Піфагорові трійки приклади. Піфагорові числа. З однієї трійки є

»Заслуженого професора математики Уорікського університету, відомого популяризатора науки Іена Стюарта, присвяченій ролі чисел в історії людства і актуальності їх вивчення в наш час.

пифагорова гіпотенуза

Піфагорові трикутники мають прямий кут і цілочисельні боку. У найпростішого з них найдовша сторона має довжину 5, інші - 3 і 4. Всього існує 5 правильних багатогранників. Рівняння п'ятого ступеня неможливо вирішити за допомогою коренів п'ятого ступеня - або будь-яких інших коренів. Грати на площині і в тривимірному просторі не мають п'ятипелюсткової симетрії обертання, тому такі симетрії відсутні і в кристалах. Однак вони можуть бути у решіток в чотиривимірному просторі і в цікавих структурах, відомих як квазікристалів.

Гіпотенуза найменшої Піфагора трійки

Теорема Піфагора говорить, що найдовша сторона прямокутного трикутника (Горезвісна гіпотенуза) співвідноситься з двома іншими сторонами цього трикутника дуже просто і красиво: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших сторін.

Традиційно ми називаємо цю теорему ім'ям Піфагора, але насправді історія її досить туманна. Глиняні таблички дозволяють припустити, що стародавні вавилоняни знали теорему Піфагора задовго до самого Піфагора; славу першовідкривача приніс йому математичний культ піфагорійців, прихильники якого вірили, що Всесвіт заснована на числових закономірностях. Стародавні автори приписували піфагорійцям - а значить, і Піфагору - найрізноманітніші математичні теореми, але насправді ми уявлення не маємо про те, який математикою займався сам Піфагор. Ми навіть не знаємо, чи могли піфагорійці довести теорему Піфагора чи просто вірили в те, що вона вірна. Або, що найбільш ймовірно, у них були переконливі дані про її істинності, яких проте не вистачило б на те, що ми вважаємо доказом сьогодні.

докази Піфагора

Перше відоме доказ теореми Піфагора ми знаходимо в «Засадах» Евкліда. Це досить складне доведення з використанням креслення, в якому вікторіанські школярі одразу впізнали б «піфагорові штани»; креслення і правда нагадує сохнуть на мотузці підштаники. Відомі буквально сотні інших доказів, більшість з яких робить доказувана твердження більш очевидним.

// Мал. 33. піфагорові штани

Одне з найпростіших доказів - це свого роду математичний пазл. Візьміть будь-який прямокутний трикутник, зробіть чотири його копії і зберіть їх усередині квадрата. При одній укладанні ми бачимо квадрат на гіпотенузі; при іншій - квадрати на двох інших сторонах трикутника. При цьому ясно, що площі в тому і в іншому випадку рівні.

// Мал. 34. Зліва: квадрат на гіпотенузі (плюс чотири трикутника). Справа: сума квадратів на двох інших сторонах (плюс ті ж чотири трикутника). А тепер виключіть трикутники

Розсічення Перігаля - ще один доказ-пазл.

// Мал. 35. Розсічення Перігаля

Існує також доказ теореми з використанням укладання квадратів на площині. Можливо, саме так піфагорійці або їх невідомі попередники відкрили цю теорему. Якщо поглянути на те, як косою квадрат перекриває два інших квадрата, то можна побачити, як розрізати великий квадрат на шматки, а потім скласти з них два менших квадрата. Можна побачити також прямокутні трикутники, сторони яких дають розміри трьох задіяних квадратів.

// Мал. 36. Доказ науковістю

Є цікаві докази з використанням подібних трикутників в тригонометрії. Відомо принаймні п'ятдесят різних доказів.

піфагорові трійки

У теорії чисел теорема Піфагора стала джерелом плідної ідеї: знайти цілочисельні рішення алгебраїчних рівнянь. Числа Піфагора - це набір цілих чисел a, b і c, таких що

Геометрично така трійка визначає прямокутний трикутник з цілочисельними сторонами.

Найменша гіпотенуза Піфагора трійки дорівнює 5.

Інші дві сторони цього трикутника дорівнюють 3 і 4. Тут

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Наступна за величиною гіпотенуза дорівнює 10, тому що

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Однак це, по суті, той самий трикутник з подвоєними сторонами. Наступна за величиною і по-справжньому інша гіпотенуза дорівнює 13, для неї

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Евклід знав, що існує нескінченне число різних варіантів піфагорових трійок, і дав те, що можна назвати формулою для знаходження їх усіх. Пізніше Діофант Олександрійський запропонував простий рецепт, в основному збігається з евклідовим.

Візьміть будь-які два натуральних числа і обчисліть:

їх подвоєне твір;

різницю їх квадратів;

суму їх квадратів.

Три одержані числа будуть сторонами пифагорова трикутника.

Візьмемо, наприклад, числа 2 і 1. Обчислимо:

подвоєне твір: 2 × 2 × 1 \u003d 4;

різницю квадратів: 22 - 12 \u003d 3;

сума квадратів: 22 + 12 \u003d 5,

і ми отримали знаменитий трикутник 3-4-5. Якщо взяти замість цього числа 3 і 2, отримаємо:

подвоєне твір: 2 × 3 × 2 \u003d 12;

різницю квадратів: 32 - 22 \u003d 5;

суму квадратів: 32 + 22 \u003d 13,

і отримуємо наступний за популярністю трикутник 5 - 12 - 13. Спробуємо взяти числа 42 і 23 і отримаємо:

подвоєне твір: 2 × 42 × 23 \u003d 1932;

різницю квадратів: 422 - 232 \u003d 1235;

сума квадратів: 422 + 232 \u003d 2293,

ніхто ніколи не чув про трикутнику 1235-1932-2293.

Але ці числа теж працюють:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

У диофантово правилі є ще одна особливість, на яку вже натякали: отримавши три числа, ми можемо взяти ще одне довільне число і все їх на нього помножити. Таким чином трикутник 3-4-5 можна перетворити в трикутник 6-8-10, помноживши всі сторони на 2, або в трикутник 15-20-25, помноживши все на 5.

Якщо перейти на мову алгебри, правило набуває такого вигляду: нехай u, v і k - натуральні числа. Тоді прямокутний трикутник зі сторонами

2kuv і k (u2 - v2) має гіпотенузу

Існують і інші способи викладу основної ідеї, але всі вони зводяться до описаного вище. Цей метод дозволяє отримати всі піфагорові трійки.

правильні багатогранники

Існує зовсім п'ять правильних багатогранників. Правильний багатогранник (або поліедр) - це об'ємна фігура з кінцевим числом плоских граней. Грані сходяться один з одним на лініях, що іменуються ребрами; ребра зустрічаються в точках, іменованих вершинами.

Кульмінацією евклідових «Почав» є доказ того, що може бути тільки п'ять правильних багатогранників, тобто багатогранників, у яких кожна грань являє собою правильний багатокутник (рівні сторони, Рівні кути), всі грані ідентичні і всі вершини оточені рівним числом однаково розташованих граней. Ось п'ять правильних багатогранників:

тетраедр з чотирма трикутними гранями, чотирма вершинами і шістьма ребрами;

куб, або гексаедр, з 6 квадратними гранями, 8 вершинами і 12 ребрами;

октаедр з 8 трикутними гранями, 6 вершинами і 12 ребрами;

додекаедр з 12 п'ятикутними гранями, 20 вершинами і 30 ребрами;

ікосаедр з 20 трикутними гранями, 12 вершинами і 30 ребрами.

// Мал. 37. П'ять правильних багатогранників

Правильні багатогранники можна знайти і в природі. У 1904 р Ернст Геккель опублікував малюнки крихітних організмів, відомих як радіолярії; багато з них за формою нагадують ті самі п'ять правильних багатогранників. Можливо, правда, він трохи підправив природу, і малюнки не відображають повністю форму конкретних живих істот. Перші три структури спостерігаються також в кристалах. Додекаедру і ікосаедра в кристалах ви не знайдете, хоча неправильні додекаедри і ікосаедр там іноді трапляються. Справжні додекаедри можуть виникати у вигляді квазікристалів, які в усьому схожі на кристали, за винятком того, що їх атоми не утворюють періодичної решітки.

// Мал. 38. Малюнки Геккеля: радіолярії в формі правильних багатогранників

// Мал. 39. Розгортки правильних багатогранників

Буває цікаво робити моделі правильних багатогранників з паперу, вирізавши попередньо набір з'єднаних між собою граней - це називається розгорткою багатогранника; розгортку складають по ребрах і склеюють відповідні ребра між собою. Корисно додати до одного з ребер кожної такої пари додатковий майданчик для клею, як показано на рис. 39. Якщо такого майданчика немає, можна використовувати липку стрічку.

Рівняння п'ятого ступеня

Не існує алгебраїчної формули для вирішення рівнянь 5-го ступеня.

В загалом вигляді рівняння п'ятого ступеня виглядає так:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f \u003d 0.

Проблема в тому, щоб знайти формулу для рішень такого рівняння (у нього може бути до п'яти рішень). Досвід поводження з квадратними і кубічними рівняннями, А також з рівняннями четвертого ступеня дозволяє припустити, що така формула повинна існувати і для рівнянь п'ятого ступеня, причому в ній, по ідеї, повинні фігурувати коріння п'ятої, третьої і другого ступеня. Знову ж таки, можна сміливо припустити, що така формула, якщо вона існує, виявиться дуже і дуже складною.

Це припущення в кінцевому підсумку виявилося помилковим. Справді, ніякої такої формули не існує; принаймні не існує формули, що складається з коефіцієнтів a, b, c, d, e і f, складеної з використанням додавання, віднімання, множення і ділення, а також вилучення коренів. Таким чином, в числі 5 є щось зовсім особливе. Причини такого незвичайного поведінки п'ятірки вельми глибокі, і було потрібно немало часу, щоб в них розібратися.

Першою ознакою проблеми стало те, що, як би математики не старалися відшукати таку формулу, якими б розумними вони не були, вони незмінно зазнавали невдачі. Деякий час усі вважали, що причини криються в неймовірної складності формули. Вважалося, що ніхто просто не може як слід розібратися в цій алгебрі. Однак з часом деякі математики почали сумніватися в тому, що така формула взагалі існує, а в 1823 р Нільс Хендрік Абель зумів довести зворотне. Такий формули не існує. Незабаром після цього Еваріст Галуа знайшов спосіб визначити, вирішується чи рівняння тій чи іншій мірі - 5-й, 6-й, 7-й, взагалі будь-який - з використанням такого роду формули.

Висновок з усього цього простий: число 5 особливе. Можна вирішувати алгебраїчні рівняння (за допомогою коренів n-го ступеня для різних значень n) для ступенів 1, 2, 3 і 4, але не для 5-го ступеня. Тут очевидна закономірність закінчується.

Нікого не дивує, що рівняння ступенів більше 5 поводяться ще гірше; зокрема, з ними пов'язана така ж труднощі: немає загальних формул для їх вирішення. Це не означає, що рівняння не мають рішень; це не означає також, що неможливо знайти дуже точні чисельні значення цих рішень. Вся справа в обмеженості традиційних інструментів алгебри. Це нагадує неможливість трисекции кута за допомогою лінійки і циркуля. Відповідь існує, але перераховані методи недостатні і не дозволяють визначити, яка вона є.

кристалографічної обмеження

Кристали в двох і трьох вимірах не мають 5-променевої симетрії обертання.

Атоми в кристалі утворюють решітку, тобто структуру, яка періодично повторюється в кількох незалежних напрямках. Наприклад, малюнок на шпалерах повторюється по довжині рулону; крім того, він зазвичай повторюється і в горизонтальному напрямку, іноді із зсувом від одного шматка шпалер до наступного. По суті, шпалери - це двовимірний кристал.

Існує 17 різновидів шпалерних малюнків на площині (див. Розділ 17). Вони розрізняються за типами симетрії, тобто за способами зрушити жорстко малюнок таким чином, щоб він точно ліг сам на себе в первісному положенні. До типам симетрії відносяться, зокрема, різні варіанти симетрії обертання, де малюнок слід повернути на певний кут навколо певної точки - центру симетрії.

Порядок симетрії обертання - це те, скільки разів можна повернути тіло до повного кола так, щоб всі деталі малюнка повернулися на початкові позиції. Наприклад, поворот на 90 ° - це симетрія обертання 4-го порядку *. Список можливих типів симетрії обертання в кристалічній решітці знову вказує на незвичайність числа 5: його там немає. Існують варіанти з симетрією обертання 2, 3, 4 і 6-го порядків, але жоден шпалер малюнок не має симетрії обертання 5-го порядку. Симетрії обертання порядку більше 6 в кристалах теж не буває, але перше порушення послідовності відбувається все ж на числі 5.

Те ж відбувається з кристалографічними системами в тривимірному просторі. Тут решітка повторює себе по трьох незалежних напрямках. Існує 219 різних типів симетрії, або 230, якщо рахувати дзеркальне відображення малюнка окремим його варіантом - при тому, що в даному випадку немає дзеркальної симетрії. Знову ж таки, спостерігаються симетрії обертання порядків 2, 3, 4 і 6, але не 5. Цей факт отримав назву кристаллографического обмеження.

В чотиривимірному просторі решітки з симетрією 5-го порядку існують; взагалі, для решіток досить високої розмірності можливий будь-який наперед заданий порядок симетрії обертання.

// Мал. 40. Кристалічні ґрати кухонної солі. Темні кульки зображують атоми натрію, світлі - атоми хлору

квазікристалів

Хоча симетрія обертання 5-го порядку в двовимірних і тривимірних гратах неможлива, вона може існувати в трохи менш регулярних структурах, відомих як квазікристалів. Скориставшись начерками Кеплера, Роджер Пенроуз відкрив плоскі системи з більш загальним типом п'ятикратної симетрії. Вони отримали назву квазікристалів.

Квазікристали існують в природі. У 1984 р Даніель Шехтман відкрив, що сплав алюмінію і марганцю може утворювати квазікристали; спочатку кристалографи зустріли його повідомлення з деяким скепсисом, але пізніше відкриття було підтверджено, і в 2011 р Шехтман був удостоєний Нобелівської премії з хімії. У 2009 році команда вчених під керівництвом Луки Бінді виявила квазікристали в мінералі з російського Коряцького нагір'я - з'єднанні алюмінію, міді і заліза. Сьогодні цей мінерал називається Ікосаедр. Вимірявши за допомогою мас-спектрометра зміст в мінералі різних ізотопів кисню, вчені показали, що цей мінерал виник не на Землі. Він сформувався близько 4,5 млрд років тому, в той час, коли сонячна система тільки зароджувалася, і провів більшу частину часу в поясі астероїдів, звертаючись навколо Сонця, поки якийсь обурення не змінило його орбіту і не привело його в кінці кінців на Землю.

// Мал. 41. Зліва: одна з двох квазікристалічних решіток з точною п'ятикратної симетрією. Справа: атомна модель ікосаедрічеськая алюмінієво-палладиевой-марганцевого квазікристала

черв'як Віталій

Завантажити:

Попередній перегляд:

конкурс наукових проектів школярів

В рамках крайової науково-практичної конференції «Еврика»

Малої академії наук учнів Кубані

Дослідження піфагорових чисел

Секція математика.

Черв'як Віталій Геннадійович, 9 клас

МОБУ ЗОШ №14

Кореновский район

Ст. Журавська

Науковий керівник:

Манько Галина Василівна

Учитель математики

МОБУ ЗОШ №14

Кореновск 2011 р

Черв'як Віталій Геннадійович

піфагорові числа

Анотація.

Тема дослідження:піфагорові числа

Цілі дослідження:

Завдання дослідження:

• Виявлення та розвиток математичних здібностей;
• Розширення математичного уявлення по даній темі;
• Формування стійкого інтересу до предмета;
• Розвиток комунікативних і загальнонавчальних навичок самостійної роботи, Вміння вести дискусію, аргументувати і т.д .;
• Формування і розвиток аналітичного та логічного мислення;

Методи дослідження:

• Використання ресурсів мережі Інтернет;
• Звернення до довідкової літератури;
• Проведення експерименту;

висновок:

• Ця робота може бути використана на уроці геометрії як додатковий матеріал, для проведення курсів за вибором або факультативів з математики, а також у позакласній роботі з математики;

Черв'як Віталій Геннадійович

Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас

піфагорові числа

Науковий керівник: Манько Галина Василівна, вчитель математики МОБУ ЗОШ №14

1. Введение ........................................................................... 3
2. Основна частина

2.1 Історична сторінка ............................................................ 4

2.2 Доказ парності і непарності катетів ......... ............................. 5-6

2.3 Висновок закономірності для знаходження

Піфагорових чисел ..................................................................... 7

2.4 Властивості піфагорових чисел ……………………………………………… 8

3. Висновок .............................................................................. 9

4.Спісок використаних джерел та літератури ........................10

Додатки ................................................. .................................................. ...... 11

Додаток I .............................................................................. 11

Додаток II ........................................................................... ..13

Черв'як Віталій Геннадійович

Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас

піфагорові числа

Науковий керівник: Манько Галина Василівна, вчитель математики МОБУ ЗОШ №14

Вступ

Про Піфагора і його життя я почув в п'ятому класі на уроці математики, і мене зацікавило висловлювання «Піфагороі штани всі сторони рівні». При вивченні теореми Піфагора мене зацікавили піфагорові чісла.Я поставивмета дослідження: Дізнатися більше про теорему Піфагора і «піфагорових числах».

Актуальність теми. Цінність теореми Піфагора і піфагорових трійок доведена багатьма вченими світу протягом багатьох століть. Проблема, про яку піде мова в моїй роботі виглядає досить простий тому, що в основі її лежить математичне твердження, яке всім відомо, - теорема Піфагора: у будь-якому прямокутному трикутнику квадрат, побудований на гіпотенузі, дорівнює сумі квадратів, побудованих на катетах. Тепер трійки натуральних чисел x, y, z, для якихx 2 + y 2 \u003d z 2 , Прийнято називатичисла Піфагора. Виявляється, піфагорові трійки знали вже в Вавилоні. Поступово знайшли їх і грецькі математики.

Мета даної роботи

1. Дослідити піфагорові числа;
2. Зрозуміти, як виходять піфагорові числа;
3. З'ясувати, якими властивостями володіють піфагорові числа;
4. Дослідно-експериментальним шляхом побудувати перпендикулярні прямі на місцевості, використовуючи піфагорові числа;

Відповідно до мети роботи поставлено ряд наступнихзадач:

1. Глибше вивчити історію теореми Піфагора;

2. Аналіз універсальних властивостей піфагорових трійок.

3. Аналіз практичного застосування піфагорових трійок.

Об'єкт дослідження: Піфагорові трійки.

Предмет дослідження: Математика.

Методи дослідження: - Використання ресурсів мережі Інтернет; -Звернення до довідкової літератури; -Проведення експерименту;

Теоретична значимість:роль, яку відіграє відкриття піфагорових трійок в науці; практичне застосування відкриття Піфагора в життєдіяльності людини.

Прикладна цінність дослідження полягає в аналізі літературних джерел і систематизації фактів.

Черв'як Віталій Геннадійович

Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас

піфагорові числа

Науковий керівник: Манько Галина Василівна, вчитель математики МОБУ ЗОШ №14

З історії піфагорових чисел.

• Древній Китай:

Математична книга Чу-пей:[ 2]

"Якщо прямий кут розкласти на складові частини, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли підстава є 3, а висота 4".

• Древній Єгипет: [2]

Кантор (Найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність3 ² + 4 ² \u003d 5² було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 р. до н.е. е., за часів царяАменемхета (Згідно папірусу 6619 Берлінського музею). На думку Канторагарпедонапти, або "натягівателі мотузок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3; 4 і 5.

• Вавилон: [3]

«Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор і піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обгрунтування. В їх руках обчислювальні рецепти, засновані на неясних уявленнях, перетворилися в точну науку. "

• Історія теореми Піфагора:,

Хоча ця теорема і зв'язується з ім'ям Піфагора, вона була відома задовго до нього.

У вавилонських текстах вона зустрічається за 1200 років до Піфагора.

Мабуть, він першим знайшов її доказ. У зв'язку з цим була зроблена наступний запис: «... коли він відкрив, що в прямокутному трикутнику гіпотенуза має відповідність з катетами, він приніс в жертву бика, зробленого з пшеничного тіста».

Черв'як Віталій Геннадійович

Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас

піфагорові числа

Науковий керівник: Манько Галина Василівна, вчитель математики МОБУ ЗОШ №14

Дослідження Піфагорові чисел.

• Кожен трикутник, сторони відносяться як 3: 4: 5, згідно загальновідомою теоремі Піфагора, - прямокутний, так як

3 2 + 4 2 = 5 2.

• Крім чисел 3,4 і 5, існує, як відомо, безліч цілих позитивних чисел а, в і с, які відповідають співвідношенню
• А 2 + в 2 \u003d з 2.
• Ці числа називаютьсяпіфагорових числами

Піфагорові трійки відомі дуже давно. В архітектурі древнелесопотамскіх надгробків зустрічається трикутник, складений з двох прямокутних зі сторонами 9, 12 і 15 ліктів. Піраміди фараона Снофру (XXVII століття до н.е.) побудовані з використанням трикутників зі сторонами 20, 21 і 29, а також 18, 24 і 30 десятків єгипетських ліктів.[ 1 ]

Прямокутний трикутник, з катетами 3, 4 і гіпотенузою 5 називається єгипетським трикутником. Площа цього трикутника дорівнює скоєного числу 6. Периметр дорівнює 12 - числу, яке вважалося символом щастя і достатку.

За допомогою мотузки розділеної вузлами на 12 рівних частин стародавні єгиптяни будували прямокутний трикутник і прямий кут. Зручний і дуже точний спосіб, який вживається землемірами для проведення на місцевості перпендикулярних ліній. Необхідно взяти шнур і три кілочка, шнур розташовують трикутником так, щоб одна сторона складалася з 3 частин, друга з 4 часткою і остання з п'яти таких часток. Шнур розташується трикутником, в якому є прямий кут.

Цей древній спосіб, мабуть, застосовувався ще тисячоліття назад будівельниками єгипетських пірамід, заснований на тому, що кожен трикутник, сторони якого відносяться як 3: 4: 5, відповідно до теореми Піфагора, прямокутний.

Знаходженням піфагорових трійок займалися Евклід, Піфагор, Діофант і багато інших.[ 1]

Ясно, що якщо (x, y, z ) - Числа Піфагора, то для будь-якого натуральногоk трійка (kx, ky, kz) також буде Піфагора трійкою. Зокрема, (6, 8, 10), (9, 12, 15) і т.д. є Числа Піфагора.

У міру того, як числа зростають, піфагорові трійки зустрічаються все рідше і знаходити їх стає все важче і важче. Піфагорійці винайшли метод відшукання

таких трійок і, користуючись ним, довели, що піфагорових трійок існує нескінченно багато.

Трійки, що не мають спільних дільників, великих 1, називаються найпростішими.

Розглянемо деякі властивості піфагорових трійок.[ 1]

Згідно з теоремою Піфагора ці числа можуть служити довжинами деякого прямокутного трикутника; тому а й в називають «катетами», а з - «гипотенузой».
Ясно, що якщо а, в, з є трійка піфагорових чисел, то і ра, рв, рс, де р- цілочисельний множник, - піфагорові числа.
Вірно і зворотне твердження!
Тому будемо спочатку досліджувати лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (інші виходять з них множенням на цілочисельний множник р).

Покажемо, що в кожній з таких трійок а, в, з один з «катетів» повинен бути парним, а інший непарним. Будемо міркувати «від противного». Якщо обидва «катета» а й в парні, то парним буде число а2 + в 2 , А значить і «гіпотенуза». Але це суперечить тому, що числа а, в і з не мають загальних множників, так як три парних числа мають загальний множник 2. Таким чином хоч один з «катетів» а й в нечётен.

Залишається ще одна можливість: обидва «катета» непарні, а «гіпотенуза» парна. Неважко довести, що цього не може бути, тому що якщо «катети» мають вигляд 2 х + 1 і 2у + 1, то сума їх квадратів дорівнює

4х 2 + 4х + 1 + 4у 2 + 4у +1 \u003d 4 (х 2 + х + у 2 + У) +2, тобто являє собою число, яке при діленні на 4 дає в залишку 2. Тим часом квадрат будь-якого парного числа повинен ділитися на 4 без залишку.

Значить, сума квадратів двох непарних чисел не може бути квадратом парного числа; інакше кажучи, наші три числа - НЕ піфагорові.

ВИСНОВОК:

Отже, з «катетів» а, в один парний, а інший непарний. Тому число а2 + в 2 непарній, а значить, непарна і «гіпотенуза» с.

Піфагор знайшов формули, які в сучасній символіці можуть бути записані так: a \u003d 2n + 1, b \u003d 2n (n + 1), c \u003d 2n 2 + 2n + 1, де n - ціле число.

Ці числа - піфагорові трійки.

Черв'як Віталій Геннадійович

Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас

піфагорові числа

Науковий керівник: Манько Галина Василівна, вчитель математики МОБУ ЗОШ №14

Висновок закономірності для знаходження піфагорових чисел.

Ось такі піфагорові трійки:

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

Неважко помітити, що при множенні кожного з чисел Піфагора трійки на 2, 3, 4, 5 і т.д., ми отримаємо наступні трійки.

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30, 40, 50 і т.д.

Вони так само є піфагорових числами /

Черв'як Віталій Геннадійович

Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас

піфагорові числа

Науковий керівник: Манько Галина Василівна, вчитель математики МОБУ ЗОШ №14

Властивості піфагорових чисел.

• При розгляді піфагорових чисел я побачив ряд властивостей:
• 1) Одне з піфагорових чисел повинно бути кратно трьом;
• 2) Інше з них повинна бути кратна чотирьом;
• 3) А третє з піфагорових чисел повинно бути кратно п'яти;

Черв'як Віталій Геннадійович

Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас

піфагорові числа

Науковий керівник: Манько Галина Василівна, вчитель математики МОБУ ЗОШ №14

Висновок.

Геометрія, як і інші науки, виникла з потреб практики. Саме слово «геометрія» - грецьке, у перекладі означає «землемір».

Люди дуже рано зіткнулися з необхідністю вимірювати земельні ділянки. Уже за 3-4 тис. Років до н.е. кожен клаптик родючої землі в долинах Нілу, Євфрату і Тигра, річок Китаю мав значення для життя людей. Це вимагало певного запасу геометричних і арифметичних знань.

Поступово люди почали вимірювати і вивчати властивості більш складних геометричних фігур.

І в Єгипті і в Вавилоні споруджувалися колосальні храми, будівництво яких могло здійснюватися тільки на основі попередніх розрахунків. Також будувалися водопроводи. Все це вимагало креслень і розрахунків. До цього часу були добре відомі окремі випадки теореми Піфагора, вже знали, що якщо взяти трикутники зі сторонами x, y, z, де x, y, z - такі цілі числа, щоx 2 + y 2 \u003d z 2 , То ці трикутники будуть прямокутними.

Всі ці знання безпосереднім чином застосовувалися в багатьох сферах життєдіяльності людини.

Так до сих пір велике відкриття вченого і філософа давнини Піфагора знаходить пряме застосування в нашому житті.

Будівництво будинків, доріг, космічних кораблів, Автомобілів, верстатів, нафтопроводів, літаків, тунелів, метро і багато, багато іншого. Піфагорові трійки знаходять пряме застосування в проектуванні безлічі речей, що оточують нас у повсякденному житті.

А уми вчених продовжують шукати нові варіанти доказів теореми Піфагора.

• В внаслідок моєї роботи мені вдалося:
• 1. Більше дізнатися про Піфагора, його життя, братерство піфагорійців.
• 2. Познайомитись з історією теореми Піфагора.
• 3. Дізнатися про піфагорових числах, їх властивості, навчитися їх знаходити і застосовувати в практичній діяльності.

Черв'як Віталій Геннадійович

Краснодарський край, станиця Журавська, МОБУ ЗОШ №14, 9 клас

піфагорові числа

Науковий керівник: Манько Галина Василівна, вчитель математики МОБУ ЗОШ №14

Література.

1. Цікава алгебра. Я І. Перельман (с.117-120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. Аносов Д.В. Погляд на математику і щось з неї. - М .: МЦНМО, 2003.

5. Дитяча енциклопедія. - М .: Видавництво Академії Педагогічних Наук РРФСР, 1959.

6. Степанова Л.Л. Вибрані глави елементарної теорії чисел. - М .: Прометей, 2001..

7. В. Серпінського Піфагорови трикутники. - М .: Учпедгиз, 1959. С.111

Хід дослідження Історична сторінка; Теорема Піфагора; Довести, що один з «катетів» повинен бути парним, а інший непарним; Висновок закономірності для знаходження піфагорових чисел; Виявити властивості піфагорових чисел;

Введення Про Піфагора і його життя я почув в п'ятому класі на уроці математики, і мене зацікавило висловлювання «Піфагороі штани всі сторони рівні». При вивченні теореми Піфагора мене зацікавили піфагорові числа. Я поставив собі за мету дослідження: дізнатися більше про теорему Піфагора і «піфагорових числах».

пр ебудет вічної істина, Як скоро Її людина пізнає! І нині теорема Піфагора Верна, як і в його далекий століття

З історії піфагорових чисел. Стародавній Китай Математична книга Чу-пей: "Якщо прямий кут розкласти на складові частини, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли підстава є 3, а висота 4".

Піфагорові числа у древніх єгиптян Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3 ² + 4 ² \u003d 5² було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 р. До н.е. е., за часів царя Аменемхета (згідно папірусу 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або "натягівателі мотузок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3; 4 і 5.

Теорема Піфагора в Вавилонії «Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор і піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обгрунтування. В їх руках обчислювальні рецепти, засновані на неясних уявленнях, перетворилися в точну науку. "

Кожен трикутник, сторони відносяться як 3: 4: 5, згідно загальновідомою теоремі Піфагора, - прямокутний, так як 3 2 +4 2 \u003d 5 2. Крім чисел 3,4 і 5, існує, як відомо, безліч цілих позитивних чисел а , в і с, які відповідають співвідношенню А 2 + в 2 \u003d з 2. Ці числа називаються піфагорових числами

Згідно з теоремою Піфагора ці числа можуть служити довжинами деякого прямокутного трикутника; тому а й в називають «катетами», а з - «гипотенузой». Ясно, що якщо а, в, з є трійка піфагорових чисел, то і ра, рв, рс, де р - цілочисельний множник, - піфагорові числа. Вірно і зворотне твердження! Тому будемо спочатку досліджувати лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (інші виходять з них множенням на цілочисельний множник р)

Висновок! Отже з чисел а і в одне парне, а інше непарній, а значить непарній і третє число.

Ось такі Піфагорови трійки: 3, 4, 5; 9 + 16 \u003d 25. 5, 12, 13; 25 + 144 \u003d 169. 7, 24, 25; 49 + 576 \u003d 625. 8, 15, 17; 64 + 225 \u003d 289. 9, 40, 41; 81 + 1600 \u003d 1681. 12, 35, 37; 144 + 1225 \u003d 1369. 20, 21, 29; 400 + 441 \u003d 841

Неважко помітити, що при множенні кожного з чисел Піфагора трійки на 2, 3, 4, 5 і т.д., ми отримаємо наступні трійки. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 і т.д. Вони так само є піфагорових числами

Властивості піфагорових чисел При розгляді піфагорових чисел я побачив ряд властивостей: 1) Одне з піфагорових чисел повинно бути кратно трьом; 2) одне з них повинно бути кратно чотирьом; 3) А інше з піфагорових чисел повинно бути кратно п'яти;

Практичне застосування піфагорових чисел

Висновок: В результаті моєї роботи мені вдалося 1. Більше дізнатися про Піфагора, його життя, братерство піфагорійців. 2. Познайомитись з історією теореми Піфагора. 3. Дізнатися про піфагорових числах, їх властивості, навчитися їх знаходити. Дослідно експериментальної шляхом відкладати прямий кут за допомогою піфагорових чисел.

Далі розглянемо відомі способи генерації ефективних піфагорових трійок. Учні Піфагора були першими, хто винайшли простий спосіб генерації піфагорових трійок, використовуючи формулу, частини якої представляють пифагорову трійку:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

де m - непарне, m\u003e 2. дійсно,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Аналогічну формулу запропонував давньогрецький філософ Платон:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

де m - будь-яке число. для m \u003d 2,3,4,5 генеруються наступні трійки:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Як бачимо, ці формули не можуть дати всі можливі примітивні трійки.

Россмотрім наступний поліном, який розкладається на суму поліномів:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Звідси такі формули для отримання примітивних трійок:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Ці формули генерують трійки, в яких середнє число відрізняється від найбільшого рівно на одиницю, тобто також генеруються не всі можливі трійки. Тут перші трійки дорівнюють: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Щоб визначити спосіб генерації всіх примітивних трійок, слід досліджувати їхні властивості. По-перше, якщо ( a, b, c) - примітивна трійка, то a і b, b і c, а і c - повинні бути взаємно простими. нехай a і b поділяються на d. тоді a 2 + b 2 - також ділиться на d. відповідно, c 2 і c повинні ділитися на d. Тобто, це не є примітивна трійка.

По-друге, серед чисел a, b одне повинно бути парним, а інше - непарним. Дійсно, якщо a і b - парні, то і з буде парним, і числа можна поділити принаймні на 2. Якщо вони обидва непарні, то їх можна представити як 2 k+1 i 2 l+1, де k,l - деякі числа. тоді a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, тобто, з 2, як і a 2 + b 2, при діленні на 4 має залишок 2.

нехай з - будь-яке число, тобто з = 4k+i (i\u003d 0, ..., 3). тоді з 2 = (4k+i) 2 має залишок 0 або 1 і не може мати залишок 2. Таким чином, a і b не можуть бути непарними, тобто a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 і залишок від ділення з 2 на 4 повинен бути 1, що означає, що з має бути непарним.

Такі вимоги до елементів Піфагора трійки задовольняють наступні числа:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

де m і n - взаємно прості з різною парністю. Вперше ці залежності стали відомими з праць Евкліда, який жив 2300 р. назад.

Доведемо справедливість залежностей (2). нехай а - парне, тоді b і c - непарні. тоді c + b i c − b - парні. Їх можна представити як c + b = 2u і c − b = 2v, де u,v - деякі цілі числа. Тому

a 2 = з 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u· 2 v = 4uv

І тому ( a/2) 2 = uv.

Можна довести від супротивного, що u і v - взаємно прості. нехай u і v - поділяються на d. тоді ( c + b) І ( c − b) поділяються на d. І тому c і b повинні ділитися на d, А це суперечить умові до Піфагора трійці.

Так як uv = (a/ 2) 2 і u і v - взаємно прості, то нескладно довести, що u і v повинні бути квадратами якихось чисел.

Таким чином, є позитивні цілі числа m і n , Такі що u = m 2 і v = n 2. тоді

а 2 = 4uv = 4m 2 n 2, так що
а = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Так як b \u003e 0, то m > n.

Залишилося показати, що m і n мають різну парність. якщо m і n - парні, то u і v повинні бути парними, а це неможливо, так як вони взаємно прості. якщо m і n - непарні, то b = m 2 − n 2 і c = m 2 + n 2 були б парними, що неможливо, так як c і b - взаємно прості.

Таким чином, будь-яка примітивна Числа Піфагора повинна задовольняти умови (2). При цьому числа m і n називаються генеруючими числами примітивних трійок. Наприклад, нехай маємо примітивну пифагорову трійку (120,119,169). В цьому випадку

а \u003d 120 \u003d 2 · 12 · 5, b \u003d 119 \u003d 144 - 25, і c = 144+25=169,

де m = 12, n \u003d 5 - генеруючі числа, 12\u003e 5; 12 і 5 - взаємно прості і різної парності.

Можна довести зворотне, що числа m, n за формулами (2) дають примітивну пифагорову трійку (a, b, c). дійсно,

а 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

Тобто ( a,b,c) - Числа Піфагора. Доведемо, що при цьому a,b,c - взаємно прості числа від противного. Нехай ці числа діляться на p \u003e 1. Так як m і n мають різну парність, то b і c - непарні, тобто p ≠ 2. Так як р ділить b і c, то р має ділити 2 m 2 і 2 n 2, а це неможливо, так як p ≠ 2. Тому m, n - взаємно прості і a,b,c - теж взаємно прості.

У таблиці 1 показані всі примітивні піфагорові трійки, згенерованих за формулами (2) для m≤10.

Таблиця 1. Примітивні піфагорові трійки для m≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Аналіз цієї таблиці показує наявність наступного ряду закономірностей:

• або a, або b діляться на 3;
• одне з чисел a,b,c ділиться на 5;
• число а ділиться на 4;
• твір, добуток a· b ділиться на 12.

У 1971 р американські математики Тейган і Хедвін для генерації трійок запропонували такі маловідомі параметри прямокутного трикутника, як його зростання (height) h = c - b і надлишок (success) е = a + b − c. На рис.1. показані ці величини на деякому прямокутному трикутнику.

Малюнок 1. Прямокутний трикутник і його зростання і надлишок

Назва "надлишок" є похідним від того, що це додатковий відстань, яке необхідно пройти по катетам трикутника з однієї вершини в протилежну, якщо не йти по його діагоналі.

Через надлишок і зростання боку піфагорових трикутника можна виразити як:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Не всі комбінації h і e можуть відповідати піфагорових трикутниках. для заданого h можливі значення e - це твори деякого числа d. це число d має назву приросту і відноситься до h наступним чином: d - це найменше позитивне ціле число, квадрат якого ділиться на 2 h. Так як e кратне d, То воно записується як e = kd, де k - позитивне ціле.

За допомогою пар ( k,h) Можна згенерувати всі піфагорові трикутники, Включаючи непрімітівние і узагальнені, в такий спосіб:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Причому трійка є примітивною, якщо k і h - взаємно прості і якщо h =± q 2 при q - непарному.
Крім того, це буде саме Числа Піфагора, якщо k \u003e √2 · h/d і h > 0.

Щоб знайти k і h з ( a,b,c), Виконують такі дії:

• h = c − b;
• записують h як h = pq 2, де p \u003e 0 і таке, що не є квадратом;
• d = 2pq якщо p - непарне і d = pq , Якщо p - парне;
• k = (a − h)/d.

Наприклад, для трійки (8,15,17) маємо h \u003d 17-15 \u003d 2 · 1, так що p \u003d 2 і q = 1, d \u003d 2, і k \u003d (8 - 2) / 2 \u003d 3. Так що ця трійка задається як ( k,h) = (3,2).

Для трійки (459,1260,1341) маємо h \u003d 1341 - 1260 \u003d 81, так що p = 1, q \u003d 9 і d \u003d 18, звідси k \u003d (459 - 81) / 18 \u003d 21, так що код цієї трійки дорівнює ( k,h) = (21, 81).

Завдання трійок за допомогою h і k має ряд цікавих властивостей. параметр k дорівнює

k = 4S/(dP), (5)

де S = ab/ 2 - площа трикутника, а P = a + b + c - його периметр. Це випливає з рівності eP = 4S, Яке виходить з теореми Піфагора.

Для прямокутного трикутника e дорівнює діаметру вписаного в трикутник кола. Це виходить з того, що гіпотенуза з = (а − r)+(b − r) = a + b − 2r, де r - радіус кола. Звідси h = c − b = а − 2r і е = a − h = 2r.

для h \u003e 0 і k > 0, k є порядковим номером трійок a-b-c в послідовності піфагорових трикутників з ростом h. З таблиці 2, де представлено кілька варіантів трійок, згенерованих парами h, k, Видно, що зі збільшенням k зростають величини сторін трикутника. Таким чином, на відміну від класичної нумерації, нумерація парами h, k має більший порядок в послідовності трійок.

Таблиця 2. Піфагорови трійки, згенерованих парами h, k.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

для h > 0, d задовольняє нерівність 2√ h ≤ d ≤ 2h, В якому нижня межа досягається при p \u003d 1, а верхня - при q \u003d 1. Тому значення d щодо 2√ h - це міра того, наскільки число h віддалене від квадрата деякого числа.

«Обласний центр освіти»

методична розробка

Використання піфагорових трійок при вирішенні

геометричних задач і тригонометричних завдань ЄДІ

м Калуга, 2016

I. Вступ

Теорема Піфагора - одна з головних і, можна навіть сказати, найголовніша теорема геометрії. Значення її полягає в тому, що з неї або з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. Теорема Піфагора чудова ще й тим, що сама по собі вона зовсім не очевидна. Наприклад, властивості рівнобедреного трикутника можна бачити безпосередньо на кресленні. Але скільки не дивись на прямокутний трикутник, ніяк не побачиш, що між його сторонами є таке просте співвідношення: a2 +b2 \u003dc2 . Однак не Піфагор відкрив теорему, що носить його ім'я. Вона була відома ще раніше, але, можливо, тільки як факт, виведений з вимірів. Треба думати, Піфагор знав це, але знайшов доказ.

Існує безліч натуральних чисел a, b, c, Що задовольняють співвідношенню a2 +b2 \u003dc2.. Вони називаються піфагорових числами. Згідно з теоремою Піфагора такі числа можуть служити довжинами сторін деякого прямокутного трикутника - будемо називати їх піфагорових трикутниками.

Мета роботи:вивчити можливість і ефективність застосування піфагорових трійок для вирішення завдань шкільного курсу математики, завдань ЄДІ.

Виходячи з мети роботи, поставлені наступні завдання:

Вивчити історію і класифікацію піфагорових трійок. Проаналізувати завдання із застосуванням піфагорових трійок, наявні в шкільних підручниках і зустрічаються в контрольно-вимірювальних матеріалах ЄДІ. Оцінити ефективність застосування піфагорових трійок і їх властивостей для вирішення завдань.

Об'єкт дослідження: Піфагорові трійки чисел.

Предмет дослідження: Завдання шкільного курсу тригонометрії і геометрії, в яких використовуються піфагорові трійки.

Актуальність дослідження. Піфагорові трійки часто використовуються в геометрії і тригонометрії, знання їх позбавить від помилок в обчисленнях і економить час.

II. Основна частина. Рішення задач за допомогою піфагорових трійок.

2.1.Табліца трійок піфагорових чисел (по Перельману)

Піфагорові числа мають вигляд a= m · n,, Де m і n - деякі взаємно прості непарні числа.

Піфагорові числа мають ряд цікавих особливостей:

Один з «катетів» повинен бути кратним трьом.

Один з «катетів» повинен бути кратним чотирьом.

Одне з піфагорових чисел повинно бути кратним п'яти.

У книзі «Цікава алгебра» наводиться таблиця піфагорових трійок, що містять числа до ста, які не мають спільних множників.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Класифікація піфагорових трійок по Шустрова.

Шустрова була виявлена \u200b\u200bтака закономірність: якщо все піфагорові трикутники розподілити по групах, то для непарного катета x, парного y і гіпотенузи z справедливі такі формули:

х \u003d (2N-1) · (2n + 2N-1); y \u003d 2n · (n + 2N-1); z \u003d 2n · (n + 2N-1) + (2N-1) 2, де N - номер сімейства і n - порядковий номер трикутника в сімействі.

Підставляючи в формулу в місце N і n будь-які цілі позитивні числа, починаючи з одиниці, можна отримати, всі основні піфагорові трійки чисел, а також кратні певного виду. Можна скласти таблицю всіх піфагорових трійок по кожному сімейству.

2.3. Завдання з планіметрії

Розглянемо завдання з різних підручників з геометрії і з'ясуємо, наскільки часто зустрічаються піфагорові трійки в цих завданнях. Тривіальні завдання на знаходження третього елемента по таблиці піфагорових трійок розглядати не будемо, хоча вони теж зустрічаються в підручниках. Покажемо, як звести рішення задачі, дані якої не виражені натуральними числами, До Числа Піфагора.

Розглянемо завдання з підручника з геометрії для 7-9 класу.

№ 000. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника по катетам а=, b=.

Рішення. Помножимо довжини катетів на 7, отримаємо два елементи з Піфагора трійки 3 і 4. Відсутній елемент 5, який ділимо на 7. Відповідь.

№ 000. У прямокутнику ABCD знайдіть BC, якщо CD \u003d 1,5, AC \u003d 2,5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif "width \u003d" 240 "height \u003d" 139 src \u003d "\u003e

Рішення. Вирішимо прямокутний трикутник АСD. Помножимо довжини на 2, отримаємо два елементи з Піфагора трійки 3 і 5, Відсутній елемент 4, який ділимо на 2. Відповідь: 2.

При вирішенні наступного номера перевіряти співвідношення a2 +b2 \u003dc2зовсім необов'язково, достатньо скористатися піфагорових числами і їх властивостями.

№ 000. З'ясуйте, чи є трикутник прямокутним, якщо його сторони виражаються числами:

а) 6,8,10 (Числа Піфагора 3,4.5) - так;

Один з катетів прямокутного трикутника повинен ділитися на 4. Відповідь: ні.

в) 9,12,15 (Числа Піфагора 3,4.5) - так;

г) 10,24,26 (Числа Піфагора 5,12.13) - так;

Одне з піфагорових чисел повинно бути кратним п'яти. Відповідь: ні.

ж) 15, 20, 25 (Числа Піфагора 3,4.5) - так.

З тридцяти дев'яти завдань даного параграфа (теорема Піфагора) двадцять два вирішуються усно за допомогою піфагорових чисел і знання їх властивостей.

Розглянемо задачу № 000 (з розділу «Додаткові завдання»):

Знайдіть площу чотирикутника ABCD, в якому АВ \u003d 5 см, ВС \u003d 13 см, CD \u003d 9 см, D А \u003d 15 см, АС \u003d 12 см.

У задачі треба перевірити співвідношення a2 +b2 \u003dc2і довести, що даний чотирикутник складається з двох прямокутних трикутників (зворотна теорема). А знання піфагорових трійок: 3, 4, 5 і 5, 12, 13, позбавляє від обчислень.

Наведемо вирішення декількох завдань з підручника з геометрії для 7-9 класу.

Завдання 156 (з). Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 і 40. Знайдіть медіану, проведену до гіпотенузи.

Рішення . Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині. Числа Піфагора 9,40 і 41. Отже, медіана дорівнює 20,5.

Завдання 156 (і). Бічні сторони трикутника рівні: а\u003d 13 см, b \u003d20 см, а висота hс \u003d12 см. Знайдіть основу с.

завдання ( Кіми ЄДІ). Знайдіть радіус кола, вписаного в гострокутний трикутник АВС, якщо висота ВH равна12 і відомо, що sin А \u003d,sin С \u003d left "\u003e

Рішення.Вирішуємо прямокутний Δ АСК: sin А \u003d, ВH \u003d 12, звідси АВ \u003d 13, АК \u003d 5 (піфагорова трійка 5,12,13). Вирішуємо прямокутний Δ ВСH: ВH \u003d 12, sin З \u003d\u003d\u003d https: //pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif "width \u003d" 12 "height \u003d" 13 "\u003e 3 \u003d 9 (піфагорова трійка 3,4,5). Радіус знаходимо за формулою r \u003d\u003d\u003d 4. Ответ.4.

2.4. Піфагорові трійки в тригонометрії

Основне тригонометричну тотожність - окремий випадок теореми Піфагора: sin2a + cos2a \u003d 1; (A / c) 2 + (b / c) 2 \u003d 1. Тому деякі тригонометричні завдання легко вирішуються усно за допомогою Піфагорові трійок.

Завдання, в яких потрібно по заданому значенню функції знайти значення інших тригонометричних функцій, Можна вирішити без зведення в квадрат і витягання квадратного кореня. Всі завдання цього типу в шкільному підручнику алгебри (10-11) Мордкович (№ 000-№ 000) можна вирішити усно, знаючи лише кілька піфагорових трійок: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Розглянемо рішення двох завдань.

№ 000 а). sin t \u003d 4/5, π / 2< t < π.

Рішення. Числа Піфагора: 3, 4, 5. Отже, cos t \u003d -3/5; tg t \u003d -4/3,

№ 000 б). tg t \u003d 2,4, π< t < 3π/2.

Рішення. tg t \u003d 2,4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Числа Піфагора 5,12,13. З огляду на знаки, отримуємо sin t \u003d -12/13, cos t \u003d -5/13, ctg t \u003d 5/12.

3. Контрольно-вимірювальні матеріали ЄДІ

а) cos (arcsin 3/5) \u003d 4/5 (3, 4, 5)

б) sin (arccos 5/13) \u003d 12/13 (5, 12, 13)

в) tg (arcsin 0,6) \u003d 0,75 (6, 8, 10)

г) ctg (arccos 9/41) \u003d 9/40 (9, 40, 41)

д) 4/3 tg (π-arcsin (-3/5)) \u003d 4/3 tg (π + arcsin 3/5) \u003d 4/3 tg arcsin 3/5 \u003d 4/3 · 3/4 \u003d 1

е) перевірте вірність рівності:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 \u003d π / 2.

Рішення. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 \u003d π / 2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 \u003d π / 2 - arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) \u003d sin (arсcos 16/65)

sin (arcsin 4/5) · cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) · sin (arcsin 5/13) \u003d 63/65

4/5 · 12/13 + 3/5 · 5/13 \u003d 63/65

III. висновок

В геометричних задачах часто доводиться вирішувати прямокутні трикутники, іноді кілька разів. Проаналізувавши завдання шкільних підручників і матеріалів ЄДІ, Можна зробити висновок, що в основному використовуються трійки: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; які легко запам'ятати. При вирішенні деяких тригонометричних завдань класичне рішення за допомогою тригонометричних формул і великою кількістю обчислень займає час, а знання піфагорових трійок позбавить від помилок в обчисленнях і заощадить час для вирішення більш складних завдань на ЄДІ.

бібліографічний список

1. Алгебра і початки аналізу. 10-11 класи. У 2 ч. Ч. 2. Задачник для загальноосвітніх установ / [ та ін.]; під ред. . - 8-е изд., Стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 315 с. : Ил.

2. Перельман алгебра. - Д .: ВАП, 1994. - 200 с.

3. Рогановскій: Учеб. Для 7-9 кл. з поглиблений. вивченням математики загаль. шк. з рос. яз. навчання, - 3-тє вид. - Мн .; Нар. Асвета, 2000. - 574 с .: іл.

4. Математика: Хрестоматія з історії, методології, дидактиці. / Упоряд. . - М .: Изд-во УРАО, 2001. - 384 с.

5. Журнал «Математика в школі» №1, 1965 рік.

6. Контрольно-вимірювальні матеріали ЄДІ.

7. Геометрія, 7-9: Учеб. для загальноосвітніх установ /, та ін. - 13-е изд .. - М.: Просвещение, 2003. - 384 с. : Ил.

8. Геометрія: Учеб. для 10-11 кл. середовищ. шк. /, та ін. - 2-е вид. - М .: Просвещение, 1993, - 207 с .: іл.

Перельман алгебра. - Д .: ВАП, 1994. - 200 с.

Журнал «Математика в школі» №1, 1965 рік.

Геометрія, 7-9: Учеб. для загальноосвітніх установ /, та ін. - 13-е изд .. - М.: Просвещение, 2003. - 384 с. : Ил.

Рогановскій: Учеб. Для 7-9 кл. з поглиблений. вивченням математики загаль. шк. з рос. яз. навчання, - 3-тє вид. - Мн .; Нар. Асвета, 2000. - 574 с .: іл.

Алгебра і початки аналізу. 10-11 класи. У 2 ч. Ч. 2. Задачник для загальноосвітніх установ / [и др.]; під ред. . - 8-е изд., Стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 315 с. : Ил., Стор.18.

навчальна: Вивчити ряд піфагорових трійок, розробити алгоритм їх застосування в різних ситуаціях, Скласти пам'ятку по їх використанню.

Виховна: Формування свідомого ставлення до навчання, розвиток пізнавальної активності, культури навчальної праці.

розвиваюча: Розвиток геометричній, алгебраїчної та числовий інтуїції, кмітливості, спостережливості, пам'яті.

Хід уроку

I. Організаційний момент

II. Пояснення нового матеріалу

Учитель: Загадка притягальної сили піфагорових трійок давно хвилює людство. Унікальні властивості піфагорових трійок пояснюють їх особливу роль в природі, музиці, математиці. Піфагорових заклинання, теорема Піфагора, залишається в мозку мільйонів, якщо не мільярдів, людей. Це - фундаментальна теорема, заучувати яку, змушують кожного школяра. Незважаючи на те, що теорема Піфагора доступна розумінню десятирічних, вона є надихаючим початком проблеми, при вирішенні якої зазнали фіаско найвидатніші вчені в історії математики, теорема Ферма. Піфагор з острова Самос (див. Додаток 1 , слайд 4) Був однією з найбільш впливових і тим не менш загадкових постатей в математиці. Оскільки достовірних повідомлень про його життя і роботу не збереглося, його життя виявилося оповитою міфами і легендами, і історикам буває важко відокремити факти від вигадки. Не підлягає сумніву, однак, що Піфагор розвинув ідею про логіку чисел і що саме йому ми зобов'язані першим золотим століттям математики. Завдяки його генію, числа перестали використовуватися тільки для рахунку і обчислень і були вперше оцінені по достоїнству. Піфагор вивчав властивості певних класів чисел, співвідношення між ними і фігури, які утворюють числа. Піфагор зрозумів, що числа існують незалежно від матеріального світу, і тому на вивченні чисел не позначається неточність наших органів почуттів. Це означало, що Піфагор знайшов можливість відкривати істини, незалежні від чийогось думки або забобону. Істини більш абсолютні, ніж будь-яке попереднє знання. На основі вивченої літератури, що стосується піфагорових трійок, нас буде цікавити можливість застосування піфагорових трійок при вирішенні задач тригонометрії. Тому ми поставимо перед собою мету: вивчити ряд піфагорових трійок, розробити алгоритм їх застосування, скласти пам'ятку по їх використанню, провести дослідження щодо їх застосування в різних ситуаціях.

трикутник ( слайд 14), Сторони якого рівні піфагорових числах, є прямокутним. Крім того, будь-який такий трикутник є героновой, тобто таким, у якого всі сторони і площа є цілочисельними. Найпростіший з них - єгипетський трикутник зі сторонами (3, 4, 5).

Складемо ряд піфагорових трійок шляхом домноженія чисел (3, 4, 5) на 2, на 3, на 4. Отримаємо ряд піфагорових трійок, відсортуємо їх по зростанню максимального числа, виділимо примітивні.

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Хід уроку

1. Покрутити навколо завдань:

1) Використовуючи співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу знайдіть, якщо

відомо що .

2) Знайдіть значення тригонометричних функцій кута ?, якщо відомо, що:

3) Система тренувальних завдань по темі "Формули додавання"

знаючи, що sin \u003d 8/17, cos \u003d 4/5, і - кути першої чверті, знайдіть значення виразу:

знаючи, що і - кути другій чверті, sin \u003d 4/5, cos \u003d - 15/17, знайдіть:.

4) Система тренувальних завдань по темі "Формули подвійного кута"

a) Нехай sin \u003d 5/13, - кут другої чверті. Знайдіть sin2, cos2, tg2, ctg2.

b) Відомо, що tg? \u003d 3/4, - кут третьої чверті. Знайдіть sin2, cos2, tg2, ctg2.

c) Відомо, що, 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Відомо, що , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) Знайдіть tg (+), якщо відомо що cos \u003d 3/5, cos \u003d 7/25, де і - кути першої чверті.

f) Знайдіть , - кут третьої чверті.

Вирішуємо задачу традиційним способом з використанням основних тригонометричних тотожностей, а потім вирішуємо ці ж завдання більш раціональним способом. Для цього використовуємо алгоритм вирішення задач з використанням піфагорових трійок. Складаємо пам'ятку вирішення завдань з використанням піфагорових трійок. Для цього згадуємо визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс, гострого кута прямокутного трикутника, зображуємо його, в залежності від умов завдання на сторонах прямокутного трикутника правильно розставляємо піфагорові трійки ( мал. 1). Записуємо співвідношення і розставляємо знаки. Алгоритм вироблений.

Малюнок 1

Алгоритм рішення задач

Повторити (вивчити) теоретичний матеріал.

Знати напам'ять примітивні піфагорові трійки і при необхідності вміти конструювати нові.

Застосовувати теорему Піфагора для точок з раціональними координатами.

Знати визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс гострого кута прямокутного трикутника, вміти зобразити прямокутний трикутник і в залежності від умови задачі правильно розставити піфагорові трійки на сторонах трикутника.

Знати знаки синуса, косинуса, тангенса і котангенс в залежності від їх розташування в координатної площини.

Необхідні вимоги:

1. знати, які знаки синус, косинус, тангенс, котангенс мають в кожній з чвертей координатної площині;
2. знати визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс гострого кута прямокутного трикутника;
3. знати і вміти застосовувати теорему Піфагора;
4. знати основні тригонометричні тотожності, формули додавання, формули подвійного кута, формули половинного аргументу;
5. знати формули приведення.

З урахуванням вищевикладеного заповнимо таблицю ( таблиця 1). Її потрібно заповнювати, слідуючи визначенню синуса, косинуса, тангенса і котангенс або з використанням теореми Піфагора для точок з раціональними координатами. При цьому завжди потрібно пам'ятати знаки синуса, косинуса, тангенса і котангенс в залежності від їх розташування в координатної площини.

Таблиця 1

		трійки чисел		sin	cos	tg	ctg
		(3, 4, 5)	I ч.
		(6, 8, 10)	II ч.			-	-
		(5, 12, 13)	III ч.	-	-
		(8, 15, 17)	IV ч.	-		-	-
		(9, 40, 41)	I ч.

для успішної роботи можна скористатися пам'яткою застосування піфагорових трійок.

Таблиця 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. вирішуємо разом.

1) Завдання: знайдіть cos, tg і ctg, якщо sin \u003d 5/13, якщо - кут другої чверті.