Egy összetettebb egyenlőtlenségek megoldása. Egyenlőtlenségek. Az egyenlőtlenségek típusai. II. Az anyag ismétlése és rögzítése

Mit kell tudni az egyenlőtlenségi ikonokról? Egyenlőtlenségek egy jelvényrel több (> ), vagy kevésbé (< ) Hívott szigorú. Ikonokkal több vagy egyenlő (≥ ), kisebb vagy egyenlő (≤ ) Hívott nebri. Ikon nem egyenlő (≠ ) Ez egy kastély, de folyamatosan megoldja az ilyen jelvényt. És borotváljuk.)

Maga az ikon nem rendelkezik speciális hatással a megoldási folyamatra. De a határozat végén, a végső válasz kiválasztásakor az ikon jelentése nyilvánul meg teljes erő! Amit az alábbiakban látni fogunk, a példákon. Ott vannak a viccek ...

Egyenlőtlenségek, valamint egyenlőtlenségek, vannak hűséges és helytelen. Minden egyszerű itt, fókusz nélkül. Mondjuk, 5. > 2 - Hűséges egyenlőtlenség. öt < 2 - Helytelen.

Az ilyen képzési munkák az egyenlőtlenségekre bármilyen fajta És könnyen horror.) Szükséged van, csak, hogy helyesen két (csak két!) Elemi akciókat végezzen. Ezek a cselekedetek mindenkinek ismerik. De ez jellemző, shoals ezeken a cselekvésekben - és jelentős hiba van az egyenlőtlenségek megoldásában, igen ... szükségessé vált, hogy megismételjük ezeket az intézkedéseket. Ezeknek az akcióknak nevezik, mint:

Az egyenlőtlenségek azonos átalakulása.

Az egyenlőtlenségek azonos átalakulása nagyon hasonlít az egyenletek azonos átalakításához. Valójában ez a fő probléma. A különbségek felgyorsulnak a fej múlva és ... megérkeztek.) Ezért egyedül fogok kiosztani ezeket a különbségeket. Tehát az egyenlőtlenségek első azonos átalakítása:

1. Az egyenlőtlenség mindkét részéhez hozzá lehet adni (elveszi) ugyanazt a számot, vagy kifejezést. Bármi. Az egyenlőtlenség jele nem változik.

A gyakorlatban ez a szabály az egyenlőtlenség bal oldali részéről jobbra (és fordítva) a jelek megváltozására vonatkozik. A tagjelzés megváltoztatásával, nem egyenlőtlenségek! Az egyik az egyik egybeesik az egyenletek szabályával. De az egyenlőtlenségekben szereplő azonos átalakulások jelentősen különböznek az egyenletektől. Ezért kiemeljem őket pirosban:

2. Az egyenlőtlenség mindkét része megszorozható (osztva) ugyanarrapozitív szám. Bármilyenpozitív Nem fog változni.

3. Az egyenlőtlenség mindkét részét meg lehet szorozni (osztva) ugyanazonnegatív szám. Bármilyennegatív szám. Az egyenlőtlenség jele ennekváltson az ellenkezőjére.

Emlékszel (remélem ...), hogy az egyenlet megszorozható / megosztható, ami csökkent. És bármilyen szám és kifejezés xa-val. Ha csak nulla. Ez, az egyenlet, ez sem forró, sem hideg.) Nem változik. De az egyenlőtlenségek érzékenyebbek a szorzásra / osztályra.

Vizuális példa a hosszú memóriára. Mi írunk egyenlőtlenséget, amely nem okoz kétségeket:

5 > 2

Szorozzuk össze mindkét részét +3, Kapunk:

15 > 6

Vannak kifogások? Nincsenek kifogások.) És ha megszorozzuk a kezdeti egyenlőtlenség mindkét részét -3, Kapunk:

15 > -6

És ez már egy frank hazugság.) Teljes hazugság! Fingering emberek! De érdemes megváltoztatni az egyenlőtlenség jelét az ellenkezőjére, hogy minden a helyén legyen:

15 < -6

A hazugságokról és a megtévesztésről - nem csak esküszöm annyira.) "Elfelejtettem megváltoztatni az egyenlőtlenség jelét ..." - ez a fő Hiba az egyenlőtlenségek megoldásában. Ez egy trifling és egyszerű szabály, hogy sok ember fáj! Ki elfelejtettem ...) Szóval esküszöm. Talán emlékszem ...)

Különösen figyelmes észrevétele, hogy az egyenlőtlenséget nem lehet megszorozni egy xa kifejezéssel. Tiszteletben tartja a figyelmet!) És miért nem? A válasz egyszerű. Nem ismerjük a kifejezés jelét xa-val. Pozitív, negatív lehet ... ez lett, nem tudjuk, hogy melyik az egyenlőtlenség jele a szorzás után. Változtassa meg, vagy sem? Ismeretlen. Természetesen ez egy korlátozás (tilalom a szorzás / egyenlőtlenség megosztása az ICOM-val szemben). Ha nagyon szükséges. De ez a téma más tanulságok számára.

Itt vannak az egyenlőtlenségek azonos átalakítása. Emlékeztessük újra, hogy dolgoznak bármi egyenlőtlenségek. És most konkrét fajokra lehet menni.

Lineáris egyenlőtlenségek. Megoldás, példák.

A lineáris egyenlőtlenségeket egyenlőtlenségeknek nevezik, amelyekben az X első fokozatban van, és nincs divízió az X-en. Típus:

x + 3. > 5x-5.

Hogyan oldódnak meg az ilyen egyenlőtlenségek? Nagyon egyszerűen megoldódnak! Nevezetesen: a leginkább csillogó lineáris egyenlőtlenség csökkentésével egyenesen a válaszhoz. Ez az egész döntés. A határozat főbb pontjai. A hülye hibák elkerülése érdekében.)

Ezt az egyenlőtlenséget megoldjuk:

x + 3. > 5x-5.

Ugyanazt megoldjuk, mint a lineáris egyenlet. Az egyetlen különbséggel:

Óvatosan kövesse az egyenlőtlenség jelét!

Az első lépés a leggyakoribb. Az üregekkel - maradt, ICS nélkül - jobb ... Ez az első azonos átalakulás, egyszerű és problémamentes.) Csak a hordozható tagokból származó jelek nem felejtik el a változást.

Az egyenlőtlenségi jel megmarad:

x-5x > -5-3

Hasonlóan adunk.

Az egyenlőtlenségi jel megmarad:

4x > -8

Továbbra is alkalmazza az utolsó identitás konverziót: osztja meg mindkét rész -4-et.

Delima negatív szám.

Az egyenlőtlenség jele az ellenkezőjére változik:

h. < 2

Ez a válasz.

Tehát minden lineáris egyenlőtlenség megoldódott.

Figyelem! A 2. pontot fehér, azaz Megnövekedett. Üres belül. Ez azt jelenti, hogy nem adja meg a választ! Különösen festettem különösen annyira. Egy ilyen pont (üres, nem egészséges!)) A matematikában azt hívják tisztító pont.

A tengelyen fennmaradó számok megjegyezhetők, de nincs szükségük. Az egyenlőtlenségünkhez nem kapcsolódó kívülállók zavarosak lehetnek, igen ... csak emlékezni kell arra, hogy a számok növekedése a nyíl mentén halad, azaz. 3., 4, 5, stb. találhatóak jobbra Twos és számok 1, 0, -1, stb. - bal.

Az egyenlőtlenség x. < 2 - Szigorú. X szigorúan kevesebb, mint kettő. Ha kétségek merülnek fel, az ellenőrzés egyszerű. Kétséges számot helyettesítünk az egyenlőtlenségre és tükrözni: "Két kevesebb, mint két? Nem, természetesen!" Pontosan. Egyenlőtlenség 2. < 2 Érvénytelen. A kettős nem alkalmas.

És egy dolog alkalmas? Biztos. Kevésbé ... és nulla alkalmas, és -17, és 0,34 ... igen, minden olyan szám, amely kevesebb, mint kettő, alkalmas! És még 1,9999 .... legalább egy kicsit, igen kevesebb!

Tehát megjegyezzük ezeket a számokat a numerikus tengelyen. Hogyan? Vannak lehetőség. Opció első - keltetés. Az egeret a rajzhoz szállítjuk (vagy érintse meg a képet a táblagépen), és látjuk, hogy az X állapot alatti összes ICS régió árnyékolt < 2 . Ez minden.

A második lehetőség a második példában fogja fontolni:

h. ≥ -0,5

Rajzoljuk a tengelyt, jegyezzük meg a -0,5-es számot. Mint ez:

Észrevette a különbséget?) Nos, igen, nehéz nem észrevenni ... Ez a pont fekete! Festett. Ez azt jelenti, hogy -0,5 válaszul. Itt, az úton, ellenőrizze és összekeverje valakit. Helyettesítjük:

-0,5 ≥ -0,5

Hogy hogy? -0.5 Nincs több -0,5! És van több ikon ...

Semmi baj. A nem szigorú egyenlőtlenségben minden alkalmas az ikonra. ÉS egyaránt Jó, I. több Alkalmas. Következésképpen -0,5 válaszolva van.

Tehát -0,5 Megjegyeztük a tengelyen, még mindig megjegyeztük az összes számot, amely több -0,5. Ezúttal ünnepeljem a megfelelő ICS értékek területét rét (a szóból ív), nem keltetés. A kurzort a rajzhoz hozjuk, és ezt a kézhalmazt látjuk.

Nincs különbség a keltetés és a fegyverek között. Csináld a tanár. Ha nincs tanár - rajzoljon egy fogantyút. A bonyolultabb feladatokban a keltetés kevésbé vizuális. Zavaros lehet.

Lineáris egyenlőtlenségek a tengelyen húzódnak. Menjen az egyenlőtlenségek következő funkciójához.

Rekord válasz az egyenlőtlenségekre.

Jó volt az egyenletekben.) Talált X, és rögzítették a választ, például: x \u003d 3. Az egyenlőtlenségekben a válaszrekordok két formája van. Egy - a végső egyenlőtlenség formájában. Jó az esetleges esetekben. Például:

h.< 2.

Ez egy teljes válasz.

Néha ugyanazt kell írni, de más formában, numerikus réseken keresztül. Ezután a felvétel nagyon tudományosan néz ki):

x ∈ (-∞; 2)

Az ikon alatt ∈ Egy szó elrejtése "tartoznak".

A felvétel így olvasható: x a Minus Infinity-től legfeljebb kettőből származik kivéve. Logikus. X lehet bármely számú lehetséges szám a mínusz végtelenségtől kettőre. Két IX nem lehet, hogy azt mondjuk a szót "kivéve".

És ahol úgy tűnik "kivéve"? Ezt a tényt megjegyezzük. kerek A konzol közvetlenül két után. Ha a kétszer bekapcsol, a konzol lenne négyzet. Itt van:]. A következő példában ilyen zárójelét használjuk.

Írjuk a választ: x ≥ -0,5 az intervallumokon keresztül:

x ∈ [-0,5; + ∞)

Olvasás: x a mínusz 0,5, beleértve, plusz végtelenségig.

Az Infinity soha nem kapcsolható be. Ez nem szám, ez egy szimbólum. Ezért az ilyen bejegyzésekben végtelenül a kerek tartóhoz közeledik.

Ez a felvételi forma kényelmes a komplex válaszokhoz, amelyek több intervallumból állnak. De - pontosan a végső válaszokért. Az ideiglenes eredmények során, ahol további döntés várható, jobb, ha az egyszerű egyenlőtlenség formájában használatos a szokásos formát. Ezt a vonatkozó témákban értjük.

Népszerű feladatok egyenlőtlenségekkel.

Önmagukban a lineáris egyenlőtlenségek egyszerűek. Ezért gyakran a feladatok bonyolultak. Szóval szükséges volt gondolkodni. Ez, ha nem szokott, nem túl szép.) De hasznos. Megmutatom az ilyen feladatok példáit. Nem úgy, hogy megtanultad őket, felesleges. És annak érdekében, hogy ne féljenek, ha hasonló példákkal rendelkező találkozó. Csak gondolj - és minden egyszerű!)

1. Keresse meg a két megoldás egyenlőtlenséget 3x - 3< 0

Ha nem nagyon világos, mit kell tennie, emlékezzen a matematika fő szabályára:

Nem tudod, mit kell - tedd, amit tudsz!)

h. < 1

És akkor mi van? Semmi különös. Mit kérdeztünk? Felkérik, hogy találjunk két konkrét számot, amelyek az egyenlőtlenség megoldása. Azok. Alkalmas. Kettő bármi számok. Valójában összetéveszthető.) Pár 0 és 0,5 illeszkedés. Pár -3 és -8. Igen, ezek a párok végtelen készlet! Mi a helyes válasz?!

Válaszolok: mindent! Bármely pár szám, amelyek mindegyike kevesebb, mint egy, ez lesz a helyes válasz. Írja meg, amit akarsz. Folyik.

2. Az egyenlőtlenség megoldása:

4 - 3. ≠ 0

A jelen formában szereplő feladatok ritkák. De mint kiegészítő egyenlőtlenségek, ha az OTZ például, vagy ha a funkció meghatározásának függvénye megtalálható, gyorsan körül van. Az ilyen lineáris egyenlőtlenség közös lineáris egyenletként oldható meg. Csak mindenütt, kivéve a jelet "\u003d" ( egyaránt) aláírja " ≠ " (nem egyenlő). Tehát válaszolni és felállni, az egyenlőtlenség jelével:

h. ≠ 0,75

Több komplex példák, jobb másképp csinálni. Egyenlőtlenséget teremt az egyenlőtlenségtől. Mint ez:

4 - 3. = 0

Csendben oldja meg, ahogy tanított, és megkapja a választ:

x \u003d 0,75

A legfontosabb dolog, hogy végül a végső válasz rögzítésekor ne felejtsük el, hogy találtunk x, ami ad egyenlőség. És szükségünk van - egyenlőtlenség. Ez lett, ez az x nem szükséges.) És meg kell írni a helyes ikonral:

h. ≠ 0,75

Ezzel a megközelítéssel kevesebb hibát kapunk. Azok, akik megoldják a gép egyenleteit. És azok, akik nem oldják meg az egyenleteket, az egyenlőtlenséget, valójában semmit sem ...) Egy másik példa egy népszerű feladatra:

3. Keresse meg az egyenlőtlenség legkisebb teljes megoldását:

3 (X - 1) < 5x + 9.

Először egyszerűen megoldjuk az egyenlőtlenséget. Vágjuk a zárójeleket, átadjuk, hasonlóan ... kapunk:

h. > - 6

Nem így történt!? És követi a jeleket!? És a tagok jelei mögött, és az egyenlőtlenség jele mögött ...

Ismét gondoljuk. Meg kell találnunk egy adott számot, megfelelő és hajtott, és az állapot alatt - A legkisebb egész szám.Ha nem haladja meg azonnal, egyszerűen csak számot és becslést végezhet. Még két mínusz hat? Biztos! Van-e megfelelő szám kisebb? Természetesen. Például nulla -6 -6. És még kevésbé? Mi vagyunk a lehető legkisebb! Mínusz három mínusz hat! Már tudsz elkapni a mintát, és megállíthatja a hülye rendezési számokat, ugye?)

Vegye ki a számot -6-hoz közelebb. Például -5. A válasz végrehajtása, -5 > - 6. Megtalálhat egy másik számot, kevesebb -5, de több -6-at? Például -5,5 ... Stop! Azt mondják egészdöntés! Ne roll -5.5! És mínusz hat? Uh-uh! Az egyenlőtlenség szigorú, mínusz 6 nem kevesebb mínusz 6!

A helyes válasz: -5.

Remélem, hogy az érték megválasztásával általános megoldás minden tiszta. Egy másik példa:

4. Az egyenlőtlenség megoldása:

7 < 3x + 1. < 13

Hogyan! Ezt a kifejezést hívják hármas egyenlőtlenség. Szigorúan szólva, ez az egyenlőtlenségi rendszer rövidített belépése. De az is lehetséges, hogy megoldja ezeket a hármas egyenlőtlenségek bizonyos feladatokat ... ez megoldható anélkül rendszereket. Ugyanazon személyi transzformációk szerint.

Szükséges, hogy egyszerűsíteni, hogy ezt az egyenlőtlenséget a tiszta ICA-hoz. De ... mit kell hordani!? Itt van az ideje, hogy emlékezzünk arra, hogy a bal oldali átutalás, ez az rövidített forma Első identitás konverzió.

DE teljes alakú Úgy hangzik, mint: Az egyenlet mindkét részéhez (egyenlőtlenség), hozzáadhat / elvenni semmilyen számot, vagy kifejezést.

Itt van három rész. Tehát azonos átalakításokat alkalmazunk mindhárom részre!

Szóval, megszabaduljon az egyenlőtlenség középső részén. Elviszünk az egész középső részből. Tehát az egyenlőtlenség nem változik, vegye le a készüléket és a fennmaradó két részből. Mint ez:

7 -1< 3x + 1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Már jobb, ugye?) Továbbra is meg kell osztani mindhárom részét az első háromra:

2 < h. < 4

Ez minden. Ez a válasz. X bármilyen számot tartalmazhat a negyedik (nem beleértve) -tól (nem beleértve). Ezt a választ az időközönként is rögzíti, az ilyen rekordok négyzet egyenlőtlenségekben lesznek. Ott vannak a leggyakoribb dolog.

A lecke végén megismételem a legfontosabb dolgot. A lineáris egyenlőtlenségek megoldásának sikere attól függ, hogy képes legyen átalakítani és egyszerűsíteni a lineáris egyenleteket. Ha egyszerre kövesse az egyenlőtlenség jelét Nem lesz probléma. Mit kívánok neked. Problémák hiánya.)

Ha tetszik ez az oldal ...

By the way, van még egy pár érdekes webhelye.)

A példák megoldásához érhető el, és megtudhatja a szintjét. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Ismerje meg - érdeklődéssel!)

Megismerhetjük a funkciókat és a származékokat.

Például egy egyenlőtlenség egy kifejezés \\ (x\u003e 5).

Az egyenlőtlenségek típusai:

Ha \\ (A \\) és \\ (B) számok, vagy az egyenlőtlenséget hívják numerikus. Tény, hogy ez csak két szám összehasonlítása. Az ilyen egyenlőtlenségek oszlanak be hűséges és helytelen.

Például:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

(17 + 3 \\ geq 115) hibás numerikus egyenlőtlenség, mivel \\ (17 + 3 \u003d 20 \\) és \\ (20 \\) kevesebb \\ (115 \\) (és nem több vagy egyenlő).

Ha \\ (A \\) és \\ (B) változó, akkor van egyenlőtlenség változóval. Az ilyen egyenlőtlenségek a tartalmától függően a típusok szerint vannak osztva:

\\ (2x + 1 \\ geq4 (5-x) \\)				Csak az első fokozatban változó
\\ (3x ^ 2-x + 5\u003e 0 \\)				A második fokozat (négyzet) változó van, de nincsenek idősebb fok (harmadik, negyedik stb.)
\\ (log_ (4) ((x + 1))<3\)
\\ (2 ^ (x) \\ leq8 ^ (5x-2) \\)

... stb. stb.

Mi az egyenlőtlenség megoldása?

Ha az egyenlőtlenség helyett olyan változó helyett helyettesíti a számot, akkor numerikusvá válik.

Ha ez az érték az IKS átalakítja az eredeti egyenlőtlenséget a helyes numerikus, akkor hívják az egyenlőtlenség döntése alapján. Ha nem - ez az érték nem a megoldás. És a az egyenlőtlenség megoldása - Meg kell találni az összes megoldását (vagy azt mutatja, hogy nem).

Például, Ha lineáris egyenlőtlenségben vagyunk (x + 6\u003e 10 \\), akkor helyettesítjük a szám helyett \\ (7 \\) - a helyes numerikus egyenlőtlenség: \\ (13\u003e 10 \\). És ha helyettesítjük \\ (2 \\), helytelen numerikus egyenlőtlenség lesz (8\u003e 10 \\). Ez az, \\ (7) a kezdeti egyenlőtlenség megoldása, és \\ (2 \\) nem.

Azonban az egyenlőtlenség \\ (x + 6\u003e 10 \\) más megoldásokkal rendelkezik. Valójában hűséges numerikus egyenlőtlenségeket kapunk a helyettesítésben és \\ (5 \\), és \\ (12 \\), és \\ (138 \\) ... és hogyan találjuk meg az összes lehetséges megoldást? Ehhez használja az esetünket:

\\ (x + 6\u003e 10 \\) \\ (| -6 \\)
\\ (x\u003e 4)

Vagyis több mint négy számot fogunk megfelelni. Most meg kell jegyeznie a választ. Az egyenlőtlenségek megoldásai, általában rekord numerikus, továbbá a keltetés numerikus tengelyére. A mi esetünk esetében:

Válasz: \\ (x \\ in (4, + \\ perty) \\) \\ t

Mikor változik a jel az egyenlőtlenségben?

Az egyenlőtlenségekben van egy nagy csapda, amelyben a diákok szeretik ", hogy találkozzanak:

Ha a negatív számhoz való szorzás (vagy megosztottság) többszöröse, az ellenkezőjére változik ("több", "kevesebb", "többé vagy egyenlő", "kevesebb vagy egyenlő" és így tovább)

Miért történik ez? Ezt megértsük, nézzük meg a numerikus egyenlőtlenség átalakulását \\ (3\u003e 1 \\). Igaz, a trojka valóban egységesebb. Először próbálja meg szorozni azt a pozitív számhoz, például egy kettőt:

\\ (3\u003e 1) \\ (| \\ cdot2 \\)
\(6>2\)

Amint láthatod, a szaporodás után az egyenlőtlenség továbbra is igaz. És bármilyen pozitív számra szorzunk - mindig igazi egyenlőtlenséget fogunk kapni. Most próbáljunk megszorítani negatív számPéldául mínusz trojka:

\\ (3\u003e 1) \\ (| \\ cdot (-3) \\)
\(-9>-3\)

Helytelen egyenlőtlenséget okozott, mert mínusz kilenc kevesebb, mint mínusz három! Vagyis azért, hogy az egyenlőtlenség hűséges legyen (és ezért a sokszorosítás negatív átalakulása "törvényes"), meg kell fordítania az összehasonlító jelet: \\ (- 9<− 3\).
A felosztásnál hasonlóan kiderül, ellenőrizheti magát.

A fent említett szabály minden típusú egyenlőtlenségre vonatkozik, és nem csak numerikus.

Példa: Az egyenlőtlenség megoldása \\ (2 (x + 1) -1<7+8x\)
Döntés:

\\ (2x + 2-1<7+8x\)	(8x \\) balra, és \\ (2 \\) és \\ (- 1) jobbra, nem felejtjük el a jelek megváltoztatását
\\ (2x-8x<7-2+1\)
\\ (- 6x<6\) \(|:(-6)\)	Megosztjuk az egyenlőtlenség mindkét részét a \\ (- 6), anélkül, hogy elfelejtenénk a "kevesebbet" a "Többet"
	Megjegyzés a numerikus rés tengelyén. Egyenlőtlenség, így az értéke \\ (- 1 \\) "kifelé", és nem válaszol
	A választ intervallum formájában írjuk

Válasz: \\ (x \\ in (-1; \\ ferty) \\) \\ t

Az egyenlőtlenségek és ...

Az egyenlőtlenségek, valamint az egyenletek korlátozásokkal rendelkeznek, vagyis az ICA értékei. Ennek megfelelően az OTZ által elfogadhatatlan értékeket ki kell zárni a megoldásokból.

Példa: Az egyenlőtlenség megoldása \\ (\\ sqrt (x + 1)<3\)

Döntés: Nyilvánvaló, hogy a bal oldali rész kevesebb (3 \\) van, az etetési kifejezésnek kevesebbnek kell lennie (9 \\) (9 \\ (9 \\) csak \\ (3 \\)). Kapunk:

\\ (x + 1<9\) \(|-1\)
\\ (X.<8\)

Minden? Megfelelünk az ICA kevesebb jelentésétől (8 \\)? Nem! Mert ha például figyelembe vesszük, úgy tűnik, hogy az érték alkalmas a követelményhez \\ (- 5 \\) - ez nem lesz megoldás a kezdeti egyenlőtlenségre, mivel ez vezet a gyökér kiszámításához negatív szám.

\\ (\\ Sqrt (-5 + 1)<3\)
\\ (\\ Sqrt (-4)<3\)

Ezért továbbra is figyelembe kell venni az ICA értékeinek korlátait - nem lehet olyan, hogy a gyökér alatt negatív szám volt. Így van egy második követelmény az x:

\\ (X + 1 \\ geq0)
\\ (X \\ geq-1)

És így az X a végső döntés, azonnal meg kell felelnie mindkét követelménynek: kevesebbnek kell lennie (8 \\) (megoldásnak) és több (- 1) (elvileg megengedett). A numerikus tengelyre való alkalmazás, végső válaszunk van:

Válasz: \\ (bal [-1, 8 \\ jobb) \\) \\ t

A logaritmikus egyenlőtlenségek közül választhat a változatos bázissal szembeni egyenlőtlenségek. Egy speciális formula megoldják, hogy valamilyen oknál fogva ritkán beszélt az iskolával:

log K (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (K (x) - 1) ∨ 0

A DAW "∨" helyett az egyenlőtlenség jeleit helyezheti el: többé-kevésbé. A legfontosabb dolog az, hogy mindkét egyenlőtlenségben a jelek ugyanazok voltak.

Tehát megszabadulunk a logaritmusoktól és csökkentjük a racionális egyenlőtlenség feladatait. Az utóbbi sokkal könnyebbé válik, de a logaritmusok eldobásakor további gyökerek fordulhatnak elő. A levágáshoz elegendő megtalálni a megengedett értékek területét. Ha elfelejtette az OTZ Logarithm-t, erősen javaslom ismétlődő - lásd: "Mi a logaritmus".

Minden, ami a megengedett értékekhez kapcsolódik, külön kell írni:

f (x)\u003e 0; g (x)\u003e 0; k (x)\u003e 0; k (x) ≠ 1.

Ez a négy egyenlőtlenség alkotja a rendszert, és egyszerre kell végrehajtani. Amikor megtalálták a megengedett értékek területét, továbbra is átlépni a racionális egyenlőtlenség megoldásával - és a válasz készen áll.

Egy feladat. Az egyenlőtlenség megoldása:

Kezdeni, inni otz logaritmus:

Az első két egyenlőtlenséget automatikusan elvégzik, és az utóbbit meg kell festeni. Mivel a szám négyzete nulla, ha és csak akkor, ha maga a szám nulla, van:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Kiderül, hogy a páratlan logaritmus minden szám, kivéve a karcolásokat: x ∈ (-∞ 0) ∪ (0; + ∞). Most megoldjuk a fő egyenlőtlenséget:

A logaritmikus egyenlőtlenségből való átmenetet racionálisan végezzük. A kezdeti egyenlőtlenségben van egy "kevesebb" jel, ez azt jelenti, hogy a kapott egyenlőtlenségnek is a "kevesebb" jelzéssel kell rendelkeznie. Nekünk van:

(10 - (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) · x 2< 0;
(3 - x) · (3 + x) · x 2< 0.

E kifejezés nullája: x \u003d 3; x \u003d -3; X \u003d 0. Ezenkívül az x \u003d 0 a második sokféleség gyökere, ez azt jelenti, hogy a funkció nem változik át rajta keresztül. Nekünk van:

X ∈ (-∞ -3) ∪ (3; + ∞) kaptunk. Ez a készlet teljesen szerepel az OTZ Logaritmusban, akkor ez a válasz.

Logaritmikus egyenlőtlenségek átalakítása

Gyakran előfordul, hogy a kezdeti egyenlőtlenség különbözik a fentiektől. Könnyen kijavítható a logaritmusokkal folytatott szabványügyi szabályok szerint - lásd "A Logaritmusok fő tulajdonságait". Ugyanis:

1. Bármely szám az ötlet, mint egy logaritmus, egy adott bázissal;
2. Az összeg és a logaritmusok közötti különbség ugyanazokkal a bázisokkal helyettesíthető egy logaritmussal.

Különben is emlékeztetni akarok a megengedett értékek területéről. Mivel több logaritmus lehet a kezdeti egyenlőtlenségben, meg kell találnia az OTZ mindegyikét. Így a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldására szolgáló teljes rendszer a következő:

1. Az egyenlőtlenségben szereplő minden logaritmus OTZ-t találja;
2. Csökkentse az egyenlőtlenséget a szabványos képletekre és kivonja a logaritmusokat;
3. Oldja meg az ebből eredő egyenlőtlenséget a fenti séma szerint.

Egy feladat. Az egyenlőtlenség megoldása:

Megtaláljuk az első logaritmus meghatározási területét (OTZ):

Megoldjuk az intervallum módszert. A numerátor nulláját találjuk:

3x - 2 \u003d 0;
x \u003d 2/3.

Ezután - a denominátor nullája:

x - 1 \u003d 0;
x \u003d 1.

Megünnepeljük a nullákat és jeleket a koordináta nyilakkal:

X ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1, + ∞) kaptunk. Az OTZ második logaritmája ugyanaz lesz. Ne higgye - ellenőrizheti. Most átalakítjuk a második logaritmust úgy, hogy az alapon kétszer álljon:

Amint láthatja, a logaritmus felső három és előtte csökkent. Ugyanazzal az alapgal kapott két logaritmust. Hajtuk őket:

log 2 (X - 1) 2< 2;
Log 2 (X - 1) 2< log 2 2 2 .

Kapott szabványos logaritmikus egyenlőtlenséget. Megszabaduljon a logaritmusoktól a képlet által. Mivel a kezdeti egyenlőtlenségben egy "kevesebb" jel van, az így kapott racionális kifejezésnek kisebbnek kell lennie, mint nulla. Nekünk van:

(F (x) - g (x)) · (K (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(X - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Két beérkezett készlet:

1. OTZ: X ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
2. Jelölt: x ∈ (-1; 3).

Továbbra is át kell haladnia ezeket a készleteket - valódi választ kapunk:

Érdekel a készletek metszéspontja, ezért kiválasztjuk a mindkét nyilakon festett intervallumokat. X ∈ (-1, 2/3) ∪ (1; 3) - a lakosság minden pontját kapjuk.

A lecke célja: fontolja meg a bonyolultabb egyenlőtlenségek megoldását.

Az osztályok során

I. Témák és lecke célok.

II. Az átadott anyag ismétlése és rögzítése.

1. Válaszok a házi feladatokra vonatkozó kérdésekre (a megoldatlan feladatok elemzése).

2. A mesterképző anyagok ellenőrzése (teszt).

III. Új anyag tanulmányozása.

A komplex egyenlőtlenségek megoldása modulok vagy paraméterek jelenlétével.

Engedje meg az egyenlőtlenséget X - 1 | < 3.

Először is megoldom ezt az egyenlőtlenséget analitikusan, két esetet figyelembe véve:

a) ha x - 1\u003e 0, azaz x\u003e 1, akkor | x - 1 | \u003d X - 1 és az egyenlőtlenség az X - 1 nézetben van< 3. Решение этого неравенства х < 4. Учитывая условие х > 1, megoldást kapunk ebben az esetben 1< х < 4 или х [ 1; 4).

b) ha X - 1< 0, т. е. х < 1, то |x – 1| = – (х – 1) = 1 – х и неравенство имеет вид 1 – х < 3. Решение этого неравенства -2 < х. Учитывая условие х < 1, получаем в этом случае решение -2 <х < 1 или х (-2; 1).

Megtaláljuk a kapott megoldások kombinációját.

Mivel a válaszbevitel nagyon fontos a paraméterekkel végzett feladatokban (a válasz a paraméter növelésének sorrendjében kerül rögzítésre), teljes választ adunk:

Val,-vel.< 1 х [ а + 1; +); при а = 1 х (-; + ); при а > 1 x (-, A + 1].

Most tekintse meg a lineáris egyenlőtlenségeket két változóval. Szabályként az ilyen feladatok olyan pontok képére csökkentek, amelyek koordinátái megfelelnek az egyenlőtlenségnek a koordináta síkon.

A koordináta sík Megmutatom azokat a pontokat, amelyek koordinátái megfelelnek az Y-2\u003e X-3 egyenlőtlenségnek.

Ezt az egyenlőtlenséget Y\u003e X-1 formájában írjuk. Először is készítsük a Y \u003d X-1 lineáris funkciót (egyenes vonal). Ez a vonal megosztja a koordináta sík összes pontját a közvetlen pontokon, valamint az ezen egyenes vonal alatt található pontok. Ellenőrizze, hogy mely pontok megfelelnek ez az egyenlőtlenség.

Az első régióból, például egy (0; 0) ellenőrzési pontot - a koordináták kezdete. Könnyen ellenőrizhető, hogy az Y\u003e -1 egyenlőtlenség történik. A második régióból kiválasztjuk például egy irányítási pontot (1; -1). Ilyen ponton az Y\u003e X-1 egyenlőtlenség nem történik meg. Következésképpen ez az egyenlőtlenség elégedett a fenti pontokkal és egyenes y \u003d x-1 (azaz az a) ponthoz hasonló pontokhoz. Ezek a pontok árnyékoltak.

A paraméter és az AH 2 + X - 1 \u003d 0 egyenlet értékeivel nem rendelkezik megoldásokkal?

Mivel az egyenlet régebbi együtthatója az A paramétertől függ, két esetet kell figyelembe venni.

a) Ha 0, akkor az AH 2 + X - 1 \u003d 0 egyenlet négyzet. Az ilyen egyenletnek nincs megoldása, ha diszkriminanciája d< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

b) Ha a \u003d 0, akkor az AH 2 + X - 1 \u003d 0 egyenlet lineáris, és az X - 1 \u003d 0 forma van. Nyilvánvaló, hogy az egyenletnek egyetlen X \u003d 1 megoldása van.

Szóval, a (-; -) ez az egyenlet Megoldásoknak nincs.

Engedje meg az egyenlőtlenséget X - 1 | + x 2 + 2 x + 1< 0.

Mi írunk egyenlőtlenséget az űrlapon X - 1 | + (x + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| > 0 és a 2\u003e 0 minden értékhez, majd az összeg

| A | + A 2\u003e 0 mindenki számára. Ezért az egyenlőtlenség, | a | + A 2.< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное уравнение х + 1 = 0, решение которого х = – 1. Итак, решение данного неравенства х = – 1.

Hasonló típusú egyenlőtlenség van két változóval.

A koordináta sík számos pontot mutat, amelyek koordinátái megfelelnek az Y-1 egyenlőtlenségnek< х 2 .

Az Y formájában egy egyenlőtlenséget írunk< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

IV. Feladat a lecke és otthon.

1. Analitikailag megoldja az egyenlőtlenséget:

2. Minden értékre, és oldja meg az egyenlőtlenséget:

3. A paraméter és az egyenlet milyen értékeiben

a) 3x 2 - 2x + A \u003d 0 nincs gyökerei;
b) 2x 2 - 3x + 5A \u003d 0 két különböző gyökeret tartalmaz;
c) 3ACH 2 - 4x + 1 \u003d 0 két különböző gyökeret tartalmaz;
d) AH 2 - 3x + 2 \u003d 0 legalább egy gyökér.

4. Döntse el analitikusan (és ha lehetséges, akkor grafikusan) egyenlőtlenségek:

A cikkben fontolja meg egyenlőtlenségek döntése. Elmondjuk neked az egyenlőtlenségek megteremtése, Érthető példákon!

Mielőtt figyelembe vesszük az egyenlőtlenségek megoldását a példákban, az alapfogalmakkal foglalkozunk.

Közös információk az egyenlőtlenségekről

Egyenlőtlenség Úgy nevezik, hogy a funkciók a kapcsolat jelei\u003e. Az egyenlőtlenségek numerikusak és ábécé.
A kapcsolatok két jeleivel való egyenlőtlenségeket kettősnek nevezik, három hármas, stb. Például:
A (x)\u003e B (x),
a (x) a (x) b (x),
A (X) B (X).
A (X) egyenlőtlenségek, amelyek egy jelet\u003e vagy vagy - nem stratégiai.
Az egyenlőtlenség döntése alapján Ez minden olyan értéke, amelyben ez az egyenlőtlenség helyes lesz.
"Az egyenlőtlenség megoldása"Azt jelenti, hogy meg kell találnod sok minden megoldását. Vannak különbözőek az egyenlőtlenség megoldásának módszerei. -Ért az egyenlőtlenség megoldásai Élvezze a numerikus egyeneset, amely végtelen. Például, az egyenlőtlenség döntése alapján X\u003e 3 A 3-tól + rés van, és a 3. szám nem szerepel ebben a résben, így az egyenes ponton egy üres kör jelzi, mert Egyenlőtlenség szigorú.
+
A válasz a következő: X (3; +).
Az X \u003d 3 értéket sok megoldásban nem tartalmazza, így a konzol kerek. Az Infinity jelet mindig egy kerek konzol jelöli. A jel azt jelenti, hogy "tulajdonosa".
Fontolja meg, hogyan oldja meg az egyenlőtlenségeket egy másik példában egy jelzéssel:
x 2
-+
Az X \u003d 2 érték sok megoldást jelent, így a konzol négyzet, és az egyenes ponton a kör jelzi.
A válasz a következő: x)