У пифагора всі сторони рівні. Проект на тему: Піфагороі штани всі сторони рівні. Забезпечувальні заходи як з боку податкових органів, так і з боку платників податків

»Заслуженого професора математики Уорікського університету, відомого популяризатора науки Іена Стюарта, присвяченій ролі чисел в історії людства і актуальності їх вивчення в наш час.

пифагорова гіпотенуза

Піфагорові трикутники мають прямий кут і цілочисельні боку. У найпростішого з них найдовша сторона має довжину 5, інші - 3 і 4. Всього існує 5 правильних багатогранників. Рівняння п'ятого ступеня неможливо вирішити за допомогою коренів п'ятого ступеня - або будь-яких інших коренів. Грати на площині і в тривимірному просторі не мають п'ятипелюсткової симетрії обертання, тому такі симетрії відсутні і в кристалах. Однак вони можуть бути у решіток в чотиривимірному просторі і в цікавих структурах, відомих як квазікристалів.

Гіпотенуза найменшої Піфагора трійки

Теорема Піфагора говорить, що найдовша сторона прямокутного трикутника (горезвісна гіпотенуза) співвідноситься з двома іншими сторонами цього трикутника дуже просто і красиво: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших сторін.

Традиційно ми називаємо цю теорему ім'ям Піфагора, але насправді історія її досить туманна. Глиняні таблички дозволяють припустити, що стародавні вавилоняни знали теорему Піфагора задовго до самого Піфагора; славу першовідкривача приніс йому математичний культ піфагорійців, прихильники якого вірили, що Всесвіт заснована на числових закономірностях. Стародавні автори приписували піфагорійцям - а значить, і Піфагору - найрізноманітніші математичні теореми, але насправді ми уявлення не маємо про те, який математикою займався сам Піфагор. Ми навіть не знаємо, чи могли піфагорійці довести теорему Піфагора чи просто вірили в те, що вона вірна. Або, що найбільш ймовірно, у них були переконливі дані про її істинності, яких проте не вистачило б на те, що ми вважаємо доказом сьогодні.

докази Піфагора

Перше відоме доказ теореми Піфагора ми знаходимо в «Засадах» Евкліда. Це досить складне доведення з використанням креслення, в якому вікторіанські школярі одразу впізнали б «піфагорові штани»; креслення і правда нагадує сохнуть на мотузці підштаники. Відомі буквально сотні інших доказів, більшість з яких робить доказувана твердження більш очевидним.

// Мал. 33. піфагорові штани

Одне з найпростіших доказів - це свого роду математичний пазл. Візьміть будь-який прямокутний трикутник, Зробіть чотири його копії і зберіть їх усередині квадрата. При одній укладанні ми бачимо квадрат на гіпотенузі; при іншій - квадрати на двох інших сторонах трикутника. При цьому ясно, що площі в тому і в іншому випадку рівні.

// Мал. 34. Зліва: квадрат на гіпотенузі (плюс чотири трикутника). Справа: сума квадратів на двох інших сторонах (плюс ті ж чотири трикутника). А тепер виключіть трикутники

Розсічення Перігаля - ще один доказ-пазл.

// Мал. 35. Розсічення Перігаля

Існує також доказ теореми з використанням укладання квадратів на площині. Можливо, саме так піфагорійці або їх невідомі попередники відкрили цю теорему. Якщо поглянути на те, як косою квадрат перекриває два інших квадрата, то можна побачити, як розрізати великий квадрат на шматки, а потім скласти з них два менших квадрата. Можна побачити також прямокутні трикутники, сторони яких дають розміри трьох задіяних квадратів.

// Мал. 36. Доказ науковістю

Є цікаві докази з використанням подібних трикутників в тригонометрії. Відомо принаймні п'ятдесят різних доказів.

піфагорові трійки

У теорії чисел теорема Піфагора стала джерелом плідної ідеї: знайти цілочисельні рішення алгебраїчних рівнянь. Числа Піфагора - це набір цілих чисел a, b і c, таких що

Геометрично така трійка визначає прямокутний трикутник з цілочисельними сторонами.

Найменша гіпотенуза Піфагора трійки дорівнює 5.

Інші дві сторони цього трикутника дорівнюють 3 і 4. Тут

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Наступна за величиною гіпотенуза дорівнює 10, тому що

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Однак це, по суті, той самий трикутник з подвоєними сторонами. Наступна за величиною і по-справжньому інша гіпотенуза дорівнює 13, для неї

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Евклід знав, що існує нескінченне число різних варіантів піфагорових трійок, І дав те, що можна назвати формулою для знаходження їх усіх. Пізніше Діофант Олександрійський запропонував простий рецепт, в основному збігається з евклідовим.

Візьміть будь-які два натуральних числа і обчисліть:

їх подвоєне твір;

різницю їх квадратів;

суму їх квадратів.

Три одержані числа будуть сторонами пифагорова трикутника.

Візьмемо, наприклад, числа 2 і 1. Обчислимо:

подвоєне твір: 2 × 2 × 1 \u003d 4;

різницю квадратів: 22 - 12 \u003d 3;

сума квадратів: 22 + 12 \u003d 5,

і ми отримали знаменитий трикутник 3-4-5. Якщо взяти замість цього числа 3 і 2, отримаємо:

подвоєне твір: 2 × 3 × 2 \u003d 12;

різницю квадратів: 32 - 22 \u003d 5;

суму квадратів: 32 + 22 \u003d 13,

і отримуємо наступний за популярністю трикутник 5 - 12 - 13. Спробуємо взяти числа 42 і 23 і отримаємо:

подвоєне твір: 2 × 42 × 23 \u003d 1932;

різницю квадратів: 422 - 232 \u003d 1235;

сума квадратів: 422 + 232 \u003d 2293,

ніхто ніколи не чув про трикутнику 1235-1932-2293.

Але ці числа теж працюють:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

У диофантово правилі є ще одна особливість, на яку вже натякали: отримавши три числа, ми можемо взяти ще одне довільне число і все їх на нього помножити. Таким чином трикутник 3-4-5 можна перетворити в трикутник 6-8-10, помноживши всі сторони на 2, або в трикутник 15-20-25, помноживши все на 5.

Якщо перейти на мову алгебри, правило набуває такого вигляду: нехай u, v і k - натуральні числа. Тоді прямокутний трикутник зі сторонами

2kuv і k (u2 - v2) має гіпотенузу

Існують і інші способи викладу основної ідеї, але всі вони зводяться до описаного вище. Цей метод дозволяє отримати всі піфагорові трійки.

правильні багатогранники

Існує зовсім п'ять правильних багатогранників. Правильний багатогранник (або поліедр) - це об'ємна фігура з кінцевим числом плоских граней. Грані сходяться один з одним на лініях, що іменуються ребрами; ребра зустрічаються в точках, іменованих вершинами.

Кульмінацією евклідових «Почав» є доказ того, що може бути тільки п'ять правильних багатогранників, тобто багатогранників, у яких кожна грань являє собою правильний багатокутник (Рівні сторони, рівні кути), всі грані ідентичні і всі вершини оточені рівним числом однаково розташованих граней. Ось п'ять правильних багатогранників:

тетраедр з чотирма трикутними гранями, чотирма вершинами і шістьма ребрами;

куб, або гексаедр, з 6 квадратними гранями, 8 вершинами і 12 ребрами;

октаедр з 8 трикутними гранями, 6 вершинами і 12 ребрами;

додекаедр з 12 п'ятикутними гранями, 20 вершинами і 30 ребрами;

ікосаедр з 20 трикутними гранями, 12 вершинами і 30 ребрами.

// Мал. 37. П'ять правильних багатогранників

Правильні багатогранники можна знайти і в природі. У 1904 р Ернст Геккель опублікував малюнки крихітних організмів, відомих як радіолярії; багато з них за формою нагадують ті самі п'ять правильних багатогранників. Можливо, правда, він трохи підправив природу, і малюнки не відображають повністю форму конкретних живих істот. Перші три структури спостерігаються також в кристалах. Додекаедру і ікосаедра в кристалах ви не знайдете, хоча неправильні додекаедри і ікосаедр там іноді трапляються. Справжні додекаедри можуть виникати у вигляді квазікристалів, які в усьому схожі на кристали, за винятком того, що їх атоми не утворюють періодичної решітки.

// Мал. 38. Малюнки Геккеля: радіолярії в формі правильних багатогранників

// Мал. 39. Розгортки правильних багатогранників

Буває цікаво робити моделі правильних багатогранників з паперу, вирізавши попередньо набір з'єднаних між собою граней - це називається розгорткою багатогранника; розгортку складають по ребрах і склеюють відповідні ребра між собою. Корисно додати до одного з ребер кожної такої пари додатковий майданчик для клею, як показано на рис. 39. Якщо такого майданчика немає, можна використовувати липку стрічку.

Рівняння п'ятого ступеня

Не існує алгебраїчної формули для вирішення рівнянь 5-го ступеня.

У загальному вигляді рівняння п'ятого ступеня виглядає так:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f \u003d 0.

Проблема в тому, щоб знайти формулу для рішень такого рівняння (у нього може бути до п'яти рішень). Досвід поводження з квадратними і кубічними рівняннями, а також з рівняннями четвертого ступеня дозволяє припустити, що така формула повинна існувати і для рівнянь п'ятого ступеня, причому в ній, по ідеї, повинні фігурувати коріння п'ятої, третьої і другого ступеня. Знову ж таки, можна сміливо припустити, що така формула, якщо вона існує, виявиться дуже і дуже складною.

Це припущення в кінцевому підсумку виявилося помилковим. Справді, ніякої такої формули не існує; принаймні не існує формули, що складається з коефіцієнтів a, b, c, d, e і f, складеної з використанням додавання, віднімання, множення і ділення, а також вилучення коренів. Таким чином, в числі 5 є щось зовсім особливе. Причини такого незвичайного поведінки п'ятірки вельми глибокі, і було потрібно немало часу, щоб в них розібратися.

Першою ознакою проблеми стало те, що, як би математики не старалися відшукати таку формулу, якими б розумними вони не були, вони незмінно зазнавали невдачі. Деякий час усі вважали, що причини криються в неймовірної складності формули. Вважалося, що ніхто просто не може як слід розібратися в цій алгебрі. Однак з часом деякі математики почали сумніватися в тому, що така формула взагалі існує, а в 1823 р Нільс Хендрік Абель зумів довести зворотне. Такий формули не існує. Незабаром після цього Еваріст Галуа знайшов спосіб визначити, вирішується чи рівняння тій чи іншій мірі - 5-й, 6-й, 7-й, взагалі будь-який - з використанням такого роду формули.

Висновок з усього цього простий: число 5 особливе. Можна вирішувати алгебраїчні рівняння (за допомогою коренів n-й ступеня для різних значень n) для ступенів 1, 2, 3 і 4, але не для 5-го ступеня. Тут очевидна закономірність закінчується.

Нікого не дивує, що рівняння ступенів більше 5 поводяться ще гірше; зокрема, з ними пов'язана така ж труднощі: немає загальних формул для їх вирішення. Це не означає, що рівняння не мають рішень; це не означає також, що неможливо знайти дуже точні чисельні значення цих рішень. Вся справа в обмеженості традиційних інструментів алгебри. Це нагадує неможливість трисекции кута за допомогою лінійки і циркуля. Відповідь існує, але перераховані методи недостатні і не дозволяють визначити, яка вона є.

кристалографічної обмеження

Кристали в двох і трьох вимірах не мають 5-променевої симетрії обертання.

Атоми в кристалі утворюють решітку, тобто структуру, яка періодично повторюється в кількох незалежних напрямках. Наприклад, малюнок на шпалерах повторюється по довжині рулону; крім того, він зазвичай повторюється і в горизонтальному напрямку, іноді із зсувом від одного шматка шпалер до наступного. По суті, шпалери - це двовимірний кристал.

Існує 17 різновидів шпалерних малюнків на площині (див. Розділ 17). Вони розрізняються за типами симетрії, тобто за способами зрушити жорстко малюнок таким чином, щоб він точно ліг сам на себе в первісному положенні. До типам симетрії відносяться, зокрема, різні варіанти симетрії обертання, де малюнок слід повернути на певний кут навколо певної точки - центру симетрії.

Порядок симетрії обертання - це те, скільки разів можна повернути тіло до повного кола так, щоб всі деталі малюнка повернулися на початкові позиції. Наприклад, поворот на 90 ° - це симетрія обертання 4-го порядку *. Список можливих типів симетрії обертання в кристалічній решітці знову вказує на незвичайність числа 5: його там немає. Існують варіанти з симетрією обертання 2, 3, 4 і 6-го порядків, але жоден шпалер малюнок не має симетрії обертання 5-го порядку. Симетрії обертання порядку більше 6 в кристалах теж не буває, але перше порушення послідовності відбувається все ж на числі 5.

Те ж відбувається з кристалографічними системами в тривимірному просторі. Тут решітка повторює себе по трьох незалежних напрямках. Існує 219 різних типів симетрії, або 230, якщо рахувати дзеркальне відображення малюнка окремим його варіантом - при тому, що в даному випадку немає дзеркальної симетрії. Знову ж таки, спостерігаються симетрії обертання порядків 2, 3, 4 і 6, але не 5. Цей факт отримав назву кристаллографического обмеження.

В чотиривимірному просторі решітки з симетрією 5-го порядку існують; взагалі, для решіток досить високої розмірності можливий будь-який наперед заданий порядок симетрії обертання.

// Мал. 40. Кристалічні ґрати кухонної солі. Темні кульки зображують атоми натрію, світлі - атоми хлору

квазікристалів

Хоча симетрія обертання 5-го порядку в двовимірних і тривимірних гратах неможлива, вона може існувати в трохи менш регулярних структурах, відомих як квазікристалів. Скориставшись начерками Кеплера, Роджер Пенроуз відкрив плоскі системи з більш загальним типом п'ятикратної симетрії. Вони отримали назву квазікристалів.

Квазікристали існують в природі. У 1984 р Даніель Шехтман відкрив, що сплав алюмінію і марганцю може утворювати квазікристали; спочатку кристалографи зустріли його повідомлення з деяким скепсисом, але пізніше відкриття було підтверджено, і в 2011 р Шехтман був удостоєний Нобелівської премії з хімії. У 2009 році команда вчених під керівництвом Луки Бінді виявила квазікристали в мінералі з російського Коряцького нагір'я - з'єднанні алюмінію, міді і заліза. Сьогодні цей мінерал називається Ікосаедр. Вимірявши за допомогою мас-спектрометра зміст в мінералі різних ізотопів кисню, вчені показали, що цей мінерал виник не на Землі. Він сформувався близько 4,5 млрд років тому, в той час, коли сонячна система тільки зароджувалася, і провів більшу частину часу в поясі астероїдів, звертаючись навколо Сонця, поки якийсь обурення не змінило його орбіту і не привело його в кінці кінців на Землю.

// Мал. 41. Зліва: одна з двох квазікристалічних решіток з точною п'ятикратної симетрією. Справа: атомна модель ікосаедрічеськая алюмінієво-палладиевой-марганцевого квазікристала

В одному можна бути впевненим на всі сто відсотків, що на питання, чому дорівнює квадрат гіпотенузи, будь-яка доросла людина сміливо відповість: «Сумі квадратів катетів». Ця теорема міцно засіла у свідомості кожної освіченої людини, але досить лише попросити кого-небудь її довести, і тут можуть виникнути складності. Тому давайте згадаємо і розглянемо різні способи доведення теореми Піфагора.

Короткий огляд біографії

Теорема Піфагора знайома практично кожному, але чомусь біографія людини, який справив її на світло, не так популярна. Це можна виправити. Тому перш ніж вивчити різні способи доведення теореми Піфагора, потрібно коротко познайомитися з його особистістю.

Піфагор - філософ, математик, мислитель родом з Сьогодні дуже складно відрізнити його біографію від легенд, які склалися в пам'ять про цю велику людину. Але як випливає з праць його послідовників, Піфагор Самоський народився на острові Самос. Його батько був звичайний каменеріз, а ось мати походила зі знатного роду.

Судячи з легендою, поява на світ Піфагора передбачила жінка на ім'я Піфія, в чию честь і назвали хлопчика. За її передбачення народжений хлопчик повинен був принести багато користі і добра людству. Що взагалі-то він і зробив.

народження теореми

В юності Піфагор переїхав з в Єгипет, щоб зустрітися там з відомими єгипетськими мудрецями. Після зустрічі з ними він був допущений до навчання, де і пізнав усі великі досягнення єгипетської філософії, математики та медицини.

Ймовірно, саме в Єгипті Піфагор надихнувся величністю і красою пірамід і створив свою велику теорію. Це може шокувати читачів, але сучасні історики вважають, що Піфагор не доводяться свою теорію. А лише передав своє знання послідовникам, які пізніше і завершили всі необхідні математичні обчислення.

Як би там не було, сьогодні відома не одна методика докази даної теореми, а відразу декілька. Сьогодні залишається лише гадати, як саме древні греки виробляли свої обчислення, тому тут розглянемо різні способи доведення теореми Піфагора.

теорема Піфагора

Перш ніж починати будь-які обчислення, потрібно з'ясувати, яку теорію належить довести. Теорема Піфагора звучить так: «У трикутнику, у якого один з кутів дорівнює 90 о, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи».

Всього існує 15 різних способів доведення теореми Піфагора. Це досить велика цифра, Тому приділимо увагу найпопулярнішим з них.

спосіб перший

Спочатку позначимо, що нам дано. Ці дані будуть поширюватися і на інші способи доказів теореми Піфагора, тому варто відразу запам'ятати всі наявне позначення.

Припустимо, дано прямокутний трикутник, з катетами а, в і гіпотенузою, що дорівнює с. Перший спосіб докази грунтується на тому, що з прямокутного трикутника потрібно домалювати квадрат.

Щоб це зробити, потрібно до катету довжиною а домалювати відрізок рівний катету в, і навпаки. Так повинно вийти дві рівні сторони квадрата. Залишається тільки намалювати дві паралельні прямі, і квадрат готовий.

Усередині вийшла фігури потрібно накреслити ще один квадрат зі стороною рівною гіпотенузі вихідного трикутника. Для цього від вершин ас і св потрібно намалювати два паралельних відрізка рівних с. Таким чином, вийти три сторони квадрата, одна з яких і є гіпотенуза вихідного прямокутного трикутники. Залишається лише Дочерті четвертий відрізок.

На підставі отриманого малюнка можна зробити висновок, що площа зовнішнього квадрата дорівнює (а + в) 2. Якщо заглянути всередину фігури, можна побачити, що крім внутрішнього квадрата в ній є чотири прямокутних трикутника. Площа кожного дорівнює 0,5ав.

Тому площа дорівнює: 4 * 0,5ав + з 2 \u003d 2АВ + з 2

Звідси (а + в) 2 \u003d 2АВ + з 2

І, отже, з 2 \u003d а 2 + в 2

Теорема доведена.

Спосіб два: подібні трикутники

Дана формула доведення теореми Піфагора була виведена на підставі затвердження з розділу геометрії про подібні трикутники. У ньому йдеться, що катет прямокутного трикутника - середнім пропорційним для його гіпотенузи і відрізка гіпотенузи, що виходить з вершини кута 90 о.

Вихідні дані залишаються ті ж, тому почнемо відразу з докази. Проведемо перпендикулярний стороні АВ відрізок СД. Грунтуючись на вищеописаному затвердження катети трикутників рівні:

АС \u003d √АВ * АТ, СВ \u003d √АВ * ДВ.

Щоб відповісти на питання, як довести теорему Піфагора, доказ потрібно прокласти зведенням в квадрат обох нерівностей.

АС 2 \u003d АВ * АТ і СВ 2 \u003d АВ * ДВ

Тепер потрібно скласти отримані нерівності.

АС 2 + СВ 2 \u003d АВ * (АТ * ДВ), де АТ + ДВ \u003d АВ

Виходить що:

АС 2 + СВ 2 \u003d АВ * АВ

І, отже:

АС 2 + СВ 2 \u003d АВ 2

Доказ теореми Піфагора і різні способи її вирішення потребують різнобічному підході до даної задачі. Однак цей варіант є одним з найпростіших.

Ще одна методика розрахунків

Опис різних способів доведення теореми Піфагора можуть ні про що не сказати, до тих самих пір поки самостійно не приступиш до практики. Багато методики передбачають не тільки математичні розрахунки, але і побудова з вихідного трикутника нових фігур.

В даному випадку необхідно від катета ВС добудувати ще один прямокутний трикутник ВСД. Таким чином, тепер є два трикутника із загальним катетом ВС.

Знаючи, що площі подібних фігур мають співвідношення як квадрати їх подібних лінійних розмірів, то:

S АВС * з 2 - S авд * в 2 \u003d S авд * а 2 - S ВСД * а 2

S АВС * (з 2-в 2) \u003d а 2 * (S авд -S ВСД)

з 2-в 2 \u003d а 2

з 2 \u003d а 2 + в 2

Оскільки з різних способів доказів теореми Піфагора для 8 класу цей варіант навряд чи підійде, можна скористатися наступною методикою.

Найпростіший спосіб довести теорему Піфагора. Відгуки

Як вважають історики, цей спосіб був вперше використаний для доведення теореми ще в стародавньої Греції. Він є найпростішим, оскільки не вимагає абсолютно ніяких розрахунків. Якщо правильно накреслити малюнок, то доказ твердження, що а 2 + в 2 \u003d з 2, буде видно наочно.

Умови для даного способу буде трохи відрізнятися від попереднього. Щоб довести теорему, припустимо, що прямокутний трикутник АВС - рівнобедрений.

Гіпотенузи АС приймаємо за сторону квадрата і закінчувати три його сторони. Крім цього необхідно провести дві діагональні прямі в отриманому квадраті. Таким чином, щоб усередині нього вийшло чотири рівнобедрених трикутника.

До катетам АВ і СВ так само потрібно Дочерті по квадрату і провести по одній діагональної прямої в кожному з них. Першу пряму креслимо з вершини А, другу - з С.

Тепер потрібно уважно вдивитися в вийшов малюнок. Оскільки на гіпотенузі АС лежить чотири трикутники, рівні вихідного, а на катетах по два, це говорить про правдивість даної теореми.

До речі, завдяки цій методиці доведення теореми Піфагора і з'явилася на світ знаменита фраза: «Піфагороі штани всі сторони рівні».

Доказ Дж. Гарфілда

Джеймс Гарфілд - двадцятий президент Сполучених Штатів Америки. Крім того, що він залишив свій слід в історії як правитель США, він був ще й обдарованим самоучкою.

На початку своєї кар'єри він був звичайним викладачем в народній школі, але незабаром став директором одного з вищих учбових закладів. Прагнення до саморозвитку і дозволило йому запропонувати нову теорію доведення теореми Піфагора. Теорема і приклад її рішення виглядає наступним чином.

Спочатку потрібно накреслити на аркуші паперу два прямокутних трикутника таким чином, щоб катет одного з них був продовженням другого. Вершини цих трикутників потрібно з'єднати, щоб в кінцевому підсумку вийшла трапеція.

Як відомо, площа трапеції дорівнює добутку півсуми її підстав на висоту.

S \u003d а + в / 2 * (а + в)

Якщо розглянути отриману трапецію, як фігуру, що складається з трьох трикутників, то її площа можна знайти так:

S \u003d ав / 2 * 2 + з 2/2

Тепер необхідно зрівняти два вихідних вираження

2АВ / 2 + с / 2 \u003d (а + в) 2/2

з 2 \u003d а 2 + в 2

Про теорему Піфагора і способах її докази можна написати не один том навчального посібника. Але чи є в ньому сенс, коли ці знання не можна застосувати на практиці?

Практичне застосування теореми Піфагора

На жаль, в сучасних шкільних програмах передбачено використання даної теореми тільки в геометричних задачах. Випускники скоро покинуть шкільні стіни, так і не дізнавшись, а як вони можуть застосувати свої знання і вміння на практиці.

Насправді ж використовувати теорему Піфагора в своїй повсякденному житті може кожен. Причому не тільки в професійної діяльності, Але і в звичайних домашніх справах. Розглянемо кілька випадків, коли теорема Піфагора і способи її докази можуть виявитися вкрай необхідними.

Зв'язок теореми і астрономії

Здавалося б, як можуть бути пов'язані зірки і трикутники на папері. Насправді ж астрономія - це наукова сфера, В якій широко використовується теорема Піфагора.

Наприклад, розглянемо рух світлового променя в космосі. Відомо, що світло рухається в обидва боки з однаковою швидкістю. Траєкторію АВ, якій рухається промінь світла назвемо l. А половину часу, який необхідний світлу, щоб потрапити з точки А в точку Б, назвемо t. І швидкість променя - c. Виходить що: c * t \u003d l

Якщо подивитися на цей самий промінь з іншої площини, наприклад, з космічного лайнера, який рухається зі швидкістю v, то при такому спостереженні тел їх швидкість зміниться. При цьому навіть нерухомі елементи стануть рухатися зі швидкістю v в зворотному напрямку.

Припустимо, комічний лайнер пливе вправо. Тоді точки А і В, між якими метається промінь, стануть рухатися вліво. Причому, коли промінь рухається від точки А в точку В, точка А встигає переміститися і, відповідно, світло вже прибуде в нову точку С. Щоб знайти половину відстані, на яке змістилася точка А, потрібно швидкість лайнера помножити на половину часу подорожі променя (t ").

А щоб знайти, яку відстань за цей час зміг пройти промінь світла, потрібно позначити половину шляху нової букової s і отримати такий вираз:

Якщо уявити, що точки світла С і В, а також космічний лайнер - це вершини рівнобедреного трикутника, То відрізок від точки А до лайнера розділить його на два прямокутні трикутники. Тому завдяки теоремі Піфагора можна знайти відстань, яку зміг пройти промінь світла.

Цей приклад, звичайно, не найвдаліший, так як тільки одиницям може пощастити випробувати його на практиці. Тому розглянемо більш приземлені варіанти застосування цієї теореми.

Радіус передачі мобільного сигналу

Сучасне життя вже неможливо уявити без існування смартфонів. Але чи багато було б від них пуття, якби вони не могли з'єднувати абонентів за допомогою мобільного зв'язку ?!

Якість мобільного зв'язку безпосередньо залежить від того, на якій висоті перебувати антена мобільного оператора. Для того щоб обчислити, якій відстані від мобільного вишки телефон може приймати сигнал, можна застосувати теорему Піфагора.

Припустимо, потрібно знайти приблизну висоту стаціонарної вишки, щоб вона могла поширювати сигнал в радіусі 200 кілометрів.

АВ (висота вежі) \u003d х;

ВС (радіус передачі сигналу) \u003d 200 км;

ОС (радіус земної кулі) \u003d 6380 км;

ОВ \u003d ОА + АВОВ \u003d r + х

Застосувавши теорему Піфагора, з'ясуємо, що мінімальна висота вежі повинна скласти 2,3 кілометра.

Теорема Піфагора в побуті

Як не дивно, теорема Піфагора може виявитися корисною навіть в побутових справах, таких як визначення висоти шафи-купе, наприклад. На перший погляд, немає необхідності використовувати такі складні обчислення, адже можна просто зняти мірки з допомогою рулетки. Але багато хто дивується, чому в процесі складання виникають певні проблеми, якщо все мірки були зняті більш ніж точно.

Справа в тому, що шафа-купе збирається в горизонтальному положенні і тільки потім піднімається і встановлюється до стіни. Тому боковина шафи в процесі підйому конструкції повинна вільно проходити і по висоті, і по діагоналі приміщення.

Припустимо, є шафа-купе глибиною 800 мм. Відстань від підлоги до стелі - 2600 мм. Досвідчений мебляр скаже, що висота шафи повинна бути на 126 мм менше, ніж висота приміщення. Але чому саме на 126 мм? Розглянемо на прикладі.

За ідеальних габаритах шафи перевіримо дію теореми Піфагора:

АС \u003d √АВ 2 + √ВС 2

АС \u003d √2474 2 +800 2 \u003d 2600 мм - все сходиться.

Припустимо, висота шафи одно не 2474 мм, а 2505 мм. тоді:

АС \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 мм.

Отже, ця шафа не підійде для установки в даному приміщенні. Так як при піднятті його у вертикальне положення можна завдати шкоди його корпусу.

Мабуть, розглянувши різні способи доведення теореми Піфагора різними вченими, можна зробити висновок, що вона більш ніж правдива. Тепер можна використовувати отриману інформацію в своєму повсякденному житті і бути повністю впевненим, що всі розрахунки будуть не тільки корисні, але і вірні.

Жартівливе доказ теореми Піфагора; також жартома про мішкуватих штанах приятеля.

• - трійки цілих позитивних чисел х, у, z, що задовольняють рівняння x2 + у 2 \u003d z2 ...

  математична енциклопедія

• - трійки таких натуральних чисел, Що трикутник, довжини сторін догрого пропорційні цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5 ...

  Природознавство. енциклопедичний словник

• - см. Ракета рятувальна ...

  морський словник

• - трійки натуральних чисел таких, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні цим числам, є прямокутним ...

  Велика Радянська Енциклопедія

• - mil. Неизм. Вираз, що використовується при перерахуванні або протиставленні двох фактів, явищ, обставин ...

  Навчальний фразеологічний словник

• - З роману-антиутопії «Скотний двір» англійського письменника Джорджа Оруелла ...
• - Вперше зустрічається в сатирі «Щоденник ліберала в Петербурзі» Михайла Евграфовича Салтикова-Щедріна, який так образно описав двоїсту, боязку позицію російських лібералів - своїх ...

  Словник крилатих слів і виразів

• - Йдеться в разі, коли співрозмовник довго і невиразно намагався щось повідомити, захаращуючи основну думку другорядними деталями ...

  Словник народної фразеології

• - Число гудзиків відомо. Чому ж хую тісно? - про штанях і чоловічому статевому органі. . Щоб це довести, треба зняти і показати 1) про теорему Піфагора; 2) про широких штанях ...

  Жива мова. Словник розмовних виразів

• - Пор. Немає безсмертя душі, так немає і чесноти, "значить, все дозволено" ... Спокуслива теорія негідникам ... хвалько, а суть-то вся: з одного боку, не можна не визнати, а з іншого - не можна не визнати ...

  Толково-фразеологічний словник Міхельсона

• - Піѳагорови штани іноск. про человѣкѣ даровітом'. Пор. Це несомнѣнності мудрец'. Вь давнину он 'навѣрное видумал' б піѳагорови штани ... Салтиков'. Пестрия листи ...
• - зй одного боку - зй іншого боку. Пор. Нѣт' безсмертія душі, так 'нѣт' і добродѣтелі, «значіт', все дозволено» ... Спокуслива теорія подлецам' .....

  Толково-фразеологічний словник Міхельсона (ориг. Орф.)

• - Хіба це жарти назву теореми Піфагора, що виникло в силу того, що побудовані на сторонах прямокутника і розходяться в різні боки квадрати нагадують крій штанів ...
• - З ОДНОГО БОКУ З ІНШОГО БОКУ. Кніжн ...

  Фразеологічний словник російської літературної мови

• - Див. ЗВАННЯ -...

  В.І. Даль. Прислів'я російського народу

• - Жарги. шк. Шутл. Піфагор. ...

  великий словник російських приказок

"Піфагороі штани всі сторони рівні" в книгах

11. Піфагорови штани