Hogyan találjuk meg az egyenlő szárú háromszög alapját a kerület ismeretében. A háromszög kerülete és területe. kerületi képlet

Előzetes információ

Bármely síkon lévő sík geometriai alakzat kerülete az összes oldala hosszának összege. Ez alól a háromszög sem kivétel. Először megadjuk a háromszög fogalmát, valamint az oldalaktól függően a háromszögek típusait.

1. definíció

A háromszög egy geometriai alakzat, amely három szakaszokkal összekapcsolt pontból áll (1. ábra).

2. definíció

Az 1. definíció keretein belüli pontokat a háromszög csúcsainak nevezzük.

3. definíció

Az 1. definíció keretein belüli szakaszokat a háromszög oldalainak nevezzük.

Nyilvánvaló, hogy minden háromszögnek 3 csúcsa és három oldala van.

Az oldalak egymáshoz viszonyított arányától függően a háromszögeket sokoldalúra, egyenlőszárúra és egyenlő oldalúra osztják.

4. definíció

Egy háromszöget sokoldalúnak nevezünk, ha egyik oldala sem egyenlő a másikkal.

5. definíció

Egy háromszöget egyenlő szárúnak nevezünk, ha két oldala egyenlő egymással, de nem egyenlő a harmadik oldallal.

6. definíció

Egy háromszöget egyenlő oldalúnak nevezünk, ha minden oldala egyenlő egymással.

Ezen háromszögek összes típusát láthatja a 2. ábrán.

Hogyan találjuk meg a többoldalú háromszög kerületét?

Adjunk meg egy sokoldalú háromszöget, amelynek oldalhossza $ α $, $ β $ és $ γ $ lesz.

Következtetés: Egy sokoldalú háromszög kerületének meghatározásához adja össze az oldalak hosszát.

1. példa

Keresse meg egy sokoldalú háromszög kerületét, amely egyenlő: $ 34 $ cm, $ 12 $ cm és $ 11 $ cm.

$ P = 34 + 12 + 11 = 57 $ cm

Válasz: $ 57 $ lásd.

2. példa

Keresse meg a kerületet derékszögű háromszög, akinek a lába 6 $ és 8 $ cm.

Először a Pitagorasz-tétel alapján keressük meg ennek a háromszögnek a befogóinak hosszát. Ekkor $ α $-val jelöljük

$ α = 10 $ A sokoldalú háromszög kerületének kiszámításának szabályával azt kapjuk, hogy

$ P = 10 + 8 + 6 = 24 $ cm

Válasz: $ 24 $ lásd.

Hogyan találjuk meg az egyenlő szárú háromszög kerületét?

Adjunk meg egy egyenlő szárú háromszöget, amelyben az oldalak hossza egyenlő $ α $, az alap hossza pedig egyenlő $ β $.

A lakás kerületének meghatározása szerint geometriai alakzat, ezt értjük

$ P = α + α + β = 2α + β $

Következtetés: A kerület megtalálásához egyenlő szárú háromszög oldalainak megkétszerezett hosszát hozzá kell adni az alapja hosszához.

3. példa

Határozzuk meg egy egyenlő szárú háromszög kerületét, ha az oldalai $ 12 $ cm, az alapja pedig $ 11 $ cm.

A fenti példa szerint azt látjuk

$ P = 2 \ cdot 12 + 11 = 35 $ cm

Válasz: $ 35 $ lásd.

4. példa

Határozzuk meg egy egyenlő szárú háromszög kerületét, ha a magassága az alaphoz húzva $ 8 $ cm, az alapja pedig $ 12 $ cm.

Tekintsünk egy ábrát a probléma állapotának megfelelően:

Mivel a háromszög egyenlő szárú, ezért $ BD $ a medián is, ezért $ AD = 6 $ cm.

A Pitagorasz-tétel alapján a $ ADB $ háromszögből megtaláljuk az oldalt. Ekkor $ α $-val jelöljük

Az egyenlő szárú háromszög kerületének kiszámítására vonatkozó szabály szerint azt kapjuk

$ P = 2 \ cdot 10 + 12 = 32 $ cm

Válasz: $ 32 $ lásd.

Hogyan találjuk meg az egyenlő oldalú háromszög kerületét?

Adjunk egy egyenlő oldalú háromszöget, amelyben az összes oldal hossza megegyezik $ α $.

Egy lapos geometriai alakzat kerületének meghatározása alapján azt kapjuk, hogy

$ P = α + α + α = 3α $

Következtetés: A kerület megtalálásához egyenlő oldalú háromszög a háromszög oldalának hosszát meg kell szorozni 3 dollárral.

5. példa

Határozzuk meg egy egyenlő oldalú háromszög kerületét, ha az oldala $ 12 $ cm.

A fenti példa szerint azt látjuk

$ P = 3 \ cdot 12 = 36 $ cm

Háromszög kerülete, mint minden más szám, az összes oldal hosszának összege. Ez az érték gyakran segít a terület megtalálásában, vagy az ábra egyéb paramétereinek kiszámítására szolgál.
A háromszög kerületének képlete így néz ki:

Példa a háromszög kerületének kiszámítására. Legyen adott egy háromszög, amelynek oldalai a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Az adatokat behelyettesítjük a képletbe: cm

Kerület számítási képlete egyenlő szárú háromszögígy fog kinézni:

Kerület számítási képlete egyenlő oldalú háromszög:

Példa egyenlő oldalú háromszög kerületének kiszámítására. Ha az ábra minden oldala egyenlő, akkor egyszerűen meg lehet szorozni hárommal. Tegyük fel, hogy kapsz egy Ozette-háromszöget, amelynek oldala 5 cm ebben az esetben: cm

Általában, ha minden oldal adott, a kerületet meglehetősen könnyű megtalálni. Más esetekben meg kell találni a hiányzó oldal méretét. Egy derékszögű háromszögben megtalálhatja a harmadik oldalt Pitagorasz tétel... Például, ha a lábak hossza ismert, akkor a hipotenuszt a következő képlettel találhatja meg:

Vegyünk egy példát egy egyenlő szárú háromszög kerületének kiszámítására, feltéve, hogy ismerjük a derékszögű egyenlő szárú háromszög lábainak hosszát.
Adott egy a = b = 5 cm lábakkal rendelkező háromszög. Határozza meg a kerületét! Először is keressük meg a hiányzó oldalt. cm
Most számoljuk ki a kerületet: cm
Egy derékszögű egyenlő szárú háromszög kerülete 17 cm lesz.

Abban az esetben, ha ismert az egyik láb hipotenusza és hossza, a hiányzót a következő képlet segítségével találhatja meg:
Ha egy derékszögű háromszögben ismert a befogó és az egyik hegyesszög, akkor a hiányzó oldalt a képlet találja meg.

Előzetes információ

Bármely síkon lévő sík geometriai alakzat kerülete az összes oldala hosszának összege. Ez alól a háromszög sem kivétel. Először megadjuk a háromszög fogalmát, valamint az oldalaktól függően a háromszögek típusait.

1. definíció

A háromszög egy geometriai alakzat, amely három szakaszokkal összekapcsolt pontból áll (1. ábra).

2. definíció

Az 1. definíció keretein belüli pontokat a háromszög csúcsainak nevezzük.

3. definíció

Az 1. definíció keretein belüli szakaszokat a háromszög oldalainak nevezzük.

Nyilvánvaló, hogy minden háromszögnek 3 csúcsa és három oldala van.

Az oldalak egymáshoz viszonyított arányától függően a háromszögeket sokoldalúra, egyenlőszárúra és egyenlő oldalúra osztják.

4. definíció

Egy háromszöget sokoldalúnak nevezünk, ha egyik oldala sem egyenlő a másikkal.

5. definíció

Egy háromszöget egyenlő szárúnak nevezünk, ha két oldala egyenlő egymással, de nem egyenlő a harmadik oldallal.

6. definíció

Egy háromszöget egyenlő oldalúnak nevezünk, ha minden oldala egyenlő egymással.

Ezen háromszögek összes típusát láthatja a 2. ábrán.

Hogyan találjuk meg a többoldalú háromszög kerületét?

Adjunk meg egy sokoldalú háromszöget, amelynek oldalhossza $ α $, $ β $ és $ γ $ lesz.

Következtetés: Egy sokoldalú háromszög kerületének meghatározásához adja össze az oldalak hosszát.

1. példa

Keresse meg egy sokoldalú háromszög kerületét, amely egyenlő: $ 34 $ cm, $ 12 $ cm és $ 11 $ cm.

$ P = 34 + 12 + 11 = 57 $ cm

Válasz: $ 57 $ lásd.

2. példa

Keresse meg egy derékszögű háromszög kerületét, amelynek lábai egyenlők $ 6 $ és $ 8 $ cm.

Először a Pitagorasz-tétel alapján keressük meg ennek a háromszögnek a befogóinak hosszát. Ekkor $ α $-val jelöljük

$ α = 10 $ A sokoldalú háromszög kerületének kiszámításának szabályával azt kapjuk, hogy

$ P = 10 + 8 + 6 = 24 $ cm

Válasz: $ 24 $ lásd.

Hogyan találjuk meg az egyenlő szárú háromszög kerületét?

Adjunk meg egy egyenlő szárú háromszöget, amelyben az oldalak hossza egyenlő $ α $, az alap hossza pedig egyenlő $ β $.

Egy lapos geometriai alakzat kerületének meghatározása alapján azt kapjuk, hogy

$ P = α + α + β = 2α + β $

Következtetés: Egy egyenlő szárú háromszög kerületének meghatározásához adjuk hozzá az oldalai megkétszerezett hosszát az alapja hosszához.

3. példa

Határozzuk meg egy egyenlő szárú háromszög kerületét, ha az oldalai $ 12 $ cm, az alapja pedig $ 11 $ cm.

A fenti példa szerint azt látjuk

$ P = 2 \ cdot 12 + 11 = 35 $ cm

Válasz: $ 35 $ lásd.

4. példa

Határozzuk meg egy egyenlő szárú háromszög kerületét, ha a magassága az alaphoz húzva $ 8 $ cm, az alapja pedig $ 12 $ cm.

Tekintsünk egy ábrát a probléma állapotának megfelelően:

Mivel a háromszög egyenlő szárú, ezért $ BD $ a medián is, ezért $ AD = 6 $ cm.

A Pitagorasz-tétel alapján a $ ADB $ háromszögből megtaláljuk az oldalt. Ekkor $ α $-val jelöljük

Az egyenlő szárú háromszög kerületének kiszámítására vonatkozó szabály szerint azt kapjuk

$ P = 2 \ cdot 10 + 12 = 32 $ cm

Válasz: $ 32 $ lásd.

Hogyan találjuk meg az egyenlő oldalú háromszög kerületét?

Adjunk egy egyenlő oldalú háromszöget, amelyben az összes oldal hossza megegyezik $ α $.

Egy lapos geometriai alakzat kerületének meghatározása alapján azt kapjuk, hogy

$ P = α + α + α = 3α $

Következtetés: Egy egyenlő oldalú háromszög kerületének meghatározásához szorozzuk meg a háromszög oldalának hosszát 3 dollárral.

5. példa

Határozzuk meg egy egyenlő oldalú háromszög kerületét, ha az oldala $ 12 $ cm.

A fenti példa szerint azt látjuk

$ P = 3 \ cdot 12 = 36 $ cm

A kerület az alakzat összes oldalának összege. Ez a jellemző a területtel együtt minden figura számára egyformán keresett. Az egyenlő szárú háromszög kerületének képlete logikusan következik tulajdonságaiból, de a képlet nem olyan nehéz, mint a gyakorlati ismeretek megszerzése és megszilárdítása.

kerületi képlet

Egy egyenlő szárú háromszög oldalai egyenlőek egymással. Ez a meghatározásból fakad, és még az ábra nevéből is jól látható. Ebből a tulajdonságból származik a kerületi képlet:

P = 2a + b, ahol b a háromszög alapja, a az oldal értéke.

Rizs. 1. Egyenlőszárú háromszög

A képletből látható, hogy a kerület meghatározásához elegendő ismerni az alap és az egyik oldalsó oldal méretét. Tekintsünk több problémát egy egyenlő szárú háromszög kerületének meghatározásához. A feladatok a komplexitás növekedésével megoldódnak, így jobban megértheti azt a gondolkodásmódot, amelyet követnie kell a kerület megtalálásához.

1. probléma

• Egy egyenlő szárú háromszögben az alap 6, az ehhez az alaphoz húzott magasság pedig 4. Határozzuk meg az alakzat kerületét!

Rizs. 2. Rajz az 1. feladathoz

Az egyenlő szárú háromszög alapjához húzott magassága egyben a medián és a magasság is. Ezt a tulajdonságot nagyon gyakran használják egyenlő szárú háromszögekkel kapcsolatos problémák megoldására.

A BM magasságú ABC háromszög két derékszögű háromszögre oszlik: ABM és BCM. Az ABM háromszögben ismert a BM szár, az AM szár egyenlő az ABC háromszög alapjának felével, mivel a BM a felező és a magasság mediánja. A Pitagorasz-tétel segítségével megtaláljuk az AB hipotenusz értékét.

$$ AB ^ 2 = AM ^ 2 + BM ^ 2 $$

$$ AB = \ négyzet (AM ^ 2 + BM ^ 2) = \ négyzet (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = \ négyzet (9 + 16) = \ négyzet (25) = 5 $ $

Keresse meg a kerületet: P = AC + AB * 2 = 6 + 5 * 2 = 16

2. feladat

• Egy egyenlő szárú háromszögben az alaphoz húzott magasság 10, a hegyesszög az alapnál 30 fok. meg kell találnia a háromszög kerületét.

Rizs. 3. Rajz a 2. feladathoz

Ezt a feladatot nehezíti a háromszög oldalaira vonatkozó információ hiánya, de a magasság és a szög értékének ismeretében az ABH derékszögű háromszögben megtalálhatjuk az AH szárat, majd a megoldás ugyanazt a forgatókönyvet követi majd, mint a háromszögben. 1. probléma.

Keresse meg az AH-t a szinuszértéken keresztül:

$$ sin (ABH) = (BH \ over AB) = (1 \ over2) $$ - 30 fokos szinusz egy táblázatérték.

Fejezzük ki a kívánt oldalt:

$$ AB = ((BH \ felett (1 \ 2 felett))) = BH * 2 = 10 * 2 = 20 $$

Keresse meg az AH értékét a kotangensen keresztül:

$$ ctg (BAH) = (AH \ BH felett) = (1 \ több mint \ négyzetméter (3)) $$

$$ AH = (BH \ over \ sqrt (3)) = 10 * \ sqrt (3) = 17,32 $$ - a kapott értéket a legközelebbi századra kerekítjük.

Keresse meg az alapot:

AC = AH * 2 = 17,32 * 2 = 34,64

Most, hogy az összes szükséges értéket megtalálta, határozzuk meg a kerületet:

P = AC + 2 * AB = 34,64 + 2 * 20 = 74,64

3. probléma

• Egy ABC egyenlő szárú háromszögben ismert a terület, amely egyenlő $$ 16 \ over \ sqrt (3) $$ és hegyesszög az alapnál 30 fok. Keresse meg a háromszög kerületét.

A feltételben lévő értékeket gyakran gyök és szám szorzataként adják meg. Ez azért történik, hogy a későbbi megoldást maximálisan megóvjuk a hibáktól. Jobb az eredményt a számítás végén kerekíteni.

A probléma ilyen megfogalmazásával úgy tűnhet, hogy nincs megoldás, mert a rendelkezésre álló adatokból nehéz az egyik oldalt vagy a magasságot kifejezni. Próbáljuk meg másképp megoldani.

Jelöljük az alap magasságát és felét latin betűkkel: BH = h és AH = a

Ekkor az alap a következő lesz: AC = AH + HC = AH * 2 = 2a

Terület: $$ S = (1 \ 2 felett) * AC * BH = (1 \ 2 felett) * 2a * h = ah $$

Alternatív megoldásként h értéke kifejezhető az ABH háromszögből egy hegyesszög érintőjén keresztül. Miért tangens? Mert az ABH háromszögben már megjelöltünk két a-t és h-t. Az egyiket a másikon keresztül kell kifejeznie. A két láb érintőt és kotangenst köt össze. Hagyományosan a kotangensre és a koszinuszra csak akkor hivatkozunk, ha az érintő vagy a szinusz nem fér bele. Ez nem szabály, meg lehet oldani, ahogy kényelmes, csak elfogadott.

$$ tg (BAH) = (h \ over (a)) = (1 \ over \ sqrt (3)) $$

$$ h = (a \ over \ sqrt (3)) $$

Helyettesítse ezt az értéket a területképletbe.

$$ S = a * h = a * (a \ over \ sqrt (3)) = ((a ^ 2) \ over \ sqrt (3)) $$

Fogalmazzunk meg egy:

$$ a = \ négyzet (S * \ négyzet (3)) = \ négyzet (16 \ több mint \ négyzet (3) * \ négyzet (3)) = \ négyzet (16) = 4 $$

Helyettesítse be az a értéket a területképletbe, és határozza meg a magasságértéket:

$$ S = a * h = (16 \ több \ négyzetméter (3)) $$

$$ h = (S \ over (a)) = ((16 \ over \ sqrt (3)) \ over (4)) = (4 \ over \ sqrt (3)) = 2,31 $$ - a kapott értéket nézzük századig kerekítve.

A Pitagorasz-tétel segítségével megtaláljuk a háromszög oldalát:

$$ AB ^ 2 = AH ^ 2 + BH ^ 2 $$

$$ AB = \ négyzet (AH ^ 2 + BH ^ 2) = \ négyzet (4 ^ 2 + 2,31 ^ 2) = 4,62 $ $

Helyettesítse az értékeket a kerületi képletbe:

P = AB * 2 + AH * 2 = 4,62 * 2 + 4 * 2 = 17,24

Mit tanultunk?

Részletesen kitaláltuk az egyenlő szárú háromszög kerületének megtalálásának összes bonyolultságát. Három különböző bonyolultságú feladatot oldottunk meg, példán keresztül bemutatva, hogyan oldanak meg tipikus feladatokat egy egyenlő szárú háromszög megoldására.

Teszt téma szerint

Cikk értékelése

Átlagos értékelés: 4.4. Összes értékelés: 83.

Bármely háromszög egyenlő a három oldala hosszának összegével. Általános képlet a háromszögek kerületének meghatározásához:

P = a + b + c

ahol P a háromszög kerülete, a, bés c- az ő oldala.

Megtalálható úgy, hogy az oldalak hosszát egymás után összeadjuk, vagy az oldal hosszát megszorozzuk 2-vel és az alap hosszát hozzáadjuk a termékhez. Az egyenlő szárú háromszögek kerületének meghatározására szolgáló általános képlet így fog kinézni:

P = 2a + b

ahol P egy egyenlő szárú háromszög kerülete, a- bármely oldalsó oldal, b- alap.

Megtalálható úgy, hogy egymás után összeadjuk az oldalak hosszát, vagy megszorozzuk bármelyik oldalának hosszát 3-mal. Az egyenlő oldalú háromszögek kerületének meghatározására szolgáló általános képlet így fog kinézni:

P = 3a

ahol P egy egyenlő oldalú háromszög kerülete, a- bármely pártja.

Négyzet

A háromszög területének méréséhez összehasonlíthatja egy paralelogrammával. Tekintsünk egy háromszöget ABC:

Ha veszünk egy egyenlő háromszöget, és úgy rögzítjük, hogy paralelogrammát kapjunk, akkor egy olyan paralelogrammát kapunk, amelynek magassága és alapja megegyezik ezzel a háromszöggel:

Ebben az esetben az összehajtott háromszögek közös oldala a kialakított paralelogramma átlója. A paralelogrammák tulajdonságaiból ismert, hogy az átló mindig két egyenlő háromszögre osztja a paralelogrammát, ami azt jelenti, hogy minden háromszög területe egyenlő a paralelogramma területének felével.

Mivel a paralelogramma területe egyenlő az alapja és a magassága szorzatával, a háromszög területe ennek a szorzatnak a fele lesz. Ezért Δ-re ABC lesz a terület

Most nézzünk meg egy derékszögű háromszöget:

Két egyforma derékszögű háromszög téglalappá hajtható össze, ha egy befogóval egymáshoz támasztjuk. Mivel egy téglalap területe egyenlő a szomszédos oldalainak szorzatával, ennek a háromszögnek a területe:

Ebből arra következtethetünk, hogy bármely derékszögű háromszög területe megegyezik a lábak 2-vel való szorzatával.

Ezekből a példákból arra következtethetünk bármely háromszög területe egyenlő az alap hosszának és az alapra süllyesztett magasságnak a szorzatával, osztva 2-vel... A háromszögek területének meghatározásának általános képlete a következőképpen néz ki:

S =	ah a
	2

ahol S a háromszög területe, a- az alapja, h a- magassága az alapra süllyesztve a.