Судячи за популярністю запиту "теорема Ферма - короткий доказ", ця математична проблема дійсно багатьох цікавить. Ця теорема була вперше висловлена \u200b\u200bП'єром де Ферма в 1637 році на краю копії "Арифметики", де він стверджував, що у нього було її рішення, воно було занадто велике для того, щоб поміститися на краю.

Перше успішне доказ було опубліковано в 1995 році - це було повне доведення теореми Ферма, здійснене Ендрю Уайлсом. Воно було описано як «приголомшливий прогрес», і призвело Уайлса до отримання премії Абеля в 2016 році. Будучи описаним щодо коротко, доказ теореми Ферма також довело більшу частину теореми модульности і відкрило нові підходи до численних інших проблем і ефективним методам підйому модульности. Ці звершення просунули математику на 100 років вперед. Доказ малої теореми Ферма сьогодні не є чимось незвичайним.

Невирішена проблема стимулювала розвиток алгебраїчної теорії чисел в XIX столітті і пошук доведення теореми модульности в XX столітті. Це одна з найпомітніших теорем в історії математики і до повного докази великої теореми Ферма шляхом розподілу вона була в Книзі рекордів Гіннеса як «найскладніша математична проблема», однією з особливостей якої є те, що вона має найбільшу кількість невдалих доказів.

Історична довідка

Пифагорейское рівняння x 2 + y 2 \u003d z 2 має нескінченне число позитивних цілочисельних рішень для x, y і z. Ці рішення відомі як трійці Піфагора. Приблизно в 1637 році Ферма написав на краю книги, що більш загальне рівняння a n + b n \u003d c n не має рішень в натуральних числах, Якщо n є цілим числом, більшим ніж 2. Хоча сам Ферма стверджував, що має рішення свого завдання, він не залишив ніяких подробиць про її доказі. Елементарне доведення теореми Ферма, заявлене її творцем, скоріше була його хвалькуватої вигадкою. Книга великого французького математика була виявлена \u200b\u200bчерез 30 років після його смерті. Це рівняння, яке отримало назву «Остання теорема Ферма», протягом трьох з половиною століть залишалося невирішеним в математиці.

Теорема в кінцевому підсумку стала однією з найпомітніших невирішених проблем математики. Спроби довести це викликали істотний розвиток теорії чисел, і з плином часу остання теорема Ферма отримала популярність як невирішена проблема математики.

Коротка історія доказів

Якщо n \u003d 4, що доведено самим Ферма, досить довести теорему для індексів n, які є простими числами. Протягом наступних двох століть (1637-1839) гіпотеза була доведена тільки для простих чисел 3, 5 і 7, хоча Софі Жермен оновлювала і доводила підхід, який мав відношення до всього класу простих чисел. В середині 19 століття Ернст Куммер розширив це і довів теорему для всіх правильних простих чисел, в результаті чого нерегулярні прості числа аналізувалися індивідуально. Грунтуючись на роботі Куммера і, використовуючи складні комп'ютерні дослідження, інші математики змогли розширити рішення теореми, маючи на меті охопити всі основні показники до чотирьох мільйонів, але док-во для всіх експонентів і раніше було недоступним (це означає, що математики зазвичай вважали рішення теореми неможливим, надзвичайно складним, або недосяжним з сучасними знаннями).

Робота Шимури і Таніями

У 1955 році японські математики Горо Шимура і Ютака Таніяма підозрювали, що існує зв'язок між еліптичними кривими і модульними формами, двома абсолютно різними областями математики. Відома в той час, як гіпотеза Таніяма-Шимура-Вейля і (в кінцевому рахунку) як теорема модульности, вона існувала сама по собі, без видимого зв'язку з останньою теоремою Ферма. Вона сама по собі широко розглядалася як важлива математична теорема, але при цьому вважалася (як і теорема Ферма) неможливою для доказу. У той же час доказ великої теореми Ферма (шляхом розподілу і застосування складних математичних формул) було здійснено лише через півстоліття.

У 1984 році Герхард Фрей зауважив очевидний зв'язок між цими двома раніше не пов'язаними і невирішеними проблемами. Повний підтвердження того, що дві теореми були тісно пов'язані, було опубліковано в 1986 році Кеном Рібет, який грунтувався на частковому доказі Жана-П'єра Серра, який довів все, крім однієї частини, відомої як «гіпотеза Епсілон». Простіше кажучи, ці роботи Фрея, Серра і Рибе показали, що якби теорема про модульности могла бути доведена, по крайней мере, для напівстабільності класу еліптичних кривих, то й доказ останньої теореми Ферма також рано чи пізно буде відкрито. Будь-яке рішення, яке може суперечити останньої теореми Ферма, може також використовуватися, щоб суперечити теоремі модульности. Тому, якщо теорема про модульности виявилася справжньою, то за визначенням не може існувати рішення, яке суперечить останньої теореми Ферма, а значить вона незабаром повинна була бути доведена.

Хоча обидві теореми були складними проблемами для математики, які вважаються нерозв'язних, робота двох японців стала першим припущенням про те, як остання теорема Ферма могла б бути продовжена і доведена для всіх чисел, а не тільки для деяких. Важливим для дослідників, які обрали тему дослідження, був той факт, що на відміну від останньої теореми Ферма, теорема модульности була основною активною областю досліджень, для якої було розроблено доказ, а не тільки історичної дивиною, тому час, витрачений на її роботу, могло бути виправдане з професійної точки зору. Однак загальна думка полягала в тому, що рішення гіпотези Таніями-Шимури виявилося недоцільним.

Велика теорема Ферма: доказ Уайлса

Дізнавшись, що Рібет довів правильність теорії Фрея, англійський математик Ендрю Уайлс, з дитинства цікавиться останньою теоремою Ферма і має досвід роботи з еліптичними кривими і суміжними областями, вирішив спробувати довести гіпотезу Таніями-Шимури, як спосіб довести останню теорему Ферма. У 1993 році, через шість років після оголошення про свою мету, таємно працюючи над проблемою вирішення теореми, Уайльсу вдалося довести суміжну гіпотезу, що, в свою чергу, допомогло б йому довести останню теорему Ферма. Документ Уайлса був величезним за розміром і масштабом.

Недолік був виявлений в одній частині його оригінальної статті під час рецензування і зажадав ще один рік співпраці з Річардом Тейлором, щоб спільно вирішити теорему. В результаті остаточний доказ Уайлсом великої теореми Ферма не змусило себе довго чекати. У 1995 році воно було опубліковано в куди меншому масштабі, ніж попередня математична робота Уайлса, наочно показуючи, він не помилився в своїх попередніх висновках про можливість доведення теореми. Досягнення Уайлса було широко розтиражовано в популярній пресі і популяризувати в книгах і телепередачах. Решта частини гіпотези Таніяма-Шимура-Вейля, які тепер були доведені і відомі як теорема про модульности, згодом були доведені іншими математиками, які грунтувалися на роботі Уайлса в період між 1996 і 2001 роками. За своє досягнення Вайлс був удостоєний честі і отримав численні нагороди, в тому числі, премію Абеля 2016 року.

Доказ Уайлсом останньої теореми Ферма є окремим випадком рішення теореми модульности для еліптичних кривих. Проте, це найвідоміший випадок такої масштабної математичної операції. Разом з рішенням теореми Рибе, британський математик також отримав підтвердження останньої теореми Ферма. Остання теорема Ферма і теорема про модульности майже повсюдно вважалися недоказовими сучасними математиками, але Ендрю Уайлс зміг довести всьому науковому світу, Що навіть вчені мужі здатні помилятися.

Вайлс вперше оголосив про своє відкриття в середу 23 червня 1993 року в лекції в Кембриджі під назвою «Модульні форми, еліптичні криві та подання Галуа». Однак у вересні 1993 року було встановлено, що його розрахунки містять помилку. Рік по тому, 19 вересня 1994 року, в тому, що він назвав би «самим важливим моментом його трудового життя », Вайлс наткнувся на одкровення, яке дозволило йому виправити рішення задачі до того рівня, коли воно зможе задовольнити математичне співтовариство.

характеристика роботи

Доказ теореми Ферма Ендрю Уайлсом використовує багато методи з алгебраїчної геометрії і теорії чисел і має багато розгалужень в цих областях математики. Він також використовує стандартні конструкції сучасної алгебраїчної геометрії, такі як категорія схем і теорія Івасави, а також інші методи XX століття, які не були доступні П'єру Ферма.

Дві статті, що містять докази, складають 129 сторінок, які писалися протягом семи років. Джон Коутс описав це відкриття як одне з найбільших досягнень теорії чисел, а Джон Конвей назвав його головним математичним звершенням 20 століття. Вайлс, щоб довести останню теорему Ферма шляхом доведення теореми модульности для окремого випадку напівстабільності еліптичних кривих, розробив дієві методи підйому модульности і відкрив нові підходи до численних інших проблем. За рішення останньої теореми Ферма він був посвячений у лицарі і отримав інші нагороди. Коли стало відомо, що Вайлс виграв премію Абеля, Норвезька академія наук описала його досягнення як «чудове і елементарне доказ останньої теореми Ферма ».

Як це було

Одним з людей, котрі аналізували первинну рукопис Уайлса з рішенням теореми, був Нік Кац. В ході свого огляду він поставив британцеві ряд уточнюючих питань, які змусили Уайлса визнати, що його робота явно містить пробіл. В одній критичній частині докази була допущена помилка, яка давала оцінку для порядку конкретної групи: система Ейлера, яка використовується для розширення методу Коливагіна і Флача, була неповною. Помилка, однак, не зробила його роботу марною - кожна частина роботи Уайлса була дуже значною і новаторською сама по собі, як і багато розробки та методи, які він створив в ході своєї роботи і які торкалися лише одну частину рукопису. Проте в цій первісної роботі, опублікованій в 1993 році, дійсно не було докази великої теореми Ферма.

Вайлс провів майже рік, намагаючись віднайти рішення теореми - спершу поодинці, а потім у співпраці зі своїм колишнім учнем Річардом Тейлором, але все, здавалося, було марним. До кінця 1993 року поширилися чутки, що при перевірці доказ Уайльса зазнало невдачі, але наскільки серйозною була ця невдача, відомо не було. Математики почали чинити тиск на Уайлса, щоб він розкрив деталі своєї роботи, незалежно від того, була вона виконана чи ні, щоб ширше співтовариство математиків могло досліджувати і використовувати все, чого йому вдалося досягти. Замість того, щоб швидко виправити свою помилку, Вайлс лише виявив додаткові складні аспекти в доказі великої теореми Ферма, і нарешті-то усвідомив, наскільки складною вона є.

Вайлс заявляє, що вранці 19 вересня 1994 він був на межі того, щоб кинути все і здатися, і майже змирився з тим, що зазнав невдачі. Він готовий був опублікувати свою незакінчену роботу, щоб інші могли на ній грунтуватися і знайти, в чому він помилився. Англійський математик вирішив дати собі останній шанс і в останній раз проаналізував теорему, щоб спробувати зрозуміти основні причини, за якими його підхід не працював, але раптово усвідомив, що підхід Коливагіна-Флак не працюватиме, поки він не підключить до процесу докази ще й теорію Івасави, змусивши її працювати.

6 жовтня Вайлс попросив трьох колег (включаючи Фалтінса) розглянути його нову роботу, а 24 жовтня 1994 року він представив два рукописи - «Модульні еліптичні криві і остання теорема Ферма» і «Теоретичні властивості кільця деяких Гекке-алгебр», другу з яких Вайлс написав спільно з Тейлором і довів, що були виконані певні умови, необхідні для виправдання виправленого кроку в основній статті.

Ці дві статті були перевірені і, нарешті, опубліковані в якості повнотекстового видання в журналі «Аннали математики» за травень 1995 року. Нові розрахунки Ендрю були широко проаналізовані і наукове співтовариство в кінці кінців їх визнало. У цих роботах було встановлено теорема модульности для напівстабільності еліптичних кривих - останній крок до доведення великої теореми Ферма, через 358 років після того, як вона була створена.

Історія великої проблеми

Вирішення цієї теореми вважалося найбільшою проблемою в математиці протягом багатьох століть. У 1816 і в 1850 роках Французька академія наук запропонувала приз за загальне доказ великої теореми Ферма. У 1857 році Академія присудила 3000 франків і золоту медаль Куммером за дослідження ідеальних чисел, хоча він і не подавав заявку на приз. Ще одна премія була запропонована йому в 1883 році Брюссельської академією.

премія Вольфскеля

У 1908 році німецький промисловець і математик-аматор Пауль Вольфскель заповідав 100 000 золотих марок (велику суму для того часу) Академії наук Геттінгена, щоб ці гроші стали призом за повний доказ великої теореми Ферма. 27 червня 1908 року Академія опублікувала дев'ять правил нагородження. Серед іншого, ці правила вимагали опублікування докази в рецензованому журналі. Приз повинен був присуджуватися лише через два роки після публікації. Термін конкурсу повинен був закінчитися 13 вересня 2007 - приблизно через сторіччя після свого початку. 27 червня 1997 року Уайлс отримав призові гроші Вольфсхеля, а потім ще 50 000 доларів. У березні 2016 року його отримав 600 000 євро від уряду Норвегії в рамках премії Абеля за «приголомшливе доказ останньої теореми Ферма за допомогою гіпотези модульности для напівстабільності еліптичних кривих, що відкриває нову еру в теорії чисел». Це був світовий тріумф скромного англійця.

До докази Уайлса теорема Ферма, як уже говорилося раніше, вважалася абсолютно нездійсненним протягом цілих століть. Тисячі невірних доказів в різний час були представлені комітету Вольфскеля, склавши приблизно 10 футів (3 метри) кореспонденції. Тільки в перший рік існування премії (1907-1908) було подано 621 заявок з претензією на рішення теореми, хоча до 1970-х років їх кількість зменшилася приблизно до 3-4 заявок на місяць. На думку Ф. Шлихтинга, рецензента Вольфсхеля, більшість доказів були засновані на елементарних методах, що викладаються в школах, і часто представлялися «людьми з технічною освітою, але невдалою кар'єрою». За словами історика математики Говарда Ейвса, остання теорема Ферма встановила своєрідний рекорд - це теорема, яка набрала найбільшу кількість невірних доказів.

Лаври Ферма дісталися японцям

Як вже говорилося раніше, приблизно в 1955 році японські математики Горо Шимура і Ютака Таніяма відкрили можливий зв'язок між двома, мабуть, зовсім різними галузями математики - еліптичними кривими і модульними формами. Отримана в результаті їх досліджень теорема модульности (в той час відома як гіпотеза Таніями-Шимури) говорить, що кожна еліптична крива є модулярной, що означає, що вона може бути пов'язана з унікальною модулярной формою.

Теорія спочатку була відхилена як малоймовірна або дуже спекулятивна, але була сприйнята більш серйозно, коли теоретик чисел Андре Вейль знайшов докази, що підтверджують висновки японців. В результаті гіпотеза часто називалася гіпотезою Таніями-Шимури-Вейля. Вона стала частиною програми Langlands, що представляє собою список важливих гіпотез, що вимагають докази в майбутньому.

Навіть після серйозної уваги, гіпотеза була визнана сучасними математиками як надзвичайно важка або, можливо, недоступна для доказу. Тепер саме ця теорема чекає свого Ендрю Уайлса, який зміг би здивувати весь світ її рішенням.

Теорема Ферма: доказ Перельмана

Не дивлячись на розхожий міф, російський математик Григорій Перельман, при всій своїй геніальності, не має ніякого відношення до теореми Ферма. Що, втім, ніяк не применшує його численних заслуг перед науковим співтовариством.

файл FERMA-KDVar © Н. М. Козій, 2008

Свідоцтво України № 27312

Короткий ДОКАЗ ВЕЛИКОЇ ТЕОРЕМИ ФЕРМА

Велика теорема Ферма формулюється так: диофантово рівняння (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

А n + В n \u003d С n * /1/

де n - ціле позитивне число, більше двох, не має рішення в цілих позитивних числах A , B , З .

ДОВЕДЕННЯ

З формулювання Великої теореми Ферма слід: якщо n - ціле позитивне число, більше двох, то за умови, що два з трьох чисел А , В або З - цілі позитивні числа, одне з цих чисел не є цілим позитивним числом.

Доказ будуємо, виходячи з основної теореми арифметики, яка називається «теоремою про єдиності факторизации» або «теоремою про єдиності розкладання на прості множники цілих складених чисел». Можливі непарні і парні показники ступеня n . Розглянемо обидва випадки.

1. Випадок перший: показник ступеня n - непарне число.

В цьому випадку вираз / 1 / перетвориться за відомими формулами наступним чином:

А n + В n = З n /2/

Вважаємо, що A і B - цілі позитивні числа.

числа А , В і З повинні бути взаємно простими числами.

З рівняння / 2 / слід, що при заданих значеннях чисел A і B множник ( A + B ) n , С.

Припустимо, що число С - ціле позитивне число. З урахуванням прийнятих умов і основний теореми арифметики должновиполняться умова :

З n \u003d A n + B n \u003d (A + B) n ∙ D n, / 3/

гдемножітель D n D

З рівняння / 3 / слід:

З рівняння / 3 / також випливає, що число [ C n = A n + B n ] за умови, що число З ( A + B ) n . Однак відомо, що:

A n + B n < ( A + B ) n /5/

отже:

- дробове число, менше одиниці. / 6 /

Дробове число.

n

При непарних показниках ступеня n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

З аналізу рівняння / 2 / слід, що при непарному показнику ступеня n число:

З n = А n + В n \u003d (A + B)

складається з двох певних алгебраїчних множників, при цьому при будь-якому значенні показника ступеня n незмінним остаетсяалгебраіческій множник ( A + B ).

Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах при непарному показнику ступеня n >2.

2. Випадок другий: показник ступеня n - парне число .

Суть великої теореми Ферма не зміниться, якщо рівняння / 1 / перепишемо таким чином:

A n = C n - B n /7/

У цьому випадку рівняння / 7 / перетворюється в такий спосіб:

A n \u003d C n - B n \u003d ( З + B) ∙ (C n-1 + C n-2 · B + C n-3 ∙ B 2 + ... + C ∙ B n -2 + B n -1 ). /8/

Приймаємо, що З і В - цілі числа.

З рівняння / 8 / слід, що при заданих значеннях чисел B і C множник (З + B ) має одне і теж значення при будь-яких значеннях показника ступеня n , отже, він є дільником числа A .

Припустимо, що число А - ціле число. З урахуванням прийнятих умов і основний теореми арифметики должновиполняться умова :

А n \u003d С n - B n \u003d (С + B ) n ∙ D n , / 9/

гдемножітель D n повинен бути цілим числом і, отже, число D також має бути цілим числом.

З рівняння / 9 / слід:

/10/

З рівняння / 9 / також випливає, що число [ А n = З n - B n ] за умови, що число А - ціле число, має ділитися на число (З + B ) n . Однак відомо, що:

З n - B n < (С+ B ) n /11/

отже:

- дробове число, менше одиниці. / 12 /

Дробове число.

Звідси випливає, що при непарному значенні показника ступеня n рівняння / 1 / великої теореми Ферма не має рішення в цілих позитивних числах.

При парних показниках ступеня n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах і при парному показнику ступеня n >2.

З викладеного випливає загальний висновок: рівняння / 1 / великої теореми Ферма не має рішення в цілих позитивних числах А, В і З за умови, що показник ступеня n\u003e 2.

ДОДАТКОВІ ПІДСТАВИ

У тому випадку коли показник ступеня n – парне число, алгебраїчне вираз ( C n - B n ) розкладається на алгебраїчні множники:

C 2 - B 2 \u003d (C-B) ∙ (C + B); / 13 /

C 4 - B 4 \u003d ( C-B) ∙ (C + B) (C 2 + B 2); / 14 /

C 6 - B 6 \u003d (CB) ∙ (C + B) · (C 2 -CB + B 2) ∙ (C 2 + CB + B 2) ; /15/

C 8 - B 8 \u003d (C-B) ∙ (C + B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4) ./ 16 /

Наведемо приклади в числах.

ПРИКЛАД 1: В \u003d 11; С \u003d 35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) \u003d 2 4 · 3 · 23;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 \u200b\u200b· 673) \u003d 2 4 · 3 · 23 · 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) \u003d 2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 \u200b\u200b· 673) ∙ (2 · 75633) \u003d 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 673 ∙ 75633 .

ПРИКЛАД 2: В \u003d 16; С \u003d 25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) \u003d 3 2 ∙ 41 · 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 + 2 ∙ 3) ∙ (13 · 37) · (3 ∙ 7 · 61) \u003d 3 3 · 7 ∙ 13 · 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 · 26833) \u003d 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 · 26833.

З аналізу рівнянь / 13 /, / 14 /, / 15 / і / 16 / і відповідних їм числових прикладів слід:

При заданому показнику ступеня n , якщо він парне число, число А n \u003d С n - B n розкладається на цілком певну кількість цілком певних алгебраїчних множників;

При будь-якому показнику ступеня n , якщо він парне число, в алгебраїчному вираженні ( C n - B n ) завжди є множники ( C - B ) і ( C + B ) ;

Кожному алгебраическому множнику відповідає цілком певний числовий множник;

При заданих значеннях чисел В і З числові множники можуть бути простими числами або складовими числовими множниками;

Кожен складовою числовий множник є твором простих чисел, які частково або повністю відсутні в складі інших складових числових множників;

Величина простих чисел в складі складових числових множників збільшується зі збільшенням цих множників;

До складу найбільшого складеного числового множника, відповідного найбільшому алгебраическому множнику, входить найбільше просте число в ступені, меншою показника ступеня n (Найчастіше в першого ступеня).

ВИСНОВКИ: додаткові обґрунтування підтверджують висновок про те, що велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах.

інженер-механік

Велика Теорема Ферма Сінгх Саймон

«Доведено чи Велика теорема Ферма?»

Був зроблений лише перший крок на шляху до доказу гіпотези Таніями-Шимури, але обрана Уайлсом стратегія була блискучим математичним проривом, результатом, який заслуговував публікації. Але в силу обітниці мовчання, накладеного Уайлсом самим на себе, він не міг розповісти про отриманий результат решті світу і не мав ні найменшого уявлення про те, хто ще міг зробити настільки ж значний прорив.

Вайлс згадує про своє філософському відношенні до будь-якому потенційному суперникові: «Ніхто не захоче витратити роки на доказ чого-то і виявити, що комусь іншому вдалося знайти доказ декількома тижнями раніше. Але, як не дивно, оскільки я намагався вирішити проблему, яка по суті вважалася нерозв'язною, я не дуже побоювався суперників. Я просто не сподівався, що мені або комусь іншому прийде в голову ідея, яка призведе до доказу ».

8 березня 1988 року Уайлс відчув шок, побачивши на перших шпальтах газет набрані великим шрифтом заголовки, говорить: «Велика теорема Ферма доведена». Газети «Washington Post» і «New York Times» повідомляли, що тридцятивосьмирічний Іоічі Мияока з токійського Метрополітен університету вирішив найважчу математичну проблему в світі. Поки Мияока ще не опублікував своє підтвердження, але в загальних рисах виклав його хід на семінарі в Інституті Макса Планка з математики в Бонні. Дон Цагір, який був присутній на доповіді Мияоки, висловив оптимізм математичного співтовариства в наступних словах: «Представлене Мияокой доказ надзвичайно цікаво, і деякі математики вважають, що воно з високою ймовірністю опиниться правильним. Повної впевненості ще немає, але поки доказ виглядає вельми обнадійливим ».

Виступаючи з доповіддю на семінарі в Бонні, Мияока розповів про свій підхід до вирішення проблеми, яку він розглядав із зовсім іншою, алгебро-геометричної, точки зору. За останні десятиліття геометри досягли глибокого і тонкого розуміння математичних об'єктів, зокрема, властивостей поверхонь. У 70-ті роки російський математик С. Аракелов спробував встановити паралелі між проблемами алгебраїчної геометрії і проблемами теорії чисел. Це було одне з напрямків програми Ленглендса, і математики сподівалися, що невирішені проблеми теорії чисел вдасться вирішити, вивчаючи відповідні проблеми геометрії, які також ще залишалися невирішеними. Така програма була відома під назвою філософії паралелізму. Ті алгебраїчні геометри, які намагалися вирішувати проблеми теорії чисел, отримали назву «арифметичних алгебраїчних геометрів». У 1983 році вони сповістили про свою першу значну перемогу, коли Герд Фалтінгс з Прінстонського Інституту вищих досліджень вніс істотний внесок в розуміння теореми Ферма. Нагадаємо, що, за твердженням Ферма, рівняння

при n б? льшіх 2 не має рішень в цілих числах. Фалтінгс вирішив, що йому вдалося просунутися в доказі Великої теореми Ферма за допомогою вивчення геометричних поверхонь, пов'язаних з різними значеннями n. Поверхні, пов'язані з рівняннями Ферма при різних значеннях n, Відрізняються один від одного, але володіють одним загальною властивістю - у них всіх є наскрізні отвори, або, просто кажучи, дірки. Ці поверхні чотиривимірного, як і графіки модулярних форм. Двовимірні перерізи двох поверхонь представлені на рис. 23. Поверхні, пов'язані з рівнянням Ферма, виглядають аналогічно. Чим більше значення n в рівнянні, тим більше дірок у відповідній поверхні.

Мал. 23. Ці дві поверхні отримані з використанням комп'ютерної програми «Mathematica». Кожна з них представляє геометричне місце точок задовольняють рівняння x n + y n = z n (Для поверхні зліва n\u003d 3, для поверхні справа n\u003d 5). змінні x і y тут вважаються комплексними

Фалтінгсу вдалося довести, що, оскільки такі поверхні завжди мають кілька дірок, пов'язане з ними рівняння Ферма могло б мати лише кінцеве безліч рішень в цілих числах. Число рішень могло бути будь-яким - від нуля, як припускав Ферма, до мільйона або мільярда. Таким чином, Фалтінгс не доведена Велику теорему Ферма, але принаймні зумів відкинути можливість існування у рівняння Ферма нескінченно багатьох рішень.

П'ятьма роками пізніше Мияока повідомив, що йому вдалося просунутися ще на один крок. Йому тоді було двадцять з невеликим років. Мияока сформулював гіпотезу щодо деякого нерівності. Стало ясно, що доказ його геометричній гіпотези означало б доказ того, що число рішень рівняння Ферма не просто звичайно, а дорівнює нулю. Підхід Мияоки був аналогічний підходу Уайлса в тому, що вони обидва намагалися довести Велику теорему Ферма, пов'язуючи її з фундаментальної гіпотезою в іншій області математики. У Мияоки це була алгебраїчна геометрія, для Уайлса шлях до доказу лежав через еліптичні криві і модулярні форми. На превеликий жаль Уайлса, він все ще бився над доказом гіпотези Таніями-Шимури, коли Мияока заявив про те, що має в своєму розпорядженні повним доказом своєї гіпотези і, отже, Великої теореми Ферма.

Через два тижні після свого виступу в Бонні Мияока опублікував п'ять сторінок обчислень, які становлять суть його докази, і почалася ретельна перевірка. Фахівці з теорії чисел і геометрії алгебри у всіх країнах світу вивчали, рядок за рядком, опубліковані обчислення. Через кілька днів математики виявили в доказі одне протиріччя, яке не могло не викликати занепокоєння. Одна з частин роботи Мияоки приводила до затвердження з теорії чисел, з якого, при перекладі на мову геометрії алгебри, виходило твердження, що суперечило результату, отриманого декількома роками раніше. І хоча це не обов'язково обесценивало все доказ Мияоки, виявлене протиріччя не вписувалося в філософію паралелізму між теорією чисел і геометрією.

Ще через два тижні Герд Фалтінгс, що проклав шлях Мияока, оголосив про те, що виявив точну причину уявного порушення паралелізму - пробіл в міркуваннях. Японський математик був геометром і при перекладі своїх ідей на менш знайому територію теорії чисел не був абсолютно суворий. Армія фахівців з теорії чисел зробила відчайдушні зусилля залатати діру в доказі Мияоки, але марно. Через два місяці після того, як Мияока заявив про те, що має в своєму розпорядженні повним доказом Великої теореми Ферма, математичне співтовариство прийшло до одностайної висновку: доказ Мияоки приречене на провал.

Як і в разі колишніх відбулися доказів, Мияока вдалося отримати чимало цікавих результатів. Окремі фрагменти його докази заслуговували на увагу як вельми дотепні додатки геометрії до теорії чисел, і в наступні роки інші математики скористалися ними для доказу деяких теорем, але довести Велику теорему Ферма цим шляхом не вдалося нікому.

Галас з приводу Великої теореми Ферма незабаром вщухла, і газети помістили короткі замітки, в яких говорилося, що трьохсотрічна головоломка як і раніше залишається невирішеною. На стіні станції нью-йоркської підземки на Восьмій стріт з'явилася наступна напис, безсумнівно, натхненна публікаціями в пресі з приводу Великої теореми Ферма: «Рівняння xn + yn = zn не має рішень. Я знайшов справді дивовижний доказ цього факту, але не можу записати його тут, так як прийшов мій поїзд ».

Глава десята крокодилів ФЕРМА Вони їхали по мальовничій дорозі в машині старого Джона, сидячи на задніх сидіннях. За кермом був чорний водій в яскравій сорочці з химерно підстриженою головою. На голеному черепі височіли кущі жорстких, як дріт, чорного волосся, логіка

Підготовка до гонки. Аляска, ферма Лінди Плетнер «Айдітарод» - щорічні перегони на собачих упряжках на Алясці. Протяжність маршруту - 1150 миль (1800 км). Це найдовша в світі гонка на собачих упряжках. Старт (урочистий) - 4 березня 2000 року через Анкориджі. старт

Козина ферма Влітку в селі чимало роботи. Коли ми відвідали село Хомутець, там йшла заготівля сіна і запашні хвилі від свіжоскошених трав, здавалося, просочили все вокруг.Трави треба скосити вчасно, щоб вони не переспіли, тоді в них збережеться все цінне, поживне. цю

Літня ферма Соломинка, як блискавка ручна, в траву скла; Інша, розписавшись на паркані, запалила вогонь зеленого скла Води в кориті кінському. В сутінки синій Бредуть, похитуючись, дев'ять качок по колії дух паралельних ліній. Ось курка втупилася в ніщо одним

Зруйнована ферма Спокійне сонце квіткою темно-червоним хилиться до землі, виростаючи в захід, Але завісу ночі в могутність дозвільному засмикував світ, розтривожить погляд. Тиші панувало на фермі без даху, Неначе їй волосся хтось зірвав, Над кактусом билися

Ферма чи подвір'я? 13 лютого 1958 року всі центральні московські, а потім і регіональні газети опублікували рішення ЦК компартії України «Про помилку при закупівлі корів у колгоспників в Запорізькій області». Йшлося навіть не про всю області, а про двох її районах: Приморському

Проблема Ферма У 1963 році, коли йому було всього десять років, Ендрю Уайлс вже був зачарований математикою. «У школі я любив вирішувати завдання, я брав їх додому і з кожного завдання придумував нові. Але кращу із завдань, які мені коли-небудь траплялися, я виявив в місцевій

Від теореми Піфагора до Великої теореми Ферма Про теорему Піфагора і безкінечне число піфагорових трійок йшлося в книзі Е.Т. Белла « Велика проблема»- тієї самої бібліотечної книзі, яка привернула увагу Ендрю Уайлса. І хоча піфагорійці досягли майже повного

Математика після докази Великої теореми Ферма Як не дивно, сам Вайлс відчував по відношенню до своєї доповіді змішані почуття: «Випадок для виступу було обрано дуже вдало, але сама лекція викликала у мене змішані почуття. Робота над доказом

Глава 63 Ферма старого Макленнона Приблизно через півтора місяці після повернення в Нью-Йорк в один з "листопадових вечорів у квартирі Леннонів пролунав телефонний дзвінок. Трубку зняла Йоко. Чоловічий голос з пуерторіканським акцентом запитав Йоко Оно. Прикинувшись

Теорема Понтрягіна Одночасно з Консерваторією тато навчався в МГУ, на мехматі. Він з успіхом його закінчив і навіть деякий час вагався у виборі професії. Перемогло музикознавство, в результаті яке виграло від його математичного складу ума.Однім з батькових однокурсників

Теорема Теорема про право релігійного об'єднання вибирати священика потребує доказу. Читається вона так: "Православна громада створюється ... під духовним керівництвом обраного громадою і отримав благословення єпархіального архієрея священика".

I. Ферма ( «Тут, від курячого посліду ...») Тут, від курячого посліду Одне порятунок - мітла. Любов - яка за рахунком? - Мене в курник завела. Клюючи зерно, кудахчут кури, Крокують важливо півні. І без розміру і цензури У розумі складаються вірші. Про провансальської полудні

НОВИНИ НАУКИ І ТЕХНІКИ

УДК 51: 37; 517.958

А.В. Коновка, к.т.н.

академія державної протипожежної служби МНС Росії ВЕЛИКА ТЕОРЕМА ФЕРМА довести. ЧИ НІ?

Протягом декількох століть довести, що рівняння xn + yn \u003d zn при n\u003e 2 нерозв'язною в раціональних, а значить, і цілих числах не вдавалося. Народилася ця задача під авторством французького юриста П'єра Ферма, який паралельно професійно займався математикою. Її рішення визнається за американським учителем математики Ендрю Уайлсом. Це визнання тривало з 1993 по 1995 р

THE GREAT FERMA "S THEOREM IS PROVED. OR NO?

The dramatic history of Fermat "s last theorem proving is considered. It took almost four hundred years. Pierre Fermat wrote little. He wrote in compressed style. Besides he did not publish his researches. The statement that equation xn + yn \u003d zn is unsolvable on sets of rational numbers and integers if n\u003e 2 was attended by Fermat "s commentary that he has found indeed remarkable proving to this statement. The descendants were not reached by this proving. Later this statement was called Fermat "s last theorem. The world best mathematicians broke lance over this theorem without result. In the seventies the French mathematician member of Paris Academy of Sciences Andre Veil laid down new approaches to the solution. In 23 of June, in 1 993, at theory of numbers conference in Cambridge, the mathematician of Princeton University Andrew Whiles announced that the Fermat "s last theorem proving is gotten. However it was early to triumph.

У 1621 році французьким літератором і любителем математики Клодом Гаспаром БАШЕЄВ де Мезіріаком був виданий грецький трактат "Арифметики" Діофанта з латинським перекладом і коментарями. Розкішна, з незвичайно широкими полями "Арифметика", потрапила в руки двадцятирічному Ферма і на довгі роки стала його настільною книгою. На її полях він залишив 48 зауважень, що містять відкриті їм факти про властивості чисел. Тут же, на полях "Арифметики" була сформульована велика теорема Ферма: "Неможливо розкласти куб на два куба або біквадрат на два біквадрата, або взагалі ступінь, велику двох, на два ступені з тим же показником; я знайшов цьому воістину чудесний доказ, яке через нестачу місця не може поміститися на цих полях ". До речі, на латині це виглядає таким чином: «Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet ».

Великий французький математик П'єр Ферма (1601-1665) розвинув метод визначення площ і обсягів, створив новий метод дотичних і екстремумів. Поряд з Декартом він став творцем аналітичної геометрії, разом з Паскалем стояв біля витоків теорії ймовірностей, в області методу нескінченно малих дав загальне правило диференціювання і довів в загалом вигляді правило інтегрування статечної функції... Але, головне, з цим ім'ям пов'язана одна з найбільш загадкових і драматичних історій, коли-небудь потрясали математику - історія докази великої теореми Ферма. Зараз цю теорему висловлюють у вигляді простого твердження: рівняння xn + yn \u003d zn при n\u003e 2 нерозв'язною в раціональних, а значить, і цілих числах. До речі, для випадку n \u003d 3 цю теорему в X столітті намагався довести середньоазіатський математик Ал-Ходжанді, але його доказ не збереглося.

Уродженець півдня Франції, П'єр Ферма здобув юридичну освіту і з одна тисяча шістсот тридцять одна складався радником парламенту міста Тулузи (тобто вищого суду). Після робочого дня в стінах парламенту, він приймався за математику і тут же занурювався в зовсім інший світ. Гроші, престиж, суспільне визнання - все це не мало для нього ніякого значення. Наука ніколи не ставала для нього заробітком, не перетворювалася в ремесло, завжди залишаючись лише захоплюючою грою розуму, зрозумілою лише одиницям. З ними він і вів свою переписку.

Ферма ніколи не писав наукових робіт в нашому звичному розумінні. А в його листуванні з друзями завжди присутній деякий виклик, навіть своєрідна провокація, а аж ніяк не академічне виклад проблеми і її рішення. Тому багато хто з його листів згодом так і стали іменуватися: викликом.

Бути може, саме тому він так і не здійснив свого наміру написати спеціальне твір з теорії чисел. А тим часом це була його найулюбленіша область математики. Саме їй Ферма присвятив самі натхненні рядки своїх листів. "Арифметика, - писав він, - має свою власну область, теорію цілих чисел. Ця теорія була лише злегка порушена Евклидом і не була достатньо розроблена його послідовниками (якщо тільки вона не містилася в тих роботах Діофанта, яких нас позбавило руйнівну дію часу). арифметики, отже, повинні її розвинути і відновити ".

Чому ж сам Ферма не боявся руйнівної дії часу? Писав він мало і завжди дуже стисло. Але, найголовніше, він не публікував свої роботи. При його життя вони циркулювали лише в рукописах. Не дивно тому, що результати Ферма по теорії чисел дійшли до нас в розрізнених вигляді. Але, ймовірно, мав рацію Булгаков: великі рукописи не горять! Роботи Ферма залишилися. Вони залишилися в його листах до друзів: ліонському вчителю математики Жаку де Біллі, співробітнику монетного двору Бернар Френікель де Бессі, Марсенею, Декарту, Блез Паскалю ... Залишилася "Арифметика" Діофанта з його зауваженнями на полях, які після смерті Ферма, увійшли разом з коментарями БАШЕЄВ в нове видання Діофанта, випущене старшим сином Самюелем в 1670 році. Не збереглося тільки самого докази.

За два роки до смерті Ферма відправив своєму другові Каркаві лист-заповіт, яке увійшло в історію математики під назвою «Зведення нових результатів в науці про числа». У цьому листі Ферма довів своє знамените твердження для випадку п \u003d 4. Але тоді його цікавило, швидше за все, не саме твердження, а відкритий ним метод доказів, названий самим Ферма нескінченним або невизначеним спуском.

Рукописи не горять. Але, якби не самовідданість Самюеля, що зібрав після смерті батька все його математичні начерки і невеликі трактати, а потім видав їх в 1679 році під назвою «Різні математичні твори», вченим математикам багато б довелося відкривати і перевідкривати заново. Але і після їх видання проблеми, поставлені великим математиком, пролежали без руху понад сімдесят років. І це не дивно. У тому вигляді, в якому вони з'явилися у пресі, теоретико-числові результати П. Ферма постали перед фахівцями у вигляді серйозних, далеко не завжди зрозумілих сучасникам проблем, майже без доказів, і вказівок на внутрішні логічні зв'язки між ними. Можливо, у відсутності стрункої, продуманої теорії і криється відповідь на питання, чому сам Ферма так і не зібрався видати книгу з теорії чисел. Через сімдесят років цими роботами зацікавився Л. Ейлер, і це було воістину їх другим народженням ...

Математика дорого заплатила за своєрідну манеру Ферма викладати свої результати, як ніби спеціально опускаючи їх докази. Але, якщо вже Ферма стверджував, що довів ту чи іншу теорему, то згодом цю теорему обов'язково доводили. Однак з великої теоремою вийшла заминка.

Загадка завжди розбурхує уяву. Цілі континенти підкорила загадкова посмішка Джоконди; теорія відносності, як ключ до загадки просторово-часових зв'язків стала найпопулярнішою фізичної теорією століття. І можна сміливо стверджувати, що не було іншої такої математичної проблеми, яка була б настільки популярна, як велі__93

Наукові та освітні проблеми цивільного захисту

кая теорема Ферма. Спроби довести її привели до створення великого розділу математики - теорії алгебраїчних чисел, але (на жаль!) \u200b\u200bСама теорема залишалася недоведеною. У 1908 році німецький математик Вольфскель заповідав 100000 марок тому, хто доведе теорему Ферма. Це була величезна на ті часи сума! В один момент можна було стати не тільки знаменитим, але і казково розбагатіти! Не дивно тому, що гімназисти навіть далекої від Німеччини Росії навперебій кинулися доводити велику теорему. Що вже говорити про професійні математиків! Але ... марно! Після Першої світової війни гроші знецінилися, і потік листів з псевдодоказательствамі почав вичерпуватися, хоча зовсім, звичайно, так і не припинився. Розповідають, що відомий німецький математик Едмунд Ландау заготовляв друковані формуляри для розсилки авторам доказів теореми Ферма: "На стор. ..., в рядку ... є помилка". (Знаходити помилку доручалося доценту.) Курйозів і анекдотів, пов'язаних з доказом цієї теореми, набралося стільки, що з них можна було б скласти книгу. Останнім анекдотом виглядає детектив А. Мариніної «Збіг обставин», екранізований і минулий по телеекранах країни в січні 2000 року. У ньому недоведеною усіма своїми великими попередниками теорему доводить наш з вами співвітчизник і претендує за це на Нобелівську премію. Як відомо, винахідник динаміту проігнорував у своєму заповіті математиків, так що автор докази міг претендувати хіба що на Філдсівську золоту медаль - вищу міжнародну нагороду, затверджену самими математиками в 1936 році.

У класичній праці видатного вітчизняного математика А.Я. Хинчина, присвяченій великої теореми Ферма, подано відомості з історії цієї проблеми і приділяється увага методу, яким міг користуватися Ферма при доведенні своєї теореми. Наводяться доказ для випадку п \u003d 4 і короткий огляд інших найважливіших результатів.

Але до моменту написання детектива, а тим більше, до моменту його екранізації загальне доказ теореми було вже знайдено. 23 червня 1993 року в конференції з теорії чисел в Кембриджі математик з Прінстона Ендрю Уайлс анонсував, що доказ великої теореми Ферма отримано. Але зовсім не так, як «обіцяв» сам Ферма. Той шлях, яким пішов Ендрю Уайлс, грунтувався аж ніяк не на методах елементарної математики. Він займався так званою теорією еліптичних кривих.

Щоб отримати уявлення про еліптичних кривих, необхідно розглянути плоску криву, задану рівнянням третього ступеня

У (х, у) \u003d а30Х + а21х2у + ... + а1х + а2у + а0 \u003d 0. (1)

Всі такі криві розбиваються на два класи. До першого класу відносяться ті криві, у яких є точки загострення (як, наприклад, напівкубічна парабола у2 \u003d а2-Х з точкою загострення (0; 0)), точки самопересеченія (як Декартов лист х3 + у3-3аху \u003d 0, в точці (0; 0)), а також криві, для яких многочлен Дх, у) представляється у вигляді

f (x ^ y) \u003d: fl (x ^ y) ■: f2 (x, y),

де ^ (х, у) і ^ (х, у) - многочлени менших ступенів. Криві цього класу називаються виродженими кривими третього ступеня. Другий клас кривих утворюють невироджені криві; ми будемо називати їх еліптичними. До таких можна віднести, наприклад, Локон Аньєзі (х2 + а2) у - а3 \u003d 0). Якщо коефіцієнти многочлена (1) - раціональні числа, то еліптична крива може бути перетворена до так званої канонічної формі

у2 \u003d х3 + ах + Ь. (2)

У 1955 році японському математику Ю. Таніями (1927-1958) в рамках теорії еліптичних кривих вдалося сформулювати гіпотезу, яка відкрила шлях для доведення теореми Ферма. Але про це не підозрював тоді ні сам Таніяма, ні його колеги. Майже двадцять років ця гіпотеза не привертала до себе серйозну увагу і стала популярною лише в середині 70-х років. Відповідно до гіпотези Таніями всяка еліптична

крива з раціональними коефіцієнтами є модулярной. Однак поки що формулювання гіпотези мало говорить допитливому читачеві. Тому потрібні деякі визначення.

З кожної еліптичної кривої можна пов'язати важливу числову характеристику - її дискриминант. Для кривої, заданої в канонічній формі (2), дискриминант А визначається формулою

А \u003d - (4а + 27b2).

Нехай Е - деяка еліптична крива, задана рівнянням (2), де а і b - цілі числа.

Для простого числа р розглянемо порівняння

y2 \u003d х3 + ах + b (mod p), (3)

де а і b - залишки від ділення цілих чисел а і b на р, і позначимо через np число рішень цього порівняння. Числа ін дуже корисні при дослідженні питання про можливість розв'язання рівнянь виду (2) в цілих числах: якщо якесь пр дорівнює нулю, то рівняння (2) не має цілочисельних рішень. Однак обчислити числа пр вдається лише в рідкісних випадках. (В той же час відомо, що р-п |< 2Vp (теоремаХассе)).

Розглянемо ті прості числа р, які ділять дискриминант А еліптичної кривої (2). Можна довести, що для таких р многочлен х3 + ах + b можна записати одним з двох способів:

х3 + ах + b \u003d (х + а) 2 (х + ß) (mod Р)

х3 + ах + b \u003d (х + у) 3 (mod p),

де а, ß, у - деякі залишки від ділення на р. Якщо для всіх простих р, що поділяють дискриминант кривої, реалізується перша з двох зазначених можливостей, то еліптична крива називається напівстабільності.

Прості числа, що ділять дискриминант, можна об'єднати в так званий кондуктор еліптичної кривої. Якщо Е - напівстабільності крива, то її кондуктор N задається формулою

де для всіх простих чисел p\u003e 5, ділять А, показник ЕР дорівнює 1. Показники 82 та 83 обчислюються за допомогою спеціального алгоритму.

По суті - це все, що необхідно для розуміння суті докази. Однак в гіпотезі Таніями присутній непростий і в нашому випадку ключове поняття модулярних. Тому забудемо на час про еліптичних кривих і розглянемо аналітичну функцію f (тобто ту функцію, яка може бути представлена \u200b\u200bстатечним рядом) комплексного аргументу z, заданого у верхній півплощині.

Позначимо через Н верхню комплексну напівплощина. Нехай N - натуральне і до - ціле числа. Модулярной параболічної формою ваги до рівня N називається аналітична функціяf (z), задана в верхній півплощині та задовольняє співвідношенню

f \u003d (cz + d) kf (z) (5)

для будь-яких цілих чисел а, b, с, d таких, що аё - bc \u003d 1 і з ділиться на N. Крім того, передбачається, що

lim f (r + it) \u003d 0,

де r - раціональне число, і що

Простір модулярних параболічних форм ваги k рівня N позначається через Sk (N). Можна показати, що воно має кінцеву розмірність.

Надалі нас будуть особливо цікавити модулярні параболічні форми ваги 2. Для малих N розмірність простору S2 (N) представлена \u200b\u200bв табл. 1. Зокрема,

Розмірності простору S2 (N)

Таблиця 1

N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

З умови (5) випливає, що% + 1) \u003d для кожної форми f е S2 (N). Стало бути, f є періодичною функцією. Таку функцію можна представити у вигляді

Назвемо модулярную параболічну форму А ^) в S2 (N) власної, якщо її коефіцієнти - цілі числа, що задовольняють співвідношенням:

а г ■ а \u003d а г + 1 ■ р ■ з Г_1 для простого р, що не ділить число N; (8)

(Ap) для простого р, яка розділяє число N;

атп \u003d ат ап, якщо (т, п) \u003d 1.

Сформулюємо тепер визначення, що грає ключову роль в доведенні теореми Ферма. Еліптична крива з раціональними коефіцієнтами і кондуктором N називається модулярной, якщо знайдеться така власна форма

f (z) \u003d ^ anq "g S2 (N),

що ар \u003d р - пр для майже всіх простих чисел р. Тут пр - число рішень порівняння (3).

Важко повірити в існування хоча б однієї такої кривої. Уявити, що знайдеться функція А (г), яка задовольняє перерахованим жорстким обмеженням (5) і (8), яка розкладалася б в ряд (7), коефіцієнти якої були б пов'язані з практично невичіслімимі числами Пр, досить складно. Але смілива гіпотеза Таніями аж ніяк не ставила під сумнів факт їх існування, а накопичений часом емпіричний матеріал блискуче підтвердив її справедливість. Після двох десятиліть майже повного забуття гіпотеза Таніями отримала в роботах французького математика, члена Паризької Академії наук Андре Вейля як би друге дихання.

Народжений в 1906 році А. Вейль став згодом одним із засновників групи математиків, які виступали під псевдонімом Н. Бурбак. З 1958 року А. Вейль стає професором Прінстонського інституту перспективних досліджень. І до цього ж періоду відноситься виникнення його інтересу до абстрактної алгебраїчної геометрії. У сімдесяті роки він звертається до еліптичних функцій і гіпотезі Таніями. Монографія, присвячена еліптичних функцій, була переведена у нас, в Росії. У своєму захопленні він не самотній. У 1985 році німецький математик Герхард Фрей припустив, що якщо теорема Ферма невірна, тобто якщо знайдеться така трійка цілих чисел а, b, с, що а "+ Іоп \u003d \u003d с" (п\u003e 3), то еліптична крива

у2 \u003d х (х - а ") - (х - сп)

не може бути модулярной, що суперечить гіпотезі Таніями. Самому Фрею не вдалося довести це твердження, проте незабаром доказ було отримано американським математиком Кеннетом Рібет. Іншими словами, Рібет показав, що теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями.

Він сформулював і довів наступну теорему:

Теорема 1 (Рібет). Нехай Е - еліптична крива з раціональними коефіцієнтами, що має дискримінант

і кондуктор

Припустимо, що Е є модулярной, і нехай

/ (Г) \u003d q + 2 ААП е ^ (N)

є відповідна власна форма рівня N. Фіксуємо просте число £, і

р: ЕР \u003d 1; - "8 р

Тоді існує така параболічна форма

/ (Г) \u003d 2 dnqn е N)

з цілими коефіцієнтами, що різниці ап - dn діляться на I для всіх 1< п<ад.

Ясно, що якщо ця теорема доведена для деякого показника, то тим самим вона доведена і для всіх показників, кратних п. Так як будь-яке ціле число п\u003e 2 ділиться або на 4, або на непарне просте число, то можна тому обмежитися випадком, коли показник дорівнює або 4, або непарному простому числу. Для п \u003d 4 елементарне доказ теореми Ферма було отримано спочатку самим Ферма, а потім Ейлером. Таким чином, досить вивчити рівняння

а1 + ь1 \u003d с1, (12)

в якому показник I є непарне просте число.

Тепер теорему Ферма можна отримати простими обчисленнями (2).

Теорема 2. З гіпотези Таніями для напівстабільності еліптичних кривих слід остання теорема Ферма.

Доведення. Припустимо, що теорема Ферма невірна, і нехай є відповідний контрприклад (як і вище, тут I - непарне просте число). Застосуємо теорему 1 до еліптичної кривої

у2 \u003d х (х - ае) (х - з1).

Нескладні обчислення показують, що кондуктор цієї кривої задається формулою

Порівнюючи формули (11) і (13), ми бачимо, що N \u003d 2. Отже, за теоремою 1 знайдеться параболічна форма

лежить в просторі 82 (2). Але в силу співвідношення (6) це простір нульове. Тому dn \u003d 0 для всіх п. У той же час а ^ \u003d 1. Стало бути, різниця аг - dl \u003d 1 не ділиться на I і ми приходимо до протиріччя. Таким чином, теорема доведена.

Ця теорема давала ключ до доказу великої теореми Ферма. І все ж сама гіпотеза залишалася все ще недоведеною.

Анонсувавши 23 червня 1993 року доказ гіпотези Таніями для напівстабільності еліптичний кривих, до яких відносяться і криві виду (8), Ендрю Уайлс поквапився. Математикам було рано святкувати перемогу.

Швидко закінчилося тепле літо, залишилася позаду дощова осінь, настала зима. Вайлс писав і переписував набіло остаточний варіант свого докази, але допитливі колеги знаходили в його роботі все нові і нові неточності. І ось, на початку грудня 1993 року, за кілька днів до того, як рукопис Уайлса повинна була піти в друк, в його доказі були знову виявлені серйозні прогалини. І тоді Вайлс зрозумів, що за день-два він вже не зможе нічого виправити. Тут потрібна серйозна доробка. Публікацію роботи довелося відкласти. Вайлс звернувся за допомогою до Тейлору. «Робота над помилками» зайняла більше року. Остаточний варіант докази гіпотези Таніями, написаний Уайлсом у співпраці з Тейлором, вийшов у світ лише влітку 1995 року.

На відміну від героя А. Мариніної Вайлс не претендував на Нобелівську премію, але, все ж ... якийсь нагородою його повинні були відзначити. Ось тільки який? Уайлсу в той час вже перевалило на п'ятий десяток, а золоті медалі Філдса вручаються строго до сорока років, поки ще не пройдений пік творчої активності. І тоді для Уайлса вирішили заснувати спеціальну нагороду - срібний знак Філдсовськая комітету. Цей знак і був вручений йому на черговому конгресі з математики в Берліні.

З усіх проблем, здатних з більшою або меншою ймовірністю зайняти місце великої теореми Ферма, найбільші шанси має проблема дуже ретельним упаковки куль. Проблему дуже ретельним упаковки куль можна сформулювати як задачу про те, як найбільш економно скласти з апельсинів піраміду. Молодим математикам таке завдання дісталася в спадок від Йоганна Кеплера. Проблема народилася в 1611 році, коли Кеплер написав невеликий твір «Про шестикутні сніжинки». Інтерес Кеплера до розташування і самоорганізації частинок речовини і привів його до обговорення іншого питання - про щільніше-шей упаковці частинок, при якій вони займають найменший обсяг. Якщо припустити, що частинки мають форму куль, то ясно, що як би вони не розташовувалися в просторі, між ними неминуче залишаться зазори, і питання полягає в тому, щоб обсяг зазорів звести до мінімуму. В роботі, наприклад, стверджується (але не доводиться), що такою формою є тетраедр, осі координат всередині якого визначають базисний кут ортогональності в 109о28 ", а не 90о. Ця проблема має велике значення для фізики елементарних частинок, кристалографії і ін. Розділів природознавства .

література

1. Вейль А. Еліптичні функції за Ейзенштейном і Кронекера. - М., 1978.

2. Соловйов Ю.П. Гіпотеза Таніями і остання теорема Ферма // Соросівський освітній журнал. - № 2. - 1998. - С. 78-95.

3. Сингх С. Велика теорема Ферма. Історія загадки, яка займала кращі уми світу протягом 358 років / Пер. з англ. Ю.А. Данилова. М .: МЦНМО. 2000. - 260 с.

4. Мірмовіч Є.Г., Усачова Т.В. Алгебра кватерніонів і тривимірні обертання // Справжній журнал № 1 (1), 2008. - С. 75-80.

Оскільки мало хто володіє математичним мисленням, то я розповім про найбільшому науковому відкритті - елементарному доказі Великої теореми Ферма - на самому зрозумілою, шкільному, мовою.

Доказ було знайдено для окремого випадку (для простої ступеня n\u003e 2), до якого (і до випадку n \u003d 4) легко зводяться і всі випадки з складовим n.

Отже, потрібно довести, що рівняння A ^ n \u003d C ^ n-B ^ n рішення в цілих числах не має. (Тут значок ^ означає ступінь.)

Доказ проводиться в системі числення з простим підставою n. В цьому випадку в кожній таблиці множення останні цифри не повторюються. У звичайній, десятич системі, ситуація інша. Наприклад, при множенні числа 2 і на 1, і на 6 обидва твори - 2 і 12 - закінчуються на однакові цифри (2). А, наприклад, в семерична системі для цифри 2 всі останні цифри різні: 0х2 \u003d ... 0, 1х2 \u003d ... 2, 2х2 \u003d ... 4, 3х2 \u003d ... 6, 4х2 \u003d ... 1, 5х2 \u003d ... 3, 6х2 \u003d ... 5, з набором останніх цифр 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Завдяки цій властивості для будь-якого числа А, що не закінчується на нуль (а в рівність Ферма остання цифра чисел А, ну або В, після поділу рівності на загальний дільник чисел А, В, С нулю не дорівнює), можна підібрати таке множник g, що число Аg буде мати скільки завгодно довге закінчення виду 000 ... 001. Ось на таке число g ми і помножимо все числа-підстави A, B, C в рівність Ферма. При цьому одиничне закінчення зробимо досить довгим, а саме на дві цифри довше, ніж число (k) нулів на кінці числа U \u003d А + В-С.

Число U нулю не дорівнює - інакше С \u003d А + В і A ^ n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

Ось, власне, і вся підготовка рівності Ферма для короткого і завершального дослідження. Єдине, що ми ще зробимо: перепишемо праву частину рівності Ферма - C ^ n-B ^ n, - використовуючи шкільну формулу розкладання: C ^ n-B ^ n \u003d (С-В) Р, або АР. А оскільки далі ми будемо оперувати (множити і складати) тільки з цифрами (k + 2) -значний закінчень чисел А, В, С, то їх головні частини можемо в розрахунок не брати і просто їх відкинути (залишивши в пам'яті лише один факт: ліва частина рівності Ферма є СТУПЕНЕМ).

Єдине, про що варто сказати ще, це про останні цифрах чисел а і Р. У вихідному рівність Ферма число Р закінчується на цифру 1. Це випливає з формули малої теореми Ферма, яку можна знайти в довідниках. А після множення рівності Ферма на число g ^ n число Р розмножаться на число g в ступеня n-1, яке, відповідно до малої теореми Ферма, також закінчується на цифру 1. Так що і в новому еквівалентному рівність Ферма число Р закінчується на 1. І якщо а закінчується на 1, то і A ^ n теж закінчується на 1 і, отже, число а також закінчується на 1.

Отже, ми маємо стартову ситуацію: останні цифри А ", а", Р "чисел А, а, Р закінчуються на цифру 1.

Ну а далі починається мила і захоплююча операція, яка називається в преферанс «млином»: вводячи в розгляд наступні цифри а "", а "" "і так далі числа а, ми виключно« легко »обчислюємо, що всі вони є рівними нулю! Слово «легко» я взяв у лапки, бо ключ до цього «легко» людство не могло знайти протягом 350 років! А ключик дійсно виявився несподівано і ошарашивающе примітивним: число Р потрібно представити у вигляді P \u003d q ^ (n-1) + Qn ^ (k + 2). На другий член в цій сумі звернуто увагу не варто - адже в подальшому доказі ми все цифри після (k + 2) -й в числах відкинули (і це кардинально полегшує аналіз)! Так що після відкидання головних частин чисел рівність Ферма набирає вигляду: ... 1 \u003d аq ^ (n-1), де а і q - не числом, а всього лише закінчення чисел а і q! (Нові позначення не ввожу, так це ускладнює читання.)

Залишається останній філософське питання: чому число Р можна представити у вигляді P \u003d q ^ (n-1) + Qn ^ (k + 2)? Відповідь проста: тому що будь-яке ціле число Р з 1 на кінці можна уявити в такому вигляді, причому тотожні. (Можна уявити і багатьма іншими способами, але нам це не потрібно.) Дійсно, для Р \u003d 1 відповідь очевидна: P \u003d 1 ^ (n-1). Для Р \u003d hn + 1 число q \u003d (n-h) n + 1, в чому легко переконатися, вирішуючи рівняння [(n-h) n + 1] ^ (n-1) \u003d\u003d hn + 1 по двозначним закінченнях. І так далі (але в подальших обчисленнях у нас необхідності немає, так як нам знадобиться уявлення лише чисел виду Р \u003d 1 + Qn ^ t).

Уф-ф-ф-ф! Ну ось, філософія скінчилася, можна перейти до обчислень на рівні другого класу, хіба що лише ще раз згадати формулу бінома Ньютона.

Отже, введемо в расмотренного цифру а "" (в числі а \u003d а "" n + 1) і з її допомогою обчислимо цифру q "" (в числі q \u003d q "" n + 1):
... 01 \u003d (а "" n + 1) (q "" n + 1) ^ (n-1), або ... 01 \u003d (а "" n + 1) [(nq "") n + 1], звідки q "" \u003d a "".

І тепер праву частину рівності Ферма можна переписати у вигляді:
A ^ n \u003d (а "" n + 1) ^ n + Dn ^ (k + 2), де значення числа D нас не цікавить.

А ось тепер ми переходимо до вирішального висновку. Число а "" n + 1 є двозначним закінченням числа А і, ОТЖЕ, згідно простий лемме ОДНОЗНАЧНО визначає ТРЕТЮ цифру ступеня A ^ n. І більш того, з розкладання бінома Ньютона
(А "" n + 1) ^ n, враховуючи, що до кожного члена розкладання (крім першого, що погоди змінити вже не може!) Приєднується ПРОСТИЙ співмножник n (підстава числення!), Видно, що ця третя цифра дорівнює а "" . Але за допомогою множення рівності Ферма на g ^ n ми k + 1 цифру перед останньою 1 в числі А перетворили в 0. І, отже, а "" \u003d 0 !!!

Тим самим ми завершили цикл: ввівши а "", ми знайшли, що і q "" \u003d а "", а на закінчення і а "" \u003d 0!

Ну і залишається сказати, що провівши абсолютно аналогічні обчислення і наступних k цифр, ми отримуємо заключне рівність: (k + 2) -значний закінчення числа а, або С-В, - так само, як і числа А, - дорівнює 1. Але тоді (k + 2) -я цифра числа С-А-в дорівнює нулю, в той час як вона нулю не дорівнює !!!

Ось, власне, і все доказ. Для його розуміння зовсім не потрібно мати вищу освіту і, тим більше, бути професійним математиком. Проте, професіонали мовчать ...

Легкий для читання текст повного докази розташований тут:

рецензії

Привіт, Віктор. Мені сподобалося Ваше резюме. "Чи не дозволити померти раніше смерті" - здорово, звичайно, звучить. Від зустрічі на Прозі з теоремою Ферма, чесно кажучи, очманіла! Хіба їй тут місце? Є наукові, науково-популярні та Чайникова сайти. А в іншому, спасибі за Вашу літературну роботу.
З повагою, Аня.

Шановна Аня, незважаючи на досить жорстку цензуру, Проза дозволяє писати ПРО ВСЕ. З теоремою Ферма становище таке: великі математичні форуми до ферматістов відносяться косо, з хамством і в цілому нехтують, як можуть. Однак на дрібних російських, англійських і французьких форумах я останній варіант докази представив. Ніяких контрдоводів ніхто поки не висунув, та й, впевнений, не висуне (доказ перевірено вельми ретельно). У суботу опублікую філософську замітку про теорему.
На прозі майже немає хамів, і якщо з ними не приятелює, то досить скоро вони відлипають.
На Прозі представлені майже всі мої роботи, тому і доказ також помістив сюди.
До скорого,