Hogyan lehet megtalálni az apotémet egy szabályos négyszög alakú piramisban. A piramis apothemje. A szabályos háromszög alakú piramis apotémjének képletei. Nézze meg, mi az "apothema" más szótárakban

A piramis egy térbeli poliéder, vagy poliéder, amely ben fordul elő geometriai problémákÓ. Ennek az ábrának a fő tulajdonságai a térfogata és a felülete, amelyeket bármely két lineáris karakterisztikája ismeretében számítanak ki. Az egyik ilyen jellemző a piramis apotémája. Róla beszéd lesz a cikkben.

Piramis figura

Mielőtt megadnánk a piramis apotémjének meghatározását, ismerkedjünk meg magával az ábrával. A piramis egy poliéder, amelyet egy n-gonális alap és n háromszög alkot, amelyek az ábra oldalfelületét alkotják.

Minden piramisnak van egy csúcsa – minden háromszög találkozási pontja. Az ettől a csúcstól az alapra húzott merőlegest magasságnak nevezzük. Ha a magasság keresztezi az alapot a geometriai középpontban, akkor az ábrát egyenesnek nevezzük. Az egyenlő oldalú alappal rendelkező egyenes piramist szabályosnak nevezzük. Az ábrán egy hatszögletű alappal rendelkező gúla látható, az arc és az él oldaláról nézve.

A helyes piramis apotémája

Apotemának is nevezik. A piramis tetejétől az ábra alapjának oldaláig húzott merőleges értendő. Definíció szerint ez a merőleges a gúla oldallapját alkotó háromszög magasságának felel meg.

Mivel egy n-szögű alappal rendelkező szabályos piramisról van szó, akkor ennek mind az n apotémája azonos lesz, mivel ezek az ábra oldalfelületének egyenlő szárú háromszögei. Vegyük észre, hogy az azonos apotémek egy szabályos piramis tulajdonsága. Az alakért általános típus(ferdén szabálytalan n-szöggel) minden n apotém más lesz.

A helyes piramis -apotéma másik tulajdonsága, hogy egyszerre a megfelelő háromszög magassága, mediánja és felezője. Ez azt jelenti, hogy két azonos derékszögű háromszögre osztja.

és apotemének meghatározására szolgáló képletek

Minden szabályos piramisban fontos lineáris jellemzők az alapja oldalának hossza, a b oldalél, a h magasság és a h b apotém. Ezeket az értékeket megfelelő képletekkel kapcsolják egymáshoz, amelyeket piramis rajzolásával és a szükséges derékszögű háromszögek figyelembevételével kaphatunk.

Egy szabályos háromszögű piramis 4 háromszöglapból áll, és az egyiknek (alap) egyenlő oldalúnak kell lennie. A többi általában egyenlő szárú. A háromszög alakú piramis apotémája más mennyiségekkel is meghatározható a következő képletekkel:

h b = √ (b 2 - a 2/4);

h b = √ (a 2/12 + h 2)

Ezen kifejezések közül az első igaz bármely szabályos alappal rendelkező piramisra. A második kifejezés kizárólag a háromszög alakú piramisra jellemző. Ez azt mutatja, hogy apotém mindig több magasság figurák.

A piramis apotémáját nem szabad összetéveszteni egy poliéderével. Ez utóbbi esetben az apotém a poliéder középpontjából a poliéder oldalára húzott merőleges szakasz. Például az egyenlő oldalú háromszög apothemája √3 / 6 * a.

Az apotém kiszámításának problémája

Legyen adott egy szabályos piramis, amelynek alapja háromszög. Ki kell számítani annak apotémjét, ha ismert, hogy ennek a háromszögnek a területe 34 cm 2, és maga a piramis 4 azonos lapból áll.

A feladat feltételének megfelelően egyenlő oldalú háromszögekből álló tetraéderrel van dolgunk. Az egyik arc területének képlete a következő:

Honnan kapjuk az a oldal hosszát:

A h b apotém meghatározásához a b oldalélt tartalmazó képletet használjuk. A vizsgált esetben hossza megegyezik az alap hosszával, van:

h b = √ (b 2 - a 2/4) = √ 3 / 2 * a

Az a – S értékek helyettesítésével a végső képletet kapjuk:

h b = √3 / 2 * 2 * √ (S / √3) = √ (S * √3)

Kaptunk egyszerű képlet, amelyben a piramis apotémája csak az alapterületétől függ. Ha az S értéket helyettesítjük a feladat feltételéből, akkor megkapjuk a választ: h b ≈ 7,674 cm.

Itt alapvető információkat talál a piramisokról, valamint a kapcsolódó képletekről és fogalmakról. Mindegyiket matematika oktatóval tanulják a vizsgára készülve.

Vegyünk egy síkot, egy sokszöget benne feküdni és egy S pont nem fekszik benne. Csatlakoztassa az S-t a sokszög összes csúcsához. Az így kapott poliédert piramisnak nevezik. A szegmenseket oldalbordáknak nevezzük. A sokszöget alapnak, az S pontot pedig a piramis csúcsának nevezzük. Az n számtól függően a piramist háromszögnek (n = 3), négyszögletesnek (n = 4), ptyagonálisnak (n = 5) és így tovább nevezik. A háromszög alakú piramis alternatív neve tetraéder... A piramis magasságát merőlegesnek nevezzük, a tetejétől az alap síkjába süllyesztve.

A piramist helyesnek nevezzük, ha szabályos sokszög, és a piramis magasságának alapja (a merőleges alapja) a középpontja.

Tutor megjegyzés:
Ne keverje össze a "szabályos piramis" és a "helyes tetraéder" fogalmát. Egy szabályos piramisban az oldalélek nem feltétlenül egyenlőek az alap éleivel, de egy szabályos tetraéderben az élek mind a 6 éle egyenlő. Ez az ő meghatározása. Könnyű bizonyítani, hogy az egyenlőség a sokszög P középpontjának egybeesését jelenti a magasság alapjával, tehát a szabályos tetraéder szabályos piramis.

Mi az Apothema?
A piramis apotémája az oldallap magassága. Ha a piramis helyes, akkor minden apotémája egyenlő. Ennek a fordítottja nem igaz.

Tanár a matematikában a terminológiájáról: a piramisokkal való munka 80% -ban kétféle háromszögből épül fel:
1) Apothem SK és magasság SP
2) Tartalmaz egy SA oldalélt és annak PA vetületét

A háromszögekre való hivatkozások egyszerűsítése érdekében kényelmesebb, ha a matematika oktatója felhívja az elsőt apotemikus, és a második tengerparti... Sajnos ezt a terminológiát egyik tankönyvben sem találod, a tanárnak egyoldalúan kell beírnia.

A piramis térfogatának képlete:
1) , ahol a piramis alapterülete és a piramis magassága
2), ahol a beírt gömb sugara, és a piramis teljes felületének területe.
3) , ahol MN bármely két keresztező él távolsága, és a négy fennmaradó él felezőpontjai által alkotott paralelogramma területe.

Piramismagasság alaptulajdonsága:

A P pont (lásd az ábrát) egybeesik a piramis alján lévő beírt kör középpontjával, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:
1) Minden apotém egyenlő
2) Minden oldalfelület egyformán dől az alap felé
3) Minden apotém egyformán hajlik a piramis magasságára
4) A piramis magassága egyformán ferde minden oldallaphoz

Matek oktatói kommentár: vegye figyelembe, hogy minden pontot egy egyesít köztulajdon: így vagy úgy, az oldallapok mindenhol benne vannak (az apotémák az elemeik). Ezért az oktató ajánlhat egy kevésbé pontos, de a memorizáláshoz kényelmesebb megfogalmazást: a P pont egybeesik a piramis alján lévő beírt kör középpontjával, ha az oldallapjairól azonos információ áll rendelkezésre. Ennek bizonyításához elegendő megmutatni, hogy minden apotémikus háromszög egyenlő.

A P pont egybeesik a piramis alapja közelében leírt kör középpontjával, ha a három feltétel egyike teljesül:
1) Minden oldalél egyenlő
2) Minden oldalborda egyformán dől az alap felé
3) Minden oldalborda egyformán dől a magassághoz

A geometriai problémák sikeres megoldásához világosan meg kell érteni a tudomány által használt kifejezéseket. Például ezek az "egyenes", "sík", "poliéder", "piramis" és még sokan mások. Ebben a cikkben arra a kérdésre adunk választ, hogy mi az apotém.

Az "apothema" kifejezés kettős használata

A geometriában az "apothema" vagy az "apotema" szó jelentése, ahogyan azt is nevezik, attól függ, hogy melyik tárgyra alkalmazzák. A figuráknak két alapvetően eltérő osztálya van, amelyekben ez az egyik jellemzőjük.

Először is, ezek lapos sokszögek. Mit jelent egy sokszög apotémája? Ez az alakzat geometriai középpontjától mindkét oldalra húzott magasság.

Hogy világosabb legyen, miről kérdéses, fontolgat konkrét példa... Tegyük fel, hogy szabályos hatszöge van az alábbi ábrán.

Az l szimbólum az oldalának hosszát, az a betű pedig az apotémet jelöli. A jelölt háromszög esetében ez nem csak a magasság, hanem a felező és a medián is. Könnyen kimutatható, hogy az l oldalon keresztül a következőképpen lehet kiszámítani:

Hasonlóképpen, az apotém bármely n-szögre definiálva van.

Másodszor, ezek a piramisok. Mi az apotémája egy ilyen figurának? Ez a kérdés részletesebb megfontolást igényel.

Ebben a témában: Hogyan lehet hosszú és vastag pilláit egyetlen hónap alatt?

Piramisok és apotémaik

Először határozzunk meg egy piramist a geometria szempontjából. Ez az ábra egy n-szögű (alap) és n háromszögből (oldal) alkotott szilárdtest. Ez utóbbiak egy ponton kapcsolódnak össze, amelyet csúcsnak neveznek. Az alaptól való távolság az ábra magassága. Ha egy n-szög geometriai középpontjára esik, akkor a piramist egyenesnek nevezzük. Ha ráadásul az n-szögnek egyenlő szögei és oldalai, akkor az ábrát szabályosnak nevezzük. Az alábbiakban egy piramis példája látható.

Mi az apotémája egy ilyen figurának? Ez az a merőleges, amely összeköti az n-gon oldalait az alakzat tetejével. Nyilvánvalóan annak a háromszögnek a magasságát jelenti, amely a piramis oldala.

Az Apothem kényelmesen használható, ha geometriai feladatokat old meg szabályos piramisokkal. Az a tény, hogy számukra minden oldalfelület egyenlő egymással. egyenlő szárú háromszögek. Az utolsó tény azt jelenti, hogy minden n apotém egyenlő, ezért egy szabályos piramis esetében egy és egyetlen ilyen egyenesről beszélhetünk.

A négyszögletű piramis apotémája helyes

Ennek az alaknak talán a legélénkebb példája a világ híres első csodája - Kheopsz piramisa. Egyiptomban van.

Bármely ilyen, szabályos n-szögű alappal rendelkező alakzathoz megadhatunk olyan képleteket, amelyek segítségével meghatározhatjuk apotémjét a sokszög oldalának a hosszán, a b oldalélen és a h magasságon keresztül. Ide írjuk fel a megfelelő képleteket egy négyzet alakú egyenes piramishoz. Apothem h b, mert egyenlő lesz:

Ebben a témában: Baskíria zászlaja - leírás, szimbolika és történelem

h b = √ (b 2 - a 2/4);

h b = √ (h 2 + a 2/4)

Ezen kifejezések közül az első bármely szabályos piramisra érvényes, a második csak egy négyszögletű piramisra.

Mutassuk meg, hogyan használhatók ezek a képletek a probléma megoldására.

Geometriai probléma

Legyen adott egy egyenes, négyzet alakú gúla. Ki kell számítani az alapterületét. A piramis apotémája 16 cm, magassága az alap oldalának kétszerese.

Minden tanuló tudja: a szóban forgó piramis alapját képező négyzet területének meghatározásához ismerni kell az oldalát a. Ennek megtalálásához a következő képletet használjuk az apotémhez:

h b = √ (h 2 + a 2/4)

Az apotém jelentése a problémafelvetésből ismert. Mivel a h magasság kétszerese az a oldal hosszának, ez a kifejezés a következőképpen alakítható át:

h b = √ ((2 * a) 2 + a 2/4) = a / 2 * √17 =>

a = 2 * h b / √17

Egy négyzet területe egyenlő az oldalai szorzatával. Az eredményül kapott kifejezést a helyére behelyettesítve a következőt kapjuk:

S = a 2 = 4/17 * h b 2

Marad az, hogy az apothem értékét a probléma feltételéből a képletbe helyettesítjük, és a választ felírjuk: S ≈ 60,2 cm 2.

Olvassa el még:

jegyzet... Ez a lecke része a geometriai problémákkal (sztereometriai szakasz, piramisfeladatok). Ha olyan geometriai feladatot kell megoldanod, ami nincs itt, írj róla a fórumba. A feladatokban a "négyzetgyök" szimbólum helyett az sqrt () függvényt használjuk, amelyben az sqrt a szimbólum négyzetgyök, és a gyök kifejezést zárójelben jelöljük.Egyszerű radikális kifejezéseknél a "√" jel használható.

Az elméleti anyagokat és képleteket lásd a " fejezetben Helyes piramis ".

Feladat

Egy szabályos háromszög alakú gúla apotémája 4 cm, a diéder szöge az alapnál 60 fok. Keresse meg a piramis térfogatát!

Megoldás.

Mivel a piramis helyes, vegye figyelembe a következőket:

• A piramis magasságát az alap közepére vetítjük
• A szabályos gúla alapjának középpontja a problémafelvetés szerint egy egyenlő oldalú háromszög
• Egy egyenlő oldalú háromszög középpontja a beírt és a körülírt körök középpontja is
• A piramis magassága derékszöget zár be az alapsíkkal

A piramis térfogata a következő képlettel határozható meg:
V = 1/3 Sh

Mivel egy szabályos gúla apotémája a gúla magasságával együtt derékszögű háromszöget alkot, ezért a magasság meghatározásához a szinuszok tételét használjuk. Ezenkívül vegye figyelembe:

• A figyelembe vett első szakasz derékszögű háromszög a magassága, a második láb a beírt kör sugara (szabályos háromszögben a középpont egyszerre a beírt és körülírt kör középpontja), a hipotenusz a piramis apotémája
• A derékszögű háromszög harmadik szöge 30 fok (a háromszög szögeinek összege 180 fok, a 60 fokos szög a feltétel szerint adott, a második szög egy egyenes a háromszög tulajdonságainak megfelelően piramis, a harmadik 180-90-60 = 30)
• szinusz 30 fok egyenlő 1/2
• 60 fok szinusza egyenlő a három gyökével a felében
• a 90 fok szinusza 1

A szinusztétel szerint:
4 / bűn (90) = h / bűn (60) = r / bűn (30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
ahol
r = 2
h = 2√3

A piramis tövében egy szabályos háromszög található, amelynek területét a következő képlettel találhatjuk meg:
Szabályos háromszög S értéke = 3√3 r 2.
S = 3√3 2 2.
S = 12√3.

Most keressük a piramis térfogatát:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 cm3.

Válasz: 24 cm 3.

Feladat

Egy szabályos négyszög alakú gúla alapjának magassága és oldala 24, illetve 14. keresse meg a gúla apotémjét.

Megoldás .

Mivel a piramis szabályos, az alján egy szabályos négyszög - egy négyzet - található. Ezenkívül a piramis magasságát a tér közepére vetítik. Így egy derékszögű háromszög szárának, amelyet a gúla apotémje alkot, magassága és az őket összekötő szakasz egy szabályos négyszögletű gúla alaphosszának felével egyenlő.

Honnan a Pitagorasz-tétel szerint az apotém hosszát az egyenletből találjuk meg:

7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25

Válasz: 25 cm