Як знайти приватні похідні функції двох змінних? Рішення похідної для чайників: визначення, як знайти приклади рішень. - Власне заміна змінної

Загальний принцип знаходження приватних похідних порядку другого порядку функції трьох змінних аналогічний принципу знаходження приватних похідних 2-го порядку двох змінних.

Для того, щоб знайти приватні похідні другого порядку, необхідно спочатку знайти приватні похідні першого порядку або в іншому записі:

Приватні похідні другого порядку дев'ять штук.

Перша група - це другі похідні за тими ж змінними:

Або – друга похідна з «ікс»;

Або – друга похідна за «ігроком»;

Або - друга похідна по "зет".

Друга група – це змішаніприватні похідні 2-го порядку, їх шість:

Або - змішанапохідна «по ікс ігрек»;

Або - змішанапохідна «за ігроками ікс»;

Або - змішанапохідна «по ікс зет»;

Або - змішанапохідна «позит ікс»;

Або - змішанапохідна «за ігроком»;

Або - змішанапохідна «позіт ігор».

Як і для випадку функції двох змінних, при вирішенні завдань можна орієнтуватися на такі рівні змішаних похідних другого порядку:

Примітка: строго кажучи, це завжди так. Для рівності змішаних похідних необхідне виконання вимог їх безперервності.

Про всяк випадок кілька прикладів, як правильно читати це неподобство вголос:

– «у два штрихи двічі по ігрек»;

– «де два у по дезет квадрат»;

– «у два штрихи по ікс по зет»;

- «Де два у по дезет по де ігрок».

Приклад 10

Знайти всі приватні похідні першого та другого порядку для функції трьох змінних:

.

Рішення:Спочатку знайдемо приватні похідні першого порядку:

Беремо знайдену похідну

і диференціюємо її за «ігроком»:

Беремо знайдену похідну

і диференціюємо її по «ікс»:

Рівність виконано. Добре.

Розбираємось з другою парою змішаних похідних.

Беремо знайдену похідну

і диференціюємо її по «зет»:

Беремо знайдену похідну

і диференціюємо її по «ікс»:

Рівність виконано. Добре.

Аналогічно розуміємося на третій парі змішаних похідних:

Рівність виконано. Добре.

Після виконаних праць гарантовано можна стверджувати, що, по-перше, ми правильно знайшли всі приватні похідні 1-го порядку, по-друге, правильно знайшли і змішані приватні похідні 2-го порядку.

Залишилося знайти ще три приватні похідні другого порядку, ось тут уже, щоб уникнути помилок, слід максимально сконцентрувати увагу:

Готово. Повторюся, завдання не так складне, як об'ємне. Рішення можна скоротити і послатися на рівності змішаних похідних приватних, але в цьому випадку не буде перевірки. Тому краще витратити час та знайти Усепохідні (до того ж це може вимагати викладач), або, у крайньому випадку, виконати перевірку на чернетці.

Приклад 11

Знайти всі приватні похідні першого та другого порядку для функції трьох змінних

.

Це приклад самостійного рішення.

Рішення та відповіді:

Приклад 2:Рішення:

Приклад 4:Рішення: Знайдемо приватні похідні першого порядку.

Складемо повний диференціал першого порядку:

Приклад 6:Рішення: M(1, -1, 0):

Приклад 7:Рішення: Обчислимо приватні похідні першого порядку у точціM(1, 1, 1):

Приклад 9:Рішення:

Приклад 11:Рішення: Знайдемо приватні похідні першого порядку:

Знайдемо приватні похідні другого порядку:

.

Інтеграли

8.1. Невизначений інтеграл. Докладні приклади рішень

Почнемо вивчення теми « Невизначений інтеграл», і навіть докладно розберемо приклади рішень найпростіших (і зовсім) інтегралів. Як завжди, ми обмежимося мінімумом теорії, яка є у численних підручниках, наше завдання – навчитися вирішувати інтеграли.

Що потрібно знати для успішного освоєння матеріалу? Для того, щоб впоратися з інтегральним обчисленням, Вам необхідно вміти знаходити похідні щонайменше на середньому рівні. Чи не зайвим досвідом буде, якщо у Вас за плечима кілька десятків, а краще – сотня самостійно знайдених похідних. Принаймні, Вас не повинні ставити в глухий кут завдання на диференціювання найпростіших і найпоширеніших функцій.

Здавалося б, причому тут взагалі похідні, якщо мова у статті піде про інтеграли?! А справа ось у чому. Справа в тому, що знаходження похідних і знаходження невизначених інтегралів (диференціювання та інтегрування) – це дві взаємно зворотні дії, як, наприклад, складання/віднімання або множення/розподіл. Таким чином, без навички і будь-якого досвіду знаходження похідних, на жаль, далі не просунутися.

У цьому нам знадобляться такі методичні матеріали: Таблиця похіднихі Таблиця інтегралів.

У чому складність вивчення невизначених інтегралів? Якщо похідних мають місце суворо 5 правил диференціювання, таблиця похідних і досить чіткий алгоритм дій, то інтегралах все інакше. Існують десятки способів та прийомів інтегрування. І, якщо спосіб інтегрування спочатку підібраний невірно (тобто. Ви не знаєте, як вирішувати), то інтеграл можна «колоти» буквально цілодобово, як справжнісінький ребус, намагаючись помітити різні прийоми і хитрощі. Декому навіть подобається.

Між іншим, нам досить часто доводилося чути від студентів (не гуманітарних спеціальностей) думку на кшталт: «У мене ніколи не було інтересу вирішити межу чи похідну, але ось інтеграли – зовсім інша справа, це цікаво, завжди є бажання «зламати» складний інтеграл» . Стоп. Вистачить чорного гумору, переходимо до цих невизначених інтегралів.

Якщо методів рішення існує багато, то з чого почати вивчення невизначених інтегралів чайнику? В інтегральному численні існують, на наш погляд, три стовпи або своєрідна «вісь», навколо якої обертається решта. Насамперед слід добре розібратися у найпростіших інтегралах (ця стаття).

Потім потрібно детально опрацювати урок. ЦЕ ВАЖЛИВИЙ ПРИЙОМ! Можливо, навіть найважливіша стаття з усіх статей, присвячених інтегралам. І, по-третє, обов'язково слід ознайомитися з методом інтегрування частинами, оскільки з допомогою нього інтегрується великий клас функций. Якщо Ви опануєте хоча б ці три уроки, то вже не два. Вам можуть «вибачити» незнання інтегралів від тригонометричних функцій, інтегралів від дробів, інтегралів від дрібно-раціональних функцій, інтегралів від ірраціональних функцій (коренів)Але якщо «сісти в калюжу» на методі заміни або методі інтегрування частинами – то це буде дуже і дуже погано.

Отже, починаємо із простого. Погляньмо на таблицю інтегралів. Як і похідних, ми помічаємо кілька правил інтегрування та таблицю інтегралів від деяких елементарних функцій. Будь-який табличний інтеграл (та й взагалі будь-який невизначений інтеграл) має вигляд:

Відразу розуміємося на позначеннях і термінах:

- Значок інтеграла.

- Підінтегральна функція (пишається з літерою "и").

- Диференціал значок. Що це таке, ми розглянемо дуже скоро. Головне, що при записі інтеграла і в ході рішення важливо не втрачати значок. Помітний недолік буде.

- Підінтегральний вираз або "начинка" інтеграла.

– первіснафункція.

– . Не потрібно сильно завантажуватися термінами, тут найважливіше, що у будь-якому невизначеному інтегралі до відповіді приплюсовується константа .

Вирішити невизначений інтеграл – це означає знайтибезліч первісних функційвід цієї підінтегральної функції

Ще раз подивимося на запис:

Подивимося на таблицю інтегралів.

Що відбувається? Ліві частини у нас перетворюютьсядо інших функцій: .

Спростимо наше визначення:

Вирішити невизначений інтеграл - Це означає перетворити його на невизначену (з точністю до константи) функцію , користуючись деякими правилами, прийомами та таблицею.

Візьмемо, наприклад, табличний інтеграл . Що сталося? Символічний запис перетворився на безліч першорядних функцій.

Як і у випадку з похідними, для того щоб навчитися знаходити інтеграли, не обов'язково бути в курсі, що таке інтеграл, або першорядна функція з теоретичної точки зору. Достатньо просто здійснювати перетворення за деякими формальними правилами. Так, у випадку зовсім не обов'язково розуміти, чому інтеграл перетворюється саме на . Можна прийняти цю та інші формули як даність. Всі користуються електрикою, але мало хто замислюється, як там по дротах бігають електрони.

Так як диференціювання та інтегрування - протилежні операції, то для будь-якої первісної, яка знайдена правильно, справедливо наступне:

Іншими словами, якщо продиференціювати правильну відповідь, то обов'язково має вийти вихідна підінтегральна функція.

Повернемося до того ж табличного інтегралу .

Переконаємося у справедливості цієї формули. Беремо похідну від правої частини:

- Це вихідна підінтегральна функція.

Ось, до речі, стало зрозуміліше, чому до функції завжди приписується константа. При диференціюванні константа завжди перетворюється на нуль.

Вирішити невизначений інтеграл– це означає знайти безліч всіхпервісних, а не якусь одну функцію. У табличному прикладі , , , і т. д. - всі ці функції є рішенням інтеграла . Рішень нескінченно багато, тому записують коротко:

Таким чином будь-який невизначений інтеграл досить легко перевірити. Це деяка компенсація за велику кількість інтегралів різних видів.

Переходимо до розгляду конкретних прикладів. Почнемо, як і щодо похідної, з двох правил інтегрування:

- Константу Cможна (і треба) винести за знак інтегралу.

- Інтеграл суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) двох інтегралів. Це правило справедливе для будь-якої кількості доданків.

Як бачите, правила, в принципі, такі самі, як і для похідних. Іноді їх називають властивостями лінійностіінтеграл.

Приклад 1

Знайти невизначений інтеграл.

Виконати перевірку.

Рішення:Найзручніше перетворити його, як.

(1) Застосовуємо правило . На забуваємо записати значок диференціала dxпід кожним інтегралом. Чому під кожним? dx- Це повноцінний множник.Якщо розписувати детально, перший крок слід записати так:

.

(2) Відповідно до правила виносимо всі константи за знаки інтегралів. Зверніть увагу, що в останньому доданку tg 5 – це константа, її також виносимо.

Крім того, на цьому кроці готуємо коріння та ступеня для інтегрування. Так само, як і при диференціюванні, коріння треба подати у вигляді . Коріння та ступеня, які розташовуються у знаменнику – перенести вгору.

Примітка:на відміну від похідних, коріння в інтегралах далеко не завжди слід приводити до вигляду а ступеня переносити вгору.

Наприклад, – це готовий табличний інтеграл, який уже порахували до Вас, і всякі китайські хитрощі на кшталт зовсім не потрібні. Аналогічно: - Це теж табличний інтеграл, немає ніякого сенсу представляти дріб у вигляді . Уважно вивчіть таблицю!

(3) Усі інтеграли у нас табличні. Здійснюємо перетворення за допомогою таблиці, використовуючи формули: , і

для статечної функції - .

Слід зазначити, що табличний інтеграл – це окремий випадок формули для статечної функції: .

Константу C достатньо приплюсувати один раз наприкінці виразу

(а не ставити їх після кожного інтегралу).

(4) Записуємо отриманий результат у більш компактному вигляді, коли всі ступені виду

знову представляємо у вигляді коріння, а ступеня з негативним показником скидаємо назад у знаменник.

Перевірка. Для того щоб виконати перевірку, потрібно продиференціювати отриману відповідь:

Отримано вихідну підінтегральна функція, Т. е. Інтеграл знайдено правильно. Від чого танцювали, до того й повернулися. Добре, коли історія з інтегралом закінчується саме так.

Іноді трапляється трохи інший підхід до перевірки невизначеного інтеграла, коли від відповіді береться не похідна, а диференціал:

.

У результаті отримуємо не підінтегральну функцію, а підінтегральний вираз.

Не варто лякатися поняття диференціал.

Диференціал - це похідна, помножена на dx.

Однак нам важливі не теоретичні тонкощі, а те, що з цим диференціалом робити далі. Диференціал розкривається так: значок d прибираємо, праворуч над дужкою ставимо штрих, наприкінці виразу приписуємо множник dx :

Отримано вихідне підінтегральний виразтобто інтеграл знайдено правильно.

Як бачите, диференціал зводиться до знаходження похідної. Другий спосіб перевірки мені подобається менше, тому що доводиться додатково малювати великі дужки та тягнути піктограму диференціала dx остаточно перевірки. Хоча він коректніший, або «солідніший», чи що.

Насправді можна було промовчати про другий спосіб перевірки. Справа не в способі, а в тому, що ми навчилися розкривати диференціал. Ще раз.

Диференціал розкривається так:

1) значок dприбираємо;

2) праворуч над дужкою ставимо штрих (позначення похідної);

3) наприкінці виразу приписуємо множник dx .

Наприклад:

Запам'ятайте це. Розглянутий прийом знадобиться дуже скоро.

Приклад 2

.

Коли ми знаходимо невизначений інтеграл, то ЗАВЖДИ намагаємося зробити перевірку, тим більше, для цього є чудова нагода. Не всі типи завдань у вищій математиці є подарунком з цього погляду. Неважливо, що часто контрольні завдання перевірки не потребують, її ніхто, і ніщо не заважає провести на чернетці. Виняток можна зробити лише тоді, коли не вистачає часу (наприклад, на заліку, екзамені). Особисто я завжди перевіряю інтеграли, а відсутність перевірки вважаю халтурою та неякісно виконаним завданням.

Приклад 3

Знайти невизначений інтеграл:

. Виконати перевірку.

Рішення: Аналізуючи інтеграл, ми бачимо, що у нас під інтегралом добуток двох функцій, та ще й зведення у ступінь цілого вираження. На жаль, на терені інтегральної битви ніхороших та зручних формул для інтегрування твору та приватногоу вигляді: або .

Тому, коли дано твір чи приватний, завжди має сенс подивитися, а чи не можна перетворити підінтегральну функцію на суму? Розглянутий приклад - той випадок, коли можна.

Спочатку наведемо повне рішення, коментарі будуть нижчими.

(1) Використовуємо стару добру формулу квадрата суми для будь-яких дійсних чисел, позбавляючись ступеня над загальною дужкою. за дужки та застосовуючи формулу скороченого множення у зворотному напрямку: .

Приклад 4

Знайти невизначений інтеграл

Виконати перевірку.

Це приклад самостійно рішення. Відповідь та повне рішення наприкінці уроку.

Приклад 5

Знайти невизначений інтеграл

. Виконати перевірку.

У цьому прикладі підінтегральна функція є дріб. Коли ми бачимо в підінтегральному вираженні дріб, то першою думкою має бути питання: «А чи не можна якось від цього дробу позбутися, або хоча б його спростити?».

Помічаємо, що у знаменнику знаходиться самотнє коріння з «ікс». Один у полі – не воїн, отже, можна почленно розділити чисельник на знаменник:

Дії з дробовими ступенями ми не коментуємо, оскільки про них неодноразово йшлося у статтях про похідну функцію.

Якщо Вас таки ставить у глухий кут такий приклад, як

і ні в яку не виходить правильна відповідь,

Також зверніть увагу, що у рішенні пропущено один крок, а саме застосування правил , . Зазвичай за певного досвіду рішення інтегралів ці правила вважають очевидним фактом і не розписують докладно.

Приклад 6

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

Це приклад самостійно рішення. Відповідь та повне рішення наприкінці уроку.

У загальному випадку з дробами в інтегралах не все так просто, додатковий матеріал з інтегрування дробів деяких видів можна знайти у статті: Інтегрування деяких дробів. Але, перш ніж перейти до вищезгаданої статті, необхідно ознайомитися з уроком: Метод заміни у невизначеному інтегралі. Справа в тому, що підведення функції під диференціал або метод заміни змінної є ключовим моментому вивченні теми, оскільки зустрічається не лише «у чистих завданнях на метод заміни», а й у багатьох інших різновидах інтегралів.

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення:

Приклад 4: Рішення:

У цьому прикладі ми використовували формулу скороченого множення

Приклад 6: Рішення:

Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі. Приклади рішень

На цьому уроці ми познайомимося з одним із найважливіших і найпоширеніших прийомів, який застосовується в ході вирішення невизначених інтегралів – шляхом заміни змінної. Для успішного освоєння матеріалу потрібні початкові знання та навички інтегрування. Якщо є відчуття порожнього повного чайника в інтегральному численні, спочатку слід ознайомитися з матеріалом Невизначений інтеграл. Приклади рішень, де пояснено у доступній формі, що таке інтеграл і детально розібрано базові приклади для початківців.

Технічно метод заміни змінної у невизначеному інтегралі реалізується двома способами:

– Підведення функції під знак диференціалу.

- Власне заміна змінної.

По суті, це те саме, але оформлення рішення виглядає по-різному. Почнемо з більш простого випадку.

Функції двох змінних, приватні похідні, диференціали та градієнт

Тема 5.Функції двох змінних.

приватні похідні

Визначення функції двох змінних, способи завдання.

Приватні похідні

Градієнт функції однієї змінної

Знаходження найбільшого та найменшого значень функції двох змінних у замкнутій обмеженій області

1. Визначення функції кількох змінних, способи завдання

Для функції двох змінних
областю визначення є деяке безліч точок на площині
, а областю значень - проміжок на осі
.

Для наочного уявлення функції двох змінних застосовуються лінії рівня.

приклад . Для функції
побудувати графік та лінії рівня. Записати рівняння лінії рівня, що проходить через точку
.

Графік лінійної функціїє площинав просторі.

Для функції графік є площиною, що проходить через точки
,
,
.

Лініями рівня функціїє паралельні прямі, рівняння яких
.

Для лінійної функції двох змінних
лінії рівня задаються рівнянням
і є сімейство паралельних прямих на площині.

4

Графік функції 0 1 2 Х

Лінії рівня функції

Приватні проїзведені функції двох змінних

Розглянемо функцію
. Надамо змінної у точці
довільне збільшення
, залишаючи значення змінної незмінним. Відповідне збільшення функції

називається приватним збільшенням функції змінноїу точці
.

Аналогічно визначається приватне збільшення функціїпо змінній: .

Позначенняприватної похідної по: , ,
,
.

Приватної похідної функції змінної називається кінцева межа :

Позначення: , ,
,
.

Для знаходження приватної похідної
по змінній використовуються правила диференціювання функції однієї змінної, вважаючи змінну постійною.

Аналогічно, для знаходження приватної похідної за змінною постійною вважається змінна .

приклад . Для функції
знайти приватні похідні
,
і обчислити їх значення у точці
.

Приватна похідна функції
по змінній перебуває у припущенні, що постійна:

Знайдемо приватну похідну функції, вважаючи постійною:

Обчислимо значення приватних похідних при
,
:

;
.

Приватними похідними другого порядку Функції кількох змінних називаються приватні похідні від приватних похідних першого порядку.

Запишемо для функції приватні похідні 2-го порядку:

;
;

;
.

;
і т.д.

Якщо змішані приватні похідні функції кількох змінних безперервні у певній точці
, то вони рівні між собоюу цій точці. Отже, для функції двох змінних значення змішаних похідних приватних не залежать від порядку диференціювання:

.

приклад. Для функції знайти приватні похідні другого порядку
і
.

Рішення

Змішана приватна похідна знаходиться послідовним диференціюванням спочатку функції (вважаючи постійним), потім диференціюванням похідної
(вважаючи постійним).

Похідна знаходиться диференціюванням спочатку функції , потім похідної .

Змішані приватні похідні рівні між собою:
.

3. Градієнт функції двох змінних

Властивості градієнта

приклад . Дана функція
. Знайти градієнт
у точці
та побудувати його.

Рішення

Знайдемо координати градієнта – приватні похідні.

У точці
градієнт дорівнює. Початок вектору
у точці, а кінець - у точці.

5

4. Знаходження найбільшого та найменшого значень функції двох змінних у замкнутій обмеженій області

Постановка задачі. Нехай на площині замкнута обмежена область
задається системою нерівностей виду
. Потрібно знайти в області точки, в яких функція набуває найбільшого та найменшого значення.

Важливою є завдання знаходження екстремуму, математична модель якої містить лінійніобмеження (рівняння, нерівності) та лінійнуфункцію
.

Постановка задачі. Знайти найбільше та найменше значення функції
(2.1)

при обмеженнях

(2.2)

. (2.3)

Оскільки для лінійної функції багатьох змінних немає критичних точок всерединіобласті
то оптимальне рішення, що доставляє цільової функції екстремум, досягається тільки на кордоні області. Для області, заданої лінійними обмеженнями, точками можливого екстремуму є кутові точки. Це дозволяє розглядати розв'язання задачі графічним методом.

Графічне розв'язання системи лінійних нерівностей

Для графічного розв'язання цього завдання необхідно вміти вирішувати графічно системи лінійних нерівностей із двома змінними.

Порядок дій:

Зазначимо, що нерівність
визначає праву координатну напівплощину(від осі
), а нерівність
- верхню координатну напівплощину(від осі
).

приклад. Вирішити графічно нерівність
.

Запишемо рівняння граничної прямої
і побудуємо її за двома точками, наприклад,
і
. Пряма ділить площину на дві напівплощини.

Координати точки
задовольняють нерівності (
– вірно), отже, і координати всіх точок напівплощини, що містить точку , задовольняють нерівності. Рішенням нерівності будуть координати точок напівплощини, розташованої праворуч від граничної прямої, включаючи точки на кордоні. Шукана напівплощина малюнку виділена.

Рішення
системи нерівностей називається допустимим, Якщо його координати неотрицательны , . Безліч допустимих рішень системи нерівностей утворює область, яка розташована в першій чверті координатної площини.

приклад. Побудувати область розв'язків системи нерівностей

Розв'язаннями нерівностей є:

1)
- напівплощина, розташована ліворуч і нижче відносно прямої ( )
;

2)
- напівплощина, розташована в правій-нижній напівплощині щодо прямої ( )
;

3)
- напівплощина, розташована правіше прямої ( )
;

4) - напівплощина вище осі абсцис, тобто прямий ( )
.

0

Область допустимих рішеньданої системи лінійних нерівностей – це безліч точок, розташованих усередині та на межі чотирикутника
, що є перетиномчотирьох напівплощин.

Геометричне зображення лінійної функції

(лінії рівня та градієнт)

Зафіксуємо значення
, отримаємо рівняння
, що геометрично задає пряму. У кожній точці пряма функція набуває значення і є лінією рівня.Надаючи різні значення, наприклад,

, ... , отримаємо безліч ліній рівня - сукупність паралельних прямих.

Побудуємо градієнт- Вектор
координати якого рівні значенням коефіцієнтів при змінних функції
. Даний вектор: 1) перпендикулярний кожній прямій (лінії рівня)
; 2) показує напрямок зростання цільової функції.

приклад . Побудувати лінії рівня та градієнт функції
.

Лінії рівня при , , - це прямі

,
,

, паралельні один одному. Градієнт – це вектор, перпендикулярний до кожної лінії рівня.

Графічне знаходження найбільшого та найменшого значень лінійної функції в області

Геометрична постановка задачі. Знайти у сфері рішень системи лінійних нерівностей точку, якою проходить лінія рівня, відповідна найбільшому (найменшому) значенню лінійної функції із двома змінними.

Послідовність дій:

4. Знайти координати точки А, вирішуючи систему рівнянь прямих, що перетинаються в точці А, та обчислити найменше значення функції
. Аналогічно - для точки В та найбільшого значення функції
. побудована за точками. Приватніпохідніфункціїкількох зміннихта техніка диференціювання. Екстремум функціїдвохзміннихта його необхідне...

На цьому уроці ми познайомимося з поняттям функції двох змінних, а також докладно розглянемо найпоширеніше завдання – знаходження приватних похіднихпершого та другого порядку, повного диференціалу функції.

Для ефективного вивчення нижченаведеного матеріалу Вам необхідновміти більш менш впевнено знаходити «звичайні» похідні функції однієї змінної. Навчитися правильно поводитися з похідними можна під час уроків Як знайти похідну? та Похідна складної функції. Також нам знадобиться таблиця похідних елементарних функцій та правил диференціювання, найзручніше, якщо вона буде під рукою в роздрукованому вигляді.

Почнемо з поняття функції двох змінних, постараємося обмежитися мінімумом теорії, оскільки сайт має практичну спрямованість. Функція двох змінних зазвичай записується як , у своїй змінні , називаються незалежними зміннимиабо аргументами.

Приклад: - Функція двох змінних.

Іноді використовують запис. Також зустрічаються завдання, де замість букви використовується буква .

Корисно знати геометричне значення функцій. Функції однієї змінної відповідає певна лінія на площині, наприклад, всім знайома шкільна парабола. Будь-яка функція двох змінних з геометричної точки зору є поверхнею в тривимірному просторі (площини, циліндри, кулі, параболоїди і т.д.). Але, власне, це вже аналітична геометрія, а в нас на порядку денному математичний аналіз.

Переходимо до питання перебування приватних похідних першого та другого порядків. Повинен повідомити хорошу новину для тих, хто випив кілька чашок кави і налаштувався на неймовірно важкий матеріал: приватні похідні - це майже те саме, що і «звичайні» похідні функції однієї змінної.

Для окремих похідних справедливі всі правила диференціювання і таблиця похідних елементарних функцій. Є тільки кілька невеликих відмінностей, з якими ми познайомимося прямо зараз.

Приклад 1

Знайти приватні похідні першого та другого порядку функції

Спочатку знайдемо приватні похідні першого порядку. Їх дві.

Позначення:

Або - приватна похідна по "ікс"

Або – приватна похідна за «ігроком»

Почнемо з .

Важливо! Коли ми знаходимо приватну похідну по «ікс», то змінна вважається константою (постійним числом).

Вирішуємо. На цьому уроці відразу наводитимемо повне рішення, а коментарі даватимемо нижче.

Коментарі до виконаних дій:

(1) Перше, що ми робимо під час перебування приватної похідної – укладаємо всюфункцію в дужки під штрих з підрядковим індексом.

Увага, важливо!Підрядкові індекси НЕ ВТРАЮЄМО по ходу рішення. У разі, якщо Ви де-небудь намалюєте «штрих» без , то викладач, як мінімум, може поставити поруч із завданням (відразу відкусити частину бала за неуважність).

(2) Використовуємо правила диференціювання ; . Для простого прикладу, як цей, обидва правила можна застосувати на одному кроці. Зверніть увагу на перший доданок: оскільки вважається константою, а будь-яку константу можна винести за знак похідної, то ми виносимо за дужки. Тобто в цій ситуації нічим не краще за звичайне число. Тепер подивимося на третій доданок: тут, навпаки, нічого не виносити. Оскільки константа, то – теж константа, і в цьому сенсі вона нічим не краща за останній доданок – «сімки».

(2) Використовуємо таблицю похідних функцій. Уявно поміняємо в таблиці всі «ікси» на «ігреки». Тобто дана таблиця рівно справедлива для (І взагалі для будь-якої літери).У разі, використовувані нами формули мають вигляд: і .

Отже, приватні похідні першого порядку знайдені

Приватні похідні застосовують у завданнях з функціями кількох змінних. Правила знаходження точно такі ж як і для функцій однієї змінної, з різницею лише в тому, що одну із змінних слід вважати в момент диференціювання константою (постійним числом).

Формула

Приватні похідні для функції двох змінних $z(x,y) $ записуються в наступному вигляді $z"_x, z"_y$ і знаходяться за формулами:

Приватні похідні першого порядку

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Приватні похідні другого порядку

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Змішана похідна

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Приватна похідна складної функції

а) Нехай $ z(t) = f(x(t), y(t)) $, тоді похідна складної функції визначається за формулою:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

б) Нехай $ z (u, v) = z (x (u, v), y (u, v)) $, тоді приватні похідні функції перебувають за формулою:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Приватні похідні неявно заданої функції

а) Нехай $ F(x,y(x)) = 0 $, тоді $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

б) Нехай $ F (x, y, z) = 0 $, тоді $ $ z "_x = - \ frac (F"_x) (F "_z); z "_y = - \ frac (F"_y) ( F"_z) $$

Приклади рішень

Приклад 1

Знайти приватні похідні першого порядку $z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10$

Рішення

Для знаходження приватної похідної по $ x $ вважатимемо $ y $ постійною величиною (числом): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для знаходження приватної похідної функції $ y $ визначимо $ y $ константою: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!

Відповідь

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Приклад 2

Знайти приватні похідні функції другого порядку $ z = e ^ (xy) $

Рішення

Спочатку потрібно знайти перший похідні, а потім знаючи їх можна знайти похідні другого порядку. Вважаємо $ y $ константою: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Покладемо тепер $ x $ постійною величиною: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Знаючи перші похідні, аналогічно знаходимо другі. Встановлюємо $ y $ постійною: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Задаємо $ x $ постійної: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Тепер лишилося знайти змішану похідну. Можна продиференціювати $ z"_x $ по $ y $, а можна $ z"_y $ по $ x $, тому що за теоремою $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$

Відповідь

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Приклад 4

Нехай $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ задає неявну функцію $ F (x, y, z) = 0 $. Знайти приватні похідні першого порядку.

Рішення

Записуємо функцію у форматі: $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ і знаходимо похідні: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Відповідь

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Продовжуємо улюблену тему математичного аналізу – похідні. У цій статті ми навчимося знаходити приватні похідні функції трьох змінних: перші похідні та другі похідні. Що потрібно знати та вміти для освоєння матеріалу? Не повірите, але, по-перше, потрібно вміти знаходити «звичайні» похідні функції однієї змінної – на високому чи хоча б середньому рівні. Якщо з ними зовсім туго, то почніть з уроку Як знайти похідну?По-друге, дуже важливо прочитати статтю і осмислити-вирішувати якщо не всі, то більшу частину прикладів. Якщо це вже зроблено, то впевненою ходою йдемо зі мною, буде цікаво, навіть отримаєте задоволення!

Методи та принципи знаходження приватних похідних функції трьох зміннихнасправді дуже схожі на приватні похідні функції двох змінних. Функція двох змінних, нагадую, має вигляд , де «ікс» та «ігрок» – незалежні змінні. Геометрично функція двох змінних є деякою поверхнею в нашому тривимірному просторі.

Функція трьох змінних має вигляд, при цьому змінні називаються незалежнимизміннимиабо аргументами, змінна називається залежною змінноюабо функцією. Наприклад: – функція трьох змінних

А тепер трохи про фантастичні фільми та інопланетян. Часто можна почути про чотиривимірне, п'ятивимірне, десятимірне і т.д. просторах. Нісенітниця чи ні?
Адже функція трьох змінних має на увазі той факт, що всі справи відбуваються в чотиривимірному просторі (справді, змінних чотири). Графік функції трьох змінних є так званою гіперповерхня. Уявити її неможливо, оскільки ми живемо у тривимірному просторі (довжина/ширина/висота). Щоб вам зі мною не було нудно, пропоную вікторину. Я поставлю кілька запитань, а бажаючі можуть спробувати на них відповісти:

– Чи існує у світі четверте, п'яте тощо. вимірювання у сенсі обивательського розуміння простору (довжина/ширина/висота)?

– Чи можна побудувати чотиривимірне, п'ятивимірне тощо? простір у широкому розумінні цього слова? Тобто навести приклад такого простору в нашому житті.

– Чи можлива подорож у минуле?

– Чи можлива подорож у майбутнє?

– Чи існують інопланетяни?

На будь-яке запитання можна вибрати одну з чотирьох відповідей:
Так / Ні (наукою це заборонено) / Наукою це не заборонено / Не знаю

Хто правильно відповість на всі питання, той, швидше за все, має деяку річ;-)

Відповіді на запитання я поступово видаватиму під час уроку, не пропускайте приклади!

Власне, полетіли. І одразу хороша новина: для функції трьох змінних справедливі правила диференціювання та таблиця похідних. Саме тому вам необхідно добре впоратися зі «звичайними» похідними функційоднієї змінної. Відмінностей зовсім небагато!

Приклад 1

Рішення:Неважко здогадатися - для функції трьох змінних існують триприватних похідних першого порядку, які позначаються так:

Або - приватна похідна по "ікс";
або – приватна похідна за «ігроком»;
або - приватна похідна по "зет".

У ходу більше позначення зі штрихом, але укладачі збірок, методичок в умовах завдань дуже люблять використовувати якраз громіздкі позначення - так що не губіться! Можливо, не всі знають, як правильно читати вголос ці страшні дроби. Приклад: слід читати так: «де у по де ікс».

Почнемо з похідною за «ікс»: . Коли ми знаходимо приватну похідну по , то змінні і вважаються константами (постійними числами).А похідна будь-якої константи, благодать, дорівнює нулю:

Відразу зверніть увагу на підрядковий індекс – ніхто вам не забороняє помічати, що є константами. Так навіть зручніше, рекомендую початківцям використовувати саме такий запис, менше ризик заплутатися.

(1) Використовуємо властивості лінійності похідної, зокрема виносимо всі константи за знак похідної. Зверніть увагу, що у другому доданку константу виносити не потрібно: оскільки «ігрок» є константою, то теж константа. У доданку за знак похідної винесена «звичайна» константа 8 та константа «зет».

(2) Знаходимо найпростіші похідні, не забуваючи при цьому, що константи. Далі зачісуємо відповідь.

Приватна похідна. Коли ми знаходимо приватну похідну за «ігроком», то змінні і вважаються константами:

(1) Використовуємо властивості лінійності. І знову зауважте, що доданки є константами, а значить, за знак похідної виносити нічого не потрібно.

(2) Знаходимо похідні, не забуваючи, що константи. Далі спрощуємо відповідь.

І, нарешті, приватна похідна. Коли ми знаходимо приватну похідну по «зет», то змінні і вважаються константами:

Загальне правилоочевидно і невигадливо: Коли ми знаходимо приватну похіднуза будь-якою незалежної змінної, тодві інші незалежні змінні вважаються константами.

При оформленні даних завдань слід бути дуже уважним, зокрема, не можна втрачати підрядкові індекси(які вказують, за якою змінною проводиться диференціювання). Втрата індексу буде ГРУБИМ НЕДОЧКОМ. Хммм…. забавно, якщо після такого залякування я їх сам десь їх пропущу)

Приклад 2

Знайти приватні похідні першого порядку функції трьох змінних

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Розглянуті два приклади досить прості і, вирішивши кілька подібних завдань, навіть чайник пристосовується розправлятися з ними усно.

Для розвантаження повернемося до першого питання вікторини: Чи існує у світі четверте, п'яте тощо. вимірювання у сенсі обивательського розуміння простору (довжина/ширина/висота)?

Вірна відповідь: Наукою це не заборонено. Вся фундаментальна математична аксіоматика, теореми, математичний апарат чудово і несуперечливопрацюють у просторі будь-якої розмірності. Не виключено, що десь у Всесвіті існують непідвладні нашому розуму гіперповерхні, наприклад, чотиривимірна гіперповерхня, яка задається функцією трьох змінних. А може бути гіперповерхні поряд з нами або навіть ми знаходимося прямо в них, просто наш зір, інші органи почуттів, свідомість здатні на сприйняття та осмислення лише трьох вимірів.

Повернемося до прикладів. Так, якщо хтось сильно завантажився вікториною, відповіді на наступні питання краще прочитати після того, як навчитеся знаходити приватні похідні функції трьох змінних, а то я вам по ходу статті винесу весь мозок =)

Крім найпростіших прикладів 1,2 на практиці зустрічаються завдання, які можна назвати невеликою головоломкою. Такі приклади, на мою досаду, випали з поля зору, коли я створював урок Приватні похідні функції двох змінних. Навертаємо втрачене:

Приклад 3

Рішення:як би тут «все просто», але перше враження оманливе. При знаходженні приватних похідних багато хто буде ворожити на кавовій гущі і помилятися.

Розберемо приклад послідовно, чітко та зрозуміло.

Почнемо з приватної похідної з «ікс». Коли ми знаходимо приватну похідну по «ікс», то змінні вважаються константами. Отже, показник нашої функції теж константа. Для чайників рекомендую наступний прийом рішення: на чернетці поміняйте константу на конкретне ціле позитивне число, наприклад, на «п'ятірку». В результаті вийде функція однієї змінної:
або ще можна записати так:

Це статечнафункція зі складною основою (синусом). :

Тепер згадуємо, що , таким чином:

На чистовику, звичайно, рішення слід оформити так:

Знаходимо приватну похідну за «ігроком», вважаються константами. Якщо «ікс» константа, то теж константа. На чернетці проробляємо той же трюк: замінимо, наприклад, на 3, «зет» – замінимо на ту ж «п'ятірку». В результаті знову виходить функція однієї змінної:

Це показовафункція зі складним показником. за правилу диференціювання складної функції:

Тепер згадуємо нашу заміну:

Таким чином:

На чистовику, зрозуміло, оформлення має виглядати благообразно:

І дзеркальний випадок із приватною похідною по «зет» (-константи):

За певного досвіду проведений аналіз можна проводити подумки.

Виконуємо другу частину завдання – складемо диференціал першого ладу. Це дуже просто, за аналогією з функцією двох змінних, диференціал першого порядку записується за такою формулою:

В даному випадку:

І діло те. Зазначу, що у практичних завданнях повний диференціал 1-го порядку функції трьох змінних вимагають скласти значно рідше, ніж функції двох змінних.

Забавний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 4

Знайти приватні похідні першого порядку функції трьох змінних та скласти повний диференціал першого порядку

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. Якщо виникнуть труднощі, використовуйте розглянутий алгоритм, він гарантовано повинен допомогти. І ще корисна порада – не поспішайте. Таких прикладів швидко не вирішую навіть я.

Відволікаємось і розбираємо друге питання: Чи можна побудувати чотиривимірне, п'ятивимірне і т.д. простір у широкому розумінні цього слова? Тобто навести приклад такого простору в нашому житті.

Вірна відповідь: Так. Причому дуже легко. Наприклад, додаємо до довжини/ширини/висоти четвертий вимір – час. Популярний чотиривимірний простір-час і всім відома теорія відносності, акуратно вкрадена Ейнштейном у Лобачевського, Пуанкаре, Лоренца та Мінковського. Теж не всі знають. За що Ейнштейн має Нобелівську премію? У науковому світі був страшний скандал, і Нобелівський комітет сформулював заслугу плагіатора приблизно так: «За загальний внесок у розвиток фізики». Так воно. Бренд трієчника Ейнштейна – чиста розкрутка та піар.

До розглянутого чотиривимірного простору легко додати п'ятий вимір, наприклад: тиск атмосферний. І так далі, так далі, так далі, скільки поставите вимірювань у своїй моделі - стільки і буде. У широкому значенні слова ми живемо у багатовимірному просторі.

Розберемо ще пару типових завдань:

Приклад 5

Знайти приватні похідні першого порядку в точці

Рішення:Завдання у такому формулюванні часто зустрічається на практиці та передбачає виконання наступних двох дій:
- Потрібно знайти приватні похідні першого порядку;
- Необхідно визначити значення приватних похідних 1-го порядку в точці .

Вирішуємо:

(1) Перед нами складна функція, і на першому кроці слід взяти похідну від арктангенсу. При цьому ми по суті незворушно використовуємо табличну формулу похідної арктангенса. за правилу диференціювання складної функціїРезультат необхідно помножити на похідну внутрішньої функції (вкладення): .

(2) Використовуємо властивості лінійності.

(3) І беремо похідні, що залишилися, не забуваючи, що – константи.

За умовою завдання необхідно знайти значення знайденої приватної похідної у точці. Підставимо координати точки в знайдену похідну:

Перевагою даного завдання є той факт, що інші похідні знаходяться за дуже схожою схемою:

Як бачите, шаблон рішення практично такий самий.

Обчислимо значення знайденої приватної похідної в точці:

І, нарешті, похідна по «зет»:

Готово. Рішення можна було оформити і інакше: спочатку знайти всі три приватні похідні, а потім обчислити їх значення у точці . Але, мені здається, наведений спосіб зручніший – тільки знайшли приватну похідну, і одразу, не відходячи від каси, обчислили її значення у точці.

Цікаво відзначити, що геометрична точка – цілком реальна точка нашого тривимірного простору. Значення функції, похідних – вже четвертий вимір, і де воно геометрично знаходиться, ніхто не знає. Як то кажуть, Всесвітом ніхто з рулеткою не повзав, не перевіряв.

Якщо знову філософська тема пішла, розглянемо третє запитання: Чи можлива подорож у минуле?

Вірна відповідь: Ні. Подорож у минуле суперечить другому закону термодинаміки про незворотність фізичних процесів (ентропії). Так що не пірнайте, будь ласка, в басейн без води, подію можна відкрутити назад тільки у відеозаписі =) Народна мудрість не дарма вигадала протилежний життєвий закон: «Сім разів відміряй, один раз відріж». Хоча, насправді сумна штука, час односпрямований і незворотний, ніхто з нас завтра не помолодшає. А різні фантастичні фільми на кшталт «Термінатора» з наукового погляду – повна нісенітниця. Абсурд і з погляду філософії – коли Слідство, повернувшись у минуле, може знищити власну Причину. .

Цікавіше з похідною по «зет», хоча, все одно майже те саме:

(1) Виносимо константи за знак похідної.

(2) Тут знову добуток двох функцій, кожна з яких залежитьвід "живої" змінної "зет". В принципі, можна використати формулу похідної приватного, але простіше таки піти іншим шляхом – знайти похідну від твору.

(3) Похідна – це таблична похідна. У другому доданку – вже знайома похідна складної функції.

Приклад 9

Знайти приватні похідні першого порядку функції трьох змінних

Це приклад самостійного рішення. Подумайте, як раціональніше знаходити ту чи іншу приватну похідну. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Перед тим як перейти до заключних прикладів уроку та розглянути приватні похідні другого порядкуфункції трьох змінних, всіх ще раз підбадьорю четвертим питанням:

Чи можлива подорож у майбутнє?

Вірна відповідь: Наукою це не заборонено. Парадоксально, але не існує математичного, фізичного, хімічного чи іншого природничо закону, який би забороняв подорож у майбутнє! Здається нісенітницею? Але практично у кожного в житті бувало передчуття (причому не підкріплене ніякими логічними доводами), що станеться та чи інша подія. І воно відбувалося! Звідки надійшла інформація? З майбутнього? Таким чином, фантастичні фільми про подорож у майбутнє, та й, до речі, передбачення всіляких ворожок, екстрасенсів не можна назвати такою вже маренням. Принаймні наука цього не спростувала. Все можливо! Так, коли я навчався у школі, то компакт-диски та плоскі монітори з фільмів здавались мені неймовірною фантастикою.

Відома комедія "Іван Васильович змінює професію" - вигадка наполовину (як максимум). Жодний науковий закон не забороняв Івану Грозному опинитися в майбутньому, але неможливо, щоб два перці опинилися в минулому та виконували обов'язки царя.