Графік функції y 2 arcsin x. Арксинус, арккосинус – властивості, графіки, формули. Властивості - екстремуми, зростання, спадання

ГРАФІКИ ФУНКЦІЙ

функція синус

- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції- Відрізок [-1; 1], тобто. синус функція - обмежена.

Функція непарна: sin(−x)=−sin x для всіх х ∈ R.

Функція періодична

sin(x+2π·k) = sin x, де k ∈ Zдля всіх х ∈ R.

sin x = 0при x = π · k , k ∈ Z.

sin x > 0(позитивна) для всіх x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.

sin x< 0 (негативна) для всіх x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.

Функція косинус

Область визначення функції- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції- Відрізок [-1; 1], тобто. косинус функція - обмежена.

Функція парна: cos(−x)=cos x для всіх х ∈ R.

Функція періодичназ найменшим позитивним періодом 2π:

cos(x+2π· k) = cos x, де k ∈ Zдля всіх х ∈ R.

cos x = 0при
cos x > 0для всіх
cos x< 0 для всіх
Функція зростаєвід −1 до 1 на проміжках:
Функція зменшуєтьсявід −1 до 1 на проміжках:
Найбільше значення функції sin x = 1у точках:
Найменше значення функції sin x = −1у точках:

Функція тангенс

Безліч значень функції- Уся числова пряма, тобто. тангенс - функція необмежена.

Функція непарна: tg(−x)=−tg x
Графік функції симетричний щодо осі OY.

Функція періодичназ найменшим позитивним періодом π, тобто. tg(x+π· k) = tg x, k ∈ Zдля всіх х із області визначення.

Функція котангенс

Безліч значень функції- Уся числова пряма, тобто. котангенс - функція необмежена.

Функція непарна: ctg(−x)=−ctg x для всіх х із області визначення.
Графік функції симетричний щодо осі OY.

Функція періодичназ найменшим позитивним періодом π, тобто. ctg(x+π· k)=ctg x, k ∈ Zдля всіх х із області визначення.

Функція арксинус

Область визначення функції- Відрізок [-1; 1]

Безліч значень функції- Відрізок -π / 2 arcsin x π / 2, тобто. арксинус - функція обмежена.

Функція непарна: arcsin(−x)=−arcsin x для всіх х ∈ R.
Графік функції симетричний щодо початку координат.

По всій області визначення.

Функція арккосинус

Область визначення функції- Відрізок [-1; 1]

Безліч значень функції- Відрізок 0 arccos x π, тобто. арккосинус - функція обмежена.

Функція є зростаючоюпо всій області визначення.

Функція арктангенс

Область визначення функції- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції- Відрізок 0 π, тобто. арктангенс - функція обмежена.

Функція непарна: arctg(−x)=−arctg x для всіх х ∈ R.
Графік функції симетричний щодо початку координат.

Функція є зростаючоюпо всій області визначення.

Функція арккотангенс

Область визначення функції- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції- Відрізок 0 π, тобто. арккотангенс - функція обмежена.

Функція не є ні парною, ні непарною.
Графік функції несиметричний щодо початку координат, ні щодо осі Оy.

Функція є спадноюпо всій області визначення.

Визначення та позначення

Арксинус (y = arcsin x) – це функція, зворотна до синуса (x = sin y -1 ≤ x ≤ 1і безліч значень - /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Арксинус іноді позначають так:
.

Графік функції арксинус

Графік функції y = arcsin x

Графік арксинусу виходить із графіка синуса, якщо поміняти місцями осі абсцис та ординат. Щоб усунути багатозначність, область значень обмежують інтервалом, на якому монотонна функція. Таке визначення називають основним значенням арксинусу.

Арккосинус, arccos

Визначення та позначення

Арккосинус (y = arccos x) - це функція, зворотна до косінус (x = cos y). Він має область визначення -1 ≤ x ≤ 1і безліч значень 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Арккосинус іноді позначають так:
.

Графік функції арккосинус

Графік функції y = arccos x

Графік арккосинусу виходить із графіка косинуса, якщо поміняти місцями осі абсцис та ординат. Щоб усунути багатозначність, область значень обмежують інтервалом, на якому монотонна функція. Таке визначення називають головним значенням арккосинусу.

Парність

Функція арксинус є непарною:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Функція арккосинус не є парною або непарною:
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Властивості - екстремуми, зростання, спадання

Функції арксинус і арккосинус безперервні у своїй області визначення (див. доказ безперервності). Основні властивості арксинусу та арккосинусу представлені у таблиці.

	y = arcsin x	y = arccos x
Область визначення та безперервність	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Область значень
Зростання, спадання	монотонно зростає	монотонно зменшується
Максимуми
Мінімуми
Нулі, y = 0	x = 0	x = 1
Крапки перетину з віссю ординат, x = 0	y = 0	y = π/ 2

Таблиця арксинусів та арккосинусів

У цій таблиці представлені значення арксинусов і арккосинусов, у градусах і радіанах, при деяких значеннях аргументу.

x	arcsin x		arccos x
	град.	радий.	град.	радий.
- 1	- 90 °	-	180 °	π
-	- 60 °	-	150 °
-	- 45 °	-	135°
-	- 30 °	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формули

Див. також: Виведення формул зворотних тригонометричних функцій

Формули суми та різниці

при або

при і

при і

при або

при і

при і

при

при

при

при

Вирази через логарифм, комплексні числа

Див. також: Виведення формул

Вирази через гіперболічні функції

Похідні

;
.
Див. Виведення похідних арксинусу та арккосинусу.

Похідні вищих порядків:
,
де - багаточлен ступеня. Він визначається за формулами:
;
;
.

Див. Виведення похідних вищих порядків арксинусу та арккосинусу.

Інтеграли

Робимо підстановку x = sin t. Інтегруємо частинами, враховуючи що -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Виразимо арккосинус через арксинус:
.

Розкладання в ряд

За |x|< 1 має місце наступне розкладання:
;
.

Зворотні функції

Зворотними до арксинусу та арккосинусу є синус та косинус відповідно.

Наступні формули справедливі на всій області визначення:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Наступні формули справедливі лише на безлічі значень арксинусу та арккосинусу:
arcsin(sin x) = xпри
arccos(cos x) = xпри .

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Див. також:

Завдання, пов'язані зі зворотними тригонометричними функціями, часто пропонуються на шкільних випускних іспитахі на вступних іспитіву деяких ВНЗ. Докладне вивчення цієї теми може бути досягнуто лише на факультативних заняттях або на елективних курсах. Пропонований курс покликаний якнайповніше розвинути здібності кожного учня, підвищити його математичну підготовку.

Курс розрахований на 10 годин:

1.Функції arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 год.).

2. Операції над зворотними тригонометричними функціями (4 год.).

3.Зворотні тригонометричні операції над тригонометричними функціями (2 год.).

Урок 1 (2 год.) Тема: Функції y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Мета: повне висвітлення цього питання.

1. Функція y = arcsin х.

а) Для функції y = sin x на відрізку існує обернена (однозначна) функція, яку умовилися називати арксинусом і позначати так: y = arcsin x. Графік зворотної функції симетричний з графіком основної функції щодо бісектриси І – ІІІ координатних кутів.

Властивості функції y = arc sin x.

1) Область визначення: відрізок [-1; 1];

2) Область зміни: відрізок;

3) Функція y = arcsin x непарна: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Функція y = arcsin x монотонно зростаюча;

5) Графік перетинає осі Ох, Оу на початку координат.

Приклад 1. Знайти a = arcsin. Даний приклад докладно можна сформулювати так: знайти такий аргумент a, що лежить в межах від до, синус якого дорівнює.

Рішення. Існує безліч аргументів, синус яких дорівнює , наприклад: і т.д. Але нас цікавить лише той аргумент, що знаходиться на відрізку. Таким аргументом буде. Отже, .

Приклад 2. Знайти .Рішення.Розмірковуючи так само, як і в прикладі 1, отримаємо .

б) усні вправи. Знайти: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0. Зразок відповіді: , т.к. . Чи мають сенс висловлювання: ; arcsin 1,5; ?

в) Розташуйте у порядку зростання: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

ІІ. Функції y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (аналогічно).

Урок 2 (2 години) Тема: Зворотні тригонометричні функції, їх графіки.

Ціль: на даному уроці необхідно відпрацювати навички у визначенні значень тригонометричних функцій, у побудові графіків зворотних тригонометричних функцій з використанням Д (у), Е (у) та необхідних перетворень.

На даному уроці виконати вправи, що включають знаходження області визначення області значення функцій типу: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .

Слід побудувати графіки функцій: а) y = arc sin 2x; б) y = 2 arcsin 2x; в) y = arcsin;

г) y = arcsin; д) y = arcsin; е) y = arcsin; ж) y = | arcsin | .

приклад.Побудуємо графік y = arccos

До домашнього завдання можна включити такі вправи: побудувати графіки функцій: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Графіки зворотних функцій

Урок №3 (2 год.) Тема:

Операції над зворотними тригонометричними функціями.

Мета: розширити математичні знання (це важливо для тих, хто вступає на спеціальності з підвищеними вимогами до математичної підготовки) шляхом введення основних співвідношень для зворотних тригонометричних функцій.

Матеріал для уроку

Деякі найпростіші тригонометричні операції над зворотними тригонометричними функціями: sin (arcsin x) = x, i xi? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x) = x, x I R; ctg (arcctg x) = x, x I R.

Вправи.

а) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) =; tg (arcctg x) = .

б) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Нехай arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) =; sin (arccos x) = .

Примітка: беремо перед коренем знак "+", тому що a = arcsin x задовольняє .

в) sin (1,5 + arcsin). Відповідь: ;

г) ctg (+ arctg 3). Відповідь: ;

д) tg (- arcctg 4). Відповідь: .

е) cos (0,5 + arccos). Відповідь: .

Обчислити:

a) sin (2 arctg 5).

Нехай arctg 5 = a тоді sin 2 a = або sin (2 arctg 5) = ;

б) cos (+ 2 arcsin 0,8). Відповідь: 0,28.

в) arctg + arctg.

Нехай a = arctg, b = arctg,

тоді tg(a+b) = .

г) sin (arcsin + arcsin).

д) Довести, що всім x I [-1; 1] вірно arcsin x + arccos x = .

Доказ:

arcsin x = - arccos x

sin (arcsin x) = sin (- arccos x)

x = cos (arccos x)

Для самостійного вирішення: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (-3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Для домашнього рішення: 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg (- arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 - arctg 3.

Урок № 4 (2ч.) Тема: Операції над зворотними тригонометричними функціями.

Мета: на даному уроці показати використання співвідношень у перетворенні складніших виразів.

Матеріал для уроку

Усно:

а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

в) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

г) tg (arccos), ctg (arccos()).

ПИСЬМОВО:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Самостійна робота допоможе виявити рівень засвоєння матеріалу

1) tg (arctg 2 - arctg) 2) cos(- arctg2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1,5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arctg 2

Для домашнього завданняможна запропонувати:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg (arcsin)); 4) sin (2 arctg); 5) tg ((arcsin))

Урок №5 (2год) Тема: Зворотні тригонометричні операції над тригонометричними функціями.

Мета: сформувати уявлення учнів про зворотні тригонометричні операції над тригонометричними функціями, основну увагу приділити підвищенню свідомості досліджуваної теорії.

Під час вивчення цієї теми передбачається обмеження обсягу теоретичного матеріалу, що підлягає запам'ятовування.

Матеріал для уроку:

Вивчення нового матеріалу можна розпочати з дослідження функції y = arcsin (sin x) та побудови її графіка.

3. Кожному x I R ставиться у відповідність y I, тобто.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Функція непарна: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Графік y = arcsin (sin x) на:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

б)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( - x) = sinx , 0<= - x <= .

Отже,

Побудувавши y = arcsin (sin x) на , продовжимо симетрично щодо початку координат на [-; 0], враховуючи непарність цієї функції. Використовуючи періодичність, продовжимо на всю числову вісь.

Потім записати деякі співвідношення: arcsin (sin a) = a якщо<= a <= ; arccos (cos a ) = a якщо 0<= a <= ; arctg (tg a) = a якщо< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

І виконати наступні вправи: a) arccos (sin 2). Відповідь: 2 -; б) arcsin (cos 0,6). Відповідь: - 0,1; в) arctg (tg 2). Відповідь: 2 -;

г) arcctg (tg 0,6). Відповідь: 0,9; д) arccos (cos (-2)). Відповідь: 2 -; е) аrcsin (sin (-0,6)). Відповідь: – 0,6; ж) аrctg (tg 2) = arctg (tg (2 -)). Відповідь: 2 -; з) аrcctg (tg 0,6). Відповідь: – 0,6; - arctg x; д) arccos + arccos