Неймовірні числа професора стюарта. Сучасні наукомісткі технології Всі піфагорові трикутники

Безкровний І.М. 1

1 OAO «Ангстрем-М»

Метою роботи є розробка методів і алгоритмів обчислення піфагорових трійок вигляду a2 + b2 = c2. Процес аналізу здійснювався відповідно до принципів системного підходу. Поряд з математичними моделями, використані графічні моделі, що відображають кожний член Піфагора трійки у вигляді складових квадратів, кожен з яких складається із сукупності одиничних квадратів. Встановлено, що безліч піфагорові трійок містить нескінченне число підмножин, що розрізняють за ознакою різниці величин b-c. Запропоновано алгоритм формування піфагорових трійок з будь-яким наперед заданим значенням цієї різниці. Показано, що піфагорові трійки існують для будь-якого значення 3≤a

піфагорові трійки

системний аналіз

математична модель

графічна модель

1. Аносов Д.Н. Погляд на математику і щось з неї. - М .: МЦНМО, 2003. - 24 с .: іл.

2. Айерланд К., Роузен М. Класичне введення в сучасну теорію чисел. - М .: Мир, 1987.

3. Безкровний І.М. Системний аналіз та інформаційні технологіїв організаціях: Навчальний посібник. - М .: РУДН, 2012. - 392 с.

4. Саймон Сінгх. Велика теоремаФерма.

5. Ферма П. Дослідження з теорії чисел і диофантово аналізу. - М .: Наука, 1992.

6. Yaptro. Ucoz, Available at: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Піфагорові трійки представляють собою когорту з трьох цілих чисел, що задовольняють співвідношенню Піфагора x2 + y2 = z2. Взагалі кажучи, це окремий випадок Діофантових рівнянь, а саме, системи рівнянь, в яких число невідомих більше, ніж число рівнянь. Відомі вони давно, ще з часів Вавилона, тобто, задовго до Піфагора. А назва вони набули після того, як Піфагор на їх основі довів свою знамениту теорему. Однак, як випливає з аналізу численних джерел, в яких питання про піфагорових трійках в тій чи іншій мірі зачіпається досі не розкритий повною мірою питання про існуючі класах цих трійок і про можливі способи їх формування.

Так в книзі Саймона Сінгха йдеться: - «Учні та послідовники Піфагора ... повідали світу секрет знаходження так званих піфагорових троє к.». Однак, в слід за цим читаємо: - «Піфагорійці мріяли знайти і інші пифагорейские трійки, інші квадрати, з яких можна було б скласти третій квадрат великих розмірів. ... У міру того, як числа зростають, піфагорові трійки зустрічаються все рідше, і знаходити їх стає все важче і важче. Піфагорійці винайшли метод відшукання таких трійок і, користуючись ним, довели, що піфагорових трійок існує нескінченно багато ».

У наведеній цитаті виділені слова викликають подив. Чому «Піфагорійці мріяли знайти ...», якщо вони «винайшли метод відшукання таких трійок ...», і чому для великих чисел«Знаходити їх стає все важче і важче ...».

В роботі відомого математикаД.В. Аносова шуканий відповідь, начебто, наведено. - «Є такі трійки натуральних (т. Е. Цілих позитивних) чисел x, y, z, що

x2 + y2 = z2. (1)

... чи можна знайти всі рішення рівняння x2 + y2 = z2 в натуральних числах? ... Так. Відповідь така: кожне таке рішення можна представити у вигляді

x = l (m2-n2), y = 2lmn, z = l (m2 + n2), (2),

де l, m, n - натуральні числа, Причому m> n, або в аналогічному вигляді, в якому x і y міняються місцями. Можна трохи коротше сказати, що x, y, z з (2) зі всілякими натуральними l і m> n суть всі можливі рішення (1) з точністю до перестановки x і y. Наприклад, трійка (3, 4, 5) виходить при l = 1, m = 2, n = 1. ... Мабуть, вавилоняни знали цю відповідь, але як вони до нього прийшли - невідомо ».

Зазвичай математики відомі своєю вимогливістю до строгості своїх формулювань. Але, в цій цитаті такої строгості не спостерігається. Так що саме: знайти або уявити? Очевидно, що це абсолютно різні речі. Ось нижче наводиться рядок «свіжоспечених» трійок (отримані методом, описаних нижче):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Не викликає сумнівів, що кожну з цих трійок можна представити у вигляді співвідношення (2) і обчислити після цього значення l, m, n. Але, це вже після того, як всі значення трійок були знайдені. А як бути до того?

Не можна виключити того, що відповіді на ці питання давно відомі. Але їх чомусь знайти, поки не вдалося. Таким чином, метою цієї роботи є системний аналіз сукупності відомих прикладів піфагорових трійок, пошук системоутворюючих відносин в різних групах трійок і виявлення системних ознак характерних для цих груп і, потім - розробка простих ефективних алгоритміврозрахунку трійок з попередньо заданою конфігурацією. Під конфігурацією будемо розуміти відносини між величинами, які входять до складу трійки.

В якості інструментарію буде використаний математичний апарат на рівні, що не виходить за рамки математики, що викладається в середній школі, І системний аналіз на базі методів, викладених в.

побудова моделі

З позицій системного аналізу будь-яка Числа Піфагора є системою, утвореною об'єктами, якими є три числа і їх властивостями. Їх сукупність, в якій об'єкти поставлені в певні відносини і утворюють систему, що володіє новими властивостями, не властивими ні окремими об'єктами, ні будь-який інший їх сукупності, де об'єкти поставлені в інші відносини.

У рівнянні (1), об'єктами системи є натуральні числа, пов'язані простими алгебраїчними співвідношеннями: зліва від знака рівність стоїть сума двох чисел, зведених до рівня 2, праворуч - третє число, також зведена в ступінь 2. Окремо взяті числа, зліва від рівності, будучи зведені в ступінь 2, що не накладають жодних обмежень на операцію їх підсумовування - результуюча сума може бути якою завгодно. Але, знак рівності, поставлений після операції підсумовування, накладає на значення цієї суми системне обмеження: сума повинна бути таким числом, щоб результатом операції витягання кореня квадратного стало натуральне число. А ця умова виконується не для будь-яких чисел, підставляється в ліву частину рівності. Таким чином, знак рівності, поставлений між двома членами рівняння і третім, перетворює трійку членів в систему. Новим властивістю цієї системи є введення обмежень на значення вихідних чисел.

Виходячи з форми запису, Числа Піфагора може розглядатися як математична модель геометричної системи, що складається з трьох квадратів, пов'язаних між собою відносинами підсумовування і рівності, як це показано на рис. 1. Рис. 1 є графічною моделлю даної системи, а вироблений її моделлю є твердження:

Площа квадрата з довжиною сторони c може бути розділена без залишку на два квадрата з довжиною сторін a і b, таких, що сума їх площ дорівнює площі вихідного квадрата, тобто, все три величини a, b, і c, пов'язані співвідношенням

Графічна модель розкладання квадрата

В рамках канонів системного аналізу відомо, що якщо математична модель адекватно відображає властивості якоїсь геометричної системи, то аналіз властивостей самої цієї системи дозволяє уточнити властивості її математичної моделі, глибше їх пізнати, уточнити, і, при необхідності, вдосконалити. Цього шляху ми і будемо дотримуватися.

Уточнимо, що згідно з принципами системного аналізу операції додавання і віднімання можуть проводитися тільки над складовими об'єктами, тобто, об'єктами, складеними із сукупності елементарних об'єктів. Тому, будемо сприймати будь-який квадрат, як фігуру, складену з сукупності елементарних, або одиничних квадратів. Тоді умова отримання рішення в натуральних числах еквівалентно прийняття умови, що одиничний квадрат неподільний.

Одиничним квадратом називатимемо квадрат, у якого довжина кожної зі сторін дорівнює одиниці. Тобто, при площа одиничного квадрата визначає такий вираз.

Кількісним параметром квадрата є його площа, яка визначається кількістю одиничних квадратів, які можна розмістити на даній площі. Для квадрата з довільним значенням x, вираз x2 визначає величину площі квадрата, утвореного відрізками довжиною в x одиничних відрізків. На площі цього квадрата можуть бути розміщені x2 одиничних квадратів.

Наведені визначення можуть бути сприйняті як тривіальні й очевидні, але це не так. Д.Н. Аносов визначає поняття площа по-іншому: - «... площа фігури дорівнює сумі площ її частин. Чому ми впевнені, що це так? ... Ми уявляємо собі фігуру зробленої з якогось однорідного матеріалу, тоді її площа пропорційна кількості міститься в ній речовини - її масі. Далі мається на увазі, що коли ми поділяємо тіло на кілька частин, сума їх мас дорівнює масі вихідного тіла. Це зрозуміло, тому що все складається з атомів і молекул, і раз їх число не змінилося, то не змінилася і їх сумарна маса ... Адже, власне, маса шматка однорідного матеріалу пропорційна його об'єму; значить, треба знати, що обсяг «листа», що має форму даної фігури, пропорційний її площі. Словом, ... що площа фігури дорівнює сумі площ її частин, в геометрії треба це доводити. ... У підручнику Кисельова існування площі, що має те саме властивість, яке ми зараз обговорюємо, чесно постулировалось як якесь припущення, причому йшлося про те, що це насправді вірно, але ми цього доводити не будемо. Так що і теорема Піфагора, якщо її доводити з площами, в чисто логічному відношенні залишиться не зовсім доведеною ».

Нам видається, що введені вище визначення одиничного квадрата знімають зазначену Д.Н. Аносова невизначеність. Адже якщо величина площі квадрата і прямокутника визначається сумою заповнюють їх одиничних квадратів, то при розбитті прямокутника на довільні, прилягають один до одного частини площа прямокутника природно дорівнює сумі всіх його частин.

Більш того, введені визначення знімають невизначеність використання понять «розділити» і «скласти» стосовно до абстрактних геометричних фігур. Дійсно, що означає розділити прямокутник або будь-яку іншу плоску фігуруна шматки? Якщо це аркуш паперу, то його можна розрізати ножицями. Якщо земельна ділянка - поставити паркан. Кімнату - поставити перегородку. А якщо це намальований квадрат? Провести розділову лінію і заявити, що квадрат розділений? Але, адже говорив Д.І. Менделєєв: «... Заявити можна все, а ти - піди, демонструй!»

А при використанні запропонованих визначень «Розділити фігуру» означає розділити кількість заповнюють цю фігуру одиничних квадратів на дві (або більше) частин. Кількість одиничних квадратів в кожній з таких частин визначає її площа. Конфігурацію цих частин можна надавати довільну, але при цьому сума їх площ завжди буде дорівнює площі вихідної фігури. Можливо, фахівці-математики вважатимуть ці міркування некоректними, тоді приймемо їх за допущення. Якщо вже в підручнику Кисельова прийнятні такі припущення, то і нам подібним прийомом гріх не скористатися.

Першим етапом системного аналізу є виявлення проблемної ситуації. На початку цього етапу було переглянуто кілька сот піфагорових трійок, знайдених в різних джерелах. При цьому увагу привернуло те обставина, що всю сукупність піфагорових трійок, що згадуються в публікаціях, можна розділити на кілька груп, що розрізняються по конфігурації. Ознакою специфічною конфігурації будемо вважати різницю довжин сторін вихідного і від'ємника квадратів, тобто, величину c-b. Наприклад, в публікаціях досить часто як приклад демонструються трійки, що задовольняють умові c-b = 1. Приймемо, що вся сукупність таких піфагорових трійок утворює безліч, яке будемо називати «Клас c-1», і проведемо аналіз властивостей цього класу.

Розглянемо три квадрата, представлені на малюнку, де c - довжина сторони зменшуваного квадрата, b - довжина сторони від'ємника квадрата і a - довжина сторони квадрата, утвореного із їх різниці. На рис. 1 видно, що при відніманні з площі зменшуваного квадрата площі від'ємника квадрата в залишку залишаються дві смуги одиничних квадратів:

Для того щоб з цього залишку можна було утворити квадрат, необхідно виконання умови

Ці співвідношення дозволяють визначити значення всіх членів трійки по єдиному заданому числу c. Найменшим числом c, що задовольняє співвідношенню (6), є число c = 5. Отже, були визначені довжини всіх трьох сторінквадратів, які відповідають співвідношенню (1). Нагадаємо, що значення b боку середнього квадрата

було вибрано, коли ми вирішили утворити середній квадрат шляхом зменшення боку вихідного квадрата на одиницю. Тоді з співвідношень (5), (6). (7) отримуємо наступне співвідношення:

з якого випливає, що вибране значення c = 5 однозначно задає значення b = 4, a = 3.

У підсумку, отримані співвідношення, що дозволяють уявити будь-яку пифагорову трійку класу «c - 1» в такому вигляді, де значення все трьох членів визначаються по одному задається параметром - значенням c:

Додамо, що число 5 в наведеному вище прикладі з'явилося як мінімальне з усіх можливих значень c, при яких рівняння (6) має рішення в натуральних числах. Наступне число, що володіє таким же властивістю, це 13, потім 25, далі 41, 61, 85 і т. Д. Як видно, в цьому ряду чисел інтервали між сусідніми числами інтенсивно зростають. Так, наприклад, після допустимого значення, наступне допустиме значення, а після, наступне допустиме значення, тобто, допустиме значення відстоїть від попереднього більш ніж на п'ятдесят мільйонів!

Тепер зрозуміло, звідки з'явилася ця фраза в книзі: - «У міру того, як числа зростають, піфагорові трійки зустрічаються все рідше, і знаходити їх стає все важче і важче ...». Однак це твердження не є вірним. Варто тільки поглянути на піфагорові трійки, що відповідають наведеним вище парам сусідніх значень c, як відразу кидається в очі одна особливість - в обох парах, в яких значення c рознесені на настільки великі інтервали, значення a виявляються сусідніми непарними числами. Дійсно, для першої пари маємо

і для другої пари

Так що «все рідше зустрічаються" не самі трійки, а інтервали між сусідніми значеннями c збільшуються. Самі ж піфагорові трійки, як це буде показано нижче, існують для будь-якого натурального числа.

Тепер розглянемо, трійки наступного класу - «Клас c-2». Як видно з рис. 1, при відніманні з квадрата зі стороною c квадрата зі стороною (c - 2), утворюється залишок у вигляді суми двох одиничних смуг. Величина цієї суми визначається рівнянням:

З рівняння (10) отримуємо співвідношення, що визначає будь-яку з нескінченної кількості трійок клас «c-2»:

Умовою існування рішення рівняння (11) в натуральних числах є будь-який такого значення c, при якому a є натуральним числом. Мінімальне значення c, при якому рішення існує, становить c = 5. Тоді «стартова» трійка для цього класу трійок визначається набором a = 4, b = 3, c = 5. Тобто, знову, утворюється класична трійка 3, 4, 5 , тільки тепер площа від'ємника квадрата менше площі залишку.

І нарешті, проведемо аналіз трійок класу «з-8». Для цього класу трійок при відніманні площі квадрата з площі с2 вихідного квадрата, отримуємо:

Тоді, з рівняння (12) випливає:

Мінімальне значення c, при якому рішення існує: це c = 13. піфагорова трійка при цьому значенні набуде вигляду 12, 5, 13. В цьому випадку знову площа від'ємника квадрата менше площі залишку. А переставивши позначення місцями, отримаємо трійку 5, 12, 13, яка по своїй конфігурації відноситься до класу «c - 1». Схоже, що подальший аналіз інших можливих конфігурацій нічого принципово нового не відкриє.

Висновок розрахункових співвідношень

У попередньому розділі логіка аналізу розвивалася відповідно до вимог системного аналізу по чотирьом з п'яти основних його етапів: аналіз проблемної ситуації, формування цілей, формування функцій і формування структури. Тепер пора переходити до заключного, п'ятого етапу - перевірка можливості бути реалізованим, тобто, перевірка того, якою мірою поставлені цілі досягнуті. .

Нижче показана табл. 1, в якій наведені значення піфагорових трійок, що відносяться до класу «c - 1». Більшість трійок зустрічаються в різних публікаціях, але трійки для значень a, рівних 999 1001 в відомих публікаціях не зустрічалися.

Таблиця 1

Піфагорові трійки класу «з-1»

Можна перевірити, що все трійки задовольняють співвідношенню (3). Таким чином, одна з поставлених цілей досягнуто. Отримані в попередньому розділі співвідношення (9), (11), (13) дозволяють формувати безліч трійок, задаючи єдиний параметр c - сторону зменшуваного квадрата. Це, звичайно, більш конструктивний варіант, ніж співвідношення (2), для використання якого слід задати довільно три числа l, m, n, що мають будь-яке значення, потім шукати рішення, знаючи тільки, що в підсумку, неодмінно буде отримана Числа Піфагора, а яка - заздалегідь невідомо. У нашому випадку заздалегідь відома конфігурація формується трійки і потрібно ставити тільки один параметр. Зате, на жаль, не для кожного значення цього параметра рішення існує. І треба заздалегідь знати його допустимі значення. Так що отриманий результат хороший, але, далекий від ідеалу. Бажано отримати таке рішення, щоб піфагорові трійки можна було обчислювати для будь-якого довільно заданого натурального числа. З цією метою повернемося до четвертого етапу - формування структури отриманих математичних співвідношень.

Оскільки вибір величини c в якості базового параметра для визначення інших членів трійки виявився незручним, слід випробувати інший варіант. Як видно з табл. 1, вибір параметра a в якості базового представляється кращим, оскільки значення цього параметра йдуть підряд в ряду непарних натуральних чисел. Після нескладних перетворень приводимо співвідношення (9) до більш конструктивного виду:

Співвідношення (14) дозволяють знайти пифагорову трійку для будь-якого наперед заданого непарного значення a. При цей простота вираження для b дозволяє робити обчислення навіть без калькулятора. Дійсно, вибравши, наприклад, число 13, отримуємо:

А для числа 99 відповідно отримуємо:

Співвідношення (15) дозволяють отримувати значення всіх трьох членів Піфагора Трокі для будь-якого заданого n, починаючи з n = 1.

Тепер розглянемо піфагорові трійки класу «c - 2». У табл. 2 наведені для прикладу десять таких трійок. Причому, в відомих публікаціях були знайдені тільки три пари трійок - 8, 15, 23; 12, 35, 36; і 16, 63, 65. Цього виявилося достатньо, щоб визначити закономірності, за якими вони формуються. Решта сім були знайдені з виведених раніше співвідношень (11). Для зручності обчислення ці співвідношення були перетворені так, щоб всі параметри виражалися через величину a. З (11) з очевидність випливає, що всі трійки для класу «c - 2» задовольняють наступним співвідношенням:

Таблиця 2

Піфагорові трійки класу «з-2»

Як видно з табл. 2, все безліч трійок класу «c - 2» можна розділити на два підкласу. Для трійок, у яких значення a ділиться на 4 без залишку, значення b і c - непарні. Такі трійки, у яких НСД = 1, називають примітивними. Для трійок, у яких значення a не ділиться на 4 в цілих числах, все три члена трійки a, b, c - парні.

Тепер перейдемо до розгляду результатів аналізу третього з виділених класів - класу «c - 8». Розрахункові співвідношення для цього класу, отримані з (13), мають вигляд:

Співвідношення (20), (21) по суті, ідентичні. Різниця тільки в виборі послідовності дій. Або, відповідно до (20) вибирається бажане значення a (в даному випадку потрібно, щоб це значення поділялося на 4), потім, визначаються величини b і c. Або, вибирається довільне число, і потім, з співвідношень (21) визначаються всі три члена Піфагора трійки. У табл. 3 наведено ряд піфагорових трійок, обчислених зазначеним способом. Однак, обчислювати значення піфагорових трійок можна ще простіше. Якщо відомо хоч одне значення, то всі наступні значення визначаються дуже просто по наступних співвідношеннях:

Таблиця 3

Справедливість співвідношення (22) для всіх може бути перевірена як по трійках з табл. 2, так і за іншими джерелами. Як приклад, в табл. 4 курсивом виділено трійки з великої таблиці піфагорових трійок (10000 трійок), обчислених на основі комп'ютерної програмипо співвідношенню (2) і жирним шрифтом - трійки, обчислені по співвідношення (20). Ці значення в зазначеній таблиці були відсутні.

Таблиця 4

Піфагорові трійки класу «з-8»

Відповідно, для трійок вигляду можуть використовуватися співвідношення:

І для трійок вигляду<>, Маємо співвідношення:

Слід підкреслити, що розглянуті вище класи трійок «c - 1», «з - 2», «з - 8» становлять понад 90% серед першої тисячі трійок, з таблиці наведеної в. Це дає підстави сприймати зазначені класи як базові. Додамо, що при виведенні співвідношень (22), (23), (24) не використовувалися будь-які спеціальні властивості чисел, що вивчаються в теорії чисел (прості, взаємно прості і ін.). Виявлені закономірності формування піфагорових трійок обумовлені тільки системними властивостями описуваних цими трійками геометричних фігур - квадратів, що складаються з сукупності одиничних квадратів.

висновок

Тепер, як сказав Ендрю Уайлс в 1993 р .: «Думаю, мені слід на цьому зупинитися». Поставлена ​​мета повністю досягнута. Показано, що аналіз властивостей математичних моделей, структура яких пов'язана з геометричними фігурами, Істотно спрощується, якщо в процесі аналізу поряд з чисто математичними викладками враховуються і геометричні властивостідосліджуваних моделей. Спрощення досягається, зокрема за рахунок того, що дослідник «бачить» шукані результати, не проводячи математичних перетворень.

Наприклад, рівність

стає очевидним без перетворень в лівій його частині, варто лише поглянути на рис. 1, де наведено графічна модель цієї рівності.

У підсумку, на основі проведеного аналізу показано, що для будь-якого квадрата зі стороною можуть бути знайдені квадрати зі сторонами b і c, такі, що для них виконується рівність і отримані співвідношення, що забезпечують отримання результатів при мінімальному обсязі обчислень:

для непарних значень a,

і - для парних значень.

бібліографічна посилання

Безкровний І.М. СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ ВЛАСТИВОСТЕЙ піфагорових трійок // Сучасні наукомісткі технології. - 2013. - № 11. - С. 135-142;
URL: http: // сайт / ru / article / view? Id = 33537 (дата звернення: 20.03.2020). Пропонуємо вашій увазі журнали, що видаються у видавництві «Академія природознавства» навчальна: Вивчити ряд піфагорових трійок, розробити алгоритм їх застосування в різних ситуаціях, Скласти пам'ятку по їх використанню.

Виховна: Формування свідомого ставлення до навчання, розвиток пізнавальної активності, культури навчальної праці.

розвиваюча: Розвиток геометричній, алгебраїчної та числовий інтуїції, кмітливості, спостережливості, пам'яті.

Хід уроку

I. Організаційний момент

II. Пояснення нового матеріалу

Учитель: Загадка притягальної сили піфагорових трійок давно хвилює людство. Унікальні властивості піфагорових трійок пояснюють їх особливу рольв природі, музиці, математиці. Піфагорових заклинання, теорема Піфагора, залишається в мозку мільйонів, якщо не мільярдів, людей. Це - фундаментальна теорема, заучувати яку, змушують кожного школяра. Незважаючи на те, що теорема Піфагора доступна розумінню десятирічних, вона є надихаючим початком проблеми, при вирішенні якої зазнали фіаско найвидатніші вчені в історії математики, теорема Ферма. Піфагор з острова Самос (див. Додаток 1 , слайд 4) Був однією з найбільш впливових і тим не менш загадкових постатей в математиці. Оскільки достовірних повідомлень про його життя і роботу не збереглося, його життя виявилося оповитою міфами і легендами, і історикам буває важко відокремити факти від вигадки. Не підлягає сумніву, однак, що Піфагор розвинув ідею про логіку чисел і що саме йому ми зобов'язані першим золотим століттям математики. Завдяки його генію, числа перестали використовуватися тільки для рахунку і обчислень і були вперше оцінені по достоїнству. Піфагор вивчав властивості певних класів чисел, співвідношення між ними і фігури, які утворюють числа. Піфагор зрозумів, що числа існують незалежно від матеріального світу, і тому на вивченні чисел не позначається неточність наших органів почуттів. Це означало, що Піфагор знайшов можливість відкривати істини, незалежні від чийогось думки або забобону. Істини більш абсолютні, ніж будь-яке попереднє знання. На основі вивченої літератури, що стосується піфагорових трійок, нас буде цікавити можливість застосування піфагорових трійок при вирішенні задач тригонометрії. Тому ми поставимо перед собою мету: вивчити ряд піфагорових трійок, розробити алгоритм їх застосування, скласти пам'ятку по їх використанню, провести дослідження щодо їх застосування в різних ситуаціях.

трикутник ( слайд 14), Сторони якого рівні піфагорових числах, Є прямокутним. Крім того, будь-який такий трикутник є героновой, тобто таким, у якого всі сторони і площа є цілочисельними. Найпростіший з них - єгипетський трикутник зі сторонами (3, 4, 5).

Складемо ряд піфагорових трійок шляхом домноженія чисел (3, 4, 5) на 2, на 3, на 4. Отримаємо ряд піфагорових трійок, відсортуємо їх по зростанню максимального числа, виділимо примітивні.

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Хід уроку

1. Покрутити навколо завдань:

1) Використовуючи співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу знайдіть, якщо

відомо що .

2) Знайдіть значення тригонометричних функцій кута ?, якщо відомо, що:

3) Система тренувальних завдань по темі "Формули додавання"

знаючи, що sin = 8/17, cos = 4/5, і - кути першої чверті, знайдіть значення виразу:

знаючи, що і - кути другій чверті, sin = 4/5, cos = - 15/17, знайдіть:.

4) Система тренувальних завдань по темі "Формули подвійного кута"

a) Нехай sin = 5/13, - кут другої чверті. Знайдіть sin2, cos2, tg2, ctg2.

b) Відомо, що tg? = 3/4, - кут третьої чверті. Знайдіть sin2, cos2, tg2, ctg2.

c) Відомо, що, 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Відомо, що , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) Знайдіть tg (+), якщо відомо що cos = 3/5, cos = 7/25, де і - кути першої чверті.

f) Знайдіть , - кут третьої чверті.

Вирішуємо задачу традиційним способом з використанням основних тригонометричних тотожностей, а потім вирішуємо ці ж завдання більш раціональним способом. Для цього використовуємо алгоритм вирішення задач з використанням піфагорових трійок. Складаємо пам'ятку вирішення завдань з використанням піфагорових трійок. Для цього згадуємо визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс, гострого кута прямокутного трикутника, зображуємо його, в залежності від умов завдання на сторонах прямокутного трикутника правильно розставляємо піфагорові трійки ( Мал. 1). Записуємо співвідношення і розставляємо знаки. Алгоритм вироблений.

Малюнок 1

Алгоритм рішення задач

Повторити (вивчити) теоретичний матеріал.

Знати напам'ять примітивні піфагорові трійки і при необхідності вміти конструювати нові.

Застосовувати теорему Піфагора для точок з раціональними координатами.

Знати визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс гострого кута прямокутного трикутника, вміти зобразити прямокутний трикутник і в залежності від умови задачі правильно розставити піфагорові трійки на сторонах трикутника.

Знати знаки синуса, косинуса, тангенса і котангенс в залежності від їх розташування в координатної площини.

Необхідні вимоги:

1. знати, які знаки синус, косинус, тангенс, котангенс мають в кожній з чвертей координатної площині;
2. знати визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс гострого кута прямокутного трикутника;
3. знати і вміти застосовувати теорему Піфагора;
4. знати основні тригонометричні тотожності, Формули додавання, формули подвійного кута, формули половинного аргументу;
5. знати формули приведення.

З урахуванням вищевикладеного заповнимо таблицю ( Таблиця 1). Її потрібно заповнювати, слідуючи визначенню синуса, косинуса, тангенса і котангенс або з використанням теореми Піфагора для точок з раціональними координатами. При цьому завжди потрібно пам'ятати знаки синуса, косинуса, тангенса і котангенс в залежності від їх розташування в координатної площини.

Таблиця 1

		трійки чисел		sin	cos	tg	ctg
		(3, 4, 5)	I ч.
		(6, 8, 10)	II ч.			-	-
		(5, 12, 13)	III ч.	-	-
		(8, 15, 17)	IV ч.	-		-	-
		(9, 40, 41)	I ч.

для успішної роботиможна скористатися пам'яткою застосування піфагорових трійок.

Таблиця 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. вирішуємо разом.

1) Завдання: знайдіть cos, tg і ctg, якщо sin = 5/13, якщо - кут другої чверті.

Піфагорові трійки чисел

Творча робота

учня 8 "A"класу

МАОУ «Гімназія №1»

Жовтневого району м Саратова

Панфілова Володимира

Керівник - вчитель математики вищої категорії

Гришина Ірина Володимирівна

зміст

Запровадження ................................................................................................ 3

Теоретична частинароботи

Знаходження основного піфагорова трикутника

(Формули стародавніх індусів) ........................................................................ 4

Практична частина роботи

Складання піфагорових трійок різними способами ........................ ........ 6

Важлива властивість піфагорових трикутників .......................................... ... 8

Висновок .......................................................................................... .... 9

Література .... ....................................................................................... ... 10

Вступ

В цьому навчальному роціна уроках математики ми вивчили одну з найпопулярніших теорем геометрії - теорему Піфагора. Теорема Піфагора застосовується в геометрії на кожному кроці, вона знайшла широке застосування в практиці і повсякденному житті. Але, крім самої теореми, ми вивчили також і теорему, зворотний до теоремі Піфагора. У зв'язку з вивченням вже цієї теореми, у нас відбулося знайомство з Числа Піфагора чисел, тобто з наборами з 3-х натуральних чиселa , b іc , Для яких справедливо співвідношення: = + . До таких наборів відносять, наприклад, такі трійки:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

У мене відразу виникли питання: а скільки піфагорових трійок можна придумати? А як їх складати?

У нашому підручнику геометрії після викладу теореми, зворотної теоремі Піфагора, було зроблено важливе зауваження: можна довести, що катетиа іb і гіпотенузаз прямокутних трикутників, довжини сторін яких виражаються натуральними числами, можна знаходити за формулами:

а = 2kmn b = k ( - ) C = k ( + , (1)

деk , m , n - будь-які натуральні числа, причомуm > n .

Природно, виникає питання - як довести дані формули? І тільки за цими формулами можна складати піфагорові трійки?

У своїй роботі я здійснив спробу відповісти на виниклі у мене питання.

Теоретична частина роботи

Знаходження основного піфагорова трикутника (формули стародавніх індусів)

Спочатку доведемо формули (1):

Позначимо довжини катетів черезх іу , А довжину гіпотенузи черезz . По теоремі Піфагора маємо рівність:+ = .(2)

дане рівнянняназивають рівнянням Піфагора. Дослідження піфагорових трикутників зводиться до вирішення в натуральних числах рівняння (2).

Якщо кожну сторону деякого пифагорова трикутника збільшити в одне і те ж число раз, то отримаємо новий прямокутний трикутник, Подібний даному зі сторонами, вираженими натуральними числами, тобто знову пифагоров трикутник.

Серед усіх подібних трикутників існує найменший, легко здогадатися, що це буде трикутник, сторони якогох іу виражаються взаємно простими числами

(НОД (х, у )=1).

Такий пифагоров трикутник назвемоосновним .

Відшукання основних піфагорових трикутників.

Нехай трикутник (x , y , z ) - основний пифагоров трикутник. числах іу - взаємно прості, і тому не можуть бути обидва парними. Доведемо, що вони не можуть бути обидва і непарними. Для цього зауважимо, щоквадрат непарного числа при діленні на 8 дає в залишку 1. Справді, будь-який непарне натуральне число можна представити у вигляді2 k -1 , деk належитьN .

Звідси: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

числа( k -1) іk - послідовні, одне з них обов'язково парне. тоді виразk ( k -1) ділиться на2 , 4 k ( k -1) ділиться на 8, а значить, число при розподілі на 8 дає в залишку 1.

Сума квадратів двох непарних чисел дає при діленні на 8 в залишку 2, отже, сума квадратів двох непарних чисел є число парне, але не кратне 4, а тому це числоне може бути квадратом натурального числа.

Отже, рівність (2) не може мати місця, якщоx іу обидва непарні.

Таким чином, якщо пифагоров трикутник (х, у, z ) - основний, то серед чиселх іу одне повинно бути парним, а інше - непарних. Нехай число у є парним. числах іz непарні (непарністьz випливає з рівності (2)).

з рівняння+ = отримуємо, що= ( z + x )( z - x ) (3).

числаz + x іz - x як сума і різниця двох непарних чисел - числа парні, а тому (4):

z + x = 2 a , z - x = 2 b , деа іb належатьN .

z + x =2 a , z - x = 2 b ,

z = a + b , x = a - b. (5)

З цих рівностей випливає, щоa іb - взаємно прості числа.

Доведемо це, розмірковуючи від протилежного.

Нехай НСД (a , b )= d , деd >1 .

тодіd z іx , А отже, і чиселz + x іz - x . Тоді на підставі рівності (3) було б дільником числа . В такому випадкуd був би загальним дільником чиселу іх , Але числау іх повинні бути взаємно простими.

числоу , Як відомо, парне, томуу = 2с , дез - натуральне число. Рівність (3) на підставі рівності (4) приймає наступний вигляд: = 2а * 2 b , або = Ab.

З арифметики відомо, щоякщо добуток двох взаємно простих чисел є квадратом натурального числа, то кожне з цих чисел також є квадратом натурального числа.

значить,а = іb = , деm іn - взаємно прості числа, тому що вони є дільниками взаємно простих чисела іb .

На підставі рівності (5) маємо:

z = + , x = - , = ab = * = ; з = mn

тодіу = 2 mn .

числаm іn , Тому що є взаємно простими, не можуть бути одночасно парними. Але і непарними одночасно бути не можуть, тому що в цьому випадкух = - було б парних, що неможливо. Отже, одне з чисел,m абоn парне, а інше непарне. очевидно,у = 2 mn ділиться на 4. Отже, в кожному основному Піфагора трикутнику хоча б один з катетів ділиться на 4. Звідси випливає, що немає піфагорових трикутників, всі сторони якого були б простими числами.

Отримані результати можна виразити у вигляді наступної теореми:

Всі основні трикутники, в якиху є парним числом, виходять з формули

х = - , y =2 mn , z = + ( m > n ), деm іn - всі пари взаємно простих чисел, з яких одне є парним, а інше непарних (байдуже, яке). Кожна основна Числа Піфагора (х, у, z ), Деу - парне, - визначається цим способом однозначно.

числаm іn не можуть бути обидва парними або обидва непарними, тому що в цих випадках

х = були б парними, що неможливо. Отже, одне з чиселm абоn парне, а інше непарне (y = 2 mn ділиться на 4).

Практична частина роботи

Складання піфагорових трійок різними способами

У формулах індусівm іn - взаємно прості, але можуть бути числами довільної парності і складати піфагорові трійки по ним досить важко. Тому спробуємо знайти інший підхід до складання піфагорових трійок.

= - = ( z - y )( z + y ), дех - непарне,y - парне,z - непарне

v = z - y , u = z + y

= uv , деu - непарне,v - непарне (взаємно прості)

Оскільки твір двох непарних взаємно простих чисел є квадратом натурального числа, тоu = , v = , деk іl - взаємно прості, непарні числа.

z - y = z + y = k 2 , звідки, складаючи рівності і віднімаючи з одного інше, одержуємо:

2 z = + 2 y = - тобто

z = y = x = kl

k

l

x

y

z

37

9

1

9

40

41 (sнулів)*(100…0 (sнулів) +1)+1 =200…0 (S-1нулів) 200…0 (S-1нулів) 1

Важлива властивість піфагорових трикутників

теорема

В основному Піфагора трикутнику один з катетів обов'язково ділиться на 4, один з катетів обов'язково ділиться на 3 і площа пифагорова трикутника обов'язково кратна 6.

Доведення

Як нам відомо, у всякому пифагоровом трикутнику хоча б один з катетів ділиться на 4.

Доведемо, що один з катетів ділиться і на 3.

Для доказу припустимо, що в пифагоровом трикутнику (x , y , z x абоy кратно 3.

Тепер доведемо, що площа пифагорова трикутника ділиться на 6.

Всякий пифагоров трикутник має площу, відображену натуральним числом, кратним 6. Це випливає з того, що хоча б один з катетів ділиться на 3 і хоча б один з катетів ділиться на 4. Площа трикутника, яка визначається полупроізведеніем катетів, повинна виражатися числом, кратним 6 .

висновок

В роботі

- доведені формули стародавніх індусів

-проведена дослідження на кількість піфагорових трійок (їх нескінченно багато)

-вказати способи знаходження піфагорових трійок

-Вивчити деякі властивості піфагорових трикутників

Для мене це була дуже цікава темаі знаходити відповіді на мої запитання стало дуже цікавим заняттям. Надалі я планую розглянути зв'язок піфагорових трійок з послідовністю Фібоначчі і теоремою Ферма і дізнатися ще багато властивостей піфагорових трикутників.

література

Л.С. Атанасян "Геометрія.7-9 класи" М .: Просвещение, 2012.

В. Серпінського "Піфагорови трикутники" М.: Учпедгиз, 1959.

Саратов

2014

Далі розглянемо відомі способи генерації ефективних піфагорових трійок. Учні Піфагора були першими, хто винайшли простий спосіб генерації піфагорових трійок, використовуючи формулу, частини якої представляють пифагорову трійку:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

де m- непарне, m> 2. дійсно,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Аналогічну формулу запропонував давньогрецький філософ Платон:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

де m- будь-яке число. для m= 2,3,4,5 генеруються наступні трійки:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Як бачимо, ці формули не можуть дати всі можливі примітивні трійки.

Россмотрім наступний поліном, який розкладається на суму поліномів:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Звідси такі формули для отримання примітивних трійок:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Ці формули генерують трійки, в яких середнє число відрізняється від найбільшого рівно на одиницю, тобто також генеруються не всі можливі трійки. Тут перші трійки дорівнюють: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Щоб визначити спосіб генерації всіх примітивних трійок, слід досліджувати їхні властивості. По-перше, якщо ( a, b, c) - примітивна трійка, то aі b, bі c, аі c- повинні бути взаємно простими. нехай aі bподіляються на d. тоді a 2 + b 2 - також ділиться на d. відповідно, c 2 і cповинні ділитися на d. Тобто, це не є примітивна трійка.

По-друге, серед чисел a, bодне повинно бути парним, а інше - непарним. Дійсно, якщо aі b- парні, то і збуде парним, і числа можна поділити принаймні на 2. Якщо вони обидва непарні, то їх можна представити як 2 k+1 i 2 l+1, де k,l- деякі числа. тоді a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, тобто, з 2, як і a 2 + b 2, при діленні на 4 має залишок 2.

нехай з- будь-яке число, тобто з = 4k+i (i= 0, ..., 3). тоді з 2 = (4k+i) 2 має залишок 0 або 1 і не може мати залишок 2. Таким чином, aі bне можуть бути непарними, тобто a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 і залишок від ділення з 2 на 4 повинен бути 1, що означає, що змає бути непарним.

Такі вимоги до елементів Піфагора трійки задовольняють наступні числа:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

де mі n- взаємно прості з різною парністю. Вперше ці залежності стали відомими з праць Евкліда, який жив 2300 р. назад.

Доведемо справедливість залежностей (2). нехай а- парне, тоді bі c- непарні. тоді c + b i c − b- парні. Їх можна представити як c + b = 2uі c − b = 2v, де u,v- деякі цілі числа. Тому

a 2 = з 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u· 2 v = 4uv

І тому ( a/2) 2 = uv.

Можна довести від супротивного, що uі v- взаємно прості. нехай uі v- поділяються на d. тоді ( c + b) І ( c − b) поділяються на d. І тому cі bповинні ділитися на d, А це суперечить умові до Піфагора трійці.

Так як uv = (a/ 2) 2 і uі v- взаємно прості, то нескладно довести, що uі vповинні бути квадратами якихось чисел.

Таким чином, є позитивні цілі числа mі n, Такі що u = m 2 і v = n 2. тоді

а 2 = 4uv = 4m 2 n 2, так що
а = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Так як b> 0, то m > n.

Залишилося показати, що mі nмають різну парність. якщо mі n- парні, то uі vповинні бути парними, а це неможливо, так як вони взаємно прості. якщо mі n- непарні, то b = m 2 − n 2 і c = m 2 + n 2 були б парними, що неможливо, так як cі b- взаємно прості.

Таким чином, будь-яка примітивна Числа Піфагора повинна задовольняти умови (2). При цьому числа mі nназиваються генеруючими числамипримітивних трійок. Наприклад, нехай маємо примітивну пифагорову трійку (120,119,169). В цьому випадку

а= 120 = 2 · 12 · 5, b= 119 = 144 - 25, і c = 144+25=169,

де m = 12, n= 5 - генеруючі числа, 12> 5; 12 і 5 - взаємно прості і різної парності.

Можна довести зворотне, що числа m, nза формулами (2) дають примітивну пифагорову трійку (a, b, c). дійсно,

а 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

Тобто ( a,b,c) - Числа Піфагора. Доведемо, що при цьому a,b,c- взаємно прості числа від противного. Нехай ці числа діляться на p> 1. Так як mі nмають різну парність, то bі c- непарні, тобто p≠ 2. Так як рділить bі c, то рмає ділити 2 m 2 і 2 n 2, а це неможливо, так як p≠ 2. Тому m, n- взаємно прості і a,b,c- теж взаємно прості.

У таблиці 1 показані всі примітивні піфагорові трійки, згенерованих за формулами (2) для m≤10.

Таблиця 1. Примітивні піфагорові трійки для m≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Аналіз цієї таблиці показує наявність наступного ряду закономірностей:

• або a, або bділяться на 3;
• одне з чисел a,b,cділиться на 5;
• число аділиться на 4;
• твір a· bділиться на 12.

У 1971 р американські математики Тейган і Хедвін для генерації трійок запропонували такі маловідомі параметри прямокутного трикутника, як його зростання (height) h = c- b і надлишок (success) е = a + b − c. На рис.1. показані ці величини на деякому прямокутному трикутнику.

Малюнок 1. Прямокутний трикутник і його зростання і надлишок

Назва "надлишок" є похідним від того, що це додатковий відстань, яке необхідно пройти по катетам трикутника з однієї вершини в протилежну, якщо не йти по його діагоналі.

Через надлишок і зростання боку піфагорових трикутника можна виразити як:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Не всі комбінації hі eможуть відповідати піфагорових трикутниках. для заданого hможливі значення e- це твори деякого числа d. це число dмає назву приросту і відноситься до hнаступним чином: d- це найменше позитивне ціле число, квадрат якого ділиться на 2 h. Так як eкратне d, То воно записується як e = kd, де k- позитивне ціле.

За допомогою пар ( k,h) Можна згенерувати всі піфагорові трикутники, включаючи непрімітівние і узагальнені, в такий спосіб:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Причому трійка є примітивною, якщо kі h- взаємно прості і якщо h =± q 2 при q- непарному.
Крім того, це буде саме Числа Піфагора, якщо k> √2 · h/dі h > 0.

Щоб знайти kі hз ( a,b,c), Виконують такі дії:

• h = c − b;
• записують hяк h = pq 2, де p> 0 і таке, що не є квадратом;
• d = 2pqякщо p- непарне і d = pq, Якщо p - парне;
• k = (a − h)/d.

Наприклад, для трійки (8,15,17) маємо h= 17-15 = 2 · 1, так що p= 2 і q = 1, d= 2, і k= (8 - 2) / 2 = 3. Так що ця трійка задається як ( k,h) = (3,2).

Для трійки (459,1260,1341) маємо h= 1341 - 1260 = 81, так що p = 1, q= 9 і d= 18, звідси k= (459 - 81) / 18 = 21, так що код цієї трійки дорівнює ( k,h) = (21, 81).

Завдання трійок за допомогою hі kмає ряд цікавих властивостей. параметр kдорівнює

k = 4S/(dP), (5)

де S = ab/ 2 - площа трикутника, а P = a + b + c- його периметр. Це випливає з рівності eP = 4S, Яке виходить з теореми Піфагора.

Для прямокутного трикутника eдорівнює діаметру вписаного в трикутник кола. Це виходить з того, що гіпотенуза з = (а − r)+(b − r) = a + b − 2r, де r- радіус кола. Звідси h = c − b = а − 2rі е = a − h = 2r.

для h> 0 і k > 0, kє порядковим номером трійок a-b-cв послідовності піфагорових трикутників з ростом h. З таблиці 2, де представлено кілька варіантів трійок, згенерованих парами h, k, Видно, що зі збільшенням kзростають величини сторін трикутника. Таким чином, на відміну від класичної нумерації, нумерація парами h, kмає більший порядок в послідовності трійок.

Таблиця 2. Піфагорови трійки, згенерованих парами h, k.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

для h > 0, dзадовольняє нерівність 2√ h ≤ d ≤ 2h, В якому нижня межа досягається при p= 1, а верхня - при q= 1. Тому значення dщодо 2√ h- це міра того, наскільки число hвіддалене від квадрата деякого числа.

Вивчення властивостей натуральних чисел привело піфагорійців до ще однієї «вічної» проблеми теоретичної арифметики (теорії чисел) - проблеми, паростки якої пробивалися задовго до Піфагора в Стародавньому Єгипті і Стародавньому Вавилоні, а загальне рішення не знайдено й досі. Почнемо з задачі, яку в сучасних термінах можна сформулювати так: вирішити в натуральних числах невизначений рівняння

Сьогодні ця задача іменується завданням Піфагора, А її рішення - трійки натуральних чисел, що задовольняють рівняння (1.2.1), - називаються Числа Піфагора. В силу очевидного зв'язку теореми Піфагора з завданням Піфагора останньої можна дати геометричну формулювання: знайти всі прямокутні трикутники з цілочисельними катетами x, yі целочисленной гипотенузой z.

Приватні рішення задачі Піфагора були відомі в далекій давнині. У папірусі часів фараона Аменемхета I (бл. 2000 до н. Е.), Який зберігається в Єгипетському музеї в Берліні, ми знаходимо прямокутний трикутник зі ставленням сторін (). На думку найбільшого німецького історика математики М. Кантора (1829 - 1920), в Древньому Єгипті існувала особлива професія гарпедонаптов- «натягівателей мотузок», які під час урочистої церемонії закладки храмів і пірамід розмічали прямі кути за допомогою мотузки, що має 12 (= 3 + 4 + 5) рівновіддалених вузлів. Спосіб побудови прямого кута гарпедонаптамі очевидний з малюнка 36.

Треба сказати, що з Кантором категорично не згоден інший знавець стародавньої математики- ван дер Варден, хоча самі пропорції давньоєгипетської архітектури свідчать на користь Кантора. Як би там не було, сьогодні прямокутний трикутник зі ставленням сторін називається єгипетським.

Як зазначалося на с. 76, збереглася глиняна табличка, що відноситься до древневавілонской епосі і містить 15 рядків піфагорових трійок. Крім тривіальної трійки, одержуваної з єгипетської (3, 4, 5) множенням на 15 (45, 60, 75), тут є і вельми складні піфагорові трійки, такі, як (3367, 3456, 4825) і навіть (12709, 13500, 18541)! Немає ніяких сумнівів, що ці числа були знайдені не простим перебором, а за деякими єдиними правилами.

І тим не менше питання про спільне вирішення рівняння (1.2.1) в натуральних числах був поставлений і вирішений тільки піфагорійцями. Загальна постановка якої б то не було математичної задачі була чужа як стародавнім єгиптянам, так і древнім вавилонянам. Тільки з Піфагора починається становлення математики як дедуктивної науки, і одним з перших кроків на цьому шляху було рішення задачі про піфагорових трійках. Перші рішення рівняння (1.2.1) антична традиція пов'язує з іменами Піфагора і Платона. Спробуємо реконструювати ці рішення.

Ясно, що рівняння (1.2.1) Піфагор мислив не в аналітичній формі, а у вигляді квадратного числа, всередині якого потрібно було відшукати квадратні числа і. Число природно було уявити у вигляді квадрата зі стороною yна одиницю менше боку zвихідного квадрата, т. е.. Тоді, як легко бачити з малюнка 37 (саме бачити!), Для решти квадратного числа повинно виконуватися рівність. Таким чином, ми приходимо до системи лінійних рівнянь

Складаючи і віднімаючи ці рівняння, знаходимо рішення рівняння (1.2.1):

Легко переконатися в тому, що отримане рішення дає натуральні числа тільки при непарних. Таким чином, остаточно маємо

І т. Д. Це рішення традиція пов'язує з ім'ям Піфагора.

Зауважимо, що система (1.2.2) може бути отримана і формально з рівняння (1.2.1). Справді,

звідки, вважаючи, приходимо до (1.2.2).

Ясно, що рішення Піфагора знайдено при досить жорсткому обмеженні () і містить далеко не всі піфагорові трійки. Наступним кроком можна покласти, тоді, так як тільки в цьому випадку буде квадратним числом. Так виникає система також буде Піфагора трійкою. Тепер може бути доведена основна

Теорема.якщо pі qвзаємно прості числа різною парності, то все примітивні піфагорові трійки знаходяться за формулами