Основні властивості невизначеного інтеграла з прикладами. Основні властивості невизначеного інтеграла. Инвариантность форм інтегрування

сума ряду

сайтдозволяє знайти суму ряду онлайнчислової послідовності. Крім знаходження суми ряду онлайн числової послідовності, сервер в режимі онлайнзнайде часткову суму ряду. Це корисно для аналітичних викладок, коли суму ряду онлайннеобхідно представити і знайти як рішення границі послідовності часткових сум ряду. У порівнянні з іншими сайтами, сайтмає незаперечну перевагу, так як дозволяє знайти суму ряду онлайнне тільки числового, а й функціонального ряду, Що дозволить визначити область збіжності вихідного ряду, Застосовуючи найбільш відомі методи. Відповідно до теорії рядів, Необхідною умовою збіжності числової послідовності є рівність нулю межі від загального члена числового ряду при прагненні змінної до безкінечності. Однак, ця умова не є достатнім для визначення збіжності числового ряду онлайн .. Для визначення збіжності рядів онлайнзнайдені різноманітні достатні ознаки збіжності або розбіжність ряду. Найбільш відомі і часто вживані з них - це ознаки Д "Аламбера, Коші, Раабе, порівняння числових рядів, А також інтегральний ознака збіжності числового ряду. Особливе місце серед числових рядівзаймають такі, в яких знаки доданків строго чергуються, а абсолютні величини числових рядівмонотонно зменшуються. Виявляється, для таких числових рядівнеобхідний ознака збіжності ряду онлайн є одночасно і достатнім, тобто рівність нулю межі від загального члена числового рядупри прагненні змінної до безкінечності. Існує безліч різних сайтів, на яких представлені серверидля обчислення суми ряду онлайн, А також розкладання функцій в рядв режимі онлайн в деякій точці з області визначення цієї функції. Якщо розкласти функцію в ряд онлайнне представляє на цих серверах особливих зусиль, то обчислити суму функціонального ряду онлайн, Кожним членом якого, на відміну від числового ряду, Є не число, а функція, представляється практично неможливим через відсутність необхідних технічних ресурсів. для www.сайттакої проблеми не існує.

За час зберігання вкладу в банку відсотки по ньому нараховувалися щомісячно спочатку в розмірі 5%, потім 12%, потім і, нарешті, 12,5% в місяць. Відомо, що під дією кожної нової процентної ставки внесок знаходився ціле число місяців, а після закінчення терміну зберігання початкова сума збільшилася на Визначте термін зберігання вкладу.

Рішення.

відомо:

1. Відсотки на вклад нараховувалися щомісячно.

2. Кожна наступна відсоткова надбавка після закінчення календарного місяця нараховувалася з урахуванням новоствореної суми вкладу і з урахуванням попередніх надбавок.

Якщо початкова сума вкладу при щомісячній 5% -ною ставкою нарахування відсотків протрималася місяців, то внесок щомісяця збільшувався в раз, і цей коефіцієнт буде збережений до тих пір, поки ставка не зміниться.

При зміні процентної надбавки з на (ставка протрималася місяців) початкова сума вкладу за місяців збільшиться в рази.

Припустимо, що процентна ставка протрималася місяців, а процентна ставка протрималася місяців. Тоді відповідні коефіцієнти підвищення складуть:

Таким чином, коефіцієнт підвищення суми вкладу в цілому за весь період зберігання вкладу в банку складе:

З іншого боку, згідно з умовою завдання початкова сума вкладу за цей же час збільшилася на те є в

Згідно з основною теоремою арифметики кожне натуральне число, Більше 1, можна представити у вигляді добутку простих множників, і це уявлення єдине з точністю до порядку їх слідування. В такому випадку:

Вирішимо цю систему щодо натуральних і З останнього рівняння системи маємо: При цих значеннях і система набуде вигляду:

Отже, вклад у банку на зберіганні був 7 місяців. При знайдених значеннях і дійсно дорівнює нулю.

Відповідь: 7.

Примітка.

Простіший варіант цього завдання см. В номерах і.

Джерело: А. Ларін: Тренувальний варіант № 81.

Семен Кузнєцов планував вкласти всі свої заощадження на ощадний рахунок в банк «навроде» під 500%, розраховуючи через рік забрати Арублів. Однак крах банку «навроде» змінив його плани, запобігши необдуманий вчинок. В результаті частина грошей пан Кузнєцов поклав в банк «Перший Муніципальний», а решта - в банку з-під макаронів. Через рік «Перший Муніципальний» підвищив відсоток виплат в два з половиною рази, і пан Кузнєцов вирішив залишити вклад ще на рік. В результаті розмір суми, отриманої в «Першому Муніципальному», склав рублів. Визначте, який відсоток за перший рік нарахував банк «Перший Муніципальний», якщо в банку з-під макаронів Семен «вклав» рублів.

Рішення.

Припустимо, що заощадження Кузнєцова становили хр.

Семен планував через рік отримати в банку «навроде», 6 х = А(Р).

Однак пан Кузнєцов (р) своїх заощаджень «вклав» в банку з-під макаронів, а решта рублів - в банк «Перший Муніципальний». Скажімо, в цьому банку процентні виплати в перший рік зберігання коштів склали y%. Тоді в другій рік ця процентна ставка стала%. За 2 роки зберігання в банку «Перший Муніципальний» вклад Семена виріс до

А значення цього виразу одно

Вирішимо рівняння щодо у.

Не підходить за змістом завдання.

Семену Кузнєцову банк «Перший Муніципальний» за перший рік зберігання вкладу нарахував 20%.

Відповідь: 20%.

Джерело: А. Ларін: Тренувальний варіант № 94.

Класифікатор базової частини: Практичні завдання

І т.д. - достатньо самих мінімальних знань про числових рядах. Необхідно розуміти, що таке ряд, вміти розписувати його детально і не округляти очі після словосполучень «ряд сходиться», «ряд розходиться», «сума ряду». Тому, якщо ваш настрій зовсім на нулі, будь ласка, приділіть 5-10 хвилин статті Ряди для чайників(Буквально перші 2-3 сторінки), а потім повертайтеся сюди і сміливо починайте вирішувати приклади!

Слід зазначити, що в більшості випадків знайти суму ряду непросто, і це питання зазвичай вирішується через функціональні ряди (Доживемо-доживемо :)). Так, наприклад, сума популярного артиста виводиться через ряди Фур'є. У зв'язку з цим на практиці майже завжди потрібно встановити сам факт збіжності, Але не знайти конкретне число (багато, думаю, вже встигли це помітити). Однак серед безлічі числових рядів є нечисленні представники, які дозволяють без особливих проблем доторкнутися до святая святих навіть повного чайнику. І на вступному уроці я наводив приклад нескінченно спадної геометричної прогресії , Сума якої легко розраховується за відомою шкільної формулою.

У даній статті ми продовжимо розглядати схожі приклади, крім того, дізнаємося суворе визначення суми і попутно познайомимося з деякими властивостями рядів. Разомнёмся ... да прямо на прогресіях і разомнёмся:

приклад 1

Знайти суму ряду

Рішення: Уявімо наш ряд у вигляді суми двох рядів:

чому в данномувипадку так можна зробити? Виконані дії засновані на двох найпростіших твердженнях:

1) Якщо сходяться ряди , То будуть сходитися і ряди, складені з сум або різниць відповідних членів:. При цьому істотно те обставина, що мова йде про сходятьсярядах. У нашём прикладі ми заздалегідь знаємо, Що обидві геометричні прогресії зійдуться, а значить, без всяких сумнівів розкладаємо вихідний ряд в два ряди.

2) Друге властивість ще очевидніше. Константу можна винести за межі ряду: , І це не вплине на його збіжність або розбіжність і підсумкову суму. Навіщо виносити константу? Так просто щоб вона «не заважати під ногами». Але іноді буває вигідно цього і не робити

Чистове оформлення прикладу виглядає приблизно так:

Двічі використовуємо формулу для знаходження суми нескінченно спадної геометричної прогресії:, де - перший член прогресії, - підстава прогресії.

відповідь: Сума ряду

Початок рішення можна оформити кілька в іншому стилі - розписати ряд безпосередньо і перегрупувати його члени:

Далі по накатаній.

приклад 2

Знайти суму ряду

Це приклад для самостійного рішення. Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Яких-небудь особливих вишукувань тут немає, але одного разу мені попався незвичайний ряд, який може застати зненацька недосвідченого людини. Це ... теж нескінченно спадна геометрична прогресія! Дійсно,, і сума розраховується буквально за пару миттєвостей: .

А зараз цілющий ковток математичного аналізу, необхідний для вирішення подальших завдань:

Що таке сума ряду?

Суворе визначення збіжності / розбіжність і суми ряду в теорії дається через так звані часткові сумиряду. Часткові - значить неповні. Розпишемо часткові суми числового ряду :

І особливу рольвідіграє часткова сума «ен» членів ряду:

Якщо межа часткових сум числового ряду дорівнює кінцевомучислу:, то такий ряд називають сходящимся, А саме число - сумою ряду. Якщо ж межа нескінченний або його не існує, то ряд називають розбіжним.

Повернемося до демонстраційного ряду і розпишемо його часткові суми:

Межа часткових сум - є в точності нескінченно спадна геометрична прогресія, сума якої дорівнює:. Схожий межа ми розглядали на уроці про числових послідовностях. Власне, і сама формула - це прямий наслідок вищевикладених теоретичних викладок (див. 2-ий тому матюків).

Таким чином, вимальовується загальний алгоритм вирішення нашої задачі: Необхідно скласти енну часткову суму ряду і знайти межа. Подивимося, як це здійснюється на практиці:

приклад 3

Обчислити суму ряду

Рішення: На першому кроці потрібно розкласти загальний член рядув суму дробів. використовуємо метод невизначених коефіцієнтів:

В результаті:

Одразу жкорисно провести зворотну дію, виконавши тим самим перевірку:

Отримано загальний член ряду в початковому вигляді, отже, розкладання в суму дробів проведено успішно.

Тепер складемо часткову суму ряду. Взагалі це робиться усно, але один раз я максимально докладно розпишу, що звідки взялося:

Як записати абсолютно зрозуміло, але чому дорівнює попередній член? До загального член ряду ЗАМІСТЬ«Ен» підставляємо:

Майже всі складові часткової суми благополучно взаимоуничтожаются:


Прямо такі позначки і робимо олівцем у зошиті. Страшенно зручно.

Залишилося обчислити елементарний межа і дізнатися суму ряду:

відповідь:

Аналогічний ряд для самостійного рішення:

приклад 4

Обчислити суму ряду

Зразок чистового оформлення рішення в кінці уроку.

Очевидно, що знаходження суми ряду - це саме по собі доказ його збіжності (крім ознак порівняння, Даламбера, Кошіі ін.), про що, зокрема, натякає формулювання наступного завдання:

приклад 5

Знайти суму ряду або встановити його розбіжність

За зовнішнім виглядом загального члена можна відразу сказати, як поводиться цей товариш. Без комплексів. За допомогою граничного ознаки порівняннялегко з'ясувати (причому навіть усно), що даний ряд буде сходитися разом з рядом. Але перед нами рідкісний випадок, коли без особливого клопоту розраховується ще і сума.

Рішення: Розкладемо знаменник дробу на витвір. Для цього потрібно вирішити квадратне рівняння:

Таким чином:

Множники краще розташувати в порядку зростання:.

Виконаємо проміжну перевірку:

ОК

Таким чином, загальний член ряду:

Таким чином:

Чи не лінуємося:

Що й треба було перевірити.

Запишемо часткову суму «ен» членів ряду, при цьому звертаємо увагу на той факт, що «лічильник» ряду «починає працювати» з номера. Як і в попередніх прикладах, надійніше розтягнути кобру на пристойну довжину:

Однак якщо ми запишемо в одну-дві строчки, то все одно буде досить важко зорієнтуватися в доданків (їх таки 3 в кожному члені). І тут нам на допомогу прийде ... геометрія. Змусимо танцювати змію під свою дудочку:

Так, прямо так і пишемо в зошиті один член під іншим і прямо так їх викреслюємо. До речі, власний винахід. Як розумієте, не від самого легкого завдання в цьому житті =)

В результаті зачистки отримуємо:

І, нарешті, сума ряду:

відповідь:

приклад 8

Обчислити суму ряду

Це приклад для самостійного рішення.

Вже згадана завдання, звичайно, не радує нас різноманітністю - на практиці зустрічається або нескінченно спадна геометрична прогресія, або ряд з дрібно-раціональним загальним членом і розкладені многочленом в знаменнику (до речі, далеко не кожен такий многочлен дає можливість знайти суму ряду). Але, тим не менш, іноді трапляються незвичайні екземпляри, і по доброю традицією я завершую урок який-небудь цікавою завданням.

Дані властивості використовуються для здійснення перетворень інтеграла з метою його приведення до одного з елементарних інтегралів і подальшого обчислення.

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції:

2. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює подинтегрального висловом:

3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:

4. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

Причому a ≠ 0

5. Інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів:

6. Властивість є комбінацією властивостей 4 і 5:

Причому a ≠ 0 b ≠ 0

7. Властивість інваріантності невизначеного інтеграла:

Якщо то

8. Властивість:

Якщо то

фактично дане властивістьявляє собою окремий випадок інтегрування за допомогою методу заміни змінної, який більш детально розглянуто в наступному розділі.

Розглянемо приклад:

Спочатку ми застосували властивість 5, потім властивість 4, потім скористалися таблицею первісних і отримали результат.

Алгоритм нашого онлайн калькулятора інтегралів підтримує всі перераховані вище властивості і без зусиль знайде докладний рішеннядля вашого інтеграла.

нехай функція y = f(x) Визначена на відрізку [ a, b ], a < b. Виконаємо такі операції:

1) розіб'ємо [ a, b] точками a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b на nчасткових відрізків [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) в кожному з часткових відрізків [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, Виберемо довільну точку і обчислимо значення функції в цій точці: f(z i ) ;

3) знайдемо твори f(z i ) · Δ x i , Де - довжина часткового відрізка [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;

4) складемо інтегральну сумуфункції y = f(x) На відрізку [ a, b ]:

З геометричної точки зору ця сума σ є сумою площ прямокутників, підстави яких - часткові відрізки [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ], А висоти рівні f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) Відповідно (рис. 1). позначимо через λ довжину найбільшого часткового відрізка:

5) знайдемо межа інтегральної суми, коли λ → 0.

Визначення.Якщо існує кінцевий межа інтегральної суми (1) і він не залежить ні від способу розбиття відрізка [ a, b] На часткові відрізки, ні від вибору точок z iв них, то ця межа називається певним інтеграломвід функції y = f(x) На відрізку [ a, b] І позначається

Таким чином,

У цьому випадку функція f(x) називається интегрируемойна [ a, b]. числа aі bназиваються відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування, f(x) - підінтегральної функцією, f(x ) dx- підінтегральна виразом, x- змінної інтегрування; відрізок [ a, b] Називається проміжком інтегрування.

Теорема 1.якщо функція y = f(x) Неперервна на відрізку [ a, b], То вона інтегровна на цьому відрізку.

Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

якщо a > b, То, за визначенням, вважаємо

2. Геометричний зміст визначеного інтеграла

Нехай на відрізку [ a, b] Задана безперервна неотрицательная функція y = f(x ) . криволінійної трапецієюназивається фігура, обмежена зверху графіком функції y = f(x), Знизу - віссю Ох, зліва і справа - прямими x = aі x = b(Рис. 2).

Визначений інтеграл від неотрицательной функції y = f(x) З геометричної точки зору дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції y = f(x), Ліворуч і праворуч - відрізками прямих x = aі x = b, Знизу - відрізком осі Ох.

3. Основні властивості визначеного інтеграла

1. Значення певного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування:

2. Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:

3. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів від цих функцій:

4. Якщо функція y = f(x) Інтегрована на [ a, b] і a < b < c, то

5. (теорема про повну загальну середню). якщо функція y = f(x) Неперервна на відрізку [ a, b], То на цьому відрізку існує точка, така, що

4. Формула Ньютона-Лейбніца

Теорема 2.якщо функція y = f(x) Неперервна на відрізку [ a, b] і F(x) - будь-яка її Первісна на цьому відрізку, то справедлива наступна формула:

яка називається формулою Ньютона-Лейбніца.різниця F(b) - F(a) Прийнято записувати в такий спосіб:

де символ називається знаком подвійної підстановки.

Таким чином, формулу (2) можна записати у вигляді:

Приклад 1.обчислити інтеграл

Рішення. Для підінтегральної функції f(x ) = x 2 довільна первісна має вигляд

Так як у формулі Ньютона-Лейбніца можна використовувати будь-яку первісну, то для обчислення інтеграла візьмемо первісну, що має найбільш простий вигляд:

5. Заміна змінної в певному інтегралі

Теорема 3.нехай функція y = f(x) Неперервна на відрізку [ a, b]. якщо:

1) функція x = φ ( t) І її похідна φ "( t) Неперервні при;

2) безліччю значень функції x = φ ( t) При є відрізок [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, То справедлива формула

яка називається формулою заміни змінної в певному інтегралі .

На відміну від невизначеного інтеграла, в даному випадку немає необхідностіповертатися до початкової змінної інтегрування - досить лише знайти нові межі інтегрування α і β (для цього треба вирішити щодо змінної tрівняння φ ( t) = aі φ ( t) = b).

замість підстановки x = φ ( t) Можна використовувати підстановку t = g(x). В цьому випадку знаходження нових меж інтегрування по змінній tспрощується: α = g(a) , β = g(b) .

приклад 2. обчислити інтеграл

Рішення. Введемо нову змінну за формулою. Звівши в квадрат обидві частини рівності, одержимо 1 + x = t 2 , звідки x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Знаходимо нові межі інтегрування. Для цього в формулу підставимо старі межі x = 3 і x = 8. Отримаємо:, звідки t= 2 і α = 2; , звідки t= 3 і β = 3. Отже,

Приклад 3.обчислити

Рішення. нехай u= ln x, Тоді, v = x. За формулою (4)