Рівняння x 2 1. Рішення рівняння x2 \u003d a. Неповні квадратні рівняння

((3 * x - 1) \u003d 0;

- (3 * x - 1) \u003d 0;

Звідси отримуємо, що є одне рівняння 3 * x - 1 \u003d 0.

Отримали лінійне рівняння у вигляді 3 * x - 1 \u003d 0

Для того, щоб вирішити рівняння, визначимо які властивості має рівняння:

• Рівняння є лінійним, і записується у вигляді a * x + b \u003d 0, де a і b - будь-які числа;
• При a \u003d b \u003d 0, рівняння має безліч рішень;
• Якщо a \u003d 0, b ≠ 0, рівняння не має рішення;
• Якщо a ≠ 0, b \u003d 0, рівняння має рішення: x \u003d 0;
• Якщо, а й b - будь-які числа, крім 0, то корінь знаходиться за наступною формулою x \u003d - b / a.

Звідси отримуємо, що a \u003d 3, b \u003d - 1, значить, рівняння має один корінь.

Перевірка рішення рівняння

Підставами знайдене значення х \u003d 1/3 в початкове вираз | 3 * x - 1 | \u003d 0, тоді отримаємо:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

Для того, щоб знайти значення виразу, спочатку в порядку черги обчислюємо множення або ділення, потім проводяться дії додавання і віднімання. Тобто отримуємо:

Значить, х \u003d 1/3 є коренем рівняння | 3 * x - 1 | \u003d 0.

| 3 * x - 1 | \u003d 0;

Модуль розкривається зі знаком плюс і мінус. Отримаємо 2 рівняння:

1) 3 * x - 1 \u003d 0;

Відомі значення переносимо на одну сторону, а невідомі на іншу сторону. При перенесенні значень, їх знаки змінюються на протилежний знак. Тобто отримуємо:
3 * x \u003d 0 + 1;
3 * x \u003d 1;
x \u003d 1/3;

2) - (3 * x - 1) \u003d 0;

Розкриваємо дужки. Так як, перед дужками стоїть знак мінус, то при її розкритті, знаки значень змінюються на протилежний знак. Тобто отримуємо:
- 3 * x + 1 \u003d 0;
- 3 * x \u003d - 1;
x \u003d - 1 / (- 3);
x \u003d 1/3;
Відповідь: х \u003d 1/3.

Розглянемо рівняння x ^ 2 \u003d a, де в якості а, може виступати довільне число. Існує три випадки вирішення цього рівняння, в залежності від значення, яке приймає число а (а0).

Розглянемо кожен з випадків окремо.

Приклади різних випадків рівняння x ^ 2 \u003d a

x ^ 2 \u003d a, при a<0

Так як квадрат будь-якого дійсного числа не може бути негативним числом, рівняння x ^ 2 \u003d a, при a

x ^ 2 \u003d a, при a \u003d 0

В даному випадку рівняння має один корінь. Цим коренем є число 0. Так як рівняння можна переписати у вигляді х * х \u003d 0, то ще іноді говорять, що дане рівняння має два кореня, які рівні між собою і дорівнюють 0.

x ^ 2 \u003d a, при a\u003e 0

У цьому випадку рівняння x ^ 2 \u003d a, при aРешается воно наступним чином. Спочатку переносимо а в ліву частину.

З визначення квадратного кореня випливає, що a можна записати в наступному вигляді: a \u003d (√a) ^ 2. Тоді рівняння можна переписати таким чином:

x ^ 2 - (√a) ^ 2 \u003d 0.

У лівій частині бачимо формулу різниці квадратів, розкладемо її.

(X + √a) * (x-√a) \u003d 0;

Твір двох дужок дорівнює нулю, якщо хоча б одна з них дорівнює нулю. отже,

Звідси, x1 \u003d √a x2 \u003d -√a.

Дане рішення можна перевірити і побудувавши графік.

Для прикладу зробимо це для рівняння x ^ 2 \u003d 4.

Для цього необхідно побудувати два графіка y \u003d x ^ 2 і y \u003d 4. І подивитися координати х їх точок перетину. Коріння повинні вийти 2 і -2. На малюнку все наочно видно.

Потрібна допомога в навчанні?

Попередня тема:

В курсі математики 7 класу вперше зустрічаються з рівняннями з двома змінними, Але вивчаються вони лише в контексті систем рівнянь з двома невідомими. Саме тому з поля зору випадає цілий ряд завдань, в яких на коефіцієнти рівняння введені деякі умови, їх обмежують. Крім того, залишаються поза увагою і методи вирішення завдань типу «Вирішити рівняння в натуральних або цілих числах», хоча в матеріалах ЄДІ і на вступних іспитах завдання такого роду зустрічаються все частіше і частіше.

Яке рівняння буде називатися рівнянням з двома змінними?

Так, наприклад, рівняння 5x + 2y \u003d 10, x 2 + y 2 \u003d 20 або xy \u003d 12 є рівняннями з двома змінними.

Розглянемо рівняння 2x - y \u003d 1. Воно звертається в вірне рівність при x \u003d 2 і y \u003d 3, тому ця пара значень змінних є рішенням даного рівняння.

Таким чином, рішенням будь-якого рівняння з двома змінними є безліч впорядкованих пар (x; y), значень змінних, які це рівняння звертають в правильну числову рівність.

Рівняння з двома невідомими може:

а) мати одне рішення. Наприклад, рівняння x 2 + 5y 2 \u003d 0 має єдине рішення (0; 0);

б) мати кілька рішень. Наприклад, (5 - | x |) 2 + (| y | - 2) 2 \u003d 0 має 4 рішення: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

в) не мати рішень. Наприклад, рівняння x 2 + y 2 + 1 \u003d 0 не має рішень;

г) мати нескінченно багато рішень. Наприклад, x + y \u003d 3. Рішеннями цього рівняння будуть числа, сума яких дорівнює 3. Безліч рішень даного рівняння можна записати у вигляді (k; 3 - k), де k - будь-яке дійсне число.

Основними методами рішення рівнянь з двома змінними є методи, засновані на розкладанні виразів на множники, виділення повного квадрата, використання властивостей квадратного рівняння, обмеженості виразів, оціночні методи. Рівняння, як правило, перетворюють до вигляду, з якого можна отримати систему для знаходження невідомих.

Розкладання на множники

Приклад 1.

Вирішити рівняння: xy - 2 \u003d 2x - y.

Рішення.

Групуємо складові з метою розкладання на множники:

(Xy + y) - (2x + 2) \u003d 0. З кожної дужки винесемо загальний множник:

y (x + 1) - 2 (x + 1) \u003d 0;

(X + 1) (y - 2) \u003d 0. Маємо:

y \u003d 2, x - будь-яке дійсне число або x \u003d -1, y - будь-яке дійсне число.

Таким чином, відповіддю є всі пари виду (x; 2), x € R і (-1; y), y € R.

Рівність нулю невід'ємних чисел

Приклад 2.

Вирішити рівняння: 9x 2 + 4y 2 + 13 \u003d 12 (x + y).

Рішення.

групуємо:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) \u003d 0. Тепер кожну дужку можна згорнути за формулою квадрата різниці.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 \u003d 0.

Сума двох невід'ємних виразів дорівнює нулю, тільки якщо 3x - 2 \u003d 0 і 2y - 3 \u003d 0.

А значить, x \u003d 2/3 і y \u003d 3/2.

Відповідь: (2/3; 3/2).

оціночний метод

Приклад 3.

Вирішити рівняння: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) \u003d 2.

Рішення.

У кожній дужці виділимо повний квадрат:

((X + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) \u003d 2. Оцінимо значення виразів, що стоять в дужках.

(X + 1) 2 + 1 ≥ 1 і (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, тоді ліва частина рівняння завжди не менш 2. Рівність можливо, якщо:

(X + 1) 2 + 1 \u003d 1 і (y - 2) 2 + 2 \u003d 2, а значить x \u003d -1, y \u003d 2.

Відповідь: (-1; 2).

Познайомимося з ще одним методом вирішення рівнянь з двома змінними другого ступеня. Цей метод полягає в тому, що рівняння розглядається як квадратне відносно будь-якої змінної.

Приклад 4.

Вирішити рівняння: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 \u003d 0.

Рішення.

Вирішимо рівняння як квадратне відносно x. Знайдемо дискримінант:

D \u003d 36 - 4 (y - 4√y + 13) \u003d -4y + 16√y - 16 \u003d -4 (√y - 2) 2. Рівняння матиме рішення тільки при D \u003d 0, т. Е. В тому випадку, якщо y \u003d 4. Підставляємо значення y в вихідне рівняння і знаходимо, що x \u003d 3.

Відповідь: (3; 4).

Часто в рівняннях з двома невідомими вказують обмеження на змінні.

Приклад 5.

Вирішити рівняння в цілих числах: x 2 + 5y 2 \u003d 20x + 2.

Рішення.

Перепишемо рівняння у вигляді x 2 \u003d -5y 2 + 20x + 2. права частина отриманого рівняння при розподілі на 5 дає в залишку 2. Отже, x 2 не ділиться на 5. Але квадрат числа, що не ділиться на 5, дає в залишку 1 або 4. Таким чином, рівність неможливо і рішень немає.

Відповідь: немає коренів.

Приклад 6.

Вирішити рівняння: (x 2 - 4 | x | + 5) (y 2 + 6y + 12) \u003d 3.

Рішення.

Виділимо повні квадрати в кожній дужці:

((| X | - 2) 2 + 1) ((y + 3) 2 + 3) \u003d 3. Ліва частина рівняння завжди більше або дорівнює 3. Рівність можливо за умови | x | - 2 \u003d 0 і y + 3 \u003d 0. Таким чином, x \u003d ± 2, y \u003d -3.

Відповідь: (2; -3) і (-2; -3).

Приклад 7.

Для кожної пари цілих негативних чисел (x; y), що задовольняють рівняння
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y \u003d 33, обчислити суму (x + y). У відповіді вказати найменшу з сум.

Рішення.

Виділимо повні квадрати:

(X 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) \u003d 37;

(X - y) 2 + (y + 2) 2 \u003d 37. Так як x і y - цілі числа, то їх квадрати також цілі числа. Суму квадратів двох цілих чисел, яка дорівнює 37, отримаємо, якщо складаємо 1 + 36. Отже:

(X - y) 2 \u003d 36 і (y + 2) 2 \u003d 1

(X - y) 2 \u003d 1 і (y + 2) 2 \u003d 36.

Вирішуючи ці системи і враховуючи, що x і y - негативні, знаходимо рішення: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Відповідь: -17.

Не варто впадати у відчай, якщо при вирішенні рівнянь з двома невідомими у вас виникають труднощі. Трохи практики, і ви зможете впоратися з будь-якими рівняннями.

Залишилися питання? Не знаєте, як вирішувати рівняння з двома змінними?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
Перший урок - безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Пропонуємо вам зручний безкоштовний онлайн калькулятор для вирішення квадратних рівнянь. Ви зможете швидко отримати і розібратися, як вони вирішуються, на зрозумілих прикладах.
щоб зробити рішення квадратного рівняння онлайн, Спочатку приведіть рівняння до загальному вигляду:
ax 2 + bx + c \u003d 0
Заповніть відповідно поля форми:

Як вирішити квадратне рівняння

Як вирішити квадратне рівняння:	Види коренів:
1. Привести квадратне рівняння до загального вигляду: Загальний вигляд Аx 2 + Bx + C \u003d 0 Приклад: 3х - 2х 2 + 1 \u003d -1 Наводимо до 2х 2 + 3х + 2 \u003d 0 2. Знаходимо дискримінант D. D \u003d B 2 -4 * A * C. Для нашого прикладу D \u003d 9-(4 * (- 2) * 2) \u003d 9 + 16 \u003d 25. 3. Знаходимо корені рівняння. x1 \u003d (- В + D 1/2) / 2А. Для нашого випадку x1 \u003d (- 3 + 5) / (- 4) \u003d - 0,5 x2 \u003d (- По-D 1/2) / 2А. Для нашого прикладу x2 \u003d (- 3-5) / (- 4) \u003d 2 Якщо В - парне число, то діскріманант і коріння зручніше вважати за формулами: D \u003d К 2 -ac x1 \u003d (- K + D 1/2) / А x2 \u003d (- K-D 1/2) / А, Де K \u003d B / 2	1. Дійсні корені. Причому. x1 не дорівнює x2 Ситуація виникає, коли D\u003e 0 і A не дорівнює 0. 2. Дійсні корені збігаються. x1 одно x2 Ситуація виникає, коли D \u003d 0. Однак при цьому, ні А, ні В, ні С не повинні бути рівні 0. 3. Два комплексних кореня. x1 \u003d d + ei, x2 \u003d d-ei, де i \u003d - (1) 1/2 Ситуація виникає, коли D 4. Рівняння має одне рішення. A \u003d 0, B і C нулю не рівні. Рівняння ставати лінійним. 5. Рівняння має незліченну кількість рішень. A \u003d 0, B \u003d 0, C \u003d 0. 6. Рівняння рішень не має. A \u003d 0, B \u003d 0, C не дорівнює 0.

Для закріплення алгоритму, ось ще кілька показових прикладів рішень квадратних рівнянь.

Приклад 1. Рішення звичайного квадратного рівняння з різними дійсними коренями.
x 2 + 3x -10 \u003d 0
У цьому рівнянні
А \u003d 1, B \u003d 3, С \u003d -10
D \u003d B 2 -4 * A * C \u003d 9-4 * 1 * (- 10) \u003d 9 + 40 \u003d 49
квадратний корінь будемо позначати, як число 1/2!
x1 \u003d (- В + D 1/2) / 2А \u003d (-3 + 7) / 2 \u003d 2
x2 \u003d (- По-D 1/2) / 2А \u003d (-3-7) / 2 \u003d -5

Для перевірки підставимо:
(X2) * (x + 5) \u003d x2 -2x + 5x - 10 \u003d x2 + 3x -10

Приклад 2. Рішення квадратного рівняння з збігом дійсних коренів.
х 2 - 8x + 16 \u003d 0
А \u003d 1, B \u003d -8, С \u003d 16
D \u003d k 2 - AC \u003d 16 - 16 \u003d 0
X \u003d -k / A \u003d 4

підставами
(X-4) * (x-4) \u003d (x-4) 2 \u003d X 2 - 8x + 16

Приклад 3. Рішення квадратного рівняння з комплексними коренями.
13х 2 - 4x + 1 \u003d 0
А \u003d 1, B \u003d -4, С \u003d 9
D \u003d b 2 - 4AC \u003d 16 - 4 * 13 * 1 \u003d 16 - 52 \u003d -36
Дискримінант негативний - коріння комплексні.

X1 \u003d (- В + D 1/2) / 2А \u003d (4 + 6i) / (2 * 13) \u003d 2/13 + 3i / 13
x2 \u003d (- По-D 1/2) / 2А \u003d (4-6i) / (2 * 13) \u003d 2 / 13-3i / 13
, Де I - це квадратний корінь з -1

Ось власне всі можливі випадки рішення квадратних рівнянь.
Сподіваємося, що наш онлайн калькулятор виявиться вельми корисним для вас.
Якщо матеріал був корисний, ви можете