Як знайти апофему в правильної чотирикутної піраміді. Апофема піраміди. Формули для апофеми правильної трикутної піраміди. Дивитися що таке "апофема" в інших словниках

Піраміда - це просторовий поліедр, або багатогранник, який зустрічається в геометричних задачах. Основними властивостями цієї фігури є її обсяг і площа поверхні, які обчислюються з знання будь-яких двох її лінійних характеристик. Однією з таких характеристик є апофема піраміди. Про неї піде мовау статті.

фігура піраміда

Перш ніж приводити визначення апофеми піраміди, познайомимось з найбільшою фігурою. Піраміда являє собою багатогранник, який утворений одним n-вугільним підставою і n трикутниками, складовими бічну поверхню фігури.

Будь-яка піраміда має вершину - точку з'єднання всіх трикутників. Перпендикуляр, проведений з цієї вершини до основи, називається висотою. Якщо висота перетинає в геометричному центрі підставу, то фігура називається прямий. Піраміда пряма, має рівносторонній підставу, називається правильною. На малюнку показана піраміда з шестикутним підставою, на яку дивляться з боку межі і ребра.

Апофема правильної піраміди

Її також називають апотемой. Під нею розуміють перпендикуляр, проведений з вершини піраміди до сторони підстави фігури. За своїм визначенням цей перпендикуляр відповідає висоті трикутника, який утворює бічну грань піраміди.

Оскільки ми розглядаємо піраміду правильну з n-вугільним підставою, то все n апофему для неї будуть однаковими, оскільки такими є трикутник бічній поверхні фігури. Зауважимо, що однакові апофеми є властивістю правильної піраміди. для фігури загального типу(Похилій з неправильним n-кутником) все n апофему будуть різними.

Ще однією властивістю апофеми піраміди правильної є те, що вона одночасно є висотою, медианой і бісектрисою відповідного трикутника. Це означає, що вона ділить його на два однакових прямокутних трикутника.

і формули для визначення її апофеми

У будь-якій правильної піраміди важливими лінійними характеристиками є довжина сторони її основи, ребро бічне b, висота h і апофема h b. Ці величини один з одним пов'язані відповідними формулами, які можна отримати, якщо накреслити піраміду і розглянути необхідні прямокутні трикутники.

Правильна трикутна піраміда складається з 4 трикутних граней, причому одна з них (підстава) повинна бути обов'язково равносторонней. Решта є рівнобокими в загальному випадку. Апофему трикутної піраміди можна визначити через інші величини за такими формулами:

h b = √ (b 2 - a 2/4);

h b = √ (a 2/12 + h 2)

Перше з цих виразів справедливо для піраміди з будь-яким правильним підставою. Другий вираз характерно виключно для трикутної піраміди. Воно показує, що апофема завжди більше висотифігури.

Не слід плутати апофему піраміди з такою для багатогранника. В останньому випадку апофемой називається перпендикулярний відрізок, проведений до сторони багатогранника з його центру. Наприклад, апофема рівностороннього трикутника дорівнює √3 / 6 * a.

Завдання на обчислення апофеми

Нехай дана правильна піраміда з трикутником в основі. Необхідно обчислити її апофему, якщо відомо, що площа цього трикутника дорівнює 34 см 2, а сама піраміда складається з 4 однакових граней.

У відповідності до розділу завдання ми маємо справу з тетраедром, що складається з рівносторонніх трикутників. Формула для площі однієї грані має вигляд:

Звідки отримуємо довжину сторони a:

Для визначення апофеми h b скористаємося формулою, що містить бічне ребро b. В даному випадку його довжина дорівнює довжині підстави, маємо:

h b = √ (b 2 - a 2/4) = √3 / 2 * a

Підставляючи значення a через S, отримаємо кінцеву формулу:

h b = √3 / 2 * 2 * √ (S / √3) = √ (S * √3)

Ми отримали просту формулу, В якій апофема піраміди залежить тільки від площі її заснування. Якщо підставити значення S з умови задачі, то отримаємо відповідь: h b ≈ 7,674 см.

Тут зібрані основні відомості про піраміди та пов'язаних з нею формулах і поняттях. Всі вони вивчаються з репетитором з математики при підготовці до ЄДІ.

Розглянемо площину, багатокутник , Що лежить в ній і точку S, що не лежить в ній. З'єднаємо S з усіма вершинами багатокутника. Отриманий при цьому багатогранник називається пірамідою. Відрізки називаються бічними ребрами. Багатокутник називається підставою, а точка S - вершиною піраміди. Залежно від числа n піраміда називається трикутною (n = 3), чотирикутної (n = 4), птяіугольной (n = 5) і так далі. Альтернативне назва трикутної піраміди - тетраедр. Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений з її вершини до площини підстави.

Піраміда називається правильною, якщо правильний багатокутник, А основа висоти піраміди (підстава перпендикуляра) є його центром.

коментар репетитора:
Не плутайте поняття «правильна піраміда» і «правильний тетраедр». У правильної піраміди бічні ребра зовсім не обов'язково рівні ребрам підстави, а в правильному тетраедра всі 6 ребер ребра рівні. Це його визначення. Легко довести, що з рівності слід збіг центру P багатокутника з основою висоти, тому правильний тетраедр є правильною пірамідою.

Що таке апофема?
Апофемой піраміди називається висота її бічної грані. Якщо піраміда правильна, то все її апофеми рівні. Зворотне невірно.

Репетитор з математики про свою термінології: робота з пірамідами на 80% будується через два види трикутників:
1) Що містить апофему SK і висоту SP
2) Що містить бічне ребро SA і його проекцію PA

Щоб спростити посилання на ці трикутники репетитора з математики зручніше називати перший з них апофемним, а другий ребровим. На жаль, цієї термінології ви не зустрінете ні в одному з підручників, і викладачеві доводиться вводити її в односторонньому порядку.

Формула обсягу піраміди:
1) , Де - площа основи піраміди, а -висота піраміди
2), де - радіус вписаного кулі, а - площа повної поверхні піраміди.
3) , Де MN - відстань будь-якими двома перехресними ребрами, а - площа паралелограма, утвореного центрами чотирьох залишилися ребер.

Властивість підстави висоти піраміди:

Точка P (дивись малюнок) збігається з центром вписаного кола в основу піраміди, якщо виконується одна з наступних умов:
1) Усі апофеми рівні
2) Всі бічні грані однаково нахилені до основи
3) Всі апофеми однаково нахилені до висоти піраміди
4) Висота піраміди однаково нахилена до всіх бічних гранях

Коментар репетитора з математики: Зверніть увагу, що всі пункти об'єднує одне загальна властивість: Так чи інакше всюди беруть участь бічні грані (апофеми - це їх елементи). Тому репетитор може запропонувати менш точну, але більш зручну для заучування формулювання: точка P збігається з центром вписаного кола основа піраміди, якщо є будь-яка рівна інформація про її бічних гранях. Для доказу досить показати, що все апофемние трикутники рівні.

Точка P збігається з центром описаного навколо основи піраміди окружністю, якщо вірно одне з трьох умов:
1) Усі бічні ребра рівні
2) Всі бічні ребра однаково нахилені до основи
3) Всі бічні ребра однаково нахилені до висоти

Для успішного вирішення завдань з геометрії необхідно чітко розуміти терміни, які використовує ця наука. Наприклад, такими є «пряма», «площина», «багатогранник», «піраміда» і багато інших. У даній статті відповімо на питання, що таке апофема.

Двояке використання терміна «апофема»

В геометрії значення слова «апофема» або «апотема», як її ще називають, залежить від того, до якого об'єкту її застосовують. Існує два принципово різні класи фігур, в яких вона є однією з їх характеристик.

В першу чергу це плоскі багатокутники. Що таке апофема для багатокутника? Це висота, проведена з геометричного центру фігури до будь-якої з її сторін.

Щоб було зрозуміліше, про що йдеться, розглянемо конкретний приклад. Припустимо, що є правильний шестикутник, показаний нижче на малюнку.

Символом l позначена довжина його боку, буквою a - апофема. Для зазначеного трикутника вона є не тільки висотою, але і бісектрисою, і медіаною. Нескладно показати, що через сторону l її можна обчислити так:

Аналогічним чином апофема визначається для будь-якого n-кутника.

У другу чергу - це піраміди. Що таке апофема для такої фігури? Це питання потребує докладнішого розгляду.

По темі: Як зробити свої вії довгими і густими всього за один місяць?

Піраміди і їх апофеми

Для початку дамо визначення піраміді з точки зору геометрії. Ця фігура являє собою об'ємне тіло, утворене одним n-кутником (підстава) і n трикутниками (по боках). Останні з'єднані в одній точці, яка називається вершиною. Відстань від неї до підстави - це висота фігури. Якщо вона потрапляє на геометричний центр n-кутника, то піраміда називається прямий. Якщо до того ж n-кутник має рівні кути і сторони, то фігура називається правильною. Нижче показаний приклад піраміди.

Що таке апофема для такої фігури? Це перпендикуляр, який з'єднує боку n-кутника з вершиною фігури. Очевидно, що вона являє собою висоту трикутника, що є бічною стороною піраміди.

Апофему зручно використовувати при вирішенні геометричних задач з правильними пірамідами. Справа в тому, що для них все бічні грані є рівними один одному рівнобокими трикутниками. Останній фактозначає, що всі n апофему рівні, тому для правильної піраміди можна говорити про одну-єдину такої прямої.

Апофема чотирикутної піраміди правильної

Мабуть, найбільш наочним прикладом цієї фігури буде знамените перше чудо світу - піраміда Хеопса. Вона знаходиться в Єгипті.

Для будь-якої такої фігури з правильним n-вугільним підставою можна привести формули, що дозволяють визначити її апофему через довжину a боку багатокутника, через бічне ребро b і висоту h. Тут запишемо відповідні формули для прямої піраміди з квадратною основою. Апофема h b для неї буде дорівнює:

По темі: Прапор Башкирії - опис, символізм і історія

h b = √ (b 2 - a 2/4);

h b = √ (h 2 + a 2/4)

Перше з цих виразів справедливо для будь-якої правильної піраміди, друге - тільки для чотирикутної.

Покажемо, як ці формули можна використовувати для вирішення завдання.

геометрична задача

Нехай задана пряма піраміда, що має квадратну підставу. Необхідно розрахувати її заснування площа. Апофема піраміди дорівнює 16 см, а її висота в 2 рази більше сторони основи.

Кожен школяр знає: щоб знайти площу квадрата, яким є підстава розглядається піраміди, слід знати його сторону a. Для її знаходження скористаємося наступною формулою для апофеми:

h b = √ (h 2 + a 2/4)

Значення апофеми відомо з умови задачі. Оскільки висота h в два рази більше довжини сторони a, цей вислів можна перетворити в такий спосіб:

h b = √ ((2 * a) 2 + a 2/4) = a / 2 * √17 =>

a = 2 * h b / √17

Площа квадрата дорівнює добутку його сторін. Підставляючи отриманий вираз для a, маємо:

S = a 2 = 4/17 * h b 2

Залишається підставити у формулу значення апофеми з умови задачі і записати відповідь: S ≈ 60,2 см 2.

Читайте також:

Примітка. Це частина уроку з завданнями по геометрії (розділ стереометрія, завдання про піраміду). Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії, якої тут немає - пишіть про це в форумі. У завданнях замість символу "квадратний корінь" застосовується функція sqrt (), в якій sqrt - символ квадратного кореня, А в дужках зазначено подкоренное вираз.Для простих підкореневих виразів може використовуватися знак "√".

Теоретичні матеріали і формули див. У розділі " правильна піраміда ".

завдання

Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює 4 см, а двогранний кут при підставі дорівнює 60 градусів. Знайдіть об'єм піраміди.

Рішення.

Оскільки піраміда правильна, врахуємо наступне:

• Висота піраміди проектується на центр підстави
• Центр підстави правильної піраміди за умовою завдання - рівносторонній трикутник
• Центр рівностороннього трикутника є одночасно центром вписаною і описаного кола
• Висота піраміди утворює з площиною основи прямий кут

Обсяг піраміди можна знайти за формулою:
V = 1/3 Sh

Оскільки апофема правильної піраміди утворює разом з висотою піраміди прямокутний трикутник, для знаходження висоти використовуємо теорему синусів. Крім того, візьмемо до уваги:

• Перший катет розглянутого прямокутного трикутникає висотою, другий катет - радіусом вписаного кола (в правильному трикутнику центр одночасно є центром вписаного і описаного кола), гіпотенуза є апофемой піраміди
• Третій кут прямокутного трикутника дорівнює 30 градусам (сума кутів трикутника - 180 градусів, кут 60 градусів дан по умові, другий кут - прямий за властивостями піраміди, третій 180-90-60 = 30)
• синус 30 градусівдорівнює 1/2
• синус 60 градусів дорівнює кореню з трьох навпіл
• синус 90 градусів дорівнює 1

Згідно з теоремою синусів:
4 / sin (90) = h / sin (60) = r / sin (30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
звідки
r = 2
h = 2√3

В основі піраміди лежить правильний трикутник, площа якого можна знайти за формулою:
S правильного трикутника = 3√3 r 2.
S = 3√3 2 + 2.
S = 12√3.

Тепер знайдемо обсяг піраміди:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 см 3.

відповідь: 24 см 3.

завдання

Висота і сторона підстави правильної чотирикутної піраміди відповідно рівні 24 і 14. Знайдіть апофему піраміди.

Рішення .

Оскільки піраміда правильна, то в її основі лежить правильний чотирикутник - квадрат. Крім того, висота піраміди проектується в центр квадрата. Таким чином, катет прямокутного трикутника, який утворений апофемой піраміди, висотою і відрізком, їх з'єднує, дорівнює половині довжини підстави правильної чотирикутної піраміди.

Звідки за теоремою Піфагора довжина апофеми буде знайдена з рівняння:

7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25

Відповідь: 25 см