Рівняння кола. Рівняння кола та прямої Рівняння кола по центру та точці

Клас: 8

Мета уроку:запровадити рівняння кола, навчити учнів складати рівняння кола по готовому кресленню, будувати коло за заданим рівнянням.

Обладнання: Інтерактивна дошка.

План уроку:

1. Організаційний момент – 3 хв.
2. Повторення. Організація розумової діяльності- 7 хв.
3. Пояснення нового матеріалу. Висновок рівняння кола – 10 хв.
4. Закріплення вивченого матеріалу - 20 хв.
5. Підсумок уроку – 5 хв.

Хід уроку

2. Повторення:

− (Додаток 1 Слайд 2) записати формулу знаходження координат середини відрізка;

− (Слайд 3) Записати формулу відстань між точками (довжина відрізка).

3. Пояснення нового матеріалу.

(Слайди 4 – 6)Дати визначення рівняння кола. Вивести рівняння кола з центром у точці ( а;b) і з центром на початку координат.

(х – а ) 2 + (у – b ) 2 = R 2 − рівняння кола з центром З (а;b) , радіусом R , х і у – координати довільної точки кола .

х 2 + у 2 = R 2 − рівняння кола з центром на початку координат.

(Слайд 7)

Для того щоб скласти рівняння кола, треба:

• знати координати центру;
• знати довжину радіусу;
• підставити координати центру та довжину радіуса в рівняння кола.

4. Розв'язання задач.

У задачах № 1 – № 6 скласти рівняння кола по готовим кресленням.

(Слайд 14)

№ 7. Заповнити таблицю.

(Слайд 15)

№ 8. Побудувати у зошиті кола, задані рівняннями:

а) ( х – 5) 2 + (у + 3) 2 = 36;
б) (х + 1) 2 + (у– 7) 2 = 7 2 .

(Слайд 16)

№ 9. Знайти координати центру та довжину радіусу, якщо АВ- Діаметр кола.

Дано:		Рішення:
		R	Координати центру
1	А(0 ; -6) В(0 ; 2)	АВ 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; АВ 2 = 64; АВ = 8 .	А(0; -6) В(0 ; 2) З(0 ; – 2) – центр
2	А(-2 ; 0) В(4 ; 0)	АВ 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; АВ 2 = 36; АВ = 6.	А (-2;0) В (4 ;0) З(1 ; 0) – центр

(Слайд 17)

№ 10. Складіть рівняння кола з центром на початку координат, що проходить через точку До(-12;5).

Рішення.

R 2 = ОК 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R = 13;

Рівняння кола: х 2 + у 2 = 169 .

(Слайд 18)

№ 11. Складіть рівняння кола, що проходить через початок координат із центром у точці З(3; - 1).

Рішення.

R 2 = ОС 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Рівняння кола: ( х – 3) 2 + (у + 1) 2 = 10.

(Слайд 19)

№ 12. Складіть рівняння кола з центром А(3;2), що проходить через В(7;5).

Рішення.

1. Центр кола – А(3;2);
2.R = АВ;
АВ 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; АВ = 5;
3. Рівняння кола ( х – 3) 2 + (у − 2) 2 = 25.

(Слайд 20)

№ 13. Перевірте, чи лежать крапки А(1; -1), В(0;8), З(-3; -1) на колі, заданому рівнянням ( х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

Рішення.

I. Підставимо координати точки А(1; -1) в рівняння кола:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 - рівність неправильна, значить А(1; -1) не лежитьна колі, заданому рівнянням ( х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

II. Підставимо координати точки В(0;8) в рівняння кола:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
В(0;8)лежить х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

ІІІ.Підставимо координати точки З(-3; -1) в рівняння кола:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - рівність вірна, значить З(-3; -1) лежитьна колі, заданому рівнянням ( х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

Підсумок уроку.

1. Повторити: рівняння кола, рівняння кола з центром на початку координат.
2. (Слайд 21) Домашнє завдання.

Тема уроку: Рівняння кола

Цілі уроку:

Освітні: Вивести рівняння кола, розглянувши розв'язання цього завдання як з можливостей застосування методу координат.

Вміти:

– Розпізнати рівняння кола за запропонованим рівнянням, навчити учнів складати рівняння кола за готовим кресленням, будувати коло за заданим рівнянням.

Виховні : Формування критичного мислення.

Розвиваючі : Розвиток уміння складати алгоритмічні розпорядження та вміння діяти відповідно до запропонованого алгоритму.

Вміти:

– Бачити проблему та намітити шляхи її вирішення.

– Коротко викладати свої думки усно та письмово.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Обладнання : ПК, мультимедійний проектор, екран.

План уроку:

1. Вступне слово- 3 хв.

2. Актуалізація знань – 2 хв.

3. Постановка проблеми та її вирішення –10 хв.

4. Фронтальне закріплення нового матеріалу – 7 хв.

5. Самостійна роботау групах – 15 хв.

6. Презентація роботи: обговорення – 5 хв.

7. Підсумок уроку. Домашнє завдання – 3 хв.

Хід уроку

Мета цього етапу: Психологічний настрій учнів; Залучення всіх учнів у навчальний процесстворення ситуації успіху.

1. Організаційний момент.

3 хвилини

Хлопці! З колом ви познайомилися ще у 5 та 8 класах. А що ви про неї знаєте?

Знаєте ви багато, і ці дані можна використовувати під час вирішення геометричних завдань. Для вирішення завдань, у яких застосовується метод координат, цього недостатньо.Чому?

Абсолютно вірно.

Тому головною метою сьогоднішнього уроку я ставлю виведення рівняння кола по геометричним властивостямданої лінії та застосування його для вирішення геометричних завдань.

І нехайдевізом уроку стануть слова середньоазіатського вченого-енциклопедиста Ал-Біруні: «Знання - найчудовіше з володінь. Усі прагнуть до нього, саме воно не приходить».

Записують тему уроку у зошит.

Визначення кола.

Радіус.

Діаметр.

Хорд. І т.д.

Ми ще не знаємо загального виглядурівняння кола.

Учні перераховують усе, що знають про коло.

Слайд 2

Слайд 3

Ціль етапу – отримати уявлення про якість засвоєння учнями матеріалу, визначити опорні знання.

2. Актуалізація знань.

2 хвилини

При виведенні рівняння кола вам знадобиться вже відоме визначення кола і формула, що дозволяє знайти відстань між двома точками за їх координатами.Давайте згадаємо ці факти /пвідновлення матеріалу, вивченого раніше/:

– Запишіть формулу знаходження координат середини відрізка.

– Запишіть формулу довжини вектора.

– Запишіть формулу знаходження відстані між точками (Довжини відрізка).

Коригування записів…

Геометрична розминка.

Дані точкиА (-1; 7) і(7; 1).

Обчисліть координати середини відрізка АВ та його довжину.

Перевіряє правильність виконання, коригує розрахунки.

Один учень біля дошки, а решта у зошитах записують формули

Колом називається геометрична фігура, що складається зі всіх точок, розташованих на заданій відстані від цієї точки.

|АВ|=√(х –х)²+(у –у)²

М(х;у), А(х;у)

Обчислюють: З (3; 4)

| АВ| = 10

З лайд 4

Слайд 5

3. Формування нових знань.

12 хвилин

Мета: формування поняття – рівняння кола.

Розв'яжіть задачу:

У прямокутній системі координат побудовано коло із центром А(х;у). М(х; у) - довільна точка кола. Знайдіть радіус кола.

Чи координати будь-якої іншої точки задовольнятимуть цій рівності? Чому?

Зведемо обидві частини рівності квадрат.В результаті маємо:

r² =(х –х)²+(у –у)²-рівняння кола, де (х;у)-координати центру кола, (х;у)-координати довільної точки, що лежить на колі, r-радіус кола.

Розв'яжіть задачу:

Який вигляд матиме рівняння кола з центром на початку координат?

Отже, що треба знати для складання рівняння кола?

Запропонуйте алгоритм складання рівняння кола.

Висновок: … записати у зошит.

Радіусом називається відрізок, що з'єднує центр кола з довільною точкою, що лежить на колі. Тому r=|АМ|=√(х –х)²+(у –у)²

Будь-яка точка кола лежить на цьому колі.

Учні ведуть записи зошити.

(0; 0)-координати центру кола.

х²+у²=r², де r-радіус кола.

Координати центру кола, радіус, будь-яку точку кола.

Пропонують алгоритм…

Записують алгоритм у зошит.

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Вчитель фіксує рівність на дошці.

Слайд 9

4. Первинне закріплення.

23 хвилини

Ціль:відтворення учнями щойно сприйнятого матеріалу для попередження втрати уявлень і понять. Закріплення нових знань, уявлень, понять на їх основізастосування.

Контроль ЗУН

Застосуємо отримані знання під час вирішення наступних завдань.

Завдання: Із запропонованих рівнянь назвіть номери тих, що є рівняннями кола. І якщо рівняння є рівнянням кола, то назвіть координати центру та вкажіть радіус.

Не кожне рівняння другого ступеня із двома змінними ставить коло.

4х²+у²=4-рівняння еліпса.

х²+у²=0-точка, крапка.

х²+у²=-4-це рівняння не ставить жодної постаті.

Хлопці! А що потрібно знати, щоб скласти рівняння кола?

Розв'яжіть завдання №966 стор.245 (підручник).

Вчитель викликає учня до дошки.

Чи достатньо даних, зазначених в умові завдання, щоб скласти рівняння кола?

Завдання:

Напишіть рівняння кола з центром на початку координат та діаметром 8.

Завдання : побудова кола.

Центр має координати?

Визначте радіус… та виконуйте побудову

Завдання на стор.243 (Підручник) розбирається усно.

Використовуючи план розв'язання задачі зі стор.243, розв'яжіть задачу:

Складіть рівняння кола з центром у точці А(3;2), якщо коло проходить через точку В(7;5).

1) (х-5)²+(у-3)²=36- рівняння кола;(5;3),r=6.

2) (х-1) ² + у ² = 49- рівняння кола; (1; 0), r = 7.

3) х²+у²=7- рівняння кола; (0; 0), r = √7.

4) (х+3)²+(у-8)²=2- рівняння кола; (-3; 8), r = √2.

5) 4х²+у²=4-не є рівнянням кола.

6) х²+у²=0- не є рівнянням кола.

7) х²+у²=-4- не є рівнянням кола.

Знати координати центру кола.

Довжина радіусу.

Підставити координати центру та довжину радіусу в рівняння кола загального виду.

Вирішують завдання № 966 стор.245 (підручник).

Даних достатньо.

Вирішують завдання.

Оскільки діаметр кола вдвічі більший за її радіус, то r=8÷2=4. Тому х²+у²=16.

Виконують побудову кіл

Робота за підручником. Завдання на стор.243.

Дано: А(3; 2)-центр кола; В(7;5)є(А;r)

Знайти: рівняння кола

Рішення: r² =(х –х)²+(у –у)²

r² =(х –3)²+(у –2)²

r = АВ, r² = АВ²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r² =25

(х –3)²+(у –2)²=25

Відповідь: (х –3)²+(у –2)²=25

Слайд 10-13

Вирішення типових завдань, промовляючи спосіб розв'язання в гучному мовленні.

Вчитель викликає одного учня записати отримане рівняння.

Повернення до слайду 9

Обговорення плану вирішення цього завдання.

Слайд. 15. Вчитель викликає одного учня до дошки вирішувати це завдання.

Слайд 16

Слайд 17.

5. Підсумок уроку.

5 хвилин

Рефлексія діяльності під час уроку.

Домашнє завдання: §3, п.91, Контрольні питання №16,17.

Завдання № 959(б, г, буд), 967.

Завдання на додаткову оцінку (проблемне завдання): Побудувати коло, задане рівнянням

х²+2х+у²-4у=4.

Що на уроці ми говорили?

Що хотіли здобути?

Яку мету було поставлено на уроці?

Які завдання дозволяє вирішити зроблене нами відкриття?

Хто з вас вважає, що досягнув мети, поставленої на уроці вчителем на 100%, на 50%; не досяг мети ...?

Виставлення оцінок.

Записують домашнє завдання.

Учні відповідають поставлені вчителем питання. Проводять самоаналіз своєї діяльності.

Учням необхідно висловити у слові результат та способи досягнення.

Рівняння лінії на площині

Введемо для початку поняття рівняння лінії у двовимірній системі координат. Нехай у декартовій системі координат побудовано довільну лінію $L$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Довільна лінія у системі координат

Визначення 1

Рівняння з двома змінними $x$ і $y$ називається рівнянням лінії $L$, якщо цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки, що належить лінії $L$ і не задовольняє жодна точка, що не належить лінії $L.$

Рівняння кола

Виведемо рівняння кола в декартовій системі координат $xOy$. Нехай центр кола $C$ має координати $(x_0,y_0)$, а радіус кола дорівнює $r$. Нехай точка $ M $ з координатами $ (x, y) $ - довільна точка цього кола (рис. 2).

Малюнок 2. Коло в декартовій системі координат

Відстань від центру кола до точки $M$ обчислюється так

Але оскільки $M$ лежить на колі, то отримуємо $CM=r$. Тоді отримаємо наступне

Рівняння (1) і є рівняння кола з центром у точці $(x_0,y_0)$ та радіусом $r$.

Зокрема, якщо центр кола збігається із початком координат. То рівняння кола має вигляд

Рівняння прямої.

Виведемо рівняння прямої $l$ у декартовій системі координат $xOy$. Нехай точки $A$ і $B$ мають координати $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ і $\(x_2,\ y_2\)$ відповідно, причому точки $A$ і $B$ обрані так, що пряма $l$ - серединний перпендикуляр до відрізка $AB$. Виберемо довільну точку $M=\(x,y\)$, що належить прямій $l$ (рис. 3).

Оскільки пряма $l$ - серединний перпендикуляр до відрізка $AB$, точка $M$ рівновіддалена від кінців цього відрізка, тобто $AM=BM$.

Знайдемо довжини даних сторін за формулою відстані між точками:

Отже

Позначимо через $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1)^2 -(y_1)^2$, Отримуємо, що рівняння прямої в декартовій системі координат має такий вигляд:

Приклад задачі на знаходження рівнянь ліній у системі декартової координат

Приклад 1

Знайти рівняння кола з центром у точці $ (2, 4) $. Проходить через початок координат і пряму, паралельну до осі $Ox,$ проходить через її центр.

Рішення.

Знайдемо спочатку рівняння цього кола. Для цього використовуватимемо загальне рівняння кола (виведене вище). Оскільки центр кола лежить у точці $(2,\ 4)$, отримаємо

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Знайдемо радіус кола як відстань від точки $(2,\4)$ до точки $(0,0)$

Отримуємо, рівняння кола має вигляд:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Знайдемо тепер рівняння кола, використовуючи окремий випадок 1. Отримаємо

Окружністюназивається безліч точок площини, рівновіддалених від цієї точки, що називається центром.

Якщо точка С – центр кола, R – її радіус, а М – довільна точка кола, то за визначенням кола

Рівність (1) є рівняння коларадіуса R із центром у точці С.

Нехай на площині задана прямокутна декартова система координат (рис. 104) та точка С( а; b) - Центр кола радіуса R. Нехай М( х; у) - довільна точка цього кола.

Оскільки |СМ| = \(\sqrt((x - a)^2 + (у - b)^2) \), то рівняння (1) можна записати так:

\(\sqrt((x - a)^2 + (у - b)^2) \) = R

(x - a) 2 + (у - b) 2 = R 2 (2)

Рівняння (2) називають загальним рівняннямколаабо рівнянням кола радіуса R з центром у точці ( а; b). Наприклад, рівняння

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

є рівняння кола радіуса R = 5 із центром у точці (1; -3).

Якщо центр кола збігається з початком координат, то рівняння (2) набуває вигляду

x 2 + у 2 = R2. (3)

Рівняння (3) називають канонічним рівнянням кола .

Завдання 1.Написати рівняння кола радіуса R = 7 із центром на початку координат.

Безпосереднім підстановленням значення радіуса в рівняння (3) отримаємо

x 2 + у 2 = 49.

Завдання 2.Написати рівняння кола радіусу R = 9 із центром у точці С(3; -6).

Підставивши значення координат точки С та значення радіусу у формулу (2), отримаємо

(х - 3) 2 + (у- (-6)) 2 = 81 або ( х - 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.

Завдання 3.Знайти центр і радіус кола

(х + 3) 2 + (у-5) 2 =100.

Порівнюючи дане рівнянняіз загальним рівнянням кола (2), бачимо, що а = -3, b= 5, R = 10. Отже, С(-3; 5), R = 10.

Завдання 4.Довести, що рівняння

x 2 + у 2 + 4х - 2y - 4 = 0

є рівнянням кола. Знайти її центр та радіус.

Перетворимо ліву частину цього рівняння:

x 2 + 4х + 4- 4 + у 2 - 2у +1-1-4 = 0

(х + 2) 2 + (у - 1) 2 = 9.

Це рівняння є рівнянням кола з центром у точці (-2; 1); радіус кола дорівнює 3.

Завдання 5.Написати рівняння кола з центром у точці С(-1; -1), що стосується прямої АВ, якщо A(2; -1), B(- 1; 3).

Напишемо рівняння прямої АВ:

або 4 х + 3y-5 = 0.

Оскільки коло стосується цієї прямої, то радіус, проведений в точку торкання, перпендикулярний до цієї прямої. Для відшукання радіуса необхідно знайти відстань від точки С(-1; -1) - центру кола до прямої 4 х + 3y-5 = 0:

Напишемо рівняння шуканого кола

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Нехай у прямокутній системі координат дане коло x 2 + у 2 = R2. Розглянемо її довільну точку М( х; у) (рис. 105).

Нехай радіус-вектор OM> точки М утворює кут величини tз позитивним напрямком осі х, тоді абсциса та ордината точки М змінюються в залежності від t

(0 tх і у через t, знаходимо

x= R cos t ; y= R sin t , 0 t

Рівняння (4) називаються параметричними рівняннями кола з центром на початку координат.

Завдання 6.Окружність задана рівняннями

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Записати канонічне рівняння цього кола.

З умови випливає x 2 = 3 cos 2 t, у 2 = 3 sin 2 t. Складаючи ці рівності почленно, отримуємо

x 2 + у 2 = 3 (cos 2 t+ sin 2 t)

або x 2 + у 2 = 3