Індивідуальний проект на тему: "Графічне вирішення рівнянь та нерівностей". Графічне розв'язання нерівностей Розв'язання рівнянь та нерівностей графічно

Графік лінійної чи квадратної нерівності будується так само, як будується графік будь-якої функції (рівняння). Різниця полягає в тому, що нерівність має на увазі наявність безлічі рішень, тому графік нерівності являє собою не просто точку на числовій прямій або лінію на координатної площини. За допомогою математичних операцій та знаку нерівності можна визначити безліч розв'язків нерівності.

Кроки

Графічне зображення лінійної нерівності на числовій прямій

Розв'яжіть нерівність.Для цього ізолюйте змінну за допомогою тих же прийомів алгебри, якими користуєтеся при вирішенні будь-якого рівняння. Пам'ятайте, що при множенні чи розподілі нерівності на від'ємне число(Або член), поміняйте знак нерівності на протилежний.

Намалюйте числову пряму.На числовій прямій позначте знайдене значення (змінна може бути меншою, більшою або дорівнює цьому значенню). Числову пряму малюйте відповідної довжини (довгу чи коротку).

Намалюйте коло, що позначає знайдене значення.Якщо змінна менша ( < {\displaystyle <} ) або більше ( > (\displaystyle >)) цього значення, гурток не зафарбовується, тому що безліч рішень не включає це значення. Якщо змінна менша або дорівнює ( ≤ (\displaystyle \leq )) або більше або дорівнює ( ≥ (\displaystyle \geq )) цього значення, гурток зафарбовується, тому що безліч рішень включає це значення.

На числовій прямій заштрихуйте область, що визначає безліч рішень.Якщо змінна більша за знайдене значення, заштрихуйте область праворуч від нього, тому що безліч рішень включає всі значення, які більше знайденого. Якщо змінна менша від знайденого значення, заштрихуйте область ліворуч від нього, тому що безліч рішень включає всі значення, які менше знайденого.

Графічне зображення лінійної нерівності на координатній площині

1. Розв'яжіть нерівність (знайдіть значення y (\displaystyle y) ). Щоб отримати лінійне рівняння, ізолюйте змінну на лівій стороні за допомогою відомих методів алгебри. У правій частині має залишитися змінна x (\displaystyle x)і, можливо, певна стала.

   На координатній площині побудуйте графік лінійного рівняння. Для цього перетворіть нерівність на рівняння та побудуйте графік, як будуєте графік будь-якого лінійного рівняння. Нанесіть точку перетину з віссю Y, а потім за допомогою кутового коефіцієнта нанесіть інші точки.

   Проведіть пряму.Якщо нерівність сувора (включає знак < {\displaystyle <} або > (\displaystyle >)), проведіть пунктирну пряму, тому що безліч рішень не включає значення, що лежать на прямій. Якщо нерівність непогана (включає знак ≤ (\displaystyle \leq )або ≥ (\displaystyle \geq )), проведіть суцільну пряму, тому що безліч рішень включає значення, що лежать на прямій.

   Заштрихуйте відповідну область.Якщо нерівність має вигляд y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), заштрихуйте область над прямою. Якщо нерівність має вигляд y< m x + b {\displaystyle y, заштрихуйте область під прямою.

Графічне зображення квадратної нерівності на координатній площині

Визначте, що ця нерівність є квадратною.Квадратна нерівність має вигляд a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Іноді нерівність не містить змінної першого порядку ( x (\displaystyle x)) та/або вільний член (постійну), але обов'язково включає змінну другого порядку ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Змінні x (\displaystyle x)і y (\displaystyle y)мають бути ізольовані на різних сторонах нерівності.

Один із найзручніших методів розв'язання квадратних нерівностей – це графічний метод. У цій статті ми розберемо, як вирішуються квадратні нерівності у графічний спосіб. Спочатку обговоримо, у чому суть цього способу. А далі наведемо алгоритм та розглянемо приклади розв'язання квадратних нерівностей графічним способом.

Навігація на сторінці.

Суть графічного методу

Взагалі графічний спосіб розв'язання нерівностейз однією змінною застосовується як вирішення квадратних нерівностей, а й нерівностей інших видів. Суть графічного способу розв'язання нерівностейнаступна: розглядають функції y=f(x) і y=g(x) , які відповідають лівої та правої частинам нерівності, будують їх графіки в одній прямокутній системі координат і з'ясовують, на яких проміжках графік однієї з них розташовується нижче або вище від іншого. Ті проміжки, на яких

• графік функції f вище графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)>g(x);
• графік функції f не нижче графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)≥g(x);
• графік функції f нижче графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)
• графік функції f не вище графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)≤g(x) .

Також скажемо, що абсцис точок перетину графіків функцій f і g є рішеннями рівняння f (x) = g (x).

Перенесемо ці результати на наш випадок – для розв'язання квадратної нерівності a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥).

Вводимо дві функції: перша y=a·x 2 +b·x+c (при цьому f(x)=a·x 2 +b·x+c) відповідає лівій частині квадратної нерівності, друга y=0 (при цьому g (x)=0) відповідає правій частині нерівності. Графіком квадратичної функції f є парабола, а графіком постійної функції g - Пряма, збігається з віссю абсцис Ox.

Далі згідно з графічним способом розв'язання нерівностей треба проаналізувати, на яких проміжках графік однієї функції розташований вище або нижче за інший, що дозволить записати шукане рішення квадратної нерівності. У нашому випадку потрібно проаналізувати положення параболи щодо осі Ox.

Залежно від значень коефіцієнтів a, b і c можливі наступні шість варіантів (для наших потреб досить схематичного зображення, і можна не зображати вісь Oy, тому що її положення не впливає на розв'язання нерівності):

На цьому кресленні ми бачимо параболу, гілки якої спрямовані вгору, та яка перетинає вісь Ox у двох точках, абсциси яких є x1 та x2. Цей креслення відповідає варіанту, коли коефіцієнт a - позитивний (він відповідає за спрямованість вгору гілок параболи), і коли позитивне значення дискримінанта квадратного тричлена a x 2 +b x x c (при цьому тричлен має два корені, які ми позначили як x 1 і x 2 , причому прийняли, що x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 = -2, x 2 = 3 .

Давайте для наочності зобразимо червоним кольором частини параболи, розташовані вище за осі абсцис, а синім кольором – розташовані нижче за осі абсцис.


Наразі з'ясуємо, які проміжки цим частинам відповідають. Визначити їх допоможе наступне креслення (надалі подібні виділення у формі прямокутників будемо проводити подумки):


Так на осі абсцис виявилися підсвічені червоним кольором два проміжки (−∞, x 1) і (x 2 , +∞) , на них парабола вище за осю Ox , вони становлять розв'язання квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c>0 , а синім кольором підсвічений проміжок (x 1 , x 2) , на ньому парабола нижче осі Ox , він є рішенням нерівності a·x 2 +b·x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

А тепер коротко: при a>0 і D=b 2 −4·a·c>0 (або D"=D/4>0 при парному коефіцієнті b)

• розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c>0 є (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) або в іншому записі x x 2;
• рішенням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c≥0 є (−∞, x 1 ]∪ або в іншому записі x 1 ≤x≤x 2 ,

де x 1 і x 2 - коріння квадратного тричлена a x 2 + b x + c , причому x 1


Тут ми бачимо параболу, гілки якої спрямовані вгору і яка стосується осі абсцис, тобто має з нею одну загальну точку, позначимо абсцис цієї точки як x 0 . Представленому випадку відповідає a>0 (гілки направлені вгору) і D=0 (квадратний тричлен має один корінь x 0). Наприклад можна взяти квадратичну функцію y=x 2 −4·x+4 , тут a=1>0 , D=(−4) 2 −4·1·4=0 і x 0 =2 .

По кресленню чітко видно, що парабола розташована вище за осю Ox всюди, крім точки дотику, тобто, на проміжках (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) . Для наочності виділимо на кресленні області за аналогією з попереднім пунктом.


Робимо висновки: при a>0 та D=0

• розв'язком квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c>0 є (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) або в іншому записі x≠x 0 ;
• розв'язком квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c≥0 є (−∞, +∞) або в іншому записі x∈R ;
• квадратна нерівність a·x 2 +b·x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• квадратна нерівність a·x 2 +b·x+c≤0 має єдине рішення x=x 0 (його дає точка дотику),

де x 0 - корінь квадратного тричлена a x 2 + b x + c .


В цьому випадку гілки параболи спрямовані вгору, і вона не має загальних точокз віссю абсцис. Тут ми маємо умови a>0 (гілки спрямовані вгору) та D<0 (квадратный трехчлен не имеет дійсних коренів). Наприклад можна побудувати графік функції y=2·x 2 +1 , тут a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Очевидно, парабола розташована вище осі Ox на всьому її протязі (немає інтервалів, на яких вона нижче за осю Ox , немає точки дотику).


Таким чином, при a>0 та D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 і a·x 2 +b·x+c≥0 є безліч всіх дійсних чисел, а нерівності a x 2 +b x + c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

І залишаються три варіанти розташування параболи з спрямованими вниз, а не вгору, гілками щодо осі Ox. У принципі їх можна і не розглядати, оскільки множення обох частин нерівності на −1 дозволяє перейти до рівносильної нерівності з позитивним коефіцієнтом при х 2 . Але все ж таки не завадить отримати уявлення і про ці випадки. Міркування тут аналогічні, тож запишемо лише головні результати.

Алгоритм рішення

Підсумком усіх попередніх викладок виступає алгоритм розв'язання квадратних нерівностей графічним способом:

На координатній площині виконується схематичний креслення, на якому зображується вісь Ox (вісь Oy зображати не обов'язково) і ескіз параболи, що відповідає квадратичній функції y = a x 2 + b x + c . Для побудови ескізу параболи достатньо з'ясувати два моменти:

• По-перше, за значенням коефіцієнта a з'ясовується, куди спрямовані її гілки (при a>0 – вгору, при a<0 – вниз).
• А по-друге, за значенням дискримінанта квадратного тричлена a x 2 +b x + c з'ясовується, чи перетинає парабола вісь абсцис у двох точках (при D>0 ), стосується її в одній точці (при D=0 ), або не має спільних точок з віссю Ox (при D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Коли креслення готове, по ньому на другому кроці алгоритму

  • при розв'язанні квадратної нерівності a x 2 +b x + c> 0 визначаються проміжки, на яких парабола розташовується вище осі абсцис;
  • при вирішенні нерівності a·x 2 +b·x+c≥0 визначаються проміжки, на яких парабола розташовується вище за осю абсцис і до них додаються абсциси точок перетину (або абсцису точки дотику);
  • при розв'язанні нерівності a·x 2 +b·x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • нарешті, при розв'язанні квадратної нерівності виду a x 2 + b x + c≤0 знаходяться проміжки, на яких парабола нижче осі Ox і до них додаються абсциси точок перетину (або абсцис точки дотику);

  вони і становлять шукане розв'язання квадратної нерівності, а якщо таких проміжків немає і немає точок торкання, то вихідна квадратна нерівність не має розв'язків.

Залишається лише вирішити кілька квадратних нерівностей із застосуванням цього алгоритму.

Приклади із рішеннями

приклад.

Розв'яжіть нерівність .

Рішення.

Нам потрібно вирішити квадратну нерівність, скористаємося алгоритмом із попереднього пункту. На першому етапі нам необхідно зобразити ескіз графіка квадратичної функції . Коефіцієнт при x 2 дорівнює 2 він позитивний, отже, гілки параболи спрямовані вгору. З'ясуємо ще, чи парабола з віссю абсцис загальні точки, для цього обчислимо дискримінант квадратного тричлена . Маємо . Дискримінант виявився більшим за нуль, отже, тричлен має два дійсні корені: і , тобто, x1 = -3 і x2 = 1/3.

Звідси відомо, що парабола перетинає вісь Ox у двох точках з абсцисами −3 та 1/3 . Ці точки зобразимо на кресленні звичайними точками, оскільки розв'язуємо не сувору нерівність. За з'ясованими даними отримуємо наступний креслення (він підходить під перший шаблон з першого пункту статті):

Переходимо на другий крок алгоритму. Так як ми вирішуємо не сувору квадратну нерівність зі знаком ≤, то нам потрібно визначити проміжки, на яких парабола розташована нижче за осі абсцис і додати до них абсциси точок перетину.

З креслення видно, що парабола нижче осі абсцис на інтервалі (-3, 1/3) і до нього додаємо абсцис точок перетину, тобто числа -3 і 1/3 . В результаті приходимо до числового відрізка [−3, 1/3]. Це і шукане рішення. Його можна записати у вигляді подвійної нерівності −3≤x≤1/3.

Відповідь:

[−3, 1/3] або −3≤x≤1/3 .

приклад.

Знайдіть розв'язок квадратної нерівності −x 2 +16·x−63<0 .

Рішення.

Зазвичай починаємо з креслення. Числовий коефіцієнт при змінній квадраті негативний, −1 , тому, гілки параболи спрямовані вниз. Обчислимо дискримінант, а краще його четверту частину: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Його значення позитивно, обчислимо коріння квадратного тричлена: і , x 1 = 7 та x 2 = 9 . Так парабола перетинає вісь Ox у двох точках з абсцисами 7 і 9 (вихідна нерівність суворе, тому ці точки зображатимемо з порожнім центром).Тепер можна зробити схематичний малюнок:

Оскільки ми вирішуємо строгу квадратну нерівність зі знаком<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

По кресленню видно, що рішеннями вихідної квадратної нерівності є два проміжки (−∞, 7) , (9, +∞) .

Відповідь:

(−∞, 7)∪(9, +∞) або в іншому записі x<7 , x>9 .

При розв'язанні квадратних нерівностей, коли дискримінант квадратного тричлена в його лівій частині дорівнює нулю, потрібно бути уважним із включенням або виключенням з відповіді абсцис точки дотику. Це залежить від знаку нерівності: якщо нерівність суворе, то вона не є розв'язком нерівності, а якщо несувора – то є.

приклад.

Чи має квадратну нерівність 10·x 2 −14·x+4,9≤0 хоча б одне рішення?

Рішення.

Побудуємо графік функції y = 10 x 2 -14 x +4,9. Її гілки спрямовані вгору, так як коефіцієнт при x 2 позитивний, і вона стосується осі абсцис у точці з абсцисою 0,7 так як D"=(−7) 2 −10·4,9=0 , звідки або 0,7 у вигляді десяткового дробу Схематично це виглядає так:

Оскільки ми вирішуємо квадратну нерівність зі знаком ≤, то її вирішенням будуть проміжки, на яких парабола нижче за осю Ox , а також абсцис точки торкання. З креслення видно, що немає жодного проміжку, де парабола була нижче осі Ox , тому його рішенням буде лише абсцис точки дотику, тобто, 0,7 .

Відповідь:

дана нерівність має єдине рішення 0,7.

приклад.

Розв'яжіть квадратну нерівність –x 2 +8·x−16<0 .

Рішення.

Діємо за алгоритмом розв'язання квадратних нерівностей та починаємо з побудови графіка. Гілки параболи спрямовані вниз, тому що коефіцієнт при x 2 негативний -1. Знайдемо дискримінант квадратного тричлена –x 2 +8·x−16 , маємо D'=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0і далі x 0 = -4 / (-1), x 0 = 4. Отже, парабола стосується осі Ox у точці з абсцисою 4 . Виконаємо креслення:

Дивимося на знак вихідної нерівності, він є<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

У нашому випадку це відкриті промені (−∞, 4), (4, +∞). Окремо зауважимо, що 4 - абсцис точки торкання - не є рішенням, так як в точці торкання парабола не нижче осі Ox.

Відповідь:

(−∞, 4)∪(4, +∞) або в іншому записі x≠4 .

Зверніть особливу увагу на випадки, коли дискримінант квадратного тричлена, що знаходиться в лівій частині квадратної нерівності, менший за нуль. Тут не треба поспішати і говорити, що нерівність рішень не має (ми ж звикли робити такий висновок для квадратних рівнянь із негативним дискримінантом). Справа в тому, що квадратна нерівність при D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

приклад.

Знайдіть розв'язок квадратної нерівності 3·x 2 +1>0 .

Рішення.

Як завжди починаємо з креслення. Коефіцієнт a дорівнює 3 він позитивний, отже, гілки параболи спрямовані вгору. Обчислюємо дискримінант: D=0 2 −4·3·1=−12 . Оскільки дискримінант негативний, парабола немає з віссю Ox загальних точок. Отриманих відомостей достатньо для схематичного графіка:

Ми вирішуємо строгу квадратну нерівність зі знаком >. Його рішенням будуть всі проміжки, на яких парабола знаходиться вище за осі Ox . У нашому випадку парабола вище за осю абсцис на всьому її протязі, тому шуканим рішенням буде безліч усіх дійсних чисел.

Ox , а також до них потрібно додати абсцис точок перетину або абсцис точки торкання. Але по кресленню добре видно, що таких проміжків немає (оскільки парабола всюди нижче осі абсцис), як немає і точок перетину, як немає і точки торкання. Отже, вихідна квадратна нерівність немає рішень.

Відповідь:

немає рішень або в іншому записі ∅.

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. - М.: Просвітництво, 2008. - 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів/А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів/А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Мордковіч А. Г.Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (профільний рівень)/А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ге вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2008. – 287 с.: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.

Під час уроку ви зможете самостійно вивчити тему «Графічне розв'язання рівнянь, нерівностей». Викладач на занятті розбере графічні методи розв'язання рівнянь та нерівностей. Навчить будувати графіки, аналізувати їх та отримувати розв'язки рівнянь та нерівностей. На уроці також буде розібрано конкретні приклади з цієї теми.

Тема: Числові функції

Урок: Графічне вирішення рівнянь, нерівностей

1. Тема уроку, вступ

Ми розглянули графіки елементарних функцій, зокрема графіки статечних функцій з різними показниками. Також ми розглянули правила зсуву та перетворень графіків функцій. Всі ці навички необхідно застосувати, коли потрібно графічнеРішеннярівнянь чи графічне Рішеннянерівностей.

2. Вирішення рівнянь та нерівностей графічним способом

Приклад 1. Графічно розв'язати рівняння:

Побудуємо графіки функцій (Рис. 1).

Графіком функції є парабола, що проходить через точки

Графік функції – пряма, побудуємо її за таблицею.

Графіки перетинаються в точці Інших точок перетину немає, тому що функція монотонно зростає, функція монотонно зменшується, а значить, їх точка перетину є єдиною.

Відповідь:

Приклад 2. Розв'язати нерівність

a. Щоб виконувати нерівність, графік функції повинен розташовуватися над прямою (Рис. 1). Це виконується при

b. У цьому випадку, навпаки, парабола має бути під прямою. Це виконується при

Приклад 3. Розв'язати нерівність

Побудуємо графіки функцій (Мал. 2).

Знайдемо корінь рівняння При відсутності рішень. При існує одне рішення.

Щоб нерівність гіпербола повинна розташовуватися над прямою Це виконується при .

Відповідь:

Приклад 4. Розв'язати графічно нерівність:

Область визначення:

Побудуємо графіки функцій для (Мал. 3).

a. Графік функції повинен розташовуватися під графіком це виконується при

b. Графік функції розташований над графіком при тому що в умові маємо нестрогий знак, важливо не втратити ізольований корінь

3. Висновок

Ми розглянули графічний метод розв'язання рівнянь та нерівностей; розглянули конкретні приклади, під час вирішення яких використовували такі властивості функцій, як монотонність і парність.

1. Мордкович А. Г. та ін. Алгебра 9 кл.: Навч. Для загальноосвіт. Установ.- 4-те вид. - М: Менімозіна, 2002.-192 с.: іл.

2. Мордкович А. Г. та ін. Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін. - 4-те вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: іл.

3. Макарічев Ю. Н. Алгебра. 9 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ / Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, І. Є. Феоктистів. - 7-е вид., Випр. та дод. - М.: Мнемозіна, 2008.

4. Алімов Ш. А., Колягін Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 клас. 16-те вид. – М., 2011. – 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів/А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е вид., Стер. - М.: 2010. - 224 с.: іл.

6. Алгебра. 9 клас. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учнів загальноосвітніх закладів/А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мішустіна та ін; За ред. А. Г. Мордковича. - 12-е вид., Випр. - М: 2010.-223 с.: іл.

1. Розділ College. ru з математики.

2. Інтернет-проект «Завдання».

3. Освітній портал «ВИРІШУ ЄДІ».

1. Мордкович А. Г. та ін. Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін. - 4-те вид. - М.: Менімозіна, 2002.-143 с.: іл. №355, 356, 364.

див. також Розв'язання задачі лінійного програмування графічно

Система обмежень такого завдання складається з нерівностей від двох змінних:
і цільова функція має вигляд F = C 1 x + C 2 y, що необхідно максимізувати.

Відповімо на запитання: які пари чисел ( x; y) є рішеннями системи нерівностей, тобто задовольняють кожній з нерівностей одночасно? Тобто, що означає вирішити систему графічно?
Попередньо необхідно зрозуміти, що є рішенням однієї лінійної нерівності із двома невідомими.
Вирішити лінійну нерівність із двома невідомими – це означає визначити всі пари значень невідомих, у яких нерівність виконується.
Наприклад, нерівності 3 x – 5y≥ 42 задовольняють пари ( x , y): (100, 2); (3, –10) тощо. буд. Завдання полягає у знаходженні всіх таких пар.
Розглянемо дві нерівності: ax + by≤ c, ax + by≥ c. Пряма ax + by = cділить площину на дві півплощини так, що координати точок однієї з них задовольняють нерівності ax + by >c, а інший нерівності ax + +by <c.
Справді, візьмемо крапку з координатою x = x 0; тоді точка, що лежить на прямій і має абсцису x 0 , має ординату

Нехай для певності a< 0, b>0, c>0. Усі крапки з абсцисою x 0 , що лежать вище P(наприклад, точка М), мають y M>y 0 , а всі крапки, що лежать нижче крапки P, з абсцисою x 0 , мають y N<y 0 . Оскільки x 0 -довільна точка, то завжди з одного боку від прямої будуть знаходитися точки, для яких ax+ by > c, що утворюють напівплощину, а з іншого боку – точки, для яких ax + by< c.

Малюнок 1

Знак нерівності у напівплощині залежить від чисел a, b , c.
Звідси випливає такий спосіб графічного розв'язання систем лінійних нерівностей від двох змінних. Для вирішення системи необхідно:

1. Для кожної нерівності виписати рівняння, що відповідає даній нерівності.
2. Побудувати прямі графіки функцій, що задаються рівняннями.
3. Для кожної прямої визначити напівплощину, яка задається нерівністю. Для цього взяти довільну точку, що не лежить на прямій, підставити її координати в нерівність. якщо нерівність правильна, то напівплощина, що містить обрану точку, і є рішенням вихідної нерівності. Якщо нерівність неправильна, то напівплощину з іншого боку прямої є безліччю рішень даної нерівності.
4. Щоб вирішити систему нерівностей, необхідно знайти область перетину всіх напівплощин, що є розв'язком кожної нерівності системи.

Ця область може бути порожньою, тоді система нерівностей немає рішень, несовместна. Інакше кажуть, що система є спільною.
Рішень може бути кінцеве число і безліч. Область може бути замкнутий багатокутникабо ж бути необмеженою.

Розглянемо три відповідні приклади.

Приклад 1. Вирішити графічну систему:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

• розглянемо рівняння x+y–1=0 та –2x–2y+5=0 , що відповідають нерівностям;
• побудуємо прямі, що задаються цими рівняннями.

Малюнок 2

Визначимо напівплощини, що задаються нерівностями. Візьмемо довільну точку, хай (0; 0). Розглянемо x+ y– 1 0, підставимо точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. отже, у тій напівплощині, де лежить точка (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, тобто. напівплощина, що лежить нижче за пряму, є рішенням першої нерівності. Підставивши цю точку (0; 0), по-друге, отримаємо: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, тобто. у напівплощині, де лежить точка (0; 0), -2 x – 2y+ 5≥ 0, а нас запитували, де –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, отже, в іншій півплощині – у тій, що вище за пряму.
Знайдемо перетин цих двох напівплощин. Прямі паралельні, тому площини ніде не перетинаються, отже, система даних нерівностей рішень не має, несумісна.

Приклад 2. Знайти графічно розв'язання системи нерівностей:

Малюнок 3
1. Випишемо рівняння, що відповідають нерівностям, і побудуємо прямі.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Вибравши точку (0; 0), визначимо знаки нерівностей у напівплощинах:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, тобто. x + 2y– 2 ≤ 0 у півплощині нижче за пряму;
0 – 0 – 1 ≤ 0, тобто. y –x– 1 ≤ 0 у півплощині нижче за пряму;
0 + 2 = 2 ≥ 0, тобто. y+ 2 ≥ 0 у півплощині вище за пряму.
3. Перетином цих трьох напівплощин буде область, що є трикутником. Неважко знайти вершини області, як точки перетину відповідних прямих


Таким чином, А(–3; –2), В(0; 1), З(6; –2).

Розглянемо ще один приклад, в якому область рішення системи, що вийшла, не обмежена.

Графічний метод одна із основних методів розв'язання квадратних нерівностей. У статті наведемо алгоритм застосування графічного методу, а потім розглянемо окремі випадки на прикладах.

Суть графічного методу

Метод застосовний на вирішення будь-яких нерівностей, як квадратних. Суть його ось у чому: праву і ліву частини нерівності розглядають як дві окремі функції y = f (x) і y = g (x) , їх графіки будують у прямокутній системі координат і дивляться, який графік розташовується вище іншого, і яких проміжках. Оцінюються проміжки так:

Визначення 1

• рішеннями нерівності f (x) > g (x) є інтервали, де графік функції f вище графіка функції g;
• рішеннями нерівності f (x) ≥ g (x) є інтервали, де графік функції f не нижче графіка функції g;
• рішеннями нерівності f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• рішеннями нерівності f (x) ≤ g (x) є інтервали, де графік функції f не вище графіка функції g ;
• абсциси точок перетину графіків функцій f і g є рішеннями рівняння f(x) = g(x).

Розглянемо наведений вище алгоритм з прикладу. Для цього візьмемо квадратну нерівність a · x 2 + b · x + c< 0 (≤ , >, ≥) та виведемо з нього дві функції. Ліва частина нерівності відповідатиме y = a · x 2 + b · x + c (при цьому f (x) = a · x 2 + b · x + c) , а права y = 0 (при цьому g (x) = 0).

Графіком першої функції є парабола, друга пряма лінія, яка збігається з віссю абсцис О х. Проаналізуємо положення параболи щодо осі Ох. Для цього виконаємо схематичний рисунок.

Гілки параболи спрямовані нагору. Вона перетинає вісь О х у точках x 1і x 2. Коефіцієнт а в даному випадку позитивний, тому що саме він відповідає за напрямок гілок параболи. Дискримінант позитивний, що вказує на наявність двох коренів у квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c. Коріння тричлена ми позначили як x 1і x 2, причому прийняли, що x 1< x 2 , тому що на осі О х зобразили крапку з абсцисою x 1ліворуч крапки з абсцисою x 2.

Частини параболи, розташовані вище за осі Ох позначимо червоним, нижче – синім. Це дозволить нам зробити малюнок наочнішим.

Виділимо проміжки, які відповідають цим частинам та відзначимо їх на малюнку полями певного кольору.

Червоним ми відзначили проміжки (− ∞ , x 1) та (x 2 , + ∞) , на них парабола вище за осю О х. Вони є a · x 2 + b · x + c > 0. Синім ми відзначили проміжок (x 1 , x 2) , який є розв'язком нерівності a · x 2 + b · x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Зробимо короткий запис рішення. При a > 0 і D = b 2 − 4 · a · c > 0 (або D " = D 4 > 0 при парному коефіцієнті b) ми отримуємо:

• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c > 0 є (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) або в іншому записі x< x 1 , x >x 2;
• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c ≥ 0 є (− ∞ , x 1 ) ∪ [ x 2 , + ∞) або в іншому записі x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c ≤ 0 є [ x 1 , x 2 ] або в іншому записі x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

де x 1 і x 2 – коріння квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c, причому x 1< x 2 .

На цьому малюнку парабола стосується осі O х тільки в одній точці, яка позначена як x 0 a > 0. D = 0, отже, квадратний тричлен має один корінь x 0.

Парабола розташована вище за осю O х повністю, за винятком точки дотику координатної осі. Позначимо кольором проміжки (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Запишемо результати. При a > 0і D = 0:

• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c > 0є (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) або в іншому записі x ≠ x 0;
• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c ≥ 0є (− ∞ , + ∞) або в іншому записі x ∈ R ;
• квадратна нерівність a · x 2 + b · x + c< 0 не має рішень (немає інтервалів, на яких парабола розташована нижче за осю O x);
• квадратна нерівність a · x 2 + b · x + c ≤ 0має єдине рішення x = x 0(його дає точка торкання),

де x 0- Корінь квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c.

Розглянемо третій випадок, коли гілки параболи спрямовані нагору і не торкаються осі O x. Гілки параболи спрямовані вгору, що означає, що a > 0. Квадратний тричлен не має дійсних коренів, оскільки D< 0 .

На графіку немає інтервалів, на яких парабола була б нижчою від осі абсцис. Це ми враховуватимемо при виборі кольору для нашого малюнка.

Виходить, що за a > 0і D< 0 розв'язанням квадратних нерівностей a · x 2 + b · x + c > 0і a · x 2 + b · x + c ≥ 0є безліч усіх дійсних чисел, а нерівності a · x 2 + b · x + c< 0 і a · x 2 + b · x + c ≤ 0немає рішень.

Нам залишилося розглянути три варіанти, коли гілки параболи спрямовані вниз. На цих трьох варіантах можна не зупинятися докладно, тому що при множенні обох частин нерівності на − 1 отримуємо рівносильну нерівність з позитивним коефіцієнтом при х 2 .

Розгляд попереднього розділу статті підготував нас до сприйняття алгоритму розв'язання нерівностей з використанням графічного методу. Для проведення обчислень нам необхідно буде щоразу використовувати креслення, на якому буде зображено координатну пряму O х і параболу, яка відповідає квадратичній функції y = a · x 2 + b · x + c. Ось O у ми в більшості випадків зображати не будемо, так як для обчислень вона не потрібна і лише перевантажуватиме креслення.

Для побудови параболи нам необхідно знати дві речі:

Визначення 2

• напрям гілок, яке визначається значенням коефіцієнта a;
• наявність точок перетину параболи та осі абсцис, які визначаються значенням дискримінанта квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c.

Точки перетину та торкання ми будемо позначати звичайним способом при розв'язанні нестрогих нерівностей та порожніми при розв'язанні суворих.

Наявність готового креслення дозволяє перейти до наступного кроку рішення. Він передбачає визначення проміжків, на яких парабола розташовується вище або нижче за осю O х. Проміжки та точки перетину є рішенням квадратної нерівності. Якщо точок перетину чи торкання немає і немає інтервалів, то вважається, що задана в умовах завдання нерівність не має розв'язків.

Тепер розв'яжемо кілька квадратних нерівностей, використовуючи наведений вище алгоритм.

Приклад 1

Необхідно вирішити нерівність 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 графічним способом.

Рішення

Намалюємо графік квадратичної функції y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2. Коефіцієнт при x 2позитивний, тому що дорівнює 2 . Це означає, що гілки параболи будуть спрямовані нагору.

Обчислимо дискримінант квадратного тричлена 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 для того, щоб з'ясувати, чи парабола з віссю абсцис має загальні точки. Отримуємо:

D = 5 1 3 2 - 4 · 2 · (- 2) = 400 9

Як бачимо, D більше за нуль, отже, у нас є дві точки перетину: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 · 2 і x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 · 2 , тобто, x 1 = − 3і x 2 = 13.

Ми вирішуємо несувору нерівність, отже проставляємо на графіку звичайні точки. Малюємо параболу. Як бачите, малюнок має такий самий вигляд як і в першому розглянутому нами шаблоні.

Наша нерівність має знак ≤. Отже, нам потрібно виділити проміжки на графіку, на яких парабола розташована нижче за осі O x і додати до них точки перетину.

Потрібний інтервал – 3 , 1 3 . Додаємо до нього точки перетину та отримуємо числовий відрізок − 3 , 1 3 . Це і є вирішення нашого завдання. Записати відповідь можна у вигляді подвійної нерівності: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Відповідь:− 3 , 1 3 або − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Приклад 2

− x 2 + 16 · x − 63< 0 графічним способом.

Рішення

Квадрат змінної має негативний числовий коефіцієнт, тому гілки параболи будуть спрямовані вниз. Обчислимо четверту частину дискримінанта D" = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Такий результат підказує нам, що точок перетину буде дві.

Обчислимо коріння квадратного тричлена: x 1 = - 8 + 1 - 1 і x 2 = - 8 - 1 - 1 , x 1 = 7 x 2 = 9.

Виходить, що парабола перетинає вісь абсцис у точках 7 і 9 . Зазначимо ці точки на графіку порожніми, оскільки ми працюємо із суворою нерівністю. Після цього намалюємо параболу, яка перетинає вісь O х у зазначених точках.

Нас цікавитимуть проміжки, на яких парабола розташовується нижче за осю O х. Відзначимо ці інтервали синім кольором.

Отримуємо відповідь: розв'язком нерівності є проміжки (− ∞ , 7) , (9 , + ∞) .

Відповідь:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) або в іншому записі x< 7 , x > 9 .

У випадках, коли дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулю, необхідно уважно підходити до питання, чи варто включати у відповідь абсциси точки торкання. Для того, щоб прийняти правильне рішеннянеобхідно враховувати знак нерівності. У суворих нерівностях точка торкання осі абсцис не є розв'язком нерівності, у нестрогих є.

Приклад 3

Розв'яжіть квадратну нерівність 10 · x 2 − 14 · x + 4, 9 ≤ 0графічним способом.

Рішення

Гілки параболи в даному випадку будуть спрямовані нагору. Вона стосуватиметься осі O х у точці 0 , 7 , оскільки

Побудуємо графік функції y = 10 · x 2 − 14 · x + 4 , 9. Її гілки спрямовані вгору, оскільки коефіцієнт при x 2позитивний, і вона стосується осі абсцис у точці з абсцисою 0 , 7 , так як D " = (− 7) 2 - 10 · 4 , 9 = 0, Звідки x 0 = 7 10 або 0 , 7 .

Поставимо крапку та намалюємо параболу.

Ми вирішуємо не сувору нерівність зі знаком ≤. Отже. Нас цікавитимуть проміжки, на яких парабола розташовується нижче за осі абсцис і точку торкання. На малюнку немає інтервалів, які б задовольняли нашим умовам. Є лише точка торкання 0,7. Це і шукане рішення.

Відповідь:Нерівність має лише одне рішення 0,7.

Приклад 4

Розв'яжіть квадратну нерівність – x 2 + 8 · x − 16< 0 .

Рішення

Гілки параболи спрямовані вниз. Дискримінант дорівнює нулю. Точка перетину x 0 = 4.

Відзначаємо точку торкання осі абсцис і малюємо параболу.

Ми маємо справу зі суворою нерівністю. Отже, нас цікавлять інтервали, на яких парабола розташована нижче за осю O х. Відзначимо їх синім.

Точка з абсцисою 4 не є рішенням, так як у ній парабола не розташована нижче за осю O x . Отже, ми отримуємо два інтервали (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Відповідь: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) або в іншому записі x ≠ 4 .

Не завжди при негативному значенні дискримінанта нерівність не матиме рішень. Є випадки, коли рішенням буде безліч дійсних чисел.

Приклад 5

Розв'яжіть квадратну нерівність 3 · x 2 + 1 > 0 графічним способом.

Рішення

Коефіцієнт а позитивний. Дискримінант негативний. Гілки параболи будуть спрямовані нагору. Точка перетину параболи з віссю O х немає. Звернемося до малюнка.

Ми працюємо із суворою нерівністю, яка має знак > . Це означає, що нас цікавлять проміжки, на яких парабола розташовується вище за осі абсцис. Це саме той випадок, коли відповіддю є безліч усіх дійсних чисел.

Відповідь:(− ∞ , + ∞) або так x ∈ R .

Приклад 6

Необхідно визначити рішення нерівності − 2 · x 2 − 7 · x − 12 ≥ 0графічним способом.

Рішення

Гілки параболи спрямовані вниз. Дискримінант негативний, отже, загальних точок параболи та осі абсцис немає. Звернемося до малюнка.

Ми працюємо з несуворою нерівністю зі знаком ≥ , отже, інтерес для нас представляють проміжки, на яких парабола розташовується вище за осі абсцис. Зважаючи на графік, таких проміжків немає. Це означає, що ця умова завдання нерівність немає рішень.

Відповідь:Нема рішень.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter