Що таке багатогранник визначення та види. Багатогранники. Теорема Ейлера про многогранниках. Топологічно правильні і неправильні багатогранники. Багатогранники в природі

Вступ

Поверхня, складену з багатокутників і обмежує деякі геометричне тіло, називають багатогранної поверхнею або многогранником.

Багатогранником називається обмежене тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа багатокутників. Багатокутники, які обмежують багатогранник, називаються гранями, лінії перетину граней називаються ребрами.

Багатогранники можуть мати різноманітне і дуже складну будову. Різні споруди, наприклад будинки, що будуються з цегли та бетонних блоків, являють собою приклади багатогранників. Інші приклади можна знайти серед меблів, наприклад стіл. У хімії форма молекул вуглеводню являє собою тетраедр, правильного двадцятигранниками, куб. У фізики прикладом багатогранників служать кристали.

З найдавніших часів уявлення про красу пов'язували з симетрією. Напевно, цим пояснюється інтерес людини до многогранників - дивним символам симетрії, що вабили увагу видатних мислителів, яких вражала краса, досконалість, гармонія цих фігур.

Перші згадки про многогранниках відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м. Не випадково кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.

Історія правильних багатогранників сягає глибокої давнини. Починаючи з 7 століття до нашої ери в Стародавній Греції створюються філософські школи, в яких відбувається поступовий перехід від практичної до філософської геометрії. Велике значення в цих школах набувають міркування, за допомогою яких вдалося отримувати нові геометричні властивості.

Однією з перших і найвідоміших шкіл була Пифагорейская, названа на честь свого засновника Піфагора. Відмітною знаком піфагорійців була пентаграма, на мові математики - це правильний неопуклих або зірчастий п'ятикутник. Пентаграмме присвоювалося здатність захищати людину від злих духів.

Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря і води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цим думку, атоми основних елементів повинні мати форму різних тел:

§ Всесвіт - додекаедр

§ Земля - \u200b\u200bкуб

§ Вогонь - тетраедр

§ Вода - ікосаедр

§ Повітря - октаедр

Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами.

Платоновим тілами називаються правильні однорідні опуклі багатогранники, тобто опуклі багатогранники, всі грані і кути яких рівні, причому межі - правильні багатокутники. До кожної вершині правильного багатогранника сходиться одне і те ж число ребер. Всі двогранні кути при ребрах і все багатогранні кути при вершинах правильного багатокутника рівні. Платонова тіла - тривимірний аналог плоских правильних багатокутників.

Теорія багатогранників є сучасним розділом математики. Вона тісно пов'язана з топологією, теорією графів, має велике значення як для теоретичних досліджень по геометрії, так і для практичних додатків в інших розділах математики, наприклад, в алгебрі, теорії чисел, прикладної математики - лінійному програмуванні, теорії оптимального управління. Таким чином, дана тема є актуальною, а знання з даної проблематики - важливими для сучасного суспільства.

Основна частина

Многограннікомназивается обмежене тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа багатокутників.

Наведемо визначення багатогранника, рівносильне першим визначенням багатогранника.

багатогранник – це фігура, яка є об'єднанням кінцевого числа тетраедрів, для яких виконані наступні умови:

1) кожні два тетраедра не мають спільних точок, або мають загальну вершину, або тільки загальне ребро, або цілу загальну грань;

2) від кожного тетраедра до іншого можна перейти по ланцюжку тетраедра, в якій кожний наступний прилягає до попереднього по цілій межі.

елементи багатогранника

Грань багатогранника - це деякий багатокутник (многоугольником називається обмежена замкнута область, межа якої складається з кінцевого числа відрізків).

Сторони граней називаються ребрами багатогранника, а вершини граней - вершінамімногогранніка. До елементів багатогранника, крім його вершин, ребер і граней, відносяться також плоскі кути його граней і двогранні кути при його ребрах. Двогранний кут при ребрі багатогранника визначається його гранями, придатними до цього ребру.

Класифікація багатогранників

Опуклий багатогранник -це багатогранник, будь-які дві точки якого поєднувані в ньому відрізком. Опуклі багатогранники володіють багатьма чудовими властивостями.

Теорема Ейлера. Для будь-якого опуклого багатогранника По-Р + Г \u003d 2,

де В - число його вершин, Р - число його ребер, Г - число його граней.

Теорема Коші. Два замкнутих опуклих багатогранника, однаково складені з відповідно рівних граней рівні.

Опуклий багатогранник вважається правильним, якщо всі його грані - рівні правильні багатокутники і в кожній його вершині сходиться одне і те ж число ребер.

правильний багатогранник

Багатогранник називається правильним, якщо, по-перше, він опуклий, по-друге, все його межі - рівні один одному правильні багатокутники, по-третє, в кожній його вершині сходяться однакове число граней, і, по-четверте, все його двогранні кути рівні.

Існує п'ять опуклих правильних багатогранників - тетраедр, октаедр і ікосаедр з трикутними гранями, куб (гексаедр) з квадратними гранями і додекаедр з п'ятикутними гранями. Доказ цього факту відомо вже більше двох тисяч років; цим доказом і вивченням п'яти правильних тіл завершуються "Почала" Евкліда (давньогрецький математик, автор перших дійшли до нас теоретичних трактатів з математики). Чому правильні багатогранники отримали такі імена? Це пов'язано з числом їх граней. Тетраедр має 4 грані, в перекладі з грецького "тетра" - чотири, "едрон" - грань. Гексаедр (куб) має 6 граней, "гекса" - шість; октаедр - восьмигранник, "ОКТО" - вісім; додекаедр - двенадцатигранник, "додека" - дванадцять; ікосаедр має 20 граней, "Ікос" - двадцять.

2.3. Типи правильних багатогранників:

1) правильний тетраедр (Складений з чотирьох рівносторонніх трикутників. Кожна його вершина є вершиною трьох трикутник. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180 0);

2) куб - паралелепіпед, всі грані якого - квадрати. Куб складений з шести квадратів. Кожна вершина куба є вершиною трьох квадратів. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 270 0.

3) правильний октаедрабо просто октаедр– багатогранник, у якого вісім правильних трикутних граней і в кожній вершині сходяться по чотири грані. Октаедр складений з восьми рівносторонніх трикутників. Кожна вершина октаедра є вершиною чотирьох трикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 240 0. Його можна побудувати, склавши підставами дві піраміди, в підставі яких квадрати, а бічні грані - правильні трикутники. Ребра октаедра можна отримати, поєднуючи центри сусідніх граней куба, якщо ж з'єднати центри сусідніх граней правильного октаедра, то отримаємо ребра куба. Кажуть, що куб і октаедр двоїсті одна одній.

4)ікосаедр - складено з двадцяти рівносторонніх трикутників. Кожна вершина ікосаедра є вершиною п'яти трикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 300 0.

5) додекаедр - багатогранник, складений з дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 324 0.

Додекаедр і ікосаедр теж двоїсті одна одній в тому сенсі, що, з'єднавши відрізками центри сусідніх граней ікосаедра, ми отримаємо додекаедр, і навпаки.

Правильний тетраедр двоїстий сам собі.

При цьому не існує правильного багатогранника, гранями якого є правильні шестикутники, семикутники і взагалі n-косинці при n ≥ 6.

Правильним многогранником називається багатогранник, у якого всі грані правильні рівні багатокутники, і все двогранні кути рівні. Але є і такі багатогранники, у яких все багатогранні кути рівні, а межі - правильні, але різнойменні правильні багатокутники. Багатогранники такого типу називаються Рівнокутні-напівправильними многогранниками. Вперше багатогранники таке типу відкрив Архімед. Їм докладно описані 13 багатогранників, які пізніше в честь великого вченого були названі тілами Архімеда. Це усічений тетраедр, усічений оксаедр, усічений ікосаедр, усічений куб, усічений додекаедр, кубооктаедр, ікосододекаедр, усічений кубооктаедр усічений ікосододекаедр, ромбокубооктаедр, ромбоікосододекаедр, "плосконосий" (кирпатий) куб, "плосконосий" (кирпатий) додекаедр.

2.4. Напівправильні багатогранники або архімедовим тіла - опуклі багатогранники, що володіють двома властивостями:

1. Всі грані є правильними багатокутниками двох або більше типів (якщо всі грані - правильні багатокутники одного типу, це - правильний багатогранник).

2. Для будь-якої пари вершин існує симетрія багатогранника (тобто рух переводить багатогранник в себе) переводить одну вершину в іншу. Зокрема всі багатогранні кути при вершинах конгруентний.

Крім напівправильних багатогранників з правильних багатогранників - Платонових тіл, можна отримати так звані правильні зірчасті багатогранники. Їх всього чотири, вони називаються також тілами Кеплера-Пуансо. Кеплер відкрив малий додекаедр, названий їм колючим або їжаком, і великий додекаедр. Пуансо відкрив два інших правильних зірчастих багатогранника, двоїстих відповідно першим двом: великий зірчастий додекаедр і великий ікосаедр.

Два тетраедра, які пройшли один крізь інший, утворюють восьмигранник. Йоганн Кеплерпрісвоіл цій фігурі ім'я «стела октангула» - «восьмикутна зірка». Вона зустрічається і в природі: це так званий подвійний кристал.

У визначенні правильного багатогранника свідомо - в розрахунку на гадану очевидність - не було підкреслено слово «опуклий». А воно означає додаткову вимогу: «і всі грані, якого лежать по одну сторону від площини, що проходить через будь-яку з них». Якщо ж відмовитися від такого обмеження, то до Платоновим тіл, крім «продовженого октаедра», доведеться додати ще чотири багатогранника (їх називають тілами Кеплера - Пуансо), кожен з яких буде «майже правильним». Всі вони виходять «озвездиваніем» Платонова тіла, тобто продовженням його граней до перетину один з одним, і тому називаються зірчастими. Куб і тетраедр не породжують нових фігур - межі їх, скільки не продовжуй, не перетинаються.

Якщо ж продовжити всі грані октаедра до перетину їх один з одним, то вийде фігура, що виникає при взаємопроникнення двох тетраедрів - «стела октангула», яка називається «продовженим октаедром ».

Ікосаедр і додекаедр дарують світу відразу чотири «майже правильних багатогранника». Один з них - малий зірчастий додекаедр, отриманий вперше Іоганном Кеплером.

Століттями математики не визнавали за будь-якого роду зірками права називатися багатокутниками через те, що сторони їх перетинаються. Людвіг Шлефлі НЕ виганяв геометричне тіло з сімейства багатогранників тільки за те, що його межі самопересекающиеся, проте, залишався непохитним, як тільки мова заходила про малий зірчастий додекаедр. Довід його був простий і вагою: це кеплерівський тварина не підпорядковується формулі Ейлера! Його колючки утворені дванадцятьма гранями, тридцятьма ребрами і дванадцятьма вершинами, і, отже, В + Г-Р зовсім не дорівнює двійці.

Шлефлі був і прав, і неправий. Звичайно ж, геометричний їжачок не так вже колючий, щоб повстати проти непогрішною формули. Треба тільки не брати до уваги, що він утворений дванадцятьма пересічними зірчастими гранями, а поглянути на нього як на просте, чесне геометричне тіло, складене з 60 трикутників, що має 90 ребер і 32 вершини.

Тоді В + Г-Р \u003d 32 + 60-90 одно, як і належить, 2. Але зате тоді до цього багатограннику не застосовується слово «правильний» - адже межі його тепер не рівносторонній, а всього лише трикутник. Кеплер НЕ додумався, що у отриманої їм фігури є двійник.

Багатогранник, який називається «великий додекаедр» - побудував французький геометр Луї Пуансо через двісті років після кеплерівських зірчастих фігур.

Великий ікосаедрбил вперше описаний Луї Пуансо в 1809 році. І знову Кеплер, побачивши великий зірчастий додекаедр, честь відкриття другої фігури залишив Луї Пуансо. Ці фігури також наполовину підкоряються формулою Ейлера.

Практичне застосування

Багатогранники в природі

Правильні багатогранники - найвигідніші фігури, тому вони широко поширені в природі. Підтвердженням тому служить форма деяких кристалів. Наприклад, кристали кухонної солі мають форму куба. При виробництві алюмінію користуються алюмінієво-калієвими кварцами, монокристал яких має форму правильного октаедра. Отримання сірчаної кислоти, заліза, особливих сортів цементу не обходиться без сірчистого колчедану. Кристали цієї хімічної речовини мають форму додекаедра. У різних хімічних реакціях застосовується сурьменістий сірчанокислий натрій - речовина, синтезоване вченими. Кристал сурьменістого сірчанокислого натрію має форму тетраедра. Останній правильний багатогранник - ікосаедр передає форму кристалів бору.

Зірчасті багатогранники дуже декоративні, що дозволяє широко застосовувати їх в ювелірній промисловості при виготовленні всіляких прикрас. Застосовуються вони і в архітектурі. Багато форми зірчастих багатогранників підказує сама природа. Сніжинки - це зірчасті багатогранники. З давнини люди намагалися описати всі можливі типи сніжинок, складали спеціальні атласи. Зараз відомо кілька тисяч різних типів сніжинок.

Правильні багатогранники зустрічаються так само і в живій природі. Наприклад, скелет одноклітинного організму феодаріі (Circjgjnia icosahtdra) за формою нагадує ікосаедр. Більшість феодарій живуть на морській глибині і служать здобиччю коралових рибок. Але найпростіше тварина захищає себе дванадцятьма голками, що виходять з 12 вершин скелета. Воно більше схоже на зірчастий багатогранник.

Також ми можемо спостерігати багатогранники у вигляді квітів. Яскравим прикладом можуть служити кактуси.

Схожа інформація.

Хоча стереометрию вивчають тільки в старших класах школи, але з кубом, правильними пірамідами та іншими простими многогранниками знаком кожен школяр. Тема «Багатогранники» має яскраві додатки, в тому числі в живопису та архітектури. Крім цього, в ній, за образним висловом академіка Александрова, поєднуються «лід і полум'я», тобто жива уява і сувора логіка. але в шкільному курсі стереометрії мало часу приділяється правильним многогранників. Але ж у багатьох правильні багатогранники викликають великий інтерес, але немає можливості дізнатися про них більше на уроці. Саме тому я вирішила розповісти про всі правильних многогранниках, що мають різноманітні форми, і про їх цікаві властивості.

Структура правильних багатогранників дуже зручна для вивчення безлічі перетворень багатогранника в себе (повороти, симетрії і т. Д.). Отримувані при цьому групи перетворень (їх називають групами симетрії) виявилися вельми цікавими з точки зору теорії кінцевих груп. Ця ж симетричність дозволила створити серію головоломок у вигляді правильних багатогранника, що почалася «кубиком Рубіком» і «молдавської пірамідкою».

Для складання реферату використовувався Науково-популярний фізико-математичний журнал "Квант", з якого взята інформація про те, що таке правильний багатогранник, про їх кількість, про побудову всіх правильних багатогранників і описі всіх поворотів, при яких багатогранник поєднується зі своїм початковим становищем. З газети «Математика» я отримала цікаві відомості про зірчастих правильних многогранниках, їх властивості, відкритті і їх застосуванні.

Тепер у вас є можливість зануритися в світ правильного і прекрасного, в світ прекрасного і незвичайного, який причаровує наш погляд.

1. Правильні багатогранники

1. 1 Визначення правильних багатогранників.

Опуклий багатогранник називається правильним, якщо його гранями є рівні правильні багатогранники і все багатогранні кути рівні.

Розглянемо можливі правильні багатогранники і, перш за все ті з них, гранями яких є правильні трикутники. Найбільш простим таким правильним многогранником є трикутна піраміда, Гранями якої є правильні трикутники. У кожній її вершині сходиться по три грані. Маючи всього чотири грані, цей багатогранник називається також правильним тетраедром, або просто тетраедром, що в перекладі з грецької мови означає чотиригранник.

Багатогранник, гранями якого є правильні трикутники і в кожній вершині сходиться чотири грані, його поверхня складається з восьми правильних трикутників, тому він називається октаедром.

Багатогранник, в кожній вершині якого сходитися п'ять правильних трикутників. Його поверхня складається з двадцяти правильних трикутників, тому він називається Ікосаедр.

Зауважимо, що оскільки в вершинах опуклого багатогранника не може сходитися більше п'яти правильних трикутників, то інших правильних багатокутників, гранями яких є правильні трикутники, не існує.

Аналогічно, оскільки в вершинах опуклого багатогранника може сходитися тільки три квадрата, то, крім куба, інших правильних багатогранників, у яких гранями є квадрати, не існує. Куб має шість граней і тому також називається Гексаедр.

Багатогранник, гранями якого є правильні п'ятикутник і в кожній вершині сходяться три грані. Його поверхня складається з дванадцяти правильних п'ятикутників, тому він називається додекаедрів.

З визначення правильного багатогранника слід, що правильний багатогранник «абсолютно симетричний»: якщо відзначити якусь грань Г і одну з її вершин А, то для будь-якої іншої межі Г1 і її вершини А1 можна поєднати багатогранник з самим собою рухом в просторі так, що грань Г суміститься з Г1 і при цьому вершина А потрапляє в точку А1.

1. 2. Історична довідка.

П'ять перерахованих вище правильних багатогранників, що їх називають також «тілами Платона», захопили уяву математиків, містиків і філософів давнини більше двох тисяч років тому. Стародавні греки навіть встановили містичне відповідність між тетраедром, кубом, октаедром і ікосаедр і чотирма природними началами - вогнем, землею, повітрям і водою. Що стосується п'ятого правильного багатогранника, додекаедра, то вони розглядали його як форму Всесвіту. Ці ідеї не є одним лише надбанням минулого. І зараз, через два тисячоліття, багатьох приваблює лежить в їх основі естетичне начало.

Перші чотири багатогранника були відомі задовго до Платона. Археологи знайшли додекаедр, виготовлений за часів етруської цивілізації принаймні за 500 років до н. е. Але, мабуть, в школі Платона додекаедр був відкритий самостійно. Існує легенда про учня Платона Гіппазе, загиблого в морі тому, що він розголосив таємницю про «кулі з дванадцятьма п'ятикутниками».

З часів Платона і Евкліда добре відомо, що існує рівно п'ять типів правильних багатогранників.

Доведемо цей факт. Нехай всі грані деякого багатогранника -правильним п-косинці і k - число граней, що примикають до вершини (воно однаково для всіх вершин). Розглянемо вершину А нашого багатогранника. Нехай M1, М2 ,. , Mk - кінці k виходять з неї ребер; оскільки двогранні кути при цих ребрах рівні, AM1M2Mk - правильна піраміда: при повороті на кут 360º / k навколо висоти АН вершина М переходить в М, вершина M1 - в М2. Mk в M1.

Порівняємо трикутник AM1M2 і HM1M2 У них підстава загальне, а бічна сторона AM1 більше HM1, тому M1AM2

Тетраедр 3 3 4 4 6

Куб 4 3 8 6 12

Октаедр 3 4 6 8 12

Додекаедр 5 3 20 12 30

Ікосаедр 3 5 12 20 30

1. 3. Побудова правильних багатогранників.

Всі відповідні багатогранники можна побудувати, взявши за основу куб.

Щоб отримати правильний тетраедр, досить взяти чотири несуміжні вершини куба і відрізати від нього пірамідки чотирма площинами, кожна з яких проходить через три з взятих вершин

Такий тетраедр можна вписати в куб двома способами.

Перетин двох таких правильних тетраедрів - це якраз правильний октаедр: багатогранник з восьми трикутників з вершинами, розташованими в центрах граней куба.

2. Властивості правильних багатогранників.

2. 1. Сфера і правильні багатогранники.

Вершини будь-якого правильного багатогранника лежать на сфері (що навряд чи викличе здивування, якщо згадати, що вершини будь-якого правильного багатокутника лежать на окружності). Крім цієї сфери, званої «описаної сферою», є ще дві важливі сфери. Одна з них, «серединна сфера», проходить через середини всіх ребер, а інша, «вписана сфера», стосується всіх граней в їх центрах. Всі три сфери мають загальний центр, який називається центром багатогранника.

Радіус описаної сфери Назва багатогранника Радіус вписаного сфери

тетраедр

додекаедр

ікосаедр

2. 1. Самосовмещенія багатогранників.

Які самосовмещенія (обертання, що переводять в себе) є у куба, тетраедра і октаедра? Зауважимо, що деяка точка-центр багатогранника - при будь-якому самосовмещеніі переходить в себе, так що все самосовмещенія мають загальну нерухому точку.

Подивимося, які взагалі в просторі бувають обертання з нерухомою точкою А. Покажемо, що таке обертання обов'язково є поворотом на деякий кут навколо деякої прямої що проходить через точку А. Досить у нашого руху F (c F (A) \u003d A) вказати нерухому пряму. Знайти її можна так: розглянемо три точки M1, M2 \u003d F (M1) і M3 \u003d F (M2), відмінні від нерухомої точки А, проведемо через них площину і опустимо на неї перпендикуляр АН - це і буде шукана пряма. (Якщо М3 \u003d М1, то наша пряма проходить через середину відрізка M1M2, a F - осьова симетрія: поворот на кут 180 °).

Отже, самосовмещеніе багатогранника обов'язково є поворотом навколо осі, що проходить через центр багатогранника. Ця вісь перетинає наш багатогранник в вершині або у внутрішній точці ребра або грані. Отже, наше самосовмещеніе переводить в себе вершину, ребро або грань, значить, воно переводить в себе вершину, середину ребра або центр межі. Висновок: рух куба, тетраедра або октаедра, що сполучає його з собою, є обертання навколо осі одного з трьох типів: центр багатогранника - вершина, центр багатогранника - середина ребра, центр багатогранника - центр грані.

Взагалі, якщо багатогранник поєднується з самим собою при повороті навколо прямої на кут 360 ° / m, то цю пряму називають віссю симетрії m-го порядку.

2. 2. Рух і симетрії.

Основний інтерес до правильних многогранників викликає велике число симетрій, якими вони володіють.

Розглядаючи самосовмещенія багатогранників, можна включити в їх число не тільки обертання, але і будь-які рухи, що переводять багатогранник в себе. Тут рух - це будь-яке перетворення простору, що зберігає попарні відстані між точками.

У число рухів, крім обертань, потрібно включити і дзеркальні руху. Серед них - симетрія відносно площини (відображення), а також композиція відображення відносно площини і повороту навколо перпендикулярної їй прямий (це - загальний вигляд дзеркального руху, яке має нерухому точку). Звичайно, такі рухи не можна реалізувати безперервним переміщенням багатогранника в просторі.

Розглянемо докладніше симетрії тетраедра. Будь-яка пряма, що проходить через будь-яку вершину і центр тетраедра, проходить через центр протилежній грані. Поворот на 120 або 240 градусів навколо цієї прямої належить до числа симетрій тетраедра. Так як у тетраедра 4 вершини (і 4 грані), то ми отримаємо всього 8 прямих симетрій. Будь-яка пряма, що проходить через центр і середину ребра тетраедра проходить через середину протилежної ребра. Поворот на 180 градусів (напівоберт) навколо такої прямої також є симетрією. Так як у тетраедра 3 пари ребер, ми отримуємо ще 3 прямі симетрії. отже, загальне число прямих симетрій, включаючи тотожне перетворення, доходить до 12. Можна показати, що інших прямих симетрій не існує і що є 12 зворотних симетрій. Таким чином, тетраедр допускає всього 24 симетрії.

Прямі симетрії інших правильних багатогранників можна обчислити за формулою [(q - 1) N0 + N1 + (p - 1) N2] / 2 + 1, де р-число сторін правильних багатокутників, які є гранями багатогранника, q - число граней, що примикають до кожній вершині, N0 - число вершин, N1 - число ребер і N2 - число граней кожного багатогранника.

Гексаедр і октаедр мають по 24 симетрії, а ікосаедр і додекаедр- по 60 симетрій.

Всі правильні багатогранники мають площині симетрії (у тетраедра їх - 6, у куба і октаедра - по 9, у ікосаедра і Додекаедр - по 15).

2. 3. Зірчасті багатогранники.

Крім правильних багатогранників красиві форми мають зірчасті багатогранники. Їх всього чотири. Перші два були відкриті І. Кеплером (1571 - 1630), а два інших майже 200 років по тому побудував Л. Пуансо (1777 - 1859). Саме тому правильні зірчасті багатогранники називаються тілами Кеплера - Пуансо. Вони виходять з правильних багатогранників продовженням їх граней або ребер. Французький геометр Пуансо в 1810 році побудував чотири правильні зірчастих багатогранника: малий зірчастий додекаедр, великий зірчастий додекаедр, великий додекаедр і великий ікосаедр. У цих чотирьох багатогранників межі - пересічні правильні багатогранники, а у двох із них кожна з граней являє собою самопересекающийся багатокутник. Але Пуансо не зміг довести, що інших правильних багатогранників не існує.

Через рік (у 1811р.) Це зробив французький математик Огюстен Луї Коші (1789 - 1857). Він скористався тим, що згідно з визначенням правильного багатогранника, його можна накласти на самого себе так, що довільна його грань сполучиться з наперед обраної. З цього випливає, що всі грані зірчастого багатогранника рівновіддалені від деякої точки-центру сфери, вписаною в багатогранник.

Площині граней зірчастого багатогранника, перетинаючись, утворюють ще й правильний опуклий багатогранник, тобто Платонове тіло, описане близько тієї ж сфери. Це Платонове тіло Коші назвав ядром даного зірчастого багатогранника. Тим самим зірчастий багатогранник можна отримати, продовжуючи площині граней одного з платонових тел.

З тетраедра, куба і октаедра зірчасті багатогранники отримати не можна. Розглянемо додекаедр. Продовження його ребер призводить до заміни кожної грані, зірчасті правильним п'ятикутником, а в результаті виходить малий зірчастий додекаедр.

На продовженні граней Додекаедр можливі наступні два випадки: 1) якщо розглядати правильні п'ятикутник, то виходить великий додекаедр.

2) якщо ж в якості граней розглядати зірчасті п'ятикутники, то виходить великий зірчастий додекаедр.

Ікосаедр має одну зірчасті форму. При продовженні межі правильного ікосаедра виходить великий ікосаедр.

Таким чином, існує чотири типи правильних зірчастих багатогранників.

Зірчасті багатогранники дуже декоративні, що дозволяє широко застосовувати їх в ювелірній промисловості при виготовленні всіляких прикрас.

Багато форми зірчастих багатогранників підказує сама природа. Сніжинки - це зірчасті багатогранники. З давнини люди намагалися описати всі можливі типи сніжинок, складали спеціальні атласи. Зараз відомо кілька тисяч різних типів сніжинок.

висновок

В роботі розкриті наступні теми: правильні багатогранники, побудова правильних багатогранників, самосовмещеніе, рух і симетрії, зірчасті багатогранники і їх властивості. Ми дізналися, що існує всього лише п'ять правильних багатогранника і чотири зірчастих правильних багатогранника, які знайшли широке застосування в різних областях.

Вивчення платонових тел і пов'язаних з ними фігур триває і понині. І хоча основними мотивами сучасних досліджень служать краса і симетрія, вони мають також і деяке наукове значення, особливо в кристалографії. Кристали кухонної солі, тіоантімоніда натрію і хромових квасцов зустрічаються в природі у вигляді куба, тетраедра і октаедра відповідно. Ікосаедр і додекаедр серед кристалічних форм невідомі, але їх можна спостерігати серед форм мікроскопічних морських організмів, відомих під назвою радиолярий.

Ідеї \u200b\u200bПлатона і Кеплера про зв'язок правильних багатогранників з гармонічним пристроєм світу і в наш час знайшли своє продовження в цікавій науковій гіпотезі, яку на початку 80-х рр. висловили московські інженери В. Макаров і В. Морозов. Вони вважають, що ядро \u200b\u200bЗемлі має форму і властивості зростаючого кристала, що робить вплив на розвиток всіх природних процесів, Що йдуть на планеті. Промені цього кристала, а точніше, його силове поле, обумовлюють Ікосаедр-додекаедровую структуру Землі. Вона проявляється в тому, що в земній корі як би проступають проекції вписаних в земну кулю правильних багатогранників: ікосаедра і Додекаедр.

Багато поклади корисних копалин тягнуться вздовж Ікосаедр-додекаедровой сітки; 62 вершини і середини ребер багатогранників, званих авторами вузлами, мають ряд специфічних властивостей, що дозволяють пояснити деякі незрозумілі явища. Тут розташовуються осередки найдавніших культур і цивілізацій: Перу, Північна Монголія, Гаїті, Обская культура та інші. У цих точках спостерігаються максимуми і мінімуми атмосферного тиску, Гігантські завихрення Світового океану. У цих вузлах знаходяться озеро Лох-Несс, Бермудський трикутник. Подальші дослідження Землі, можливо, визначать відношення до цієї наукової гіпотези, в якій, як видно, правильні багатогранники займають важливе місце.

Структура правильних багатогранників дуже зручна для вивчення безлічі перетворень багатогранника в себе (повороти, симетрії і т. Д.). Отримувані при цьому групи перетворень (їх називають групами симетрії) виявилися вельми цікавими з точки зору теорії кінцевих груп. Ця ж симетричність дозволила створити серію головоломок у вигляді правильних багатогранників, що почалася «кубиком Рубіком» і «молдавської пірамідкою».

Великий інтерес до форм правильних багатогранників проявляли також скульптори, архітектори, художники. Їх всіх вражало досконалість, гармонія багатогранників. Леонардо да Вінчі (1452 - 1519) захоплювався теорією багатогранників і часто зображував їх на своїх полотнах. Сальвадор Далі на картині «Таємна вечеря» зобразив І. Христа зі своїми учнями на тлі величезного прозорого додекаедра.

Частина геометрії, яку ми вивчали досі, називається планіметрії - ця частина була про властивості плоских геометричних фігур, Тобто фігур, цілком розташованих в деякій площині. Але оточуючі нас предмети в більшості не є плоскими. Будь-який реальний предмет займає якусь частину простору.

Розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур в просторі, називається стереометрії.

Якщо поверхні геометричних тіл складені з багатокутників, то такі тіла називаються многогранниками.

Багатокутники, у тому числі складено багатогранник, називаються його гранями. При цьому передбачається, що ніякі дві сусідні грані багатогранника чи не лежать в одній площині.

Сторони граней називаються ребрами, а кінці ребер - вершинами многогранника.

Відрізок, що з'єднує дві вершини, які не належать одній грані, називається діагоналлю багатогранника.

Багатогранники бувають опуклими і неопуклого.

Опуклий багатогранник характеризується тим, що він розташований по одну сторону від площини кожної своєї межі. На малюнку опуклий багатогранник - октаедр. У октаедра вісім граней, всі грані - правильні трикутники.

На малюнку - неопуклих (увігнутий) багатокутник. Якщо розглянути, наприклад, площину трикутника \\ (EDC \\), то, очевидно, частина багатокутника знаходиться по одну сторону, а частина - по іншу сторону цієї площини.

Для подальших визначень введемо поняття паралельних площин і паралельних прямих в просторі і перпендикулярності прямої і площини.

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

пряму називають перпендикулярної до площини, Якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої в цій площині.

Призма

Тепер можемо ввести визначення призми.

\\ (N \\) - вугільної призмою називають багатогранник, складений з двох рівних \\ (n \\) - кутників,лежать в паралельних площинах, І \\ (n \\) - паралелограмів, які утворилися при з'єднанні вершин \\ (n \\) - кутників відрізками паралельних прямих.

Рівні \\ (n \\) - косинці називають підставами призми.

Сторони багатокутників називають ребрами підстав.

паралелограми називають бічними гранями призми.

Паралельні відрізки називають бічними ребрамипризми.

Призми бувають прямими і похилими.

Якщо підстави прямої призми - правильні багатокутники, то таку призму називають правильною.

У прямих призм всі бічні грані - прямокутники. Бічні ребра прямої призми перпендикулярні до площин її підстав.

Якщо з будь-якої точки одного підстави провести перпендикуляр до іншого підставі призми, то цей перпендикуляр називають висотою призми.

На малюнку - похила чотирикутна призма, в якій проведена висота B 1 E.

У прямій призмі кожне з бічних ребер є висотою призми.

На малюнку - пряма трикутна призма. Всі бічні грані - прямокутники, будь бічне ребро можна називати висотою призми. У трикутної призми немає діагоналей, так як всі вершини з'єднані ребрами.

На малюнку - правильна чотирикутна призма. Підстави призми - квадрати. Все діагоналі правильної чотирикутної призми рівні, перетинаються в одній точці і діляться в цій точці навпіл.

Чотирикутна призма, основи якої - паралелограми, називається параллелепипедом.

Вищезгадану правильну чотирикутну призму можна також називати прямим параллелепипедом.

Якщо підстави прямого паралелепіпеда - прямокутники, то цей паралелепіпед - прямокутний.

На малюнку - прямокутний паралелепіпед. Довжини трьох ребер із загальною вершиною називають вимірами прямокутного паралелепіпеда.

Наприклад, AB, AD і A A 1 можна називати вимірами.

Так як трикутники ABC і AC C 1 - прямокутні, то, отже, квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірів:

A C 1 2 \u003d AB 2 + AD 2 + A A 1 2.

Якщо через відповідні діагоналі підстав провести розтин, вийде те, що називають діагональним перерізомпризми.

У прямих призмах діагональні перерізи є прямокутниками. Через рівні діагоналі проходять рівні діагональні перерізи.

На малюнку - правильна шестикутна призма, в якій проведено два різних діагональних перетину, які проходять через діагоналі з різними довжинами.

Основні формули для розрахунків в прямих призмах

1. Бічна поверхня S-пліч. \u003d P осн. ⋅ H, де \\ (H \\) - висота призми. Для похилих призм площа кожної бічної грані визначається окремо.

2. Повна поверхню S повн. \u003d 2 ⋅ S осн. + S бік. . Ця формула справедлива для всіх призм, не тільки для прямих.

3. Обсяг V \u003d S осн. ⋅ H. Ця формула справедлива для всіх призм, не тільки для прямих.

піраміда

\\ (N \\) - вугільна піраміда - багатогранник, складений з \\ (n \\) - кутника в підставі і \\ (n \\) - трикутників, які утворилися при з'єднанні точки вершини піраміди з усіма вершинами багатокутника підстави.

\\ (N \\) - кутник називають підставою піраміди.

Трикутники - бічні грані піраміди.

Загальна вершина трикутників - вершина піраміди.

Ребра, що виходять з вершини - бічні ребра піраміди.

Перпендикуляр від вершини піраміди до площини підстави називають висотою піраміди.

Мета уроку:

1. Ввести поняття правильних багатогранників.
2. Розглянути види правильних багатогранників.
3. Розв'язання задач.
4. Прищепити інтерес до предмету, навчити бачити прекрасне в геометричних тілах, розвиток просторової уяви.
5. Міжпредметні зв'язки.

наочність: таблиці, моделі.

Хід уроку

I. Організаційний момент. Повідомити тему уроку, сформулювати цілі уроку.

II. Вивчення нового матеріалу /

Є в шкільній геометрії особливі теми, Які чекаєш з нетерпінням, передчуваючи зустріч з неймовірно красивим матеріалом. До таких тем можна віднести "Правильні багатогранники". Тут не тільки відкривається дивовижний світ геометричних тіл, які мають неповторними властивостями, але і цікаві наукові гіпотези. І тоді урок геометрії стає своєрідним дослідженням несподіваних сторін звичного шкільного предмета.

Жодні геометричні тіла не мають такою досконалістю і красою, як правильні багатогранники. "Правильних багатогранників зухвало мало, - написав колись Л. Керолл, - але цей досить скромний за чисельністю загін зумів пробратися в самі глибини різних наук".

Визначення правильного багатогранника.

Багатогранник називається правильним, якщо:

1. він опуклий;
2. всі його грані - рівні один одному правильні багатокутники;
3. в кожній його вершині сходиться однакове число ребер;
4. всі його двогранні кути рівні.

теорема:Існує п'ять різних (з точністю до подібності) типів правильних багатогранників: правильний тетраедр, правильний гексаедр (куб), правильний октаедр, правильний додекаедр і правильний ікосаедр.

Таблиця 1.Деякі властивості правильних багатогранників наведені в наступній таблиці.

вид межі	Плоский кут при вершині	Вид багатогранного кута при вершині	Сума плоских кутів при вершині	В	Р	Г	Назва багатогранника
правильний трикутник	60º	3-гранний	180º	4	6	4	правильний тетраедр
правильний трикутник	60º	4-гранний	240º	6	12	8	правильний октаедр
правильний трикутник	60º	5-гранний	300º	12	30	20	правильний ікосаедр
квадрат	90º	3-гранний	270º	8	12	6	Правильний гексаедр (куб)
правильний трикутник	108º	3-гранний	324º	20	30	12	правильний додекаедр

Розглянемо види багатогранників:

правильний тетраедр

<Рис. 1>

правильний октаедр

<Рис. 2>

правильний ікосаедр

<Рис. 3>

Правильний гексаедр (куб)

<Рис. 4>

правильний додекаедр

<Рис. 5>

Таблиця 2. Формули для знаходження обсягів правильних багатогранників.

вид багатогранника	обсяг багатогранника
правильний тетраедр
правильний октаедр
правильний ікосаедр
Правильний гексаедр (куб)
правильний додекаедр

"Платонова тіла".

Куб і октаедр дуальні, тобто виходять один з одного, якщо центри тяжкості граней одного прийняти за вершини іншого і назад. Аналогічно дуальні додекаедр і ікосаедр. Тетраедр дуальний сам собі. Правильний додекаедр виходить з куба побудовою "дахів" на його гранях (спосіб Евкліда), вершинами тетраедра є будь-які чотири вершини куба, попарно не суміжні по ребру. Так виходять з куба всі інші правильні багатогранники. Сам факт існування всього п'яти справді правильних багатогранників дивний - адже правильних багатокутників на площині нескінченно багато!

Всі правильні багатогранники були відомі ще в Стародавній Греції, і їм присвячена заключна, XII книга знаменитих почав Евкліда. Ці багатогранники часто називають так само платоновим тіламив ідеалістичної картині світу, даної великим давньогрецьким мислителем Платоном. Чотири з них уособлювали чотири стихії: тетраедр-вогонь, куб-землю, ікосаедр-воду і октаедр-повітря; А року п'ятого багатогранник, додекаедр, символізував все світобудову. Його по латині стали називати quinta essentia ( "п'ята сутність").

Придумати правильний тетраедр, куб, октаедр, мабуть, було не важко, тим більше що ці форми мають природні кристали, наприклад: куб - монокристал кухонної солі (NaCl), октаедр - монокристал алюмокалієвих квасцов ((KAlSO 4) 2 · l2H 2 O). Існує припущення, що форму додекаедра стародавні греки отримали, розглядаючи кристали піриту (сірчистого колчедану FeS). Маючи ж додекаедр неважко побудувати і ікосаедр: його вершинами будуть центри 12 граней додекаедра.

Де ще можна побачити ці дивовижні тіла?

У дуже красивою книзі німецького біолога початку нашого століття Е. Геккеля "Краса форм у природі" можна прочитати такі рядки: "Природа вигодовує на своєму лоні невичерпна кількість дивних створінь, які по красі і різноманітності далеко перевершують все створені мистецтвом людини форми". Створення природи, наведені в цій книзі, красиві і симетричні. Це невіддільне властивість природної гармонії. Але тут видно одноклітинні організми - феодаріі, форма яких точно передає ікосаедр. Чим же викликана ця природна геометризация? Може бути, тим, що з усіх багатогранників з такою ж кількістю граней саме ікосаедр має найбільший обсяг і найменшу площу поверхні. Це геометричне властивість допомагає морському мікроорганізму переборювати тиск водної товщі.

Цікаво й те, що саме ікосаедр опинився в центрі уваги біологів в їх спорах щодо форми вірусів. Вірус не може бути абсолютно круглим, як вважалося раніше. Щоб встановити його форму, брали різні багатогранники, направляли на них світло по тими ж кутами, що і потік атомів на вірус. Виявилося, що властивості, про які говорилося вище, дозволяють економити генетичну інформацію. Правильні багатогранники - найвигідніші фігури. І природа цим широко користується. Правильні багатогранники визначають форму кристалічних решіток деяких хімічних речовин. Наступне завдання проілюструє цю думку.

Завдання. Модель молекули метану CH 4 має форму правильного тетраедра, в чотирьох вершинах якого знаходяться атоми водню, а в центрі - атом вуглецю. Визначити кут зв'язку між двома CH зв'язками.

<Рис. 6>

Рішення. Так як правильний тетраедр має шість рівних ребер, то можна підібрати такий куб, щоб діагоналі його граней були ребрами правильного тетраедра. Центр куба є і центром тетраедра, адже чотири вершини тетраедра є і вершинами куба, а описувана біля них сфера однозначно визначається чотирма точками, що не лежать в одній площині.

Трикутник АОС - рівнобедрений. Звідси а - сторона куба, d - довжина діагоналі бічної грані або ребро тетраедра. Отже, а \u003d 54, 73561 0 і j \u003d 109,47 0

Завдання. У кубі з однієї вершини (D) проведені діагоналі граней DA, DB і DC і кінці їх з'єднані прямими. Довести, що багатогранник DABC, утворений чотирма площинами, що проходять через ці прямі, - правильний тетраедр.

<Рис. 7>

Завдання. Ребро куба одно a. Обчислити поверхнявписаного в нього правильного октаедра. Знайти її ставлення до поверхні вписаного в той же куб правильного тетраедра.

<Рис. 8>

Узагальнення поняття багатогранника.

Багатогранник - сукупність кінцевого числа плоских багатокутників така, що:

1. кожна сторона будь-якого з багатокутників є одночасно сторона іншого (але тільки одного (званого суміжним з першим) по цій стороні);
2. від будь-якого з багатокутників складових багатогранник, можна дійти до будь-якого з них, переходячи до суміжного з ним, а від цього, в свою чергу, до суміжного з ним і т.д.

Ці багатокутники називаються гранями, їх сторони - ребрами, а їх вершини - вершинами многогранника.

Наведене визначення багатогранника отримує різний сенс залежно від того, як визначити багатокутник:

- якщо під многоугольником розуміють плоскі замкнуті ламані (хоча б і саме пересічні), то приходять до даного визначення багатогранника;

- якщо під многоугольником розуміти частину площині, обмеженою ламати, то з цієї точки зору під многогранником розуміють поверхню, складену з багатокутних шматків. Якщо ця поверхня сама себе не перетинає, то вона є повна поверхня деякого геометричного тіла, яке так само називають многогранником. Від сюди виникає третя точка зору на багатогранники як на геометричні тіла, при чому допускається також існування у цих тіл "дірок", обмежених кінцевим числом плоских граней.

Найпростішими прикладами багатогранників є призми і піраміди.

багатогранник називається n-вугільної пірамідою, якщо він має однієї своєю гранню (підставою) будь-якої n-кутник, а інші грані - трикутники із загальною вершиною, що не лежить в площині підстави. Трикутна піраміда називається також тетраедром.

багатогранник називається n-угольной призмою, якщо він має двома своїми гранями (підставами) рівні n-угольнікі (що не лежать в одній площині), що виходять один з одного паралельним перенесенням, а інші грані - паралелограми, протилежними сторонами яких є відповідні сторони підстав.

Для будь-якого багатогранника нульового роду ейлерова характеристика (число вершин мінус число ребер плюс число граней) дорівнює двом; символічно: В - Р + Г \u003d 2 (теорема Ейлера). Для багатогранника роду p справедливо співвідношення В - Р + Г \u003d 2 - 2 p.

Опуклим многогранником називається такий багатогранник, який лежить по одну сторону від площини будь-якій його межі. Найбільш важливі такі опуклі багатогранники:

<Рис. 9>

1. правильні багатогранники (тіла Платона) - такі опуклі багатогранники, всі грані яких однакові правильні багатокутники і всі багатогранні кути при вершинах правильні і рівні<Рис. 9, № 1-5>;
2. ізогони і ізоедр - опуклі багатогранники, всі багатогранні кути яких рівні (ізогони) або рівні все грані (ізоедр); причому група поворотів (з відбитками) ізогон (ізоедр) навколо центра ваги переводить будь-яку його вершину (грань) в будь-яку іншу його вершину (грань). Отримані так багатогранники називаються напівправильними многогранниками (тілами Архімеда)<Рис. 9, № 10-25>;
3. параллелоедри (опуклі) - багатогранники, що розглядаються як тіла, паралельним перетином яких можна заповнити всі нескінченний простір так, щоб вони не входили один в одного і не залишали порожнеч між собою, тобто утворювали розбиття простору<Рис. 9, № 26-30>;
4. Якщо під многоугольником розуміти плоскі замкнуті ламані (хоча б і самопересекающиеся), то можна вказати ще 4 неопуклих (зірчастих) правильних багатогранників (тіла Пуансо). У цих многогранниках або межі перетинають один одного, або межі - самопересекающиеся багатокутники<Рис. 9, № 6-9>.

III. Завдання додому.

IV. Рішення задач № 279, № 281.

V. Підведення підсумків.

Список використаної літератури:

1. "Математична енциклопедія", під редакцією І. М. Виноградова, видавництво " Радянська енциклопедія", Москва, 1985 г. Том 4 стор. 552-553 Том 3, стор. 708-711.
2. "Мала математична енциклопедія", Е. Фрід, І. Пастор, І. Рейман та ін. видавництво Академії наук Угорщини, Будапешт, 1976 г. Стор. 264-267.
3. "Збірник завдань по математики для вступників до ВНЗ" в двох книгах, за редакцією М. І. Сканаві, книга 2 - Геометрія, вид-во " вища школа", Москва, 1998 г. Стор. 45-50.
4. "Практичні заняття з математики: Навчальний посібник для технікумів ", видавництво" Вища школа ", Москва, 1979 г. Стор. 388-395, стор. 405.
5. "Повторюємо математику" видання 2-6, доп., Навчальний посібник для вступників до ВНЗ, видавництво "Вища школа", Москва, 1974 г. Стор. 446-447.
6. енциклопедичний словник юного математика, А. П. Савін, видавництво "Педагогіка", Москва, 1989 р Стор. 197-199.
7. "Енциклопедія для дітей. Т.П. Математика ", головний редактор М. Д. Аксьонова; метод, і відп. редактор В. А. Володін, видавництво "Аванта +", Москва, 2003 Стор. 338-340.
8. Геометрія, 10-11: Підручник для загальноосвітніх установ/ Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев та ін. - 10-е видання - М .: Просвещение, 2001. Стор. 68-71.
9. "Квант" № 9, 11 - 1983, № 12 - 1987, № 11, 12 - 1988, № 6, 7, 8 - 1989. Науково-популярний фізико-математичний журнал Академії наук СРСР і Академії педагогічних наук СРСР. Видавництво "Наука". Головна редакція фізико-математичної літератури. Стор. 5-9, 6-12, 7-9, 10, 4-8, 13, 16, 58.
10. Рішення задач підвищеної складності з геометрії: 11-й клас - М .: АРКТИ, 2002. Стор. 9, 19-20.