Купив загальний зошит обсягом 96 аркушів. Завдання для проведення шкільного етапу всеросійської олімпіади школярів з математики. Бажаємо Вам успіхів

розділи: Математика

Шановний учасник олімпіади!

Шкільна олімпіада з математики проводиться в один тур.
Пропонується 5 завдань різного рівня складності.
Ніяких особливих вимог по оформленню роботи Вам не пред'являється. Форма викладу вирішення завдань, а також способи вирішення можуть бути будь-якими. Якщо у Вас є будь-які окремі міркування з приводу того чи іншого завдання, але до кінця рішення Ви довести не можете, не соромлячись, викладайте всі свої думки. Навіть частково вирішені завдання будуть оцінені відповідним числом балів.
Починайте вирішувати легші на Ваш погляд завдання, а потім переходите до решти. Так Ви заощадите час роботи.

Бажаємо Вам успіхів!

шкільний етап Всеросійської олімпіади школярів з математики

5 клас.

Завдання 1. У вираженні 1 * 2 * 3 * 4 * 5 замініть «*» знаками дій і розставте дужки так. Щоб вийшло вираз, значення якого дорівнює 100.

Завдання 2. Потрібно розшифрувати запис арифметичного рівності, в якому цифри замінені буквами, причому різні цифри замінені різними буквами, однакові - однаковими.

П'ЯТЬ - ТРИ \u003d ДВА Відомо, що замість літери А потрібно підставити цифру 2.

Завдання 3. Як за допомогою чашкових ваг без гир розділити 80 кг цвяхів на дві частини - 15 кг і 65 кг?

Завдання 4. Фігуру, зображену на малюнку, розріжте на дві рівні частини так, щоб в кожній частині було по одній зірочці. Розрізати можна тільки по лініях сітки.

Завдання 5. Чашка і блюдце разом коштують 25 рублів, а 4 чашки і 3 блюдця стоять 88 рублів. Знайдіть ціну чашки і ціну блюдця.

6 клас.

Завдання 1. Порівняйте дроби, не наводячи їх до спільного знаменника.

Завдання 2. Потрібно розшифрувати запис арифметичного рівності, в якому цифри замінені буквами, причому різні цифри замінені різними буквами, однакові - однаковими. Передбачається, що вихідне рівність вірно і записано за звичайними правилами арифметики.

ПРАЦЯ
+ ВОЛЯ
УДАЧА

завдання 3. В літній табір приїхали відпочивати три друга: Міша, Володя і Петя. Відомо, що кожен з них має одну з наступних прізвищ: Іванов, Семенов, Герасимов. Миша - НЕ Герасимов. Батько Володі - інженер. Володя навчається в 6 класі. Герасимов вчиться в 5 класі. Батько Іванова - вчитель. Яке прізвище у кожного з трьох друзів?

завдання 4. Розділіть фігуру по лініях сітки на чотири однакові частини так щоб в кожній частині виявилося по одній точці.

Завдання 5. Стрибуха бабка половину часу кожної доби червоного літа спала, третю частину часу кожної доби танцювала, шосту частину - співала. Решту часу вона вирішила присвятити підготовці до зими. Скільки годин на добу Стрекоза готувалася до зими?

7 клас.

Завдання 1. Вирішіть ребус, якщо відомо, що найбільша цифра в числі сильний дорівнює 5:

виріши
ЯКЩО
сильний

Завдання 2. Вирішіть уравненіе│7 - х│ \u003d 9,3

Завдання 3. Після семи прань довжина, ширина і товщина мила зменшилися вдвічі. На скільки таких же прань вистачить залишився мила?

завдання 4 . Прямокутник 4 × 9 клітин розділіть на всі боки клітин на дві рівні частини так, щоб з них потім можна було скласти квадрат.

Завдання 5. Дерев'яний куб пофарбували білою фарбою з усіх боків, а потім розпиляли на 64 однакових результати. Скільки кубиків виявилося пофарбованими з трьох сторін? З двох боків?
З одного боку? Скільки кубиків не пофарбовані?

8 клас.

Завдання 1. Якими двома цифрами закінчується число 13!

Завдання 2. Скоротіть дріб:

Завдання 3. Шкільний драмгурток, готуючись до постановки уривка казки А.С. Пушкіна про царя Салтана, вирішив розподілити ролі між учасниками.
- Я буду Чорномором, - сказав Юра.
- Ні, Чорномором буду я, - заявив Коля.
- Гаразд, - поступився йому Юра, - я можу зіграти Гвидона.
- Ну, я можу стати Салтана, - теж проявив поступливість Коля.
- Я ж згоден бути тільки гвідон! - вимовив Міша.
Бажання хлопчиків були задоволені. Як розподілилися ролі?

Завдання 4. В трикутник АВС з основою АВ \u003d 8м проведена медіана АD. Периметр трикутника АСD більше периметра трикутника АВD на 2м. Знайти АС.

Завдання 5. Микола купив загальний зошит в 96 листів і пронумерував сторінки від 1 до 192. Племінник Артур вирвав з цього зошита 35 аркушів і склав усі 70 чисел, які на них написані. Чи могло у нього вийти 2010 року.

9 клас.

Завдання 1. Знайдіть останню цифру числа 1989 1989.

Завдання 2. Сума коренів деякого квадратного рівняння дорівнює 1, а сума їх квадратів дорівнює 2. Чому дорівнює сума їх кубів?

Завдання 3. З трьох медианам m a, m b і m c Δ АВС знайти довжину сторони АС \u003d b.

Завдання 4. скоротіть дріб .

Завдання 5. Скількома способами можна вибрати голосну та приголосну літери в слові «камзол»?

10 клас.

Завдання 1. В даний час є монети 1, 2, 5, 10 рублів. Вкажіть всі грошові суми, які можна сплатити як парних, так і непарних числом монет.

Завдання 2. Доведіть, що 5 + 5 2 + 5 3 + ... + 5 2010 ділиться на 6.

Завдання 3. У чотирикутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці М. Відомо що АМ \u003d 1,
ВМ \u003d 2, СМ \u003d 4. При яких значеннях DM чотирикутник ABCDє трапецією?

Завдання 4. Вирішіть систему рівнянь

Завдання 5. Тридцять школярів - десятикласників і одинадцятикласників - потисли один одному руки. При цьому виявилося, що кожен десятикласник потиснув руку восьми одинадцятикласникам, а кожен одинадцятикласник подав руку семи десятикласникам. Скільки було десятикласників і скільки одинадцятикласників?

Дана робота Петя купив загальний зошит обсягом 96 аркушів і пронумерував все її сторінки по порядку числами від 1 до 192. Вася вирвав (Контрольна) по предмету (АГД та фінансовий аналіз), була виконана за індивідуальним замовленням фахівцями нашої компанії і пройшла свою успішний захист. Робота - Петя купив загальний зошит обсягом 96 аркушів і пронумерував все її сторінки по порядку числами від 1 до 192. Вася вирвав по предмету АГД та фінансовий аналіз відображає свою тему і логічну складову її розкриття, розкрито сутність досліджуваного питання, виділені основні положення і провідні ідеї даної теми.
Робота - Петя купив загальний зошит обсягом 96 аркушів і пронумерував все її сторінки по порядку числами від 1 до 192. Вася вирвав, містить: таблиці, малюнки, новітні літературні джерела, Рік здачі і захисту роботи - 2017 р роботі Петя купив загальний зошит обсягом 96 аркушів і пронумерував все її сторінки по порядку числами від 1 до 192. Вася вирвав (АГД та фінансовий аналіз) розкривається актуальність теми дослідження, відбивається ступінь розробленості проблеми, на підставі глибокої оцінки та аналізі наукової та методичної літератури, в роботі по предмету АГД та фінансовий аналіз розглянуто всебічно об'єкт аналізу і його питання, як з теоретичної, так і практичної сторони, формулюється мета і конкретні завдання даної теми, присутній логіка викладу матеріалу і його послідовність.

Завдання 16:

Чи можна розміняти 25 рублів за допомогою десяти купюр вартістю в 1, 3 і 5 рублів? Рішення:

Відповідь: Ні

Завдання 17:

Петя купив загальний зошит обсягом 96 аркушів і пронумерував все її сторінки по порядку числами від 1 до 192. Вася вирвав з цього зошита 25 аркушів і склав усі 50 чисел, які на них написані. Чи могло у нього вийти 1990? Рішення:

На кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 25 непарних чисел - непарна.

Завдання 18:

Твір 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їх сума не дорівнює нулю. Рішення:

Серед цих чисел - парне число "мінус одиниць», а для того, щоб сума дорівнювала нулю, їх має бути рівно 11.

Завдання 19:

Чи можна скласти магічний квадрат з перших 36 простих чисел? Рішення:

Серед цих чисел одне (2) - парне, а інші - непарні. Тому в тому рядку, де стоїть двійка, сума чисел непарна, а в інших - парна.

Завдання 20:

В ряд виписані числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки «+» і «-» так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало нулю?

Зауваження: врахуйте, що негативні числа також бувають парними і непарними. Рішення:

Справді, сума чисел від 1 до 10 дорівнює 55, і змінюючи в ній знаки, ми змінюємо весь вираз на парне число.

Завдання 21:

Коник стрибає по прямій, причому в перший раз він стрибнув на 1 см в якусь сторону, вдруге - на 2 см і так далі. Доведіть, що після 1985 стрибків він не може виявитися там, де починав. Рішення:

Вказівка: Сума 1 + 2 + ... + 1 985 непарна.

Завдання 22:

На дошці написані числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Дозволяється стерти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їх різниці. Зрештою на дошці залишиться одне число. Чи може воно дорівнювати нулю? Рішення:

Перевірте, що при зазначених операціях парність суми всіх написаних на дошці чисел не змінюється.

Завдання 23:

Чи можна покрити шахівницю Доміношки 1 × 2 так, щоб вільними залишилися тільки клітини a1 і h8? Рішення:

Кожна доміношка покриває одне чорне і одне біле поле, а при викидання полів a1 і h8 чорних полів залишається на 2 менше, ніж білих.

Завдання 24:

До 17-значному числу додали число, записане тими ж цифрами, але в зворотному порядку. Доведіть, що хоча б одна цифра отриманої суми парна. Рішення:

Розберіть два випадки: сума першої і останньої цифр числа менше 10, і сума першої і останньої цифр числа не менш 10. Якщо допустити, що всі цифри суми - непарні, то в першому випадку не повинно бути жодного переносу в розрядах (що, очевидно , призводить до протиріччя), а в другому випадку наявність переносу при русі справа наліво або зліва направо чергується з відсутністю переносу, і в результаті ми отримаємо, що цифра суми в дев'ятому розряді обов'язково парна.

Завдання 25:

В народній дружині 100 чоловік і щовечора троє з них йдуть на чергування. Чи може через деякий час опинитися так, що кожен з кожним чергував рівно один раз? Рішення:

Так як на кожному чергуванні, в якому бере участь дана людина, Він чергує з двома іншими, то всіх інших можна розбити на пари. Однак 99 - непарне число.

Завдання 26:

На прямій відмічено 45 точок, що лежать поза відрізком AB. Доведіть, що сума відстаней від цих точок до точки A не дорівнює сумі відстаней від цих точок до точки B. Рішення:

Для будь-якої точки X, що лежить поза AB, маємо AX - BX \u003d ± AB. Якщо припустити, що суми відстаней рівні, то ми отримаємо, що вираз ± AB ± AB ± ... ± AB, в якому бере участь 45 доданків, дорівнює нулю. Але це неможливо.

Завдання 27:

По колу розставлено 9 чисел - 4 одиниці і 5 нулів. Кожну секунду над числами роблять таку операцію: між сусідніми числами ставлять нуль, якщо вони різні, і одиницю, якщо вони рівні; після цього старі числа стирають. Чи можуть через деякий час все числа стати однаковими? Рішення:

Ясно, що комбінація з дев'яти одиниць раніше, ніж дев'ять нулів, вийти не може. Якщо ж вийшло дев'ять нулів, то на попередньому ходу нулі і одиниці повинні були чергуватися, що неможливо, так як їх всього непарна кількість.

Завдання 28:

25 хлопчиків і 25 дівчаток сидять за круглим столом. Доведіть, що у кого-то з тих, хто сидить за столом обидва сусіди - хлопчики. Рішення:

Проведемо наше доведення від противного. Занумеруем всіх сидячих за столом по порядку, починаючи з якогось місця. якщо на k-му місці сидить хлопчик, то ясно, що на (k - 2) -му і на (k + 2) -му місцях сидять дівчатка. Але оскільки хлопчиків і дівчаток порівну, то і для будь-якої дівчинки, що сидить на n-му місці, вірно, що на (n - 2) -му і на (n + 2) -му місцях сидять хлопчики. Якщо ми тепер розглянемо тільки тих 25 осіб, які сидять на «парних» місцях, то отримаємо, що серед них хлопчики і дівчатка чергуються, якщо обходити стіл в якомусь напрямку. Але 25 - непарне число.

Завдання 29:

Равлик повзе по площині з постійною швидкістю, кожні 15 хвилин повертаючи під прямим кутом. Доведіть, що повернутися у вихідну точку вона зможе лише через ціле число годин. Рішення:

Ясно, що кількість a ділянок, на яких равлик повзла вгору або вниз, дорівнює кількості ділянок, на яких вона повзла вправо або вліво. Залишилося тільки зауважити, що a - парне.

Завдання 30:

Три коника грають на прямій в чехарду. Кожен раз один з них стрибає через іншого (але не через двох відразу!). Чи можуть вони після 1991 стрибка виявитися на колишніх місцях? Рішення:

Позначимо коників A, B і C. Назвемо розстановки коників ABC, BCA і CAB (зліва направо) - правильними, а ACB, BAC і CBA - неправильними. Легко бачити, що при будь-якому стрибку тип розстановки змінюється.

Завдання 31:

Є 101 монета, з яких 50 фальшивих, що відрізняються за вагою на 1 грам від справжніх. Петя взяв одну монету і за одне зважування на вагах зі стрілкою, яка б показала різницю ваг на чашках, хоче визначити фальшива вона. Чи зможе він це зробити? Рішення:

Потрібно відкласти цю монету в сторону, а потім розділити інші 100 монет на дві купки по 50 монет, і порівняти ваги цих купок. Якщо вони відрізняються на парне число грам, то нас цікавить монета справжня. Якщо ж різниця ваг непарна, то монета фальшива.

Завдання 32:

Чи можна виписати в ряд по одному разу цифри від 1 до 9 так, щоб між одиницею і двійкою, двійкою і трійкою, ..., вісімкою та дев'яткою була непарна кількість цифр? Рішення:

В іншому випадку всі цифри в ряду стояли б на місцях однієї і тієї ж парності.