Лінійна функція. Теорія. Розбір завдань. Лінійна функція, її властивості та графік Графік лінійної функції y

>>Математика: Лінійна функціята її графік

Лінійна функція та її графік

Алгоритм побудови графіка рівняння ах + by + с = 0, який ми сформулювали в § 28, за всієї його чіткості та визначеності математикам не дуже подобається. Зазвичай вони висувають претензії до перших двох кроків алгоритму. Навіщо, кажуть вони, двічі розв'язувати рівняння щодо змінної у: спочатку ах1 + Ьу + с = О, потім ахг + Ьу + с = О? Чи не краще відразу виразити з рівняння ах + by + с = 0, тоді легше буде проводити обчислення (і, головне, швидше)? Давайте перевіримо. Розглянемо спершу рівняння 3x - 2у + 6 = 0 (див. приклад 2 § 28).

Надаючи х конкретні значення, легко обчислити відповідні значення у. Наприклад, за х = 0 отримуємо у = 3; за х = -2 маємо у = 0; за х = 2 маємо у = 6; за х = 4 отримуємо: у = 9.

Бачите, як легко і швидко знайдені точки (0; 3), (-2; 0), (2; 6) та (4; 9), які були виділені в прикладі 2 § 28.

Так само рівняння Ьх - 2у = 0 (див. приклад 4 з § 28) можна було перетворити на вид 2у = 16 -3x. далі у = 2,5 x; неважко знайти точки (0; 0) та (2; 5), що задовольняють цьому рівнянню.

Нарешті, рівняння 3x + 2у - 16 = 0 з того ж прикладу можна перетворити до виду 2y = 16 -3x і далі легко знайти точки (0; 0) і (2; 5), які йому задовольняють.

Розглянемо тепер зазначені перетворення у загальному вигляді.

Таким чином, лінійне рівняння (1) з двома змінними х і завжди можна перетворити до виду
y = kx + m,(2) де k,m - числа (коефіцієнти), причому .

Цей окремий вид лінійного рівняння називатимемо лінійною функцією.

За допомогою рівності (2) легко, вказавши конкретне значення х, обчислити відповідне значення у. Нехай, наприклад,

у = 2х + 3. Тоді:
якщо х = 0, то у = 3;
якщо х = 1, то у = 5;
якщо х = -1, то у = 1;
якщо х = 3, то у = 9 тощо.

Зазвичай ці результати оформляють як таблиці:

Значення у з другого рядка таблиці називають значеннями лінійної функції у = 2х + 3, відповідно, у точках х = 0, х = 1, х = -1, х = -3.

У рівнянні (1) змінні хну рівноправні, а рівнянні (2) - немає: конкретні значення ми надаємо однієї їх - змінної х, тоді як значення змінної у залежить від обраного значення змінної х. Тому зазвичай кажуть, що х – незалежна змінна (або аргумент), у – залежна змінна.

Зверніть увагу: лінійна функція – це спеціальний видлінійного рівняння із двома змінними. Графіком рівнянняу - kx + т, як і будь-якого лінійного рівняння з двома змінними, є пряма - її називають також графком лінійної функції y = kx + тп. Отже, справедлива наступна теорема.

приклад 1.Побудувати графік лінійної функції у = 2х+3.

Рішення. Складемо таблицю:

У другій ситуації незалежна змінна х, що позначає, як і першій ситуації, число днів, може набувати лише значення 1, 2, 3, ..., 16. Дійсно, якщо х = 16, то за формулою у = 500 - З0x знаходимо : у = 500 - 30 16 = 20. Отже, вже на 17-й день вивезти зі складу 30 т вугілля не вдасться, оскільки на складі до цього дня залишиться лише 20 т і процес вивезення вугілля доведеться припинити. Отже, уточнена математична модель другої ситуації виглядає так:

у = 500 - ЗОд: де х = 1, 2, 3, .... 16.

У третій ситуації незалежна зміннах теоретично може прийняти будь-яке невід'ємне значення (напр., значення х = 0, значення х = 2, значення х = 3,5 і т. д.), але практично турист не може крокувати з постійною швидкістюбез сну та відпочинку скільки завгодно часу. Отже, нам потрібно було зробити розумні обмеження на х, скажімо, 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Нагадаємо, що геометричною моделлю нестрогої подвійної нерівності 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Умовимося замість фрази «х належить множині X» писати (читають: «елемент х належить множині X», е – знак приналежності). Як бачите, наше знайомство з математичною мовою постійно продовжується.

Якщо лінійну функцію у = kx + m треба розглядати не при всіх значеннях х, а лише для значень х із деякого числового проміжку X, то пишуть:

Приклад 2. Побудувати графік лінійної функції:

Рішення, а) Складемо таблицю для лінійної функції y = 2x + 1

Побудуємо на координатної площинихОу точки (-3; 7) та (2; -3) і проведемо через них пряму лінію. Це графік рівняння у = -2x: + 1. Далі, виділимо відрізок, що з'єднує побудовані точки (рис. 38). Цей відрізок є графік лінійної функції у = -2х+1, дехе [-3, 2].

Зазвичай кажуть так: ми збудували графік лінійної функції у = - 2х + 1 на відрізку [- 3, 2].

б) Чим відрізняється цей приклад попереднього? Лінійна функція та сама (у = -2х + 1), отже, і її графіком служить та ж пряма. Але – будьте уважні! - цього разу х е (-3, 2), тобто значення х = -3 і х = 2 не розглядаються, вони не належать до інтервалу (- 3, 2). Як ми відзначали кінці інтервалу на координатній прямій? Світлими кружальцями (рис. 39), про це ми говорили в § 26. Так само і точки (-3; 7) і B; - 3) доведеться відзначити на кресленні світлими кружальцями. Це буде нагадувати нам про те, що беруться лише ті точки прямої у = - 2х + 1, які лежать між точками, зазначеними кружечками (рис. 40). Втім, іноді у таких випадках використовують не світлі кружечки, а стрілки (рис. 41). Це неважливо, головне, розуміти, про що йдеться.

Приклад 3.Знайти найбільше та найменше значення лінійної функції на відрізку.
Рішення. Складемо таблицю для лінійної функції

Побудуємо на координатній площині хОу точки (0; 4) та (6; 7) і проведемо через них пряму – графік лінійної х функції (рис. 42).

Нам потрібно розглянути цю лінійну функцію не повністю, а на відрізку, тобто для хе.

Відповідний відрізок графіка виділено на кресленні. Зауважуємо, що найбільша ордината у точок, що належать виділеній частині, дорівнює 7 – це і є найбільше значеннялінійної функції на відрізку. Зазвичай застосовують такий запис: у наиб =7.

Зазначаємо, що найменша ордината у точок, що належать виділеній малюнку 42 частини прямої, дорівнює 4 - і є найменше значення лінійної функції на відрізку .
Зазвичай використовують такий запис: y найм. = 4.

Приклад 4.Знайти у наиб і y найм. для лінійної функції y=-1,5x + 3,5

а) на відрізку; б) на інтервалі (1,5);
в) на напівінтервалі.

Рішення. Складемо таблицю для лінійної функції у = -l,5x + 3,5:

Побудуємо на координатній площині хОу точки (1; 2) та (5; - 4) і проведемо через них пряму (рис. 43-47). Виділимо на побудованій прямій частині, що відповідає значенням х з відрізка (рис. 43), з інтервалу A, 5) (рис. 44), з напівінтервалу (рис. 47).

а) З допомогою малюнка 43 неважко дійти невтішного висновку, що з наиб = 2 (цього значення лінійна функція сягає при х = 1), а й у наим. = - 4 (цього значення лінійна функція досягає за х = 5).

б) Використовуючи малюнок 44, робимо висновок: ні найбільшого, ні найменшого значень на заданому інтервалі даної лінійної функції немає. Чому? Справа в тому, що, на відміну від попереднього випадку, обидва кінці відрізка, в яких якраз і досягалися найбільше та найменше значення, з розгляду виключені.

в) З допомогою малюнка 45 укладаємо, що y наиб. = 2 (як і першому випадку), а найменшого значеннялінійної функції немає (як і в другому випадку).

г) Використовуючи малюнок 46, робимо висновок: у най = 3,5 (цього значення лінійна функція досягає при х = 0), а у найм. не існує.

д) За допомогою малюнка 47 робимо висновок: y най = -1 (цього значення лінійна функція досягає при х = 3), а у наиб., не існує.

Приклад 5. Побудувати графік лінійної функції

у = 2х - 6. За допомогою графіка відповісти на такі питання:

а) за якого значення х буде у = 0?
б) при яких значеннях буде у > 0?
в) при яких значеннях х буде у< 0?

Розв'язання. Складемо таблицю для лінійної функції у = 2х-6:

Через точки (0; - 6) та (3; 0) проведемо пряму - графік функціїу = 2х – 6 (рис. 48).

а) у = 0 при х = 3. Графік перетинає вісь х у точці х = 3, і є точка з ординатою у = 0.
б) у > 0 при х > 3. Насправді якщо х > 3, то пряма розташована вище за осі ж, значить, ординати відповідних точок прямої позитивні.

в) у< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Зверніть увагу, що у цьому прикладі ми за допомогою графіка вирішили:

а) рівняння 2х – 6 = 0 (одержали х = 3);
б) нерівність 2х - 6> 0 (отримали х> 3);
в) нерівність 2x – 6< 0 (получили х < 3).

Зауваження. У російській мові часто той самий об'єкт називають по-різному, наприклад: «будинок», «будівля», «споруди», «котедж», «особняк», «барак», «хибара», «хатинка». У математичній мові ситуація приблизно та сама. Скажімо, рівність із двома змінними у = кх + m, де до, m – конкретні числа, можна назвати лінійною функцією, можна назвати лінійним рівняннямз двома змінними х і у (або з двома невідомими х і у), можна назвати формулою, можна назвати співвідношенням, що зв'язує х і у, можна, нарешті, назвати залежністю між х та у. Це неважливо, головне, розуміти, що завжди мова йдепро математичну модель у = кх + m

.

Розглянемо графік лінійної функції, зображений малюнку 49, а. Якщо рухатися за цим графіком зліва направо, то ординати точок графіка постійно збільшуються, ми хіба що «піднімаємося в гору». У разі математики використовують термін зростання і кажуть так: якщо k>0, то лінійна функція у = kx + m зростає.

Розглянемо графік лінійної функції, зображений малюнку 49, б. Якщо рухатися за цим графіком ліворуч, то ординати точок графіка весь час зменшуються, ми ніби «спускаємося з гірки». У таких випадках математики вживають термін спадання і кажуть так: якщо k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Лінійна функція у житті

А тепер давайте підіб'ємо підсумок цієї теми. Ми з вами вже познайомилися з таким поняттям, як лінійна функція, знаємо її властивості та навчилися будувати графіки. Так само, ви розглядали окремі випадки лінійної функції і дізналися від чого залежить взаємне розташування графіків лінійних функцій. Але, виявляється, у нашій повсякденному життіми також постійно перетинаємось з цією математичною моделлю.

Давайте з вами подумаємо, які реальні життєві ситуації пов'язані з таким поняттям, як лінійні функції? А також, між якими величинами або життєвими ситуаціямиможливо, встановлювати лінійну залежність?

Багато хто з вас, напевно, не зовсім уявляє, навіщо їм потрібно вивчати лінійні функції, адже це навряд чи стане в нагоді в подальшому житті. Але тут ви глибоко помиляєтеся, тому що з функціями ми стикаємося постійно. Оскільки навіть звичайна щомісячна квартплата також є функцією, яка залежить від багатьох змінних. До цих змінних належить метраж площі, кількість мешканців, тарифів, використання електроенергії тощо.

Звичайно, найпоширенішими прикладами функцій лінійної залежності, з якими ми з вами стикалися – це уроки математики.

Ми з вами вирішували завдання, де знаходили відстані, які проїжджали машини, поїзди або проходили пішоходи за певної швидкості руху. Це і є лінійні функції часу руху. Але ці приклади застосовні не тільки в математиці, вони присутні в нашому повсякденному житті.

Калорійність молочних продуктів залежить від жирності, а така залежність, як правило, є лінійною функцією. Так, наприклад, зі збільшенням сметані відсотка жирності, збільшується і калорійність продукту.

Тепер давайте зробимо підрахунки та знайдемо значення k і b, розв'язавши систему рівнянь:

Тепер давайте виведемо формулу залежності:

Через війну ми отримали лінійну залежність.

Щоб знати швидкість розповсюдження звуку залежно від температури, можливо, дізнатися, застосувавши формулу: v = 331 +0,6t, де v – швидкість (м/с), t – температура. Якщо ми накреслимо графік цієї залежності, побачимо, що він буде лінійним, тобто представляти пряму лінію.

І таких практичних використань знань у застосуванні лінійної функціональної залежності можна перераховувати довго. Починаючи від плати за телефон, довжини та зростання волосся і навіть прислів'їв у літературі. І цей список можна продовжувати до безкінечності.

Календарно-тематичне планування з математики, відеоз математики онлайн , Математика в школі

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Визначення лінійної функції

Введемо визначення лінійної функції

Визначення

Функція виду $y=kx+b$, де $k$ на відміну від нуля називається лінійної функцією.

Графік лінійної функції – пряма. Число $k$ називається кутовим коефіцієнтом прямої.

При $b=0$ лінійна функція називається функцією прямої пропорційності $y=kx$.

Розглянемо рисунок 1.

Рис. 1. Геометричний сенс кутового коефіцієнта прямої

Розглянемо трикутник АВС. Бачимо, що $ВС=kx_0+b$. Знайдемо точку перетину прямої $y=kx+b$ з віссю $Ox$:

\ \

Значить $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Знайдемо ставлення цих сторін:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

З іншого боку, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Таким чином, можна зробити наступний висновок:

Висновок

Геометричний сенскоефіцієнта $k$. Кутовий коефіцієнт прямої $k$ дорівнює тангенсу кута нахилу цієї прямої до осі $Ox$.

Дослідження лінійної функції $f\left(x\right)=kx+b$ та її графік

Спочатку розглянемо функцію $f\left(x\right)=kx+b$, де $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Отже, дана функціязростає по всій області визначення. Точок екстремуму немає.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Графік (рис. 2).

Рис. 2. Графіки функції $y=kx+b$, за $k > 0$.

Тепер розглянемо функцію $f\left(x\right)=kx$, де $k

1. Область визначення - всі числа.
2. Область значення - всі числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функція не є ні парною, ні непарною.
4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Точки перетину з осями координат: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ і $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Отже, функція не має точок перегину.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Графік (рис. 3).

З чим пов'язана її назва. Це стосується речової функції однієї речової змінної.

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  Якщо всі змінні x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle x_(1),x_(2),\dots ,x_(n))та коефіцієнти a 0 , a 1 , a 2 , … , a n (\displaystyle a_(0),a_(1),a_(2),\dots ,a_(n))- речові числа, то графіком лінійної функції в (n+1) (\displaystyle (n+1))-мірному просторі змінних x 1 , x 2 , … , x n , y (\displaystyle x_(1),x_(2),\dots ,x_(n),y)є n (\displaystyle n)-мірна гіперплощина

  y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + anxn (\displaystyle y=a_(0)+a_(1)x_(1)+a_(2)x_(2)+\dots +a_ (n)x_(n))

  зокрема при n = 1 (\displaystyle n=1)- Пряма лінія на площині.

  Анотація алгебра

  Термін "лінійна функція", або, точніше, "лінійна однорідна функція", часто застосовується для лінійного відображення векторного простору X (\displaystyle X)над деяким полем k (\displaystyle k)у це поле, тобто для такого відображення f: X → k (\displaystyle f:X\to k), що для будь-яких елементів x , y ∈ X (\displaystyle x,y\in X)та будь-яких α , β ∈ k (\displaystyle \alpha ,\beta \in k)справедлива рівність

  f (α x + β y) = f (x) + β f (y) (\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y))

  причому в цьому випадку замість терміна «лінійна функція» використовуються також терміни лінійний, функціонал і лінійна форма, що також означають лінійну. одноріднуфункцію певного класу.

  Лінійною функцією називається функція виду y=kx+b, де x-незалежна змінна, k та b-будь-які числа.
  Графік лінійної функції є пряма.

  1. Щоб побудувати графік функції,нам потрібні координати двох точок, що належать до графіка функції. Щоб їх знайти, потрібно взяти два значення х, підставити їх на рівняння функції, і за ними обчислити відповідні значення y.

  Наприклад, щоб побудувати графік функції y=x+2, зручно взяти x=0 та x=3, тоді ординати цих точок дорівнюватимуть y=2 та y=3. Отримаємо точки А(0; 2) і В (3; 3). З'єднаємо їх та отримаємо графік функції y= x+2:
  

  2. У формулі y=kx+b число k називається коефіцієнтом пропорційності:
  якщо k>0, то функція y=kx+b зростає
  якщо k
  Коефіцієнт b показує усунення графіка функції вздовж осі OY:
  якщо b>0, то графік функції y=kx+b виходить із графіка функціїy=kx зрушенням на b одиниць вгору вздовж осі OY
  якщо b
  На малюнку нижче зображено графіки функцій y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3
  

  

  Зауважимо, що у всіх цих функціях коефіцієнт k більше нуля,та функції є зростаючими.Причому, що більше значення k, то більше вписувалося кут нахилу прямий до позитивного напрямку осі OX.

  У всіх функціях b=3 – і бачимо, що це графіки перетинають вісь OY у точці (0;3)

  Тепер розглянемо графіки функцій y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

  

  На цей раз у всіх функціях коефіцієнт k меньше нуля,та функції спадають.Коефіцієнт b=3, і графіки як у попередньому випадку перетинають вісь OY в точці (0;3)

  Розглянемо графіки функцій y=2x+3; y=2x; y=2x-3

  

  Тепер у всіх рівняннях функцій коефіцієнти k дорівнюють 2. І ми отримали три паралельні прямі.

  Але коефіцієнти b різні, і ці графіки перетинають вісь OY у різних точках:
  Графік функції y=2x+3 (b=3) перетинає вісь OY у точці (0;3)
  Графік функції y=2x (b=0) перетинає вісь OY у точці (0;0) – початку координат.
  Графік функції y=2x-3 (b=-3) перетинає вісь OY у точці (0;-3)

  Отже, якщо знаємо знаки коефіцієнтів k і b, можемо відразу уявити, як виглядає графік функції y=kx+b.
  Якщо k 0

  

  Якщо k>0 та b>0, то графік функції y=kx+b має вигляд:

  

  Якщо k>0 та b, то графік функції y=kx+b має вигляд:

  

  Якщо k, то графік функції y=kx+b має вигляд:

  

  Якщо k=0, то функція y=kx+b перетворюється на функцію y=b та її графік має вигляд:

  

  Ординати всіх точок графіка функції y=b дорівнюють b Якщо b=0, То графік функції y = kx (пряма пропорційність) проходить через початок координат:

  

  3. Окремо відзначимо графік рівняння x = a.Графік цього рівняння є пряму лінію, паралельну осі OY всі точки якої мають абсцис x=a.

  Наприклад, графік рівняння x=3 виглядає так:
  Увага!Рівняння x=a перестав бути функцією, тому одному значенню аргументу відповідають різні значення функції, що відповідає визначенню функції.

  

  
  

  4. Умова паралельності двох прямих:

  Графік функції y=k 1 x+b 1 паралельний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 =k 2

  5. Умова перепендикулярності двох прямих:

  Графік функції y=k 1 x+b 1 перепендикулярний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 *k 2 =-1 або k 1 =-1/k 2

  6. Крапки перетину графіка функції y=kx+b з осями координат.

  З віссю ОY. Абсцис будь-якої точки, що належить осі ОY дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОY потрібно в рівняння функції замість х підставити нуль. Отримаємо y=b. Тобто точка перетину з віссю OY має координати (0; b).

  З віссю ОХ: Ордината будь-якої точки, що належить осі ОХ, дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОХ, потрібно в рівняння функції замість y підставити нуль. Отримаємо 0=kx+b. Звідси x=-b/k. Тобто точка перетину з віссю OX має координати (-b/k; 0):