Digitální série zlatého řezu. Výzkumný článek „hádanka Fibonacciho čísel“. součet druhých mocnin sousedních čísel bude Fibonacciho číslo, které je dvě pozice za větším z druhých čísel

Fibonacciho čísla jsou prvky číselné posloupnosti.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, kde každé následující číslo je rovno součtu dvou předchozích čísel. Jméno je po středověkém matematikovi Leonardovi z Pisy (neboli Fibonacci), který žil a pracoval jako obchodník a matematik v italském městě Pisa. Je jedním z nejuznávanějších evropských vědců své doby. Mezi jeho největší úspěchy patří zavedení arabských číslic, které nahradily římské. Fn = Fn-1 + Fn-2

Matematická řada asymptoticky (to znamená, že se přibližuje stále pomaleji) inklinuje ke konstantnímu poměru. Tento postoj je však iracionální; má za sebou nekonečnou, nepředvídatelnou sekvenci desetinných hodnot. Nikdy to nelze přesně vyjádřit. Pokud je každé číslo, které je součástí řady, vyděleno předchozí hodnotou (například 13- ^ 8 nebo 21 -IS), bude výsledek akce vyjádřen v poměru, který kolísá kolem iracionálního čísla 1,61803398875, o něco více nebo o něco méně než sousední vztahy řady. Poměr nebude nikdy, do nekonečna, přesný až do poslední číslice (ani u těch nejvýkonnějších počítačů, které byly kdy vytvořeny). Pro stručnost použijeme 1,618 jako Fibonacciho poměr a požádáme čtenáře, aby na tuto nepřesnost nezapomněli.

Fibonacciho čísla jsou také důležitá při analýze euklidovského algoritmu k určení největšího společného dělitele dvou čísel. Fibonacciho čísla se vyskytují ve vzorci pro úhlopříčku Pascalovým trojúhelníkem (binomické koeficienty).

Ukázalo se, že Fibonacciho čísla jsou spojena se „zlatým řezem“.

Zlatý řez znali i ve starověkém Egyptě a Babylóně, v Indii a Číně. Co je to „zlatý řez“? Odpověď je stále neznámá. Fibonacciho čísla jsou skutečně relevantní pro teorii praxe v naší době. Nárůst významu nastal ve 20. století a trvá dodnes. Využití Fibonacciho čísel v ekonomii a informatice přilákalo k jejich studiu masy lidí.

Metodika mého výzkumu spočívala ve studiu odborné literatury a zobecnění získaných informací, dále ve vlastním výzkumu a identifikaci vlastností čísel a rozsahu jejich použití.

Během vědecký výzkum definoval samotný pojem Fibonacciho čísel, jejich vlastnosti. Zajímavé obrazce jsem zjistil i ve zvěři, přímo ve struktuře slunečnicových semínek.

Na slunečnici jsou semena uspořádána ve spirálách a počet spirál jdoucích opačným směrem je jiný - jsou to po sobě jdoucí Fibonacciho čísla.

Na této slunečnici je 34 a 55.

Totéž je pozorováno u plodů ananasu, kde je spirál 8 a 14. Listy kukuřice jsou spojeny s jedinečnou vlastností Fibonacciho čísel.

Zlomky tvaru a/b, odpovídající spirálovitému uspořádání listů stonků rostliny, jsou často poměry po sobě jdoucích Fibonacciho čísel. U lísky je tento poměr 2/3, u dubu - 3/5, u topolu 5/8, u vrby 8/13 atd.

Vzhledem k uspořádání listů na stonku rostlin můžete vidět, že mezi každým párem listů (A a C) je třetí umístěn v místě zlatého řezu (B)

Další zajímavou vlastností Fibonacciho čísla je, že součin a podíl jakýchkoli dvou různých Fibonacciho čísel jiných než jedna není nikdy Fibonacciho číslo.

Výsledkem výzkumu jsem došel k následujícím závěrům: Fibonacciho čísla jsou jedinečná aritmetický postup, který se objevil ve 13. století našeho letopočtu. Tato progrese neztrácí na své relevanci, což bylo potvrzeno v průběhu mého výzkumu. Fibonacciho čísla nejsou stejná v programování a ekonomických prognózách, v malbě, architektuře a hudbě. Obrazy tak slavných umělců jako Leonardo da Vinci, Michelangelo, Raphael či Botticelli v sobě skrývají kouzlo zlatého řezu. Dokonce i I. I. Shishkin použil zlatý řez ve svém obraze "Borový háj".

Je těžké tomu uvěřit, ale zlatý řez najdeme i v hudebních dílech takových velkých skladatelů jako Mozart, Beethoven, Chopin atd.

Fibonacciho čísla najdeme také v architektuře. Zlatý řez byl například použit při stavbě katedrály Parthenon a Notre Dame.

Zjistil jsem, že Fibonacciho čísla se používají i v naší oblasti. Například desky domů, štíty.

Ve vesmíru je jich mnohem více nevyřešené záhady, z nichž některé již vědci dokázali identifikovat a popsat. Fibonacciho čísla a zlatý řez tvoří základ pro řešení okolního světa, konstrukci jeho tvaru a optimální Vizuální vnímáníčlověk, s jehož pomocí může cítit krásu a harmonii.

Zlatý řez

Princip určování velikosti zlatého řezu je základem dokonalosti celého světa a jeho částí v jeho struktuře a funkcích, jeho projev je vidět v přírodě, umění a technice. Doktrína zlatého řezu byla stanovena jako výsledek studií starověkých vědců o povaze čísel.

Vychází z teorie proporcí a poměrů dělení segmentů, kterou vytvořil antický filozof a matematik Pythagoras. Dokázal, že při rozdělení segmentu na dvě části: X (menší) a Y (větší) se poměr větší k menší bude rovnat poměru jejich součtu (celý segment):

Výsledkem je rovnice: x 2 - x - 1 = 0, který je řešen jako x = (1 ± √5) / 2.

Pokud vezmeme v úvahu poměr 1 / x, pak se rovná 1,618…

Důkazy o používání zlatého řezu starověkými mysliteli jsou uvedeny v Euklidově knize „Počátky“, napsané již ve 3. století. př. n. l., který toto pravidlo použil ke konstrukci pravidelných 5-úhelníků. Mezi Pythagorejci je tato postava považována za posvátnou, protože je symetrická i asymetrická. Pentagram symbolizoval život a zdraví.

Fibonacciho čísla

Slavná kniha Liber abaci od matematika z Itálie Leonarda z Pisy, který se později stal známým jako Fibonacci, vyšla v roce 1202. Vědec v ní poprvé cituje pravidelnost čísel, kde každé číslo je součtem 2 předchozí číslice. Posloupnost Fibonacciho čísel je následující:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 atd.

Vědec také uvedl řadu vzorů:

• Jakékoli číslo z řady vydělené dalším se bude rovnat hodnotě, která má tendenci k 0,618. Navíc první Fibonacciho čísla takové číslo nedávají, ale jak se posuneme od začátku posloupnosti, bude tento poměr stále přesnější.
• Pokud vydělíme číslo z řady předchozím, výsledek bude spěchat na 1,618.
• Jedno číslo vydělené dalším po jedné bude ukazovat hodnotu směřující k 0,382.

Uplatnění spojení a zákonů zlatého řezu, Fibonacciho čísla (0,618) najdeme nejen v matematice, ale také v přírodě, v historii, v architektuře a stavitelství a v mnoha dalších vědách.

Archimédova spirála a zlatý obdélník

Spirály, které jsou v přírodě velmi běžné, zkoumal Archimedes, který dokonce odvodil její rovnici. Tvar spirály vychází ze zákonů zlatého řezu. Při jeho rozkroucení se získá délka, na kterou lze aplikovat proporce a Fibonacciho čísla, krok se rovnoměrně zvyšuje.

Paralelu mezi Fibonacciho čísly a zlatým řezem lze vidět sestrojením „zlatého obdélníku“ se stranami úměrnými 1,618:1. Je konstruován tak, že přechází z velkého obdélníku na malé tak, že délky stran se budou rovnat číslům z řady. Jeho konstrukci lze provést v opačném pořadí, počínaje krabicí "1". Když jsou rohy tohoto obdélníku spojeny čarami ve středu jejich průsečíku, získá se Fibonacciho spirála nebo logaritmická spirála.

Historie používání zlatých proporcí

Mnoho starověkých architektonických památek Egypta bylo postaveno pomocí zlatých proporcí: slavné Cheopsovy pyramidy a další. Starověké Řecko byly široce používány při stavbě architektonických objektů, jako jsou chrámy, amfiteátry, stadiony. Například takové proporce byly použity při stavbě starověkého chrámu Parthenon (Athény) a dalších objektů, které se staly mistrovskými díly starověké architektury, demonstrující harmonii založenou na matematických zákonech.

V pozdějších staletích zájem o zlatý řez upadl a vzory byly zapomenuty, ale znovu byly obnoveny v renesanci, spolu s knihou františkánského mnicha L. Pacioli di Borgo „Božská proporce“ (1509). Obsahoval ilustrace Leonarda da Vinciho, který upevnil nový název „zlatý řez“. Vědecky bylo prokázáno také 12 vlastností zlatého řezu a autor hovořil o tom, jak se projevuje v přírodě, v umění a nazval jej „princip budování světa a přírody“.

Vitruviánský muž Leonardo

Kresba, kterou Leonardo da Vinci v roce 1492 ilustroval knihu Vitruviova, zobrazuje lidskou postavu ve 2 polohách s roztaženými pažemi. Postava je vepsána do kruhu a čtverce. Tato kresba je považována za kanonické proporce lidského těla (mužského), popsané Leonardem na základě své studie v pojednáních římského architekta Vitruvia.

Pupek je považován za střed těla jako bod ve stejné vzdálenosti od konce paží a nohou, délka paží se rovná výšce osoby, maximální šířka ramen = 1/8 výšky, vzdálenost od horní části hrudníku po vlasy = 1/7, od horní části hrudníku po temeno hlavy = 1/6 atd.

Od té doby se kresba používá jako symbol k zobrazení vnitřní symetrie lidského těla.

Leonardo použil termín „zlatý poměr“ k označení proporčních vztahů v postavě člověka. Například vzdálenost od pasu k chodidlům souvisí se stejnou vzdáleností od pupku k temeni a také výška k první délce (od pasu dolů). Tento výpočet se provádí podobně jako poměr segmentů při výpočtu zlatého řezu a má tendenci k 1,618.

Všechny tyto harmonické proporce často používají umělci k vytvoření krásných a působivých kusů.

Studie zlatého řezu v 16.-19. století

Pomocí zlatého řezu a Fibonacciho čísel probíhá výzkum proporcí po staletí. Souběžně s Leonardem da Vincim se vývojem teorie správných proporcí lidského těla zabýval i německý umělec Albrecht Durer. K tomu dokonce vytvořil speciální kompas.

V 16. stol. otázka souvislosti mezi Fibonacciho číslem a zlatým řezem byla předmětem prací astronoma I. Keplera, který jako první uplatnil tato pravidla v botanice.

Zlatý řez čekal v 19. století nový „objev“. s publikací „Aesthetic Research“ německého vědce profesora Zeisiga. Povýšil tyto proporce na absolutní a oznámil, že jsou univerzální pro každého. přírodní jev... Provedl studie velkého množství lidí, respektive jejich tělesných proporcí (asi 2 tisíce), na základě kterých byly vyvozeny závěry o statisticky potvrzených vzorcích v poměrech různých částí těla: délka ramen, předloktí, ruce , prsty atd.

Zkoumány byly i umělecké předměty (vázy, architektonické struktury), hudební tóny, velikosti při psaní básní - to vše reflektoval Zeisig prostřednictvím délek segmentů a čísel, zavedl také pojem "matematická estetika". Po obdržení výsledků se ukázalo, že je získána Fibonacciho řada.

Fibonacciho číslo a zlatý řez v přírodě

V rostlinném a živočišném světě existuje tendence k formování formace ve formě symetrie, která je pozorována ve směru růstu a pohybu. Rozdělení na symetrické části, ve kterých jsou pozorovány zlaté proporce, je vzor vlastní mnoha rostlinám a zvířatům.

Přírodu kolem nás lze popsat pomocí Fibonacciho čísel, například:

• umístění listů nebo větví jakýchkoli rostlin, stejně jako vzdálenosti, souvisí s řadou daných čísel 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 a dále;
• slunečnicová semena (šupiny na šiškách, ananasové buňky), uspořádané ve dvou řadách podél stočených spirál v různých směrech;
• poměr délky ocasu a celého těla ještěrky;
• tvar vejce, pokud nakreslíte čáru podmíněně přes jeho širokou část;
• poměr velikosti prstů na ruce člověka.

A samozřejmě nejzajímavějšími tvary jsou spirálovité ulity hlemýžďů, vzory na pavučinách, pohyb větru uvnitř hurikánu, dvojitá šroubovice v DNA a struktura galaxií – to vše zahrnuje sekvenci Fibonacciho čísel .

Využití zlatého řezu v umění

Badatelé hledající příklady využití zlatého řezu v umění podrobně zkoumají různé architektonické objekty a obrazy. Známá jsou slavná sochařská díla, jejichž tvůrci se drželi zlatých proporcí - sochy Dia Olympského, Apollóna Belvedera a

Jeden z výtvorů Leonarda da Vinciho – „Portrét Mony Lisy“ – je již řadu let předmětem výzkumu vědců. Zjistili, že kompozice díla se skládá výhradně ze „zlatých trojúhelníků“ spojených dohromady, aby vytvořily pravidelný pětiúhelník-hvězda. Všechna da Vinciho díla jsou dokladem toho, jak hluboké byly jeho znalosti o stavbě a proporcích lidského těla, díky nimž dokázal zachytit neuvěřitelně tajemný úsměv La Giocondy.

Zlatý řez v architektuře

Vědci například studovali architektonická mistrovská díla vytvořená podle pravidel „zlatého řezu“: egyptské pyramidy, Pantheon, Parthenon, katedrála Notre Dame de Paris, katedrála Vasila Blaženého atd.

Parthenon, jedna z nejkrásnějších staveb starověkého Řecka (5. století př. n. l.), má 8 sloupů a 17 na různých stranách, poměr jeho výšky k délce stran je 0,618. Výstupky na jeho fasádách jsou vyrobeny podle "zlatého řezu" (foto níže).

Jedním z vědců, kteří vynalezli a úspěšně aplikovali vylepšení modulárního systému proporcí pro architektonické objekty (tzv. „modulátor“), byl francouzský architekt Le Corbusier. Modulátor je založen na měřicím systému spojeném s podmíněným rozdělením na části lidského těla.

Ruský architekt M. Kazakov, který postavil několik obytných budov v Moskvě, stejně jako budovy Senátu v Kremlu a Golitsynovy nemocnice (dnes 1. klinika pojmenovaná po NI Pirogovovi), byl jedním z architektů, kteří použili zákony v design a konstrukce o zlatém řezu.

Použití proporcí v designu

V oděvním designu všichni módní návrháři vytvářejí nové obrazy a modely, přičemž berou v úvahu proporce lidského těla a pravidla zlatého řezu, i když ze své podstaty ne všichni lidé mají ideální proporce.

Při plánování krajinného designu a vytváření objemových parkových kompozic pomocí rostlin (stromy a keře), fontán a malých architektonických objektů lze také uplatnit zákony "božských proporcí". Ostatně kompozice parku by měla být zaměřena na vytvoření dojmu na návštěvníka, který se v něm může volně pohybovat a nacházet kompoziční centrum.

Všechny prvky parku jsou v takových proporcích, že pomocí geometrické struktury, vzájemného uspořádání, osvětlení a světla působí na člověka harmonií a dokonalostí.

Aplikace zlatého řezu v kybernetice a inženýrství

Vzorce zlatého řezu a Fibonacciho čísel se také projevují v energetických přechodech, v procesech probíhajících s elementární částice tvořící chemické sloučeniny, v vesmírné systémy v genové struktuře DNA.

Podobné procesy probíhají v lidském těle a projevují se v biorytmech jeho života, v činnosti orgánů, například mozku nebo zraku.

Algoritmy a vzory zlatých proporcí jsou široce používány v moderní kybernetice a informatice. Jedním z jednoduchých úkolů, které dostávají začátečníci programátoři vyřešit, je napsat vzorec a určit součet Fibonacciho čísel do určitého čísla pomocí programovacích jazyků.

Moderní výzkum teorie zlatého řezu

Od poloviny 20. století prudce narůstá zájem o problémy a vliv vzorců zlatých proporcí na lidský život a ze strany mnoha vědců různých profesí: matematiků, etnistů, biologů, filozofů, lékařů dělníci, ekonomové, hudebníci atd.

Od 70. let 20. století vychází v USA časopis The Fibonacci Quarterly, kde vycházejí práce na toto téma. V tisku jsou díla, ve kterých jsou zobecněná pravidla zlatého řezu a Fibonacciho řady využívána v různých oblastech poznání. Například pro kódování informací, chemický výzkum, biologický atd.

To vše potvrzuje závěry starověkých i moderních vědců, že zlatý řez mnohostranně souvisí se zásadními otázkami vědy a projevuje se v symetrii mnoha výtvorů a jevů světa kolem nás.

Společně s nakladatelstvím "" vydáváme ukázku z knihy pana profesora aplikovaná matematika Edwarda Scheinermana „Příručka pro milovníky matematiky“, věnovaná nestandardním otázkám fascinující matematiky, hádanek, vesmíru čísel a čísel. Z angličtiny přeložil Alexey Ognev.

Tato kapitola vypráví o slavných Fibonacciho číslech: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 atd. Tato řada byla pojmenována po Leonardovi z Pisy, známějším jako Fibonacci. Leonardo z Pisy (1170–1250) - jeden z prvních velkých matematiků středověké Evropy. Fibonacciho přezdívka znamená „syn Bonacciho“. Autor "Knihy počítadla", stanovující desítkovou číselnou soustavu.

Čtverce a domino

Začněme skládáním čtverců a domino. Představte si dlouhý vodorovný rám o rozměrech 1 × 10. Chceme jej úplně zaplnit čtverečky 1 × 1 a 1 × 2 domino, aniž bychom nechali jedinou mezeru. Zde je obrázek:

Otázka zní: kolika způsoby to lze udělat?

Pro usnadnění označme počet možností jako F10. Procházet je všechny a pak je spočítat je dřina plná chyb. Mnohem lepší je úkol zjednodušit. Nezačněme hledat F10 hned od začátku, začněme F1. Je to stejně snadné jako loupání hrušek! Potřebujeme vyplnit rámeček 1 × 1 čtverečky 1 × 1 a domino 1 × 2. Domino se nevejde, zbývá jediné řešení: vzít jeden čtverec. Jinými slovy, F1 = 1.

Nyní se pojďme zabývat F2. Velikost rámečku 1 × 2. Můžete jej vyplnit dvěma čtverci nebo jednou dominou. Takže jsou dvě možnosti a F2 = 2.

Další: kolika způsoby můžete vyplnit rámeček 1 × 3? První možnost: tři čtverce. Dvě další možnosti: jedno domino (dvě se nevejdou) a čtverec vlevo nebo vpravo. Takže, F3 = 3. Ještě jeden krok: vezměte rámeček 1 × 4. Obrázek ukazuje všechny možnosti pro vyplnění:

Našli jsme pět příležitostí, ale kde je záruka, že jsme nic nepropásli? Existuje způsob, jak se otestovat. Na levém konci rámu může být buď čtverec, nebo domino. V horní řadě na obrázku - možnosti, když je vlevo čtverec, v dolní řadě - když je domino vlevo.

Řekněme, že vlevo je čtverec. Zbytek musí být vyplněn čtverci a domino. Jinými slovy, musíte vyplnit rámeček 1 × 3. Tím získáte 3 možnosti, protože F3 = 3. Pokud je vlevo domino, velikost zbývající části je 1 × 2 a můžete ji vyplnit dvě možnosti, protože F2 = 2.

Máme tedy 3 + 2 = 5 možností a ujistili jsme se, že F4 = 5.

Teď ty. Zamyslete se pár minut a najděte všechny možnosti výplně pro rám 1 × 5. Není jich mnoho. Řešení je na konci kapitoly. Můžete se rozptýlit a přemýšlet.

Vraťme se na naše náměstí. Rád bych věřil, že jste našli 8 možností, jelikož existuje 5 způsobů pokládky, kde je vlevo čtverec a další 3 způsoby, kde je vlevo domino. Takže F5 = 8.

Pojďme si to shrnout. FN označujeme počet způsobů, jak vyplnit rámeček 1 × n čtverečky a domino. Musíme najít F10. Zde je to, co již víme:

Posouvat se. Co je F6? Můžete nakreslit všechny možnosti, ale je to nuda. Raději rozdělíme otázku na dvě části. Kolika způsoby můžete vyplnit rámeček 1 × 6, pokud je vlevo (a) čtverec a (b) domino? Dobrá zpráva: už známe odpověď! V prvním případě nám zbyde pět čtverců a víme, že F5 = 8. Ve druhém případě potřebujeme vyplnit čtyři políčka; víme, že F4 = 5. Tedy F5 + F4 = 13.

Co je F7? Na základě stejných úvah je F7 = F6 + F5 = 13 + 8 = 21. A co F8? Je zřejmé, že F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. A tak dále. Zjistili jsme následující vztah: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Ještě pár kroků - a najdeme požadované číslo F10. Správná odpověď je na konci kapitoly.

Fibonacciho čísla

Fibonacciho čísla jsou posloupnost:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Je postaven podle následujících pravidel:

- první dvě čísla 1 a 1;

- každé další číslo se získá sečtením předchozích dvou.

N-tý prvek posloupnosti Fn označíme od nuly: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, ... Další prvek vypočítáme podle vzorce: Fn = Fn-1 + Fn-2 ...

Jak vidíme, problém skládání čtverců a domino nás přivedl k posloupnosti Fibonacciho čísel [ 1 ]V úloze čtverců a domino jsme zjistili: F1 = 1 a F2 = 2. Ale Fibonacciho čísla začínají F0 = 1. Jak to souhlasí s podmínkami úlohy? Kolika způsoby existuje zaplnění rámce 0 × 1 za stejných podmínek? Délka čtverce a délka domino, ať už se říká cokoliv, je větší než nula, takže existuje pokušení říci, že odpověď je nula, ale není tomu tak. Obdélník 0 × 1 je již vyplněn, nejsou zde žádné mezery; nepotřebujeme čtverec ani domino. Existuje tedy pouze jeden způsob akce: nebrat čtverce ani domino. Rozumíš? V tom případě vám blahopřeji. Máš duši matematika!

Součet Fibonacciho čísel

Zkusme sečíst prvních pár Fibonacciho čísel. Co můžeme říci o součtu F0 + F1 +… + Fn pro libovolné n? Udělejme nějaké výpočty a uvidíme, co se stane. Všimněte si výsledků sčítání níže. Vidíš nějaký vzor? Než budete pokračovat, počkejte chvíli: bude lepší, když najdete odpověď sami, než číst hotové řešení.

Doufejme, že jste viděli, že výsledky součtu, pokud k nim přičtete jedničku, se také seřadí v posloupnosti Fibonacciho čísel. Například sečtením čísel od F0 do F5 získáte: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1. Sečtením čísel od F0 do F6 získáte 33, který je menší než F8 = 34. Můžeme napsat vzorec pro nezáporná celá čísla n: F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. (*)

Pravděpodobně pro vás osobně bude stačit vidět, že vzorec [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1.... funguje tucetkrát, abyste uvěřili, že je to správné, ale matematici hladoví po důkazech. Jsme rádi, že vám můžeme předložit dva možné důkazy, že to platí pro všechna nezáporná celá čísla n.

První se nazývá důkaz indukcí, druhý se nazývá kombinatorický důkaz.

Důkaz indukcí

vzorec [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. je nekonečný počet vzorců ve sbalené formě. Dokázat to [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. platí pro konkrétní hodnotu n, řekněme pro n = 6 - jednoduchý aritmetický problém. Bude stačit zapsat čísla od F0 do F6 a sečíst je: F0 + F2 +… + F6 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33.

Je snadné vidět, že F8 = 34, takže vzorec funguje. Pojďme k F7. Neztrácejme čas sečtením všech čísel: součet do F6 už známe. Tedy (F0 + F1 +… + F6) + F7 = 33 + 21 = 54. Stejně jako předtím vše konverguje: F9 = 55.

Pokud nyní začneme kontrolovat, zda vzorec pro n = 8 funguje, konečně nám dojdou síly. Ale přesto se podívejme, co už víme a co chceme zjistit:

F0 + F1 +… + F7 = F9.

F0 + F1 +… + F7 + F7 =?

Použijme předchozí výsledek: (F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8.

Můžeme samozřejmě počítat (F9-1) + F8 aritmeticky. To nás ale unaví ještě víc. Zároveň víme, že F8 + F9 = F10. Nemusíme tedy nic počítat ani nahlížet do tabulky Fibonacciho čísel:

(F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.

Ujistili jsme se, že vzorec funguje pro n = 8 na základě toho, co jsme věděli o n = 7.

V případě n = 9 se stejným způsobem opíráme o výsledek pro n = 8 (přesvědčte se sami). Samozřejmě, když jsem dokázal, že [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. pro n si můžeme být jisti, že [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. platí také pro n + 1.

Jsme připraveni poskytnout úplný důkaz. Jak již bylo zmíněno, [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. je nekonečný počet vzorců pro všechny hodnoty n od nuly do nekonečna. Podívejme se, jak funguje důkaz.

Nejprve prokážeme [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. v nejjednodušším případě pro n = 0. Jednoduše zkontrolujeme, že F0 = F0 + 2 - 1. Protože F0 = 1 a F2 = 2, samozřejmě 1 = 2 - 1 a F0 = F2-1.

Dále nám stačí ukázat, že správnost vzorce pro jednu hodnotu n (řekněme n = k) automaticky znamená správnost pro n + 1 (v našem příkladu n = k + 1). Musíme jen předvést, jak to funguje „automaticky“. co musíme udělat?

Vezměte nějaké číslo k. Předpokládejme, že již víme, že F0 + F1 +… + Fk = Fk + 2–1. Hledáme hodnotu F0 + F1 +… + Fk + Fk + 1.

Již známe součet Fibonacciho čísel až do Fk, takže dostáváme:

(F0 + F1 +… + Fk) + Fk + 1 = (Fk + 2–1) + Fk + 1.

Pravá strana se rovná Fk + 2 - 1 + Fk + 1 a víme, čemu se rovná součet následujících Fibonacciho čísel:

Fk + 2–1 + Fk + 1 = (Fk + 2 + Fk + 1) - 1 = Fk + 3– 1

Dosadíme v naší rovnosti:

(F0 + F1 +… + Fk) + Fk + 1 = Fk + 3–1

Nyní vysvětlím, co jsme udělali. Pokud víme, že [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. je pravda, když sečteme čísla do Fk, pak [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. by měla být pravda, pokud přidáme Fk + 1.

Pojďme si to shrnout:

vzorec [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. platí pro n = 0.

Pokud vzorec [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. platí pro n, platí i pro n + 1.

Můžeme s jistotou říci, že [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. platí pro všechny hodnoty n. Je to pravda [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. pro n = 4987? To platí, pokud je výraz pravdivý pro n = 4986, což je založeno na správnosti výrazu pro n = 4985 a tak dále až do n = 0. Proto vzorec [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. platí pro všechny možné hodnoty. Tato metoda důkazu je známá jako matematická indukce (nebo důkaz indukcí)... Zkontrolujeme základní případ a dáme šablonu, pomocí které lze dokázat každý další případ na základě předchozího.

Kombinační důkaz

A tady je úplně jiný doklad totožnosti [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1.... Hlavním přístupem je zde využít skutečnosti, že Fn je počet způsobů, jak uzavřít obdélník 1 × n čtverci a domino.

Dovolte mi připomenout, že musíme dokázat:

F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2- 1. (*)

Cílem je zacházet s oběma stranami rovnice jako s řešením daného problému. Pokud prokážeme, že levá a pravá část- řešení pro stejný obdélník, budou se shodovat. Tato technika se nazývá kombinatorický důkaz [ 2 ]Slovo „kombinatorický“ je odvozeno od podstatného jména „kombinatorika“ – názvu oboru matematiky, jehož předmětem je počítání možností v úlohách podobných čelit obdélníku. Slovo „kombinatorika“ je zase odvozeno od slova „kombinace“..

K jaké otázce o kombinatorice je rovnice [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. dá dvě správné odpovědi? Tato hádanka je podobná těm, které najdete na Jeopardy Show! [ 3 ]Populární herní show v USA. Ekvivalenty Jeopardy! jít ven rozdílné země; v Rusku je to „vlastní hra“. - Cca. vyd. kde účastníci musí formulovat otázku a předem znát správnou odpověď.

Pravá strana vypadá jednodušeji, tak začneme s ní. Odpověď: Fn + 2– 1. Jaká je otázka? Pokud by odpověď byla jednoduše Fn + 2, snadno bychom formulovali otázku: kolika způsoby lze zapouzdřit obdélník 1 × (n + 2) pomocí čtverců a domino? To je téměř to, co potřebujete, ale odpověď je o jednu méně. Zkusme jemně změnit otázku a snížit odpověď. Odeberme jednu možnost opláštění a zbytek přepočítejme. Potíž spočívá v nalezení jedné možnosti, která se zásadně liší od ostatních. Existuje něco takového?

Každá metoda opláštění zahrnuje použití čtverců nebo domino. V jedné variaci jsou zapojeny pouze čtverce, ostatní mají alespoň jedno domino. Vezměme to jako základ pro novou otázku.

Otázka: Kolik čtverců a domino je dostupných pro 1 × (n + 2) obdélníkový rám, který obsahuje alespoň jedno domino?

Na tuto otázku nyní najdeme dvě odpovědi. Protože obojí bude správné, můžeme s jistotou vložit mezi čísla rovnítko.

Jednu z odpovědí jsme již probrali. K dispozici jsou možnosti stylu Fn + 2. Pouze jeden z nich zahrnuje výhradně použití čtverců bez domino. Odpověď č. 1 na naši otázku tedy zní: Fn + 2–1.

Druhá odpověď by měla být - doufám - levá strana rovnice [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1.... Podívejme se, jak to funguje.

Je nutné přepočítat možnosti vyplnění rámečku, které zahrnují alespoň jedno domino. Zamysleme se nad tím, kde se bude nacházet úplně první kloub. Existuje n + 2 pozic a první dlaždice může být umístěna na pozicích od 1 do n + 1.

Uvažujme případ n = 4. Hledáme varianty vyplnění políčka 1 × 6, které zahrnují alespoň jedno domino. Známe odpověď: F6 - 1 = 13 - 1 = 12, ale musíme ji získat jiným způsobem.

První díl domino může obsadit následující pozice:

První sloupec ukazuje případ, kdy je kloub v první poloze, druhý, když je kloub v druhé atd.

Kolik možností je v každém sloupci?

První sloupec obsahuje pět možností. Pokud odhodíme domino vlevo, dostaneme přesně F4 = 5 možností pro obdélník 1 × 4. Druhý sloupec obsahuje tři možnosti. Odhoďte domino a čtverec doleva. Dostaneme F3 = 3 možnosti pro obdélník 1 × 3. Podobně pro ostatní sloupce. Zde je to, co jsme našli:

Počet způsobů, jak obložit obdélníkový rám 1 × 6 se čtverci a domino (alespoň s jedním kloubem), je tedy F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12.

Závěr: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 = 12 = F6-1.

Zvažte obecný případ. Dostaneme rám o délce n + 2. Kolik variant jeho vyplnění existuje, pro které je první díl domina na určité pozici k? V tomto případě je prvních k - 1 pozic obsazeno čtverci. Celkem je tedy obsazeno k + 1 pozic [ 4 ]Číslo k může nabývat hodnot od 1 do n + 1, ale ne více, protože jinak bude poslední domino trčet z rámečku.... Zbývající (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1 lze vyplnit libovolným způsobem. To dává možnosti Fn-k + 1. Pojďme sestavit diagram:

Pokud se k změní z 1 na n + 1, změní se hodnota n - k + 1 z 0 na n. Počet možností pro vyplnění našeho rámečku pomocí alespoň jedné domino dlaždice je tedy Fn + Fn-1 +… + F1 + F0.

Pokud dáme pojmy v opačném pořadí, dostaneme levou stranu výrazu (*). Našli jsme tedy druhou odpověď na položenou otázku: F0 + F1 +… + Fn.

Na otázku tedy máme dvě odpovědi. Hodnoty získané pomocí dvou námi odvozených vzorců se shodují a identita [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. osvědčený.

Fibonacciho poměr a zlatý řez

Sečtením dvou po sobě jdoucích Fibonacciho čísel vznikne další Fibonacciho číslo. V této části se dotkneme zajímavější otázky: co se stane, když vydělíme Fibonacciho číslo tím, které mu v řadě předchází? Vypočítejme poměr Fk1. Pro rostoucí hodnoty k.

V tabulce můžete vidět poměry od F1 / F0 do F20 / 19.

Čím větší jsou Fibonacciho čísla, tím blíže je poměr Fk + 1 / Fk konstantě přibližně rovné 1,61803. Toto číslo je – budete překvapeni – natolik známé, že pokud jej zadáte vyhledávač, vypadne spousta stránek o zlatém řezu. co to je Poměr sousedních Fibonacciho čísel není stejný. Je to však téměř stejné, pokud jsou čísla dostatečně velká. Najdeme vzorec pro číslo 1,61803 a budeme proto chvíli předpokládat, že všechny poměry jsou stejné. Představme si označení x:

x = Fk + 1 / Fk = / Fk + 2 / Fk + 1 = Fk + 3 / Fk + 2 =…

To znamená, že Fk + 1 = xFk, Fk + 2 = xFk + 1 atd. Můžeme přeformulovat:

Fk + 2 = xFk + 1 = x2> Fk.

Ale víme, že Fk + 2 = Fk + 1 + Fk. Tedy x2> FkFk = xFk + Fk.

Pokud obě strany vydělíme Fk a uspořádáme členy, dostaneme kvadratická rovnice: x2-x-1 = 0. Má dvě řešení:

Poměr musí být kladný. A tak jsme dostali známé číslo. Obvykle se k označení zlatého řezu používá řecké písmeno φ (phi):

Již jsme si všimli, že poměr sousedních Fibonacciho čísel se blíží (má tendenci) k φ. To je úžasné. To nám dává další způsob, jak vypočítat přibližné hodnoty Fibonacciho čísel. Posloupnost Fibonacciho čísel je řada F0 F1, F2, F3, F4, F5 ... Pokud jsou všechny poměry Fk + 1 / Fk stejné, dostaneme vzorec:

Tady s je další konstanta. Porovnejme zaokrouhlené hodnoty Fn a φn pro různé n:

Pro velké hodnoty n je poměr Fn / φn≈0,723607. Toto číslo je přesně φ / odmocnina5. Jinými slovy,

Všimněte si, že pokud zaokrouhlíme na nejbližší celé číslo, dostaneme přesně Fn.

Pokud se nechcete obtěžovat zaokrouhlováním na celé číslo, pak vzorec pojmenovaný po Jacquesu Binetovi [ 5 ]Jacques Binet (1786–1856) byl francouzský matematik, mechanik a astronom. Vzorec pro Fibonacciho čísla je pojmenován po Binetovi, ačkoli jej odvodil Abraham de Moivre (1667–1754) téměř o sto let dříve. - Cca. za., vám dá přesnou hodnotu:

Výplň rámu 1×5

Náš rám lze vyplnit čtverci a domino následujícími způsoby:

Existuje F4 = 5 možností, když je na začátku čtverec, a F3 = 3 možnosti, když je na začátku domino. Celkem to dává F5 = F4 + F3 = 8 možností.

Hodnota F10(odpověď na další otázku týkající se uložení) je 89.

Dobrý den, milí čtenáři!

Zlatý řez - co to je? Fibonacciho čísla jsou? Článek obsahuje odpovědi na tyto otázky stručně a srozumitelně, jednoduchými slovy.

Tyto otázky vzrušují mysl stále více generací již několik tisíciletí! Ukazuje se, že matematika nemusí být nudná, ale napínavá, zajímavá, uhrančivá!

Další užitečné články:

Fibonacciho čísla - co to je?

Úžasným faktem je, že při dělení každého následujícího čísla číselné sekvence předchozím získá se číslo směřující k 1,618.

Objevil tuto záhadnou sekvenci tím šťastným středověký matematik Leonardo z Pisy (známější jako Fibonacci)... Před ním Leonardo da Vinci objevil ve stavbě těla lidí, rostlin a zvířat překvapivě se opakující podíl Phi = 1,618... Toto číslo (1,61) vědci nazývají také „Boží číslo“.

Před Leonardem da Vincim byla tato posloupnost čísel známá v Starověká Indie a starověký Egypt... Egyptské pyramidy jsou stavěny pomocí proporcí Phi = 1,618.

Ale to není všechno, jak se ukázalo přírodní zákony Země a vesmíru nějak nevysvětlitelně dodržovat přísné matematické zákony Fidonacciho číselné řady.

Například skořápka na Zemi i galaxie ve vesmíru jsou postaveny pomocí Fibonacciho čísel. Naprostá většina květů má 5, 8, 13 okvětních lístků. Ve slunečnici, na stoncích rostlin, ve vířících vírech mraků, ve vírech a dokonce i v grafech směnných kurzů na Forexu fungují Fibonacciho čísla všude.

Podívejte se na jednoduché a zábavné vysvětlení toho, co je Fibonacciho sekvence a zlatý řez, v tomto KRÁTKÉM VIDEU (6 minut):

Co je to zlatý poměr nebo božská proporce?

Co je tedy zlatý poměr nebo zlatý nebo božský poměr? Fibonacci také zjistil, že sekvence, která se skládá z druhých mocnin Fibonacciho čísel je ještě větší záhada. Zkusme to graficky znázorněte sekvenci ve formě oblasti:

1², 2², 3², 5², 8² ...

Pokud vepíšete spirálu grafický obrázek posloupnost čtverců Fibonacciho čísel, pak dostaneme Zlatý řez, podle jehož pravidel je postaveno vše ve vesmíru, včetně rostlin, zvířat, spirály DNA, lidského těla,... V tomto výčtu lze pokračovat donekonečna.

Zlatý řez a Fibonacciho čísla v přírodě VIDEO

Doporučuji zhlédnout krátký film (7 minut), který odhaluje některá tajemství Zlatého řezu. Když přemýšlíme o zákonu Fibonacciho čísel, jako o primárním zákonu, který řídí bydlení a neživá příroda, nabízí se otázka: Vznikl tento ideální vzorec pro makrokosmos a mikrokosmos sám od sebe nebo byl někým vytvořen a úspěšně aplikován?

Co si o tom myslíš? Pojďme se nad touto hádankou společně zamyslet a možná se k ní přiblížíme.

Opravdu doufám, že pro vás byl článek užitečný a zjistili jste to co je zlatý poměr * a Fibonacciho čísla? Než se znovu setkáme na stránkách blogu, přihlaste se k odběru blogu. Přihlašovací formulář je pod článkem.

Přeji všem hodně nových nápadů a inspirace k jejich realizaci!

Pojďme zjistit, co je společné mezi staroegyptskými pyramidami, obrazem Leonarda da Vinciho „Mona Lisa“, slunečnice, šnek, šiška a lidské prsty?

Odpověď na tuto otázku se skrývá v úžasných číslech, která byla objevena italský matematik středověku Leonardo z Pisy, známější pod jménem Fibonacci (narozen kolem roku 1170 - zemřel po roce 1228), italský matematik ... Cestou po Východě jsem se seznámil s výdobytky arabské matematiky; přispěl k jejich přesunu na Západ.

Po jeho objevení se tato čísla začala nazývat jménem slavný matematik... Úžasná podstata Fibonacciho sekvence je že každé číslo v této posloupnosti je získáno ze součtu dvou předchozích čísel.

Takže čísla tvořící posloupnost:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

se nazývají „Fibonacciho čísla“ a samotná posloupnost se nazývá Fibonacciho posloupnost.

Ve Fibonacciho číslech je jedna velmi zajímavá vlastnost. Při dělení libovolného čísla z posloupnosti číslem před ním v řádku bude výsledkem vždy hodnota, která kolísá kolem iracionální hodnoty 1,61803398875 ... a časem buď stoupá, nebo jí nedosáhne. (Poznámka: iracionální číslo, tj. číslo, jehož desítkové zobrazení je nekonečné a není periodické)

Navíc po 13. v pořadí se tento výsledek dělení stane konstantní na dobu neurčitou ... Právě tento stálý počet divizí ve středověku byl tzv Božská proporce, a v dnešní době je označován jako zlatý řez, zlatá střední cesta nebo zlatý poměr ... V algebře se toto číslo označuje řeckým písmenem phi (Ф)

Tak, Zlatá proporce = 1: 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Lidské tělo a zlatý řez

Umělci, vědci, módní návrháři, návrháři dělají své výpočty, kresby nebo náčrty na základě poměru zlatého řezu. Využívají měření z lidského těla, vytvořené rovněž podle principu zlatého řezu. Leonardo Da Vinci a Le Corbusier před vytvořením svých mistrovských děl převzali parametry lidského těla vytvořeného podle zákona zlatého řezu.

Nejvíc hlavní kniha ze všech moderních architektů obsahuje referenční kniha E. Neuferta „Building Design“ základní výpočty parametrů lidského těla, obsahující zlatý podíl.

Proporce jednotlivých částí našeho těla tvoří číslo velmi blízké zlatému řezu. Pokud se tyto proporce shodují se vzorcem zlatého řezu, pak je vzhled nebo tělo osoby považováno za dokonale složené. Princip výpočtu zlaté míry na lidském těle lze znázornit jako diagram:

M/m = 1,618

První příklad zlatého řezu ve struktuře lidského těla:
Vezmeme-li bod pupku jako střed lidského těla a vzdálenost mezi nohama člověka a bodem pupku jako jednotku měření, pak se výška osoby rovná 1,618.

Kromě toho existuje několik dalších základních zlatých proporcí našeho těla:

* vzdálenost od konečků prstů k zápěstí k lokti je 1: 1,618;

* vzdálenost od úrovně ramen k temeni hlavy a velikost hlavy je 1: 1,618;

* vzdálenost od bodu pupku k temeni hlavy a od úrovně ramen k temeni hlavy je 1: 1,618;

* vzdálenost pupku ke kolenům a od kolen k chodidlům je 1: 1,618;

* vzdálenost od špičky brady ke špičce horního rtu a od špičky horního rtu k nosním dírkám je 1: 1,618;

* vzdálenost od špičky brady k horní linii obočí a od horní linie obočí k temeni je 1: 1,618;

* vzdálenost od špičky brady k horní linii obočí a od horní linie obočí ke koruně je 1: 1,618:

Zlatý řez v rysech lidského obličeje jako kritérium dokonalé krásy.

Ve struktuře rysů lidského obličeje existuje také mnoho příkladů, které se blíží hodnotě vzorce zlatého řezu. Nespěchejte však hned za pravítkem, abyste změřili obličeje všech lidí. Protože přesné korespondence se zlatým řezem podle vědců a umělců, umělců a sochařů existují pouze u lidí s dokonalou krásou. Ve skutečnosti je přesná přítomnost zlatého řezu v lidské tváři ideálem krásy pro lidské oko.

Pokud například sečteme šířku dvou předních horních zubů a vydělíme toto množství výškou zubů, pak po obdržení čísla zlatého poměru lze tvrdit, že struktura těchto zubů je ideální.

Na lidské tváři jsou další inkarnace pravidla zlatého řezu. Zde jsou některé z těchto vztahů:

* Výška obličeje / šířka obličeje;

* Středový bod spojení rtů se základnou nosu / délka nosu;

* Výška obličeje / vzdálenost od špičky brady ke středovému bodu spojení rtů;

* Šířka úst / šířka nosu;

* Šířka nosu / vzdálenost mezi nosními dírkami;

* Vzdálenost mezi zorničkami / vzdálenost mezi obočím.

Lidská ruka

Stačí nyní přiblížit dlaň k sobě a pozorně se podívat na ukazováček a hned v něm najdete vzorec zlatého řezu. Každý prst naší ruky se skládá ze tří falangů.

* Součet prvních dvou článků prstu ve vztahu k celé délce prstu a dává číslo zlatého řezu (kromě palce);

* Navíc poměr mezi prostředníčkem a malíčkem je také roven zlatému řezu;

* Člověk má 2 ruce, prsty na každé ruce se skládají ze 3 falangů (kromě palce). Každá ruka má 5 prstů, tedy celkem 10, ale s výjimkou dvou bifalangeálních palců je vytvořeno pouze 8 prstů podle principu zlatého řezu. Zatímco všechna tato čísla 2, 3, 5 a 8 jsou čísla Fibonacciho posloupnosti:

Zlatý podíl ve struktuře lidských plic

Americký fyzik B.D. West a Dr. A.L. Goldberger během fyzikálních a anatomických studií zjistil, že zlatý řez existuje i ve struktuře lidských plic.

Zvláštnost průdušek, které tvoří lidské plíce, spočívá v jejich asymetrii. Průdušky jsou tvořeny dvěma hlavními dýchacími cestami, z nichž jedna (levá) je delší a druhá (pravá) je kratší.

* Bylo zjištěno, že tato asymetrie pokračuje ve větvích průdušek, ve všech menších dýchacích cestách. Navíc poměr délky krátkých a dlouhých průdušek také tvoří zlatý řez a je roven 1: 1,618.

Struktura zlatého ortogonálního čtyřúhelníku a spirály

Zlatý řez je takové proporční rozdělení segmentu na nestejné části, kdy celý segment odkazuje na větší část stejně, jako větší část sama odkazuje na menší; nebo jinými slovy, menší segment se vztahuje k většímu jako větší ke všemu.

V geometrii se obdélník s tímto poměrem stran začal nazývat zlatý obdélník. Jeho dlouhé strany jsou srovnatelné s krátkými v poměru 1,168:1.

Zlatý obdélník má také mnoho úžasné vlastnosti... Zlatý obdélník má mnoho neobvyklých vlastností. Odříznutím čtverce ze zlatého obdélníku, jehož strana se rovná menší straně obdélníku, získáme opět menší zlatý obdélník. Tento proces může pokračovat neomezeně dlouho. Jak budeme pokračovat ve vykrajování čtverečků, vzniknou nám stále menší zlaté obdélníky. Navíc budou umístěny podél logaritmické spirály, což je důležité v matematických modelech přírodních objektů (například ulity šneků).

Spirálová tyč leží v průsečíku úhlopříček počátečního obdélníku a prvního svislého řezu, který má být řezán. Navíc úhlopříčky všech následujících klesajících zlatých obdélníků leží na těchto úhlopříčkách. Samozřejmě nechybí ani zlatý trojúhelník.

Anglický designér a estetik William Charlton uvedl, že lidé považují spirálové tvary za příjemné pro oči a používají je po tisíciletí a vysvětlil to takto:

"Líbí se nám vzhled spirály, protože ji vizuálně snadno vidíme."

V přírodě

* Pravidlo zlatého řezu, které je základem struktury spirály, nacházíme v přírodě velmi často ve výtvorech, které jsou krásou nesrovnatelné. Nejživější příklady - spirálovitý tvar lze vidět v uspořádání slunečnicových semen a šišek, ananasů, kaktusů, struktury okvětních lístků růží atd .;

* Botanici zjistili, že v uspořádání listů na větvi, slunečnicových semenech nebo borových šiškách se jasně projevuje Fibonacciho řada, a proto se projevuje zákon zlatého řezu;

Nejvyšší Pán stanovil zvláštní míru a přiměřenost pro každé své stvoření, což potvrzují příklady v přírodě. Lze uvést mnoho příkladů, kdy proces růstu živých organismů probíhá v přísném souladu s tvarem logaritmické spirály.

Všechny pružiny v cívce mají stejný tvar. Matematici zjistili, že i při zvětšení velikosti pružin zůstává tvar spirály nezměněn. V matematice neexistuje žádná jiná forma, která by měla stejné jedinečné vlastnosti jako spirála.

Struktura mořských mušlí

Vědci, kteří studovali vnitřní a vnější struktura lastury měkkýšů s měkkým tělem žijících na dně moří, uváděli:

„Vnitřní povrch skořápek je dokonale hladký, zatímco vnější povrch je pokryt drsností a nepravidelnostmi. Měkkýš byl ve skořápce, a proto musel být vnitřní povrch skořápky dokonale hladký. Vnější rohy-ohyby skořepiny zvyšují její pevnost, tvrdost a tím zvyšují její pevnost. Dokonalost a úžasná inteligence struktury ulity (šneka) je úžasná. Spirálová myšlenka skořápek je dokonalý geometrický tvar a je ohromující svou naleštěnou krásou."

U většiny hlemýžďů, kteří mají ulity, roste ulita v logaritmické spirále. Není však pochyb o tom, že tito nerozumní tvorové nemají ponětí nejen o logaritmické spirále, ale nemají ani ty nejjednodušší matematické znalosti, aby si pro sebe vytvořili spirální skořápku.

Ale jak by si pak tyto nerozumné bytosti mohly samy určit a vybrat si ideální formu růstu a existence v podobě spirálovité skořápky? Dokázali by tito živí tvorové, kterým svět vědců říká primitivní formy života, spočítat, že logaritmická forma skořápky by byla pro jejich existenci ideální?

Samozřejmě ne, protože takový plán nelze realizovat bez přítomnosti rozumu a znalostí. Ale ani primitivní měkkýši, ani nevědomá příroda nemají takovou inteligenci, kterou však někteří vědci nazývají tvůrcem života na Zemi (?!)

Snažit se vysvětlit vznik takové i nejprimitivnější formy života náhodnou shodou určitých přírodních okolností je přinejmenším absurdní. Je jasné, že tento projekt je vědomým výtvorem.

Biolog Sir D'arkey Thompson nazývá tento typ růstu mořských lastur "Růstová forma skřítků."

Sir Thompson uvádí následující komentář:

„Neexistuje jednodušší systém než růst mušlí, které rostou a rozšiřují se úměrně, přičemž si zachovávají stejný tvar. Skořápka překvapivě roste, ale nikdy nemění tvar."

Nautilus o průměru pár centimetrů je nejvíce expresivní příklad gnome typ růstu. S. Morrison popisuje tento proces růstu nautila následujícím způsobem, který je poměrně obtížné plánovat i s lidskou myslí:

„Uvnitř ulity nautila je mnoho přihrádek – místností s perleťovými přepážkami a samotná skořepina uvnitř je spirála rozšiřující se ze středu. Jak nautilus roste, vyrůstá v přední části lastury další místnost, ale již větší než ta předchozí, a příčky místnosti, které po ní zůstaly, jsou pokryty vrstvou perleti. Spirála se tak neustále úměrně rozšiřuje."

Zde jsou jen některé typy spirálových skořápek s logaritmickým růstem v souladu s jejich vědeckými názvy:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Všechny objevené fosilní zbytky lastur měly také rozvinutý spirálovitý tvar.

Logaritmická forma růstu se však v živočišné říši nevyskytuje pouze u měkkýšů. Rohy antilop, divokých koz, beranů a dalších podobných zvířat se také vyvíjejí ve tvaru spirály podle zákonů zlatého řezu.

Zlatý řez v lidském uchu

Ve vnitřním uchu člověka je orgán zvaný Cochlea ("šnek"), který plní funkci přenosu zvukových vibrací. Tato kostěná struktura je naplněna tekutinou a je také vytvořena ve formě hlemýždě, obsahující stabilní logaritmický spirálový tvar = 73º 43 '.

Rohy a kly zvířat se vyvíjejí ve tvaru spirály

Kly slonů a vyhynulých mamutů, drápy lvů a zobáky papoušků jsou logaritmické a připomínají tvar osy, která má tendenci se stáčet do spirály. Pavouci vždy spřádají své sítě v logaritmické spirále. Struktura mikroorganismů, jako je plankton (species globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae a trochida), má rovněž spirálovitý tvar.

Zlatý řez ve struktuře mikrosvětů

Geometrické tvary se neomezují pouze na trojúhelníky, čtverce, pětiúhelníky nebo šestiúhelníky. Propojíme-li tyto obrazce různými způsoby mezi sebou, dostaneme nové trojrozměrné geometrické obrazce... Příkladem toho jsou tvary jako krychle nebo pyramida. Kromě nich však existují i ​​další trojrozměrné postavy, se kterými jsme se nemuseli setkat Každodenní život, a jejichž jména slyšíme snad poprvé. Tyto trojrozměrné obrazce zahrnují čtyřstěn (pravidelný čtyřstěnný obrazec), osmistěn, dvanáctistěn, dvacetistěn atd. Dvanáctstěn se skládá z 13 pětiúhelníků, dvacetistěn z 20 trojúhelníků. Matematici poznamenávají, že tyto údaje jsou matematicky velmi snadno transformovatelné a jejich transformace probíhá v souladu se vzorcem pro logaritmickou spirálu zlatého řezu.

V mikrokosmu jsou všude rozšířené trojrozměrné logaritmické formy postavené podle zlatých proporcí. ... Například mnoho virů má trojrozměrný geometrický tvar dvacetistěn. Snad nejznámějším z těchto virů je virus Adeno. Proteinový obal adenoviru je tvořen 252 jednotkami proteinových buněk uspořádaných ve specifické sekvenci. V každém rohu dvacetistěnu je 12 jednotek proteinových buněk ve formě pětiúhelníkového hranolu a z těchto rohů vybíhají hrotovité struktury.

Poprvé byl zlatý řez ve struktuře virů objeven v 50. letech 20. století. vědci z London Birkbeck College A. Klug a D. Kaspar. 13 Polyo virus byl první, který se objevil v logaritmické formě. Bylo zjištěno, že forma tohoto viru je podobná jako u viru Rhino 14.

Nabízí se otázka, jak viry tvoří tak složité trojrozměrné formy, jejichž struktura obsahuje zlatý řez, který i naše lidská mysl dokáže sestrojit poměrně obtížně? Objevitel těchto forem virů, virolog A. Klug, uvádí následující komentář:

„Doktor Kaspar a já jsme ukázali, že pro sférický obal viru je nejoptimálnějším tvarem symetrie, jako je tvar dvacetistěnu. Toto uspořádání minimalizuje počet spojovacích prvků ... Většina geodetických polokulových krychlí Buckminster Fuller je postavena na podobném geometrickém principu. 14 Instalace takových kostek vyžaduje extrémně přesné a podrobné vysvětlující schéma. Zatímco nevědomé viry samy vytvářejí tak složitou skořápku elastických, flexibilních proteinových buněčných jednotek."