Kérdés:

A piramist a bázissal párhuzamos sík keresztezi. Az alapterület 1690 dm2, a keresztmetszeti terület pedig 10 dm2. Milyen összefüggésben, felülről számítva a metszősík osztja a piramis magasságát?

Válaszok:

párhuzamos sík metszi az ehhez hasonló piramist (h1 / h) ² = s1 / s (h1 / h) ² = 10/1690 = 1/169 h1 / h = √1 / 169 = 1/13 jndtn 1/13

Hasonló kérdések

• Teszt a témában: "A határozószók helyesírása" Ellenőrizzük a határozószók utótagjainak helyesírását, a különálló és folyamatos helyesírást nem a határozószavakkal, a határozószók folyamatos, különálló, kötőjeles írásmódját 1. lehetőség. 1. Nyissa ki a zárójeleket. Jelölje meg az "extra harmadot": a) ült (nem) mobil; Lelkesen (nem) láttam; (nem) hangosan énekelt; b) nem kicsit (nem) késve; egyáltalán nem szép; nagyon (nem) tisztességes; c) (nem) barátságos módon; (nem) ismerős módon; (nem jó; d) (nem) lepo; (nem) okosan; (nem) közel, de messze; e) rendkívül (nem) kényszerített; nagyon (nem) vonzó; egyáltalán nem (nem) fenyegető; 2. A "nem" a sorozat minden szavában egy darabba van írva: a) (nem) igaz; (nem) vezhi; (nem szép; egyáltalán nem (nem) érdekes; b) (nem) megérteni; (igazságtalanság; egyáltalán nem (nem) messze; (nem vicces; c) (nem) őszintén; (nem jóképű; (nem) vágyakozás; (igénytelen; d) (un) veda; (nem) megérkezett; (nem) butaság; (rosszkor; 3. Válasszon ki számos negatív határozót: a) egyáltalán nem; senki; most itt; senkivel; b) sehol; senki; soha; a semmiből; c) egyáltalán nem; egyáltalán nem; most itt; nincs szükség; 4. Keresse meg a "harmadik extrát": a) n ... majdnem megijedtem; n ... hogy nem találtam; n ... hányszor; b) n ... merre kell menni; n ... miért kérdez; n ... mennyi irigység nélkül; c) n ... mennyire nem volt ideges; n ... amikor nem haragszik; n ... hol lehet számítani; 5. Az "Nn" a sor minden szavával van írva: a) beshe ... a fonásról; ijedtségről beszélt ... ó; kétségbeesetten dolgozott ... ó; b) a neozhid összerezzent ... ó; ügyesen megfogalmazva ... ó; egy ideig nem működik ... ó; c) izgatottan beszélt ... ó; a neozhida elment ... ó; válaszolta puta ... ó; 6. Határozzon meg egy mondatot határozószóval: a) A találkozó izgatott ... az üzenet miatt. b) A társadalom izgatott volt ... ó. c) Izgatottan beszélt ... ó. A határozószó _____________________________________ 7. Írja be a hiányzó betűket. Jelölje meg a "negyedik extra" -t: a) forró ...; friss ...; ragyogó ...; jó…; b) több ...; dallamos ...; viszkózus ..; baljóslatú ...; c) poggyász ... m; már ... m; teher ... th; kés ... m; d) mókus ... nok; spriccel ... kopog; cseresznye ... nka; sündisznó ... nok; 8. Írja le a határozószavakat jelölő betűket, amelyeket utótaggal írnak - a és - körülbelül: a körülbelül a) messziről ...; b) zanov ...; c) szorosan ...; d) a jobb ...; e) fehér ...; f) könnyen ...; g) gyanták ...; h) száraz ...; i) fiak ...; Írjon le egy határozót, amely nem rendelkezik utótaggal - a és - o: ______________________________ 2. lehetőség. 1. Nyissa ki a zárójeleket. Jelölje be az "extra harmadot": a) egyáltalán nem (nem) érdekes; teljesen (nem) érdekes; messze (nem) szórakoztató; b) (nem) barátságos módon; (nem) a mi utunk; (rossz; c) (nem) harmonikus; (nem barátságos; (nem) jó, de rossz; d) kifejezetten olvasni (nem); veszteséggel nézett (nem); (nem) messze lakott; e) nagyon (nem) szép; soha sincs túl késő; rendkívül (nem) átgondolt; 2. A "nem" a sorozat minden szavában egy darabba van írva: a) (nem) egy kicsit; (nem) lepo; (nem) érthető; (nem) bujkálás; b) (nem) véletlenül; (kétszínűség; (nem szép; (nem) átgondolt; c) messze (nem) szórakoztató; (nem akart; (nem) a távolban; (baj; d) (nem) időben; (izgul; (nem mondom; (nem) bizalom; 3. Emeljen ki számos negatív határozót: a) semmi; a semmiből; most itt; nagyon; b) nem kicsit; nincs szükség; semmiképpen; most itt; c) semmi; bárki; senki; senki; 4. Keresse meg az "extra harmadot": a) nem volt n ... hol; n ... miért kérdez; n ... amikor kocsis voltam; b) nem érintette n ... egy kicsit; n ... mennyire nem szomorkodtam; n ... hol szálljon meg; c) n ... ahová nem megyek; n ... amikor nem kérdezem; N voltam ... amikor; 5. A sor minden szavában "H" van írva: a) szél nélküli utcán ... o; elgondolkodva válaszol ... ó; jött nezhda ... ó-negativitás ... ó; b) beszélt a mudrával ... ó; belépett a szélbe ... ó; beszélt puta ... ó; c) őrülten pörög ... ó; áthatóan énekelt ... ó; lelkesebben dolgozott ... ó; 6. Határozzon meg egy mondatot határozószóval: a) Gondolja át döntését ... ó, szakmailag. B) Mindig szándékosan cselekszik ... ó. C) Mindent alaposan megfontoltak ... ó. 7. Helyezze be a hiányzó betűket. Jelölje meg a "negyedik extrát": a) beszéljen általában ...; forró ...; friss ...; kimerítő ...; b) barátok ... to; heveder ... to; kakas ... to; vish ... nka; c) több ...; tiltakozás ...; hívás ...; baljóslatú ...; d) orvos ... m; gyors ... m; pec ... t; vigyázz ... t; 8. Írja be a négyzetekbe a határozószavakat jelölő betűket, amelyek utótaggal vannak írva - a és - körülbelül: a körülbelül a) először ...; b) gyanták ...; c) könnyű ...; d) balra ...; e) tiszta ...; f) vörös-forró ...; g) balra ...; h) elsötétült ...; i) régen ...; Írja le a határozókat toldalékok nélkül - a és - o: ______________________________

HARMADIK FEJEZET

Politópok

1. PÁRHUZATOS ÉS PIRAMID

Párhuzamos szakasz tulajdonságai a piramisban

74. Tétel. Ha a piramis (83. rajz) az alappal párhuzamos sík metszi, majd:

1) az oldaléleket és a magasságot ez a sík arányos részekre osztja;

2) szakaszban sokszöget kapunk (abcde ), hasonló az aljához;

3) a keresztmetszeti és az alapterületeket a csúcstól való távolságuk négyzeteként nevezzük.

1) Egyenes abés AB tekinthető két párhuzamos sík (alap és szekáns) metszésvonalainak az ASB harmadik síkjával; ezért ab|| AB (16. §). Ugyan azért az okért időszámításunk előtt|| Kr. E. CD|| CD, ... és nál nél|| AM; ezért

S a / a A = S b / b B = S c / c C = ... = S m / m M

2) Az ASB és háromszögek hasonlóságából a S b, majd a BSC és b S c stb.

AB / ab= BS / bs; BS / bs= Kr. E / időszámításunk előtt ,

AB / ab= Kr. E / időszámításunk előtt

időszámításunk előtt / időszámításunk előtt= CS / cs; CS / cs= CD / CD honnan Kr. e / időszámításunk előtt= CD / CD .

Bizonyítsuk be az ABCDE és a sokszögek többi oldalának arányosságát is abcde... Ezenkívül ezeknek a sokszögeknek egyenlő szögeik vannak (párhuzamos és egyenlő irányú oldalak alkotják), ezért hasonlóak.

3) A sokszögek hasonlósági területeit hasonló oldalak négyzeteinek nevezzük; ezért

75. Következmény. A szabályos csonka piramisnak felső alapja van szabályos sokszög, hasonló az alsó bázishoz, az oldallapok pedig egyenlők és egyenlő szárú trapéz alakúak(83. ábra).

Ezen trapézok magasságát nevezzük apothem a helyes csonka piramis.

76. Tétel. Ha két egyenlő magasságú piramist a tetejétől azonos távolságra vágnak az alapokkal párhuzamos síkok, akkor a keresztmetszeti területek arányosak az alapok területeivel.

Legyen (84. ábra) B és B 1 két piramis alapjainak területe, H mindegyikük magassága, bés b 1 - keresztmetszeti területek az alapokkal párhuzamos síkok által, és azonos távolságra eltávolítva a csúcsoktól h.

Az előző tétel szerint:

77. Következmény. Ha B = B 1, akkor b = b 1, azaz ha két egyenlő alapmagasságú piramis azonos méretű, akkor azonos méretű és felülről egyenlő távolságú szakaszok.

Hogyan lehet piramist építeni? A felületen Répítsünk valamilyen sokszöget, például az ABCDE ötszöget. Repülőn kívül R vegyük az S pontot. Az S pontot a sokszög összes pontjával szegmensekkel összekötve kapunk egy SABCDE piramist (ábra).

Az S pontot hívják csúcsés az ABCDE sokszög az alapon ezt a piramist. Így az S csúccsal és ABCDE bázissal rendelkező piramis az összes szegmens egyesülése, ahol M ∈ ABCDE.

Az SAB, SBC, SCD, SDE, SEA háromszögeket hívják oldallapok piramisok, oldalfelületek közös oldalai SA, SB, SC, SD, SE - oldalsó bordák.

A piramisokat ún háromszög, négyszög, n-szög az alap oldalainak számától függően. Ábrán. adott háromszög-, négyszög- és hatszögletű piramisok képeit.

A piramis tetején és az alap átlóján áthaladó síkot nevezzük átlós, és a kapott keresztmetszet átlós.Ábrán. 186 a hatszögletű piramis egyik átlós metszete árnyékolt.

A piramis tetején keresztül az alap síkjába húzott merőleges szegmensét a piramis magasságának nevezzük (ennek a szegmensnek a végei a piramis teteje és a merőleges alapja).

A piramis ún helyes ha a piramis alapja szabályos sokszög, és a piramis tetejét a középpontjára vetítik.

A szabályos piramis minden oldallapja egybevágó. egyenlő szárú háromszögek... Egy szabályos piramisban minden oldalszéle egybevágó.

A tetejéből rajzolt szabályos piramis oldallapjának magasságát nevezzük apothem piramisok. A szabályos piramis minden apoteuma egybevágó.

Ha kijelöljük az alap oldalát a, és apothem keresztül h, akkor a piramis egyik oldallapjának területe 1/2 ah.

A piramis összes oldallapjának területeinek összegét nevezzük oldalfelület piramisokat és S oldallal jelöltük.

Mivel a szabályos piramis oldalfelülete abból áll n akkor egybevágó arcok

S oldal. = 1/2 ahn= P h / 2 ,

ahol P a piramis alapjának kerülete. Ennélfogva,

S oldal. = P h / 2

azaz a szabályos piramis oldalfelülete az alapkerület szorzatának fele az apotéma szorzata.

A piramis teljes felületét a képlet alapján számítják ki

S = S fő + S oldal. ...

A piramis térfogata egyenlő az alapja S ocн területének szorzatával. H magasságig:

V = 1/3 S fő N.

Ennek és néhány más képletnek a levezetését egy későbbi fejezet tartalmazza.

Építsük fel a piramist más módon. Adjunk meg egy poliéderes szöget, például egy pentaéderes, S csúcsú (ábra).

Rajzoljunk egy síkot Rúgy, hogy metszi egy adott többszögletű szög minden élét különböző pontok A, B, C, D, E (ábra). Ekkor a SABCDE piramis egy poliéderes szög és egy fél tér metszéspontjának tekinthető a határral R ahol az S csúcs.

Nyilvánvaló, hogy a piramis összes arcának száma tetszőleges lehet, de nem kevesebb, mint négy. Amikor egy sík metszi a háromszög szöget, háromszögű piramist kapunk, amelynek négy oldala van. Bármi háromszögű piramis néha hívják tetraéder, ami tetraédert jelent.

Csonka piramis akkor kapható, ha a piramist az alap síkjával párhuzamos sík keresztezi.

Ábrán. négyszögletű csonka piramis képe látható.

Csonka piramisokat is neveznek háromszög, négyszög, n-szög az alap oldalainak számától függően. A csonka piramis felépítéséből az következik, hogy két alapja van: felső és alsó. A csonka piramis alapjai két sokszög, amelyek oldalai párban párhuzamosak. A csonka piramis oldallapjai trapézok.

Magasság csonka piramisnak nevezzük a felső bázis bármely pontjától az alsó síkjáig húzott merőleges szegmenst.

Rendes csonka piramis szabályos piramis részének nevezzük, amely az alap és a bázissal párhuzamos metszősík közé van zárva. A szabályos csonka piramis (trapéz) oldallapjának magasságát nevezzük apothem.

Bizonyítható, hogy egy szabályos csonka piramis oldalai megegyeznek, minden oldallapja egybevágó, és minden apotéma egybevágó.

Ha a megfelelő csonka n-gömbölyű piramis aés b n jelölje ki a felső és az alsó talp oldalának hosszát, és át h az apothem hossza, akkor a piramis mindkét oldallapjának területe

1 / 2 (a + b n) h

A piramis összes oldallapjának területeinek összegét az oldalfelületének területének nevezzük, és S oldalt jelöljük. ... Nyilvánvalóan a helyes csonkaért n- szögpiramis

S oldal. = n 1 / 2 (a + b n) h.

Mivel na= P és nb n= Р 1 - a csonka piramis alapjainak kerülete, akkor

S oldal. = 1/2 (P + P 1) h,

vagyis egy szabályos csonka piramis oldalfelülete egyenlő a bázisok kerületeinek összegével az apotémával.

A piramis tövével párhuzamos szakasz

Tétel. Ha a piramist a bázissal párhuzamos sík keresztezi, akkor:

1) az oldalbordák és a magasság arányos részekre oszlik;

2) a szakaszban az alaphoz hasonló sokszöget kap;

3) a keresztmetszeti és az alapterületek összefüggnek a tetejétől való távolság négyzeteivel.

Elég a háromszögű piramis tételének bizonyítása.

Mivel a párhuzamos síkokat a harmadik sík metszi metszett párhuzamos vonalak mentén, akkor (AB) || (A 1 B 1), (BC) || (B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (ábra).

Párhuzamos egyenes vonalak arányos részekre vágják a sarok oldalait, és ezért

$$ \ frac (\ bal | (SA) \ jobb |) (\ bal | (SA_1) \ jobb |) = \ frac (\ bal | (SB) \ jobb |) (\ bal | (SB_1) \ jobb | ) = \ frac (\ bal | (SC) \ jobb |) (\ bal | (SC_1) \ jobb |) $$

Ezért ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 és

$$ \ frac (\ bal | (AB) \ jobb |) (\ bal | (A_ (1) B_1) \ jobb |) = \ frac (\ bal | (SB) \ jobb |) (\ bal | (SB_1) ) \ ugye |) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 és

$$ \ frac (\ bal | (BC) \ jobb |) (\ bal | (B_ (1) C_1) \ jobb |) = \ frac (\ bal | (SB) \ jobb |) (\ bal | (SB_1) ) \ jobb |) = \ frac (\ bal | (SC) \ jobb |) (\ bal | (SC_1) \ jobb |) $$

És így,

$$ \ frac (\ bal | (AB) \ jobb |) (\ bal | (A_ (1) B_1) \ jobb |) = \ frac (\ bal | (BC) \ jobb |) (\ bal | (B_ (1) C_1) \ jobb |) = \ frac (\ bal | (AC) \ jobb |) (\ bal | (A_ (1) C_1) \ jobb |) $$

Az ABC és A 1 B 1 C 1 háromszögek szögei megegyeznek, mint a párhuzamos és egyenlő irányú oldalak. Ezért

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Az ilyen háromszögek területeit a megfelelő oldalak négyzeteinek nevezzük:

$$ \ frac (S_ (ABC)) (S_ (A_1 B_1 C_1)) = \ frac (\ bal | (AB) \ jobb | ^ 2) (\ bal | (A_ (1) B_1) \ jobb | ^ 2 ) $$

$$ \ frac (\ bal | (AB) \ jobb |) (\ bal | (A_ (1) B_1) \ jobb |) = \ frac (\ bal | (SH) \ jobb |) (\ bal | (SH_1) ) \ ugye |) $$

Ennélfogva,

$$ \ frac (S_ (ABC)) (S_ (A_1 B_1 C_1)) = \ frac (\ bal | (SH) \ jobb | ^ 2) (\ bal | (SH_1) \ jobb | ^ 2) $$

Tétel. Ha két egyenlő magasságú piramist a tetejétől azonos távolságra vágnak az alapokkal párhuzamos síkok, akkor a keresztmetszeti területek arányosak az alapok területeivel.

Legyen (84. ábra) B és B 1 - két piramis alapjainak területe, H - mindegyikük magassága, bés b 1 - keresztmetszeti területek az alapokkal párhuzamos síkok által, és azonos távolságra eltávolítva a csúcsoktól h.

Az előző tétel szerint:

$$ \ frac (b) (B) = \ frac (h ^ 2) (H ^ 2) \: és \: \ frac (b_1) (B_1) = \ frac (h ^ 2) (H ^ 2) $ $
ahol
$$ \ frac (b) (B) = \ frac (b_1) (B_1) \: vagy \: \ frac (b) (b_1) = \ frac (B) (B_1) $$

Következmény. Ha B = B 1, akkor b = b 1, azaz ha két egyenlő alapmagasságú piramis azonos méretű, akkor azonos méretű és felülről egyenlő távolságú szakaszok.

Más anyagok

); showPlots (; 0 noAxes0);

Rizs. 1.10: Négyszögletes doboz

1.3 Párhuzamos szakasz tulajdonságai a piramisban

1.3.1 Metszet tételek piramisban

Ha a piramist (1.11) a bázissal párhuzamos sík metszi, akkor:

1) az oldalsó bordákat és a magasságot ez a sík arányos részekre osztja;

2) a szakaszban egy sokszöget (abcde) kapunk, hasonlóan az alaphoz;

3) a keresztmetszeti és az alapterületeket a csúcstól való távolságuk négyzeteként nevezzük.

1) Az ab és az AB egyenesek két párhuzamos sík (alap és szegmens) metszésvonalának tekinthetők a harmadik ASB sík által; ezért abkAB. Ugyanezen okból a bckBC, cdkCD .... és amkAM; ezért

aA Sa = bB Sb = cC Sc = ::: = mM Sm:

2) Az ASB és aSb háromszögek, majd a BSC és a bSc stb. Hasonlóságából következtetünk:

AB ab = BS bS; BS bS = BC bc;

AB ab = BC bc:

BC bc = CS cS; CS cS = CD cd;

BC bc = CD cd

Bebizonyítjuk az ABCDE és az abcde sokszögek másik oldalának arányosságát is, mivel ezen túlmenően ezek a sokszögek egyenlő szögekkel rendelkeznek (párhuzamos és egyenlő irányú oldalak alkotják), ezért hasonlóak. A hasonló sokszögek területeit hasonló oldalak négyzeteinek nevezzük; ezért

AB ab = AS mint = M msS;

set2D (1; 9; 1; 14);

; 0 kötőjel0);

; 0 kötőjel0);

			Rizs. 1.11: Piramis
p5 = pointsPlot (

[0A 0; 0 B 0; 0 C 0; 0 D 0; 0 E 0; 0 a 0; 0 b 0; 0 c 0; 0 d 0; 0 M 0; 0 m 0; 0S 0];

); showPlots (; 0 noAxes0);

1.3.2 Következtetés

Egy szabályos csonka piramisban a felső bázis szabályos sokszöggel rendelkezik, hasonlóan az alsó bázishoz, az oldallapok pedig egyenlők és egyenlő szárú trapézok (1.11).

Ezen trapézok bármelyikének a magasságát szabályos csonka piramis apothemének nevezik.

1.3.3 Párhuzamos metszet tétel egy piramisban

Ha két azonos magasságú piramist a tetejétől azonos távolságra vágnak az alapokkal párhuzamos síkok, akkor a keresztmetszeti területek arányosak az alapok területeivel.

Legyen (1.12) B és B1 két piramis alapjainak területe, H mindegyikük magassága, b és b1 a bázisokkal párhuzamos síkok metszeteinek területe, és a csúcsoktól azonos távolságra h .

Az előző tétel szerint:

H2 B1

set2D (2; 36; 2; 23);

23 );

p10 = tablePlot (			; 0 nyíl0);

p11 = tablePlot (			; 0 nyíl0);

p12 = tablePlot (			; 0 nyíl0);

p13 = tablePlot (			; 0 nyíl0);

p14 = tablePlot (				; 0 kötőjel0);