Sjednocená státní zkouška pro 4? Nepukneš štěstím?

Otázka, jak se říká, je zajímavá ... Můžete, můžete projít ve 4! A přitom neprasknout ... Hlavní podmínkou je pravidelně cvičit. Zde je základní příprava na zkoušku z matematiky. Se všemi tajemstvími a tajemstvími zkoušky, o kterých se v učebnicích nedočtete ... Prostudujte si tuto sekci, vyřešte více úkolů od různé zdroje- a všechno bude fungovat! Předpokládá se, že základní část „To ti stačí!“ nezpůsobuje vám žádné potíže. Ale pokud najednou ... Sledujte odkazy, nebuďte líní!

A začneme velkým a strašným tématem.

Trigonometrie

Pozornost!
Existují další
materiály ve speciální sekci 555.
Pro ty, kteří jsou velmi „nepříliš ...“
A pro ty, kteří „velmi ...“)

Toto téma představuje pro studenty mnoho problémů. Je považován za jeden z nejzávažnějších. Co jsou sinus a kosinus? Co jsou tangens a kotangens? Co je kruh čísel? Stojí za to si tyto neškodné otázky klást, protože člověk zbledne a pokusí se odvést rozhovor stranou ... Ale marně. Jedná se o jednoduché koncepty. A toto téma není o nic složitější než ostatní. Musíte jen jasně pochopit odpovědi na tyto otázky od samého začátku. Je to velmi důležité. Pokud tomu rozumíte - bude se vám líbit trigonometrie. Tak,

Co jsou sinus a kosinus? Co jsou tangens a kotangens?

Začněme hlubokou antikou. Nebojte se, za 15 minut pokryjeme všech 20 století trigonometrie. A neznatelně si zopakujeme kousek geometrie z 8. třídy.

Nakreslíme pravoúhlý trojúhelník se stranami a, b, c a úhel NS... Tady je jeden.

Připomínám, že strany, které svírají pravý úhel, se nazývají nohy. a a b- nohy. Jsou dva. Zbývající strana se nazývá přepona. s- přepona.

Trojúhelník a trojúhelník, přemýšlejte o tom! Co s ním dělat? Ale starověcí lidé věděli, co mají dělat! Zopakujme jejich činy. Změřte stranu proti... Na obrázku jsou nakresleny speciálně nakreslené buňky, jako v POUŽÍVEJTE úkoly stalo se to. Boční proti se rovná čtyřem buňkám. OK. Změřte stranu A. Tři buňky.

Nyní rozdělíme délku strany A podle délky strany proti... Nebo, jak se říká, zaujměte postoj A Na proti. a / b= 3/4.

Naopak můžete rozdělovat proti na A. Dostáváme 4/3. Umět proti rozdělit do s. Přepona s nelze počítat buňkami, ale rovná se 5. Dostaneme a / c= 4/5. Stručně řečeno, můžete délky stran navzájem rozdělit a získat nějaká čísla.

No a co? Jaký to má smysl? zajímavá lekce? Ještě žádný. Hloupá okupace, upřímně.)

Nyní to uděláme. Zvětšíme trojúhelník. Prodloužit strany v a s, ale tak, aby trojúhelník zůstal obdélníkový. Injekce NS přirozeně se nemění. Chcete -li to vidět, přesuňte kurzor myši na obrázek nebo na něj klepněte (pokud máte tablet). Večírky a, b a c změnit se v m, n, k, a samozřejmě se změní délky stran.

Ale jejich vztah není!

přístup a / b To bylo: a / b= 3/4, nyní m / n= 6/8 = 3/4. Vztah ostatních příslušných stran je také nezmění ... Délky stran v pravoúhlém trojúhelníku můžete libovolně měnit, zvětšovat, zmenšovat, beze změny úhlu x – vztah dotčených stran se nezmění ... Můžete to zkontrolovat, ale můžete vzít staré lidi za slovo.

Ale to už je velmi důležité! Poměry stran v pravoúhlém trojúhelníku nijak nezávisí na délkách stran (ve stejném úhlu). To je tak důležité, že vztah mezi stranami získal svá zvláštní jména. Jejich jména, abych tak řekl.) Seznamte se.

Jaký je sinus úhlu x ? Toto je poměr opačné nohy k přeponě:

sinx = a / s

Jaký je kosinus úhlu x ? Toto je poměr sousední nohy k přeponě:

sosx= a / c

Jaká je tangens úhlu x ? Toto je poměr opačné nohy k sousední:

tgx =a / b

Jaký je kotangens úhlu x ? Toto je poměr sousední nohy k protilehlé:

ctgx = in / a

Všechno je velmi jednoduché. Sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou některá z čísel. Bezrozměrný. Jen čísla. Každý roh má svůj vlastní.

Proč všechno tak nudně opakuji? Co to potom je je třeba si pamatovat... Je těžké si to pamatovat. Zapamatování lze usnadnit. Zní vám věta „Začněme z dálky ...“ povědomě? Začněte tedy z dálky.

Sinusúhel je poměr vzdálený od úhlu nohy k přeponě. Kosinus- poměr souseda k přeponě.

Tečnaúhel je poměr vzdálený od koutku nohy k nejbližšímu. Kotangens- naopak.

Už je to jednodušší, že?

Pokud si pamatujete, že v tečně a kotangensu sedí pouze nohy a přepona se objevuje v sinu a kosinu, pak se vše stane docela jednoduchým.

Tato celá slavná rodina - sinus, kosinus, tangens a kotangens se také nazývá goniometrické funkce.

A nyní otázka k zamyšlení.

Proč říkáme sinus, kosinus, tangens a kotangens? roh? Je to o vztahu stran, jako ... S čím to souvisí injekce?

Podíváme se na druhý obrázek. Úplně stejný jako ten první.

Přesuňte myš nad obrázek. Změnil jsem úhel NS... Zvýšil z x až x. Všechny vztahy se změnily! přístup a / b byl 3/4 a odpovídající poměr t / in stal 6/4.

A všechny ostatní vztahy se staly jinými!

Vztah stran tedy nijak nezávisí na jejich délkách (pod jedním úhlem x), ale ostře závisí právě na tomto úhlu! A jen od něj. Pojmy sinus, kosinus, tangens a kotangens proto odkazují na roh. Zde je hlavní roh.

Je třeba si uvědomit, že úhel je neoddělitelně spojen s jeho goniometrickými funkcemi. Každý úhel má svůj vlastní sinus a kosinus. A téměř každý má svou vlastní tangens a kotangens. To je důležité. Věří se, že pokud dostaneme úhel, pak jeho sinus, kosinus, tangens a kotangens víme ! A naopak. Vzhledem k sinusové nebo jiné trigonometrické funkci to znamená, že známe úhel.

Existují speciální tabulky, kde jsou pro každý úhel popsány goniometrické funkce. Tabulky Bradis jsou pojmenovány. Byly sestaveny velmi dávno. Dříve nebyly žádné kalkulačky ani počítače ...

Trigonometrické funkce všech úhlů samozřejmě nelze uložit do paměti. Jste povinni je znát jen z několika úhlů, o tom později. Ale kouzlo " Znám ten úhel - to znamená, že znám jeho goniometrické funkce " - vždy funguje!

Zopakovali jsme tedy kousek geometrie z 8. třídy. Potřebujeme to ke zkoušce? Nezbytné. Zde je typická zkouška ze zkoušky. K vyřešení kterého stačí 8. třída. Vzhledem k obrázku:

Všechno. Další údaje nejsou k dispozici. Je nutné zjistit délku BC nohy.

Buňky jsou málo nápomocné, trojúhelník je nějak špatně umístěn .... Zvláště jděte ... Z informací je uvedena délka přepony. 8 buněk. Z nějakého důvodu je uveden úhel.

Zde si musíme okamžitě pamatovat na trigonometrii. Existuje úhel, což znamená, že známe všechny jeho goniometrické funkce. Kterou ze čtyř funkcí byste měli použít? Podívejme se, co víme? Známe přeponu, úhel, ale musíme najít přilehlý do tohoto koutku nohou! Je jasné, že kosinus musí být uveden do provozu! Tak to spouštíme. Píšeme jen podle definice kosinu (poměr přilehlý noha do přepony):

cosC = BC / 8

Úhel C je 60 stupňů, jeho kosinus je 1/2. To musíte vědět, bez tabulek! To je:

1/2 = BC / 8

Základní lineární rovnice... Neznámý - slunce... Kdo zapomněl, jak řešit rovnice, projděte se odkazem, zbytek rozhodne:

BC = 4

Když si starověcí lidé uvědomili, že každý roh má svůj vlastní soubor goniometrické funkce, měli rozumnou otázku. Nesouvisí nějak sinus, kosinus, tangens a kotangens? Takže když znáte jednu funkci úhlu, najdete zbytek? Bez výpočtu úhlu samotného?

Byli tak neklidní ...)

Vztah mezi goniometrickými funkcemi jednoho úhlu.

Samozřejmě, sinus, kosinus, tangens a kotangens stejného úhlu spolu souvisí. Jakékoli spojení mezi výrazy je v matematice specifikováno vzorci. V trigonometrii existuje obrovské množství vzorců. Zde se ale podíváme na ty nejzákladnější. Tyto vzorce se nazývají: základní trigonometrické identity. Zde jsou:

Tyto vzorce je třeba znát ironicky. Bez nich není v trigonometrii vůbec co dělat. Z těchto základních identit vyplývají další tři pomocné identity:

Ihned vás varuji, že poslední tři vzorce rychle vypadnou z paměti. Z nějakého důvodu.) Tyto vzorce můžete samozřejmě odvodit z prvních tří. Ale v těžkých časech ... chápete.)

Ve standardních úkolech, jako jsou ty níže, existuje způsob, jak se bez těchto zapomenutelných vzorců obejít. A dramaticky snížit chyby pro zapomnětlivost a také při výpočtech. Tento praktický příjem- v § 555 lekce „Vztah mezi trigonometrickými funkcemi stejného úhlu“.

Při jakých úkolech a jak se používají základní trigonometrické identity? Nejoblíbenějším úkolem je najít nějakou funkci úhlu, pokud je zadán jiný. U zkoušky je takový úkol přítomen rok od roku.) Například:

Najděte sinx, pokud x je ostrý úhel a cosx = 0,8.

Úkol je téměř elementární. Hledáme vzorec, kde jsou sinus a kosinus. Toto je vzorec:

hřích 2 x + cos 2 x = 1

Nahrazujeme zde známou hodnotu, konkrétně 0,8 místo kosinu:

hřích 2 x + 0,8 2 = 1

Počítáme, jako obvykle:

hřích 2 x + 0,64 = 1

hřích 2 x = 1 - 0,64

To je prakticky vše. Vypočítali jsme druhou mocninu sinusu, zbývá extrahovat druhou odmocninu a odpověď je připravena! Kořen 0,36 je 0,6.

Úkol je téměř elementární. Ale slovo „téměř“ zde není marné ... Faktem je, že odpověď sinx = - 0,6 je také vhodná ... (-0,6) 2 bude také 0,36.

Získají se dvě různé odpovědi. A jeden potřebujete. Druhý je špatný. Jak být !? Ano, jako obvykle.) Přečtěte si pozorně zadání. Z nějakého důvodu říká: ... pokud x je ostrý úhel ... A v úkolech má každé slovo význam, ano ... Tato fráze - a k řešení jsou další informace.

Ostrý úhel je úhel menší než 90 °. A v takových rozích Všechno goniometrické funkce - jak sinusové, tak kosinové, a tangens s kotangens - pozitivní. Tito. zde zápornou odpověď jednoduše zahodíme. Máme právo.

Ve skutečnosti žáci osmé třídy takové jemnosti nepotřebují. Pracují pouze s pravoúhlými trojúhelníky, kde rohy mohou být pouze ostré. A nevědí, šťastní, že existují negativní úhly a úhly 1000 ° ... A všechny tyto hrozné úhly mají své vlastní goniometrické funkce s plusem a mínusem ...

Ale studenti středních škol, aniž by brali v úvahu znamení - jakýmkoli způsobem. Mnoho znalostí znásobuje smutek, ano ...) A pro správné rozhodnutíúkol musí obsahovat další informace (je -li to nutné). Může to být například dáno takovým záznamem:

Nebo něco jiného. Uvidíte v níže uvedených příkladech.) K vyřešení takových příkladů potřebujete vědět ve které čtvrtině klesá daný úhel x a jaké znaménko má v této čtvrtině požadovanou goniometrickou funkci.

Tyto základy trigonometrie jsou probrány v lekcích o tom, co je to trigonometrický kruh, počítání úhlů na tomto kruhu, radiánská míra úhlu. Někdy také potřebujete znát tabulku sinusů kosinusů tečen a kotangens.

Ukažme tedy to nejdůležitější:

Praktické rady:

1. Zapamatujte si definice sinus, kosinus, tangens a kotangens. Velmi užitečné.

2. Přesně se učte: sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou pevně spojeny s úhly. Víme jednu věc - to znamená, že známe další.

3. Jasně se učíme: sinus, kosinus, tangens a kotangens jednoho úhlu spolu navzájem souvisí goniometrické identity... Pokud známe jednu funkci, pak můžeme (pokud máme potřebné doplňující informace) vypočítat všechny ostatní.

A teď to vyřešíme, jako obvykle. Nejprve úkoly v rozsahu 8. ročníku. Ale studenti středních škol mohou také ...)

1. Vypočítejte hodnotu tgА, pokud ctgА = 0,4.

2. β je úhel v pravoúhlém trojúhelníku. Najděte hodnotu tgβ, pokud sinβ = 12/13.

3. Určete sinus ostrého úhlu x, pokud tgx = 4/3.

4. Najděte hodnotu výrazu:

6sin 2 5 ° - 3 + 6cos 2 5 °

5. Najděte hodnotu výrazu:

(1-cosx) (1 + cosx) pokud sinx = 0,3

Odpovědi (oddělené středníkem, v nepořádku):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Stalo? Pokuta! Žáci osmé třídy již mohou získat své A.)

Ne všechno se povedlo? Úkoly 2 a 3 nejsou nějak moc ...? Žádný problém! Na takové úkoly existuje jeden pěkný trik. Vše je vyřešeno prakticky bez vzorců! No, a proto žádné chyby. Tato technika v lekci: „Vztah mezi goniometrickými funkcemi stejného úhlu“ je popsána v části 555. Tam jsou také seřazeny všechny ostatní úkoly.

Byly to úkoly jako Sjednocená státní zkouška, ale ve zkrácené verzi. Unified State Exam - light). A nyní existují téměř stejné úkoly, ale v plnohodnotné testovací formě. Pro studenty středních škol zatížených znalostmi.)

6. Najděte hodnotu tgβ, pokud sinβ = 12/13, a

7. Určete sinx, pokud tgx = 4/3, a x patří do intervalu ( - 540 °; - 450 °).

8. Najděte hodnotu výrazu sinβ · cosβ, pokud ctgβ = 1.

Odpovědi (v nepořádku):

0,8; 0,5; -2,4.

Tady, v problému 6, úhel nějak není příliš jednoznačný ... A v problému 8 není specifikován vůbec! Je to schválně). Další informace jsou převzaty nejen z úkolu, ale také z hlavy.) Pokud se ale rozhodnete - jeden správný úkol je zaručen!

A pokud jste se nerozhodli? Hm ... No, sekce 555 pomůže. Tam jsou podrobně popsána řešení všech těchto úkolů, je těžké tomu nerozumět.

Tato lekce představuje velmi omezený koncept goniometrických funkcí. V rámci 8. ročníku. A starší stále mají otázky ...

Například pokud úhel NS(viz druhý obrázek na této stránce) - udělejte to hloupě !? Trojúhelník se úplně zhroutí! A jak být? Nebude žádná noha, žádná přepona ... Sinus je pryč ...

Pokud by starověcí lidé nenašli východisko z této situace, neměli bychom nyní žádné mobilní telefony, žádnou televizi ani elektřinu. Ano ano! Teoretický základ všechny tyto věci bez goniometrických funkcí - nula bez hůlky. Starověcí lidé ale nezklamali. Jak se dostali ven - v další lekci.

Pokud se vám tento web líbí ...

Mimochodem, mám pro vás pár dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit příklady řešení a zjistit svoji úroveň. Okamžité ověřovací testování. Učení - se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a deriváty.

Jednou z oblastí matematiky, se kterou se studenti vyrovnávají s největšími obtížemi, je trigonometrie. Není divu: abyste svobodně zvládli tuto oblast znalostí, musíte mít prostorové myšlení, schopnost najít siny, kosiny, tangenty, kotangenty podle vzorců, zjednodušit výrazy, umět použít číslo pi při výpočtech. Kromě toho musíte být schopni dokázat trigonometrii při dokazování vět, a to vyžaduje buď rozvinutou matematickou paměť, nebo schopnost odvodit složité logické řetězce.

Počátky trigonometrie

Seznámení s touto vědou by mělo začínat určováním sinus, kosinus a tangens úhlu, ale nejprve musíte zjistit, co trigonometrie obecně dělá.

Historicky byly pravoúhlé trojúhelníky hlavním předmětem výzkumu v této oblasti matematické vědy. Přítomnost úhlu 90 stupňů umožňuje provádět různé operace, které umožňují určit hodnoty všech parametrů dotyčného obrázku na dvou stranách a jednom rohu nebo na dvou úhlech a jedné straně. V minulosti si lidé tohoto vzoru všimli a začali jej aktivně využívat při stavbě budov, navigaci, v astronomii a dokonce i v umění.

První část

Zpočátku lidé hovořili o vztahu úhlů a stran výhradně na příkladu pravoúhlých trojúhelníků. Poté byly objeveny speciální vzorce, které umožnily rozšířit hranice použití v Každodenní život této části matematiky.

Studium trigonometrie ve škole dnes začíná pravoúhlými trojúhelníky, načež získané znalosti využijí studenti z fyziky a řešení abstraktních goniometrických rovnic, s jejichž prací začíná na střední škole.

Sférická trigonometrie

Později, když věda dosáhla další úrovně vývoje, se v sférické geometrii začaly používat vzorce se sinusem, kosinusem, tangens, kotangensem, kde platí různá pravidla a součet úhlů v trojúhelníku je vždy více než 180 stupňů. Tato část není ve škole studována, ale je nutné vědět o její existenci alespoň proto, že zemský povrch a povrch jakékoli jiné planety jsou konvexní, což znamená, že jakékoli označení povrchu bude v trojrozměrný prostor"Klenutý".

Vezměte glóbus a řetězec. Připojte řetězec k jakýmkoli dvěma bodům na zeměkouli, aby byl napnutý. Dávejte pozor - mělo tvar oblouku. Takovými formami se zabývá sférická geometrie, která se používá v geodézii, astronomii a dalších teoretických a aplikovaných oborech.

Pravoúhlý trojuhelník

Když jsme se dozvěděli něco o způsobech použití trigonometrie, vraťme se k základní trigonometrii, abychom dále porozuměli tomu, co jsou sinus, kosinus, tangens, jaké výpočty lze s jejich pomocí provádět a jaké vzorce v tomto případě použít.

Prvním krokem je porozumět pojmům souvisejícím s pravoúhlým trojúhelníkem. Za prvé, přepona je strana opačná k úhlu 90 stupňů. Je nejdelší. Pamatujeme si, že podle Pythagorovy věty je její číselná hodnota rovna odmocnině součtu čtverců ostatních dvou stran.

Pokud jsou například obě strany 3 a 4 centimetry, délka přepony je 5 centimetrů. Mimochodem, staří Egypťané o tom věděli asi před čtyřmi a půl tisíci lety.

Dvě zbývající strany, které svírají pravý úhel, se nazývají nohy. Kromě toho je třeba mít na paměti, že součet úhlů v trojúhelníku v obdélníkové souřadnicové soustavě je 180 stupňů.

Definice

Konečně, s pevným porozuměním geometrické základně, lze přejít k definici sinus, kosinus a tangens úhlu.

Sinus úhlu je poměr opačné nohy (tj. Strany opačné k požadovanému úhlu) k přeponě. Kosinus úhlu je poměr přilehlé nohy k přeponě.

Pamatujte, že ani sinus ani kosinus nemohou být větší než jedna! Proč? Protože přepona je standardně nejdelší. Bez ohledu na to, jak dlouhá je noha, bude kratší než přepona, což znamená, že jejich poměr bude vždy menší než jedna. Pokud tedy máte v odpovědi na problém sinus nebo kosinus s hodnotou větší než 1, hledejte chybu ve výpočtech nebo uvažování. Tato odpověď je rozhodně špatná.

Nakonec tangens úhlu je poměr opačné strany k sousední straně. Rozdělení sinusu kosinem poskytne stejný výsledek. Podívejte se: v souladu se vzorcem rozdělíme délku strany přeponou, poté vydělíme délkou druhé strany a vynásobíme přeponou. Dostaneme tedy stejný vztah jako v definici tangenty.

Kotangens je poměr strany přilehlé k rohu k opačné straně. Stejného výsledku dosáhneme dělením jednoho tangensem.

Podívali jsme se tedy na definice toho, co je sinus, kosinus, tangens a kotangens, a můžeme udělat vzorce.

Nejjednodušší vzorce

V trigonometrii se neobejdete bez vzorců - jak bez nich najít sinus, kosinus, tangens, kotangens? Ale právě to je při řešení problémů vyžadováno.

První vzorec, který potřebujete vědět, když se začínáte učit trigonometrii, říká, že součet druhých mocnin sinusu a kosinu úhlu je roven jedné. Tento vzorec je přímým důsledkem Pythagorovy věty, ale šetří čas, pokud chcete znát úhel, nikoli stranu.

Mnoho studentů si nepamatuje druhý vzorec, který je také velmi populární při řešení školní úkoly: Součet jedné a druhé mocniny tangenty úhlu se rovná jedné dělené druhou mocninou kosinu úhlu. Podívejte se blíže: koneckonců je to stejné tvrzení jako v prvním vzorci, pouze obě strany identity byly rozděleny čtvercem kosinu. Ukazuje se, že jednoduchá matematická operace ano trigonometrický vzorecúplně k nepoznání. Pamatujte si: když víte, co jsou to sinus, kosinus, tangens a kotangens, pravidla transformace a několik základních vzorců, můžete kdykoli odvodit požadované další složité vzorce na kus papíru.

Vzorce pro přidávání dvojitých úhlů a argumentů

Další dvě vzorce, které se musíte naučit, souvisejí s hodnotami sinus a kosinus pro součet a rozdíl úhlů. Jsou znázorněny na obrázku níže. Vezměte prosím na vědomí, že v prvním případě se sinus a kosinus vynásobí dvakrát a ve druhém se přidá párový součin sinus a kosinus.

Existují také vzorce spojené s argumenty dvojitého úhlu. Jsou zcela odvozeny od těch předchozích - jako cvičení si je zkuste získat sami, přičemž úhel alfa se rovná úhlu beta.

Nakonec si všimněte, že vzorce s dvojitým úhlem lze transformovat tak, aby se snížil stupeň sinus, kosinus a tangenta alfa.

Věty

Dvě hlavní věty v základní trigonometrii jsou sinusová věta a kosinusová věta. Pomocí těchto vět můžete snadno porozumět tomu, jak najít sinus, kosinus a tangens, a tedy oblast obrázku, velikost každé strany atd.

Sinusová věta říká, že vydělením délky každé strany trojúhelníku hodnotou opačného úhlu dostaneme stejné číslo... Kromě toho se toto číslo bude rovnat dvěma poloměrům ohraničené kružnice, tj. Kružnice obsahující všechny body tohoto trojúhelníku.

Kosinová věta zobecňuje Pythagorovu větu promítnutím na libovolné trojúhelníky. Ukazuje se, že ze součtu čtverců obou stran odečtěte jejich součin vynásobený dvojitým kosinusem úhlu sousedícího s nimi - výsledná hodnota se bude rovnat čtverci třetí strany. Pythagorova věta se tedy ukazuje jako zvláštní případ kosinové věty.

Nepozorné chyby

I když víme, co jsou sinus, kosinus a tangens, je snadné udělat chybu kvůli rozptýlení pozornosti nebo chybě v nejjednodušších výpočtech. Abychom se vyhnuli takovým chybám, podívejme se na ty nejoblíbenější.

Za prvé, neměli byste převádět běžné zlomky na desetinná místa, dokud nedosáhnete konečného výsledku - odpověď můžete nechat ve formuláři společný zlomek není -li v podmínkách uvedeno jinak. Takovou transformaci nelze nazvat chybou, ale je třeba si uvědomit, že v každé fázi úkolu se mohou objevit nové kořeny, které by podle autorovy myšlenky měly být zkráceny. V takovém případě budete ztrácet čas zbytečnými matematickými operacemi. To platí zejména pro hodnoty, jako je kořen tří nebo dvou, protože se vyskytují v problémech na každém kroku. Totéž platí pro zaokrouhlování „ošklivých“ čísel.

Dále si všimněte, že kosinová věta platí pro jakýkoli trojúhelník, ale ne pro Pythagorovu větu! Pokud omylem zapomenete odečíst dvojí součin stran, vynásobený kosinusem úhlu mezi nimi, získáte nejen zcela špatný výsledek, ale také prokážete naprosté nepochopení předmětu. To je horší než nedbalá chyba.

Za třetí, nezaměňujte hodnoty pro úhly 30 a 60 stupňů pro sinus, kosinus, tangens, kotangens. Pamatujte si tyto hodnoty, protože sinus 30 stupňů se rovná kosinu 60 a naopak. Je snadné je zmást, v důsledku čehož nevyhnutelně získáte chybný výsledek.

aplikace

Mnoho studentů nijak nespěchá, aby se začali učit trigonometrii, protože nechápou její aplikovaný význam. Co je sinus, kosinus, tangenta pro inženýra nebo astronoma? Jde o koncepty, díky kterým můžete vypočítat vzdálenost vzdálených hvězd, předpovědět pád meteoritu, poslat výzkumnou sondu na jinou planetu. Bez nich není možné postavit budovu, navrhnout auto, vypočítat zatížení povrchu nebo trajektorii objektu. A to jsou jen ty nejzjevnější příklady! Ostatně trigonometrie v té či oné formě se používá všude, od hudby po medicínu.

Konečně

Jste tedy sinus, kosinus, tangenta. Můžete je použít ve výpočtech a úspěšně řešit školní problémy.

Celý bod trigonometrie se scvrkává na fakt, že neznámé parametry trojúhelníku je třeba vypočítat pomocí známých parametrů. Těchto parametrů je šest: délky tří stran a velikosti tří úhlů. Rozdíl v úkolech je pouze v tom, že jsou zadány různé vstupy.

Nyní víte, jak najít sinus, kosinus, tangens na základě známých délek nohou nebo přepony. Protože tyto termíny neznamenají nic jiného než poměr a poměr je zlomek, hlavním cílem goniometrického problému je najít kořeny obyčejné rovnice nebo soustavy rovnic. A tady vám pomůže běžná školní matematika.

Instrukce

Metoda 1. Použití Pythagorovy věty. Věta říká: čtverec přepony se rovná součtu čtverců nohou. Z toho vyplývá, že kteroukoli ze stran pravoúhlého trojúhelníku lze vypočítat na základě znalosti jeho dalších dvou stran (obr.2)

Metoda 2. Vyplývá to ze skutečnosti, že medián nakreslený od do přepony mezi sebou tvoří 3 podobné trojúhelníky (obr. 3). Na tomto obrázku jsou trojúhelníky ABC, BCD a ACD podobné.

Příklad 6: Použití jednotkových kruhů k nalezení souřadnic

Nejprve najdeme referenční úhel odpovídající danému úhlu. Potom vezmeme sinusovou a kosinusovou hodnotu referenčního úhlu a dáme jim znaménka odpovídající hodnotám y a x kvadrantu. Dále najdeme kosinus a sinus daného úhlu.

Síto úhel, trojúhelník úhel a kořen krychle

Mezi mnohoúhelníky, které lze kreslit pomocí kompasu a pravítka, patří.

Poznámka: Úhel síta nelze vykreslit pomocí kompasu a pravítka. Vynásobením délky strany krychle kořenem krychle 2 získáte délku strany krychle s dvojitým objemem. Pomocí inovativní teorie francouzského matematika Évariste Galoise lze ukázat, že pro všechny tři klasické problémy konstrukce s kruhem a pravítkem není možná.

Přepona je strana v pravoúhlém trojúhelníku, která je proti úhlu 90 stupňů. Aby bylo možné vypočítat jeho délku, stačí znát délku jedné z nohou a velikost jednoho z ostrých úhlů trojúhelníku.

Mějte na paměti: trojdílný design úhlu a krychle není možný s kompasem a pravítkem.

Na druhou stranu řešení rovnice třetího stupně podle Cardanova vzorce lze vyjádřit dělením úhlu a krychlového kořene. V následujícím stavíme kruh a pravítko určitý úhel. Po trojúhelníku tohoto úhlu a určení kořene krychle lze však dokončení stavby čtvercového síta provést pomocí kompasu a pravítka.

Podle tohoto výpočtu postavte příhradovou palubu

Algebraická formulace konstrukčního problému vede k rovnici, jejíž strukturální analýza poskytne další informace o konstrukci ternární struktury. Zde se používá poměr úhlu k kosinu jedna ku jedné: pokud je známa hodnota úhlu, lze délku kosinu úhlu jednoznačně vykreslit na jednotkové kružnici a naopak.

Instrukce

Se známou nohou a ostrým úhlem pravoúhlého trojúhelníku může být velikost přepony rovna poměru nohy k kosinu / sinusu tohoto úhlu, pokud je tento úhel opačný / sousedí s ním:

h = C1 (nebo C2) / sinα;

h = C1 (nebo C2) / cosα.

Příklad: Nechť je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB a pravým úhlem C. Nechť úhel B je 60 stupňů a úhel A 30 stupňů. Délka nohy BC je 8 cm. Je nutné zjistěte délku přepony AB. K tomu můžete použít některou z výše uvedených metod:

Toto individuální přiřazení vám umožňuje přejít od určení úhlu k určení kosinu úhlu. V následujícím textu 3 φ označuje úhel, který má být rozdělen. Φ je tedy úhel, jehož hodnota by měla být určena pro dané 3 φ. Počínaje sloučeninami známými z trigonometrie.

Následuje v daném úhlu 3 φ. Algebraické uvažování o rozpustnosti trojrozměrné rovnice vede přímo k otázce možnosti konstruování řešení a následně k otázce možnosti či nemožnosti konstruktivního trojitého úhlu daného úhlu.

AB = BC / cos60 = 8 cm.

AB = BC / sin30 = 8 cm.

Přepona je strana pravoúhlého trojúhelníku, který leží proti pravému úhlu. Je to největší strana pravoúhlého trojúhelníku. Můžete to vypočítat pomocí Pythagorovy věty nebo pomocí vzorců goniometrických funkcí.

Velikost výstupního úhlu má velký vliv na možnost propojení třetího úhlu, protože toto, jako absolutní termín, rozhodujícím způsobem určuje typ řešení v trojrozměrné rovnici. Pokud má triangulační rovnice alespoň jedno skutečné řešení, které lze získat racionálními operacemi nebo kreslením odmocniny pro daný počáteční úhel je toto řešení konstruktivní.

Breidenbach formuloval jako kritérium, že třísekundový úhel lze interpretovat pouze v racionální řešení rovnice ve třech částech. Pokud takové řešení není k dispozici, je problém třídílné konstrukce nesmiřitelný s kompasem a pravítkem. Klastrová analýza - obecná metoda sestavení malých skupin z velké datové sady. Podobně jako diskriminační analýza se k rozdělení případů do skupin používá také klastrová analýza. Na druhé straně diskriminační analýza vyžaduje znalost členství ve skupinách v případech použitých k odvození pravidla klasifikace.

Instrukce

Nohy se nazývají strany pravoúhlého trojúhelníku sousedící s pravým úhlem. Na obrázku jsou nohy označeny jako AB a BC. Nechť jsou uvedeny délky obou nohou. Označme je jako | AB | a | BC |. Abychom zjistili délku přepony | AC |, použijeme Pythagorovu větu. Podle této věty je součet čtverců nohou roven čtverci přepony, tj. v zápisu naší figury | AB | ^ 2 + | BC | ^ 2 = | AC | ^ 2. Ze vzorce získáme, že délku přepony AC najdeme jako | AC | = √ (| AB | ^ 2 + | BC | ^ 2).

Clusterová analýza je primitivnější, protože nevytváří předpoklady o počtu skupin nebo členství ve skupinách. Klasifikace Klastrová analýza poskytuje způsob, jak objevit potenciální vztahy a vytvořit systematickou strukturu v velký počet proměnné a pozorování. Hierarchická klastrová analýza je hlavní statistickou metodou pro hledání relativně homogenních shluků případů na základě měřených charakteristik. Začíná každým případem jako samostatný klastr.

Poté jsou klastry postupně kombinovány, počet klastrů se každým krokem snižuje, dokud nezůstane pouze jeden klastr. Metoda klastrování využívá rozdíly mezi objekty k vytváření klastrů. Hierarchická klastrová analýza je nejvhodnější pro malé vzorky.

Podívejme se na příklad. Nechte délky nohou | AB | = 13, | BC | = 21. Pythagorovou větou získáme, že | AC | ^ 2 = 13 ^ 2 + 21 ^ 2 = 169 + 441 = 610. Abychom získali délku přepony, je nutné extrahovat odmocninu z součet čtverců nohou, tzn z 610: | AC | = √610. Pomocí tabulky čtverců celých čísel zjistíme, že číslo 610 není úplný čtverec žádného celého čísla. Abychom získali konečnou hodnotu délky přepony, zkusme z kořenového znaménka vyjmout celý čtverec. Chcete -li to provést, zadejte číslo 610. 610 = 2 * 5 * 61. Podle tabulky prvočísel vidíme, že 61 je prvočíslo. Další snížení počtu √610 je proto nemožné. Dostáváme konečnou odpověď | AC | = √610.
Pokud byl čtverec přepony stejný, například 675, pak √675 = √ (3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Pokud je takové snížení možné, proveďte zpětnou kontrolu - porovnejte výsledek a porovnejte s původní hodnotou.

Hierarchická klastrová analýza je jen jedním ze způsobů, jak pozorovat tvorbu homogenních variabilních skupin. Neexistuje žádný konkrétní způsob, jak nastavit počet klastrů pro vaši analýzu. Možná budete muset podívat se na dendrogram i na vlastnosti klastrů a poté počet postupně upravovat, abyste získali dobré řešení klastrování.

Když jsou proměnné měřeny v různých měřítcích, máte tři způsoby, jak proměnné standardizovat. V důsledku toho všechny proměnné se zhruba stejnými poměry přispívají k měření vzdálenosti, i když byste mohli přijít o informace o rozptylu proměnných.

Dejte nám vědět jednu z nohou a roh, který s ní sousedí. Pro jistotu nechť je leg | AB | a úhel α. Pak můžeme použít vzorec pro goniometrickou funkci kosinus - kosinus úhlu se rovná poměru přilehlé nohy k přeponě. Tito. v našem zápisu cos α = | AB | / | AC |. Z toho získáme délku přepony | AC | = | AB | / cos α.
Pokud známe nohu | BC | a úhel α, pak použijeme vzorec pro výpočet sinus úhlu - sinus úhlu se rovná poměru opačné nohy k přeponě: sin α = | BC | / | AC |. Zjistili jsme, že délku přepony najdeme jako | AC | = | BC | / cos α.

Euklidovská vzdálenost: Euklidovská vzdálenost je nejběžnější metodou měření. Čtvercová euklidovská vzdálenost: Čtverec euklidovské vzdálenosti zaměřuje pozornost na objekty, které jsou od sebe dále. Vzdálenost od městského bloku: Městský blok i euklidovská vzdálenost jsou speciální případy Minkowského metriky. Zatímco euklidovská vzdálenost odpovídá délce nejkratší cesty mezi dvěma body, vzdálenost podél městského bloku je součtem vzdáleností podél každé dimenze. Pearsonův korelační vzdálenost Rozdíl mezi 1 a kosinovým faktorem dvou pozorování Kosinový faktor je kosinus úhlu mezi dvěma vektory. Vzdálenost Jacard Rozdíl mezi 1 a Jacardovým koeficientem pro dvě pozorování U binárních dat je Jacardův koeficient poměrem množství překrytí a součtem dvou pozorování. Nejbližší soused Tato metoda předpokládá, že vzdálenost mezi dvěma klastry odpovídá vzdálenosti mezi prvky v jejich nejbližším okolí. Nejlepší soused V této metodě vzdálenost mezi dvěma klastry odpovídá maximální vzdálenosti mezi dvěma objekty v různých klastrech. Skupinový průměr: U této metody vzdálenost mezi dvěma shluky odpovídá průměrné vzdálenosti mezi všemi páry objektů v různých klastrech. Tato metoda je obecně doporučována, protože obsahuje vyšší množství informací. Medián Tato metoda je shodná s metodou těžiště, kromě toho, že není vážená. Poté se pro každý případ vypočítá kvadratická euklidovská vzdálenost ke klastrovému průměru. Klastr, který má být sloučen, je ten, který zvyšuje alespoň částku. To znamená, že tato metoda minimalizuje nárůst celkového součtu čtvercových vzdáleností v klastrech. Tato metoda má tendenci vytvářet menší klastry.

• Toto je geometrická vzdálenost ve vícerozměrném prostoru.
• Je vhodný pouze pro spojité proměnné.
• Vzdálenost kosinu Kosinus úhlu mezi dvěma vektory hodnot.
• Tato metoda se doporučuje při kreslení malovaných klastrů.
• Pokud nakreslené klastry tvoří jedinečné shluky, je metoda vhodná.
• Těžiště klastru je středem multidimenzionálního prostoru.
• Nemělo by se používat, pokud jsou velikosti klastrů velmi odlišné.
• Ward průměry pro všechny proměnné se počítají pro každý klastr.
• Tyto vzdálenosti se sečtou pro všechny případy.

Cílem je minimalizovat vzdálenost mezi daty a odpovídajícím shlukem klastrů.

Pro přehlednost zvažte příklad. Nechte délku nohy | AB | = 15. A úhel α = 60 °. Dostáváme | AC | = 15 / cos 60 ° = 15 / 0,5 = 30.
Zvažte, jak můžete svůj výsledek zkontrolovat pomocí Pythagorovy věty. K tomu potřebujeme vypočítat délku druhé nohy | BC |. Pomocí vzorce pro tangens úhlu tan α = | BC | / | AC | získáme | BC | = | AB | * opálení α = 15 * opálení 60 ° = 15 * √3. Poté použijeme Pythagorovu větu, dostaneme 15 ^ 2 + (15 * √3) ^ 2 = 30 ^ 2 => 225 + 675 = 900. Kontrola je dokončena.

Sinusová funkce je určena z konceptu sinus, přičemž je třeba mít na paměti, že úhel musí být vždy vyjádřen v radiánech. Můžeme pozorovat několik charakteristik sinusové funkce.

• Vaše doména obsahuje všechny skutečné.
• V tomto případě se říká, že funkce je periodická, o periodě 2π.

Kosinová funkce je určena z konceptu kosinu, přičemž je třeba mít na paměti, že úhel musí být vždy vyjádřen v radiánech.

Můžeme pozorovat několik charakteristik kosinové funkce. Jedná se tedy o periodické období 2π. ... Omezení neodstraňuje obecnost vzorce, protože úhly druhého, třetího a čtvrtého kvadrantu můžeme vždy zmenšit na první. Cvičení. - Vypočítejte 15º sinus bez použití kalkulačky.

Po výpočtu přepony zkontrolujte, zda výsledná hodnota splňuje Pythagorovu větu.

Prameny:

• stůl prvočísla od 1 do 10 000

Nohy zavolejte dvě krátké strany pravoúhlého trojúhelníku, které tvoří tento vrchol, jehož hodnota je 90 °. Třetí strana v takovém trojúhelníku se nazývá přepona. Všechny tyto strany a úhly trojúhelníku jsou navzájem spojeny určitými poměry, které umožňují vypočítat délku nohy, pokud je známo několik dalších parametrů.

Kosinus součtu dvou úhlů

Kosinus rozdílu dvou úhlů

Abychom získali vzorec, můžeme postupovat stejně jako v předchozí části, ale uvidíme další velmi jednoduchou ukázku založenou na Pythagorově větě. Zjednodušení a změnu znamení máme. Tečný součet a rozdíl dvou úhlů.

Cvičení. V dnešním článku se podíváme na velmi specifickou podmnožinu: goniometrické funkce. Abychom si mohli užít vše, co matematika může nabídnout, musíme to importovat. V příštím článku uvidíme další styly importu, z nichž každý má své vlastní výhody a nevýhody. Ale s touto jednoduchou instrukcí už máte přístup k celému oboru názvů matematický modul plné desítek funkcí, včetně těch, kterými se dnes budeme zabývat.

Instrukce

Pomocí Pythagorovy věty vypočítejte délku nohy (A), pokud znáte délku dalších dvou stran (B a C) pravoúhlého trojúhelníku. Tato věta říká, že součet čtvercových délek nohou se rovná čtverci přepony. Z toho vyplývá, že délka každé z nohou je stejná odmocnina z rozdílu mezi čtverci délek přepony a druhé větve: A = √ (C²-B²).

V zásadě budeme muset vypočítat sinus, kosinus a tangens úhlu, stejně jako jeho inverzní funkce. Kromě toho bychom chtěli být schopni pracovat jak v radiánech, tak ve stupních, abychom mohli používat také příslušné převodní funkce.

Měli byste mít na paměti, že tyto funkce očekávají, že argument bude zadán v radiánech, nikoli ve stupních. Za tímto účelem vás bude zajímat, že máte následující konstantu. Tento výraz tedy můžeme použít místo číselné hodnoty.

Pro kosekans, sekans a kotangens neexistuje žádná přímá funkce, protože to není nutné, protože jsou jednoduše inverzní k sinusu, kosinu a tangensu. Vrácený úhel je stejně jako dříve v radiánech. Další užitečná matematická funkce nám umožňuje zjistit hodnotu přepony pravoúhlého trojúhelníku vzhledem k jeho nohám, což nám umožňuje vypočítat druhou odmocninu ze součtu jejich druhých mocnin.

Použijte definici přímé trigonometrické funkce „sinus“ pro ostrý úhel, pokud znáte hodnotu úhlu (α), který leží naproti vypočítané noze, a délku přepony (C). Tato definice uvádí, že sinus tohoto známého úhlu se rovná poměru délky požadované nohy k délce přepony. To znamená, že délka požadované nohy se rovná součinu délky přepony a sinusu známého úhlu: A = C ∗ sin (α). Pro stejné známé hodnoty můžete použít definici kosekansové funkce a vypočítat požadovanou délku vydělením délky přepony koeficientem známého úhlu A = C / cosec (α).

Definici přímé trigonometrické kosinové funkce použijte, pokud je kromě délky přepony (C) známá také hodnota ostrého úhlu (β) sousedící s požadovanou nohou. Kosinus tohoto úhlu je definován jako poměr délek požadované nohy a přepony, a z toho můžeme usoudit, že délka nohy se rovná součinu délky přepony kosinusem známé úhel: A = C ∗ cos (β). Můžete použít definici sekansové funkce a vypočítat požadovanou hodnotu vydělením délky přepony o sečnu známého úhlu A = C / s (β).

Odvodte požadovaný vzorec z podobné definice pro derivaci goniometrické tangensové funkce, je -li kromě ostrého úhlu (α), který leží naproti požadované noze (A), známa i délka druhé větve (B) . Tečna úhlu opačného k požadované noze je poměr délky této nohy k délce druhé nohy. To znamená, že požadovaná hodnota se bude rovnat součinu délky známé nohy a tangenty známého úhlu: A = B ∗ tg (α). Další vzorec lze odvodit ze stejných známých veličin, použijeme -li definici funkce kotangens. V tomto případě bude pro výpočet délky nohy nutné najít poměr délky známé nohy k kotangensu známého úhlu: A = B / ctg (α).

Související videa

Slovo „katet“ přišlo do ruštiny z řečtiny. V přesném překladu to znamená olovnici, tedy kolmici na povrch Země. V matematice se nohám říká strany, které tvoří pravý úhel pravoúhlého trojúhelníku. Strana opačná k tomuto rohu se nazývá přepona. Termín „noha“ se používá také v architektuře a svařovací technice.

Nakreslete pravoúhlý trojúhelník ACB. Označte jeho nohy jako a a b a přepona jako c. Všechny strany a rohy pravoúhlého trojúhelníku jsou navzájem spojeny určitými vztahy. Poměr nohy, opačné k jednomu z ostrých úhlů, k přeponě se nazývá sinus daného úhlu. V tomto trojúhelníku sinCAB = a / c. Kosinus je poměr k přeponě sousední nohy, tj. CosCAB = b / c. Reverzním vztahům se říká secant a kosekant.

Sekans daného úhlu se získá vydělením přepony přilehlou nohou, tj. SecCAB = c / b. Ukazuje se inverzní kosinus, to znamená, že může být vyjádřen vzorcem secCAB = 1 / cosSAB.
Kosekant se rovná podílu dělení přepony opačnou nohou a toto je reciproční sinus. Lze jej vypočítat pomocí vzorce cosecCAB = 1 / sinCAB

Obě nohy jsou spojeny tangens a kotangens. V tomto případě bude tangens poměrem strany a ke straně b, tj. Opačná noha k sousední noze. Tento poměr lze vyjádřit vzorcem tgCAB = a / b. V souladu s tím bude inverzní vztah kotangens: ctgCAB = b / a.

Poměr mezi rozměry přepony a obou nohou určil starořecký matematik Pythagoras. Lidé stále používají větu pojmenovanou po něm. Říká, že čtverec přepony se rovná součtu čtverců nohou, tj. C2 = a2 + b2. V souladu s tím bude každá noha rovna druhé odmocnině rozdílu mezi čtverci přepony a druhou nohou. Tento vzorec lze zapsat jako b = √ (c2-a2).

Délka nohy může být také vyjádřena známými vztahy. Podle vět o sinech a kosinech se noha rovná součinu přepony a jedné z těchto funkcí. Můžete to také vyjádřit tangens nebo kotangens. Nohu a lze zjistit například podle vzorce a = b * tan CAB. Stejným způsobem, v závislosti na zadané tangenci nebo kotangens, je také určena druhá noha.

Termín „noha“ se používá také v architektuře. Vztahuje se na iontový kapitál a označuje olovnici uprostřed jeho zad. To znamená, že i v tomto případě tento termín označuje kolmici na danou přímku.

V technologii svařování existuje koncept „koutových svarových nohou“. Stejně jako v jiných případech je to nejkratší vzdálenost. Tady přichází to o mezeře mezi jednou z částí, které mají být přivařeny, k okraji švu umístěného na povrchu druhé části.

Související videa

Prameny:

• co je noha a přepona

Související videa

Poznámka

Při výpočtu stran pravoúhlého trojúhelníku může znalost jeho vlastností hrát:
1) Pokud noha pravého úhlu leží proti úhlu 30 stupňů, pak se rovná polovině přepony;
2) Přepona je vždy delší než kterákoli z nohou;
3) Pokud je kruh popsán kolem pravoúhlého trojúhelníku, měl by jeho střed ležet uprostřed přepony.

Tam, kde byly zvažovány problémy pro řešení pravoúhlého trojúhelníku, jsem slíbil nastínit techniku ​​pro zapamatování definic sinus a kosinus. Jeho použitím si vždy rychle zapamatujete, která noha patří přeponě (sousední nebo protilehlé). Rozhodl jsem se to nedávat na zadní hořák, potřebný materiál je níže, přečtěte si prosím 😉

Faktem je, že jsem opakovaně pozoroval, jak si studenti ve stupních 10–11 obtížně pamatují tyto definice. Dokonale si pamatují, že noha patří do přepony, ale která z nich - zapomene a zmatený. Náklady na chybu, jak víte u zkoušky, jsou ztraceným bodem.

Informace, které uvedu přímo do matematiky, s tím nemají nic společného. Je spojena s obrazovým myšlením a s metodami verbálně-logické komunikace. Přesně tak, sám jsem si jednou provždy vzpomněl definiční údaje. Pokud je zapomenete, pak je pomocí uvedených technik vždy snadno zapamatovatelné.

Dovolte mi, abych vám připomněl definice sinus a kosinus v pravoúhlém trojúhelníku:

Kosinus ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku je poměr sousední nohy k přeponě:

Sinus ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku je poměr opačné nohy k přeponě:

Jaké asociace tedy máte se slovem kosinus?

Asi každý má to své 😉 Pamatujte na partu:

Okamžitě tak budete mít ve své paměti výraz -

«… poměr SEŘÍZENÍ nohy k přeponě».

Problém s určením kosinu je vyřešen.

Potřebujete-li připomenout definici sinusu v pravoúhlém trojúhelníku a poté si připomenout definici kosinu, můžete snadno stanovit, že sinus ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměrem protilehlé nohy k přepona. Vždyť jsou jen dvě nohy, pokud sousední nohu „obsadí“ kosinus, pak zůstane jen opačný sinus.

A co tečna a kotangens? Zmatek je stejný. Studenti vědí, že jde o vztah nohou, ale problém je zapamatovat si, ke kterému patří - buď opačný k sousednímu, nebo naopak.

Definice:

Tečna ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku je poměr protilehlé nohy k sousední:

Kotangens ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku je poměr sousední nohy k protilehlé:

Jak si pamatovat? Existují dva způsoby. Jeden také používá verbálně -logické spojení, druhý - matematický.

ZPŮSOB MATEMATICKÝ

Existuje taková definice - tangens ostrého úhlu je poměr sinus úhlu k jeho kosinu:

* Po zapamatování vzorce můžete vždy určit, že tangens ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr protilehlé nohy k sousední noze.

Rovněž. Kotangens ostrého úhlu je poměr kosinu úhlu k jeho sinusu:

Tak! Po zapamatování uvedených vzorců můžete vždy určit, že:

Tečna ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr protilehlé nohy k sousední

Kotangens ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr sousední nohy k protilehlé.

SLOVO-LOGICKÁ METODA

O tangenty. Pamatujte na partu:

To znamená, že pokud si potřebujete zapamatovat definici tangens, pomocí tohoto logického spojení si snadno zapamatujete, že je

„... vztah opačné nohy k sousední“

Pokud jde o kotangens, pak si pamatujete definici tangens, můžete snadno vyslovit definici kotangens -

„... vztah sousední nohy k protilehlé“

Na webu existuje zajímavá technika pro zapamatování tangens a kotangens " Matematický tandem " , podívej se.

UNIVERZÁLNÍ METODA

Můžete si jen pamatovat. Jak ale ukazuje praxe, díky verbálním a logickým spojením si člověk pamatuje informace na dlouhou dobu, a to nejen matematické.

Doufám, že vám byl materiál užitečný.

S pozdravem Alexander Krutitskikh

P.S: Byl bych vděčný, kdybyste nám mohli o webu říct na sociálních sítích.

Jak vidíte, tento kruh je postaven v kartézském souřadném systému. Poloměr kruhu se rovná jedné, zatímco střed kruhu leží na počátku, počáteční poloha vektoru poloměru je fixována podél kladného směru osy (v našem případě se jedná o poloměr).

Každý bod kruhu odpovídá dvěma číslům: souřadnice podél osy a souřadnice podél osy. A jaké jsou tyto číselné souřadnice? A obecně, co mají společného s uvažovaným tématem? Chcete-li to provést, musíte si pamatovat uvažovaný pravoúhlý trojúhelník. Na obrázku výše vidíte dva celé pravoúhlé trojúhelníky. Zvažte trojúhelník. Je obdélníkový, protože je kolmý na osu.

Čemu se rovná trojúhelník? To je v pořádku. Navíc víme, že - je poloměr jednotkové kružnice, a tedy ,. Nahraďte tuto hodnotu naším kosinovým vzorcem. Co se stane:

A čemu se rovná trojúhelník? No samozřejmě! Do tohoto vzorce nahraďte hodnotu poloměru a získejte:

Můžete nám tedy říci, jaké jsou souřadnice bodu patřícího do kruhu? No, v žádném případě? A pokud si to uvědomujete a jsou to jen čísla? Jakým souřadnicím to odpovídá? No, samozřejmě, souřadnice! A jaké souřadnici to odpovídá? Přesně tak, souřadnice! Takže pointa.

A co se potom rovná a? Správně, použijme odpovídající definice tangens a kotangens a dostaneme, a.

Co když je úhel větší? Například jako na tomto obrázku:

Co se v tomto příkladu změnilo? Pojďme na to. Chcete-li to provést, znovu se obraťte na pravoúhlý trojúhelník. Zvažte pravoúhlý trojúhelník: roh (jako sousedící s rohem). Jakou hodnotu má sinus, kosinus, tangens a kotangens pro úhel? Správně, dodržujeme odpovídající definice goniometrických funkcí:

No, jak vidíte, hodnota sinusového úhlu stále odpovídá souřadnici; hodnota kosinu úhlové souřadnice - souřadnice; a hodnoty tangens a kotangens k odpovídajícím poměrům. Tyto vztahy se tedy vztahují na jakékoli rotace vektoru poloměru.

Již bylo zmíněno, že počáteční poloha vektoru poloměru je podél kladného směru osy. Doposud jsme tento vektor otáčeli proti směru hodinových ručiček, ale co kdybychom jej otočili ve směru hodinových ručiček? Nic mimořádného, ​​úhel určité velikosti také dopadne, ale pouze bude negativní. Když tedy poloměrem vektoru otočíte proti směru hodinových ručiček, získáte kladné úhly, a při otáčení ve směru hodinových ručiček - záporný.

Víme tedy, že celá otáčka vektoru poloměru v kruhu je nebo. Je možné otočit vektor poloměru o nebo o? Samozřejmě můžete! V prvním případě tedy vektor poloměru provede jednu úplnou otáčku a zastaví se v poloze nebo.

V druhém případě, tj. Vektor poloměru provede tři úplné otáčky a zastaví se v poloze nebo.

Z výše uvedených příkladů tedy můžeme usoudit, že úhly, které se liší o nebo (kde je jakékoli celé číslo) odpovídají stejné poloze vektoru poloměru.

Následující obrázek ukazuje úhel. Stejný obrázek odpovídá rohu atd. Seznam pokračuje dál a dál. Všechny tyto úhly lze zapsat obecným vzorcem nebo (kde je jakékoli celé číslo)

Nyní, když znáte definice základních goniometrických funkcí a pomocí jednotkové kružnice, zkuste odpovědět, čemu se hodnoty rovnají:

Zde je jednotkový kruh, který vám pomůže:

Potíže? Pak na to přijdeme. Víme tedy, že:

Odtud určujeme souřadnice bodů odpovídající určitým měřítkům úhlu. Začněme v pořadí: roh odpovídá bodu se souřadnicemi, proto:

Neexistuje;

Dále podle stejné logiky zjistíme, že rohy odpovídají bodům se souřadnicemi. S vědomím toho je snadné určit hodnoty goniometrických funkcí v odpovídajících bodech. Zkuste to nejprve sami a poté zkontrolujte odpovědi.

Odpovědi:

Neexistuje

Neexistuje

Neexistuje

Neexistuje

Můžeme tedy sestavit následující tabulku:

Není nutné si všechny tyto významy pamatovat. Stačí si pamatovat shodu souřadnic bodů na jednotkové kružnici a hodnot goniometrických funkcí:

Ale hodnoty goniometrických funkcí úhlů v a, uvedené v tabulce níže, je třeba si pamatovat:

Nebojte se, nyní si ukážeme jeden z příkladů. dost jednoduché zapamatování odpovídající hodnoty:

Chcete -li použít tuto metodu, je důležité si pamatovat hodnoty sinus pro všechny tři míry úhlu (), stejně jako hodnotu tangens úhlu v. Když známe tyto hodnoty, je docela snadné obnovit celou tabulku jako celek - kosinové hodnoty jsou přenášeny v souladu se šipkami, to znamená:

Když to víte, můžete obnovit hodnoty pro. Čitatel "" se shoduje a jmenovatel "" se shoduje. Hodnoty kotangensu se přenášejí podle šipek znázorněných na obrázku. Pokud tomu rozumíte a pamatujete si diagram se šipkami, pak bude stačit zapamatovat si všechny hodnoty z tabulky.

Souřadnice bodů na kruhu

Je možné najít bod (jeho souřadnice) na kruhu, znát souřadnice středu kruhu, jeho poloměr a úhel otočení?

No jasně, že můžeš! Pojďme přinést obecný vzorec pro nalezení souřadnic bodu.

Zde například máme takový kruh:

Je nám dáno, že bod je střed kruhu. Poloměr kruhu je. Je nutné najít souřadnice bodu získané otáčením bodu o stupně.

Jak vidíte na obrázku, délka segmentu odpovídá souřadnici bodu. Délka segmentu odpovídá souřadnici středu kruhu, to znamená, že se rovná. Délku segmentu lze vyjádřit pomocí definice kosinu:

Pak to máme pro bod souřadnici.

Pomocí stejné logiky najdeme hodnotu souřadnice y pro bod. Tím pádem,

Takže v obecný pohled souřadnice bodů jsou určeny vzorci:

Souřadnice středu kruhu,

Poloměr kruhu,

Úhel otočení poloměru vektoru.

Jak vidíte, pro uvažovaný jednotkový kruh jsou tyto vzorce výrazně redukovány, protože souřadnice středu jsou rovny nule a poloměr je roven jedné:

Ochutnáme tyto vzorce procvičováním hledání bodů na kruhu?

1. Najděte souřadnice bodu na jednotkové kružnici získané otočením bodu o.

2. Najděte souřadnice bodu na jednotkové kružnici získané otočením bodu o.

3. Najděte souřadnice bodu na jednotkové kružnici získané otočením bodu o.

4. Bod je střed kruhu. Poloměr kruhu je. Je nutné najít souřadnice bodu získaného otáčením vektoru počátečního poloměru o.

5. Bod je střed kruhu. Poloměr kruhu je. Je nutné najít souřadnice bodu získané otáčením počátečního vektoru poloměru o.

Máte potíže s nalezením souřadnic bodu v kruhu?

Vyřešte těchto pět příkladů (nebo dobře vymyslete řešení) a naučíte se, jak je najít!

1.

Můžete to vidět. Víme ale, co odpovídá plnému obratu výchozí bod... Požadovaný bod tedy bude ve stejné poloze jako při otáčení na. Když to víme, najdeme požadované souřadnice bodu:

2. Kruh je jednotka se středem v bodě, což znamená, že můžeme použít zjednodušené vzorce:

Můžete to vidět. Víme, co odpovídá dvěma úplným otáčkám výchozího bodu. Požadovaný bod tedy bude ve stejné poloze jako při otáčení na. Když to víme, najdeme požadované souřadnice bodu:

Sinus a kosinus jsou tabulkové hodnoty. Pamatujeme si jejich význam a získáváme:

Požadovaný bod má tedy souřadnice.

3. Kruh je jednotka se středem v bodě, což znamená, že můžeme použít zjednodušené vzorce:

Můžete to vidět. Znázorněme uvažovaný příklad na obrázku:

Poloměr vytváří úhly s osou rovnou a. S vědomím, že tabulkové hodnoty kosinu a sinu jsou stejné, a když jsme zjistili, že kosinus zde má zápornou hodnotu a sinus je kladný, máme:

Takové příklady jsou podrobněji analyzovány při studiu vzorců pro obsazení goniometrických funkcí v tématu.

Požadovaný bod má tedy souřadnice.

4.

Úhel otočení poloměru vektoru (podle podmínky,)

Abychom určili odpovídající znaménka sinusu a kosinu, sestrojíme jednotkový kruh a úhel:

Jak vidíte, hodnota, tj. Kladná, a hodnota, tj. Záporná. Když známe tabulkové hodnoty odpovídajících goniometrických funkcí, dostaneme, že:

Získané hodnoty dosaďte do našeho vzorce a najděte souřadnice:

Požadovaný bod má tedy souřadnice.

5. K vyřešení tohoto problému použijeme vzorce v obecné formě, kde

Souřadnice středu kruhu (v našem příkladu

Poloměr kruhu (podle podmínky,)

Úhel otočení poloměru vektoru (podle podmínky,).

Nahraďte všechny hodnoty ve vzorci a získejte:

a - tabulkové hodnoty. Pamatujeme si je a nahrazujeme je ve vzorci:

Požadovaný bod má tedy souřadnice.

SOUHRN A ZÁKLADNÍ VZORCE

Sinus úhlu je poměr protilehlé (vzdálené) nohy k přeponě.

Kosinus úhlu je poměr přilehlé (blízké) nohy k přeponě.

Tečna úhlu je poměr protilehlé (vzdálené) nohy k sousední (blízké) noze.

Kotangens úhlu je poměr sousední (blízké) nohy k protilehlé (vzdálené) noze.