Теорема пифагора піфагорові штани. Теорема Піфагора: історія питання, докази, приклади практичного застосування. Короткий огляд біографії

Римський архітектор Вітрувій особливо виділяв теорему Піфагора «з численних відкриттів, що зробили послуги розвитку людського життя», і закликав ставитися до неї з великою повагою. Було це ще в I столітті до н. е. На рубежі XVI-XVII століть знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер назвав її одним із скарбів геометрії, яке можна порівняти з мірою золота. Навряд чи у всій математиці знайдеться більш вагоме і значуще твердження, адже за кількістю наукових і практичних додатків теоремі Піфагора немає рівних.

Теорема Піфагора для випадку рівнобедреного прямокутного трикутника.

Наука і життя // Ілюстрації

Ілюстрація до теоремі Піфагора з «Трактату про вимірювальному жердині» (Китай, III століття до н. Е.) І реконструйоване на його основі доказ.

Наука і життя // Ілюстрації

С. Перкінс. Піфагор.

Креслення до можливого доведення Піфагора.

«Мозаїка Піфагора» і розбиття ан-Найрізі трьох квадратів в доказі теореми Піфагора.

П. де Хох. Господиня і служниця у внутрішньому дворику. Близько 1660 року.

Я. Охтервелт. Бродячі музиканти в дверях багатого будинку. 1665 рік.

піфагорові штани

Теорема Піфагора чи не найбільша впізнавана і, безсумнівно, найзнаменитіша в історії математики. В геометрії вона застосовується буквально на кожному кроці. Незважаючи на простоту формулювання, ця теорема аж ніяк не очевидна: дивлячись на прямокутний трикутник зі сторонами a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «піфагорові штани», Однієї ширини? А ось ті ж самі «штани», тільки в «складеному» вигляді (рис. 2). Такий креслення використовував герой одного з діалогів Платона під назвою «Менон», знаменитий філософ Сократ, розбираючи з хлопчиком-рабом завдання на побудову квадрата, площа якого в два рази більше площі даного квадрата. Його міркування, по суті, зводилися до доведення теореми Піфагора, нехай і для конкретного трикутника.

Фігури, зображені на рис. 1 і 2, нагадують найпростіший орнамент з квадратів і їх рівних частин - геометричний малюнок, відомий з незапам'ятних часів. Їм можна суцільно покрити площину. Математик назвав би таке покриття площині багатокутниками паркетом, або замощуванням. При чому тут Піфагор? Виявляється, він першим вирішив задачу про правильні паркеті, з якої почалося вивчення замощення різних поверхонь. Так ось, Піфагор показав, що площину навколо точки можуть покрити без пробілів рівні правильні багатокутники тільки трьох видів: Шість трикутників, чотири квадрата і три шестикутника.

4000 років тому

Історія теореми Піфагора сягає глибокої давнини. Згадки про неї містяться ще в вавилонських клинописних текстах часів царя Хаммурапі (XVIII століття до н. Е.), Тобто за 1200 років до народження Піфагора. Теорема застосовувалася як готове правило в багатьох задачах, найпростіша з яких - знаходження діагоналі квадрата по його стороні. Не виключено, що співвідношення a 2 + b 2 \u003d c 2 для довільного прямокутного трикутника вавилоняни отримали, просто «узагальнивши» рівність a 2 + a 2 \u003d c 2. Але їм це можна пробачити - для практичної геометрії древніх, сводившейся до вимірювань і обчислень, строгих обгрунтувань не було потрібно.

Тепер, майже 4000 років тому, ми маємо справу з теоремою-рекордсменом за кількістю всіляких доказів. Між іншим, їх колекціонування - давня традиція. Пік інтересу до теоремі Піфагора припав на другу половину XIX - початок XX століття. І якщо перші колекції містили не більше двох-трьох десятків доказів, то до кінця XIX століття їх число наблизилося до 100, а ще через півстоліття перевищило 360, і це тільки тих, що вдалося зібрати з різних джерел. Хто тільки не брався за вирішення цієї нестаріючої завдання - від іменитих учених і популяризаторів науки до конгресменів і школярів. І що примітно, в оригінальності і простоті рішення інші любителі не поступалися професіоналам!

Найдавнішим з дійшли до нас доказам теореми Піфагора близько 2300 років. Одне з них - суворе аксіоматичне - належить давньогрецького математику Евклиду, що жив в IV-III століттях до н. е. У I книзі «Начал» теорема Піфагора значиться як «Пропозиція 47». Самі наочні і красиві докази побудовані на перекроювання «піфагорових штанів». Вони виглядають як хитромудра головоломка на розрізання квадратів. Але змусьте фігури правильно рухатися - і вони відкриють вам секрет знаменитої теореми.

Ось яке витончене доказ виходить на основі креслення з одного давньокитайського трактату (рис. 3), і відразу прояснюється його зв'язок із завданням про подвоєнні площі квадрата.

Саме такий доказ намагався пояснити своєму молодшому одному семирічний Гвідо, не по роках тямущий герой новели англійського письменника Олдоса Хакслі «Маленький Архімед». Цікаво, що оповідач, який спостерігав цю картину, зазначив простоту і переконливість докази, тому приписав його ... самому Піфагору. А от головний герой фантастичної повісті Євгена Велтистова «Електронік - хлопчик з чемодана» знав 25 доказів теореми Піфагора, в тому числі дане Евклидом; правда, помилково назвав його найпростішим, хоча насправді в сучасному виданні «Почав» воно займає півтори сторінки!

перший математик

Піфагора Самоський (570-495 роки до н. Е.), Чиє ім'я давно і нерозривно пов'язане з чудовою теоремою, в даному разі можна назвати першим математиком. Саме з нього математика починається як точна наука, де будь-яке нове знання - результат не наочних уявлень і винесених з досвіду правил, а підсумок логічних міркувань і висновків. Лише так можна раз і назавжди встановити істинність будь-якого математичного пропозиції. До Піфагора дедуктивний метод застосовував тільки давньогрецький філософ і вчений Фалес, що жив на рубежі VII-VI століть до н. е. Він висловив саму ідею доказу, але застосовував його несистематично, вибірково, як правило, до очевидних геометричним твердженнями типу «діаметр ділить коло навпіл». Піфагор просунувся набагато далі. Вважається, що він ввів перші визначення, аксіоми і методи докази, а також створив перший курс геометрії, відомий древнім грекам під назвою «Переказ Піфагора». А ще він стояв біля витоків теорії чисел і стереометрії.

Інша важлива заслуга Піфагора - підстава славної школи математиків, яка понад століття визначала розвиток цієї науки в Стародавній Греції. З його ім'ям пов'язують і сам термін «математика» (від грецького слова μαθημa - вчення, наука), який об'єднав чотири родинні дисципліни створеної Пифагором і його прихильниками - піфагорійцями - системи знань: геометрію, арифметику, астрономію і гармонію.

Відокремити досягнення Піфагора від досягнень його учнів неможливо: слідуючи звичаєм, вони приписували власні ідеї і відкриття свого Вчителя. Ніяких творів ранні піфагорійці не залишили, всі відомості вони передавали один одному усно. Так що 2500 років тому історикам не залишається нічого іншого, окрім як реконструювати втрачені знання з перекладання інших, більш пізніх авторів. Віддамо належне грекам: вони хоч і оточували ім'я Піфагора безліччю легенд, проте не приписували йому нічого такого, чого він не міг би відкрити або розвинути в теорію. І носить його ім'я теорема не виняток.

Таке просте доказ

Невідомо, Піфагор сам виявив співвідношення між довжинами сторін в прямокутному трикутнику або запозичив це знання. Античні автори стверджували, що сам, і любили переказувати легенду про те, як в честь свого відкриття Піфагор приніс в жертву бика. Сучасні історики схильні вважати, що він дізнався про теорему, познайомившись з математикою вавилонян. Чи не знаємо ми і про те, в якому вигляді Піфагор формулював теорему: арифметично, як прийнято сьогодні, - квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, або геометрично, згідно з древніми, - квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах.

Вважається, що саме Піфагор дав перший доказ теореми, що носить його ім'я. Воно, звичайно, не збереглося. За однією з версій, Піфагор міг скористатися розробленим в його школі вченням про пропорції. На ньому грунтувалася, зокрема, теорія подібності, на яку спираються міркування. Проведемо в прямокутному трикутнику з катетами a і b висоту до гіпотенузи c. Отримаємо три подібних трикутника, включаючи вихідний. Їх відповідні сторони пропорційні, a: з \u003d m: a і b: c \u003d n: b, звідки a 2 \u003d c · m і b 2 \u003d c · n. Тоді a 2 + b 2 \u003d \u003d c · (m + n) \u003d c 2 (рис. 4).

Це всього лише реконструкція, запропонована одним з істориків науки, але доказ, погодьтеся, зовсім просте: займає всього лише кілька рядків, не потрібно нічого добудовувати, перекроювати, обчислювати ... Не дивно, що його не раз перевідкривається. Воно міститься, наприклад, в «Практиці геометрії» Леонардо Пізанського (1220), і його досі призводять в підручниках.

Таке доказ не суперечило уявленням піфагорійців про сумірності: спочатку вони вважали, що відношення довжин будь-яких двох відрізків, а значить, і площ прямолінійних фігур, можна виразити за допомогою натуральних чисел. Ніякі інші числа вони не розглядали, не допускали навіть дробів, замінивши їх відносинами 1: 2, 2: 3 і т. Д. Однак, за іронією долі, саме теорема Піфагора привела піфагорійців до відкриття несумірності діагоналі квадрата і його сторони. Всі спроби чисельно уявити довжину цієї діагоналі - у одиничного квадрата вона дорівнює √2 - ні до чого не привели. Простіше виявилося довести, що завдання нерозв'язна. На такий випадок у математиків є перевірений метод - доказ від протилежного. До речі, і його приписують Піфагору.

Існування стосунки, не виражається натуральними числами, поклало край багатьом уявленням піфагорійців. Стало ясно, що відомі їм чисел недостатньо для вирішення навіть нескладних завдань, що вже говорити про всю геометрії! Це відкриття стало поворотним моментом у розвитку грецької математики, її центральною проблемою. Спочатку воно привело до розробки вчення про несумірні величини - ірраціональне, а потім - і до розширення поняття числа. Іншими словами, з нього почалася багатовікова історія дослідження безлічі дійсних чисел.

мозаїка Піфагора

Якщо покрити площину квадратами двох різних розмірів, оточивши кожен малий квадрат чотирма великими, вийде паркет «мозаїка Піфагора». Такий малюнок здавна прикрашає кам'яну підлогу, нагадуючи про древніх доказах теореми Піфагора (звідси його назва). По-різному накладаючи на паркет квадратну сітку, можна отримати розбиття квадратів, побудованих на сторонах прямокутного трикутника, які пропонувалися різними математиками. Наприклад, якщо розташувати сітку так, щоб всі її вузли збіглися з правими верхніми вершинами малих квадратів, проявляться фрагменти креслення до доказу середньовічного перського математика ан-Найрізі, яке він помістив в коментарях до «Початкам» Евкліда. Легко бачити, що сума площ великого і малого квадратів, вихідних елементів паркету, дорівнює площі одного квадрата накладеної на нього сітки. А це означає, що вказане розбиття дійсно придатне для укладання паркету: поєднуючи в квадрати отримані багатокутники, як показано на малюнку, можна заповнити ними без пробілів і перекриттів всю площину.

Деякі дискусії мене розважають безмірно ...

Привіт що робиш?
-Так ось, завдання вирішую з журналу.
-Ну ти даєш! Не чекав від тебе.
-Чого не очікував?
-Що ти опуститися до задачок. Начебто розумний адже, а віриш у всілякі дурниці.
-Вибач не розумію. Що ти називаєш дурницями?
-Так всю цю вашу математику. Адже очевидно ж, що фігня повна.
-Як ти можеш так говорити? Математика - цариця наук ...
-Ось тільки давай без цього пафосу, так? Математика - взагалі не наука, а одне суцільне нагромадження безглуздих законів і правил.
-Що ?!
-Ой, ну не роби такі великі очі, ти ж сам знаєш, що я маю рацію. Ні, я не сперечаюся, таблиця множення - велика річ, вона зіграла чималу роль в становленні культури і історії людства. Але тепер-то це все вже неактуально! І потім, навіщо було все ускладнювати? У природі не існує ніяких інтегралів або логарифмів, це все вигадки математиків.
-Погода. Математики нічого не вигадували, вони відкривали нові закони взаємодії чисел, користуючись перевіреною інструментарієм ...
-Ну так звичайно! І ти цьому віриш? Ти що, сам не бачиш, яку нісенітницю вони постійно несуть? Тобі навести приклад?
-Та вже, будь добрий.
-Так будь ласка! Теорема Піфагора.
-Ну і що в ній не так?
-Так все не так! "Піфагорови штани на всі сторони рівні", розумієте. А ти в курсі, що греки за часів Піфагора не носили штанів? Як Піфагор міг взагалі міркувати про те, про що не мав ніякого поняття?
-Погода. При чому тут штани?
-Ну вони ж начебто Піфагорови? Чи ні? Ти визнаєш, що у Піфагора не було штанів?
-Ну, взагалі-то, звичайно, не було ...
Ага, значить, уже в самій назві теореми явна невідповідність! Як після цього можна ставитися серйозно до того, що там говориться?
-Мінутку. Піфагор нічого не говорив про штанях ...
-Ти це визнаєш, так?
-Так ... Так ось, можна я продовжу? Піфагор нічого не говорив про штанях, і не треба йому приписувати чужі дурниці ...
Ага, ти сам згоден, що це все дурниці!
-Та не говорив я такого!
-Тільки що сказав. Ти сам собі суперечиш.
-Так. Стоп. Що говориться в теоремі Піфагора?
-Що все штани рівні.
-Блин, та ти взагалі читав цю теорему ?!
-Я знаю.
-Звідки?
-Я читав.
-Що ти читав ?!
-Лобачевского.
* Пауза *
-Пробач, а яке відношення має Лобачевський до Піфагору?
-Ну, Лобачевський ж теж математик, і він начебто навіть більш крутий авторитет, ніж Піфагор, скажеш ні?
* Зітхання *
-Ну і що ж сказав Лобачевський про теорему Піфагора?
-Що штани рівні. Але це ж нісенітниця! Як такі штани взагалі можна носити? І до того ж, Піфагор взагалі не носив штанів!
-Лобачевскій так сказав ?!
* Секундна пауза, з упевненістю *
-Так!
-Покажи мені, де це написано.
-Ні, ну там це не написано так прямо ...
-Як називається книга?
-Так це не книга, це стаття в газеті. Про те, що Лобачевський насправді був агент німецької розвідки ... ну, це до справи не відноситься. Все-одно він напевно так говорив. Він же теж математик, значить вони з Піфагором заодно.
-Піфагор нічого не говорив про штани.
-Ну так! Про те і мова. Фігня це все.
Давай по порядку. Звідки ти особисто знаєш, про що йдеться в теоремі Піфагора?
-Ой, ну кинь! Це ж все знають. Будь-якого спитай, тобі відразу дадуть відповідь.
-Піфагорови штани - це не штани ...
-А, ну звичайно! Це алегорія! Знаєш, скільки разів я вже таке чув?
-Теорема Піфагора говорить, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. І ВСЕ!
-А де штани?
-Та не було у Піфагора ніяких штанів !!!
-Ну ось бачиш, я тобі про те і кажу. Фігня вся ваша математика.
-А ось і не фігня! Дивись сам. Ось трикутник. Ось гіпотенуза. Ось катети ...
-А чому раптом саме це катети, а це гіпотенуза? Може навпаки?
-Ні. Катетами називаються дві сторони, що утворюють прямий кут.
-Ну ось тобі ще один прямий кут.
-Він не прямий.
-А який же він, кривої?
-Ні, він гострий.
-Так і цей теж гострий.
-Він не гострий, він прямий.
Знаєш, що не мороч мені голову! Ти просто називаєш речі як тобі зручно, аби підігнати результат під бажаний.
-Дві короткі сторони прямокутного трикутника - це катети. Довга сторона - гіпотенуза.
-А, хто коротше - той катет? І гіпотенуза, значить, вже не котить? Ти сам-то послухай себе з боку, який ти марення несеш. На дворі 21 століття, розквіт демократії, а в тебе середньовіччя якесь. Сторони у нього, бач, нерівні ...
-Прямоугольного трикутника з рівними сторонами не існує ...
-А ти впевнений? Давай я тобі намалюю. Ось дивись. Прямокутний? Прямокутний. І всі сторони рівні!
-Ти намалював квадрат.
-Ну і що?
-Квадрат - чи не трикутник.
-А, ну звичайно! Як тільки він нас не влаштовує, відразу «не трикутник"! Чи не мороч мені голову. Вважай сам: один кут, два кута, три кути.
-Чотири.
-Ну і що?
-Це квадрат.
-А квадрат що, чи не трикутник? Він гірше, так? Тільки тому, що я його намалював? Три кута є? Є, і навіть ось один запасний. Ну і нєфіг тут, розумієш ...
-Добре, залишимо цю тему.
Ага, вже здаєш? Нічого заперечити? Ти визнаєш, що математика - фігня?
-Ні, не визнаю.
-Ну от, знову знову-здорово! Я ж тобі щойно все докладно довів! Якщо в основі всієї вашої геометрії лежить вчення Піфагора, а воно, перепрошую, повна нісенітниця ... то про що взагалі можна далі міркувати?
-Вчення Піфагора - НЕ нісенітниця ...
-Ну як же! А то я не чув про школу піфагорійців! Вони, якщо хочеш знати, віддавалися оргій!
-До чого тут...
-А Піфагор взагалі був педик! Він сам сказав, що Платон йому друг.
-Піфагор ?!
-А ти не знав? Так вони взагалі все педики були. І на голову трёхнутие. Один в бочці спав, інший голяка по місту бігав ...
-В бочці спав Діоген, але він був філософ, а не математик ...
-А, ну звичайно! Якщо хтось в бочку поліз, то вже і не математик! Навіщо нам зайвий ганьба? Знаємо, знаємо, проходили. А ось ти поясни мені, чому всякі педики, які жили три тисячі років тому і бігали без штанів, повинні бути для мене авторитетом? З якого дива я повинен приймати їх точку зору?
-Добре, залиш ...
-Та ні, ти послухай! Я тебе, врешті-решт, теж слухав. Ось ці ваші обчислення, підрахунки ... Вважати ви все вмієте! А запитай у вас що-небудь по суті, тут же відразу: "це приватна, це змінна, а це два невідомих". А ти мені в о-о-о-общем скажи, без подробиць! І без всяких там невідомих, непізнаних, екзистенціальних ... Мене від цього нудить, розумієш?
-Розумієте.
-Ну ось поясни мені, чому двічі два завжди чотири? Хто це придумав? І чому я повинен приймати це як даність і не маю права сумніватися?
-Так сумнівайся скільки хочеш ...
-Ні, ти мені поясни! Тільки без цих ваших штучок, а нормально, по-людськи, щоб зрозуміло було.
-Дважди два дорівнює чотирьом, тому що два рази по два буде чотири.
-Масло масляне. Що ти мені нового сказав?
-Дважди два - це два, помножене на два. Візьми два і два і склади їх ...
-Так скласти або помножити?
-Це одне і теж...
-Обидва на! Виходить, якщо я складу і помножу сім і вісім, теж вийде одне і те ж?
-Ні.
-А чому?
-Тому що сім плюс вісім НЕ дорівнює ...
-А якщо я дев'ять помножу на два, вийде чотири?
-Ні.
-А чому? Два примножував - вийшло, а з дев'яткою раптом облом?
-Так. Двічі дев'ять - вісімнадцять.
-А двічі сім?
-Чотирнадцять.
-А двічі п'ять?
-Десять.
-Тобто, чотири виходить тільки в одному окремому випадку?
-Саме так.
-А тепер подумай сам. Ти говориш, що існують якісь жорсткі закони і правила множення. Про які закони тут взагалі може йти мова, якщо в кожному конкретному випадку виходить інший результат ?!
-Це не зовсім так. Іноді результат може збігатися. Наприклад, двічі шість дорівнює дванадцяти. І чотири рази три - теж ...
-Ще гірше! Два, шість, три чотири - взагалі нічого спільного! Ти сам бачиш, що результат ніяк не залежить від вихідних даних. Приймається одне і те ж рішення в двох кардинально різних ситуаціях! І це при тому, що одна і та ж двійка, яку ми беремо постійно і ні на що не змінюємо, з усіма числами завжди дає різний відповідь. Де, питається, логіка?
-Але це ж, як-раз, логічно!
-Для тебе - може бути. Ви, математики, завжди вірите у всяку позамежну хрень. А мене ці ваші викладки не переконують. І знаєш чому?
-Чому?
-Тому що я знаю, Навіщо потрібна насправді ваша математика. Адже вона вся до чого зводиться? "У Каті в кишені одне яблуко, а у Мишка п'ять. Скільки яблук повинен віддати Миша Каті, щоб яблук у них стало порівну?" І знаєш, що я тобі скажу? Миша нікому нічого не винен віддавати! У Каті одне яблуко є - і вистачить. Мало їй? Нехай йде працювати, і сама собі чесно заробить хоч на яблука, хоч на груші, хоч на ананаси в шампанському. А якщо хтось хоче не працювати, а тільки завдання вирішувати - нехай сидить зі своїм одним яблуком і не випендрюються!

»Заслуженого професора математики Уорікського університету, відомого популяризатора науки Іена Стюарта, присвяченій ролі чисел в історії людства і актуальності їх вивчення в наш час.

пифагорова гіпотенуза

Піфагорові трикутники мають прямий кут і цілочисельні боку. У найпростішого з них найдовша сторона має довжину 5, інші - 3 і 4. Всього існує 5 правильних багатогранників. Рівняння п'ятого ступеня неможливо вирішити за допомогою коренів п'ятого ступеня - або будь-яких інших коренів. Грати на площині і в тривимірному просторі не мають п'ятипелюсткової симетрії обертання, тому такі симетрії відсутні і в кристалах. Однак вони можуть бути у решіток в чотиривимірному просторі і в цікавих структурах, відомих як квазікристалів.

Гіпотенуза найменшої Піфагора трійки

Теорема Піфагора говорить, що найдовша сторона прямокутного трикутника (горезвісна гіпотенуза) співвідноситься з двома іншими сторонами цього трикутника дуже просто і красиво: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших сторін.

Традиційно ми називаємо цю теорему ім'ям Піфагора, але насправді історія її досить туманна. Глиняні таблички дозволяють припустити, що стародавні вавилоняни знали теорему Піфагора задовго до самого Піфагора; славу першовідкривача приніс йому математичний культ піфагорійців, прихильники якого вірили, що Всесвіт заснована на числових закономірностях. Стародавні автори приписували піфагорійцям - а значить, і Піфагору - найрізноманітніші математичні теореми, але насправді ми уявлення не маємо про те, який математикою займався сам Піфагор. Ми навіть не знаємо, чи могли піфагорійці довести теорему Піфагора чи просто вірили в те, що вона вірна. Або, що найбільш ймовірно, у них були переконливі дані про її істинності, яких проте не вистачило б на те, що ми вважаємо доказом сьогодні.

докази Піфагора

Перше відоме доказ теореми Піфагора ми знаходимо в «Засадах» Евкліда. Це досить складне доведення з використанням креслення, в якому вікторіанські школярі одразу впізнали б «піфагорові штани»; креслення і правда нагадує сохнуть на мотузці підштаники. Відомі буквально сотні інших доказів, більшість з яких робить доказувана твердження більш очевидним.

// Мал. 33. Піфагорови штани

Одне з найпростіших доказів - це свого роду математичний пазл. Візьміть будь-який прямокутний трикутник, зробіть чотири його копії і зберіть їх усередині квадрата. При одній укладанні ми бачимо квадрат на гіпотенузі; при іншій - квадрати на двох інших сторонах трикутника. При цьому ясно, що площі в тому і в іншому випадку рівні.

// Мал. 34. Зліва: квадрат на гіпотенузі (плюс чотири трикутника). Справа: сума квадратів на двох інших сторонах (плюс ті ж чотири трикутника). А тепер виключіть трикутники

Розсічення Перігаля - ще один доказ-пазл.

// Мал. 35. Розсічення Перігаля

Існує також доказ теореми з використанням укладання квадратів на площині. Можливо, саме так піфагорійці або їх невідомі попередники відкрили цю теорему. Якщо поглянути на те, як косою квадрат перекриває два інших квадрата, то можна побачити, як розрізати великий квадрат на шматки, а потім скласти з них два менших квадрата. Можна побачити також прямокутні трикутники, сторони яких дають розміри трьох задіяних квадратів.

// Мал. 36. Доказ науковістю

Є цікаві докази з використанням подібних трикутників в тригонометрії. Відомо принаймні п'ятдесят різних доказів.

піфагорові трійки

У теорії чисел теорема Піфагора стала джерелом плідної ідеї: знайти цілочисельні рішення алгебраїчних рівнянь. Числа Піфагора - це набір цілих чисел a, b і c, таких що

Геометрично така трійка визначає прямокутний трикутник з цілочисельними сторонами.

Найменша гіпотенуза Піфагора трійки дорівнює 5.

Інші дві сторони цього трикутника дорівнюють 3 і 4. Тут

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Наступна за величиною гіпотенуза дорівнює 10, тому що

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Однак це, по суті, той самий трикутник з подвоєними сторонами. Наступна за величиною і по-справжньому інша гіпотенуза дорівнює 13, для неї

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Евклід знав, що існує нескінченне число різних варіантів піфагорових трійок, І дав те, що можна назвати формулою для знаходження їх усіх. Пізніше Діофант Олександрійський запропонував простий рецепт, в основному збігається з евклідовим.

Візьміть будь-які два натуральних числа і обчисліть:

їх подвоєне твір;

різницю їх квадратів;

суму їх квадратів.

Три одержані числа будуть сторонами пифагорова трикутника.

Візьмемо, наприклад, числа 2 і 1. Обчислимо:

подвоєне твір: 2 × 2 × 1 \u003d 4;

різницю квадратів: 22 - 12 \u003d 3;

сума квадратів: 22 + 12 \u003d 5,

і ми отримали знаменитий трикутник 3-4-5. Якщо взяти замість цього числа 3 і 2, отримаємо:

подвоєне твір: 2 × 3 × 2 \u003d 12;

різницю квадратів: 32 - 22 \u003d 5;

суму квадратів: 32 + 22 \u003d 13,

і отримуємо наступний за популярністю трикутник 5 - 12 - 13. Спробуємо взяти числа 42 і 23 і отримаємо:

подвоєне твір: 2 × 42 × 23 \u003d 1932;

різницю квадратів: 422 - 232 \u003d 1 235;

сума квадратів: 422 + 232 \u003d 2293,

ніхто ніколи не чув про трикутнику 1235-1932-2293.

Але ці числа теж працюють:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

У диофантово правилі є ще одна особливість, на яку вже натякали: отримавши три числа, ми можемо взяти ще одне довільне число і все їх на нього помножити. Таким чином трикутник 3-4-5 можна перетворити в трикутник 6-8-10, помноживши всі сторони на 2, або в трикутник 15-20-25, помноживши все на 5.

Якщо перейти на мову алгебри, правило набуває такого вигляду: нехай u, v і k - натуральні числа. Тоді прямокутний трикутник зі сторонами

2kuv і k (u2 - v2) має гіпотенузу

Існують і інші способи викладу основної ідеї, але всі вони зводяться до описаного вище. Цей метод дозволяє отримати всі піфагорові трійки.

правильні багатогранники

Існує зовсім п'ять правильних багатогранників. Правильний багатогранник (або поліедр) - це об'ємна фігура з кінцевим числом плоских граней. Грані сходяться один з одним на лініях, що іменуються ребрами; ребра зустрічаються в точках, іменованих вершинами.

Кульмінацією евклідових «Почав» є доказ того, що може бути тільки п'ять правильних багатогранників, тобто багатогранників, у яких кожна грань являє собою правильний багатокутник (рівні сторони, Рівні кути), всі грані ідентичні і всі вершини оточені рівним числом однаково розташованих граней. Ось п'ять правильних багатогранників:

тетраедр з чотирма трикутними гранями, чотирма вершинами і шістьма ребрами;

куб, або гексаедр, з 6 квадратними гранями, 8 вершинами і 12 ребрами;

октаедр з 8 трикутними гранями, 6 вершинами і 12 ребрами;

додекаедр з 12 п'ятикутними гранями, 20 вершинами і 30 ребрами;

ікосаедр з 20 трикутними гранями, 12 вершинами і 30 ребрами.

// Мал. 37. П'ять правильних багатогранників

Правильні багатогранники можна знайти і в природі. У 1904 р Ернст Геккель опублікував малюнки крихітних організмів, відомих як радіолярії; багато з них за формою нагадують ті самі п'ять правильних багатогранників. Можливо, правда, він трохи підправив природу, і малюнки не відображають повністю форму конкретних живих істот. Перші три структури спостерігаються також в кристалах. Додекаедру і ікосаедра в кристалах ви не знайдете, хоча неправильні додекаедри і ікосаедр там іноді трапляються. Справжні додекаедри можуть виникати у вигляді квазікристалів, які в усьому схожі на кристали, за винятком того, що їх атоми не утворюють періодичної решітки.

// Мал. 38. Малюнки Геккеля: радіолярії в формі правильних багатогранників

// Мал. 39. Розгортки правильних багатогранників

Буває цікаво робити моделі правильних багатогранників з паперу, вирізавши попередньо набір з'єднаних між собою граней - це називається розгорткою багатогранника; розгортку складають по ребрах і склеюють відповідні ребра між собою. Корисно додати до одного з ребер кожної такої пари додатковий майданчик для клею, як показано на рис. 39. Якщо такого майданчика немає, можна використовувати липку стрічку.

Рівняння п'ятого ступеня

Не існує алгебраїчної формули для вирішення рівнянь 5-го ступеня.

В загалом вигляді рівняння п'ятого ступеня виглядає так:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f \u003d 0.

Проблема в тому, щоб знайти формулу для рішень такого рівняння (у нього може бути до п'яти рішень). Досвід поводження з квадратними і кубічними рівняннями, а також з рівняннями четвертого ступеня дозволяє припустити, що така формула повинна існувати і для рівнянь п'ятого ступеня, причому в ній, по ідеї, повинні фігурувати коріння п'ятої, третьої і другого ступеня. Знову ж таки, можна сміливо припустити, що така формула, якщо вона існує, виявиться дуже і дуже складною.

Це припущення в кінцевому підсумку виявилося помилковим. Справді, ніякої такої формули не існує; принаймні не існує формули, що складається з коефіцієнтів a, b, c, d, e і f, складеної з використанням додавання, віднімання, множення і ділення, а також вилучення коренів. Таким чином, в числі 5 є щось зовсім особливе. Причини такого незвичайного поведінки п'ятірки вельми глибокі, і було потрібно немало часу, щоб в них розібратися.

Першою ознакою проблеми стало те, що, як би математики не старалися відшукати таку формулу, якими б розумними вони не були, вони незмінно зазнавали невдачі. Деякий час усі вважали, що причини криються в неймовірної складності формули. Вважалося, що ніхто просто не може як слід розібратися в цій алгебрі. Однак з часом деякі математики почали сумніватися в тому, що така формула взагалі існує, а в 1823 р Нільс Хендрік Абель зумів довести зворотне. Такий формули не існує. Незабаром після цього Еваріст Галуа знайшов спосіб визначити, вирішується чи рівняння тій чи іншій мірі - 5-й, 6-й, 7-й, взагалі будь-який - з використанням такого роду формули.

Висновок з усього цього простий: число 5 особливе. Можна вирішувати алгебраїчні рівняння (за допомогою коренів n-го ступеня для різних значень n) для ступенів 1, 2, 3 і 4, але не для 5-го ступеня. Тут очевидна закономірність закінчується.

Нікого не дивує, що рівняння ступенів більше 5 поводяться ще гірше; зокрема, з ними пов'язана така ж труднощі: немає загальних формул для їх вирішення. Це не означає, що рівняння не мають рішень; це не означає також, що неможливо знайти дуже точні чисельні значення цих рішень. Вся справа в обмеженості традиційних інструментів алгебри. Це нагадує неможливість трисекции кута за допомогою лінійки і циркуля. Відповідь існує, але перераховані методи недостатні і не дозволяють визначити, яка вона є.

кристалографічної обмеження

Кристали в двох і трьох вимірах не мають 5-променевої симетрії обертання.

Атоми в кристалі утворюють решітку, тобто структуру, яка періодично повторюється в кількох незалежних напрямках. Наприклад, малюнок на шпалерах повторюється по довжині рулону; крім того, він зазвичай повторюється і в горизонтальному напрямку, іноді із зсувом від одного шматка шпалер до наступного. По суті, шпалери - це двовимірний кристал.

Існує 17 різновидів шпалерних малюнків на площині (див. Розділ 17). Вони розрізняються за типами симетрії, тобто за способами зрушити жорстко малюнок таким чином, щоб він точно ліг сам на себе в первісному положенні. До типам симетрії відносяться, зокрема, різні варіанти симетрії обертання, де малюнок слід повернути на певний кут навколо певної точки - центру симетрії.

Порядок симетрії обертання - це те, скільки разів можна повернути тіло до повного кола так, щоб всі деталі малюнка повернулися на початкові позиції. Наприклад, поворот на 90 ° - це симетрія обертання 4-го порядку *. Список можливих типів симетрії обертання в кристалічній решітці знову вказує на незвичайність числа 5: його там немає. Існують варіанти з симетрією обертання 2, 3, 4 і 6-го порядків, але жоден шпалер малюнок не має симетрії обертання 5-го порядку. Симетрії обертання порядку більше 6 в кристалах теж не буває, але перше порушення послідовності відбувається все ж на числі 5.

Те ж відбувається з кристалографічними системами в тривимірному просторі. Тут решітка повторює себе по трьох незалежних напрямках. Існує 219 різних типів симетрії, або 230, якщо рахувати дзеркальне відображення малюнка окремим його варіантом - при тому, що в даному випадку немає дзеркальної симетрії. Знову ж таки, спостерігаються симетрії обертання порядків 2, 3, 4 і 6, але не 5. Цей факт отримав назву кристаллографического обмеження.

В чотиривимірному просторі решітки з симетрією 5-го порядку існують; взагалі, для решіток досить високої розмірності можливий будь-який наперед заданий порядок симетрії обертання.

// Мал. 40. Кристалічні ґрати кухонної солі. Темні кульки зображують атоми натрію, світлі - атоми хлору

квазікристалів

Хоча симетрія обертання 5-го порядку в двовимірних і тривимірних гратах неможлива, вона може існувати в трохи менш регулярних структурах, відомих як квазікристалів. Скориставшись начерками Кеплера, Роджер Пенроуз відкрив плоскі системи з більш загальним типом п'ятикратної симетрії. Вони отримали назву квазікристалів.

Квазікристали існують в природі. У 1984 р Даніель Шехтман відкрив, що сплав алюмінію і марганцю може утворювати квазікристали; спочатку кристалографи зустріли його повідомлення з деяким скепсисом, але пізніше відкриття було підтверджено, і в 2011 р Шехтман був удостоєний Нобелівської премії з хімії. У 2009 році команда вчених під керівництвом Луки Бінді виявила квазікристали в мінералі з російського Коряцького нагір'я - з'єднанні алюмінію, міді і заліза. Сьогодні цей мінерал називається Ікосаедр. Вимірявши за допомогою мас-спектрометра зміст в мінералі різних ізотопів кисню, вчені показали, що цей мінерал виник не на Землі. Він сформувався близько 4,5 млрд років тому, в той час, коли сонячна система тільки зароджувалася, і провів більшу частину часу в поясі астероїдів, звертаючись навколо Сонця, поки якийсь обурення не змінило його орбіту і не привело його в кінці кінців на Землю.

// Мал. 41. Зліва: одна з двох квазікристалічних решіток з точною п'ятикратної симетрією. Справа: атомна модель ікосаедрічеськая алюмінієво-палладиевой-марганцевого квазікристала

Опис презентації по окремим слайдів:

1 слайд

Опис слайда:

МБОУ Бондарська ЗОШ Учнівський проект на тему: «Піфагор і його теорема» Підготував: Ектов Костянтин, учень 7 А класу Керівник: Долотова Надія Іванівна, вчитель математики 2015 р

2 слайд

Опис слайда:

3 слайд

Опис слайда:

Анотація. Геометрія - дуже цікава наука. Вона містить безліч несхожих один на одного теорем, але часом так необхідних. Я дуже зацікавився теоремою Піфагора. На жаль, одне з найголовніших тверджень ми проходимо лише у восьмому класі. Я вирішив відкрити завісу таємниці і досліджувати теорему Піфагора.

4 слайд

Опис слайда:

5 слайд

Опис слайда:

6 слайд

Опис слайда:

Завдання Вивчити біографію Піфагора. Дослідити історію виникнення і доведення теореми. З'ясувати, як теорема використовується в мистецтві. Знайти історичні завдання, у вирішенні яких застосовується теорема Піфагора. Познайомитися зі ставленням дітей різних часів до даної теоремі. Створити проект.

7 слайд

Опис слайда:

Хід дослідження Біографія Піфагора. Заповіді і афоризми Піфагора. Теорема Піфагора. Історія теореми. Чому «піфагорові штани в усі сторони рівні»? Різні доведення теореми Піфагора іншими вченими. Застосування теореми Піфагора. Опитування. Висновок.

8 слайд

Опис слайда:

Піфагор - хто ж він такий? Піфагор Самоський (580 - 500 до н. Е.) Давньогрецький математик і філософ-ідеаліст. Народився на острові Самос. отримав хороша освіта. За переказами Піфагор, щоб ознайомитися з мудрістю східних вчених, виїхав до Єгипту і прожив там 22 роки. Добре оволодівши усіма науками єгиптян, в тому числі і математикою, він переїхав до Вавилону, де прожив 12 років і ознайомився з науковими знаннями вавилонських жерців. Передання приписують Піфагору відвідування і Індії. Це дуже ймовірно, так як Іонія і Індія тоді мали торговельні зв'язки. Повернувшись на батьківщину (бл. 530 р. До н.е..), Піфагор спробував організувати свою філософську школу. Однак з невідомих причин він незабаром залишає Самос і селиться в Кротоні (грецької колонії на півночі Італії). Тут Піфагору вдалося організувати свою школу, яка діяла майже тридцять років. Школа Піфагора, або, як її ще називають, піфагорійський союз, була одночасно і філософською школою, і політичною партією, І релігійним братством. Статус пифагорейского союзу був дуже суворим. За своїми філософськими поглядами Піфагор був ідеалістом, захисником інтересів рабовласницької аристократії. Можливо, в цьому і полягала причина його від'їзду з Самоса, так як в Іонії дуже великий вплив мали прихильники демократичних поглядів. У громадських питаннях під "порядком" піфагорійці розуміли панування аристократів. Давньогрецьку демократію вони засуджували. Пифагорейская філософія була примітивною спробою обгрунтувати панування рабовласницької аристократії. В кінці V ст. до н. е. в Греції і її колоніях прокотилася хвиля демократичного руху. Перемогла демократія в Кротоні. Піфагор разом з учнями залишає Кротон і їде в Тарент, а потім в Метапонт. Прибуття піфагорійців в Метапонт збіглося зі спалахом там народного повстання. В одній з нічних сутичок загинув майже дев'яностолітню Піфагор. Його школа припинила своє існування. Учні Піфагора, рятуючись від переслідувань, розселилися по всій Греції і її колоній. Здобуваючи собі гроші на прожиття, вони організовували школи, в яких викладали головним чином арифметику і геометрію. Відомості про їхні досягнення містяться в творах пізніших учених - Платона, Аристотеля та ін.

9 слайд

Опис слайда:

Заповіді і афоризми Піфагора Думка - понад усе між людьми на землі. Не сідай на хлібну міру (т. Е. Живи без праці). Йдучи, не оглядайся (т. Е. Перед смертю не чіплявся за життя). За битим шляхом не ходи (т. Е. Слід не думкам натовпу, а думкам небагатьох розуміють). Ластівок в будинку не тримай (т. Е. Не візьмеш гостей балакучих і не стриманих на мову). Будь з тим, хто ношу звалює, не будь з тим, хто ношу звалює (т. Е. Заохочуй людей не до неробства, а до чесноти, до праці). На поле життя, подібно сівачеві, ходи рівним і постійним кроком. Істинне батьківщину там, де є добрі звичаї. Не будь членом вченої суспільства: наймудріші, складаючи суспільство, робляться простолюдинами. Почитай священними числа, вага і міру, як чад витонченого рівності. Виміряй свої бажання, зважуй свої думки, перелічиш свої слова. Нічому не дивуйся: здивування справило богів.

10 слайд

Опис слайда:

Формулювання теореми. У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

11 слайд

Опис слайда:

Доведення теореми. На даний момент в науковій літературі зафіксовано 367 доказів даної теореми. Ймовірно, теорема Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Зрозуміло, все їх можна розбити на мале число класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні і екзотичні докази.

12 слайд

Опис слайда:

Теорема Піфагора Доказ Дан прямокутний трикутник з катетами a, b і гіпотенузою c. Доведемо, що c² \u003d a² + b² Добудуємо трикутник до квадрата зі стороною a + b. Площа S цього квадрата дорівнює (a + b) ². З іншого боку, квадрат складений з чотирьох рівних прямокутних трикутників, S кожного з яких дорівнює ½ a b, і квадрата зі стороною c. S \u003d 4 · ½ a b + c² \u003d 2 a b + c² Таким чином, (a + b) ² \u003d 2 a b + c², звідки c² \u003d a² + b² c c c c з а b

13 слайд

Опис слайда:

Історія теореми Піфагора Цікава історія теореми Піфагора. Хоча ця теорема і зв'язується з ім'ям Піфагора, вона була відома задовго до нього. У вавилонських текстах ця теорема зустрічається за 1200 років до Піфагора. Можливо, що тоді ще не знали її докази, а саме співвідношення між гіпотенузою і катетами було встановлено дослідним шляхом на основі вимірів. Піфагор, мабуть, знайшов доказ цього співвідношення. Збереглося давнє передання, що на честь свого відкриття Піфагор приніс в жертву богам бика, а за іншими свідченнями - навіть сто биків. Протягом наступних століть були знайдені різні інші доведення теореми Піфагора. В даний час їх налічується більше ста, але найбільш популярна теорема з побудовою квадрата за допомогою даного прямокутного трикутника.

14 слайд

Опис слайда:

теорема в Стародавньому Китаї "Якщо прямий кут розкласти на складові частини, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли підстава є 3, а висота 4".

15 слайд

Опис слайда:

Теорема в Стародавньому Єгипті Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3 ² + 4 ² \u003d 5² було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 р. До н.е. е., за часів царя Аменемхета (згідно папірусу 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або "натягівателі мотузок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5.

16 слайд

Опис слайда:

Про теорему в Вавилонії «Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор і піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обгрунтування. В їх руках обчислювальні рецепти, засновані на неясних уявленнях, перетворилися в точну науку. "

17 слайд

Опис слайда:

Чому «піфагорові штани в усі сторони рівні»? Протягом двох тисячоліть найбільш поширеним доказом теореми Піфагора було придумане Евклидом. Воно поміщено в його знаменитій книзі «Начала». Евклід опускав висоту СН з вершини прямого кута на гіпотенузу і доводив, що її продовження ділить добудований на гіпотенузі квадрат на два прямокутника, площі яких дорівнюють площам відповідних квадратів, побудованих на катетах. Креслення, застосовуваний при доказі цієї теореми, жартома називають «піфагорові штани». Протягом довгого часу він вважався одним із символів математичної науки.

18 слайд

Опис слайда:

Ставлення дітей давнини до Доказ теореми Піфагора учні середніх століть вважали дуже важким. Слабкі учні, завчити теореми напам'ять, без розуміння, і прозвані тому «ослами», були не в змозі подолати теорему Піфагора, що служила для них начебто непереборного моста. Через креслень, які супроводжують теорему Піфагора, учні називали її також «вітряком», складали вірші, на кшталт «Піфагорови штани на всі сторони рівні», малювали карикатури.

19 слайд

Опис слайда:

Доведення теореми Найпростіше доведення теореми виходить в разі рівнобедреного прямокутного трикутника. Справді, досить просто подивитися на мозаїку рівнобедрених прямокутних трикутників, щоб переконатися в справедливості теореми. Наприклад, для трикутника ABC: квадрат, побудований на гіпотенузі АС, містить 4 вихідних трикутника, а квадрати, побудовані на катетах, - по два.

20 слайд

Опис слайда:

«Стілець нареченої» На малюнку квадрати, побудовані на катетах, розміщені ступенями один поруч з іншим. Цю фігуру, яка зустрічається в доказах, що датуються не пізніше, ніж 9 століттям н. е., індуси називали "стільцем нареченої".

21 слайд

Опис слайда:

Застосування теореми Піфагора В даний час загальне визнання отримало те, що успіх розвитку багатьох галузей науки і техніки залежить від розвитку різних напрямків математики. важливою умовою підвищення ефективності виробництва є широке впровадження математичних методів в техніку і народне господарство, Що передбачає створення нових, ефективних методів якісного і кількісного дослідження, які дозволяють вирішувати завдання, що висуваються практикою.

22 слайд

Опис слайда:

Застосування теореми в будівництві У будівлях готичного і романського стилю верхні частини вікон расчленяются кам'яними ребрами, які не тільки грають роль орнаменту, а й сприяють міцності вікон.

23 слайд

Опис слайда:

24 слайд

Опис слайда:

Історичні завдання Для кріплення щогли потрібно встановити 4 троса. Один кінець кожного троса повинен кріпитися на висоті 12 м, інший на землі на відстані 5 м від щогли. Чи вистачить 50 м троса для кріплення щогли?

Піфагорові штани - на всі сторони рівні.
Щоб це довести, потрібно зняти і показати.

Цей віршик відомий всім з середньої школи, з тих самих пір, коли на уроці геометрії ми вивчали знамениту теорему Піфагора: квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів.

Для доказу своєї теореми Піфагор намалював на піску фігуру з квадратів на сторонах трикутника. Сума квадратів катетів в прямокутному трикутнику дорівнює квадрату гіпотенузи А квадрат плюс Квадрат одно З квадрат. Був це 500 рік до нашої ери. Сьогодні теорему Піфагора проходять в середній школі. У книзі рекордів Гіннесса теорема Піфагора - теорема з максимальним числом доказів. Дійсно, в 1940 році була опублікована книга, яка містить триста сімдесят доказів теореми Піфагора. Одне з них було запропоновано президентом США Джеймсом Абрамом Гарфілдом. Лише один доказ теореми досі нікому з нас не відомо: доказ самого Піфагора. Довгий час вважалося, що доказ Евкліда - це і є доказ Піфагора, але тепер математики думають, що це доказ належить самому Евклиду.

Класичне доказ Евкліда направлено на встановлення рівності площ між прямокутниками, освіченими з розсічення квадрата над гипотенузой висотою з прямого кута з квадратами над катетами.

Конструкція, яка використовується для доказу, наступна: для прямокутного трикутника ABC з прямим кутом С, квадратів над катетами ACED і BCFG і квадрата над гипотенузой ABIK будується висота CH і продовжує її промінь s, який розбиває квадрат над гипотенузой на два прямокутника АHJK і BHJI. Доказ націлене на встановлення рівності площ прямокутника АHJK з квадратом над катетом АC; рівність площ другого прямокутника, що становить квадрат над гипотенузой, і прямокутника над іншим катетом встановлюється аналогічним чином.

Рівність площ прямокутника АHJK і АCED встановлюється через конгруентність трикутників ACK і ABD, площа кожного з яких дорівнює половині площі прямокутників AHJK і АCED відповідно в зв'язку з наступним властивістю: площа трикутника дорівнює половині площі прямокутника, якщо у фігур є загальна сторона, а висота трикутника до загальної стороні є іншою стороною прямокутника. Конгруентність трикутників випливає з рівності двох сторін (сторони квадратів) і куту між ними (складеного з прямого кута і кута при A.

Таким чином, доказом встановлюється, що площа квадрата над гипотенузой, складеного з прямокутників АHJK і BHJI, дорівнює сумі площ квадратів над катетами.

Німецький математик Карл Гаусс запропонував в сибірській тайзі вирубати з дерев гігантські піфагорові штани. Дивлячись на ці штани з космосу, інопланетяни повинні переконатися, що на нашій планеті живуть розумні істоти.

Забавно, що сам Піфагор ніколи не носив штани - в ті часи греки про такий предмет гардероба просто не знали.

джерела:

• sandbox.fizmat.vspu.ru
• ru.wikipedia.org
• kuchmastar.fandom.com

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.