Ознаки збіжності рядів.
Ознака Даламбера. ознаки Коші

Працюйте, працюйте - а розуміння прийде потім
Ж.Л. Даламбер

Всіх вітаю з початком учбового року! Сьогодні 1 вересня, і я вирішив на честь свята познайомити читачів з тим, що ви давно з нетерпінням чекали і жадали дізнатися - ознаками збіжності числових позитивних рядів. Свято Первое сентября и мои поздравления завжди актуальні, нічого страшного, якщо насправді за вікном літо, ви ж зараз втретє перездати іспит вчіться, якщо зайшли на цю сторінку!

Для тих, хто тільки починає вивчати ряди, рекомендую для початку ознайомитися зі статтею Числові ряди для чайників. Власне, дана віз є продовженням банкету. Отже, сьогодні на уроці ми розглянемо приклади і рішення по темам:

Одним з поширених ознак порівняння, який зустрічається в практичних прикладах, Є ознака Даламбера. Ознаки Коші зустрічаються рідше, але теж вельми популярні. Як завжди, спробую викласти матеріал просто, доступно і зрозуміло. Тема не найскладніша, і всі завдання до певної міри трафаретні.

Ознака збіжності Даламбера

Жан Лерон Даламбер - це знаменитий французький математик 18-го століття. Взагалі, Даламбер спеціалізувався на диференціальні рівняння і на підставі своїх досліджень займався балістикою, щоб у Його Величності краще літали гарматні ядра. Заодно і про числові ряди не забув, не дарма потім шеренги наполеонівських військ так чітко сходилися і розходилися.

Перед тим як сформулювати сам ознака, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознака збіжності Даламбера?

Спочатку почнемо з повторення. Згадаймо випадки, коли потрібно застосовувати найбільш ходовий граничний ознака порівняння. Граничний ознака порівняння застосовується тоді, коли в загальному члені ряду:

1) В знаменнику знаходиться многочлен.
2) Багаточлени знаходяться і в чисельнику і в знаменнику.
3) Один або обидва многочлена можуть бути під коренем.
4) многочленів і коренів, зрозуміло, може бути і більше.

Основні ж передумови для застосування ознаки Даламбера наступні:

1) До загального член ряду ( «начинку» ряду) входить яке-небудь число в ступені, наприклад,,, і так далі. Причому, абсолютно не важливо, де ця штуковина розташовується, в чисельнику або в знаменнику - важливо, що вона там присутня.

2) До загального член ряду входить факторіал. З факторіалами ми схрестили шпаги ще на уроці Числова послідовність і її межа. Втім, не завадить знову розкинути скатертину-самобранку:





…


…

! При використанні ознаки Даламбера нам якраз доведеться розписувати факторіал докладно. Як і в попередньому пункті, факторіал може розташовуватися вгорі або внизу дробу.

3) Якщо в загальному члені ряду є «ланцюжок множників», наприклад, . Цей випадок зустрічається рідко, але! При дослідженні такого ряду часто припускаються помилки - див. Приклад 6.

Разом зі ступенями або (і) факторіалами в начинці ряду часто зустрічаються многочлени, це не міняє справи - потрібно використовувати ознака Даламбера.

Крім того, в загальному члені ряду може зустрітися одночасно і ступінь і факторіал; може зустрітися два факторіала, два ступені, важливо щоб там перебувало хоч щось з розглянутих пунктів - і це як раз передумова для використання ознаки Даламбера.

ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд . Якщо існує межа відносини наступного члена до попереднього:, то:
а) При ряд сходиться
б) При ряд розходиться
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати інший ознака. Найчастіше одиниця виходить в тому випадку, коли ознака Даламбера намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничний ознака порівняння.

У кого досі проблеми з межами або нерозуміння меж, зверніться до уроку Межі. приклади рішень. Без розуміння межі і вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися.

А зараз довгоочікувані приклади.

приклад 1

Ми бачимо, що в загальному члені ряду у нас є, а це вірна передумова того, що потрібно використовувати ознака Даламбера. Спочатку повне рішення і зразок оформлення, коментарі нижче.

Використовуємо ознака Даламбера:


сходиться.
(1) Складаємо відношення наступного члена ряду до попереднього:. З умови ми бачимо, що загальний член ряду. Для того, щоб отримати наступний член ряду потрібно ЗАМІСТЬ підставити: .
(2) Позбавляємося від чотириповерховий дробу. При певному досвіді вирішення цей крок можна пропускати.
(3) В чисельнику розкриваємо дужки. У знаменнику виносимо четвірку з ступеня.
(4) Скорочуємо на. Константу виносимо за знак межі. У чисельнику в дужках наводимо подібні доданки.
(5) Невизначеність усувається стандартним способом - діленням чисельника і знаменника на «ен» в старшій ступеня.
(6) Почленно ділимо числители на знаменники, і вказуємо складові, які прагнуть до нуля.
(7) Спрощуємо відповідь і робимо позначку, що з висновком про те, що, за ознакою Даламбера досліджуваний ряд сходиться.

У розглянутому прикладі в загальному члені ряду у нас зустрівся многочлен 2-го ступеня. Що робити, якщо там многочлен 3-й, 4-й або більш високого ступеня? Справа в тому, що якщо даний многочлен більш високого ступеня, то виникнуть труднощі з розкриттям дужок. В цьому випадку можна застосовувати «турбо» -метод рішення.

приклад 2

Візьмемо схожий ряд і досліджуємо його на збіжність

Спочатку повне рішення, потім коментарі:

Використовуємо ознака Даламбера:


Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Складаємо відношення.

(3) Розглянемо вираз в чисельнику і вираз в знаменнику. Ми бачимо, що в чисельнику потрібно розкривати дужки і зводити в четверту ступінь:, чого робити зовсім не хочеться. А для тих, хто не знайомий з біном Ньютона, ця задача виявиться ще складніше. Проаналізуємо старші ступеня: якщо ми вгорі розкриємо дужки , То отримаємо старшу ступінь. Внизу у нас така ж старша ступінь:. За аналогією з попереднім прикладом, очевидно, що при почленного розподілі чисельника і знаменника на у нас в межі вийде одиниця. Або, як кажуть математики, многочлени і - одного порядку зростання. Таким чином, цілком можна обвести ставлення простим олівцем і відразу вказати, що ця штука прагне до одиниці. Аналогічно розправляємося з другою парою многочленів: і, вони теж одного порядку зростання, І їхнє ставлення прагне до одиниці.

Насправді, таку «халтуру» можна було провернути і в Прімері № 1, але для многочлена 2-го ступеня таке рішення виглядає все-таки якось несолідно. Особисто я роблю так: якщо є многочлен (або многочлени) першого або другого ступеня, я використовую «довгий» спосіб вирішення Прімера 1. Якщо попадається многочлен 3-й і більш високих ступенів, я використовую «турбо» -метод за зразком Прімера 2.

приклад 3

Дослідити ряд на збіжність

Розглянемо типові приклади з факторіалами:

приклад 4

Дослідити ряд на збіжність

До загального член ряду входить і ступінь, і факторіал. Ясно, як день, що тут треба використовувати ознака Даламбера. Вирішуємо.

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.
(1) Складаємо відношення. Повторюємо ще раз. За умовою загальний член ряду: . Для того щоб отримати наступний член ряду, замість потрібно підставити, таким чином: .
(2) Позбавляємося від чотириповерховий дробу.
(3) Відщипуємо сімку від ступеня. Факторіали розписуємо докладно. Як це зробити - див. Початок уроку або статтю про числових послідовностях.
(4) Скорочуємо все, що можна скоротити.
(5) Константу виносимо за знак межі. У чисельнику розкриваємо дужки.
(6) Невизначеність усуваємо стандартним способом - діленням чисельника і знаменника на «ен» в старшій ступеня.

приклад 5

Дослідити ряд на збіжність

Повне рішення та зразок оформлення в кінці уроку

приклад 6

Дослідити ряд на збіжність

Іноді зустрічаються ряди, які в своїй начинці містять «ланцюг» множників, цей тип ряду ми ще не розглядали. Як досліджувати ряд з «ланцюжком» множників? Використовувати ознака Даламбера. Але спочатку для розуміння того, що відбувається розпишемо ряд докладно:

З розкладання ми бачимо, що у кожного наступного члена ряду додається додатковий множник в знаменнику, тому, якщо загальний член ряду , То наступний член ряду:
. Ось тут часто автоматом припускаються помилки, формально за алгоритмом записуючи, що

Зразок рішення може виглядати так:

Використовуємо ознака Даламбера:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

Радикальна ознака Коші

Огюстен Луї Коші - ще більш знаменитий французький математик. Біографію Коші вам може розповісти будь-який студент технічної спеціальності. У наймальовничіших фарбах. Не випадково це прізвище викарбувано на першому поверсі Ейфелевої вежі.

Ознака збіжності Коші для позитивних числових рядів чимось схожий на тільки що розглянутий ознака Даламбера.

Радикальна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд . Якщо існує межа:, то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться при.
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться при.
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати інший ознака. Цікаво відзначити, що якщо ознака Коші не дає нам відповіді на питання про збіжність ряду, то ознака Даламбера теж не дасть відповіді. Але якщо ознака Даламбера не дає відповіді, то ознака Коші цілком може «спрацювати». Тобто, ознака Коші є в цьому сенсі більш сильною ознакою.

Коли потрібно використовувати радикальний ознака Коші? Радикальна ознака Коші зазвичай використовує в тих випадках, коли корінь «добре» вилучають із загального члена ряду. Як правило, цей перець знаходиться в ступені, яка залежить від . Є ще екзотичні випадки, але ними голову забивати не будемо.

приклад 7

Дослідити ряд на збіжність

Ми бачимо, що дріб повністю знаходиться під ступенем, що залежить від «ен», а значить, потрібно використовувати радикальний ознака Коші:


Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.

(1) Оформляем загальний член ряду під корінь.

(2) Переписуємо те ж саме, тільки вже без кореня, використовуючи властивість ступенів.
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник, вказуючи, що
(4) В результаті у нас вийшла невизначеність. Тут можна було піти довгим шляхом: звести в куб, звести в куб, потім розділити чисельник і знаменник на «ен» в кубі. Але в даному випадку є більш ефективне рішення: цей прийом можна використовувати прямо під ступенем-константою. Для усунення невизначеності ділимо чисельник і знаменник на (старшу ступінь многочленів).

(5) Виконуємо почленное розподіл, і вказуємо складові, які прагнуть до нуля.
(6) Доводимо відповідь до розуму, помічаємо, що і робимо висновок про те, що ряд розходиться.

А ось більш простий приклад для самостійного рішення:

приклад 8

Дослідити ряд на збіжність

І ще пара типових прикладів.

Повне рішення та зразок оформлення в кінці уроку

приклад 9

Дослідити ряд на збіжність
Використовуємо радикальний ознака Коші:


Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Розміщуємо загальний член ряду під корінь.

(2) Переписуємо те ж саме, але вже без кореня, при цьому розкриваємо дужки, використовуючи формулу скороченого множення: .
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник і вказуємо, що.
(4) Отримано невизначеність виду, і тут теж можна виконувати поділ прямо під ступенем. Але з однією умовою: коефіцієнти при старших ступенях многочленів повинні бути різними. У нас вони різні (5 і 6), і тому можна (і потрібно) розділити обидва поверху на. Якщо ж ці коефіцієнти однакові, Наприклад (1 і 1):, то такий фокус не проходить і потрібно використовувати другий чудовий межа. Якщо пам'ятаєте, ці тонкощі розглядалися в останньому параграфі статті Методи вирішення меж.

(5) Власне виконуємо почленное розподіл і вказуємо, які складові у нас прагнуть до нуля.
(6) Невизначеність усунена, у нас залишився найпростіший межа:. Чому в нескінченно великий ступеня прагне до нуля? Тому що основа ступеня задовольняє нерівності. Якщо у кого є сумніви в справедливості межі , То я не полінуюся, візьму в руки калькулятор:
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
… і т.д. до нескінченності - тобто, в межі:

прямо таки нескінченно спадна геометрична прогресія на пальцях \u003d)
! Ніколи не використовуйте цей прийом як доказ! Бо якщо щось очевидно, то це ще не означає, що це правильно.

(7) Вказуємо, що і робимо висновок про те, що ряд сходиться.

приклад 10

Дослідити ряд на збіжність

Це приклад для самостійного рішення.

Іноді для вирішення пропонується провокаційний приклад, наприклад:. Тут в показнику ступеня немає «ен», Тільки константа. Тут потрібно звести в квадрат чисельник і знаменник (вийдуть многочлени), а далі дотримуватися алгоритму зі статті Ряди для чайників. У подібному прикладі спрацювати повинен або необхідний ознака збіжності ряду або граничний ознака порівняння.

Інтегральний ознака Коші

Або просто інтегральний ознака. Розчарую тих, хто погано засвоїв матеріал першого курсу. Для того щоб застосовувати інтегральний ознака Коші необхідно більш-менш впевнено вміти знаходити похідні, інтеграли, а також мати навички обчислення невласного інтеграла першого роду.

У підручниках з математичного аналізу інтегральний ознака Коші дан математично строго, але занадто вже поморочитися, тому я сформулюю ознака не дуже строго, але зрозуміло:

Розглянемо позитивний числовий ряд . якщо існує невласний інтеграл , То ряд сходиться або розходиться разом з цим інтегралом.

І відразу приклади для пояснення:

приклад 11

Дослідити ряд на збіжність

Майже класика. Натуральний логарифм і якась бяка.

Основною передумовою використання інтегрального ознаки Коші є той факт, що в загальному члені ряду містяться множники, схожі на деяку функцію і її похідну. з теми

У цій статті зібрана і структурована інформація, необхідна для вирішення практично будь-якого прикладу по темі числові ряди, від знаходження суми ряду до дослідження його на збіжність.

Огляд статті.

Почнемо з визначень знакоположітельного, знакозмінного ряду і поняття збіжності. Далі розглянемо стандартні ряди, такі як гармонійний ряд, узагальнено гармонійний ряд, згадаємо формулу для знаходження суми нескінченно спадної геометричної прогресії. Після цього перейдемо до властивостей збіжних рядів, зупинимося на необхідну умову збіжності ряду і озвучимо достатні ознаки збіжності ряду. Теорію будемо розбавляти рішенням характерних прикладів з докладними поясненнями.

Навігація по сторінці.

Основні визначення і поняття.

Нехай ми маємо числову послідовність, де .

Наведемо приклад числової послідовності: .

числовий ряд - це сума членів числової послідовності виду .

Як приклад числового ряду можна привести суму нескінченно спадної геометричної прогресії зі знаменником q \u003d -0.5: .

називають загальним членом числового ряду або k-им членом ряду.

Для попереднього прикладу загальний член числового ряду має вигляд.

Часткова сума числового ряду - це сума виду, де n - деяке натуральне число. називають також n-ой часткової сумою числового ряду.

Наприклад, четверта часткова сума ряду є .

часткові суми утворюють нескінченну послідовність часткових сум числового ряду.

Для нашого ряду n -а часткова сума знаходиться за формулою суми перших n членів геометричної прогресії , Тобто, будемо мати наступну послідовність часткових сум: .

Числовий ряд називається сходящимся, Якщо існує кінцева межа послідовності часткових сум. Якщо межа послідовності часткових сум числового ряду не існує або нескінченний, то ряд називається розходяться.

Сумою сходиться числового ряду називається межа послідовності його часткових сум, тобто, .

У нашому прикладі, отже, ряд сходиться, причому його сума дорівнює шістнадцяти третім: .

Як приклад розходиться ряду можна привести суму геометричній прогресії зі знаменником більшому, ніж одиниця: . n-ая часткова сума визначається виразом , А межа часткових сум нескінченний: .

Ще одним прикладом розходиться числового ряду є сума виду . В цьому випадку n-ая часткова сума може бути обчислена як. Межа часткових сум нескінченний .

сума виду називається гармонійним числовим рядом.

сума виду , Де s - деякий дійсне число, називається узагальнено гармонійним числовим рядом.

Наведених визначень досить для обгрунтування наступних дуже часто використовуваних тверджень, рекомендуємо їх запам'ятати.

Гармонійний ряд Є розбіжними.

Доведемо расходимость гармонійного ряду.

Припустимо, що ряд сходиться. Тоді існує кінцевий межа його часткових сум. В цьому випадку можна записати і, що приводить нас до рівності .

З іншого боку,


Не викликає сумніви наступні нерівності. Таким чином, . Отримане нерівність вказує нам на те, що рівність не може бути досягнуто, що суперечить нашим припущенням про збіжність гармонійного ряду.

Висновок: гармонійний ряд розходиться.

СУМА геометричній прогресії ВИДУ зі знаменником q є збіжним числовим рядом, ЯКЩО, і розходяться ПОРУЧ ПРИ.

Доведемо це.

Ми знаємо, що сума перших n членів геометричної прогресії знаходиться за формулою .

при справедливо


що вказує на збіжність числового ряду.

При q \u003d 1 маємо числовий ряд . Його часткові суми знаходяться як, а межа часткових сум нескінченний , Що вказує на розбіжність ряду в цьому випадку.

Якщо q \u003d -1, то числовий ряд набуде вигляду . Часткові суми приймають значення для непарних n, і для парних n. З цього можна зробити висновок, що межа часткових сум не існує і ряд розходиться.

при справедливо


що вказує на розбіжність числового ряду.

Узагальнений гармонійний ряд СХОДИТЬСЯ ПРИ s\u003e 1 І РОЗХОДИТЬСЯ ПРИ.

Доведення.

Для s \u003d 1 отримаємо гармонійний ряд, а перед цим ми встановили його розбіжність.

при s справедливо нерівність для всіх натуральних k. В силу гармонійний ряд можна стверджувати, що послідовність його часткових сум необмежена (так як не існує кінцевого межі). Тоді послідовність часткових сум числового ряду тим більше необмежена (кожен член цього ряду більше відповідного члена гармонійного ряду), отже, узагальнено гармонійний ряд розходиться при s.

Залишилося довести збіжність ряду при s\u003e 1.

Запишемо різницю:



Очевидно, що, тоді


Розпишемо одержане нерівність для n \u003d 2, 4, 8, 16, ...



Використовуючи ці результати, з вихідним числовим рядом можна провести наступні дії:



вираз являє собою суму геометричній прогресії, знаменник якої дорівнює. Так як ми розглядаємо випадок при s\u003e 1, то. Тому
. Таким чином, послідовність часткових сум узагальнено гармонійного ряду при s\u003e 1 є зростаючою і в той же час обмеженою зверху значенням, отже, вона має межу, що вказує на збіжність ряду. Доказ завершено.

Числовий ряд називається знакоположітельним, Якщо всі його члени позитивні, тобто, .

Числовий ряд називається знакозмінні, Якщо знаки його сусідніх членів різні. Знакозмінні числовий ряд можна записати у вигляді або , де .

Числовий ряд називається знакозмінних, Якщо він містить безліч як позитивних, так і негативних членів.

Знакозмінні числовий ряд є окремим випадком знакозмінного ряду.

ряди

є знакоположітельним, Знакозмінні і знакозмінних відповідно.

Для знакозмінного ряду існує поняття абсолютної і умовної збіжності.

абсолютно збіжним, Якщо сходиться ряд з абсолютних величин його членів, тобто, сходиться знакоположітельний числовий ряд.

Наприклад, числові ряди і абсолютно сходяться, так як сходиться ряд , Який є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії.

Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, Якщо ряд розходиться, а ряд сходиться.

Як приклад умовно сходиться числового ряду можна привести ряд . числовий ряд , Складений з абсолютних величин членів вихідного ряду, що йде врозріз, так як є гармонійним. У той же час, вихідний ряд є збіжним, що легко встановлюється за допомогою. Таким чином, числовий Знакозмінні ряд умовно сходиться.

Властивості збіжних числових рядів.

Приклад.

Доведіть збіжність числового ряду.

Рішення.

Запишемо ряд в іншому вигляді . Числовий ряд сходиться, так як узагальнено гармонійний ряд є збіжним при s\u003e 1, а в силу другого властивості сходяться числових рядів буде сходиться і ряд з числовим коефіцієнтом.

Приклад.

Сходиться числовий ряд.

Рішення.

Перетворимо вихідний ряд: . Таким чином, ми отримали суму двох числових рядів і, причому кожен з них сходиться (дивіться попередній приклад). Отже, в силу третього властивості сходяться числових рядів, сходиться і вихідний ряд.

Приклад.

Доведіть збіжність числового ряду і обчисліть його суму.

Рішення.

Даний числовий ряд можна представити у вигляді різниці двох рядів:

Кожен з цих рядів є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії, отже, є збіжним. Третя властивість рядів, що сходяться дозволяє стверджувати, що вихідний числовий ряд сходиться. Обчислимо його суму.

Перший член ряду є одиниця, а знаменник відповідної геометричної прогресії дорівнює 0.5, отже, .

Першим членом ряду є 3, а знаменник відповідної нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює 1/3, тому .

Скористаємося отриманими результатами для знаходження суми початкового числового ряду:

Необхідна умова збіжності ряду.

Якщо числовий ряд сходиться, то межа його k-ого члена дорівнює нулю:.

При дослідженні будь-якого числового ряду на збіжність в першу чергу слід перевіряти виконання необхідної умови збіжності. Невиконання цієї умови вказує на розбіжність числового ряду, тобто, якщо, то ряд розходиться.

З іншого боку потрібно розуміти, що ця умова не є достатнім. Тобто, виконання рівності не говорить про збіжність числового ряду. Наприклад, для гармонійного ряду необхідна умова збіжності виконується, а ряд розходиться.

Приклад.

Дослідити числовий ряд на збіжність.

Рішення.

Перевіримо необхідна умова збіжності числового ряду:

межа n-ого члена числового ряду не дорівнює нулю, отже, ряд розходиться.

Достатні ознаки збіжності знакоположітельного ряду.

При використанні достатніх ознак для дослідження числових рядів на збіжність постійно доводиться стикатися з, так що рекомендуємо звертатися до цього розділу при ускладненнях.

Необхідна і достатня умова збіжності знакоположітельного числового ряду.

Для збіжності знакоположітельного числового ряду необхідно і достатньо, щоб послідовність його часткових сум була обмежена.

Почнемо з ознак порівняння рядів. Їх суть полягає в порівнянні досліджуваного числового ряду з рядом, збіжність чи розбіжність якого відома.

Перший, другий і третій ознаки порівняння.

Перша ознака порівняння рядів.

Нехай і - два знакоположітельних числових ряду і виконується нерівність для всіх k \u003d 1, 2, 3, ... Тоді з збіжність ряду слід збіжність, а з розбіжність ряду слід расходимость.

Перша ознака порівняння використовується дуже часто і є дуже потужний інструмент дослідження числових рядів на збіжність. Основну проблему представляє підбір відповідного ряду для порівняння. Ряд для порівняння зазвичай (але не завжди) вибирається так, що показник ступеня його k-ого члена дорівнює різниці показників ступеня чисельника і знаменника k-ого члена досліджуваного числового ряду. Наприклад, нехай, різниця показників ступеня чисельника і знаменника дорівнює 2 - 3 \u003d -1, тому, для порівняння вибираємо ряд з k-им членом, тобто, гармонійний ряд. Розглянемо кілька прикладів.

Приклад.

Встановити збіжність або розбіжність ряду.

Рішення.

Так як межа загального члена ряду дорівнює нулю, то необхідна умова збіжності ряду виконано.

Нескладно помітити, що справедливо нерівність для всіх натуральних k. Ми знаємо, що гармонійний ряд розходиться, отже, за першою ознакою порівняння вихідний ряд також є розбіжним.

Приклад.

Досліджуйте числовий ряд на збіжність.

Рішення.

Необхідна умова збіжності числового ряду виконується, так як . Очевидно виконання нерівності для будь-якого натурального значення k. Ряд сходиться, так як узагальнено гармонійний ряд є збіжним для s\u003e 1. Таким чином, перша ознака порівняння рядів дозволяє констатувати збіжність вихідного числового ряду.

Приклад.

Визначте збіжність або розбіжність числового ряду.

Рішення.

, Отже, необхідна умова збіжності числового ряду виконано. Який ряд вибрати для порівняння? Напрошується числовий ряд, а щоб визначитися з s, уважно досліджуємо числову послідовність. Члени числової послідовності зростають до нескінченності. Таким чином, починаючи з деякого номера N (а саме, з N \u003d 1619), члени цієї послідовності будуть більше 2. Починаючи з цього номера N, справедливо нерівність. Числовий ряд сходиться в силу першого властивості збіжних рядів, так як виходить з сходиться ряду відкиданням перших N - 1 члена. Таким чином, за першою ознакою порівняння сходящимся є ряд, а в силу першого властивості сходяться числових рядів сходиться буде і ряд.

Друга ознака порівняння.

Нехай і - знакоположітельние числові ряди. Якщо, то з збіжність ряду слід збіжність. Якщо, то з розбіжність числового ряду слід расходимость.

Слідство.

Якщо і, то з збіжності одного ряду слід збіжність іншого, а з розбіжність слід расходимость.

Досліджуємо ряд на збіжність за допомогою другої ознаки порівняння. Як ряду візьмемо сходиться ряд. Знайдемо межа відносини k-их членів числових рядів:

Таким чином, за другою ознакою порівняння з збіжності числового ряду слід збіжність вихідного ряду.

Приклад.

Дослідити на збіжність числовий ряд.

Рішення.

Перевіримо необхідна умова збіжності ряду . Умова виконано. Для застосування другої ознаки порівняння візьмемо гармонійний ряд. Знайдемо межа відносини k-их членів:

Отже, з гармонійний ряд слід расходимость вихідного ряду по другій ознаці порівняння.

Для інформації наведемо третя ознака порівняння рядів.

Третя ознака порівняння.

Нехай і - знакоположітельние числові ряди. Якщо з деякого номера N виконується умова, то з збіжність ряду слід збіжність, а з розбіжність ряду слід расходимость.

Ознака Даламбера.

Зауваження.

Ознака Даламбера справедливий, якщо межа нескінченний, тобто, якщо , То ряд сходиться, якщо , То ряд розходиться.

Якщо, то ознака Даламбера не дає інформацію про збіжність або розбіжність ряду і потрібне додаткове дослідження.

Приклад.

Досліджуйте числовий ряд на збіжність за ознакою Даламбера.

Рішення.

Перевіримо виконання необхідної умови збіжності числового ряду, межа обчислимо по:

Умова виконано.

Скористаємося ознакою Даламбера:

Таким чином, ряд сходиться.

Радикальна ознака Коші.

Нехай - знакоположітельний числовий ряд. Якщо, то числовий ряд сходиться, якщо, то ряд розходиться.

Зауваження.

Радикальна ознака Коші справедливий, якщо межа нескінченний, тобто, якщо , То ряд сходиться, якщо , То ряд розходиться.

Якщо, то радикальний ознака Коші не дає інформацію про збіжність або розбіжність ряду і потрібне додаткове дослідження.

Зазвичай достатньо легко розгледіти випадки, коли найкраще використовувати радикальний ознака Коші. Характерним є випадок, коли загальний член числового ряду являє собою показово статечне вираз. Розглянемо кілька прикладів.

Приклад.

Дослідити знакоположітельний числовий ряд на збіжність за допомогою радикального ознаки Коші.

Рішення.

. За радикальному ознакою Коші отримуємо .

Отже, ряд сходиться.

Приклад.

Сходиться числовий ряд .

Рішення.

Скористаємося радикальним ознакою Коші , Отже, числовий ряд сходиться.

Інтегральний ознака Коші.

Нехай - знакоположітельний числовий ряд. Складемо функцію безперервного аргументу y \u003d f (x), аналогічну функції. Нехай функція y \u003d f (x) позитивна, безперервна і спадна на інтервалі, де). Тоді в разі збіжності невласного інтеграла сходиться досліджуваний числовий ряд. Якщо ж невласний інтеграл розходиться, то вихідний ряд теж розходиться.

При перевірці спадання функції y \u003d f (x) на інтервалі Вам може знадобиться теорія з розділу.

Приклад.

Досліджуйте числовий ряд з додатними членами на збіжність.

Рішення.

Необхідна умова збіжності ряду виконано, так як . Розглянемо функцію. Вона позитивна, безперервна і спадна на інтервалі. Безперервність і позитивність цієї функції не викликає сумніву, а на убуванні зупинимося трохи докладніше. Знайдемо похідну:
. Вона негативна на проміжку, отже, функція спадає на цьому інтервалі.

Ознака збіжності Даламбера Радикальний ознака збіжності Коші Інтегральний ознака збіжності Коші

Одним з поширених ознак порівняння, який зустрічається в практичних прикладах, є ознака Даламбера. Ознаки Коші зустрічаються рідше, але теж вельми популярні. Як завжди, спробую викласти матеріал просто, доступно і зрозуміло. Тема не найскладніша, і всі завдання до певної міри трафаретні.

Жан Лерон Даламбер - це знаменитий французький математик 18-го століття. Взагалі, Даламбер спеціалізувався на диференціальних рівняннях і на підставі своїх досліджень займався балістикою, щоб у Його Величності краще літали гарматні ядра. Заодно і про числові ряди не забув, не дарма потім шеренги наполеонівських військ так чітко сходилися і розходилися.

Перед тим як сформулювати сам ознака, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознака збіжності Даламбера?

Спочатку почнемо з повторення. Згадаймо випадки, коли потрібно застосовувати найбільш ходовий граничний ознака порівняння. Граничний ознака порівняння застосовується тоді, коли в загальному члені ряду:
1) В знаменнику знаходиться многочлен.
2) Багаточлени знаходяться і в чисельнику і в знаменнику.
3) Один або обидва многочлена можуть бути під коренем.

Основні ж передумови для застосування ознаки Даламбера наступні:

1) До загального член ряду ( «начинку» ряду) входить яке-небудь число в ступені, наприклад,, і так далі. Причому, абсолютно не важливо, де ця штуковина розташовується, в чисельнику або в знаменнику - важливо, що вона там присутня.

2) До загального член ряду входить факторіал. З факторіалами ми схрестили шпаги ще на уроці Числова послідовність і її межа. Втім, не завадить знову розкинути скатертину-самобранку:





…


…

! При використанні ознаки Даламбера нам якраз доведеться розписувати факторіал докладно. Як і в попередньому пункті, факторіал може розташовуватися вгорі або внизу дробу.

3) Якщо в загальному члені ряду є «ланцюжок множників», наприклад,. Цей випадок зустрічається рідко, але! При дослідженні такого ряду часто припускаються помилки - див. Приклад 6.

Разом зі ступенями або (і) факторіалами в начинці ряду часто зустрічаються многочлени, це не міняє справи - потрібно використовувати ознака Даламбера.

Крім того, в загальному члені ряду може зустрітися одночасно і ступінь і факторіал; може зустрітися два факторіала, два ступені, важливо щоб там перебувало хоч що-тоіз розглянутих пунктів - і це як раз передумова для використання ознаки Даламбера.

ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд . Якщо існує межа відносини наступного члена до попереднього:, то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться при.
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться при.
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати інший ознака. Найчастіше одиниця виходить в тому випадку, коли ознака Даламбера намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничний ознака порівняння.

У кого досі проблеми з межами або нерозуміння меж, зверніться до уроку Межі. приклади рішень. Без розуміння межі і вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися.

А зараз довгоочікувані приклади.

приклад 1

Ми бачимо, що в загальному члені ряду у нас є, а це вірна передумова того, що потрібно використовувати ознака Даламбера. Спочатку повне рішення і зразок оформлення, коментарі нижче.

Використовуємо ознака Даламбера:

сходиться.

(1) Складаємо відношення наступного члена ряду до попереднього:. З умови ми бачимо, що загальний член ряду. Для того, щоб отримати наступний член ряду необхідно замість підставити: .
(2) Позбавляємося від чотириповерховий дробу. При певному досвіді вирішення цей крок можна пропускати.
(3) В чисельнику розкриваємо дужки. У знаменнику виносимо четвірку з ступеня.
(4) Скорочуємо на. Константу виносимо за знак межі. У чисельнику в дужках наводимо подібні доданки.
(5) Невизначеність усувається стандартним способом - діленням чисельника і знаменника на «ен» в старшій ступеня.
(6) Почленно ділимо числители на знаменники, і вказуємо складові, які прагнуть до нуля.
(7) Спрощуємо відповідь і робимо позначку, що з висновком про те, що, за ознакою Даламбера досліджуваний ряд сходиться.

У розглянутому прикладі в загальному члені ряду у нас зустрівся многочлен 2-го ступеня. Що робити, якщо там многочлен 3-ої, 4-ої або більш високого ступеня? Справа в тому, що якщо даний многочлен більш високого ступеня, то виникнуть труднощі з розкриттям дужок. В цьому випадку можна застосовувати «турбо» -метод рішення.

приклад 2

Візьмемо схожий ряд і досліджуємо його на збіжність

Спочатку повне рішення, потім коментарі:

Використовуємо ознака Даламбера:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Складаємо відношення.
(2) Позбавляємося від чотириповерховий дробу.
(3) Розглянемо вираз в чисельнику і вираз в знаменнику. Ми бачимо, що в чисельнику потрібно розкривати дужки і зводити в четверту ступінь:, чого робити зовсім не хочеться. Крім того, для тих, хто не знайомий з біном Ньютона, дана задача взагалі може виявитися нездійсненним. Проаналізуємо старші ступеня: якщо ми вгорі розкриємо дужки, то отримаємо старшу ступінь. Внизу у нас така ж старша ступінь:. За аналогією з попереднім прикладом, очевидно, що при почленного розподілі чисельника і знаменника на у нас в межі вийде одиниця. Або, як кажуть математики, многочлени і - одного порядку зростання. Таким чином, цілком можна обвести ставлення простим олівцем і відразу вказати, що ця штука прагне до одиниці. Аналогічно розправляємося з другою парою многочленів: і, вони теж одного порядку зростання, І їхнє ставлення прагне до одиниці.

Насправді, таку «халтуру» можна було провернути і в Прімері №1, але для многочлена 2-го ступеня таке рішення виглядає все-таки якось несолідно. Особисто я роблю так: якщо є многочлен (або многочлени) першого або другого ступеня, я використовую «довгий» спосіб вирішення Прімера 1. Якщо попадається многочлен 3-ої і більш високих ступенів, я використовую «турбо» -метод за зразком Прімера 2.

приклад 3

Дослідити ряд на збіжність

Повне рішення та зразок оформлення в кінці урокао числових послідовностях.
(4) Скорочуємо все, що можна скоротити.
(5) Константу виносимо за знак межі. У чисельнику розкриваємо дужки.
(6) Невизначеність усуваємо стандартним способом - діленням чисельника і знаменника на «ен» в старшій ступеня.

приклад 5

Дослідити ряд на збіжність

Повне рішення та зразок оформлення в кінці уроку

приклад 6

Дослідити ряд на збіжність

Іноді зустрічаються ряди, які в своїй начинці містять «ланцюг» множників, цей тип ряду ми ще не розглядали. Як досліджувати ряд з «ланцюжком» множників? Використовувати ознака Даламбера. Але спочатку для розуміння того, що відбувається розпишемо ряд докладно:

З розкладання ми бачимо, що у кожного наступного члена ряду додається додатковий множник в знаменнику, тому, якщо загальний член ряду, то наступний член ряду:
. Ось тут часто автоматом припускаються помилки, формально за алгоритмом записуючи, що

Зразок рішення може виглядати так:

Використовуємо ознака Даламбера:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

Перед тим як сформулювати сам ознака, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознака збіжності Даламбера?

Основні передумови для застосування ознаки Даламбера наступні:

1) До загального член ряду ( «начинку» ряду) входить яке-небудь число в ступені, наприклад,, і так далі. Причому, абсолютно не важливо, де ці функції розташовується, в чисельнику або в знаменнику - важливо, що вони там присутні.

2) До загального член ряду входить факторіал. Що таке факторіал?





…


…

! При використанні ознаки Даламбера нам якраз доведеться розписувати факторіал докладно. Як і в попередньому пункті, факторіал може розташовуватися вгорі або внизу дробу.

3) Якщо в загальному члені ряду є «ланцюжок множників», наприклад, . Цей випадок зустрічається рідко.

Разом зі ступенями або (і) факторіалами в начинці ряду часто зустрічаються многочлени, це не міняє справи - потрібно використовувати ознака Даламбера.

Крім того, в загальному члені ряду може зустрітися одночасно і ступінь і факторіал; може зустрітися два факторіала, два ступені, важливо щоб там перебувало хоч щось з розглянутих пунктів - і це як раз передумова для використання ознаки Даламбера.

ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд . Якщо існує межа відносини наступного члена до попереднього:, то:
а) При ряд сходиться
б) При ряд розходиться
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати інший ознака. Найчастіше одиниця виходить в тому випадку, коли ознака Даламбера намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничний ознака порівняння.

Без розуміння межі і вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися.

приклад:
Рішення:Ми бачимо, що в загальному члені ряду у нас є, а це вірна передумова того, що потрібно використовувати ознака Даламбера.

Використовуємо ознака Даламбера:


сходиться.

Радикальна ознака Коші.

Ознака збіжності Коші для позитивних числових рядів чимось схожий на тільки що розглянутий ознака Даламбера.

Радикальна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд . Якщо існує межа:, то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться при.
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться при.
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати інший ознака.

! Цікаво відзначити, що якщо ознака Коші не дає нам відповіді на питання про збіжність ряду, то ознака Даламбера нам теж не дасть відповіді. Але якщо ознака Даламбера не дає відповіді, то ознака Коші цілком може «спрацювати». Тобто, ознака Коші є в цьому сенсі більш сильною ознакою.

!!! Коли потрібно використовувати радикальний ознака Коші? Радикальна ознака Коші зазвичай використовує в тих випадках, коли загальний член ряду ПОВНІСТЮ знаходиться в ступені, залежної від «ен». Або коли корінь «добре» вилучають із загального члена ряду. Є ще екзотичні випадки, але ними голову забивати не будемо.

приклад: Дослідити ряд на збіжність

Рішення:Ми бачимо, що загальний член ряду повністю знаходиться під ступенем, що залежить від, а значить, потрібно використовувати радикальний ознака Коші:


Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.

Інтегральний ознака Коші.

Для того щоб застосовувати інтегральний ознака Коші необхідно більш-менш впевнено вміти знаходити похідні, інтеграли, а також мати навички обчислення невласного інтеграла першого роду.

Сформулюю своїми словами (для простоти розуміння).

Інтегральний ознака Коші: Розглянемо позитивний числовий ряд . Даний ряд сходиться або розходиться разом з відповідним невласних інтегралом.

! !! Основною передумовою використання інтегрального ознаки Коші є той факт, що в загальному члені ряду є деяка функція і її похідна.

приклад: Дослідити ряд на збіжність

Рішення:з теми похідна ви напевно запам'ятали найпростішу табличную річ:, і у нас якраз такий канонічний випадок.

Як використовувати інтегральний ознака? Спочатку беремо значок інтеграла і переписуємо з «лічильника» ряду верхній і нижній межі:. Потім під інтегралом переписуємо «начинку» ряду з буквою «ікс»:.

Тепер потрібно обчислити невласний інтеграл. При цьому можливо два випадки:

1) Якщо з'ясується, що інтеграл сходиться, то буде сходитися і наш ряд.

2) Якщо з'ясується, що інтеграл розходиться, то наш ряд теж буде розходитися.

Використовуємо інтегральний ознака:

Підінтегральна функція неперервна на

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться разом з відповідним невласних інтегралом.

приклад: Дослідити збіжність ряду

Рішення: перш за все, перевіряємо необхідний ознака збіжності ряду. Це не формальність, а відмінний шанс розправитися з прикладом «малою кров'ю».

числова послідовність вищого порядку зростання, Ніж, тому , Тобто необхідний ознака збіжності виконаний, і ряд може, як сходитися, так і розходитися.

Таким чином, потрібно використовувати будь-якої ознака. Але який? Граничний ознака порівняння явно не підходить, оскільки в загальний член ряду затесався логарифм, ознаки Даламбера і Коші теж не приводять до результату. Якби у нас був, то так-сяк можна було б викрутитися через інтегральний ознака.

«Огляд місця події» наводить на думку про розходиться ряді (випадок узагальненого гармонічного ряду), але знову ж таки виникає питання, як врахувати логарифм в чисельнику?

Залишається найперша ознака порівняння, заснований на нерівностях, який часто не береться до уваги і припадає пилом на далекій полиці. Розпишемо ряд докладніше:

Нагадую, що - необмежено зростаюча числова послідовність:

І, починаючи з номера, буде виконано нерівність:

тобто, члени ряду будуть ще більше відповідних членів розходиться ряду.

У підсумку, ряду нічого не залишається, як теж розходитися.

Збіжність або розбіжність числового ряду залежить від його «нескінченного хвоста» (залишку). У нашому випадку ми можемо не брати до уваги той факт, що нерівність невірно для перших двох номерів - це не впливає на зроблений висновок.

Чистове оформлення прикладу має виглядати приблизно так:

Порівняємо даний ряд з розбіжним поруч.
Для всіх номерів, починаючи з, виконано нерівність, отже, за ознакою порівняння досліджуваний ряд розходиться.

Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Приклади рішень.

Що таке Знакозмінні ряд?Це зрозуміло або майже зрозуміло вже з самої назви. Відразу найпростіший приклад.

Розглянемо ряд і розпишемо його докладніше:

Знакочередованіе забезпечує множник: якщо парне, то буде знак «плюс», якщо непарне - знак «мінус»

У практичних прикладах знакочередованіе членів ряду може забезпечувати не тільки множник, а й його рідні брати:,,, .... наприклад:

Підводним каменем є «обманки»:,, і т.п. - такі множники не забезпечують зміну знака. Цілком зрозуміло, що при будь-якому натуральному:,,.

Як досліджувати Знакозмінні ряд на збіжність?Використовувати ознака Лейбніца.

ознака Лейбніца: Якщо в Знакозмінні ряді виконуються дві умови: 1) члени ряду монотонно зменшуються за абсолютною величиною. 2) межа загального члена по модулю дорівнює нулю, то ряд сходиться, і модуль суми цього ряду не перевищує модуля першого члена.

Коротка довідка про модулі:

Що значить «по модулю»? Модуль, як ми пам'ятаємо зі школи, «з'їдає» знак «мінус». Повернемося до ряду . Подумки зітремо ластиком все знаки і подивимося на числа. Ми побачимо, що кожен наступний член ряду менше, Ніж попередній.

тепер трохи про монотонність.

члени ряду строго монотонно зменшуються по модулю, якщо КОЖЕН НАСТУПНИЙ член ряду по модулю МЕНШЕ, ніж попередній:. для ряду виконана сувора монотонність убування, її можна розписати докладно:

А можна сказати коротше: кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній:.

члени ряду нестрого монотонно зменшуються по модулю, якщо КОЖЕН НАСТУПНИЙ член ряду по модулю НЕ БІЛЬШЕ попереднього:. Розглянемо ряд з факторіалом: Тут має місце нестрогая монотонність, так як перші два члена ряду однакові по модулю. Тобто, кожен наступний член ряду по модулю не більш попереднього:.

В умовах теореми Лейбніца повинна виконуватися монотонність убування (неважливо, сувора або нестрогая). При цьому члени ряду можуть навіть деякий час зростати по модулю, Але «хвіст» ряду обов'язково повинен бути монотонно убуває.

приклад: Дослідити ряд на збіжність

Рішення: До загального член ряду входить множник, а значить, потрібно використовувати ознака Лейбніца

1) Перевірка ряду на монотонне спадання.

1<2<3<…, т.е. n + 1\u003e n -перша умова не виконується

2) - друга умова теж не виконано.

Висновок: ряд розходиться.

визначення: Якщо ряд сходиться за ознакою Лейбніца і ряд, складений з модулів: теж сходиться, то кажуть, що ряд сходиться абсолютно.

Якщо ряд сходиться за ознакою Лейбніца, а ряд, складений з модулів: розходиться, то кажуть, що ряд сходиться умовно.

Якщо ряд, складений з модулів сходиться, то сходиться і даний ряд.

Тому Знакозмінні сходиться ряд необхідно досліджувати на абсолютну або умовну збіжність.

приклад:

Рішення: Використовуємо ознака Лейбніца:

1) Кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній: - перша умова виконана.

2) - друга умова теж виконано.

Висновок: ряд сходиться.

Перевіримо на умовну або абсолютну збіжність.

Складемо ряд з модулів - знову просто прибираємо множник, який забезпечує знакочередованіе:
- розходиться (гармонійний ряд).

Таким чином, наш ряд не є абсолютно збіжним.
досліджуваний ряд сходиться умовно.

приклад:Дослідити ряд на умовну або абсолютну збіжність

Рішення: Використовуємо ознака Лейбніца:
1) Спробуємо записати кілька перших членів ряду:


…?!

2)

Справа в тому, що не існує стандартних звичайних прийомів для вирішення подібних меж. Куди прагне така межа? До нулю, до нескінченності? Тут важливо, ЩО на нескінченності росте швидше - чисельник або знаменник.

Якщо чисельник при росте швидше факторіала, то. Якщо, на нескінченності факторіал росте швидше чисельника, то він, навпаки - «затягне» межа на нуль: . А може бути ця межа дорівнює якомусь відмінному від нуля числа? або. Замість можна підставити який-небудь многочлен тисячної ступеня, це знову ж таки не змінить ситуацію - рано чи пізно факторіал все одно «пережене» і такий страшний многочлен. Факторіал вищого порядку зростання.

– Факторіал росте швидше, ніж твір будь-якої кількості показових і статечних послідовностей (Наш випадок).

– Будь-яка показова послідовність росте швидше, ніж будь-яка поважна послідовність, наприклад:,. показова послідовність вищого порядку зростання, Ніж будь-яка поважна послідовність. Аналогічно Факторіалом, показова послідовність «перетягує» твір будь-якої кількості будь-яких статечних послідовностей або многочленів: .

- А чи є що-небудь «сильніше» факторіала? Є! Статечно-показова послідовність ( «ен» в ступеня «ен») росте швидше факторіала. На практиці зустрічається рідко, але інформація зайвою не буде.

кінець довідки

Таким чином, другий пункт дослідження можна записати так:
2) , Так як більш високого порядку зростання, ніж.
Члени ряду зменшуються по модулю, починаючи з деякого номера , При цьому, кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній, таким чином, спадання монотонно.

висновок: Ряд сходиться.

Ось тут якраз той цікавий випадок, коли члени ряду спочатку ростуть по модулю, через що у нас склалася помилкова попередню думку про межі. але, починаючи з деякого номера «ен», Факторіал обганяє чисельник, і «хвіст» ряду стає монотонно убуває, що є принципово важливим для виконання умови теореми Лейбніца. Чому саме одно дане «ен», з'ясувати досить важко.

Досліджуємо ряд на абсолютну або умовну збіжність:

А тут уже працює ознака Даламбера:

Використовуємо ознака Даламбера:

Таким чином, ряд сходиться.

досліджуваний ряд сходиться абсолютно.

Розібраний приклад можна вирішити іншим способом (використовуємо остаточний признак збіжності Знакозмінні ряду).

Достатній ознака збіжності Знакозмінні ряду:Якщо ряд складений з абсолютних величин членів даного ряду, сходиться, то сходиться і даний ряд.

Другий спосіб:

Дослідити ряд на умовну або абсолютну збіжність

Рішення : Досліджуємо ряд на абсолютну збіжність:

Використовуємо ознака Даламбера:

Таким чином, ряд сходиться.
Виходячи з достатньої ознаки збіжності Знакозмінні ряду, сходиться і сам ряд.

висновок: Досліджуваний ряд сходиться абсолютно.

Для обчислення суми ряду із заданою точністюбудемо використовувати наступну теорему:

Нехай Знакозмінні ряд задовольняє умовам ознаки Лейбніца і нехай - його n-а часткова сума. Тоді ряд сходиться і похибка при наближеному обчисленні його суми S за абсолютною величиною не перевищує модуля першого відкинутого члена:

Функціональні ряди. Статечні ряди.
Область збіжності ряду.

Для успішного освоєння теми потрібно добре розбиратися в звичайних числових рядах.

Жан Лерон Даламбер - це знаменитий французький математик 18-го століття. Взагалі, Даламбер спеціалізувався на диференціальних рівняннях і на підставі своїх досліджень займався балістикою, щоб у Його Величності краще літали гарматні ядра. Заодно і про числові ряди не забув, не дарма потім шеренги наполеонівських військ так чітко сходилися і розходилися.

Перед тим як сформулювати сам ознака, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознака збіжності Даламбера?

Спочатку почнемо з повторення. Згадаймо випадки, коли потрібно застосовувати найбільш ходовий граничний ознака порівняння. Граничний ознака порівняння застосовується тоді, коли в загальному члені ряду:
1) В знаменнику знаходиться многочлен.
2) Багаточлени знаходяться і в чисельнику і в знаменнику.
3) Один або обидва многочлена можуть бути під коренем.

Основні ж передумови для застосування ознаки Даламбера наступні:

1) До загального член ряду ( «начинку» ряду) входить яке-небудь число в ступені, наприклад,, і так далі. Причому, абсолютно не важливо, де ця штуковина розташовується, в чисельнику або в знаменнику - важливо, що вона там присутня.

2) До загального член ряду входить факторіал. Що таке факторіал? Нічого складного, факторіал - це просто згорнута запис твору:





…


…

! При використанні ознаки Даламбера нам якраз доведеться розписувати факторіал докладно. Як і в попередньому пункті, факторіал може розташовуватися вгорі або внизу дробу.

3) Якщо в загальному члені ряду є «ланцюжок множників», наприклад,. Цей випадок зустрічається рідко, але! При дослідженні такого ряду часто припускаються помилки - див. Приклад 6.

Разом зі ступенями або (і) факторіалами в начинці ряду часто зустрічаються многочлени, це не міняє справи - потрібно використовувати ознака Даламбера.

Крім того, в загальному члені ряду може зустрітися одночасно і ступінь і факторіал; може зустрітися два факторіала, два ступені, важливо щоб там перебувало хоч щосьз розглянутих пунктів - і це як раз передумова для використання ознаки Даламбера.

ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд . Якщо існує межа відносини наступного члена до попереднього:, то:
а) При ряд сходиться
б) При ряд розходиться
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати інший ознака. Найчастіше одиниця виходить в тому випадку, коли ознака Даламбера намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничний ознака порівняння.

У кого досі проблеми з межами або нерозуміння меж, зверніться до теми Межі. приклади рішень. Без розуміння межі і вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися. А зараз довгоочікувані приклади.

приклад 1
Ми бачимо, що в загальному члені ряду у нас є, а це вірна передумова того, що потрібно використовувати ознака Даламбера. Спочатку повне рішення і зразок оформлення, коментарі нижче.

Використовуємо ознака Даламбера:

сходиться.

(1) Складаємо відношення наступного члена ряду до попереднього:. З умови ми бачимо, що загальний член ряду. Для того, щоб отримати наступний член ряду необхідно замість підставити: .
(2) Позбавляємося від чотириповерховий дробу. При певному досвіді вирішення цей крок можна пропускати.
(3) В чисельнику розкриваємо дужки. У знаменнику виносимо четвірку з ступеня.
(4) Скорочуємо на. Константу виносимо за знак межі. У чисельнику в дужках наводимо подібні доданки.
(5) Невизначеність усувається стандартним способом - діленням чисельника і знаменника на «ен» в старшій ступеня.
(6) Почленно ділимо числители на знаменники, і вказуємо складові, які прагнуть до нуля.
(7) Спрощуємо відповідь і робимо позначку, що з висновком про те, що, за ознакою Даламбера досліджуваний ряд сходиться.

У розглянутому прикладі в загальному члені ряду у нас зустрівся многочлен 2-го ступеня. Що робити, якщо там многочлен 3-ої, 4-ої або більш високого ступеня? Справа в тому, що якщо даний многочлен більш високого ступеня, то виникнуть труднощі з розкриттям дужок. В цьому випадку можна застосовувати «турбо» -метод рішення.

приклад 2 Візьмемо схожий ряд і досліджуємо його на збіжність
Спочатку повне рішення, потім коментарі:

Використовуємо ознака Даламбера:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Складаємо відношення.
(2) Позбавляємося від чотириповерховий дробу.
(3) Розглянемо вираз в чисельнику і вираз в знаменнику. Ми бачимо, що в чисельнику потрібно розкривати дужки і зводити в четверту ступінь:, чого робити зовсім не хочеться. Крім того, для тих, хто не знайомий з біном Ньютона, дана задача взагалі може виявитися нездійсненним. Проаналізуємо старші ступеня: якщо ми вгорі розкриємо дужки, то отримаємо старшу ступінь. Внизу у нас така ж старша ступінь:. За аналогією з попереднім прикладом, очевидно, що при почленного розподілі чисельника і знаменника на у нас в межі вийде одиниця. Або, як кажуть математики, многочлени і - одного порядку зростання. Таким чином, цілком можна обвести ставлення простим олівцем і відразу вказати, що ця штука прагне до одиниці. Аналогічно розправляємося з другою парою многочленів: і, вони теж одного порядку зростання, І їхнє ставлення прагне до одиниці.

Насправді, таку «халтуру» можна було провернути і в Прімері №1, але для многочлена 2-го ступеня таке рішення виглядає все-таки якось несолідно. Особисто я роблю так: якщо є многочлен (або многочлени) першого або другого ступеня, я використовую «довгий» спосіб вирішення Прімера 1. Якщо попадається многочлен 3-ої і більш високих ступенів, я використовую «турбо» -метод за зразком Прімера 2.

приклад 3 .

Розглянемо типові приклади з факторіалами:

приклад 4 Дослідити ряд на збіжність

До загального член ряду входить і ступінь, і факторіал. Ясно, як день, що тут треба використовувати ознака Даламбера. Вирішуємо.

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.

(1) Складаємо відношення. Повторюємо ще раз. За умовою загальний член ряду:. Для того щоб отримати наступний член ряду, замість потрібно підставити, таким чином: .
(2) Позбавляємося від чотириповерховий дробу.
(3) Відщипуємо сімку від ступеня. Факторіали розписуємо докладно. Як це зробити - див. Початок уроку.
(4) Скорочуємо все, що можна скоротити.
(5) Константу виносимо за знак межі. У чисельнику розкриваємо дужки.
(6) Невизначеність усуваємо стандартним способом - діленням чисельника і знаменника на «ен» в старшій ступеня.

приклад 5Дослідити ряд на збіжність Повне рішення нижче.

приклад 6Дослідити ряд на збіжність

Іноді зустрічаються ряди, які в своїй начинці містять «ланцюг» множників, цей тип ряду ми ще не розглядали. Як досліджувати ряд з «ланцюжком» множників? Використовувати ознака Даламбера. Але спочатку для розуміння того, що відбувається розпишемо ряд докладно:

З розкладання ми бачимо, що у кожного наступного члена ряду додається додатковий множник в знаменнику, тому, якщо загальний член ряду, то наступний член ряду:
. Ось тут часто автоматом припускаються помилки, формально за алгоритмом записуючи, що

Зразок рішення може виглядати так: Використовуємо ознака Даламбера:
Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.
РАДИКАЛЬНИЙ ОЗНАКА КОШІ

Огюстен Луї Коші - ще більш знаменитий французький математик. Біографію Коші вам може розповісти будь-який студент технічної спеціальності. У наймальовничіших фарбах. Не випадково це прізвище викарбувано на першому поверсі Ейфелевої вежі.

Ознака збіжності Коші для позитивних числових рядів чимось схожий на тільки що розглянутий ознака Даламбера.

Радикальна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд . Якщо існує межа:, то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться при.
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться при.
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати інший ознака. Цікаво відзначити, що якщо ознака Коші не дає нам відповіді на питання про збіжність ряду, то ознака Даламбера нам теж не дасть відповіді. Але якщо ознака Даламбера не дає відповіді, то ознака Коші цілком може «спрацювати». Тобто, ознака Коші є в цьому сенсі більш сильною ознакою.

Коли потрібно використовувати радикальний ознака Коші? Радикальна ознака Коші зазвичай використовує в тих випадках, коли загальний член ряду ПОВНІСТЮ знаходиться в ступені, залежної від «ен». Або коли корінь «добре» вилучають із загального члена ряду. Є ще екзотичні випадки, але ними голову забивати не будемо.

приклад 7Дослідити ряд на збіжність

Ми бачимо, що загальний член ряду повністю знаходиться під ступенем, що залежить від, а значить, потрібно використовувати радикальний ознака Коші:

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.

(1) Оформляем загальний член ряду під корінь.
(2) Переписуємо те ж саме, тільки вже без кореня, використовуючи властивість ступенів.
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник, вказуючи, що
(4) В результаті у нас вийшла невизначеність. Тут можна було піти довгим шляхом: звести в куб, звести в куб, потім розділити чисельник і знаменник на «ен» в старшій ступеня. Але в даному випадку є більш ефективне рішення: можна почленно поділити чисельник і знаменник прямо під ступенем-константою. Для усунення невизначеності ділимо чисельник і знаменник на (старшу ступінь).
(5) Власне виконуємо почленное розподіл, і вказуємо складові, які прагнуть до нуля.
(6) Доводимо відповідь до розуму, помічаємо, що і робимо висновок про те, що ряд розходиться.

А ось більш простий приклад для самостійного рішення:

приклад 8 Дослідити ряд на збіжність

І ще пара типових прикладів.

Повне рішення та зразок оформлення нижче.

приклад 9 Дослідити ряд на збіжність
Використовуємо радикальний ознака Коші:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Розміщуємо загальний член ряду під корінь.
(2) Переписуємо те ж саме, але вже без кореня, при цьому розкриваємо дужки, використовуючи формулу скороченого множення:.
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник і вказуємо, що.
(4) Отримано невизначеність виду. Тут можна прямо в дужках почленно поділити чисельник на знаменник на «ен» в старшій ступеня. Щось подібне у нас зустрічалося при вивченні другого чудового краю. Але тут ситуація інша. Якби коефіцієнти при старших ступенях були однаковими, Наприклад:, то фокус з почленного розподілом вже б не пройшов, і треба було б використати другий чудовий межа. Але у нас ці коефіцієнти різні (5 і 6), тому можна (і потрібно) ділити почленно (до речі, навпаки - другий чудовий межа при різних коефіцієнтах при старших ступенях вже не прокатує).
(5) Власне виконуємо почленное розподіл і вказуємо, які складові у нас прагнуть до нуля.
(6) Невизначеність усунена, залишився найпростіший межа: .Чому в нескінченно великий ступеня прагне до нуля? Тому що основа ступеня задовольняє нерівності. Якщо у кого є сумніви в справедливості межі, то я не полінуюся, візьму в руки калькулятор:
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
… і т.д. до нескінченності - тобто, в межі:
(7) Вказуємо, що і робимо висновок про те, що ряд сходиться.

приклад 10 Дослідити ряд на збіжність

Це приклад для самостійного рішення.

Іноді для вирішення пропонується провокаційний приклад, наприклад:. Тут в показнику ступеня немає «ен», Тільки константа. Тут потрібно звести в квадрат чисельник і знаменник (вийдуть многочлени), а далі дотримуватися алгоритму зі статті Ряди для чайників. У подібному прикладі спрацювати повинен або необхідний ознака збіжності ряду або граничний ознака порівняння.
ІНТЕГРАЛЬНИЙ ОЗНАКА КОШІ

Розчарую тих, хто погано засвоїв матеріал першого курсу. Для того щоб застосовувати інтегральний ознака Коші необхідно більш-менш впевнено вміти знаходити похідні, інтеграли, а також мати навички обчислення невласного інтегралапершого роду. У підручниках з математичного аналізу інтегральний ознака Коші дан математично строго, сформулюємо ознака зовсім примітивно, але зрозуміло. І відразу приклади для пояснення.

Інтегральний ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд . Даний ряд сходиться або розходиться

приклад 11 Дослідити ряд на збіжність

Майже класика. Натуральний логарифм і якась бяка.

Основною передумовою використання інтегрального ознаки Кошіє той факт, що в загальному члені ряду є деяка функція і її похідна. з теми похідна ви напевно запам'ятали найпростішу табличную річ:, і у нас якраз такий канонічний випадок.

Як використовувати інтегральний ознака? Спочатку беремо значок інтеграла і переписуємо з «лічильника» ряду верхній і нижній межі:. Потім під інтегралом переписуємо «начинку» ряду з буквою «хе»:. Чогось не вистачає ..., ах, да, ще в чисельнику потрібно приліпити значок диференціала:.

Тепер потрібно обчислити невласний інтеграл. При цьому можливо два випадки:

1) Якщо з'ясується, що інтеграл сходиться, то буде сходитися і наш ряд.

2) Якщо з'ясується, що інтеграл розходиться, то наш ряд теж буде розходитися.

Повторюся, якщо матеріал запущений, то читання параграфа буде важким і малозрозумілим, оскільки застосування ознаки по суті справи зводиться до обчислення невласного інтеграла першого роду.

Повне рішення та оформлення прикладу має виглядати приблизно так:

Використовуємо інтегральний ознака:

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться разом з відповідним невласних інтегралом.

приклад 12 Дослідити ряд на збіжність

Рішення і зразок оформлення в кінці уроку

У розглянутих прикладах логарифм також міг перебувати під коренем, це не змінило б способу розв'язання.

І ще два приклади на закуску

приклад 13 Дослідити ряд на збіжність

За загальним «параметрами» загальний член ряду начебто підходить для використання граничного ознаки порівняння. Потрібно всього лише розкрити дужки і відразу здати на кандидата гранично порівняти даний ряд зі збіжним рядом. Втім, я трохи злукавив, дужки можна і не розкривати, але все одно рішення через граничний ознака порівняння буде виглядати досить химерно.

Тому ми використовуємо інтегральний ознака Коші:

Підінтегральна функція неперервна на

сходиться разом з відповідним невласних інтегралом.

! Примітка: отримане число -не є сумою ряду !!!

приклад 14 Дослідити ряд на збіжність

Рішення і зразок оформлення в кінці розділу, який добігає кінця.

З метою остаточного і безповоротного засвоєння теми числових рядів відвідайте теми.

Рішення і відповіді:

Приклад 3:Використовуємо ознака Даламбера:

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.
Примітка: Можна було використовувати і «турбо» -метод рішення: відразу обвести олівцем ставлення, вказати, що воно прагне до одиниці і зробити позначку: «одного порядку зростання».

Приклад 5: Використовуємо ознака Даламбера: Т.ч., досліджуваний ряд сходиться.

Приклад 8:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

Приклад 10:
Використовуємо радикальний ознака Коші.

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.
Примітка: Тут підставу ступеня, тому

приклад 12: Використовуємо інтегральний ознака.


Отримано кінцеве число, значить, досліджуваний ряд сходиться

приклад 14: Використовуємо інтегральний ознака
Підінтегральна функція неперервна на.

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться разом з відповідним невласних інтегралом.
Примітка: Ряд також можна досліджувати за допомогоюграничного ознаки порівняння . Для цього необхідно розкрити дужки під коренем і порівняти досліджуваний ряд з розбіжним поруч.

Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. приклади рішень

Для того щоб зрозуміти приклади даного уроку необхідно добре орієнтуватися в позитивних числових рядах: розуміти, що таке ряд, знати необхідний ознака збіжності ряду, вміти застосовувати ознаки порівняння, ознака Даламбера, ознаки Коші. Тему можна підняти практично з нуля, послідовно вивчивши статті Ряди для чайниківі Ознака Даламбера. ознаки Коші. Логічно цей урок є третім за рахунком, і він дозволить не тільки розібратися в Знакозмінні рядах, а й закріпити вже пройдений матеріал! Якийсь новизни буде небагато, і освоїти Знакозмінні ряди не складе великих труднощів. Все просто і доступно.

Що таке Знакозмінні ряд?Це зрозуміло або майже зрозуміло вже з самої назви. Відразу найпростіший прімер.Рассмотрім ряд і розпишемо його докладніше:

А зараз буде убивчий коментар. У членів Знакозмінні ряду чергуються знаки: плюс, мінус, плюс, мінус, плюс, мінус і т.д. до нескінченності.
Знакочередованіе забезпечує множник: якщо парне, то буде знак «плюс», якщо непарне - знак «мінус». На математичному жаргоні ця штуковина називається «мигалкою». Таким чином, Знакозмінні ряд «розпізнається» по мінус одиничці в ступеня «ен».

У практичних прикладах знакочередованіе членів ряду може забезпечувати не тільки множник, а й його рідні брати:,,, .... наприклад:

Підводним каменем є «обманки»:,, і т.п. - такі множники не забезпечують зміну знака. Цілком зрозуміло, що при будь-якому натуральному:,,. Ряди з обманками підсовують не тільки особливо обдарованим студентам, вони час від часу виникають «самі собою» в ході рішення функціональних рядів.

Як досліджувати Знакозмінні ряд на збіжність?Використовувати ознака Лейбніца. Про німецького гіганта думки Готфріда Вільгельма Лейбніца я розповідати нічого не хочу, тому що крім математичних праць, він накатав кілька томів по філософії. Небезпечно для мозку.

ознака Лейбніца: Якщо члени Знакозмінні ряду монотонно зменшуються по модулю, то ряд сходиться. Або в два пункти:

2) Члени ряду зменшуються по модулю:. Причому, зменшуються монотонно.

якщо виконані обидва умови, то ряд сходиться.

Коротка довідка про модулі наведена в методичкеГарячі формули шкільного курсу математики , Але для зручності ще раз:

Що значить «по модулю»? Модуль, як ми пам'ятаємо зі школи, «з'їдає» знак «мінус». Повернемося до ряду. Подумки зітремо ластиком все знаки і подивимося на числа. Ми побачимо, що кожен наступний член ряду менше, Ніж попередній. Таким чином, наступні фрази позначає один і той же:

- Члени ряду без урахування знака зменшуються.
- Члени ряду зменшуються по модулю.
- Члени ряду зменшуються за абсолютною величиною.
– модуль загального члена ряду прямує до нуля: кінець довідки

Тепер трохи поговоримо про монотонність. Монотонність - це нудне сталість.

члени ряду строго монотонно зменшуються по модулю, якщо КОЖЕН НАСТУПНИЙ член ряду по модулю МЕНШЕ, ніж попередній:. Для ряду виконана сувора монотонність убування, її можна розписати докладно:

А можна сказати коротше: кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній:.

члени ряду нестрого монотонно зменшуються по модулю, якщо КОЖЕН НАСТУПНИЙ член ряду по модулю НЕ БІЛЬШЕ попереднього:. Розглянемо ряд з факторіалом: Тут має місце нестрогая монотонність, так як перші два члена ряду однакові по модулю. Тобто, кожен наступний член ряду по модулю не більш попереднього:.

В умовах теореми Лейбніца повинна виконуватися монотонність убування (неважливо, сувора або нестрогая). При цьому члени ряду можуть навіть деякий час зростати по модулю, Але «хвіст» ряду обов'язково повинен бути монотонно убуває. Не потрібно лякатися того, що я нагородив, практичні приклади все розставлять на свої місця:

приклад 1Дослідити ряд на збіжність

До загального член ряду входить множник, а значить, потрібно використовувати ознака Лейбніца

1) Перевірка ряду на знакочередованіе. Зазвичай в цьому пункті рішення ряд розписують докладно і виносять вердикт «Ряд є Знакозмінні».

2) убуває члени ряду за модулем? Необхідно вирішити межа, який найчастіше є дуже простим.

- члени ряду не зменшуються по модулю. До слова, відпала потреба в міркуваннях про монотонності убування. Висновок: ряд розходиться.

Як розібратися, чому дорівнює? Дуже просто. Як відомо, модуль знищує мінуси, тому для того, щоб скласти, потрібно просто прибрати з даху проблисковий маячок. В даному випадку загальний член ряду. Тупо прибираємо «мигалку»:.

приклад 2 Дослідити ряд на збіжність

Використовуємо ознака Лейбніца:

1) Ряд є Знакозмінні.

2) - члени ряду зменшуються по модулю. Кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній:, таким чином, спадання монотонно.

Висновок: ряд сходиться.

Все б було дуже просто - але це ще не кінець рішення!

Якщо ряд сходиться за ознакою Лейбніца, то також говорять, що ряд сходиться умовно.

Якщо сходиться і ряд, складений з модулів:, то кажуть, що ряд сходиться абсолютно.

Тому на порядку денному другої етапрешенія типового завдання - дослідження Знакозмінні ряду на абсолютну збіжність.

Чи не винуватий я - така вже теорія числових рядів \u003d)

Досліджуємо наш ряд на абсолютну збіжність.
Складемо ряд з модулів - знову просто прибираємо множник, який забезпечує знакочередованіе: - розходиться (гармонійний ряд).

Таким чином, наш ряд не є абсолютно збіжним.
досліджуваний ряд сходиться тільки умовно.

Зауважте, що в Прімері №1 не потрібно проводити дослідження не абсолютну збіжність, оскільки ще на першому кроці зроблено висновок про те, що ряд розходиться.

Збираємо відерця, лопатки, машинки і виходимо з пісочниці, щоб дивитися на світ широко відкритими очима з кабіни мого екскаватора:

приклад 3 Дослідити ряд на збіжність Використовуємо ознака Лейбніца:

1)
Даний ряд є Знакозмінні.

2) - члени ряду зменшуються по модулю. Кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній:, значить, спадання монотонно. Висновок: Ряд сходиться.

Аналізуючи начинку ряду, приходимо до висновку, що тут потрібно використовувати граничний ознака порівняння. Дужки в знаменнику зручніше розкрити:

Порівняємо даний ряд зі збіжним рядом. Використовуємо граничний ознака порівняння.

Отримано кінцеве число, відмінне від нуля, отже, ряд сходиться разом з рядом. досліджуваний ряд сходиться абсолютно.

приклад 4 Дослідити ряд на збіжність

приклад 5 Дослідити ряд на збіжність

Це приклади для самостійного рішення. Повне рішення та зразок оформлення в кінці розділу.

Як бачите, Знакозмінні ряди - це просто і занудно! Але не поспішайте закривати сторінку, всього через пару екранів ми розглянемо випадок, який багатьох ставить в тупик. А поки що пара прикладів для тренування і повторення.

приклад 6 Дослідити ряд на збіжність

Використовуємо ознака Лейбніца.
1) Ряд є Знакозмінні.
2)
Члени ряду зменшуються по модулю. Кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній, значить, спадання монотонно. Висновок: ряд сходиться.

Зверніть увагу, що я не розписав детально члени ряду. Їх завжди бажано розписувати, але від непереборної ліні в «важких» випадках можна обмежитися фразою «Ряд є Знакозмінні». До речі, не потрібно ставитися до цього пункту формально, завжди перевіряємо (Хоча б подумки) що ряд дійсно Знакозмінні. Побіжний погляд підводить, і помилка допускається «на автоматі». Пам'ятайте про «обманках»,,, якщо вони є, то від них потрібно позбавитися, отримавши «звичайний» ряд з додатними членами.

Друга тонкість стосується фрази про монотонність, її я теж максимально скоротив. Так робити можна, і майже завжди ваше завдання зарахують. Скажу зовсім негарну річ - особисто я часто взагалі мовчу про монотонності, і такий номер проходить. Але будьте готові все розписати детально, аж до детальних ланцюжків нерівностей (див. Приклад на початку уроку). Крім того, іноді монотонність буває нестрогой, і за цим теж потрібно стежити, щоб замінити слово «менше» на слово «не більше».

Досліджуємо ряд на абсолютну збіжність:

Очевидно, що потрібно використовувати радикальний ознака Коші:

Таким чином, ряд сходиться. досліджуваний ряд сходиться абсолютно.

приклад 7Дослідити ряд на збіжність

Це приклад для самостійного рішення Нерідко зустрічаються Знакозмінні ряди, які викликають труднощі.

приклад 8Дослідити ряд на збіжність

Використовуємо ознака Лейбніца:
1) Ряд є Знакозмінні.

Справа в тому, що не існує стандартних звичайних прийомів для вирішення подібних меж. Куди прагне така межа? До нулю, до нескінченності? Тут важливо, ЩО на нескінченності росте швидше - чисельник або знаменник.

ПРИМІТКА: поняття порядку зростання функції докладно висвітлено в статтіМетоди вирішення меж . У нас межі послідовностей, Але це не змінює суті.

Якщо чисельник при росте швидше факторіала, то. Якщо, на нескінченності факторіал росте швидше чисельника, то він, навпаки - «затягне» межа на нуль:. А може бути ця межа дорівнює якомусь відмінному від нуля числа?

Спробуємо записати кілька перших членів ряду:
можна підставити який-небудь многочлен тисячної ступеня, це знову ж таки не змінить ситуацію - рано чи пізно факторіал все одно «пережене» і такий страшний многочлен. Факторіал вищого порядку зростання, Ніж будь-яка поважна послідовність.

- Факторіал росте швидше, ніж твір будь-якої кількості показових і статечних послідовностей (наш випадок).

– Будь-яка показова послідовність росте швидше, ніж будь-яка поважна послідовність, наприклад:,. показова послідовність вищого порядку зростання, Ніж будь-яка поважна послідовність. Аналогічно Факторіалом, показова послідовність «перетягує» твір будь-якої кількості будь-яких статечних послідовностей або многочленів:.

- А чи є що-небудь «крутіше» факторіала? Є! Статечно-показова послідовність ( «ен» в ступеня «ен») росте швидше факторіала. На практиці зустрічається рідко, але інформація зайвою не буде. кінець довідки

Таким чином, другий пункт дослідження (ви ще про це пам'ятаєте? \u003d)) Можна записати так:
2), так як більш високого порядку зростання, ніж.
Члени ряду зменшуються по модулю, починаючи з деякого номера , При цьому, кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній, таким чином, спадання монотонно.

Висновок: ряд сходиться.

Ось тут якраз той цікавий випадок, коли члени ряду спочатку ростуть по модулю, через що у нас склалася помилкова попередню думку про межі. але, починаючи з деякого номера «ен», Факторіал обганяється чисельник, і «хвіст» ряду стає монотонно убуває, що є принципово важливим для виконання умови теореми Лейбніца. Чому саме одно дане «ен», з'ясувати досить важко.

За відповідної теореми з абсолютної збіжності ряду випливає і умовна збіжність ряду. висновок: Досліджуваний ряд сходиться абсолютно.

І наостанок пара прикладів для самостійного рішення. Один з тієї ж опери (перечитайте довідку), але простіше. Інший для гурманів - на закріплення інтегрального ознаки збіжності.

приклад 9Дослідити ряд на збіжність

приклад 10Дослідити ряд на збіжність

Після якісного опрацьовування числових позитивних і знакозмінних рядів з чистою совістю можна перейти до функціональним рядам, Які не менше монотонні і одноманітні цікаві.

Рішення і відповіді:

приклад 4: Використовуємо ознака Лейбніца:

1) Даний ряд є Знакозмінні.
2)
Члени ряду не зменшуються по модулю. Висновок: Ряд розходиться.. , При цьому, кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній, таким чином, спадання монотонно.

Таким чином, ряд розходиться разом з відповідним невласних інтегралом. досліджуваний ряд сходиться тільки умовно.