Нормальний розподіл в статистиці. Нормальний розподіл і його параметри. Графіки одновимірного нормального розподілу

Нормальний розподіл - найбільш часто зустрічається вид розподілу. З ним доводиться зустрічатися при аналізі похибок вимірювань, контроль технологічних процесів і режимів, а також при аналізі і прогнозуванні різних явищ в біології , медицині і інших областях знань.

Термін «нормальний розподіл» застосовується в умовному сенсі як загальноприйнятий в літературі, хоча і не зовсім вдалий. Так, твердження, що якийсь ознака підпорядковується нормальному закону розподілу, зовсім не означає наявність будь-яких непорушних норм, нібито лежать в основі явища, відображенням якого є розглянутий ознака, а підпорядкування іншим законам розподілу не означає якусь анормальность даного явища.

Головна особливість нормального розподілу полягає в тому, що воно є граничним, до якого наближаються інші розподілу. Нормальний розподіл вперше відкрито Муавром в 1733 році. Нормальному закону підкоряються тільки безперервні випадкові величини. Щільність нормального закону розподілу має вигляд.

Математичне сподівання для нормального закону розподілу одно. Дисперсія дорівнює.

Основні властивості нормального розподілу.

1. Функція щільності розподілу визначена на всій числовій осі Ох , Тобто кожному значенню х відповідає цілком певне значення функції.

2. При всіх значеннях х (Як позитивних, так і негативних) функція щільності набуває додатних значень, тобто нормальна крива розташована над віссю Ох .

3. Межа функції щільності при необмеженому зростанні х дорівнює нулю, .

4. Функція щільності нормального розподілу в точці має максимум .

5. Графік функції щільності симетричний відносно прямої.

6. Крива розподілу має дві точки перегину з координатами і .

7. Мода і медіана нормального розподілу збігаються з математичним очікуванням а .

8. Форма нормальної кривої не змінюється при зміні параметра а .

9. Коефіцієнти асиметрії і ексцесу нормального розподілу дорівнюють нулю.

Очевидна важливість обчислення цих коефіцієнтів для емпіричних рядів розподілу, так як вони характеризують скошеннность і крутість даного ряду в порівнянні з нормальним.

Ймовірність влучення в інтервал знаходиться за формулою , де непарна табульований функція.

Визначимо ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина відхиляється від свого математичного очікування на величину, меншу, тобто знайдемо ймовірність здійснення нерівності , Або ймовірність подвійного нерівності. Підставляючи в формулу, отримаємо

Висловивши відхилення випадкової величини Х в частках середнього квадратичного відхилення, тобто поклавши в останній рівності, отримаємо.

Тоді при отримаємо,

при отримаємо,

при отримаємо.

З останнього нерівності слід, що практично розсіювання нормально розподіленої випадкової величини укладено на ділянці. Імовірність того, що випадкова величина не потрапить на цю ділянку, дуже мала, а саме дорівнює 0,0027, тобто ця подія може відбутися лише в трьох випадках з 1000. Такі події можна вважати практично неможливими. На наведених міркуваннях засновано правило трьох сигм, Яке формулюється в такий спосіб: якщо випадкова величина має нормальний розподіл, то відхилення цієї величини від математичного очікування по абсолютній величині не перевищує потроєного середнього квадратичного відхилення.

Приклад 28. Деталь, виготовлена \u200b\u200bавтоматом, вважається придатною, якщо відхилення її контрольованого розміру від проектного не перевищує 10 мм. Випадкові відхилення контрольованого розміру від проектного підпорядковані нормальному закону розподілу із середнім квадратичним відхиленням мм і математичним очікуванням. Скільки відсотків придатних деталей виготовляє автомат?

Рішення. Розглянемо випадкову величину Х - відхилення розміру від проектного. Деталь буде визнана придатною, якщо випадкова величина належить інтервалу. Імовірність виготовлення придатної деталі знайдемо за формулою . Отже, відсоток придатних деталей, що виготовляються автоматом, дорівнює 95,44%.

Біноміальний розподіл

Біноміальним є розподіл ймовірностей появи m числа подій в п незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події постійна і дорівнює р . Імовірність можливого числа появ події обчислюється за формулою Бернуллі:,

де. постійні п і р , Що входять в цей вираз, параметри біноміального закону. Біноміальним розподілом описується розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини.

Основні числові характеристики біноміального розподілу. Математичне сподівання дорівнює. дисперсія дорівнює . Коефіцієнти асиметрії та ексцесу рівні і . При необмеженому зростанні числа випробувань А і Е прагнуть до нуля, отже, можна припустити, що біноміальний розподіл сходиться до нормального зі зростанням числа випробувань.

Приклад 29. Виробляються незалежні випробування з однаковою ймовірністю появи події А в кожному випробуванні. Знайти ймовірність появи події А в одному випробуванні, якщо дисперсія числа появ в трьох випробуваннях дорівнює 0,63.

Рішення. Для біноміального розподілу . Підставами значення, отримаємо звідси або тоді і.

розподіл Пуассона

Закон розподілу рідкісних явищ

розподіл Пуассона описує число подій m , Що відбуваються за однакові проміжки часу за умови, що події відбуваються незалежно один від одного з постійною середньою інтенсивністю. При цьому число випробувань п велике, а ймовірність появи події в кожному випробуванні р мала. Тому розподіл Пуассона називають законом рідкісних явищ або найпростішим потоком. Параметром розподілу Пуассона є величина, що характеризує інтенсивність появи подій в п випробуваннях. Формула розподілу Пуассона .

Пуассоновским розподілом добре описуються число вимог на виплату страхових сум за рік, число викликів, які надійшли на телефонну станцію за певний час, число відмов елементів при випробуванні на надійність, число бракованих виробів і так далі.

Основні числові характеристики для розподілу Пуассона. Математичне сподівання дорівнює дисперсії і одно а . Тобто . це є відмінною рисою цього розподілу. Коефіцієнти асиметрії та ексцесу відповідно рівні.

Приклад 30. Середнє число виплат страхових сум в день дорівнює двом. Знайти ймовірність того, що за п'ять днів доведеться виплатити: 1) 6 страхових сум; 2) менше шести сум; 3) не менше шести. або експоненціальнерозподіл.

Цей розподіл часто спостерігається при вивченні термінів служби різних пристроїв, часу безвідмовної роботи окремих елементів, частин системи і системи в цілому, при розгляді випадкових проміжків часу між появами двох послідовних рідкісних подій.

Щільність показового розподілу визначається параметром, який називають інтенсивністю відмов. Цей термін пов'язаний з конкретною областю додатка - теорією надійності.

Вираз інтегральної функції показового розподілу можна знайти, використовуючи властивості диференціальної функції:

Математичне сподівання показового розподілу, дисперсія, середньоквадратичне відхилення. Таким чином, для цього розподілу характерно, що середнє відхилення чисельно дорівнює математичному очікуванню. При будь-якому значенні параметра коефіцієнти асиметрії і ексцесу - постійні величини.

Приклад 31. Середній час роботи телевізора до першої відмови дорівнює 500 годин. Знайти ймовірність того, що навмання взятий телевізор пропрацює без поломок більше 1000 годин.

Рішення. Так як середній час роботи до першої відмови дорівнює 500, то . Шукану ймовірність знайдемо за формулою.

визначення 1

Випадкова величина $ X $ має нормальний розподіл (розподіл Гауса), якщо щільність її розподілу визначається формулою:

\\ [\\ Varphi \\ left (x \\ right) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma) e ^ (\\ frac (- ((xa)) ^ 2) (2 (\\ sigma) ^ 2)) \\]

Тут $ aεR $ - математичне очікування, а $ \\ sigma\u003e 0 $ - середньоквадратичне відхилення.

Щільність нормального розподілу.

Покажемо, що ця функція дійсно є щільністю розподілу. Для цього перевіримо така умова:

Розглянемо невласний інтеграл $ \\ Int \\ limits ^ (+ \\ infty) _ (- \\ infty) (\\ frac (1) (\\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma) e ^ (\\ frac (- ((xa)) ^ 2) ( 2 (\\ sigma) ^ 2)) dx) $.

Зробимо заміну: $ \\ frac (x-a) (\\ sigma) \u003d t, \\ x \u003d \\ sigma t + a, \\ dx \u003d \\ sigma dt $.

Так як $ f \\ left (t \\ right) \u003d e ^ (\\ frac (-t ^ 2) (2)) $ парна функція, то

Рівність виконується, значить, функція $ \\ varphi \\ left (x \\ right) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma) e ^ (\\ frac (- ((xa)) ^ 2) (2 (\\ sigma) ^ 2)) $ дійсно є щільністю розподілу деякої випадкової величини.

Розглянемо деякі найпростіші властивості функції щільності ймовірності нормального розподілу $ \\ varphi \\ left (x \\ right) $:

1. Графік функції щільності ймовірності нормального розподілу симетричний відносно прямої $ x \u003d a $.
2. Функція $ \\ varphi \\ left (x \\ right) $ досягає максимуму при $ x \u003d a $, при цьому $ \\ varphi \\ left (a \\ right) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma) e ^ (\\ frac (- ((aa)) ^ 2) (2 (\\ sigma) ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma) $
3. Функція $ \\ varphi \\ left (x \\ right) $ убуває, при $ x\u003e a $, і зростає, при $ x
4. Функція $ \\ varphi \\ left (x \\ right) $ має точки перегину при $ x \u003d a + \\ sigma $ і $ x \u003d a- \\ sigma $.
5. Функція $ \\ varphi \\ left (x \\ right) $ асимптотично наближається до осі $ Ox $ при $ x \\ to \\ pm \\ infty $.
6. Схематичний графік виглядає наступним чином (рис. 1).

Малюнок 1. Рис. 1. Графік щільності нормального розподілу

Зауважимо, що, якщо $ a \u003d 0 $, то графік функції симетричний щодо осі $ Oy $. Отже, функція $ \\ varphi \\ left (x \\ right) $ парна.

Функція нормального розподілу ймовірності.

Для знаходження функції розподілу ймовірності при нормальному розподілі скористаємося наступною формулою:

отже,

визначення 2

Функція $ F (x) $ називається стандартним нормальним розподілом, якщо $ a \u003d 0, \\ \\ sigma \u003d 1 $, тобто:

Тут $ Ф \\ left (x \\ right) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (2 \\ pi)) \\ int \\ limits ^ x_0 (e ^ (\\ frac (-t ^ 2) (2)) dt) $ - функція Лапласса.

визначення 3

Функція $ Ф \\ left (x \\ right) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (2 \\ pi)) \\ int \\ limits ^ x_0 (e ^ (\\ frac (-t ^ 2) (2)) dt) $ називається інтегралом ймовірності.

Числові характеристики нормального розподілу.

Математичне сподівання: $ M \\ left (X \\ right) \u003d a $.

Дисперсія: $ D \\ left (X \\ right) \u003d (\\ sigma) ^ 2 $.

Середнє квадратичне розподіл: $ \\ sigma \\ left (X \\ right) \u003d \\ sigma $.

приклад 1

Приклад рішення задачі на поняття нормального розподілу.

завдання 1: Довжина шляху $ X $ є випадковою безперервну величину. $ X $ розподілена за нормальним законом розподілу середнє значення якого дорівнює $ 4 $ кілометра, а середньоквадратичне відхилення дорівнює $ 100 $ метрів.

1. Знайти функцію щільності розподілу $ X $.
2. Побудувати схематично графік щільності розподілу.
3. Знайти функцію розподілу випадкової величини $ X $.
4. Знайти дисперсію.

1. Для початку представимо всі величини в одному вимірі: 100м \u003d 0,1км

З визначення 1, отримаємо:

\\ [\\ Varphi \\ left (x \\ right) \u003d \\ frac (1) (0,1 \\ sqrt (2 \\ pi)) e ^ (\\ frac (- ((x-4)) ^ 2) (0,02 )) \\]

(Так як $ a \u003d 4 \\ км, \\ \\ sigma \u003d 0,1 \\ км) $

1. Використовуючи властивості функції щільності розподілу, маємо, що графік функції $ \\ varphi \\ left (x \\ right) $ симетричний відносно прямої $ x \u003d 4 $.

Максимум функція досягає в точці $ \\ left (a, \\ frac (1) (\\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma) \\ right) \u003d (4, \\ \\ frac (1) (0,1 \\ sqrt (2 \\ pi ))) $

Схематичний графік має вигляд:

Малюнок 2.

1. За визначенням функції розподілу $ F \\ left (x \\ right) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma) \\ int \\ limits ^ x _ (- \\ infty) (e ^ (\\ frac (- ( (ta)) ^ 2) (2 (\\ sigma) ^ 2)) dt) $, маємо:

\

1. $ D \\ left (X \\ right) \u003d (\\ sigma) ^ 2 \u003d 0,01 $.

У статті докладно показано, що таке нормальний закон розподілу випадкової величини і як ним користуватися при вирішенні практично завдань.

Нормальний розподіл в статистиці

Історія закону налічує 300 років. Першим відкривачем став Абрахам де Муавр, який придумав апроксимацію ще 1733 році. Через багато років Карл Фрідріх Гаус (1809 г.) і П'єр-Симон Лаплас (1812 г.) вивели математичні функції.

Лаплас також виявив чудову закономірність і сформулював центральну граничну теорему (ЦПТ), Згідно з якою сума великої кількості малих і незалежних величин має нормальний розподіл.

Нормальний закон не є фіксованим рівнянням залежності однієї змінної від іншої. Фіксується тільки характер цієї залежності. Конкретна форма розподілу задається спеціальними параметрами. наприклад, у \u003d ах + b - це рівняння прямої. Однак де саме вона проходить і під яким нахилом, визначається параметрами а і b. Також і з нормальним розподілом. Ясно, що це функція, яка описує тенденцію високої концентрації значень біля центру, але її точна форма задається спеціальними параметрами.

Крива нормального розподілу Гаусса має такий вигляд.

Графік нормального розподілу нагадує дзвін, тому можна зустріти назву колоколообразная крива. У графіку є «горб» в середині і різке зниження щільності по краях. У цьому полягає суть нормального розподілу. Імовірність того, що випадкова величина виявиться біля центру набагато вище, ніж те, що вона сильно відхилиться від середини.

На малюнку вище зображено дві ділянки під кривою Гаусса: синій і зелений. Підстави, тобто інтервали, в обох ділянок рівні. Але помітно відрізняються висоти. Синій ділянку віддалений від центру, і має істотно меншу висоту, ніж зелений, який знаходиться в самому центрі розподілу. Отже, відрізняються і площі, чи то пак ймовірності попадання в позначені інтервали.

Формула нормального розподілу (щільності) наступна.

Формула складається з двох математичних констант:

π - число пі 3,142;

е - підстава натурального логарифма 2,718;

двох змінних параметрів, які задають форму конкретної кривої:

m - математичне очікування (в різних джерелах можуть використовуватися інші позначення, наприклад, µ або a);

σ 2 - дисперсія;

ну і сама змінна x, Для якої вираховується щільність ймовірності.

Конкретна форма нормального розподілу залежить від 2-х параметрів: ( m) І ( σ 2). коротко позначається N (m, σ 2) або N (m, σ). параметр m (Матожіданіє) визначає центр розподілу, якому відповідав би максимальна висота графіка. дисперсія σ 2 характеризує розмах варіації, тобто «размазанность» даних.

Параметр математичного очікування зміщує центр розподілу вправо або вліво, не впливаючи на саму форму кривої щільності.

А ось дисперсія визначає загостреними кривої. Коли дані мають малий розкид, то вся їх маса концентрується у центру. Якщо ж у даних великий розкид, то вони «розмазуються» по широкому діапазону.

Щільність розподілу не має прямого практичного застосування. Для розрахунку ймовірностей потрібно проінтегрувати функцію щільності.

Імовірність того, що випадкова величина виявиться менше деякого значення x, визначається функцією нормального розподілу:

Використовуючи математичні властивості будь-якого безперервного розподілу, нескладно розрахувати і будь-які інші ймовірності, так як

P (a ≤ X< b) = Ф(b) – Ф(a)

Стандартний нормальний розподіл

Нормальний розподіл залежить від параметрів середньої і дисперсії, через що погано видно його властивості. Добре б мати певний еталон розподілу, що не залежить від масштабу даних. І він існує. називається стандартним нормальним розподілом. Насправді це звичайне нормальне нормальний розподіл, тільки з параметрами математичного очікування 0, а дисперсією - 1, коротко записується N (0, 1).

Будь-яке нормальне розподіл легко перетворюється в стандартне шляхом нормування:

де z - нова змінна, яка використовується замість x;
m - математичне очікування;
σ - стандартне відхилення.

Для вибіркових даних беруться оцінки:

Середнє арифметичне і дисперсія нової змінної z тепер є рівними 0 і 1 відповідно. У цьому легко переконатися за допомогою елементарних алгебраїчних перетворень.

В літературі зустрічається назва z-оцінка. Це воно саме - нормовані дані. Z-оцінку можна прямо порівнювати з теоретичними можливостями, тому що її масштаб збігається з еталоном.

Подивимося тепер, як виглядає щільність стандартного нормального розподілу (для z-оцінок). Нагадаю, що функція Гаусса має вигляд:

підставами замість (X-m) / σ букву z, А замість σ - одиницю, отримаємо функцію щільності стандартного нормального розподілу:

Графік щільності:

Центр, як і очікувалося, знаходиться в точці 0. У цій же точці функція Гаусса досягає свого максимуму, що відповідає прийняттю випадковою величиною свого середнього значення (тобто x-m \u003d 0). Щільність в цій точці дорівнює 0,3989, що можна порахувати навіть в думці, тому що e 0 \u003d 1 і залишається розрахувати тільки співвідношення 1 на корінь з 2 пі.

Таким чином, за графіком добре видно, що значення, що мають маленькі відхилення від середньої, випадають частіше за інших, а ті, які сильно віддалені від центру, зустрічаються значно рідше. Шкала осі абсцис вимірюється в стандартних відхиленнях, що дозволяє відв'язатися від одиниць вимірювання і отримати універсальну структуру нормального розподілу. Крива Гауса для нормованих даних відмінно демонструє і інші властивості нормального розподілу. Наприклад, що воно є симетричним щодо осі ординат. В межах ± 1σ від середньої арифметичної сконцентрована велика частина всіх значень (прикидаємо поки на око). В межах ± 2σ знаходяться більшість даних. В межах ± 3σ знаходяться майже всі дані. Остання властивість широко відомо під назвою правило трьох сигмдля нормального розподілу.

Функція стандартного нормального розподілу дозволяє розраховувати ймовірності.

Ясна річ, вручну ніхто не вважає. Всі підраховано і розміщено в спеціальних таблицях, які є в кінці будь-якого підручника по статистиці.

Таблиця нормального розподілу

Таблиці нормального розподілу зустрічаються двох типів:

- таблиця щільності;

- таблиця функції (Інтеграла від щільності).

Таблиця щільності використовується рідко. Проте, подивимося, як вона виглядає. Припустимо, потрібно отримати щільність для z \u003d 1, Тобто щільність значення, віддаленого від матожіданія на 1 сигму. Нижче показаний шматок таблиці.

Залежно від організації даних шукаємо потрібне значення за назвою стовпця і рядка. У нашому прикладі беремо рядок 1,0 і стовпець 0 , Тому що сотої частки немає. Шукане значення дорівнює 0,2420 (0 перед 2420 опущений).

Функція Гаусса симетрична щодо осі ординат. Тому φ (z) \u003d φ (-z), Тобто щільність для 1 тотожна щільності для -1 , Що чітко видно на малюнку.

Щоб не витрачати даремно папір, таблиці друкують тільки для позитивних значень.

На практиці частіше використовують значення функції стандартного нормального розподілу, тобто ймовірності для різних z.

У таких таблицях також містяться тільки позитивні значення. Тому для розуміння і знаходження будь-яких потрібних ймовірностей слід знати властивості стандартного нормального розподілу.

функція Ф (z) симетрична щодо свого значення 0,5 (а не осі ординат, як щільність). Звідси справедливо рівність:

Це факт показаний на зображенні:

значення функції Ф (-z) і Ф (z) ділять графік на 3 частини. Причому верхня і нижня частини рівні (позначені галочками). Для того, щоб доповнити ймовірність Ф (z) до 1, досить додати відсутню величину Ф (-z). Вийде рівність, вказане трохи вище.

Якщо потрібно відшукати ймовірність попадання в інтервал (0; z), Тобто ймовірність відхилення від нуля в позитивну сторону до деякої кількості стандартних відхилень, досить від значення функції стандартного нормального розподілу відняти 0,5:

Для наочності можна поглянути на малюнок.

На кривій Гаусса, ця ж ситуація виглядає як площа від центру вправо до z.

Досить часто аналітика цікавить ймовірність відхилення в обидві сторони від нуля. А так як функція симетрична щодо центру, попередню формулу потрібно помножити на 2:

Малюнок нижче.

Під кривою Гаусса це центральна частина, обмежена обраним значенням -z зліва і z праворуч.

Зазначені властивості слід взяти до уваги, тому що табличні значення рідко відповідають цікавить інтервалу.

Для полегшення завдання в підручниках зазвичай публікують таблиці для функції виду:

Якщо потрібна ймовірність відхилення в обидві сторони від нуля, то, як ми тільки що переконалися, табличне значення для даної функції просто множиться на 2.

Тепер подивимося на конкретні приклади. Нижче показана таблиця стандартного нормального розподілу. Знайдемо табличні значення для трьох z: 1,64, 1,96 і 3.

Як зрозуміти сенс цих чисел? Почнемо з z \u003d 1,64, Для якого табличне значення становить 0,4495 . Найпростіше пояснити сенс на малюнку.

Тобто ймовірність того, що стандартизована нормально розподілена випадкова величина потрапить в інтервал від 0 до 1,64 , дорівнює 0,4495 . При вирішенні завдань зазвичай потрібно розрахувати ймовірність відхилення в обидві сторони, тому помножимо величину 0,4495 на 2 і отримаємо приблизно 0,9. Займана площа під кривою Гаусса показана нижче.

Таким чином, 90% всіх нормально розподілених значень потрапляє в інтервал ± 1,64σ від середньої арифметичної. Я не випадково вибрав значення z \u003d 1,64, Тому що околиця навколо середньої арифметичної, що займає 90% всієї площі, іноді використовується для і розрахунку довірчих інтервалів. Якщо перевіряється значення не влучає у позначену область, то його наступ малоймовірно (всього 10%).

Для перевірки гіпотез, однак, частіше використовується інтервал, що накриває 95% всіх значень. Половина ймовірності від 0,95 - це 0,4750 (См. Другий виділене в таблиці значення).

Для цієї ймовірності z \u003d 1,96. Тобто в межах майже ± 2σ від середньої знаходиться 95% значень. Тільки 5% випадають за ці межі.

Ще одне цікаве і часто використовується табличне значення відповідає z \u003d 3, Воно дорівнює по нашій таблиці 0,4986 . Помножимо на 2 і отримаємо 0,997 . Значить, в рамках ± 3σ від середньої арифметичної укладені майже всі значення.

Так виглядає правило 3 сигм для нормального розподілу на діаграмі.

За допомогою статистичних таблиць можна отримати будь-яку ймовірність. Однак цей метод дуже повільний, незручний і сильно застарів. Сьогодні все робиться на комп'ютері. Далі переходимо до практики розрахунків в Excel.

Нормальний розподіл в Excel

В Excel є кілька функцій для підрахунку ймовірностей або зворотних значень нормального розподілу.

функція НОРМ.СТ.РАСП

функція НОРМ.СТ.РАСП призначена для розрахунку щільності φ (z) або ймовірності Φ (z) по нормованим даними ( z).

\u003d НОРМ.СТ.РАСП (z; інтегральна)

z - значення стандартизованої змінної

інтегральна - якщо 0, то розраховується щільністьφ (z) , Якщо 1 - значення функції Ф (z), тобто ймовірність P (Z

Розрахуємо щільність і значення функції для різних z: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (Їх вкажемо в осередку А2).

Для розрахунку щільності потрібно формула \u003d НОРМ.СТ.РАСП (A2; 0). На діаграмі нижче - це червона точка.

Для розрахунку значення функції \u003d НОРМ.СТ.РАСП (A2; 1). На діаграмі - зафарбована площа під нормальною кривою.

В реальності частіше доводиться розраховувати ймовірність того, що випадкова величина не вийде за деякі межі від середньої (в середньоквадратичних відхиленнях, відповідних змінної z), Тобто P (| Z | .

Визначимо, чому дорівнює ймовірність потрапляння випадкової величини в межі ± 1z, ± 2z і ± 3z від нуля. Буде потрібно формула 2Ф (z) -1, В Excel \u003d 2 * НОРМ.СТ.РАСП (A2; 1) -1.

На діаграмі добре видно основні основні властивості нормального розподілу, включаючи правило трьох сигм. функція НОРМ.СТ.РАСП - це автоматична таблиця значень функції нормального розподілу в Excel.

Може стояти і зворотна задача: за наявною ймовірності P (Z знайти стандартизовану величину z , Тобто квантиль стандартного нормального розподілу.

функція НОРМ.СТ.ОБР

НОРМ.СТ.ОБР розраховує зворотне значення функції стандартного нормального розподілу. Синтаксис складається з одного параметра:

\u003d НОРМ.СТ.ОБР (ймовірність)

ймовірність - це ймовірність.

Дана формула використовується так само часто, як і попередня, адже за тими ж таблицями шукати доводиться не тільки ймовірності, але і квантилі.

Наприклад, при розрахунку довірчих інтервалів задається довірча ймовірність, по якій потрібно розрахувати величину z.

З огляду на те, що довірчий інтервал складається з верхньої та нижньої межі і те, що нормальний розподіл симетрично відносно нуля, достатньо отримати верхню межу (позитивне відхилення). Нижня межа береться з негативним знаком. Позначимо довірчу ймовірність як γ (Гамма), тоді верхня межа довірчого інтервалу розраховується за наступною формулою.

Розрахуємо в Excel значення z (Що відповідає відхиленню від середньої в сигмах) для декількох ймовірностей, включаючи ті, які напам'ять знає будь-який статистик: 90%, 95% і 99%. В осередку B2 вкажемо формулу: \u003d НОРМ.СТ.ОБР ((1 + A2) / 2). Змінюючи значення змінної (ймовірності в осередку А2) отримаємо різні межі інтервалів.

Довірчий інтервал для 95% дорівнює 1,96, тобто майже 2 середньоквадратичних відхилення. Звідси легко навіть в розумі оцінити можливий розкид нормальної випадкової величини. Загалом, довірчим можливостям 90%, 95% і 99% відповідають довірчі інтервали ± 1,64, ± 1,96 і ± 2,58 σ.

В цілому функції НОРМ.СТ.РАСП і НОРМ.СТ.ОБР дозволяють зробити будь-який розрахунок, пов'язаний з нормальним розподілом. Але, щоб полегшити і зменшити кількість дій, в Excel є кілька інших функцій. Наприклад, для розрахунку довірчих інтервалів середньої можна використовувати ДОВЕРІТ.НОРМ. Для перевірки про середньої арифметичної є формула Z.ТЕСТ.

Розглянемо ще пару корисних формул з прикладами.

функція НОРМ.РАСП

функція НОРМ.РАСП відрізняється від НОРМ.СТ.РАСП лише тим, що її використовують для обробки даних будь-якого масштабу, а не тільки нормованих. Параметри нормального розподілу вказуються в синтаксисі.

\u003d НОРМ.РАСП (x; середнє; стандартное_откл; інтегральна)

середнє - математичне очікування, що використовується в якості першого параметра моделі нормального розподілу

стандартное_откл - середньоквадратичне відхилення - другий параметр моделі

інтегральна - якщо 0, то розраховується щільність, якщо 1 - то значення функції, тобто P (X

Наприклад, щільність для значення 15, яке витягли з нормальною вибірки з матожиданием 10, стандартним відхиленням 3, розраховується так:

Якщо останній параметр поставити 1, то отримаємо ймовірність того, що нормальна випадкова величина виявиться менше 15 при заданих параметрах розподілу. Таким чином, ймовірності можна розраховувати безпосередньо за вихідними даними.

функція НОРМ.ОБР

Це квантиль нормального розподілу, тобто значення зворотної функції. Синтаксис наступний.

\u003d НОРМ.ОБР (ймовірність; середнє; стандартное_откл)

ймовірність - ймовірність

середнє - матожидание

стандартное_откл - середньоквадратичне відхилення

Призначення той же, що і у НОРМ.СТ.ОБР, Тільки функція працює з даними будь-якого масштабу.

Приклад показаний в ролику в кінці статті.

Моделювання нормального розподілу

Для деяких завдань потрібно генерація нормальних випадкових чисел. Готової функції для цього немає. Однак В Excel є дві функції, які повертають випадкові числа: СЛУЧМЕЖДУі СЛЧИС.Перша видає випадкові рівномірно розподілені цілі числа в зазначених межах. Друга функція генерує рівномірно розподілені випадкові числа між 0 і 1. Щоб зробити штучну вибірку з будь-яким заданим розподілом, потрібна функція СЛЧИС.

Припустимо, для проведення експерименту необхідно отримати вибірку з нормально розподіленої генеральної сукупності з матожиданием 10 і стандартним відхиленням 3. Для одного випадкового значення напишемо формулу в Excel.

НОРМ.ОБР (СЛЧИС (); 10; 3)

Протягнемо її на необхідну кількість осередків і нормальна вибірка готова.

Для моделювання стандартизованих даних слід скористатися НОРМ.СТ.ОБР.

Процес перетворення рівномірних чисел в нормальні можна показати на наступній діаграмі. Від рівномірних ймовірностей, які генеруються формулою СЛЧИС, проведені горизонтальні лінії до графіка функції нормального розподілу. Потім від точок перетину ймовірностей з графіком опущені проекції на горизонтальну вісь.