіх її сторін). Але в цьому випадку не можна покладатися тільки на малюнок, а знаходити довжини відрізків, виходячи з даних завдання.

Хочу попередити: в одному із завдань серед запропонованих варіантів відповідей я не знайшла того, який вийшов у мене.

C) .

Перенесемо боку маленьких прямокутників з внутрішньої області в зовнішнє. В результаті великий прямокутник замкнулося. Формула для знаходження периметра прямокутника

В даному випадку, a \u003d 9a, b \u003d 3a + a \u003d 4a. Таким чином, P \u003d 2 (9a + 4a) \u003d 26a. До периметру великого прямокутника додаємо суму довжин чотирьох відрізків, кожен з яких дорівнює 3a. У підсумку, P \u003d 26a + 4 ∙ 3a \u003d 38a .

C) .

Після перенесення внутрішніх сторін маленьких прямокутників в зовнішнє область, отримуємо великий прямокутник, периметр якого дорівнює P \u003d 2 (10x + 6x) \u003d 32x, і чотири відрізка, два - диною по x, два - по 2x.

Разом, P \u003d 32x + 2 ∙ 2x + 2 ∙ x \u003d 38x .

?) .

Перенесемо 6 горизонтальних «сходинок» з внутрішньої частини в зовнішнє. Периметр отриманого великого прямокутника дорівнює P \u003d 2 (6y + 8y) \u003d 28y. Залишилося знайти суму довжин відрізків усередині прямокутника 4y + 6 ∙ y \u003d 10y. Таким чином, периметр фігури дорівнює P \u003d 28y + 10y \u003d 38y .

D) .

Перенесемо вертикальні відрізки з внутрішньої області фігури вліво, в зовнішнє область. Щоб отримати великий прямокутник, перенесемо одні з відрізків довжиною 4x в нижній лівий кут.

Периметр вихідної фігури знайдемо як суму периметра цього великого прямокутника і довжин залишилися всередині трьох відрізків P \u003d 2 (10x + 8x) + 6x + 4x + 2x \u003d 48x .

E) .

Перенісши внутрішні сторони маленьких прямокутників в зовнішнє область, отримаємо великий квадрат. Його периметр дорівнює P \u003d 4 ∙ 10x \u003d 40x. Щоб отримати периметр вихідної фігури, потрібно у периметру квадрата додати суму довжин восьми відрізків, кожен довжиною 3x. Разом, P \u003d 40x + 8 ∙ 3x \u003d 64x .

B) .

Перенесемо все горизонтальні «сходинки» і вертикальні верхні відрізки в зовнішнє область. Периметр отриманого прямокутника дорівнює P \u003d 2 (7y + 4y) \u003d 22y. Щоб знайти периметр вихідної фігури, потрібно до периметру прямокутника додати суму довжин чотирьох відрізків, кожен довжиною y: P \u003d 22y + 4 ∙ y \u003d 26y .

D) .

Перенесемо з внутрішньої області в зовнішнє всі горизонтальні лінії і пересунемо дві вертикальні зовнішні лінії в лівому і правому кутах, відповідно, на z лівіше і правіше. В результаті отримаємо великий прямокутник, периметр якого дорівнює P \u003d 2 (11z + 3z) \u003d 28z.

Периметр вихідної фігури дорівнює сумі периметра великого прямокутника і довжин шести відрізків по z: P \u003d 28z + 6 ∙ z \u003d 34z .

B) .

Рішення повністю аналогічно рішенню попереднього прикладу. Після перетворення фігури знаходимо периметр великого прямокутника:

P \u003d 2 (5z + 3z) \u003d 16z. До периметру прямокутника додаємо суму довжин решти шести відрізків, кожен з яких дорівнює z: P \u003d 16z + 6 ∙ z \u003d 22z .

Геометрія, якщо не помиляюся, в мій час вивчалася з п'ятого класу і периметр був і є одним з ключових понять. Отже, периметр - це сума довжин всіх сторін (позначається латинською літерою P). Взагалі, трактують цей термін по різному, наприклад,

• загальна довжина кордону фігури,
• довжина всіх її сторін,
• сума довжин її граней,
• довжина обмежує фігуру лінії,
• сума всіх довжин сторін багатокутника

Для різних фігур існують свої формули визначення периметра. Щоб зрозуміти сам сенс, пропоную самостійно вивести кілька нескладних формул:

1. для квадрата,
2. для прямокутника,
3. для паралелограма,
4. для куба,
5. для паралелепіпеда

периметр квадрата

Для прикладу візьмемо найпростіше - периметр квадрата.

Всі сторони квадрата рівні. Нехай одна сторона носить назву "a" (також, як і інші три), тоді

P \u003d a + a + a + a

або більш компактна запис

периметр прямокутника

Ускладнити завдання і візьмемо прямокутник. В даному випадку вже не можна сказати, що всі сторони рівні, тому нехай довжини сторін прямокутника будуть рівні a і b.

Тоді формула буде мати такий вигляд:

P \u003d a + b + a + b

периметр паралелограма

Аналогічна ситуація буде і з параллелограммом (див. Периметр прямокутника)

периметр куба

Що ж робити, якщо ми маємо справу з об'ємною фігурою? Наприклад, візьмемо куб. Куб має 12 сторін і всі вони рівні. Відповідно, периметр куба можна обчислити таким чином:

периметр паралелепіпеда

Ну, і для закріплення матеріалу обчислимо периметр паралелепіпеда. Тут необхідно трохи поміркувати. Давайте робити це разом. Як ми знаємо, прямокутний паралелепіпед являє собою фігуру, сторонами якої є прямокутники. У кожного паралелепіпеда є дві підстави. Візьмемо одну з підстав і подивимося на його боку - вони мають довжину a і b. Відповідно, периметр підстави є P \u003d 2a + 2b. Тоді периметр двох підстав є

(2a + 2b) * 2 \u003d 4a + 4b

Але ж у нас є ще і сторона "c". Значить формула для обчислення периметра паралелепіпеда буде мати наступний вигляд:

P \u003d 4a + 4b + 4c

Як видно з прикладів вище, все, що необхідно зробити для визначення периметра фігури - знайти довжину кожної зі сторін, а потім їх скласти.

На закінчення хочеться відзначити, що не всяка фігура має периметр. Наприклад, у кулі периметра немає.

периметр фігури це довжина всіх її сторін. Не всі фігури мають периметр, наприклад, куля не має периметра. Стандартне позначення периметра в математиці - буква P

периметр квадрата

Нехай довжина сторони квадрата дорівнює a. Квадрат має чотири рівних сторони, тому периметр квадрата є P \u003d a + a + a + a або:

периметр прямокутника

Нехай довжини сторін прямокутника рівні a і b.
Довжина всіх його сторін є P \u003d a + b + a + b або:

периметр паралелограма

Нехай довжини сторін паралелограма рівні a і b
Довжина всіх його сторін є P \u003d a + b + a + b, тому периметр паралелограма є:

Як видно, периметр паралелограма дорівнює периметру прямокутника.

Периметр рівнобедреної трапеції

Нехай довжини паралельних сторін трапеції a і b, а довжини двох інших сторін дорівнює c (Як відомо, рівнобедрена трапеція має дві рівні сторони).

P \u003d a + b + c + c \u003d a + b + 2c

Периметр рівностороннього трикутника

Як відомо, рівносторонній трикутник має 3 рівні сторони. Якщо довжина сторони дорівнює a, тоді формула знаходження периметра є P \u003d a + a + a

периметр паралелепіпеда

Паралелепіпед є призма, всі сторони якої є паралелограма. ( прямокутний паралелепіпед це фігура, сторони якої - прямокутники.)
Якщо сторони підстави мають довжину a і b тоді периметр підстави є P \u003d 2a + 2b. Кожен паралелепіпед має дві підстави, тому периметр двох підстав дорівнює (2a + 2b) .2 \u003d 4a + 4b. Як ми знаємо, параметр це сума всіх сторін. Таким чином, ми повинні скласти чотири рази c

P \u003d 4a + 4b + 4c

периметр куба

Куб це паралелепіпед, всі сторони якого є квадратами (всі грані рівні).
Тоді, периметр куба є число сторін * довжина.
Кожен куб має 12 сторін.
Тоді, формула знаходження периметра куба має вигляд:

Де a - довжина його боку.

Як знайти Периметр різних геометричних форм

Виникли проблеми в розумінні того, як знайти периметр різних геометричних фігур? Бізнес сайт приходить до вас на допомогу шляхом полегшення геометрії, ніж коли-небудь! Задоволення FactThe периметру або окружності Землі становить 24,901 миль, я. е. майже 40,075 км! В математиці, геометрії розглядаються форми, розміри, взаємне розташування, тривимірна орієнтація фігур в просторі. Вона має справу з трьома основними вимірами фігур: площі, обсягу і периметра.

Площа є мірою ступеня двовимірної фігури або форми; поверхня може бути описана як ступінь поверхні об'єкту. Це міра в тривимірному просторі поблизу об'єкта.

По периметру можна просто охарактеризувати як довжина шляху, який оточує двовимірної форми. Іншими словами, це відстань навколо фігури. Давайте тепер поглянемо на Як знайти периметр різних геометричних форм.

індекс
Площа
прямокутник
коло
півколо

сектор
трикутник
трапецієподібні
полігон
Площа
Квадрат-це чотирикутник, який має всі чотири сторони і чотири кути рівні (все 90 °).

Приклад: щоб знайти периметр квадрата зі стороною 5 см, ми використовуємо формулу, показану на рис ..
Р \u003d А + А + А + А
Р \u003d 5 + 5 + 5 + 5
Р \u003d 20 см
Ця ж формула може використовуватися для обчислення периметра ромба ..
Назад в індекс
прямокутник
Прямокутник-це чотирикутник, який має всі чотири кути рівні (все 90 °). Протилежні сторони прямокутника рівні (тоді як на суміжних сторонах немає).

Приклад: щоб знайти периметр прямокутника, ми використовуємо формулу, показану на рис ..
л \u003d 15 см
б \u003d 25 см
Р \u003d 2 (15 + 25)
Р \u003d 2 (40)
Р \u003d 80 см
Ви можете використовувати ту ж формулу, щоб знайти периметр паралелограма.
Назад в індекс
коло
Окружність може бути описана як безліч точок, що знаходяться на рівній відстані від певної точки (відомий як центр). Периметр кола називається окружності, позначається с.

Приклад: знайти довжину кола, ми використовуємо формулу, показану на рис ..
Якщо C \u003d 2πR і πд
С \u003d 2 Х 3. 14 х 7 або 3. 14 х 14
С \u003d 43. 96 см
Назад в індекс
півкола
Півкільцем, простіше кажучи, наполовину окружність, його периметр буде половина цього кола.

Приклад: щоб знайти периметр півкола, ми використовуємо формулу, показану на рис ..
р \u003d 7 см або D \u003d 14 см (д \u003d р + р)
Р \u003d πR і πд / 2
Р \u003d 2 Х 3. 14 х 7 або 3. 14 х 14/2
П \u003d 21. 98 см
Назад в індекс
сектор
Сектор можна охарактеризувати як частина окружності.

Приклад: щоб знайти периметр сектора, ми використовуємо формулу, показану на рис ..

Θ \u003d 60 °
р \u003d 7 см
Р \u003d 60/360 Х 2 Х 3. 14 х 7
Р \u003d 7. 33 см
Назад в індекс
трикутник
Трикутник-це багатокутник, який має три сторони і три вершини. Давайте враховувати три випадки для того, щоб визначити його периметр.

один. Коли всі три сторони відомі.

Щоб знайти периметр трикутника, ми використовуємо формулу, показану на рис ..
а \u003d 14 см
б \u003d 16 см
з \u003d 15 см
Р \u003d 14 + 16 + 15
Р \u003d 45 см
б. Для прямокутного трикутника якщо його гіпотенуза невідома.

Щоб знайти периметр прямокутного трикутника, Ми використовуємо формулу, показану на рис ..
Б \u003d 3 см
ч \u003d 4 см
П \u003d б + ч + √ Б2 + ч 2
П \u003d 3 + 4 + √ 32 + 4 2
Р \u003d 3 + 4 + 5
Р \u003d 12 см

Якщо будь-який інший боку невідомо, можна використовувати формулу Піфагора знайти бік спочатку, а потім обчислити периметр.
с. Для будь-якого іншого трикутника, коли тільки дві сторони і кут вони відомі.

Перш за все нам потрібно знайти довжину сторони, використовуючи закон косинусів,
Коли А, B і C довжини сторін трикутника, а, b і C мають протилежні кути сторонами A, B і C, відповідно, ми можемо знайти довжину невідомої сторони (скажімо, з) за формулою:

С2 \u003d а 2 + Б 2 - в 2. б тому що (с)

наприклад
А \u003d 4 см
Б \u003d 2 см
С2 \u003d 4 2 + 2 2 - 2 4. 2 соѕ (45)
С2 \u003d 16 + 4 - 2 (0. 876)
С2 \u003d 20 - 1. 752
С2 \u003d 18. 284
з \u003d 4. 272 \u200b\u200bсм

Р \u003d А + В + С
Р \u003d 4 + 2 + 4. 272
П \u003d 10. 272 \u200b\u200bсм
Назад в індекс
трапецієподібні
Трапецією називається чотирикутник, по крайней мере одну пару паралельних ліній. Паралельні лінії називаються підстави трапеції, і з іншого боку не відомо як ноги трапеції. Відстань між паралельними лініями, називається висотою трапеції.
Давайте розглянемо три різних сценаріях, щоб знайти периметр.

один. Коли всім сторонам відомо.

А \u003d 4 см
б \u003d 16 см
з \u003d 5 см
д \u003d 8 см
Р \u003d 4 + 16 + 5 + 8
Р \u003d 33 см
б. Коли його боку (ноги) невідомі.

Щоб знайти периметр трапеції, ми використовуємо формулу, показану на рис ..
б \u003d 16 см
ч \u003d 3 см
д \u003d 8 см
П \u003d б + д + ч
1
+
1
Гріх (С)
Гріх (А)

Р \u003d 16 + 8 + 3
1
+
1
Гріх (53)
Гріх (45)

Р \u003d 16 + 8 + 33. 3
П \u003d 57. 3 см
с. Коли один з базових і висота невідомі.

Уявіть, якби ми мали скоротити трапецевидной з двох сторін таким чином, що довжини підстав рівні, і коли ми приєднуємося до вирізаної частини, ми отримаємо трикутник, як показано на малюнку.

Коли ∠і ∠с рівні; всі три кути по 60 °. Цей трикутник-рівносторонній трикутник, і, отже, коли довжина сторони додається в базу, ми отримаємо довжину більшого підстави.
Коли кути рівні; сума кутів вичитав на 180 °.

Площа цього трикутника можна розрахувати за формулою
А \u003d ½ Х Х Х sin (Б)
Знайти периметр трапеції,
А \u003d 4 см
з \u003d 6 см
д \u003d 11 см
∠ а \u003d 53 °
∠ з \u003d 65 °
∠ Б \u003d 78 °
Площа \u003d ½ х 4 х 6 х sin 78
Площа \u003d 6. 12 см2
Підстава трикутника \u003d
Площа
½ Х х гріх (с)

база \u003d
6. 12
½ Х 4 х sin (65)

база \u003d
6. 12
2 х 0. 826

Підстава \u003d 3. 70 см
Підстава трапеції \u003d 11 + 3. 70 \u003d 14. 70 см

Тепер у нас є боки і підстава трапеції, ми можемо знайти периметр.
Р \u003d 14. 7 + 4 + 6 + 11
П \u003d 35. 7 см
Назад в індекс
полігон
Будь-яка замкнута фігура, де відрізки не перетинаються один з одним призводить до полігону. Сума внутрішніх кутів багатокутника завжди 360 °, і вони названі в залежності від кількості сторін, якими вони володіють.

один. Правильний багатокутник має всі рівні сторони, так що коли число сторін і довжину кожної сторони відомий периметр багатокутника може бути розрахована з використанням формули, показаної на рис ..

Приклад: якщо шестигранник має боку довжиною 5 см, його периметр можна обчислити, як показано нижче.
н \u003d 6 (шестикутник має шість сторін)
з \u003d 5 см
Р \u003d 6 х 5
Р \u003d 30 см
б. При довжині сторони багатокутника не відомі, то його периметр може бути розрахована за допомогою формули, наведеної нижче.

Х \u003d 2 х х Тан (180 / п)
Тут a-apothem.
Apothem-це відрізок від центру багатокутника до середини бічної.

И \u003d 2 х R х Тан (180 / п)
R-радіус.
Відстань від центру правильного багатокутника на будь-яку вершину.

Приклад: на шестигранник apothem 4 см, його сторона може бути обчислена, як показано нижче.
з \u003d 2 х 4 х Тан (180/6)
х \u003d 8 х Тан (30)
и \u003d 8 х 0. 58
и \u003d 4. 62 см

Р \u003d 6 х 4. 62 \u003d 27. 71 см

Для шестикутника радіусом 4 см, його сторона може бути обчислена, як показано нижче.
х \u003d 2 х 4 х sin (180/6)
и \u003d 8 х sin (30)
и \u003d 8 х 0. 5
и \u003d 4. 00 см

Р \u003d 6 х 4. 00 \u003d 24 см
с. Для неправильного багатокутника, якщо всі його сторони рівні, ми можемо обчислити його периметр, просто додавши довжини всіх його сторін.

Приклад: неправильного багатокутника з шести сторін
С1 \u003d 8 см
С2 \u003d 6 см
С3 \u003d 4 см
С4 \u003d 7см
С5 \u003d 5 см
С6 \u003d 4 см

Р \u003d С1 + С2 + С3 + С4 + С5 + С6
П \u003d 8 + 6 + 4 + 7 + 5 + 4
Р \u003d 36 см
Назад в індекс
Ми знаємо, що геометрія може бути трохи складною на перший (повірте, ми знаємо), але продовжувати практикуватися, і ви, безсумнівно, стає краще з кожною спробою.

Уміння знаходити периметр прямокутника дуже важливо для вирішення багатьох геометричних задач. Нижче наведена по знаходженню периметра різних прямокутників.

Як знайти периметр звичайного прямокутника

Звичайний прямокутник - чотирикутник, у якого паралельні сторони рівні і всі кути \u003d 90º. Для знаходження його периметра існує 2 способи:

Складаємо все боку.

Обчисліть периметр прямокутника, є його ширина дорівнює 3 см., А довжина - 6.

Рішення (послідовність дій і міркування):

• Так як ми знаємо ширина і довжина прямокутника, знайти його периметр не складе труднощів. Ширина паралельна ширині, а довжина довжині. Таким чином, в звичайному прямокутнику 2 ширини і 2 довжини.
• Складаємо все боку (3 + 3 + 6 + 6) \u003d 18 см.

Відповідь: P \u003d 18 см.

Другий спосіб полягає в наступному:

Потрібно скласти ширину і довжину, і помножити на 2. Формула цього способу має наступний вигляд: 2 × (a + b), де a - ширина, b - довжина.

В рамках даного завдання отримаємо таке рішення:

2 × (3 + 6) \u003d 2 × 9 \u003d 18.

Відповідь: P \u003d 18.

Як знайти периметр прямокутника - квадрат

Квадрат є правильним чотирикутником. Знову ж правильним тому, що всі його сторони і кути рівні. Для знаходження його периметра так само існує два способи:

• Скласти все його боку.
• Помножити його сторону на 4.

Приклад: Знайти периметр квадрата, якщо його сторона \u003d 5 см.

Знання про те, як знайти периметр, учні отримують ще в початковій школі. Потім ця інформація постійно використовується на протязі всього курсу математики і геометрії.

Загальна для всіх фігур теорія

Сторони прийнято позначати латинськими літерами. Причому їх можна позначати як відрізки. Тоді букв потрібно по дві для кожної сторони і записані великими. Або ввести позначення однією літерою, яка обов'язково буде маленькою.
Букви завжди вибирають за алфавітом. Для трикутника вони будуть першими трьома. У шестикутника їх буде 6 - від а до f. Це зручно для введення формул.

Тепер про те, як знайти периметр. Він є сумою довжин всіх сторін фігури. Кількість доданків залежить від її виду. позначається периметр латинською літерою Р. Одиниці виміру збігаються з тими, які дані для сторін.

Формули периметрів різних фігур

Для трикутника: Р \u003d а + в + с. Якщо він рівнобедрений, то формула перетвориться: Р \u003d 2а + в. Як знайти периметр трикутника, якщо він рівносторонній? Допоможе така: Р \u003d 3а.

Для довільного чотирикутника: Р \u003d а + в + с + d. Його окремим випадком є \u200b\u200bквадрат, формула периметра: Р \u003d 4а. Є ще прямокутник, тоді потрібна така рівність: Р \u003d 2 (а + в).

Як бути, якщо невідома довжина однієї або декількох сторін трикутника?

Скористатися теоремою косинусів, якщо серед даних є дві сторони і кут між ними, який позначається буквою А. Тоді до того, як знайти периметр, доведеться порахувати третю сторону. Для цього знадобиться така формула: с? \u003d А² + в² - 2 ав cos (А).

Окремим випадком зазначеної теореми є сформульована Пифагором для прямокутного трикутника. У ній значення косинуса прямого кута стає рівним нулю, а значить, останній доданок просто зникає.

Бувають ситуації, коли дізнатися, як знайти периметр трикутника, можна по одній стороні. Але при цьому відомі ще і кути фігури. Тут на допомогу приходить теорема синусів, коли відносини довжин сторін до синусів відповідних протилежних кутів рівні.

У ситуації, коли периметр фігури потрібно дізнатися по площі, стануть в нагоді інші формули. Наприклад, якщо відомий радіус вписаного кола, то в питанні про те, як знаходити периметр трикутника, стане в нагоді наступна формула: S \u003d р * r, тут р - напівпериметр. Його потрібно вивести з цієї формули і помножити на два.

приклади завдань

Умова першої. Дізнатися периметр трикутника, сторони у якого 3, 4 і 5 см.
Рішення. Потрібно скористатися рівністю, яке зазначено вище, і просто підставити в нього дані в завданні значення. Розрахунки легкі, вони призводять до числа 12 см.
Відповідь. Периметр трикутника дорівнює 12 см.

Умова другий. Одна сторона трикутника дорівнює 10 см. Відомо, що друга на 2 см більше першої, а третя в 1,5 рази більше першої. Потрібно обчислити його периметр.
Рішення. Для того щоб його дізнатися, потрібно порахувати дві сторони. Друга визначиться як сума 10 і 2, третя дорівнює добутку 10 і 1,5. Потім залишиться тільки порахувати суму трьох значень: 10, 12 і 15. Результатом буде 37 см.
Відповідь. Периметр дорівнює 37 см.

Умова третьої. Є прямокутник і квадрат. Одна сторона прямокутника дорівнює 4 см, а інша на 3 см більше. Потрібно обчислити значення боку квадрата, якщо його периметр менше на 6 см, ніж у прямокутника.
Рішення. Друга сторона прямокутника дорівнює 7. Знаючи це, легко обчислити його периметр. Розрахунок дає 22 см.
Щоб дізнатися сторону квадрата, потрібно спочатку відняти 6 з периметра прямокутника, а потім розділити отримане число на 4. В результаті маємо число 4.
Відповідь. Сторона квадрата 4 см.

Визначення периметра і площі геометричних фігур - важливе завдання, Яка виникає при вирішенні багатьох практичних або побутових завдань. Якщо вам потрібно поклеїти шпалери, встановити паркан, розрахувати витрати фарби або кахлю, то вам обов'язково доведеться мати справу з геометричними розрахунками.

Для вирішення перерахованих побутових питань вам буде потрібно працювати з різними геометричними фігурами. Ми представляємо вам каталог онлайн-калькуляторів, які дозволяють обчислити параметри найбільш популярних плоских фігур. Розглянемо їх.

коло

окремі випадки

Чотирикутник з однаковими сторонами. Паралелограм стає ромбом у випадках, якщо його діагоналі перетинаються під кутом 90 градусів і є биссектрисами своїх кутів.

Це паралелограм з прямими кутами. Крім того, паралелограм вважається прямокутником, якщо його сторони і діагоналі відповідають умовам теореми Піфагора.

Це паралелограм, у якого всі сторони рівні і всі кути рівні. Діагоналі квадрата повністю повторюють властивості діагоналей прямокутника і ромба, що робить квадрат унікальною постаттю, яка характеризується максимальною симетрією.

багатокутник

Правильний полігон - це опукла фігура на площині, яка має рівні сторони і рівні кути. Залежно від кількості сторін багатокутники мають власні назви:

• - пентагон;
• - гексагон;
• вісім - Октагон;
• дванадцять - додекагон.

І так далі. Геометри жартують, що коло - це багатокутник з нескінченним кількістю кутів. Наш калькулятор запрограмований на визначення периметрів і площ тільки правильних багатокутників. Він використовує загальні формули для всіх правильних полігонів. Для обчислення периметра використовується формула:

де n - кількість сторін багатокутника, a - довжина сторони.

Для визначення площі використовується вираз:

S \u003d n / 4 × a ^ 2 × ctg (pi / n).

Підставляючи відповідне n, ми можемо підібрати формулу для будь-якого правильного багатокутника, до яких також відносяться рівносторонній трикутник і квадрат.

Багатокутники мають велике поширення в реальному житті. Так форму п'ятикутника має будівлю міністерства оборони США - Пентагон, гексагона - бджолині стільники або кристали сніжинки, Октагон - дорожні знаки. Крім того, багато найпростіші, наприклад радіолярії, мають форму правильних полігонів.

Приклади з реального життя

Давайте розглянемо кілька прикладів використання нашого калькулятора в реальних розрахунках.

фарбування забору

Фарбування поверхонь і розрахунок фарби - це одні з найбільш очевидних побутових завдань, в яких потрібні мінімальні математичні розрахунки. Якщо нам потрібно пофарбувати паркан, висота якого становить 1,5 метра, а довжина 20 метрів, то скільки буде потрібно банок фарби? Для цього потрібно дізнатися сумарну площу забору і витрата лакофарбових матеріалів на 1 квадратний метр. Ми знаємо, що витрата емалі складає 130 грам на метр. Тепер визначимо площа забору, використовуючи калькулятор для обчислення площі прямокутника. Вона складе S \u003d 30 квадратних метрів. Природно, що паркан ми будемо фарбувати по обидва боки, тому площа для фарбування збільшиться до 60 квадратів. Тоді нам знадобиться 60 × 0,13 \u003d 7,8 кілограм фарби або три стандартних банки по 2,8 кілограма.

Оздоблення бахромою

Пошиття одягу - ще одна галузь, в якій необхідні великі геометричні пізнання. Нехай нам треба обробити бахромою хустку, який являє собою рівнобедрений трапецію з сторонами 150, 100, 75 і 75 см. Для обчислення витрати бахроми нам буде потрібно дізнатися периметр трапеції. У цьому нам і стане в нагоді онлайн-калькулятор. Введемо ці дані осередки і отримаємо відповідь:

Таким чином, нам знадобиться 4 м бахроми для обробки хустки.

висновок

Плоскі фігури складають реальний світ навколо. Ми часто задавалися в школі питанням, чи стане в нагоді нам геометрія в майбутньому? Вище наведені приклади показують, що математика постійно використовується в повсякденному житті. І якщо площа прямокутника для нас звична, то обчислити площу додекагона може виявитися важким завданням. Використовуйте наш каталог калькуляторів для вирішення шкільних завдань або побутових питань.