Формулювати 3 твердження про сонячну систему. Узагальнені закони Кеплера. Рух у гравітаційному полі

Планети рухаються навколо Сонця витягнутими еліптичними орбітами, причому Сонце знаходиться в одній з двох фокальних точок еліпса.

Відрізок прямий, що з'єднує Сонце та планету, відсікає рівні площі за рівні проміжки часу.

Квадрати періодів обігу планет навколо Сонця ставляться як куби великих півосей їх орбіт.

Йоган Кеплер мав почуття прекрасного. Все своє свідоме життя він намагався довести, що Сонячна система є якимось містичним витвором мистецтва. Спочатку він намагався зв'язати її пристрій із п'ятьма правильними багатогранниками класичної давньогрецької геометрії (Правильний багатогранник - об'ємна фігура, всі грані якої є рівними між собою правильні багатокутники.) За часів Кеплера було відомо шість планет, які, як належало, поміщалися на обертових «кришталевих сферах». Кеплер стверджував, що це сфери розташовані в такий спосіб, що між сусідніми сферами точно вписуються правильні багатогранники. Між двома зовнішніми сферами — Сатурном і Юпітером — він помістив куб, вписаний у зовнішню сферу, в який, у свою чергу, вписано внутрішню сферу; між сферами Юпітера і Марса — тетраедр (правильний чотиригранник) тощо. буд. Шість сфер планет, п'ять вписаних з-поміж них правильних багатогранників — здавалося б, саме досконалість?

На жаль, порівнявши свою модель з орбітами планет, що спостерігаються, Кеплер змушений був визнати, що реальна поведінка небесних тіл не вписується в окреслені ним стрункі рамки. За влучним зауваженням сучасного британського біолога Дж. Холдейна (J. B. S. Haldane), «ідея Всесвіту як геометрично досконалого витвору мистецтва виявилася ще однією прекрасною гіпотезою, зруйнованої потворними фактами». Єдиним результатом того юнацького пориву Кеплера, що пережив століття, стала модель Сонячної системи, власноруч виготовлена ​​вченим і подана в дар його патрону герцогу Фредеріку фон Вюртембургу. У цьому чудово виконаному металевому артефакті всі орбітальні сфери планет і вписані в них правильні багатогранники являють собою порожнисті ємності, що не повідомляються між собою, які у свята передбачалося заповнювати різними напоями для частування гостей герцога.

Лише переїхавши до Праги і став асистентом знаменитого датського астронома Тихо Браге (Tycho Brahe, 1546-1601), Кеплер натрапив на ідеї, які по-справжньому обезсмертили його ім'я в анналах науки. Тихо Браге все життя збирав дані астрономічних спостереженьі нагромадив величезні обсяги відомостей про рух планет. Після його смерті вони перейшли у розпорядження Кеплера. Ці записи, між іншим, мали велику комерційну цінність на ті часи, оскільки їх можна було використовувати для складання уточнених астрологічних гороскопів (сьогодні про цей розділ ранньої астрономії вчені вважають за краще мовчати).

Обробляючи результати спостережень Тихо Браге, Кеплер зіштовхнувся з проблемою, яка і за наявності сучасних комп'ютерів могла б здатися комусь важкою, а Кеплер не мав іншого вибору, крім як проводити всі розрахунки вручну. Звичайно ж, як і більшість астрономів його часу, Кеплер уже був знайомий з геліоцентричною системоюКоперника ( див.Принцип Коперника) і знав, що Земля обертається навколо Сонця, що свідчить і вищеописана модель Сонячної системи. Але як саме обертається Земля та інші планети? Уявимо проблему наступним чином: ви знаходитесь на планеті, яка, по-перше, обертається навколо своєї осі, а по-друге, обертається навколо Сонця по невідомій вам орбіті. Дивлячись у небо, ми бачимо інші планети, які також рухаються невідомими нам орбітами. Наше завдання - визначити за даними спостережень, зроблених на нашому обертовому навколо своєї осі навколо Сонця земній кулі, геометрію орбіт та швидкості руху інших планет. Саме це, зрештою, вдалося зробити Кеплеру, після чого, на основі отриманих результатів, він і вивів три свої закони!

Перший законописує геометрію траєкторій планетарних орбіт. Можливо, ви пам'ятаєте з шкільного курсугеометрії, що еліпс є безліч точок площини, сума відстаней від яких до двох фіксованих точок — фокусів- Дорівнює константі. Якщо це занадто складно для вас, є інше визначення: уявіть собі переріз бічної поверхні конуса площиною під кутом до його основи, що не проходить через основу, - це також еліпс. Перший закон Кеплера якраз і стверджує, що орбіти планет є еліпсами, в одному з фокусів яких розташоване Сонце. Ексцентриситети(ступінь витягнутості) орбіт та їх віддалення від Сонця в перигелії(найближчої до Сонця точки) та апогелії(Найвіддаленішій точці) у всіх планет різні, але всі еліптичні орбіти ріднить одне - Сонце розташоване в одному з двох фокусів еліпса. Проаналізувавши дані спостережень Тихо Браге, Кеплер зробив висновок, що планетарні орбіти є набором вкладених еліпсів. До нього це просто не спадало на думку нікому з астрономів.

Історичне значення першого закону Кеплера важко переоцінити. До нього астрономи вважали, що планети рухаються виключно круговими орбітами, а якщо це не вкладалося в рамки спостережень — головний круговий рух доповнювався малими колами, які планети описували навколо точок основної кругової орбіти. Це було, я б сказав, передусім філософською позицією, свого роду незаперечним фактом, який не підлягає сумніву та перевірці. Філософи стверджували, що небесний пристрій, на відміну від земного, абсолютно за своєю гармонією, а оскільки найдосконалішими з геометричних фігурє коло і сфера, значить планети рухаються по колу (причому ця помилка мені і сьогодні доводиться щоразу розвіювати серед своїх студентів). Головне, що, отримавши доступ до великих даних спостережень Тихо Браге, Йоганн Кеплер зумів переступити через цей філософський забобон, побачивши, що він не відповідає фактам — подібно до того, як Коперник насмілився прибрати Землю з центру світобудови, зіткнувшись з суперечливими стійким геоцентричним уявленням аргументами також полягали у «неправильній поведінці» планет на орбітах.

Другий законописує зміну швидкості руху планет навколо Сонця. У формальному вигляді я його формулювання вже наводив, а щоб краще зрозуміти його фізичний сенс, Згадайте своє дитинство. Напевно, вам доводилося на дитячому майданчику розкручуватись навколо стовпа, вхопившись за нього руками. Фактично, планети кружляють навколо Сонця аналогічно. Чим далі від Сонця веде планету еліптична орбіта, тим повільніший рух, чим ближче до Сонця, тим швидше рухається планета. Тепер уявіть пару відрізків, що з'єднують два положення планети на орбіті з фокусом еліпса, де розташоване Сонце. Разом із сегментом еліпса, що лежить між ними, вони утворюють сектор, площа якого якраз і є тією самою «площею, яку відтинає прямий відрізок». Саме про неї йдеться у другому законі. Чим ближче планетадо Сонця, тим коротше відрізки. Але в цьому випадку, щоб за рівний час сектор покрив рівну площу, планета повинна пройти більшу відстань по орбіті, а значить, швидкість її руху зростає.

У перших двох законах мова йдепро специфіку орбітальних траєкторій окремо взятої планети. Третій законКеплера дозволяє порівняти орбіти планет між собою. У ньому йдеться, що чим далі від Сонця знаходиться планета, тим більше часу займає її повний оборот при русі по орбіті і тим довше, відповідно, триває рік на цій планеті. Сьогодні ми знаємо, що це обумовлено двома чинниками. По-перше, що далі планета перебуває від Сонця, то довшим периметр її орбіти. По-друге, зі зростанням відстані від Сонця знижується і лінійна швидкістьруху планети.

У своїх законах Кеплер просто констатував факти, вивчивши та узагальнивши результати спостережень. Якби ви запитали його, чим зумовлена ​​еліптичність орбіт чи рівність площ секторів, він би вам не відповів. Це просто випливало з проведеного ним аналізу. Якби ви спитали його про орбітальний рух планет в інших зіркових системах, він також не знайшов би, що вам відповісти. Йому довелося б починати все спочатку — накопичувати дані спостережень, потім аналізувати їх і намагатися виявити закономірності. Тобто в нього просто не було б підстав вважати, що інша планетна система підпорядковується тим самим законам, як і Сонячна система.

Один із найбільших тріумфів класичної механікиНьютона таки полягає в тому, що вона дає фундаментальне обґрунтування законам Кеплера і стверджує їх універсальність. Виявляється, закони Кеплера можна вивести із законів механіки Ньютона, закону всесвітнього тяжіння Ньютона та закону збереження моменту імпульсу шляхом суворих математичних викладок. А якщо так, ми можемо бути впевнені, що закони Кеплера в рівною міроюзастосовні до будь-якої планетної системи в будь-якій точці Всесвіту. Астрономи, що шукають у світовому просторі нові планетні системи (а відкрито їх вже досить багато), раз-по-раз, як само собою зрозуміле, застосовують рівняння Кеплера для розрахунку параметрів орбіт далеких планет, хоча і не можуть спостерігати їх безпосередньо.

Третій закон Кеплера грав і відіграє важливу роль у сучасній космології. Спостерігаючи за далекими галактиками, астрофізики реєструють слабкі сигнали, що випускаються атомами водню, що обертаються дуже віддаленими від галактичного центру орбітами — набагато далі, ніж зазвичай знаходяться зірки. За ефектом Доплера в спектрі цього випромінювання вчені визначають швидкості обертання водневої периферії галактичного диска, а за ними - і кутові швидкості галактик в цілому. див.також Темна матерія). Мене тішить, що праці вченого, який твердо поставив нас на шлях правильного розумінняпристрої нашої Сонячної системи, і сьогодні, через століття після його смерті, відіграють таку важливу роль у вивченні будови неосяжного Всесвіту.

Між сферами Марса та Землі – додекаедр (дванадцятигранник); між сферами Землі та Венери — ікосаедр (двадцятигранник); між сферами Венери та Меркурія — октаедр (восьмигранник). Конструкція, що вийшла, була представлена ​​Кеплером у розрізі на докладному об'ємному кресленні (див. малюнок) в його першій монографії «Космографічна таємниця» (Mysteria Cosmographica, 1596).- Примітка перекладача.

І. Кеплер усе своє життя намагався довести, що наша Сонячна система – це якесь містичне мистецтво. Спочатку він намагався довести, що пристрій системи має схожість із правильними багатогранниками із давньогрецької геометрії. За часів Кеплера було відомо про існування шести планет. Вважалося, що вони містяться в кришталевих сферах. За твердженням вченого, ці сфери розташовувалися в такий спосіб, що між сусідніми точно вписуються багатогранники правильної форми. Між Юпітером та Сатурном помістився куб, вписаний у зовнішнє середовище, в яке вписано сферу. Між Марсом і Юпітером знаходиться тетраедр і т.п. Після довгих років спостережень за небесними об'єктами з'явилися закони Кеплера, а свою теорію про багатогранники він спростував.

Закони

На зміну геоцентричної Птолемеєвої системи світу прийшла система геліоцентричного типу, створена Коперником. Ще пізніше, Кеплер виявив навколо Сонця.

Після багаторічних спостережень за планетами з'явилися три закони Кеплера. Розглянемо їх у статті.

Перший

Згідно з першим законом Кеплера, всі планети нашої системи рухаються замкненою кривою, званою еліпсом. Наше світило знаходиться в одному з фокусів еліпса. Усього їх дві: це дві точки всередині кривої, сума відстаней від яких до будь-якої точки еліпса постійна. Після тривалих спостережень вчений зміг виявити, що орбіти всіх планет нашої системи знаходяться майже в одній площині. Деякі небесні тіла рухаються орбітами-еліпсами, близькими до кола. І тільки Плутон з Марсом рухаються більш витягнутими орбітами. Виходячи з цього, перший закон Кеплера отримав назву закону еліпсів.

Другий закон

Вивчення руху тіл дозволяє вченому встановити, що більше в той період, коли вона знаходиться ближче до Сонця, і менше, коли вона знаходиться на максимальній відстані від Сонця (це точки перигелія і афелія).

Другий закон Кеплера говорить про таке: кожна планета переміщається в площині, що проходить через центр нашого світила. Одночасно радіус-вектор, що з'єднує Сонце і досліджувану планету, описує рівні площі.

Таким чином, ясно, що тіла рухаються навколо жовтого карлика нерівномірно, а маючи в перигелії максимальну швидкість, а афелії - мінімальну. Насправді це видно з руху Землі. Щорічно на початку січня наша планета під час проходження через перигелій переміщується швидше. Через це рух Сонця з екліптики відбувається швидше, ніж в іншу пору року. На початку липня Земля рухається через афелій, через що Сонце з екліптики переміщається повільніше.

Третій закон

За третім законом Кеплера, між періодом обігу планет навколо світила та її середньою відстанню від нього встановлюється зв'язок. Цей закон учений застосував до всіх планет нашої системи.

Пояснення законів

Закони Кеплера змогли пояснити лише після відкриття Ньютоном закону тяжіння. По ньому фізичні об'єкти беруть участь у гравітаційній взаємодії. Воно має загальну універсальність, якій піддаються всі об'єкти матеріального типу та фізичні поля. За твердженням Ньютона, два нерухомі тіла діють взаємно один з одним із силою, пропорційною добутку їх ваги і обернено пропорційною квадрату проміжків між ними.

Обурений рух

Рухом тіл нашої Сонячної системи управляє сила тяжіння жовтого карлика. Якби тіла притягувалися лише силою Сонця, то планети робили б рухи навколо нього точно за законами руху Кеплера. Цей видпереміщення називають незворушеним або кеплерівським.

Насправді, всі об'єкти нашої системи притягуються не тільки нашим світилом, а й один одним. Тому жодне з тіл не може переміщатися точно еліпсом, гіперболою або колом. Якщо тіло відхиляється під час руху від законів Кеплера, це називається обуреннями, а сам рух - обуреним. Саме воно вважається реальним.

Орбіти небесних тіл є нерухомими еліпсами. Під час тяжіння іншими тілами відбувається зміна еліпса орбіти.

Внесок І. Ньютона

Ісаак Ньютон зміг вивести із законів руху планет Кеплера закон всесвітнього тяжіння. Для вирішення космічно-механічних завдань Ньютон використовував саме всесвітнє тяжіння.

Після Ісаака прогрес у галузі небесної механіки полягав у розвитку математичної науки, що застосовується для вирішення рівнянь, що виражають закони Ньютона. Цей учений зміг встановити, що гравітація планети визначається відстанню до неї і масою, а такі показники, як температура і склад, не впливають.

У своїй науковій роботіНьютон показав, що третій закон кеплерів не зовсім точний. Він показав, що за підрахунками важливо враховувати масу планети, оскільки рух і вага планет пов'язані. Це гармонійна комбінація показує зв'язок між кеплерівськими законами та законом тяжіння, виявленим Ньютоном.

Астродинаміка

Застосування законів Ньютона та Кеплера стало основою появи астродинаміки. Це розділ небесної механіки, що вивчає рух космічних тіл, створених штучно, а саме супутників, міжпланетних станцій, різних кораблів.

Астродинаміка займається розрахунками орбіт космічних кораблів, і навіть визначає, за якими параметрами проводити пуск, яку орбіту виводити, які потрібно провести маневри, плануванням гравітаційного на кораблі. І це далеко не всі практичні завдання, що ставляться перед астродинамікою. Всі отримані результати застосовуються при виконанні різних космічних місій.

З астродинамікою тісно пов'язана небесна механіка, яка вивчає рух природних космічних тіл під впливом сили тяжіння.

Орбіти

Під орбітою розуміють траєкторію руху точки у заданому просторі. У небесній механіці прийнято вважати, що траєкторія тіла в гравітаційному полі іншого тіла має значно більшу масу. У прямокутній системі координат траєкторія може мати форму конічного перерізу, тобто. бути представлена ​​параболою, еліпсом, колом, гіперболою. При цьому фокус співпадатиме з центром системи.

Протягом тривалого часу вважалося, що орбіти мають бути круглими. Досить довго вчені намагалися підібрати саме круговий варіант переміщення, але не виходило. І тільки Кеплер зміг пояснити, що планети переміщаються не круговою орбітою, а витягнутою. Це дозволило відкрити три закони, які змогли описати рух небесних тіл орбітою. Кеплер відкрив такі елементи орбіти: форму орбіти, її нахил, положення площини орбіти тіла у просторі, розмір орбіти, прив'язку за часом. Усі ці елементи визначають орбіту незалежно від її форми. При розрахунках основний координатною площиноюможе бути площина екліптики, галактики, планетарного екватора і т.д.

Численні дослідження показують, що за геометричній форміорбіти можуть бути еліптичними та округлими. Є розподіл на замкнуті та незамкнуті. По кутку нахилу орбіти до площини земного екватора, орбіти можуть бути полярними, похилими та екваторіальними.

За періодом обігу навколо тіла, орбіти можуть бути синхронними або сонячно-синхронними, синхронно-добовими, квазісинхронними.

Як говорив Кеплер, всі тіла мають певну швидкість руху, тобто. орбітальну швидкість. Вона може бути постійною протягом всього звернення навколо тіла або змінюватися.

Кожна планета рухається еліпсом, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. Закон відкритий Ньютоном також у XVII столітті (зрозуміло, що на основі законів Кеплера). Другий закон Кеплера еквівалентний закону збереження моменту імпульсу. На відміну від двох перших, третій закон Кеплера можна застосувати тільки до еліптичних орбіт. Німецький астроном І. Кеплер на початку XVII століття на основі системи Коперника сформулював три емпіричні закони руху планет Сонячної системи.

У рамках класичної механіки виводяться з розв'язання задачі двох тіл граничним переходом → 0, де - маси планети і Сонця відповідно. Ми отримали рівняння конічного перерізу з ексцентриситетом та початком системи координат в одному з фокусів. Таким чином, з другого закону Кеплера випливає, що планета рухається навколо Сонця нерівномірно, маючи в перигелії більшу лінійну швидкість, ніж в афелії.

3.1. Рух у гравітаційному полі

Ньютон встановив, що гравітаційне тяжіння планети певної маси залежить лише від відстані до неї, а чи не від інших властивостей, як-от склад чи температура. Інше формулювання цього закону: секторіальна швидкість планети стала. Сучасне формулювання першого закону доповнено так: у незбуреному русі орбіта тіла, що рухається, є крива другого порядку - еліпс, парабола або гіпербола.

Незважаючи на те, що закони Кеплера з'явилися найважливішим етапом у розумінні руху планет, вони все ж таки залишалися тільки емпіричними правилами, отриманими з астрономічних спостережень.

Для кругових орбіт перший і другий закон Кеплера виконуються автоматично, а третій закон стверджує, що T2 ~ R3, де Т – період обігу, R – радіус орбіти. Відповідно до закону збереження енергії, повна енергія тіла в гравітаційному полі залишається незмінною. При E = E1 rmax. У цьому випадку небесне тіло рухається еліптичною орбітою (планети Сонячної системи, комети).

Закони Кеплера застосовні не лише до руху планет та інших небесних тіл у Сонячній системі, а й до руху штучних супутниківЗемлі та космічних кораблів. Встановлено Йоганном Кеплером на початку XVII століття як узагальнення даних спостережень Тихо Браге. І особливо уважно Кеплер вивчав рух Марса. Розглянемо закони докладніше.

При с=0 і е=0 еліпс перетворюється на окуржность. Цей закон, як і перші два, застосуємо як до руху планет, до руху як їх природних, і штучних супутників. Кеплера не дано, тому що в цьому не було потреби. Кеплера сформульований Ньютоном так: квадрати сидеричних періодів планет, помножені на суму мас Сонця та планети, відносяться як куби великих півосей орбіт планет.

17 ст. І. Кеплером (1571–1630) на основі багаторічних спостережень Т. Браге (1546–1601). Закон площ.) 3. Квадрати періодів будь-яких двох планет співвідносяться як куби середніх відстаней від Сонця. Нарешті він припустив, що орбіта Марса еліптична, і побачив, що ця крива добре описує спостереження, якщо Сонце помістити в один із фокусів еліпса. Потім Кеплер припустив (хоч і не міг точно довести цього), що всі планети рухаються еліпсами, у фокусі яких знаходиться Сонце.

КЕПЛЕРІВСЬКИЙ ЗАКОН ПЛОЩІВ. 1 й закон: кожна планета рухається еліптич. Коли камінь падає Землю, він підпорядковується закону всесвітнього тяжіння. Ця сила додається до одного з тіл, що взаємодіють, і спрямована в бік іншого. До такого висновку, зокрема, прийшов І. Ньютон у своєму уявному киданні каміння з високої гори. Отже, Сонце викривляє рух планет, не даючи їм розлетітися на всі боки.

Кеплер на основі результатів кропітких та багаторічних спостережень Тихо Браге за планетою Марс зміг визначити форму його орбіти. Дія на Місяць Землі та Сонця роблять зовсім непридатними для розрахунків її орбіти закони Кеплера.

Форма еліпса і ступінь його подібності з колом характеризується ставленням, де відстань від центру еліпса до його фокусу (половина міжфокусної відстані), велика піввісь. Отже можна стверджувати, що, отже і пропорційна їй швидкість замітки площі - константа. Сонця, а й – довжини великих півосей їх орбіт. Твердження справедливе також для супутників.

Обчислимо площу еліпса, яким рухається планета. При цьому взаємодія між тілами M1 та M2 не враховується. Відмінність буде лише у лінійних розмірах орбіт (якщо тіла різної маси). У світі атомів та елементарних частинокгравітаційні сили зневажливо малі проти іншими видами силового взаємодії між частинками.

Розділ 3. Основи небесної механіки

Гравітація управляє рухом планет Сонячної системи. Без неї планети, що становлять Сонячну систему, розбіглися б у різні боки і загубилися в безмежних просторах світового простору. З погляду земного спостерігача планети рухаються вельми складними траєкторіями (рис. 1.24.1). Геоцентрична система Птолемея протрималася понад 14 століть і лише в середині XVI століття була замінена геліоцентричною системою Коперника.

На рис. 1.24.2 показана еліптична орбіта планети, маса якої набагато менше маси Сонця. Майже всі планети Сонячної системи (крім Плутона) рухаються орбітами, близькими до кругових. Кругова та еліптична орбіти.

Ньютон перший висловив думку, що гравітаційні сили визначають як рух планет Сонячної системи; вони діють між будь-якими тілами Всесвіту. Зокрема, вже йшлося про те, що сила тяжіння, що діє на тіла поблизу поверхні Землі, має гравітаційну природу. Потенційна енергія тіла маси m, що знаходиться на відстані r від нерухомого тіла маси M, дорівнює роботі гравітаційних сил при переміщенні маси m з цієї точки в нескінченність.

У межі при Δri → 0 ця сума перетворюється на інтеграл. Повна енергія може бути позитивною та негативною, а також дорівнювати нулю. Символ повної енергії визначає характер руху небесного тіла (рис. 1.24.6). Якщо швидкість космічного корабля дорівнює ?

Таким чином, перший закон Кеплера прямо випливає із закону всесвітнього тяжіння Ньютона та другого закону Ньютона. 3. Зрештою, Кеплер відзначився ще й третім законом планетних рухів. Сонця, а й – маси планет. Стосовно нашої Сонячної системи, з цим законом пов'язані два поняття: перигелій - найближча до Сонця точка орбіти, афелій - найбільш віддалена точка орбіти.

Закони Кеплера

У світі атомів та елементарних частинок гравітаційні сили зневажливо малі порівняно з іншими видами силової взаємодії між частинками. Дуже непросто спостерігати гравітаційну взаємодію і між різними оточуючими нас тілами, навіть якщо їх маси становлять багато тисяч кілограмів. Однак саме гравітація визначає поведінку «великих» об'єктів, таких як планети, комети та зірки, саме гравітація утримує всіх нас на Землі.

Гравітація управляє рухом планет Сонячної системи. Без неї планети, що становлять Сонячну систему, розбіглися б у різні боки і загубилися в безмежних просторах світового простору.

Закономірності руху планет з давніх-давен привертали увагу людей. Вивчення руху планет і будови Сонячної системи призвело до створення теорії гравітації – відкриття закону всесвітнього тяжіння.

З погляду земного спостерігача планети рухаються вельми складними траєкторіями (рис. 1.24.1). Першу спробу створення моделі Всесвіту було здійснено Птолемієм(~ 140 р.). У центрі світобудови Птолемей помістив Землю, навколо якої великими і малими колами, як у хороводі, рухалися планети і зірки.

Геоцентрична система Птолемея протрималася понад 14 століть і лише у середині XVI століття замінили геліоцентричноїсистемою Коперника. У системі Коперника траєкторії планет виявилися простішими. Німецький астроном І. Кеплерна початку XVII століття на основі системи Коперника сформулював три емпіричні закони руху планет Сонячної системи. Кеплер використав результати спостережень за рухом планет датського астронома Т. Браге.

Перший закон Кеплера (1609 р.):

Всі планети рухаються еліптичними орбітами, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.

На рис. 1.24.2 показана еліптична орбіта планети, маса якої набагато менше маси Сонця. Сонце знаходиться в одному із фокусів еліпса. Найближча до Сонця точка Pтраєкторії називається перигелієм, крапка A, найбільш віддалена від Сонця - афелієм. Відстань між афелієм та перигелієм – велика вісь еліпса.

Майже всі планети Сонячної системи (крім Плутона) рухаються орбітами, близькими до кругових.

Другий закон Кеплера (1609 р.):

Радіус-вектор планети описує у рівні проміжки часу рівні площі.

Мал. 1.24.3 ілюструє 2-й закон Кеплера.

Другий закон Кеплера еквівалентний закону збереження моменту імпульсу. На рис. 1.24.3 зображено вектор імпульсу тіла та його складові та Площу, помітну радіус-вектором за малий час Δ t, приблизно дорівнює площі трикутника з основою rΔθ та висотою r:

Тут - кутова швидкість ( див. §1.6).

Момент імпульсу Lпо абсолютній величині дорівнює добутку модулів векторів і

Тому, якщо за другим законом Кеплера, то й момент імпульсу Lпід час руху залишається незмінним.

Зокрема, оскільки швидкості планети в перигелії та афелії спрямовані перпендикулярно до радіус-векторів і із закону збереження моменту імпульсу випливає:

Третій закон Кеплера виконується всім планет Сонячної системи з точністю понад 1 %.

На рис. 1.24.4 зображено дві орбіти, одна з яких – кругова з радіусом R, а інша – еліптична з великою піввіссю a. Третій закон стверджує, що якщо R = a, то періоди звернення тіл цими орбітами однакові.

Незважаючи на те, що закони Кеплера з'явилися найважливішим етапом у розумінні руху планет, вони все ж таки залишалися тільки емпіричними правилами, отриманими з астрономічних спостережень. Закони Кеплера потребували теоретичного обґрунтування. Вирішальний крок у цьому напрямі було зроблено Ісааком Ньютоном, який відкрив у 1682 році закон всесвітнього тяготіння:

де Mі m– маси Сонця та планети, r- Відстань між ними, G= 6,67 · 10 -11 Н · м 2 / кг 2 - гравітаційна постійна. Ньютон перший висловив думку, що гравітаційні сили визначають як рух планет Сонячної системи; вони діють між будь-якими тілами Всесвіту. Зокрема, говорилося, що сила тяжкості, що діє на тіла поблизу поверхні Землі, має гравітаційну природу.

Для кругових орбіт перший і другий закон Кеплера виконуються автоматично, а третій закон стверджує, що T 2 ~ R 3 , де Т - період звернення, R- Радіус орбіти. Звідси можна отримати залежність гравітаційної сили на відстані. При русі планети круговою траєкторією на неї діє сила, яка виникає за рахунок гравітаційної взаємодії планети і Сонця:

Якщо T 2 ~ R 3 , то

Властивість консервативності гравітаційних сил ( див. §1.10) дозволяє ввести поняття потенційної енергії . Для сил всесвітнього тяжіння зручно потенційну енергію відраховувати від віддаленої точки.

Потенційна енергія тіла масиm , що знаходиться на відстаніr від нерухомого тіла масиM , що дорівнює роботі гравітаційних сил при переміщенні масиm з цієї точки в нескінченність.

Математична процедура обчислення потенційної енергії тіла у гравітаційному полі полягає у підсумовуванні робіт на малих переміщеннях (рис. 1.24.5).

Закон всесвітнього тяжіння застосуємо не тільки до точених мас, а й до сферично-симетричним тілам. Робота гравітаційної сили на малому переміщенні:

У межі при Δ r i→ 0 ця сума перетворюється на інтеграл. В результаті обчислень для потенційної енергії виходить вираз

Відповідно до закону збереження енергії, повна енергія тіла в гравітаційному полі залишається незмінною.

Повна енергія може бути позитивною та негативною, а також дорівнювати нулю. Символ повної енергії визначає характер руху небесного тіла (рис. 1.24.6).

При E = E 1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > r max. У цьому випадку небесне тіло рухається по еліптичній орбіті(Планети Сонячної системи, комети).

При E = E 2 = 0 тіло може піти на нескінченність. Швидкість тіла на нескінченності дорівнюватиме нулю. Тіло рухається по параболічної траєкторії.

При E = E 3 > 0 рух відбувається по гіперболічної траєкторії. Тіло видаляється на нескінченність, маючи запас кінетичної енергії.

Закони Кеплера застосовуються не тільки до руху планет та інших небесних тіл у Сонячній системі, але й до руху штучних супутників Землі та космічних кораблів. І тут центром тяжіння є Земля.

Першою космічною швидкістю називається швидкість руху супутника по круговій орбіті поблизу Землі.

звідси

Другою космічною швидкістю називається мінімальна швидкість, яку потрібно повідомити космічному кораблюбіля Землі, щоб він, подолавши земне тяжіння, перетворився на штучний супутник Сонця (штучна планета). При цьому корабель буде віддалятися від Землі параболічною траєкторією.

звідси

Мал. 1.24.7 ілюструє космічні швидкості. Якщо швидкість космічного корабля дорівнює ? При початкових швидкостях, що перевищують 1, але менших 2 = 11,2 · 10 3 м / с, орбіта корабля буде еліптичною. При початковій швидкості 2 корабель рухатиметься по параболі, а при ще більшій початковій швидкості - по гіперболі.

Мав неабиякі математичні здібності. На початку XVII століття в результаті багаторічних спостережень за рухом планет, а також на основі аналізу астрономічних спостережень Тихо Браге, Кеплер відкрив три закони, названі його ім'ям.

Перший закон Кеплера(Закон еліпсів). Кожна планета рухається еліпсом, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.

Другий закон Кеплера(закон рівних площ). Кожна планета рухається у площині, що проходить через центр Сонця, причому за рівні проміжки часу радіус-вектор, що з'єднує Сонце та планету, замітає собою рівні площі.

Третій закон Кеплера(Гармонічний закон). Квадрати періодів звернень планет навколо Сонця пропорційні кубам великих півосей їх еліптичних орбіт.

Давайте розглянь детальніше кожен із законів.

Перший закон Кеплера (закон еліпсів)

Кожна планета Сонячної системи звертається еліпсом, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.

Перший закон визначає геометрію траєкторій планетарних орбіт. Уявіть собі переріз бічної поверхні конуса площиною під кутом до його основи, що не проходить через основу. Постаттю, що вийшла, буде еліпс. Форма еліпса та ступінь його подібності з колом характеризується ставленням e = c/a, де c – відстань від центру еліпса до його фокусу (фокальна відстань), a – велика піввісь. Розмір e називається ексцентриситетом еліпса. При c = 0, отже, e = 0 еліпс перетворюється на окружність.

Найближча до Сонця точка P траєкторії називається перигелієм. Точка A, найвіддаленіша від Сонця, — афелієм. Відстань між афелієм та перигелієм становить велику вісь еліптичної ор-біти. Відстань між афелієм А та перигелієм Р становить велику вісь еліптичної орбіти. Половина довжини великої осі, піввісь a — це середня відстань від планети до Сонця. Середня відстань від Землі до Сонця називається астрономічною одиницею (а. е.) і дорівнює 150 млн км.

Другий закон Кеплера (закон площ)

Кожна планета рухається в площині, що проходить через центр Сонця, причому за рівні проміжки часу радіус-вектор, що з'єднує Сонце та планету, займає рівні площі.

Другий закон визначає зміну швидкості руху планет навколо Сонця. З цим законом пов'язані два поняття: перигелій - найближча до Сонця точка орбіти, і афелій - найвіддаленіша точка орбіти. Планета рухається навколо Сонця нерівномірно, маючи у перигелії більшу лінійну швидкість, ніж у афелії. На малюнку, площі секторів виділених синім, рівні і відповідно час, протягом якого планета пройде кожен сектор, теж дорівнює. Земля проходить перигелій на початку січня, а афелій на початку липня. Другий закон Кеплера, закон площ показує, що сила, яка керує орбітальним рухом планет, спрямована до Сонця.

Третій закон Кеплера (гармонічний закон)

Квадрати періодів звернень планет навколо Сонця пропорційні кубам великих півосей їх еліптичних орбіт. Справедливо не лише для планет, а й для їхніх супутників.

Третій закон Кеплера дозволяє порівняти орбіти планет між собою. Чим далі планета знаходиться від Сонця, тим довше периметр її орбіти і при русі орбітою її повний оборот займає більше часу. Також зі зростанням відстані від Сонця знижується лінійна швидкість руху планети.

де T 1 , T 2 - Періоди обігу планети 1 і 2 навколо Сонця; a 1 > a 2 - Довжини великих півосей орбіт планет 1 і 2. Піввісь - це середня відстань від планети до Сонця.

Пізніше Ньютон встановив, що третій закон Кеплера не зовсім точний - насправді до нього входить і маса планети.

де М - маса Сонця, а m1 і m2 - маса планети 1 та 2.

Оскільки рух і маса пов'язані, цю комбінацію гармонійного закону Кеплера і закону тяжіння Ньютона використовують визначення маси планет і супутників, якщо відомі їх орбіти і орбітальні періоди. Також знаючи відстань планети до Сонця, можна обчислити тривалість року (час повного обороту навколо Сонця). І навпаки, знаючи тривалість року, можна вирахувати відстань планети до Сонця.

Три закони руху планетвідкриті Кеплером дали чітке пояснення нерівномірності руху планет. Перший закон визначає геометрію траєкторій планетарних орбіт. Другий закон визначає зміну швидкості руху планет навколо Сонця. Третій закон Кеплера дозволяє порівняти орбіти планет між собою. Закони, відкриті Кеплером, послужили пізніше Ньютону основою створення теорії тяжіння. Ньютон математично довів, що це закони Кеплера є наслідками закону тяжіння.