Піфагорові числа. Піфагорові трійки піфагорові трійки можна знаходити за формулою

Піфагорові трійки чисел

Творча робота

учня 8 "A"класу

МАОУ «Гімназія №1»

Жовтневого району м Саратова

Панфілова Володимира

Керівник - вчитель математики вищої категорії

Гришина Ірина Володимирівна

зміст

Запровадження ................................................................................................ 3

Теоретична частинароботи

Знаходження основного піфагорова трикутника

(Формули стародавніх індусів) ........................................................................ 4

Практична частина роботи

Складання піфагорових трійок різними способами ........................ ........ 6

Важлива властивість піфагорових трикутників .......................................... ... 8

Висновок .......................................................................................... .... 9

Література .... ....................................................................................... ... 10

Вступ

В цьому навчальному роціна уроках математики ми вивчили одну з найпопулярніших теорем геометрії - теорему Піфагора. Теорема Піфагора застосовується в геометрії на кожному кроці, вона знайшла широке застосування в практиці і повсякденному житті. Але, крім самої теореми, ми вивчили також і теорему, зворотний до теоремі Піфагора. У зв'язку з вивченням вже цієї теореми, у нас відбулося знайомство з Числа Піфагора чисел, тобто з наборами з 3-х натуральних чиселa , b іc , Для яких справедливо співвідношення: = + . До таких наборів відносять, наприклад, такі трійки:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

У мене відразу виникли питання: а скільки піфагорових трійок можна придумати? А як їх складати?

У нашому підручнику геометрії після викладу теореми, зворотної теоремі Піфагора, було зроблено важливе зауваження: можна довести, що катетиа іb і гіпотенузаз прямокутних трикутників, довжини сторін яких виражаються натуральними числами, можна знаходити за формулами:

а = 2kmn b = k ( - ) C = k ( + , (1)

деk , m , n - будь-які натуральні числа, причомуm > n .

Природно, виникає питання - як довести дані формули? І тільки за цими формулами можна складати піфагорові трійки?

У своїй роботі я здійснив спробу відповісти на виниклі у мене питання.

Теоретична частина роботи

Знаходження основного піфагорова трикутника (формули стародавніх індусів)

Спочатку доведемо формули (1):

Позначимо довжини катетів черезх іу , А довжину гіпотенузи черезz . По теоремі Піфагора маємо рівність:+ = .(2)

Дане рівняння називають рівнянням Піфагора. Дослідження піфагорових трикутників зводиться до вирішення в натуральних числах рівняння (2).

Якщо кожну сторону деякого пифагорова трикутника збільшити в одне і те ж число раз, то отримаємо новий прямокутний трикутник, подібний даному зі сторонами, вираженими натуральними числами, тобто знову пифагоров трикутник.

Серед усіх подібних трикутників існує найменший, легко здогадатися, що це буде трикутник, сторони якогох іу виражаються взаємно простими числами

(НОД (х, у )=1).

Такий пифагоров трикутник назвемоосновним .

Відшукання основних піфагорових трикутників.

Нехай трикутник (x , y , z ) - основний пифагоров трикутник. числах іу - взаємно прості, і тому не можуть бути обидва парними. Доведемо, що вони не можуть бути обидва і непарними. Для цього зауважимо, щоквадрат непарного числа при діленні на 8 дає в залишку 1. Справді, будь-який непарне натуральне число можна представити у вигляді2 k -1 , деk належитьN .

Звідси: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

числа( k -1) іk - послідовні, одне з них обов'язково парне. тоді виразk ( k -1) ділиться на2 , 4 k ( k -1) ділиться на 8, а значить, число при розподілі на 8 дає в залишку 1.

Сума квадратів двох непарних чисел дає при діленні на 8 в залишку 2, отже, сума квадратів двох непарних чисел є число парне, але не кратне 4, а тому це числоне може бути квадратом натурального числа.

Отже, рівність (2) не може мати місця, якщоx іу обидва непарні.

Таким чином, якщо пифагоров трикутник (х, у, z ) - основний, то серед чиселх іу одне повинно бути парним, а інше - непарних. Нехай число у є парним. числах іz непарні (непарністьz випливає з рівності (2)).

з рівняння+ = отримуємо, що= ( z + x )( z - x ) (3).

числаz + x іz - x як сума і різниця двох непарних чисел - числа парні, а тому (4):

z + x = 2 a , z - x = 2 b , деа іb належатьN .

z + x =2 a , z - x = 2 b ,

z = a + b , x = a - b. (5)

З цих рівностей випливає, щоa іb - взаємно прості числа.

Доведемо це, розмірковуючи від протилежного.

Нехай НСД (a , b )= d , деd >1 .

тодіd z іx , А отже, і чиселz + x іz - x . Тоді на підставі рівності (3) було б дільником числа . В такому випадкуd був би загальним дільником чиселу іх , Але числау іх повинні бути взаємно простими.

числоу , Як відомо, парне, томуу = 2с , дез - натуральне число. Рівність (3) на підставі рівності (4) приймає наступний вигляд: = 2а * 2 b , або = Ab.

З арифметики відомо, щоякщо добуток двох взаємно простих чисел є квадратом натурального числа, то кожне з цих чисел також є квадратом натурального числа.

значить,а = іb = , деm іn - взаємно прості числа, тому що вони є дільниками взаємно простих чисела іb .

На підставі рівності (5) маємо:

z = + , x = - , = ab = * = ; з = mn

тодіу = 2 mn .

числаm іn , Тому що є взаємно простими, не можуть бути одночасно парними. Але і непарними одночасно бути не можуть, тому що в цьому випадкух = - було б парних, що неможливо. Отже, одне з чисел,m абоn парне, а інше непарне. очевидно,у = 2 mn ділиться на 4. Отже, в кожному основному Піфагора трикутнику хоча б один з катетів ділиться на 4. Звідси випливає, що немає піфагорових трикутників, всі сторони якого були б простими числами.

Отримані результати можна виразити у вигляді наступної теореми:

Всі основні трикутники, в якиху є парним числом, виходять з формули

х = - , y =2 mn , z = + ( m > n ), деm іn - всі пари взаємно простих чисел, з яких одне є парним, а інше непарних (байдуже, яке). Кожна основна Числа Піфагора (х, у, z ), Деу - парне, - визначається цим способом однозначно.

числаm іn не можуть бути обидва парними або обидва непарними, тому що в цих випадках

х = були б парними, що неможливо. Отже, одне з чиселm абоn парне, а інше непарне (y = 2 mn ділиться на 4).

Практична частина роботи

Складання піфагорових трійок різними способами

У формулах індусівm іn - взаємно прості, але можуть бути числами довільної парності і складати піфагорові трійки по ним досить важко. Тому спробуємо знайти інший підхід до складання піфагорових трійок.

= - = ( z - y )( z + y ), дех - непарне,y - парне,z - непарне

v = z - y , u = z + y

= uv , деu - непарне,v - непарне (взаємно прості)

Оскільки твір двох непарних взаємно простих чисел є квадратом натурального числа, тоu = , v = , деk іl - взаємно прості, непарні числа.

z - y = z + y = k 2 , звідки, складаючи рівності і віднімаючи з одного інше, одержуємо:

2 z = + 2 y = - тобто

z = y = x = kl

k

l

x

y

z

37

9

1

9

40

41 (sнулів)*(100…0 (sнулів) +1)+1 =200…0 (S-1нулів) 200…0 (S-1нулів) 1

Важлива властивість піфагорових трикутників

теорема

В основному Піфагора трикутнику один з катетів обов'язково ділиться на 4, один з катетів обов'язково ділиться на 3 і площа пифагорова трикутника обов'язково кратна 6.

Доведення

Як нам відомо, у всякому пифагоровом трикутнику хоча б один з катетів ділиться на 4.

Доведемо, що один з катетів ділиться і на 3.

Для доказу припустимо, що в пифагоровом трикутнику (x , y , z x абоy кратно 3.

Тепер доведемо, що площа пифагорова трикутника ділиться на 6.

Всякий пифагоров трикутник має площу, відображену натуральним числом, кратним 6. Це випливає з того, що хоча б один з катетів ділиться на 3 і хоча б один з катетів ділиться на 4. Площа трикутника, яка визначається полупроізведеніем катетів, повинна виражатися числом, кратним 6 .

висновок

В роботі

- доведені формули стародавніх індусів

-проведена дослідження на кількість піфагорових трійок (їх нескінченно багато)

-вказати способи знаходження піфагорових трійок

-Вивчити деякі властивості піфагорових трикутників

Для мене це була дуже цікава темаі знаходити відповіді на мої запитання стало дуже цікавим заняттям. Надалі я планую розглянути зв'язок піфагорових трійок з послідовністю Фібоначчі і теоремою Ферма і дізнатися ще багато властивостей піфагорових трикутників.

література

Л.С. Атанасян "Геометрія.7-9 класи" М .: Просвещение, 2012.

В. Серпінського "Піфагорови трикутники" М.: Учпедгиз, 1959.

Саратов

2014

Безкровний І.М. 1

1 OAO «Ангстрем-М»

Метою роботи є розробка методів і алгоритмів обчислення піфагорових трійок вигляду a2 + b2 = c2. Процес аналізу здійснювався відповідно до принципів системного підходу. Поряд з математичними моделями, використані графічні моделі, що відображають кожний член Піфагора трійки у вигляді складових квадратів, кожен з яких складається із сукупності одиничних квадратів. Встановлено, що безліч піфагорові трійок містить нескінченне число підмножин, що розрізняють за ознакою різниці величин b-c. Запропоновано алгоритм формування піфагорових трійок з будь-яким наперед заданим значенням цієї різниці. Показано, що піфагорові трійки існують для будь-якого значення 3≤a

піфагорові трійки

системний аналіз

математична модель

графічна модель

1. Аносов Д.Н. Погляд на математику і щось з неї. - М .: МЦНМО, 2003. - 24 с .: іл.

2. Айерланд К., Роузен М. Класичне введення в сучасну теорію чисел. - М .: Мир, 1987.

3. Безкровний І.М. Системний аналіз та інформаційні технологіїв організаціях: Навчальний посібник. - М .: РУДН, 2012. - 392 с.

4. Саймон Сінгх. Велика теоремаФерма.

5. Ферма П. Дослідження з теорії чисел і диофантово аналізу. - М .: Наука, 1992.

6. Yaptro. Ucoz, Available at: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Піфагорові трійки представляють собою когорту з трьох цілих чисел, що задовольняють співвідношенню Піфагора x2 + y2 = z2. Взагалі кажучи, це окремий випадок Діофантових рівнянь, а саме, системи рівнянь, в яких число невідомих більше, ніж число рівнянь. Відомі вони давно, ще з часів Вавилона, тобто, задовго до Піфагора. А назва вони набули після того, як Піфагор на їх основі довів свою знамениту теорему. Однак, як випливає з аналізу численних джерел, в яких питання про піфагорових трійках в тій чи іншій мірі зачіпається досі не розкритий повною мірою питання про існуючі класах цих трійок і про можливі способи їх формування.

Так в книзі Саймона Сінгха йдеться: - «Учні та послідовники Піфагора ... повідали світу секрет знаходження так званих піфагорових троє к.». Однак, в слід за цим читаємо: - «Піфагорійці мріяли знайти і інші пифагорейские трійки, інші квадрати, з яких можна було б скласти третій квадрат великих розмірів. ... У міру того, як числа зростають, піфагорові трійки зустрічаються все рідше, і знаходити їх стає все важче і важче. Піфагорійці винайшли метод відшукання таких трійок і, користуючись ним, довели, що піфагорових трійок існує нескінченно багато ».

У наведеній цитаті виділені слова викликають подив. Чому «Піфагорійці мріяли знайти ...», якщо вони «винайшли метод відшукання таких трійок ...», і чому для великих чисел«Знаходити їх стає все важче і важче ...».

В роботі відомого математикаД.В. Аносова шуканий відповідь, начебто, наведено. - «Є такі трійки натуральних (т. Е. Цілих позитивних) чисел x, y, z, що

x2 + y2 = z2. (1)

... чи можна знайти всі рішення рівняння x2 + y2 = z2 в натуральних числах? ... Так. Відповідь така: кожне таке рішення можна представити у вигляді

x = l (m2-n2), y = 2lmn, z = l (m2 + n2), (2),

де l, m, n - натуральні числа, причому m> n, або в аналогічному вигляді, в якому x і y міняються місцями. Можна трохи коротше сказати, що x, y, z з (2) зі всілякими натуральними l і m> n суть всі можливі рішення (1) з точністю до перестановки x і y. Наприклад, трійка (3, 4, 5) виходить при l = 1, m = 2, n = 1. ... Мабуть, вавилоняни знали цю відповідь, але як вони до нього прийшли - невідомо ».

Зазвичай математики відомі своєю вимогливістю до строгості своїх формулювань. Але, в цій цитаті такої строгості не спостерігається. Так що саме: знайти або уявити? Очевидно, що це абсолютно різні речі. Ось нижче наводиться рядок «свіжоспечених» трійок (отримані методом, описаних нижче):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Не викликає сумнівів, що кожну з цих трійок можна представити у вигляді співвідношення (2) і обчислити після цього значення l, m, n. Але, це вже після того, як всі значення трійок були знайдені. А як бути до того?

Не можна виключити того, що відповіді на ці питання давно відомі. Але їх чомусь знайти, поки не вдалося. Таким чином, метою цієї роботи є системний аналіз сукупності відомих прикладів піфагорових трійок, пошук системоутворюючих відносин в різних групах трійок і виявлення системних ознак характерних для цих груп і, потім - розробка простих ефективних алгоритміврозрахунку трійок з попередньо заданою конфігурацією. Під конфігурацією будемо розуміти відносини між величинами, які входять до складу трійки.

В якості інструментарію буде використаний математичний апарат на рівні, що не виходить за рамки математики, що викладається в середній школі, І системний аналіз на базі методів, викладених в.

побудова моделі

З позицій системного аналізу будь-яка Числа Піфагора є системою, утвореною об'єктами, якими є три числа і їх властивостями. Їх сукупність, в якій об'єкти поставлені в певні відносини і утворюють систему, що володіє новими властивостями, не властивими ні окремими об'єктами, ні будь-який інший їх сукупності, де об'єкти поставлені в інші відносини.

У рівнянні (1), об'єктами системи є натуральні числа, пов'язані простими алгебраїчними співвідношеннями: зліва від знака рівність стоїть сума двох чисел, зведених до рівня 2, праворуч - третє число, також зведена в ступінь 2. Окремо взяті числа, зліва від рівності, будучи зведені в ступінь 2, що не накладають жодних обмежень на операцію їх підсумовування - результуюча сума може бути якою завгодно. Але, знак рівності, поставлений після операції підсумовування, накладає на значення цієї суми системне обмеження: сума повинна бути таким числом, щоб результатом операції витягання кореня квадратного стало натуральне число. А ця умова виконується не для будь-яких чисел, підставляється в ліву частину рівності. Таким чином, знак рівності, поставлений між двома членами рівняння і третім, перетворює трійку членів в систему. Новим властивістю цієї системи є введення обмежень на значення вихідних чисел.

Виходячи з форми запису, Числа Піфагора може розглядатися як математична модель геометричної системи, що складається з трьох квадратів, пов'язаних між собою відносинами підсумовування і рівності, як це показано на рис. 1. Рис. 1 є графічною моделлю даної системи, а вироблений її моделлю є твердження:

Площа квадрата з довжиною сторони c може бути розділена без залишку на два квадрата з довжиною сторін a і b, таких, що сума їх площ дорівнює площі вихідного квадрата, тобто, все три величини a, b, і c, пов'язані співвідношенням

Графічна модель розкладання квадрата

В рамках канонів системного аналізу відомо, що якщо математична модель адекватно відображає властивості якоїсь геометричної системи, то аналіз властивостей самої цієї системи дозволяє уточнити властивості її математичної моделі, глибше їх пізнати, уточнити, і, при необхідності, вдосконалити. Цього шляху ми і будемо дотримуватися.

Уточнимо, що згідно з принципами системного аналізу операції додавання і віднімання можуть проводитися тільки над складовими об'єктами, тобто, об'єктами, складеними із сукупності елементарних об'єктів. Тому, будемо сприймати будь-який квадрат, як фігуру, складену з сукупності елементарних, або одиничних квадратів. Тоді умова отримання рішення в натуральних числах еквівалентно прийняття умови, що одиничний квадрат неподільний.

Одиничним квадратом називатимемо квадрат, у якого довжина кожної зі сторін дорівнює одиниці. Тобто, при площа одиничного квадрата визначає такий вираз.

Кількісним параметром квадрата є його площа, яка визначається кількістю одиничних квадратів, які можна розмістити на даній площі. Для квадрата з довільним значенням x, вираз x2 визначає величину площі квадрата, утвореного відрізками довжиною в x одиничних відрізків. На площі цього квадрата можуть бути розміщені x2 одиничних квадратів.

Наведені визначення можуть бути сприйняті як тривіальні й очевидні, але це не так. Д.Н. Аносов визначає поняття площа по-іншому: - «... площа фігури дорівнює сумі площ її частин. Чому ми впевнені, що це так? ... Ми уявляємо собі фігуру зробленої з якогось однорідного матеріалу, тоді її площа пропорційна кількості міститься в ній речовини - її масі. Далі мається на увазі, що коли ми поділяємо тіло на кілька частин, сума їх мас дорівнює масі вихідного тіла. Це зрозуміло, тому що все складається з атомів і молекул, і раз їх число не змінилося, то не змінилася і їх сумарна маса ... Адже, власне, маса шматка однорідного матеріалу пропорційна його об'єму; значить, треба знати, що обсяг «листа», що має форму даної фігури, пропорційний її площі. Словом, ... що площа фігури дорівнює сумі площ її частин, в геометрії треба це доводити. ... У підручнику Кисельова існування площі, що має те саме властивість, яке ми зараз обговорюємо, чесно постулировалось як якесь припущення, причому йшлося про те, що це насправді вірно, але ми цього доводити не будемо. Так що і теорема Піфагора, якщо її доводити з площами, в чисто логічному відношенні залишиться не зовсім доведеною ».

Нам видається, що введені вище визначення одиничного квадрата знімають зазначену Д.Н. Аносова невизначеність. Адже якщо величина площі квадрата і прямокутника визначається сумою заповнюють їх одиничних квадратів, то при розбитті прямокутника на довільні, прилягають один до одного частини площа прямокутника природно дорівнює сумі всіх його частин.

Більш того, введені визначення знімають невизначеність використання понять «розділити» і «скласти» стосовно до абстрактних геометричних фігур. Дійсно, що означає розділити прямокутник або будь-яку іншу плоску фігуруна шматки? Якщо це аркуш паперу, то його можна розрізати ножицями. Якщо земельна ділянка - поставити паркан. Кімнату - поставити перегородку. А якщо це намальований квадрат? Провести розділову лінію і заявити, що квадрат розділений? Але, адже говорив Д.І. Менделєєв: «... Заявити можна все, а ти - піди, демонструй!»

А при використанні запропонованих визначень «Розділити фігуру» означає розділити кількість заповнюють цю фігуру одиничних квадратів на дві (або більше) частин. Кількість одиничних квадратів в кожній з таких частин визначає її площа. Конфігурацію цих частин можна надавати довільну, але при цьому сума їх площ завжди буде дорівнює площі вихідної фігури. Можливо, фахівці-математики вважатимуть ці міркування некоректними, тоді приймемо їх за допущення. Якщо вже в підручнику Кисельова прийнятні такі припущення, то і нам подібним прийомом гріх не скористатися.

Першим етапом системного аналізу є виявлення проблемної ситуації. На початку цього етапу було переглянуто кілька сот піфагорових трійок, знайдених в різних джерелах. При цьому увагу привернуло те обставина, що всю сукупність піфагорових трійок, що згадуються в публікаціях, можна розділити на кілька груп, що розрізняються по конфігурації. Ознакою специфічною конфігурації будемо вважати різницю довжин сторін вихідного і від'ємника квадратів, тобто, величину c-b. Наприклад, в публікаціях досить часто як приклад демонструються трійки, що задовольняють умові c-b = 1. Приймемо, що вся сукупність таких піфагорових трійок утворює безліч, яке будемо називати «Клас c-1», і проведемо аналіз властивостей цього класу.

Розглянемо три квадрата, представлені на малюнку, де c - довжина сторони зменшуваного квадрата, b - довжина сторони від'ємника квадрата і a - довжина сторони квадрата, утвореного із їх різниці. На рис. 1 видно, що при відніманні з площі зменшуваного квадрата площі від'ємника квадрата в залишку залишаються дві смуги одиничних квадратів:

Для того щоб з цього залишку можна було утворити квадрат, необхідно виконання умови

Ці співвідношення дозволяють визначити значення всіх членів трійки по єдиному заданому числу c. Найменшим числом c, що задовольняє співвідношенню (6), є число c = 5. Отже, були визначені довжини всіх трьох сторінквадратів, які відповідають співвідношенню (1). Нагадаємо, що значення b боку середнього квадрата

було вибрано, коли ми вирішили утворити середній квадрат шляхом зменшення боку вихідного квадрата на одиницю. Тоді з співвідношень (5), (6). (7) отримуємо наступне співвідношення:

з якого випливає, що вибране значення c = 5 однозначно задає значення b = 4, a = 3.

У підсумку, отримані співвідношення, що дозволяють уявити будь-яку пифагорову трійку класу «c - 1» в такому вигляді, де значення все трьох членів визначаються по одному задається параметром - значенням c:

Додамо, що число 5 в наведеному вище прикладі з'явилося як мінімальне з усіх можливих значень c, при яких рівняння (6) має рішення в натуральних числах. Наступне число, що володіє таким же властивістю, це 13, потім 25, далі 41, 61, 85 і т. Д. Як видно, в цьому ряду чисел інтервали між сусідніми числами інтенсивно зростають. Так, наприклад, після допустимого значення, наступне допустиме значення, а після, наступне допустиме значення, тобто, допустиме значення відстоїть від попереднього більш ніж на п'ятдесят мільйонів!

Тепер зрозуміло, звідки з'явилася ця фраза в книзі: - «У міру того, як числа зростають, піфагорові трійки зустрічаються все рідше, і знаходити їх стає все важче і важче ...». Однак це твердження не є вірним. Варто тільки поглянути на піфагорові трійки, що відповідають наведеним вище парам сусідніх значень c, як відразу кидається в очі одна особливість - в обох парах, в яких значення c рознесені на настільки великі інтервали, значення a виявляються сусідніми непарними числами. Дійсно, для першої пари маємо

і для другої пари

Так що «все рідше зустрічаються" не самі трійки, а інтервали між сусідніми значеннями c збільшуються. Самі ж піфагорові трійки, як це буде показано нижче, існують для будь-якого натурального числа.

Тепер розглянемо, трійки наступного класу - «Клас c-2». Як видно з рис. 1, при відніманні з квадрата зі стороною c квадрата зі стороною (c - 2), утворюється залишок у вигляді суми двох одиничних смуг. Величина цієї суми визначається рівнянням:

З рівняння (10) отримуємо співвідношення, що визначає будь-яку з нескінченної кількості трійок клас «c-2»:

Умовою існування рішення рівняння (11) в натуральних числах є будь-який такого значення c, при якому a є натуральним числом. Мінімальне значення c, при якому рішення існує, становить c = 5. Тоді «стартова» трійка для цього класу трійок визначається набором a = 4, b = 3, c = 5. Тобто, знову, утворюється класична трійка 3, 4, 5 , тільки тепер площа від'ємника квадрата менше площі залишку.

І нарешті, проведемо аналіз трійок класу «з-8». Для цього класу трійок при відніманні площі квадрата з площі с2 вихідного квадрата, отримуємо:

Тоді, з рівняння (12) випливає:

Мінімальне значення c, при якому рішення існує: це c = 13. піфагорова трійка при цьому значенні набуде вигляду 12, 5, 13. В цьому випадку знову площа від'ємника квадрата менше площі залишку. А переставивши позначення місцями, отримаємо трійку 5, 12, 13, яка по своїй конфігурації відноситься до класу «c - 1». Схоже, що подальший аналіз інших можливих конфігурацій нічого принципово нового не відкриє.

Висновок розрахункових співвідношень

У попередньому розділі логіка аналізу розвивалася відповідно до вимог системного аналізу по чотирьом з п'яти основних його етапів: аналіз проблемної ситуації, формування цілей, формування функцій і формування структури. Тепер пора переходити до заключного, п'ятого етапу - перевірка можливості бути реалізованим, тобто, перевірка того, якою мірою поставлені цілі досягнуті. .

Нижче показана табл. 1, в якій наведені значення піфагорових трійок, що відносяться до класу «c - 1». Більшість трійок зустрічаються в різних публікаціях, але трійки для значень a, рівних 999 1001 в відомих публікаціях не зустрічалися.

Таблиця 1

Піфагорові трійки класу «з-1»

Можна перевірити, що все трійки задовольняють співвідношенню (3). Таким чином, одна з поставлених цілей досягнуто. Отримані в попередньому розділі співвідношення (9), (11), (13) дозволяють формувати безліч трійок, задаючи єдиний параметр c - сторону зменшуваного квадрата. Це, звичайно, більш конструктивний варіант, ніж співвідношення (2), для використання якого слід задати довільно три числа l, m, n, що мають будь-яке значення, потім шукати рішення, знаючи тільки, що в підсумку, неодмінно буде отримана Числа Піфагора, а яка - заздалегідь невідомо. У нашому випадку заздалегідь відома конфігурація формується трійки і потрібно ставити тільки один параметр. Зате, на жаль, не для кожного значення цього параметра рішення існує. І треба заздалегідь знати його допустимі значення. Так що отриманий результат хороший, але, далекий від ідеалу. Бажано отримати таке рішення, щоб піфагорові трійки можна було обчислювати для будь-якого довільно заданого натурального числа. З цією метою повернемося до четвертого етапу - формування структури отриманих математичних співвідношень.

Оскільки вибір величини c в якості базового параметра для визначення інших членів трійки виявився незручним, слід випробувати інший варіант. Як видно з табл. 1, вибір параметра a в якості базового представляється кращим, оскільки значення цього параметра йдуть підряд в ряду непарних натуральних чисел. Після нескладних перетворень приводимо співвідношення (9) до більш конструктивного виду:

Співвідношення (14) дозволяють знайти пифагорову трійку для будь-якого наперед заданого непарного значення a. При цей простота вираження для b дозволяє робити обчислення навіть без калькулятора. Дійсно, вибравши, наприклад, число 13, отримуємо:

А для числа 99 відповідно отримуємо:

Співвідношення (15) дозволяють отримувати значення всіх трьох членів Піфагора Трокі для будь-якого заданого n, починаючи з n = 1.

Тепер розглянемо піфагорові трійки класу «c - 2». У табл. 2 наведені для прикладу десять таких трійок. Причому, в відомих публікаціях були знайдені тільки три пари трійок - 8, 15, 23; 12, 35, 36; і 16, 63, 65. Цього виявилося достатньо, щоб визначити закономірності, за якими вони формуються. Решта сім були знайдені з виведених раніше співвідношень (11). Для зручності обчислення ці співвідношення були перетворені так, щоб всі параметри виражалися через величину a. З (11) з очевидність випливає, що всі трійки для класу «c - 2» задовольняють наступним співвідношенням:

Таблиця 2

Піфагорові трійки класу «з-2»

Як видно з табл. 2, все безліч трійок класу «c - 2» можна розділити на два підкласу. Для трійок, у яких значення a ділиться на 4 без залишку, значення b і c - непарні. Такі трійки, у яких НСД = 1, називають примітивними. Для трійок, у яких значення a не ділиться на 4 в цілих числах, все три члена трійки a, b, c - парні.

Тепер перейдемо до розгляду результатів аналізу третього з виділених класів - класу «c - 8». Розрахункові співвідношення для цього класу, отримані з (13), мають вигляд:

Співвідношення (20), (21) по суті, ідентичні. Різниця тільки в виборі послідовності дій. Або, відповідно до (20) вибирається бажане значення a (в даному випадку потрібно, щоб це значення поділялося на 4), потім, визначаються величини b і c. Або, вибирається довільне число, і потім, з співвідношень (21) визначаються всі три члена Піфагора трійки. У табл. 3 наведено ряд піфагорових трійок, обчислених зазначеним способом. Однак, обчислювати значення піфагорових трійок можна ще простіше. Якщо відомо хоч одне значення, то всі наступні значення визначаються дуже просто по наступних співвідношеннях:

Таблиця 3

Справедливість співвідношення (22) для всіх може бути перевірена як по трійках з табл. 2, так і за іншими джерелами. Як приклад, в табл. 4 курсивом виділено трійки з великої таблиці піфагорових трійок (10000 трійок), обчислених на основі комп'ютерної програмипо співвідношенню (2) і жирним шрифтом - трійки, обчислені по співвідношення (20). Ці значення в зазначеній таблиці були відсутні.

Таблиця 4

Піфагорові трійки класу «з-8»

Відповідно, для трійок вигляду можуть використовуватися співвідношення:

І для трійок вигляду<>, Маємо співвідношення:

Слід підкреслити, що розглянуті вище класи трійок «c - 1», «з - 2», «з - 8» становлять понад 90% серед першої тисячі трійок, з таблиці наведеної в. Це дає підстави сприймати зазначені класи як базові. Додамо, що при виведенні співвідношень (22), (23), (24) не використовувалися будь-які спеціальні властивості чисел, що вивчаються в теорії чисел (прості, взаємно прості і ін.). Виявлені закономірності формування піфагорових трійок обумовлені тільки системними властивостями описуваних цими трійками геометричних фігур - квадратів, що складаються з сукупності одиничних квадратів.

висновок

Тепер, як сказав Ендрю Уайлс в 1993 р .: «Думаю, мені слід на цьому зупинитися». Поставлена ​​мета повністю досягнута. Показано, що аналіз властивостей математичних моделей, структура яких пов'язана з геометричними фігурами, істотно спрощується, якщо в процесі аналізу поряд з чисто математичними викладками враховуються і геометричні властивостідосліджуваних моделей. Спрощення досягається, зокрема за рахунок того, що дослідник «бачить» шукані результати, не проводячи математичних перетворень.

Наприклад, рівність

стає очевидним без перетворень в лівій його частині, варто лише поглянути на рис. 1, де наведено графічна модель цієї рівності.

У підсумку, на основі проведеного аналізу показано, що для будь-якого квадрата зі стороною можуть бути знайдені квадрати зі сторонами b і c, такі, що для них виконується рівність і отримані співвідношення, що забезпечують отримання результатів при мінімальному обсязі обчислень:

для непарних значень a,

і - для парних значень.

бібліографічна посилання

Безкровний І.М. СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ ВЛАСТИВОСТЕЙ піфагорових трійок // Сучасні наукомісткі технології. - 2013. - № 11. - С. 135-142;
URL: http: // сайт / ru / article / view? Id = 33537 (дата звернення: 20.03.2020). Пропонуємо вашій увазі журнали, що видаються у видавництві «Академія природознавства»

Білотіла В.А. Піфагорові трійки і їх кількість // Енциклопедія Нестеровим

Ця стаття є відповіддю одному професору - Щипачов. Дивись, професор, як це у нас в селі роблять.

Нижегородська область, м Заволжя.

Потрібне знання алгоритму рішення діофантових рівнянь (арду) і знання прогресій многочленів.

ПЧ - просте число.

СЧ - складене число.

Нехай є число N непарне. Для будь-якого непарного числа, крім одиниці, можна скласти рівняння.

р 2 + N = q 2,

де р + q = N, q - р = 1.

Наприклад, для чисел 21 і 23 рівняннями будуть, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Якщо число N просте, дане рівняння єдине. Якщо число N складене, тоді можна скласти подібних рівнянь за кількістю пар співмножників представляють це число, включаючи 1 х N.

Візьмемо число N = 45, -

1 х 45 = 45, 3 х 15 = 45, 5 х 9 = 45.

Мріялося, а чи не можна вчепившись за це відмінність між ПЧ і СЧ знайти метод їх ідентифікації.

Введемо позначення;

Змінимо нижнє рівняння, -

N = в 2 - а 2 = (в - а) (в + а).

Згрупуємо величини N за ознакою в - а, тобто складемо таблицю.

Числа N були зведені в матрицю, -

Саме під цю задачу довелося розбиратися з прогресіями многочленів і їх матрицями. Все виявилося марно, - ПЧ оборону тримають потужно. Давайте в таблицю 1 введемо стовпець, де в - а = 1 (q - р = 1).

І ще раз. Таблиця 2 вийшла в слідстві спроби вирішення завдання про ідентифікацію ПЧ і СЧ. З таблиці випливає, що для будь-якого числа N, існує стільки рівнянь виду а 2 + N = в 2, на скільки пар співмножників можна розбити число N, включаючи співмножник 1 х N. Крім чисел N = ℓ 2, де

ℓ - ПЧ. Для N = ℓ 2, де ℓ - ПЧ, існує єдине рівняння р 2 + N = q 2. Про який додатковому підтвердженні може йти мова, якщо в таблиці перебрані менші множники з пар співмножників, що утворюють N, від одиниці до ∞. Таблицю 2 помістимо в скриньку, а скринька сховаємо в комірчині.

Повернемося до теми заявленої в назві статті.

Ця стаття є відповіддю одному професору - Щипачов.

Звернувся по допомогу, - був потрібний ряд чисел, який не міг знайти в інтернеті. Напоровся на запитання на кшталт, - "а за що?", "А покажи метод". Був зокрема завдань питання, нескінченний чи ряд піфагорових трійок, "а як довести?". Не допоміг він мені. Дивись, професор, як це у нас в селі роблять.

Візьмемо формулу піфагорових трійок, -

х 2 = у 2 + z 2. (1)

Припустимо через арду.

Можливі три ситуації:

I. х - непарне число,

у - парне число,

z - парне число.

І є умова х> у> z.

II. х - непарне число,

у - парне число,

z - непарне число.

х> z> у.

III.х - парне число,

у - непарне число,

z - непарне число.

х> у> z.

Почнемо по порядку з I.

Введемо нові змінні

Підставами в рівняння (1).

Скоротимо на меншу змінне 2γ.

(2α - 2γ + 2к + 1) 2 = (2β - 2γ + 2к) 2 + (2К + 1) 2.

Скоротимо на меншу змінне 2β - 2γ з одночасним введенням нового параметра ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к) 2 + (2К + 1) 2 (2)

Тоді, 2α - 2β = х - у - 1.

Рівняння (2) набуде вигляду, -

(Х - у + 2ƒ + 2к) 2 = (2ƒ + 2к) 2 + (2К + 1) 2

Зведено в квадрат, -

(Х - у) 2 + 2 (2ƒ + 2к) (х - у) + (2ƒ + 2к) 2 = (2ƒ + 2к) 2 + (2К + 1) 2,

(Х - у) 2 + 2 (2ƒ + 2к) (х - у) - (2К + 1) 2 = 0. (3)

Арду дає через параметри співвідношення між старшими членами рівняння, тому ми маємо рівняння (3).

Чи не солідно займатися підбором рішень. Але, по - перше, діватися нікуди, а по - друге, цих рішень потрібно кілька, а нескінченний ряд рішень ми зможемо відновити.

При ƒ = 1, к = 1, маємо х - у = 1.

При ƒ = 12, к = 16, маємо х - у = 9.

При ƒ = 4, к = 32, маємо х - у = 25.

Підбирати можна довго, але в кінцевому підсумку ряд набуде вигляду, -

х - у = 1, 9, 25, 49, 81, ....

Розглянемо варіант II.

Введемо в рівняння (1) нові змінні

(2α + 2к + 1) 2 = (2β + 2к) 2 + (2γ + 2к + 1) 2.

Скоротимо на меншу змінне 2 β, -

(2α - 2β + 2к + 1) 2 = (2α - 2β + 2к + 1) 2 + (2К) 2.

Скоротимо на меншу змінне 2α - 2β, -

(2α - 2γ + 2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к + 1) 2 + (2К) 2. (4)

2α - 2γ = х - z і підставимо в рівняння (4).

(Х - z + 2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к + 1) 2 + (2К) 2

(Х - z) 2 + 2 (2ƒ + 2к + 1) (х - z) + (2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к + 1) 2 + (2К) 2 (х - z) 2 + 2 (2ƒ + 2к + 1) (х - z) - (2К) 2 = 0

При ƒ = 3, к = 4, маємо х - z = 2.

При ƒ = 8, к = 14, маємо х - z = 8.

При ƒ = 3, к = 24, маємо х - z = 18.

х - z = 2, 8, 18, 32, 50, ....

Намалюємо трапецію, -

Напишемо формулу.

де n = 1, 2, ... ∞.

Випадок III розписувати не будемо, - немає там рішень.

Для умови II набір трійок буде таким:

Рівняння (1) представлено у вигляді х 2 = z 2 + у 2 для наочності.

Для умови I набір трійок буде таким:

В цілому розписано 9 стовпців трійок, по п'ять трійок в кожному. І кожен з представлених стовпців можна писати до ∞.

Як приклад розглянемо трійки останнього стовпчика, де х - у = 81.

Для величин х розпишемо трапецію, -

Напишемо формулу, -

Для величин у розпишемо трапецію, -

Напишемо формулу, -

Для величин z розпишемо трапецію, -

Напишемо формулу, -

Де n = 1 ÷ ∞.

Як і обіцяно, ряд трійок при х - у = 81 летить в ∞.

Була спроба для випадків I і II побудувати матриці для величин х, у, z.

Випишемо з останніх п'яти стовпців величини х з верхніх рядків і побудуємо трапецію.

Не вийшло, а закономірність повинна бути квадратичної. Щоб все було в ажурі, виявилося, що треба об'єднати стовпці I і II.

У разі II величини у, z знову поміняємо місцями.

Об'єднати вдалося з однієї причини, - карти добре лягли в цьому завданні, - пощастило.

Тепер можна розписати матриці для х, у, z.

Візьмемо з останніх п'яти стовпців величини х з верхніх рядків і побудуємо трапецію.

Все нормально, можна будувати матриці, і почнемо з матриці для z.

Бігом в комірчину за скринькою.

Разом: Крім одиниці, кожне непарне число числової осі бере участь в утворенні піфагорових трійок рівною кількості пар співмножників утворюють дане число N, включаючи співмножник 1 х N.

Число N = ℓ 2, де ℓ - ПЧ, утворює одну пифагорову трійку, якщо ℓ - СЧ, то на множники ℓхℓ трійки не існує.

Побудуємо матриці для величин х, у.

Почнемо працювати з матрицею для х. Для цього натягнемо на неї координатну сітку з завдання з ідентифікації ПЧ і СЧ.

Нумерація вертикальних рядів нормована виразом

Перший стовпець приберемо, тому що

Матриця набуде вигляду, -

Наведемо вертикальні ряди, -

Наведемо коефіцієнти при "а", -

Наведемо вільні члени, -

Складемо загальну формулу для "х", -

Якщо провести подібну роботу для "у", отримаємо, -

Можна підійти до цього результату і з іншого боку.

Візьмемо рівняння, -

а 2 + N = в 2.

Трохи перетворимо, -

N = в 2 - а 2.

Зведено в квадрат, -

N 2 = в 4 - 2в 2 а 2 + а 4.

До лівої і правої частини рівняння додамо за величиною 4в 2 а 2, -

N 2 + 4в 2 а 2 = в 4 + 2в 2 а 2 + а 4.

І остаточно, -

(В 2 + а 2) 2 = (2ва) 2 + N 2.

Піфагорові трійки складаються так:

Розглянемо приклад з числом N = 117.

1 х 117 = 117, 3 х 39 = 117, 9 х 13 = 117.

Вертикальні стовпці таблиці 2 пронумеровані величинами в - а, тоді як вертикальні стовпці таблиці 3 пронумеровані величинами х - у.

х - у = (в - а) 2,

х = у + (в - а) 2.

Складемо три рівняння.

(У + 1 2) 2 = у 2 + 117 2,

(У + 3 2) 2 = у 2 + 117 2,

(У + 9 2) 2 = у 2 + 117 2.

х 1 = 6845, у 1 = 6844, z 1 = 117.

х 2 = 765, у 2 = 756, z 2 = 117 (х 2 = 85, у 2 = 84, z 2 = 13).

х 3 = 125, у 3 = 44, z 3 = 117.

Співмножники 3 і 39 не є взаємно простими числами, тому одна трійка вийшла з коефіцієнтом 9.

Зобразимо вище написане в загальних символах, -

У даній роботі все, включаючи приклад на розрахунок піфагорових трійок з числом

N = 117, прив'язане до меншого співмножником в - а. Явна дискримінація по відношенню до співмножників в + а. Виправимо цю несправедливість, - складемо три рівняння з співмножником в + а.

Повернемося до питання про ідентифікацію ПЧ і СЧ.

Багато що було скоєно в цьому напрямку і на сьогоднішній день через руки дійшла така думка, - рівняння ідентифікації, та такого щоб і співмножники визначити, чи не існує.

Припустимо знайдено співвідношення F = а, в (N).

є формула

Можна позбутися у формулі F від в і вийде однорідне рівняння n - го ступеня щодо а, тобто F = а (N).

При будь-якого ступеня n даного рівняннязнайдеться число N має m пар співмножників, при m> n.

І як наслідок, однорідне рівняння n ступеня має мати m коренів.

Так бути такого не може.

У даній роботі числа N розглядалися для рівняння х 2 = у 2 + z 2, коли вони знаходяться в рівнянні на місці z. Коли N на місці х, - це вже інше завдання.

З повагою білотіла В.А.

«Обласний центр освіти»

методична розробка

Використання піфагорових трійок при вирішенні

геометричних задач і тригонометричних завдань ЄДІ

м Калуга, 2016

I. Вступ

Теорема Піфагора - одна з головних і, можна навіть сказати, найголовніша теорема геометрії. Значення її полягає в тому, що з неї або з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. Теорема Піфагора чудова ще й тим, що сама по собі вона зовсім не очевидна. Наприклад, властивості рівнобедреного трикутника можна бачити безпосередньо на кресленні. Але скільки не дивись на прямокутний трикутник, ніяк не побачиш, що між його сторонами є таке просте співвідношення: a2 +b2 =c2. Однак не Піфагор відкрив теорему, що носить його ім'я. Вона була відома ще раніше, але, можливо, тільки як факт, виведений з вимірів. Треба думати, Піфагор знав це, але знайшов доказ.

Існує безліч натуральних чисел a, b, c, Що задовольняють співвідношенню a2 +b2 =c2.. Вони називаються піфагорових числами. Згідно з теоремою Піфагора такі числа можуть служити довжинами сторін деякого прямокутного трикутника - будемо називати їх піфагорових трикутниками.

Мета роботи:вивчити можливість і ефективність застосування піфагорових трійок для вирішення завдань шкільного курсуматематики, завдань ЄДІ.

Виходячи з мети роботи, поставлені наступні завдання:

Вивчити історію і класифікацію піфагорових трійок. Проаналізувати завдання із застосуванням піфагорових трійок, наявні в шкільних підручниках і зустрічаються в контрольно-вимірювальних матеріалах ЄДІ. Оцінити ефективність застосування піфагорових трійок і їх властивостей для вирішення завдань.

Об'єкт дослідження: Піфагорові трійки чисел.

Предмет дослідження: Завдання шкільного курсу тригонометрії і геометрії, в яких використовуються піфагорові трійки.

Актуальність дослідження. Піфагорові трійки часто використовуються в геометрії і тригонометрії, знання їх позбавить від помилок в обчисленнях і економить час.

II. Основна частина. Рішення задач за допомогою піфагорових трійок.

2.1.Табліца трійок піфагорових чисел (по Перельману)

Піфагорові числа мають вигляд a= m · n,, Де m і n - деякі взаємно прості непарні числа.

Піфагорові числа мають ряд цікавих особливостей:

Один з «катетів» повинен бути кратним трьом.

Один з «катетів» повинен бути кратним чотирьом.

Одне з піфагорових чисел повинно бути кратним п'яти.

У книзі «Цікава алгебра» наводиться таблиця піфагорових трійок, що містять числа до ста, які не мають спільних множників.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Класифікація піфагорових трійок по Шустрова.

Шустрова була виявлена ​​така закономірність: якщо все піфагорові трикутники розподілити по групах, то для непарного катета x, парного y і гіпотенузи z справедливі такі формули:

х = (2N-1) · (2n + 2N-1); y = 2n · (n + 2N-1); z = 2n · (n + 2N-1) + (2N-1) 2, де N - номер сімейства і n - порядковий номер трикутника в сімействі.

Підставляючи в формулу в місце N і n будь-які цілі позитивні числа, починаючи з одиниці, можна отримати, всі основні піфагорові трійки чисел, а також кратні певного виду. Можна скласти таблицю всіх піфагорових трійок по кожному сімейству.

2.3. Завдання з планіметрії

Розглянемо завдання з різних підручників з геометрії і з'ясуємо, наскільки часто зустрічаються піфагорові трійки в цих завданнях. Тривіальні завдання на знаходження третього елемента по таблиці піфагорових трійок розглядати не будемо, хоча вони теж зустрічаються в підручниках. Покажемо, як звести рішення задачі, дані якої не виражені натуральними числами, до Числа Піфагора.

Розглянемо завдання з підручника з геометрії для 7-9 класу.

№ 000. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника по катетам а=, b=.

Рішення. Помножимо довжини катетів на 7, отримаємо два елементи з Піфагора трійки 3 і 4. Відсутній елемент 5, який ділимо на 7. Відповідь.

№ 000. У прямокутнику ABCD знайдіть BC, якщо CD = 1,5, AC = 2,5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif "width =" 240 "height =" 139 src = ">

Рішення. Вирішимо прямокутний трикутник АСD. Помножимо довжини на 2, отримаємо два елементи з Піфагора трійки 3 і 5, Відсутній елемент 4, який ділимо на 2. Відповідь: 2.

При вирішенні наступного номера перевіряти співвідношення a2 +b2 =c2зовсім необов'язково, достатньо скористатися піфагорових числами і їх властивостями.

№ 000. З'ясуйте, чи є трикутник прямокутним, якщо його сторони виражаються числами:

а) 6,8,10 (Числа Піфагора 3,4.5) - так;

Один з катетів прямокутного трикутника повинен ділитися на 4. Відповідь: ні.

в) 9,12,15 (Числа Піфагора 3,4.5) - так;

г) 10,24,26 (Числа Піфагора 5,12.13) - так;

Одне з піфагорових чисел повинно бути кратним п'яти. Відповідь: ні.

ж) 15, 20, 25 (Числа Піфагора 3,4.5) - так.

З тридцяти дев'яти завдань даного параграфа (теорема Піфагора) двадцять два вирішуються усно за допомогою піфагорових чисел і знання їх властивостей.

Розглянемо задачу № 000 (з розділу «Додаткові завдання»):

Знайдіть площу чотирикутника ABCD, в якому АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, D А = 15 см, АС = 12 см.

У задачі треба перевірити співвідношення a2 +b2 =c2і довести, що даний чотирикутник складається з двох прямокутних трикутників (зворотна теорема). А знання піфагорових трійок: 3, 4, 5 і 5, 12, 13, позбавляє від обчислень.

Наведемо вирішення декількох завдань з підручника з геометрії для 7-9 класу.

Завдання 156 (з). Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 і 40. Знайдіть медіану, проведену до гіпотенузи.

Рішення . Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині. Числа Піфагора 9,40 і 41. Отже, медіана дорівнює 20,5.

Завдання 156 (і). Бічні сторони трикутника рівні: а= 13 см, b = 20 см, а висота hс = 12 см. Знайдіть основу с.

завдання ( Кіми ЄДІ). Знайдіть радіус кола, вписаного в гострокутний трикутник АВС, якщо висота ВH равна12 і відомо, що sin А =,sin С = left ">

Рішення.Вирішуємо прямокутний Δ АСК: sin А =, ВH = 12, звідси АВ = 13, АК = 5 (піфагорова трійка 5,12,13). Вирішуємо прямокутний Δ ВСH: ВH = 12, sin З === https: //pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif "width =" 12 "height =" 13 "> 3 = 9 (піфагорова трійка 3,4,5). Радіус знаходимо за формулою r === 4. Ответ.4.

2.4. Піфагорові трійки в тригонометрії

Основне тригонометричну тотожність- окремий випадок теореми Піфагора: sin2a + cos2a = 1; (A / c) 2 + (b / c) 2 = 1. Тому деякі тригонометричні завдання легко вирішуються усно за допомогою Піфагорові трійок.

Завдання, в яких потрібно по заданому значенню функції знайти значення інших тригонометричних функцій, Можна вирішити без зведення в квадрат і витягання квадратного кореня. Всі завдання цього типу в шкільному підручнику алгебри (10-11) Мордкович (№ 000-№ 000) можна вирішити усно, знаючи лише кілька піфагорових трійок: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Розглянемо рішення двох завдань.

№ 000 а). sin t = 4/5, π / 2< t < π.

Рішення. Числа Піфагора: 3, 4, 5. Отже, cos t = -3/5; tg t = -4/3,

№ 000 б). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Рішення. tg t = 2,4 = 24/10 = 12/5. Числа Піфагора 5,12,13. З огляду на знаки, отримуємо sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Контрольно-вимірювальні матеріали ЄДІ

а) cos (arcsin 3/5) = 4/5 (3, 4, 5)

б) sin (arccos 5/13) = 12/13 (5, 12, 13)

в) tg (arcsin 0,6) = 0,75 (6, 8, 10)

г) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

д) 4/3 tg (π-arcsin (-3/5)) = 4/3 tg (π + arcsin 3/5) = 4/3 tg arcsin 3/5 = 4/3 · 3/4 = 1

е) перевірте вірність рівності:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π / 2.

Рішення. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π / 2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π / 2 - arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arсcos 16/65)

sin (arcsin 4/5) · cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) · sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 · 12/13 + 3/5 · 5/13 = 63/65

III. висновок

В геометричних задачахчасто доводиться вирішувати прямокутні трикутники, Іноді кілька разів. Проаналізувавши завдання шкільних підручниківі матеріалів ЄДІ, Можна зробити висновок, що в основному використовуються трійки: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; які легко запам'ятати. При вирішенні деяких тригонометричних завдань класичне рішенняза допомогою тригонометричних формулі великою кількістю обчислень займає час, а знання піфагорових трійок позбавить від помилок в обчисленнях і заощадить час для вирішення більш складних завдань на ЄДІ.

бібліографічний список

1. Алгебра і початки аналізу. 10-11 класи. У 2 ч. Ч. 2. Задачник для загальноосвітніх установ/ [ та ін.]; під ред. . - 8-е изд., Стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 315 с. : Ил.

2. Перельман алгебра. - Д .: ВАП, 1994. - 200 с.

3. Рогановскій: Учеб. Для 7-9 кл. з поглиблений. вивченням математики загаль. шк. з рос. яз. навчання, - 3-тє вид. - Мн .; Нар. Асвета, 2000. - 574 с .: іл.

4. Математика: Хрестоматія з історії, методології, дидактиці. / Упоряд. . - М .: Изд-во УРАО, 2001. - 384 с.

5. Журнал «Математика в школі» №1, 1965 рік.

6. Контрольно-вимірювальні матеріали ЄДІ.

7. Геометрія, 7-9: Учеб. для загальноосвітніх установ /, та ін. - 13-е изд .. - М.: Просвещение, 2003. - 384 с. : Ил.

8. Геометрія: Учеб. для 10-11 кл. середовищ. шк. /, та ін. - 2-е вид. - М .: Просвещение, 1993, - 207 с .: іл.

Перельман алгебра. - Д .: ВАП, 1994. - 200 с.

Журнал «Математика в школі» №1, 1965 рік.

Геометрія, 7-9: Учеб. для загальноосвітніх установ /, та ін. - 13-е изд .. - М.: Просвещение, 2003. - 384 с. : Ил.

Рогановскій: Учеб. Для 7-9 кл. з поглиблений. вивченням математики загаль. шк. з рос. яз. навчання, - 3-тє вид. - Мн .; Нар. Асвета, 2000. - 574 с .: іл.

Алгебра і початки аналізу. 10-11 класи. У 2 ч. Ч. 2. Задачник для загальноосвітніх установ / [и др.]; під ред. . - 8-е изд., Стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 315 с. : Ил., Стор.18.

властивості

оскільки рівняння x 2 + y 2 = z 2 однорідно, при домноженіі x , yі zна одне і те ж число вийде інша Числа Піфагора. Числа Піфагора називається примітивної, Якщо вона не може бути отримана таким способом, тобто - взаємно прості числа.

приклади

Деякі піфагорові трійки (відсортовані по зростанню максимального числа, виділені примітивні):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Грунтуючись на властивостях чисел Фібоначчі, можна скласти з них, наприклад, такі піфагорові трійки:

.

Історія

Піфагорові трійки відомі дуже давно. В архітектурі древнемесопотамского надгробків зустрічається рівнобедрений трикутник, Складений з двох прямокутних зі сторонами 9, 12 і 15 ліктів. Піраміди фараона Снофру (XXVII століття до н. Е.) Побудовані з використанням трикутників зі сторонами 20, 21 і 29, а також 18, 24 і 30 десятків єгипетських ліктів.

Див. також

посилання

• Е. А. ГорінСтупеня простих чисел в складі піфагорових трійок // математичне просвітництво. - 2008. - В. 12. - С. 105-125.

Wikimedia Foundation. 2010 року.

Дивитися що таке "Піфагорови числа" в інших словниках:

Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5 ... Великий Енциклопедичний словник

Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, наприклад трійка чисел: 3, 4, 5. * * * піфагорових ЧИСЛА піфагорових ЧИСЛА, трійки таких натуральних чисел, що ... ... енциклопедичний словник

Трійки натуральних чисел таких, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним. По теоремі, зворотної теоремі Піфагора (див. Піфагора теорема), для цього досить, щоб вони ... ...

Трійки цілих позитивних чисел х, у, z, що задовольняють рівняння x2 + у 2 = z2. Всі рішення цього рівняння, а отже, і все П. ч. Виражаються формулами х = а 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2, де а, b довільні цілі позитивні числа (а> b). П. ч ... математична енциклопедія

Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін до якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5 ... Природознавство. енциклопедичний словник

В математиці піфагорових числами (Піфагора трійкою) називається кортеж з трьох цілих чисел задовольняють співвідношенню Піфагора: x2 + y2 = z2. Зміст 1 Властивості 2 Приклади ... Вікіпедія

Фігурні числа загальна назва чисел, пов'язаних з тією чи іншою геометричною фігурою. це історичне поняттясходить до піфагорійцям. Імовірно від фігурних чисел виникло вираз: «Звести число в квадрат або в куб». Зміст ... ... Вікіпедія

Фігурні числа загальна назва чисел, пов'язаних з тією чи іншою геометричною фігурою. Це історичне поняття сходить до піфагорійцям. Розрізняють такі види фігурних чисел: Лінійні числа числа, які не розкладаються на множники, тобто їх ... ... Вікіпедія

- «Парадокс числа пі» жарт на тему математики, що мала ходіння в середовищі студентів до 80 х років (фактично, до масового поширення мікрокалькуляторів) і була пов'язана з обмеженою точністю обчислень тригонометричних функцій і ... ... Вікіпедія

- (грец. Arithmetika, від arithmys число) наука про числа, в першу чергу про натуральні (цілих позитивних) числах і (раціональних) дробах, і діях над ними. Володіння досить розвиненим поняттям натурального числа і вміння ... ... Велика Радянська Енциклопедія

книги

• Архимедова літо, або Історія співдружності юних математиків. Двійкова система числення, Бобров Сергій Павлович. Двійкова система числення, "Ханойська вежа", хід коня, магічні квадрати, арифметичний трикутник, фігурні числа, поєднання, поняття про можливості, стрічка Мебіуса і пляшка Клейна. ...