Egységes államvizsga 4 -re? Nem fog kitörni a boldogságtól?

A kérdés, mint mondják, érdekes ... Lehet, 4 -kor passzolhat! És ugyanakkor ne robbanjon ki ... A fő feltétel a rendszeres gyakorlás. Íme az alapvető felkészülés a matematika vizsgára. A vizsga minden titkával és titkával, amelyekről nem fog olvasni a tankönyvekben ... Tanulmányozza ezt a részt, oldjon meg további feladatokat a különféle források- és minden sikerülni fog! Feltételezzük, hogy az "Ez elég neked!" nem okoz számodra nehézséget. De ha hirtelen ... Kövesse a linkeket, ne legyen lusta!

És egy nagyszerű és szörnyű témával kezdjük.

Trigonometria

Figyelem!
Vannak további
anyagok az 555. sz.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon ..."
És azoknak, akik "nagyon ...")

Ez a téma sok problémát jelent a diákok számára. Az egyik legsúlyosabbnak tartják. Mi a szinusz és a koszinusz? Mi az érintő és a kotangens? Mi az a számkör?Érdemes feltenni ezeket az ártalmatlan kérdéseket, hiszen az ember elsápad és megpróbálja félreterelni a beszélgetést ... De hiába. Ezek egyszerű fogalmak. És ez a téma nem bonyolultabb, mint mások. Csak a kezdetektől fogva világosan meg kell értenie ezekre a kérdésekre adott válaszokat. Ez nagyon fontos. Ha megérti - tetszeni fog a trigonometria. Így,

Mi a szinusz és a koszinusz? Mi az érintő és a kotangens?

Kezdjük a mély ókorral. Ne aggódjon, 15 perc alatt lefedjük a trigonometria mind a 20 évszázadát, és magunk számára észrevétlenül megismételjük a geometria egy darabját a 8. osztályból.

Rajzoljunk egy derékszögű háromszöget oldalakkal a, b, cés szög NS... Itt egy.

Hadd emlékeztessem önöket, hogy a derékszöget alkotó oldalakat lábaknak nevezzük. a és b- lábak. Ketten vannak. A fennmaradó oldalt hipotenusznak nevezik. val vel- hypotenuse.

Háromszög és háromszög, gondolj bele! Mit csináljak vele? De az ókori emberek tudták, mit kell tenniük! Ismételjük meg tetteiket. Mérje meg az oldalát v... Az ábrán speciálisan rajzolt cellák rajzolódnak, mint a USE feladatok megtörténik. Oldal v négy cellával egyenlő. RENDBEN. Mérje meg az oldalát a. Három sejt.

Most osszuk el az oldal hosszát a oldalhossza szerint v... Vagy, mint mondják, vegyék a hozzáállást a Nak nek v. a / b= 3/4.

Ellenkezőleg, oszthat v tovább a. 4/3 -ot kapunk. Tud v részekre oszt val vel.Átfogó val vel sejtek nem tudják megszámolni, de egyenlő 5. Kapunk a / c= 4/5. Röviden, eloszthatja az oldalak hosszát egymással, és kaphat néhány számot.

És akkor mi van? Mi értelme van ennek érdekes lecke? Még nincs. Hülye foglalkozás, őszintén.)

Most tegyük ezt. Nagyítsuk ki a háromszöget. Oldalak kiterjesztése benne és vele, de úgy, hogy a háromszög téglalap alakú marad. Injekció NS természetesen nem változik. Ennek megtekintéséhez vigye az egérmutatót a kép fölé, vagy koppintson rá (ha tabletje van). A felek a, b és c válik m, n, k, és természetesen az oldalak hossza megváltozik.

De a kapcsolatuk nem az!

Hozzáállás a / b Ez volt: a / b= 3/4, most m / n= 6/8 = 3/4. A többi érintett fél kapcsolata is az nem fog változni ... A derékszögű háromszög oldalainak hosszát tetszés szerint módosíthatja, növelheti, csökkentheti, az x szög megváltoztatása nélkül – az érintettek kapcsolata nem változik ... Ellenőrizheti, de az ősi embereket szavukra veheti.

De ez már nagyon fontos! A derékszögű háromszög oldalai arányai semmilyen módon nem függenek az oldalak hosszától (azonos szög esetén). Ez annyira fontos, hogy a felek közötti kapcsolat elnyerte különleges neveit. A nevük, hogy úgy mondjam.) Találkozz.

Mi az x szög szinusa? ? Ez az ellentétes láb és a hypotenuse aránya:

sinx = a / s

Mi az x szög koszinusz? ? Ez a szomszédos láb és a hypotenuse aránya:

val velosx= a / c

Mekkora az x szög érintője? ? Ez az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya:

tgx =a / b

Mi az x szög kotangense? ? Ez a szomszédos láb és az ellenkező láb aránya:

ctgx = in / a

Minden nagyon egyszerű. Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens néhány szám közül. Dimenzió nélküli. Csak számok. Minden saroknak megvan a maga.

Miért ismételgetek mindent ilyen unalmasan? Akkor mi az emlékezni kell... Nehéz emlékezni. A memorizálás megkönnyíthető. Ismerősnek tűnik a "Kezdjük messziről ..." kifejezés? Tehát kezdje messziről.

Sinus szög az arány távoli a lábszögtől a hypotenusáig. Koszinusz- a szomszéd és a hypotenuse aránya.

Tangens szög az arány távoli a láb sarkától a legközelebbiig. Kotangens- oda-vissza.

Már könnyebb, nem?

Nos, ha emlékszel arra, hogy csak a lábak ülnek az érintőben és a kotangensben, és a hipotenusz megjelenik a szinuszban és a koszinuszban, akkor minden nagyon egyszerű lesz.

Ezt az egész dicsőséges családot - szinuszt, koszinuszt, érintőt és kotangent is nevezik trigonometrikus függvények.

És most egy megfontolásra váró kérdés.

Miért mondunk szinuszt, koszinuszt, érintőt és kotangent? sarok? A felek kapcsolatáról van szó, mint ... Mi köze ennek injekció?

Megnézzük a második képet. Pontosan ugyanaz, mint az első.

Vigye az egeret a kép fölé. Megváltoztattam a szöget NS... -Tól növelte x -től x -ig. Minden kapcsolat megváltozott! Hozzáállás a / b 3/4 volt, és a megfelelő arány t / in 6/4 lett.

És minden más kapcsolat más lett!

Ezért az oldalak kapcsolata semmilyen módon nem függ a hosszaiktól (egy szögben x), hanem élesen függ ettől a szögtől! És csak tőle. Ezért a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens kifejezések utalnak sarok. A sarok itt a fő.

Határozottan meg kell érteni, hogy a szög elválaszthatatlanul kapcsolódik trigonometrikus függvényeihez. Minden szögnek megvan a maga szinusz és koszinusz. És szinte mindenkinek megvan a saját érintője és kotangense. Fontos. Úgy tartják, hogy ha megadunk egy szöget, akkor annak szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét tudjuk ! És fordítva. Adott szinusz vagy bármely más trigonometrikus függvény azt jelenti, hogy ismerjük a szöget.

Vannak speciális táblázatok, ahol trigonometrikus függvényeket írnak le minden szöghez. A Bradis táblák neve. Nagyon régen állították össze. Mielőtt nem volt számológép vagy számítógép ...

Természetesen nem lehet minden szög trigonometrikus függvényeit megjegyezni. Kötelező csak néhány szögből ismerni őket, erről később. De a varázslat " Ismerem a szöget - ez azt jelenti, hogy ismerem a trigonometrikus funkcióit " - mindig működik!

Tehát megismételtünk egy geometriai darabot a 8. osztályból. Szükségünk van rá a vizsgára? Szükséges. Íme egy tipikus vizsga a vizsgából. Melynek megoldásához elég a 8. osztály. Adott egy kép:

Minden. Nincs több adat. Meg kell találni a BC láb hosszát.

A cellák nem sokat segítenek, a háromszög valahogy helytelenül van elhelyezve .... Különösen menjen ... Az információkból kiderül a hipotenusz hossza. 8 sejt. Valamiért szög van megadva.

Itt azonnal emlékeznie kell a trigonometriára. Van egy szög, ami azt jelenti, hogy ismerjük az összes trigonometrikus függvényét. A négy funkció közül melyiket érdemes használni? Lássuk, mit tudunk? Ismerjük a hipotenúzt, a szöget, de meg kell találnunk szomszédos a lábaknak ebben a sarkában! Világos, hogy a koszinuszt üzembe kell helyezni! Tehát elindítjuk. Csak írunk, a koszinusz definíciója szerint (az arány szomszédos láb a hypotenusához):

cosC = BC / 8

A C szög 60 fok, a koszinusz 1/2. Ezt tudnia kell, asztalok nélkül! Vagyis:

1/2 = Kr. E. / 8

Alapvető lineáris egyenlet... Ismeretlen - Nap... Aki elfelejtette, hogyan kell megoldani az egyenleteket, tegyen egy sétát a linken, a többi döntse el:

BC = 4

Amikor az ókori emberek rájöttek, hogy minden saroknak megvan a maga díszlete trigonometrikus függvények, ésszerű kérdésük volt. A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens nem függ össze valamilyen módon? Tehát a szög egy funkciójának ismeretében a többi megtalálható? Magának a szögnek a kiszámítása nélkül?

Olyan nyugtalanok voltak ...)

Egy szög trigonometrikus függvényei közötti kapcsolat.

Természetesen az azonos szögű szinusz, koszinusz, érintő és kotangens összefügg. A kifejezések közötti bármilyen kapcsolatot a matematika képletekkel határozza meg. A trigonometriában kolosszális mennyiségű képlet található. De itt megnézzük a legalapvetőbbeket. Ezeket a képleteket nevezik: alapvető trigonometrikus azonosságok. Itt vannak:

Ezeket a képleteket ironikusan kell ismerni. Nélkülük a trigonometriában egyáltalán nincs mit tenni. Ezekből az alapvető identitásokból további három segédidentitás következik:

Azonnal figyelmeztetlek, hogy az utolsó három képlet gyorsan kiesik a memóriából. Valamiért.) Ezekre a képletekre természetesen az első háromból következtethet. De nehéz időkben ... érted.)

Az olyan szabványos feladatokban, mint az alábbiak, van mód ezekre az elfelejthető képletekre. ÉS drasztikusan csökkenti a hibákat a feledékenység érdekében, és a számításokban is. Ez praktikus fogadtatás- az 555. szakaszban "Az azonos szögű trigonometriai függvények kapcsolata" című lecke.

Milyen feladatokban és hogyan használják az alapvető trigonometrikus azonosságokat? A legnépszerűbb feladat egy szög valamilyen funkciójának megtalálása, ha más megadva. A vizsgán ilyen feladat évről évre jelen van.) Például:

Keresse meg a sinxet, ha x hegyesszög és cosx = 0,8.

A feladat szinte elemi. Olyan képletet keresünk, ahol szinusz és koszinusz van. Ez a képlet:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Itt helyettesítjük az ismert értéket, nevezetesen a 0,8 -ot a koszinusz helyett:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Nos, szokás szerint számolunk:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 - 0,64

Gyakorlatilag ennyi. Kiszámítottuk a szinusz négyzetét, marad a négyzetgyök kivonása, és a válasz kész! A 0,36 gyöke 0,6.

A feladat szinte elemi. De a "majdnem" szó itt nem hiábavaló ... A tény az, hogy a sinx = - 0,6 válasz is megfelelő ... (-0,6) 2 szintén 0,36 lesz.

Két különböző választ kapunk. És kell egy. A második téves. Hogyan legyen !? Igen, szokás szerint.) Olvassa el figyelmesen a feladatot. Valamiért azt írja: ... ha x hegyes szög ... A feladatokban pedig minden szónak jelentése van, igen ... Ez a kifejezés - és a megoldáshoz további információk is tartoznak.

A hegyes szög 90 ° -nál kisebb szög. És ilyen sarkokban összes trigonometrikus függvények - mind szinusz, mind koszinusz, és érintő a kotangensrel - pozitív. Azok. itt egyszerűen elvetjük a negatív választ. Jogunk van.

Valójában a nyolcadikosoknak nincs szükségük ilyen finomságokra. Csak derékszögű háromszögekkel dolgoznak, ahol a sarkok csak élesek lehetnek. És nem tudják, boldogok, hogy vannak negatív szögek és 1000 ° -os szögek ... És ezeknek a szörnyű szögeknek megvan a maguk trigonometrikus funkciója, plusz és mínusz ...

De középiskolások a jelzés figyelembevétele nélkül - bármilyen módon. Sok tudás sokszorozza a bánatot, igen ...) És azért helyes döntés a feladat további információkat tartalmaz (ha szükséges). Például megadható egy ilyen bejegyzéssel:

Vagy valami más. Az alábbi példákban látni fogja.) Az ilyen példák megoldásához tudnia kell melyik negyedbe esik az adott x szög, és milyen előjelű a kívánt trigonometrikus függvény ebben a negyedévben.

A trigonometria ezen alapjait tárgyaljuk a leckékben arról, hogy mi a trigonometrikus kör, számolva ezen a körön a szögeket, a szög radián mértékét. Néha ismernie kell az érintő- és a kotangens koszinuszok szinuszainak táblázatát is.

Lássuk tehát a legfontosabbat:

Gyakorlati tanácsok:

1. Jegyezze meg a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióit. Nagyon hasznos.

2. Pontosan tanulja meg: a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens szorosan összekapcsolódik szögekkel. Egyet tudunk - ez azt jelenti, hogy mást is.

3. Világosan megtanuljuk: az egyik szög szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét a fő trigonometrikus azonosságok... Ha ismerünk egy függvényt, akkor ki tudjuk számítani (ha rendelkezünk a szükséges kiegészítő információkkal) az összes többit.

És most a szokásos módon megoldjuk. Először is a 8. osztályba tartozó feladatok. De a középiskolások is ...)

1. Számítsa ki a tgА értéket, ha ctgА = 0,4.

2. β a derékszögű háromszög szöge. Keresse meg a tgβ értékét, ha sinβ = 12/13.

3. Határozza meg az x hegyes szög szinuszát, ha tgx = 4/3.

4. Keresse meg a kifejezés értékét:

6sin 2 5 ° - 3 + 6cos 2 5 °

5. Keresse meg a kifejezés értékét:

(1-cosx) (1 + cosx), ha sinx = 0,3

Válaszok (pontosvesszővel elválasztva, zűrzavarban):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Megtörtént? Bírság! A nyolcadik osztályosok már megkaphatják az A -t.)

Nem sikerült minden? A 2. és 3. feladat valahogy nem túl ...? Nincs mit! Van egy szép trükk az ilyen feladatokhoz. Minden megoldott, gyakorlatilag, képletek nélkül! Nos, és ezért nincs hiba. Ezt a technikát ismertetjük a leckében: "Az azonos szögű trigonometriai függvények kapcsolata" az 555. szakaszban. Az összes többi feladat is ott van rendezve.

Ezek olyan feladatok voltak, mint az egységes államvizsga, de csonka verzióban. Egységes államvizsga - fény). És most szinte ugyanazok a feladatok vannak, de teljes értékű teszt formában. Tudással terhelt középiskolásoknak.)

6. Keresse meg a tgβ értékét, ha sinβ = 12/13, és

7. Határozza meg a sinx értéket, ha tgx = 4/3, és x az intervallumhoz tartozik ( - 540 °; - 450 °).

8. Keresse meg a sinβ · cosβ kifejezés értékét, ha ctgβ = 1.

Válaszok (zavartan):

0,8; 0,5; -2,4.

Itt a 6. feladatban a szög valahogy nem túl egyértelmű ... A 8. feladatban pedig egyáltalán nincs megadva! Ez szándékos). További információkat nemcsak a feladatból vesznek, hanem a fejből is.) De ha úgy dönt - egy helyes feladat garantált!

És ha még nem döntött? Hm ... Nos, az 555. szakasz itt segít. Ott mindezen feladatok megoldása részletes, nehéz nem megérteni.

Ez a lecke a trigonometrikus függvények nagyon korlátozott fogalmát mutatja be. 8. osztályon belül. És a véneknek még mindig vannak kérdéseik ...

Például, ha a szög NS(lásd a második képet ezen az oldalon) - legyen hülye !? A háromszög teljesen összeomlik! És hogyan legyen? Nem lesz láb, hipotenusz ... A sinus eltűnt ...

Ha az ókori emberek nem találnának kiutat ebből a helyzetből, akkor most sem mobiltelefonunk, sem tévénk, sem áramunk nem lenne. Igen igen! Elméleti alap mindezek trigonometrikus függvények nélkül - nulla pálca nélkül. De az ókori nép nem okozott csalódást. Hogyan jutottak ki - a következő leckében.

Ha tetszik ez az oldal ...

Egyébként van még néhány érdekes webhelyem az Ön számára.)

Gyakorolhatja a példák megoldását, és megtudhatja szintjét. Azonnali érvényesítési teszt. Tanulni - érdeklődéssel!)

megismerkedhet a függvényekkel és a származékokkal.

A matematika egyik ága, amellyel a diákok a legnagyobb nehézségekkel birkóznak meg, a trigonometria. Nem csoda: ahhoz, hogy szabadon elsajátítsd ezt a tudásterületet, rendelkezned kell térbeli gondolkodás, az a képesség, hogy képletek segítségével megtaláljuk a szinuszokat, koszinuszokat, érintőket, kotangenseket, leegyszerűsítjük a kifejezéseket, képesek vagyunk a pi számot használni a számítások során. Ezenkívül képesnek kell lennie a trigonometria alkalmazására a tételek bizonyításakor, és ehhez vagy fejlett matematikai memóriára van szükség, vagy komplex logikai láncok levezetésére.

A trigonometria eredete

Ennek a tudománynak az ismerete a szög szinuszának, koszinuszának és érintőjének meghatározásával kezdődik, de először ki kell derítenie, hogy a trigonometria általában mit tesz.

Történelmileg a derékszögű háromszögek képezték a matematikai tudomány ezen ágának fő kutatási tárgyát. A 90 fokos szög jelenléte lehetővé teszi különböző műveletek végrehajtását, amelyek lehetővé teszik a kérdéses ábra összes paraméterének értékének meghatározását két oldalon és egy sarkon, vagy két szögben és egy oldalon. A múltban az emberek észrevették ezt a mintát, és aktívan kezdték használni az épületek építésében, a navigációban, a csillagászatban és még a művészetben is.

Első fázis

Kezdetben az emberek kizárólag a derékszögű háromszögek példájáról beszéltek a szögek és oldalak kapcsolatáról. Ekkor különleges képleteket fedeztek fel, amelyek lehetővé tették a felhasználási határok bővítését Mindennapi élet a matematika ezen szakaszának.

A mai iskolában a trigonometria tanulmányozása derékszögű háromszögekkel kezdődik, ezt követően a megszerzett ismereteket a fizika és absztrakt trigonometriai egyenletek megoldása során használják fel a tanulók, amelyekkel a munka középiskolában kezdődik.

Gömb trigonometria

Később, amikor a tudomány elérte a következő fejlettségi szintet, a szinuszos, koszinuszos, érintőleges, kotangens képleteket kezdték használni a gömbgeometriában, ahol eltérő szabályok érvényesek, és a háromszögek szögeinek összege mindig több mint 180 fok. Ezt a szakaszt az iskolában nem tanulmányozzák, de tudnia kell annak létezéséről, legalábbis azért, mert a föld felszíne és bármely más bolygó felülete domború, ami azt jelenti, hogy minden felületi jelölés megjelenik háromdimenziós tér"Íves".

Vegyük a földgömböt és a húrt. Rögzítse a húrt a földgömb bármely két pontjához úgy, hogy feszes legyen. Vigyázzon - ív alakot öltött. A gömbgeometria, amelyet a geodézia, a csillagászat és más elméleti és alkalmazott területeken használnak, ilyen formákkal foglalkozik.

Derékszögű háromszög

Miután megtanultunk egy kicsit a trigonometria használatának módjairól, térjünk vissza az alapvető trigonometriához, hogy jobban megértsük, mi a szinusz, a koszinusz, az érintő, milyen számításokat lehet elvégezni segítségükkel és milyen képleteket kell használni ebben az esetben.

Az első lépés a derékszögű háromszöggel kapcsolatos fogalmak megértése. Először is, a hipotenusz a 90 fokos szöggel szemben lévő oldal. Ez a leghosszabb. Emlékszünk, hogy a Pitagorasz -tétel szerint számértéke megegyezik a másik két oldal négyzetösszegeinek gyökével.

Például, ha a két oldal 3, illetve 4 centiméter, akkor a hypotenuse hossza 5 centiméter. Egyébként az ókori egyiptomiak körülbelül négy és fél ezer évvel ezelőtt tudtak róla.

A két fennmaradó oldalt, amelyek derékszöget alkotnak, lábnak nevezzük. Ezenkívül emlékezni kell arra, hogy a háromszög szögeinek összege téglalap alakú koordináta -rendszerben 180 fok.

Meghatározás

Végül, ha a geometriai alapot alaposan megértjük, rátérhetünk a szinusz, koszinusz és érintő definíciójára.

A szög szinuszát az ellenkező láb (vagyis a kívánt szöggel szemben lévő oldal) és a hypotenuse aránya jelenti. A szög koszinusza a szomszédos láb és a hypotenus aránya.

Ne feledje, hogy sem a szinusz, sem a koszinusz nem lehet nagyobb egynél! Miért? Mivel a hypotenuse alapértelmezés szerint a leghosszabb. Nem számít, milyen hosszú a lába, rövidebb lesz, mint a hypotenuse, ami azt jelenti, hogy arányuk mindig kisebb lesz, mint egy. Így ha egy feladatra adott szinusz vagy koszinusz értéke 1 -nél nagyobb, akkor keressen hibát a számításokban vagy az érvelésben. Ez a válasz határozottan téves.

Végül egy szög érintője az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya. A szinusz elosztása a koszinussal ugyanazt az eredményt adja. Nézd: a képletnek megfelelően az oldal hosszát elosztjuk a hypotenusszal, majd a második oldal hosszával, és megszorozzuk a hypotenusszal. Így ugyanazt az összefüggést kapjuk, mint az érintő definíciójában.

A kotangens a sarokkal szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha az egyiket elosztjuk az érintővel.

Tehát megnéztük a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióit, és meg tudjuk csinálni a képleteket.

A legegyszerűbb képletek

A trigonometriában nem nélkülözheti a képleteket - hogyan lehet ezek nélkül szinuszt, koszinuszt, érintőt, kotangent találni? De pontosan ez szükséges a problémák megoldásához.

Az első képlet, amelyet ismernie kell, amikor elkezdi tanulni a trigonometriát, azt mondja, hogy egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege egyenlő. Ez a képlet a Pitagorasz -tétel közvetlen következménye, de időt takarít meg, ha a szöget akarja tudni, nem az oldalát.

Sok diák nem emlékszik a második képletre, amely szintén nagyon népszerű a megoldásban iskolai feladatok: Egy szög és az érintő négyzetének összege megegyezik egy osztva a szög koszinuszának négyzetével. Nézze meg közelebbről: elvégre ez ugyanaz az állítás, mint az első képletben, csak az identitás mindkét oldalát osztotta meg a koszinusz négyzete. Kiderült, hogy egy egyszerű matematikai művelet igen trigonometriai képlet teljesen felismerhetetlen. Ne feledje: ha tudja, hogy mi a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens, az átalakítási szabályok és néhány alapvető képlet, akkor bármikor levezetheti a szükséges többet bonyolult képletek egy darab papírra.

Kettős szög és érv összeadási képletek

További két képlet, amelyet meg kell tanulnia, a szinusz és a koszinusz értékeihez kapcsolódik a szögek összegére és különbségére. Az alábbi ábrán láthatók. Kérjük, vegye figyelembe, hogy az első esetben a szinusz és a koszinusz mindkét alkalommal megszorozódik, a másodikban pedig a szinusz és a koszinusz páros szorzatát adjuk hozzá.

Vannak olyan képletek is, amelyek kettős szögű argumentumokhoz kapcsolódnak. Teljesen az előzőekből származnak - edzésként próbáld meg magad beszerezni őket, figyelembe véve a béta szöggel megegyező alfa szöget.

Végül vegye figyelembe, hogy a kettős szögű képletek átalakíthatók a szinusz, a koszinusz és az érintő alfa fokának csökkentésére.

Tételek

Az alapvető trigonometria két fő tétele a szinusz- és a koszinusz -tétel. Ezen tételek segítségével könnyen megértheti, hogyan lehet megtalálni a szinuszt, a koszinuszt és az érintőt, és ezért az ábra területét, valamint az egyes oldalak nagyságát stb.

A szinusz -tétel szerint a háromszög minden oldalának hosszát elosztva az ellenkező szög értékével kapjuk ugyanazt a számot... Ezenkívül ez a szám megegyezik a körülírt kör két sugarával, vagyis a háromszög összes pontját tartalmazó körrel.

A koszinusz -tétel általánosítja a Pitagorasz -tételt úgy, hogy azt bármely háromszögre kivetíti. Kiderül, hogy a két oldal négyzeteinek összegéből vonjuk le szorzatukat, megszorozva a hozzájuk tartozó szög kettős koszinuszával - a kapott érték egyenlő lesz a harmadik oldal négyzetével. Így a Pitagorasz -tétel a koszinusz -tétel különleges esete.

Véletlen hibák

Még annak ismeretében is, hogy mi a szinusz, a koszinusz és az érintő, könnyű hibázni a figyelemelterelés vagy a legegyszerűbb számítások hibája miatt. Az ilyen hibák elkerülése érdekében nézzük meg a legnépszerűbbeket.

Először is, ne konvertálja a közönséges törteket tizedesre, amíg a végeredmény meg nem születik - a választ a formában hagyhatja közönséges tört hacsak az állapot másként nem rendelkezik. Az ilyen átalakítást nem lehet hibának nevezni, de emlékezni kell arra, hogy a feladat minden szakaszában új gyökerek jelenhetnek meg, amelyeket a szerző elképzelése szerint le kell rövidíteni. Ebben az esetben időt pazarol a felesleges matematikai műveletekre. Ez különösen igaz az olyan értékekre, mint a három vagy kettő gyökere, mert ezek minden lépésben megtalálhatók a problémákban. Ugyanez vonatkozik a "csúnya" számok kerekítésére is.

Továbbá vegye figyelembe, hogy a koszinusz -tétel minden háromszögre vonatkozik, de nem a Pitagorasz -tételre! Ha tévedésből elfelejti levonni az oldalak kettős szorzatát, megszorozva a köztük lévő szög koszinuszával, akkor nem csak egy teljesen rossz eredményt kap, hanem azt is, hogy a téma megértésének teljes hiányát mutatja. Ez rosszabb, mint egy gondatlan hiba.

Harmadszor, ne keverje össze a 30 és 60 fokos szögek értékeit a szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek esetében. Emlékezzen ezekre az értékekre, mert a 30 fokos szinusz egyenlő a 60 -as koszinussal, és fordítva. Könnyű összetéveszteni őket, aminek következtében elkerülhetetlenül hibás eredményt kap.

Alkalmazás

Sok diák nem siet a trigonometria tanulásával, mert nem érti annak jelentését. Mi a szinusz, a koszinusz, az érintő egy mérnök vagy csillagász számára? Ezek olyan fogalmak, amelyeknek köszönhetően kiszámíthatja a távoli csillagok távolságát, megjósolhatja a meteorit leesését, kutatási szondát küldhet egy másik bolygóra. Nélkülük lehetetlen épületet építeni, autót tervezni, kiszámítani a tárgy felületének vagy pályájának terhelését. És ezek csak a legnyilvánvalóbb példák! Hiszen a trigonometriát ilyen vagy olyan formában mindenhol használják, a zenétől a gyógyászatig.

Végül

Tehát szinusz, koszinusz, érintő vagy. Használhatja őket számításokban, és sikeresen megoldhatja az iskolai problémákat.

A trigonometria lényege abban rejlik, hogy a háromszög ismeretlen paramétereit az ismert paraméterek felhasználásával kell kiszámítani. Ezek közül hat paraméter létezik: a három oldal hossza és a három szög nagysága. A feladatokban annyi különbség van, hogy különböző bemenetek vannak megadva.

Most már tudja, hogyan lehet megtalálni a szinuszt, a koszinuszt, az érintőt a lábak ismert hossza vagy a hypotenuse alapján. Mivel ezek a kifejezések nem jelentenek mást, mint egy arányt, és az arány töredék, a trigonometriai feladat fő célja egy közönséges egyenlet vagy egyenletrendszer gyökereinek megtalálása. És itt a szokásos iskolai matematika segít.

Utasítás

1. módszer: A Pitagorasz -tétel felhasználásával. A tétel szerint: a hipotenusz négyzete megegyezik a lábak négyzeteinek összegével. Ebből következik, hogy a derékszögű háromszög bármelyik oldala kiszámítható a másik két oldal ismeretében (2. ábra)

2. módszer. Ebből következik, hogy a hipotenúzából húzott medián 3 hasonló háromszöget képez egymás között (3. ábra). Ezen az ábrán az ABC, BCD és ACD háromszögek hasonlóak.

6. példa: Egységkörök használata koordináták kereséséhez

Először is megtaláljuk az adott szögnek megfelelő referencia szöget. Ezután vesszük a referenciaszög szinusz- és koszinuszértékét, és megadjuk nekik a kvadráns y- és x-értékeinek megfelelő jeleket. Ezután megtaláljuk az adott szög koszinuszát és szinuszát.

Szitaszög, szögháromszög és kockagyök

Az iránytűvel és vonalzóval rajzolható sokszögek közé tartozik.

Megjegyzés: A szita szöge nem ábrázolható iránytű és vonalzó segítségével. Ha egy kocka oldalhosszát megszorozzuk a 2 -es kockagyökével, akkor megkapjuk a dupla térfogatú kocka oldalhosszát. Évariste Galois francia matematikus innovatív elméletének segítségével kimutatható, hogy mindhárom esetében klasszikus problémák körrel és vonalzóval való építkezés nem lehetséges.

A hipotenusz egy derékszögű háromszög oldala, amely 90 fokos szöggel szemben van. A hosszúság kiszámításához elegendő tudni az egyik láb hosszát és a háromszög egyik hegyesszögének méretét.

Ne feledje: három részből álló szög és kockagyökér-kialakítás nem lehetséges iránytűvel és vonalzóval.

Másrészt a Cardano képletével egy harmadfokú egyenlet megoldása ábrázolható a szög és a köbgyök elosztásával. A következőkben egy bizonyos szöget építünk körrel és vonalzóval. Ennek a szögnek a háromszöge és a kockagyök meghatározása után azonban a négyzet alakú szita építésének befejezése iránytű és vonalzó segítségével elvégezhető.

Ennek a számításnak megfelelően építsen rácsos fedélzetet

Az építési probléma algebrai megfogalmazása egy egyenlethez vezet, amelynek szerkezeti elemzése további információkkal szolgál a terner szerkezet felépítéséről. Itt a szög és koszinuszának egy az egyhez arányát használjuk: ha a szög értéke ismert, akkor a szög koszinuszának hossza egyedileg ábrázolható az egységkörön és fordítva.

Utasítás

Ismert lábakkal és derékszögű háromszög hegyesszögével a hipotenúz mérete megegyezhet a láb és a szög koszinusz / szinusz arányával, ha ez a szög vele szemben van / szomszédos:

h = Cl (vagy C2) / sinα;

h = C1 (vagy C2) / cosα.

Példa: Adjunk meg egy ABC derékszögű háromszöget AB hipotenúzzal és C derékszöggel. Legyen B szög 60 fok, A szög pedig 30 fok. A BC láb hossza 8 cm. Meg kell találni az a hypotenuse AB. Ehhez a fenti módszerek bármelyikét használhatja:

Ez az egy-egy hozzárendelés lehetővé teszi a szög meghatározásától a szög koszinuszának meghatározását. A következőkben 3 φ az osztandó szöget jelöli. Így φ az a szög, amelynek értékét az adott 3 φ -ra kell meghatározni. Kezdve a trigonometriából ismert vegyületekkel.

Adott 3 angle szögben követi. A háromdimenziós egyenlet megoldhatóságának algebrai megfontolása közvetlenül a megoldások felépítésének lehetőségéhez és következésképpen egy adott szög konstruktív hármasszögének lehetőségéhez vagy lehetetlenségéhez vezet.

AB = BC / cos60 = 8 cm.

AB = BC / sin30 = 8 cm.

A hipotenusz egy derékszögű háromszög oldala, amely a derékszöggel szemben helyezkedik el. Ez a derékszögű háromszög legnagyobb oldala. A Pitagorasz -tétel vagy a trigonometrikus függvények képleteinek segítségével kiszámítható.

A kilépési szög nagysága nagyban befolyásolja a harmadik szög összekapcsolásának lehetőségét, mivel ez abszolút kifejezésként döntően meghatározza a megoldások típusát a háromdimenziós egyenletben. Ha a háromszögelési egyenletnek van legalább egy valós megoldása, amely racionális műveletek vagy rajz segítségével érhető el négyzetgyök adott kezdőszög esetén ez a megoldás konstruktív.

Breidenbach kritériumként fogalmazta meg, hogy a három másodperces szög csak ben értelmezhető racionális megoldás egyenletek három részből. Ha nem áll rendelkezésre ilyen megoldás, a háromrészes konstrukció problémája összeegyeztethetetlen az iránytűvel és az vonalzóval. Klaszteranalízis - általános módszer kis csoportok összeállításai egy nagy adathalmazból. A diszkrimináns elemzéshez hasonlóan a klaszteranalízist is használják az esetek csoportokba sorolására. Másrészt a diszkriminatív elemzés megköveteli a csoporttagságok ismeretét az osztályozási szabály levezetéséhez használt esetekben.

Utasítás

A lábakat derékszögű háromszög oldalait nevezzük derékszöggel szomszédosnak. Az ábrán a lábak AB és BC jelöléssel vannak ellátva. Adjuk meg mindkét láb hosszát. Jelöljük őket | AB | -nek és | Kr. e. Annak érdekében, hogy megtaláljuk a hipotenusz | AC | hosszát, a Pythagoreus -tételt használjuk. E tétel szerint a lábak négyzeteinek összege egyenlő a hipotenusz négyzetével, azaz ábránk jelölésében | AB | ^ 2 + | BC | ^ 2 = | AC | ^ 2. A képletből azt kapjuk, hogy az AC hipotenusz hossza | AC | = √ (| AB | ^ 2 + | BC | ^ 2).

A klaszteranalízis primitívebb, mert nem feltételez a csoportok számáról vagy a csoporttagságról. Osztályozás A klaszteranalízis lehetőséget nyújt a lehetséges kapcsolatok felfedezésére és szisztematikus struktúra létrehozására egy nagy szám változók és megfigyelések. A hierarchikus klaszteranalízis a fő statisztikai módszer viszonylag homogén esethalmazok megtalálására a mért jellemzők alapján. Minden egyes esettel külön fürtként kezdődik.

A klasztereket ezután egymás után egyesítik, a klaszterek száma minden lépéssel csökken, amíg csak egy fürt marad. A fürtözési módszer az objektumok közötti különbségeket használja fürtök létrehozásához. A hierarchikus klaszterelemzés a legalkalmasabb a kis mintákra.

Nézzünk egy példát. Legyen a lábak hossza | AB | = 13, | Kr. | = 21. A Pitagorasz -tétel alapján azt kapjuk, hogy | AC | ^ 2 = 13 ^ 2 + 21 ^ 2 = 169 + 441 = 610. Ahhoz, hogy megkapjuk a hipotenusz hosszát, ki kell vonni a a lábak négyzeteinek összege, azaz 610 közül: | AC | = √610. Az egész számok négyzetek táblázatát használva megtudjuk, hogy a 610 szám nem egész négyzet. Annak érdekében, hogy megkapjuk a hipotenusz hosszának végső értékét, próbáljuk meg kivenni a teljes négyzetet a gyökjelből. Ehhez vegye figyelembe a 610 számot. 610 = 2 * 5 * 61. A prímszámok táblázata szerint azt látjuk, hogy 61 prímszám. Ezért a √610 szám további csökkentése lehetetlen. Megkapjuk a végső választ | AC | = √610.
Ha a hypotenuse négyzete egyenlő, például 675, akkor √675 = √ (3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Ha lehetséges ilyen csökkentés, végezze el a fordított ellenőrzést - négyzetezze az eredményt, és hasonlítsa össze az eredeti értékkel.

A hierarchikus klaszterelemzés csak egy módja annak, hogy megfigyeljük a homogén változócsoportok kialakulását. Az elemzéshez nincs specifikus módszer a klaszterek számának beállítására. Talán meg kell vizsgálnia a dendrogramot, valamint a klaszterek jellemzőit, majd fokozatosan módosítania kell a számot, hogy jó klaszterezési megoldást kapjon.

Ha a változókat különböző skálákon mérik, akkor három módja van a változók szabványosítására. Ennek eredményeképpen minden nagyjából azonos arányú változó hozzájárul a távolság méréséhez, még akkor is, ha elveszítheti a változók varianciájával kapcsolatos információkat.

Tudassa velünk az egyik lábat és a mellette lévő sarkot. A határozottság kedvéért legyen láb | AB | és α szög. Ezután használhatjuk a koszinusz trigonometrikus függvényének képletét - a szög koszinusza megegyezik a szomszédos láb és a hipotenusz arányával. Azok. jelölésünkben cos α = | AB | / | AC |. Ebből megkapjuk a hypotenuse | AC | hosszát = | AB | / cos α.
Ha ismerjük a lábat | Kr. | és α szög, akkor a képlet segítségével kiszámítjuk a szög szinuszát - a szög szinusz egyenlő a szemközti láb és a hipotenusz arányával: sin α = | BC | / | AC |. Azt kapjuk, hogy a hipotenusz hossza | AC | = | Kr. | / cos α.

Euklideszi távolság: Az euklideszi távolság a leggyakoribb mérési módszer. Négyzet alakú euklideszi távolság: Az euklideszi távolság négyzete az egymástól távolabbi tárgyakra összpontosítja a figyelmet. Távolság a városi blokktól: Mind a városrész, mind az euklideszi távolság a Minkowski -mutató speciális esetei. Míg az euklideszi távolság a két pont közötti legrövidebb út hosszának felel meg, addig a városrész mentén mért távolság az egyes dimenziók közötti távolságok összege. Pearson -korrelációs távolság Két megfigyelés 1 és a koszinusz tényező közötti különbség A koszinusz tényező a két vektor közötti szög koszinusza. Jacard -távolság Az 1 és a Jacard -együttható közötti különbség két megfigyelés esetén A bináris adatoknál a Jacard -együttható az átfedés összegének és a két megfigyelés összegének aránya. Legközelebbi szomszéd Ez a módszer feltételezi, hogy a két klaszter közötti távolság megfelel a legközelebbi szomszéd jellemzői közötti távolságnak. Legjobb szomszéd Ebben a módszerben a két klaszter közötti távolság megfelel a különböző klaszterekben lévő két objektum közötti maximális távolságnak. Csoportátlag: Ezzel a módszerrel a két klaszter közötti távolság megfelel a különböző klaszterek összes objektumpárja közötti átlagos távolságnak. Ez a módszer általában ajánlott, mert nagyobb mennyiségű információt tartalmaz. Medián Ez a módszer azonos a centroid módszerrel, kivéve, hogy súlytalan. Ezután minden esetben kiszámítják a másodfokú euklideszi távolságot a klaszter átlagától. Az összevonandó klaszter az, amely legalább növeli az összeget. Vagyis ez a módszer minimalizálja a klasztereken belüli négyzetes távolságok összösszegének növekedését. Ez a módszer kisebb klasztereket hoz létre.

• Ez a geometriai távolság a többdimenziós térben.
• Csak folyamatos változókhoz alkalmas.
• Koszinusz távolság Két értékvektor közötti szög koszinusz.
• Ez a módszer ajánlott festett fürtök rajzolásakor.
• Ha a rajzolt fürtök egyedi csomókat alkotnak, a módszer megfelelő.
• A klaszter középpontja a többdimenziós tér középpontja.
• Nem szabad használni, ha a fürtök mérete nagyon eltérő.
• Az összes változó osztályának átlagait minden klaszterre kiszámítják.
• Ezeket a távolságokat minden esetben összeadjuk.

Az ötlet az, hogy minimalizálja az adatok és a megfelelő klaszterek közötti távolságot.

Az egyértelműség kedvéért vegyünk egy példát. Legyen a láb hossza | AB | = 15. És az α = 60 ° szög. Kapjuk | AC | = 15 / cos 60 ° = 15 / 0,5 = 30.
Fontolja meg, hogyan ellenőrizheti eredményét a Pitagorasz -tétel segítségével. Ehhez ki kell számolnunk a második láb hossza | BC |. A tan α = | BC | szög érintőjének képletét használva / | AC |, megkapjuk | BC | = | AB | * tan α = 15 * tan 60 ° = 15 * √3. Ekkor alkalmazzuk a Pitagorasz -tételt, így 15 ^ 2 + (15 * √3) ^ 2 = 30 ^ 2 => 225 + 675 = 900. Az ellenőrzés befejeződött.

A szinuszfüggvényt a szinusz fogalma határozza meg, szem előtt tartva, hogy a szöget mindig radiánban kell kifejezni. A szinuszos funkció több jellemzőjét figyelhetjük meg.

• A domain minden valódi dolgot tartalmaz.
• Ebben az esetben a függvényt periodikusnak mondjuk, a 2π periódusnak.

A koszinusz funkciót a koszinusz fogalmából határozzuk meg, szem előtt tartva, hogy a szöget mindig radiánban kell kifejezni.

A koszinuszfüggvény több jellemzőjét megfigyelhetjük. Ez tehát 2π időszakos periódus. ... A korlátozás nem távolítja el a képlet általánosságát, mert mindig csökkenthetjük a második, harmadik és negyedik negyed negyedének szögeit az elsőhöz. A feladat. - Számítsa ki a 15º szinuszt számológép használata nélkül.

A hipotenusz kiszámítása után ellenőrizze, hogy a kapott érték megfelel -e a Pitagorasz -tételnek.

Források:

• asztal prímszámok 1 -től 10000 -ig

Lábak hívjuk a derékszögű háromszög két rövid oldalát, amelyek azt a csúcsot alkotják, amelynek nagysága 90 °. Az ilyen háromszög harmadik oldalát hipotenusznak nevezik. A háromszög ezen oldalai és szögei bizonyos arányokkal kapcsolódnak egymáshoz, amelyek lehetővé teszik a láb hosszának kiszámítását, ha több más paraméter ismert.

Koszinusz két szög összegéből

Két szög különbségének koszinusz

A képlet megszerzéséhez ugyanúgy folytathatjuk, mint az előző részben, de látni fogunk egy másik nagyon egyszerű bemutatót a Pitagorasz -tétel alapján. A jel egyszerűsítése és megváltoztatása megvan. Az érintőösszeg és két szög különbsége.

A feladat. Mai cikkünkben megvizsgálunk egy nagyon specifikus részhalmazt: a trigonometriai függvényeket. Ahhoz, hogy élvezhessük mindazt, amit a matematika kínál, importálnunk kell. A következő cikkben más importstílusokat fogunk látni, mindegyiknek megvan a maga előnye és hátránya. Ezzel az egyszerű utasítással azonban már hozzáférhet a teljes névtérhez matematikai modul tele van tucatnyi funkcióval, beleértve azokat is, amelyekkel ma foglalkozunk.

Utasítás

Használja a Pythagorasz -tételt a láb (A) hosszának kiszámításához, ha ismeri a derékszögű háromszög másik két oldalának (B és C) hosszát. Ez a tétel azt állítja, hogy a négyzetes lábhosszak összege megegyezik a hipotenusz négyzetével. Ebből következik, hogy mindegyik láb hossza egyenlő négyzetgyök a hypotenuse és a második láb hosszának négyzetei közötti különbségből: A = √ (C²-B²).

Alapvetően ki kell számolnunk egy szög szinuszát, koszinuszát és érintőjét, valamint fordított függvényeit. Ezenkívül szeretnénk, ha radiánban és fokban is dolgozhatnánk, hogy a megfelelő konverziós függvényeket is használhassuk.

Ne feledje, hogy ezek a függvények azt várják, hogy az érvet radiánban adjuk meg, nem pedig fokokban. Ebből a célból kíváncsi lesz arra, hogy a következő állandója van. Tehát ezt a kifejezést használhatjuk numerikus érték helyett.

Nincs közvetlen funkciója a koszekánsnak, a szekánsnak és a kotangensnek, mivel ez nem szükséges, mivel egyszerűen inverzek a szinusz, a koszinusz és az érintő között. A korábbiakhoz hasonlóan a visszaadott szög is radiánban van megadva. Egy másik hasznos matematikai függvény lehetővé teszi számunkra, hogy megtudjuk egy derékszögű háromszög hipotenuszának értékét, figyelembe véve a lábait, ami lehetővé teszi számuk négyzetösszegének négyzetgyökének kiszámítását.

Használja a "szinusz" közvetlen trigonometrikus függvény definícióját egy hegyes szög esetén, ha ismeri a számított lábbal szemben lévő szög (α) értékét és a hipotenusz hosszát (C). Ez a definíció azt állítja, hogy ennek az ismert szögnek a szinuszát a kívánt láb és a hypotenuse hosszának arányával kell megegyezni. Ez azt jelenti, hogy a kívánt láb hossza megegyezik a hypotenuse hosszának és az ismert szög szinuszának szorzatával: A = C ∗ sin (α). Ugyanazokra az ismert mennyiségekre használhatja a cosecant függvény definícióját, és kiszámíthatja a szükséges hosszúságot úgy, hogy a hypotenuse hosszát elosztja az A = C / cosec (α) ismert szög koszekánsával.

Használja a közvetlen trigonometrikus koszinuszfüggvény definícióját, ha a hipotenusz (C) hossza mellett a kívánt láb melletti hegyesszög (β) értéke is ismert. Ennek a szögnek a koszinuszát a kívánt láb és a hypotenuse hosszának arányaként határozzuk meg, és ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a láb hossza megegyezik a hypotenuse hosszának szorzatával az ismert koszinusz által. szög: A = C ∗ cos (β). Használhatja a secant függvény definícióját, és kiszámíthatja a kívánt értéket úgy, hogy a hypotenuse hosszát elosztja az ismert szög A = C / sec (β) szekánsával.

Származtassa le a kívánt képletet egy hasonló definícióból a trigonometrikus függvény érintőjének deriváltjára, ha az éles szög (α) mellett, amely a kívánt lábbal (A) szemben található, ismert a második láb (B) hossza . A kívánt szárral ellentétes szög érintője ennek a lábnak a hosszúságának és a második láb hosszának az aránya. Ez azt jelenti, hogy a szükséges érték megegyezik az ismert láb hosszának szorzatával az ismert szög érintőjével: A = B ∗ tg (α). Egy másik képlet ugyanabból az ismert mennyiségből származtatható, ha a kotangens függvény definícióját használjuk. Ebben az esetben a láb hosszának kiszámításához meg kell találni az ismert láb hosszának és az ismert szög kotangensének arányát: A = B / ctg (α).

Kapcsolódó videók

A „cathet” szó görögből került oroszul. Pontos fordításban ez egy függőleges vonalat jelent, vagyis merőleges a föld felszínére. A matematikában a lábakat olyan oldalaknak nevezzük, amelyek derékszögű háromszög derékszögét alkotják. Az ezzel a sarokkal szemközti oldalt hipotenusznak nevezik. A "láb" kifejezést az építészetben és a hegesztési technológiában is használják.

Rajzolj egy derékszögű háromszöget ACB. Címkézze a lábait a és b, a hipotenúzust pedig c. A derékszögű háromszög minden oldala és sarka bizonyos összefüggésekkel van összekapcsolva. Az egyik hegyesszöggel szemben lévő láb és a hypotenus arányát az adott szög szinuszának nevezzük. Ebben a háromszögben sinCAB = a / c. A koszinusz a szomszédos láb hipotenuszához viszonyított arány, azaz cosCAB = b / c. A fordított kapcsolatokat szekánsnak és kozekánsnak nevezik.

Egy adott szög szekánsát úgy kapjuk meg, hogy a hypotenust elosztjuk a szomszédos lábbal, azaz secCAB = c / b. Kiderül, hogy a koszinusz fordítottja, vagyis kifejezhető a secCAB = 1 / cosSAB képlet segítségével.
A koszekáns megegyezik a hányados hányadosával, amikor elosztja a hipotenúzt az ellenkező lábbal, és ez a szinusz reciproka. Kiszámítható a cosecCAB = 1 / sinCAB képlet segítségével

Mindkét lábat érintő és kotangens köti össze. Ebben az esetben az érintő az a oldal és a b oldal aránya, vagyis az ellenkező láb a szomszédoséval. Ezt az arányt a tgCAB = a / b képlettel fejezhetjük ki. Ennek megfelelően a fordított összefüggés lesz a kotangens: ctgCAB = b / a.

A hypotenuse és mindkét láb mérete közötti arányt az ókori görög matematikus, Pythagoras határozta meg. Az emberek még mindig használják a róla elnevezett tételt. Azt mondja, hogy a hipotenusz négyzete megegyezik a lábak négyzeteinek összegével, azaz c2 = a2 + b2. Ennek megfelelően minden láb egyenlő lesz a hypotenuse és a másik láb négyzetei közötti különbség négyzetgyökével. Ez a képlet b = √ (c2-a2) formában írható fel.

A láb hossza az Ön által ismert kapcsolatokon keresztül is kifejezhető. A szinuszok és koszinuszok tételei szerint a láb egyenlő a hypotenuse és ezen funkciók egyikének szorzatával. Kifejezheti érintő vagy kotangens formájában is. Az a láb megtalálható például az a = b * tan CAB képlettel. Ugyanígy, a megadott érintőtől vagy kotangentől függően a második lábat is meg kell határozni.

A "láb" kifejezést az építészetben is használják. Ez egy ionos fővárosra vonatkozik, és a háta közepén egy függőleges vonalat jelöl. Vagyis ebben az esetben is ez a kifejezés egy adott egyenesre merőlegeset jelöl.

A hegesztés technológiájában létezik a "filéhegesztési lábak" fogalma. Más esetekhez hasonlóan ez a legrövidebb távolság. Itt jön az egyik hegesztendő rész közötti résről a másik rész felületén elhelyezkedő varrat határához.

Kapcsolódó videók

Források:

• mi a láb és a hypotenuse

Kapcsolódó videók

jegyzet

Egy derékszögű háromszög oldalainak kiszámításakor a jellemzőinek ismerete játszhat:
1) Ha a derékszög lába 30 fokos szöggel szemben helyezkedik el, akkor az egyenlő a hipotenusz felével;
2) A hypotenuse mindig hosszabb, mint bármelyik láb;
3) Ha egy kört egy derékszögű háromszög körül írnak le, akkor annak középpontja a hipotenusz közepén legyen.

Ahol a derékszögű háromszög megoldásával kapcsolatos problémákat fontolgattak, megígértem, hogy felvázolok egy technikát a szinusz és a koszinusz meghatározásának memorizálására. Használatával mindig gyorsan emlékezni fog arra, hogy melyik láb tartozik a hypotenusához (szomszédos vagy ellentétes). Úgy döntöttem, hogy nem teszem a hátsó égőre, a szükséges anyag alább található, kérjük, olvassa el 😉

A tény az, hogy többször megfigyeltem, hogy a 10-11. Évfolyam diákjai nehezen emlékeznek ezekre a meghatározásokra. Tökéletesen emlékeznek arra, hogy a láb a hypotenusához tartozik, de melyikük - elfelejtik és zavaros. A hiba költsége, amint azt a vizsgán is tudja, elveszett pont.

Azoknak az információknak, amelyeket közvetlenül a matematikának mutatok be, semmi közük hozzá. Ez összefügg a figurális gondolkodással és a verbális-logikai kommunikáció módszereivel. Így van, magam is egyszer és mindenkorra emlékeztem definíciós adatok. Ha elfelejti őket, akkor a bemutatott technikák segítségével mindig könnyen megjegyezhető.

Hadd emlékeztessem a szinusz és a koszinusz definícióira egy derékszögű háromszögben:

Koszinusz hegyes szög egy derékszögű háromszögben a szomszédos láb és a hypotenuse aránya:

Sinus hegyes szög egy derékszögű háromszögben az ellenkező láb és a hipotenusz aránya:

Tehát milyen asszociációi vannak a koszinusz szóval?

Valószínűleg mindenkinek megvan a sajátja 😉 Emlékezz a csokorra:

Így azonnal kifejezés lesz a memóriájában -

«… a BEÁLLÍTÓ láb és a hypotenuse aránya».

A koszinusz meghatározásával kapcsolatos probléma megoldódott.

Ha fel kell idéznie a szinusz definícióját egy derékszögű háromszögben, akkor a koszinusz definíciójára emlékeztetve könnyen megállapíthatja, hogy a derékszögű háromszögben lévő hegyesszög szinuszát az ellenkező láb és a a hypotenuse. Hiszen csak két lába van, ha a szomszédos lábat "elfoglalja" a koszinusz, akkor csak az ellenkező szinusz marad.

Mi a helyzet az érintővel és a kotangensrel? A zűrzavar ugyanaz. A diákok tudják, hogy ez a lábak kapcsolata, de a probléma az, hogy emlékezzünk arra, melyikhez tartozik - vagy a szomszédos ellenkezője, vagy fordítva.

Definíciók:

Tangens egy derékszögű háromszög hegyesszöge az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya:

Kotangens hegyes szög egy derékszögű háromszögben a szomszédos láb és a szemközti láb aránya:

Hogyan kell emlékezni? Két módja van. Az egyik verbális -logikai kapcsolatot is használ, a másik - matematikai.

MATEMATIKAI MÓDSZER

Van egy ilyen definíció - az éles szög érintője a szög szinuszának és koszinuszának aránya:

* Miután megjegyezte a képletet, mindig megállapíthatja, hogy egy derékszögű háromszög hegyesszögének érintője az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya.

Hasonlóképpen. Az éles szög kotangensét egy szög koszinuszának és szinuszának aránya adja:

Így! A megjegyzett képletek memorizálása után mindig megállapíthatja, hogy:

Egy derékszögű háromszög hegyesszögének érintője a szemközti láb és a szomszédos aránya

Egy derékszögű háromszögben egy hegyes szög kotangensét a szomszédos láb és az ellenkező láb aránya jelenti.

SZÓ-LOGIKAI MÓDSZER

Az érintőről. Emlékezz a csokorra:

Vagyis, ha emlékeznie kell az érintő definíciójára, ezzel a logikai kapcsolattal könnyen emlékezhet arra, hogy az

"... a szemközti láb és a szomszédos láb viszonya"

Ha a kotangensről van szó, akkor emlékezve az érintő definíciójára, könnyedén elmondhatja a kotangens definícióját -

"... a szomszédos láb és a szemben lévő láb kapcsolata"

Van egy érdekes technika az érintő és a kotangens memorizálására az oldalon " Matematikai tandem " , Nézd meg.

UNIVERZÁLIS MÓDSZER

Csak memorizálni tud. De amint a gyakorlat azt mutatja, a verbális és logikai kapcsolatoknak köszönhetően az ember sokáig emlékezik az információkra, és nem csak matematikai.

Remélem, hogy az anyag hasznos volt az Ön számára.

Üdvözlettel: Alexander Krutitskikh

P.S: Hálás lennék, ha mesélne nekünk az oldalról a közösségi hálózatokon.

Amint láthatja, ez a kör egy derékszögű koordináta -rendszerbe épül. Kör sugara egyenlő egy, míg a kör középpontja a kiindulási pontnál fekszik, a sugárvektor kezdeti helyzete a tengely pozitív iránya mentén van rögzítve (példánkban ez a sugár).

A kör minden pontja két számnak felel meg: a tengely mentén lévő koordinátának és a tengely mentén lévő koordinátának. És mik ezek a számok-koordináták? És általában mi közük a tárgyalt témához? Ehhez emlékeznie kell a tekintett derékszögű háromszögre. A fenti képen két egész derékszögű háromszög látható. Tekintsünk egy háromszöget. Téglalap alakú, mivel merőleges a tengelyre.

Mivel egyenlő a háromszög? Semmi gond. Ezenkívül tudjuk, hogy - az egységkör sugara, és ezért ,. Helyettesítse ezt az értéket koszinusz képletünkkel. Íme, mi történik:

És mi egyenlő a háromszögből? Hát persze,! Cserélje ki a sugárértéket ebbe a képletbe, és kapja meg:

Tehát meg tudod mondani, hogy melyek a körhöz tartozó pont koordinátái? Nos, dehogy? És ha rájössz erre, és csak számok? Milyen koordinátának felel meg? Hát persze, a koordináta! És milyen koordinátának felel meg? Így van, koordinálj! Tehát a lényeg.

És akkor mi egyenlő és? Így van, használjuk a megfelelő érintő és kotangens definíciókat, és kapjuk meg, a.

Mi van, ha a szög nagyobb? Itt például, mint ezen az ábrán:

Mi változott ebben a példában? Kitaláljuk. Ehhez forduljon ismét derékszögű háromszögre. Tekintsünk egy derékszögű háromszöget: sarok (a sarokkal szomszédos). Mennyi a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens értéke? Így van, betartjuk a trigonometrikus függvények megfelelő definícióit:

Nos, mint látható, a szög szinuszának értéke továbbra is megfelel a koordinátának; a szög koszinuszának értéke - koordináta; valamint az érintő és a kotangens értékeit a megfelelő arányokhoz. Így ezek az összefüggések a sugárvektor bármely forgására vonatkoznak.

Már említettük, hogy a sugárvektor kezdeti helyzete a tengely pozitív iránya mentén van. Eddig ezt a vektort forgattuk az óramutató járásával ellentétes irányba, de mi lenne, ha az óramutató járásával megegyező irányba forgatnánk? Semmi rendkívüli, egy bizonyos nagyságú szög is kiderül, de csak az lesz negatív. Így amikor a sugaras vektort az óramutató járásával ellentétes irányba forgatja, akkor azt kapja pozitív szögekés az óramutató járásával megegyező irányba forgatva - negatív.

Tehát tudjuk, hogy a sugárvektor egész körforgása egy körben vagy. Lehetséges -e a sugárvektor elforgatása vagy által? Persze lehet! Az első esetben tehát a sugárvektor egy teljes fordulatot hajt végre, és megáll a vagy.

A második esetben, vagyis a sugárvektor három teljes fordulatot tesz meg, és megáll a vagy helyzetben.

Így a fenti példákból azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a szögek, amelyek eltérnek vagy (ahol van egész szám), megegyeznek a sugárvektor azonos pozíciójával.

Az alábbi kép a szöget mutatja. Ugyanez a kép felel meg a saroknak stb. A lista folytatódik. Mindezek a szögek írhatók az általános képlettel vagy (ahol van egész szám)

Most, ismerve az alapvető trigonometrikus függvények definícióit és az egységkört használva, próbálja meg megválaszolni, hogy az értékek egyenlők:

Itt egy egységkör segít:

Nehézségei vannak? Akkor találjuk ki. Tehát tudjuk, hogy:

Innen határozzuk meg a szög bizonyos mértékének megfelelő pontok koordinátáit. Nos, kezdjük sorrendben: a sarok koordinátákkal rendelkező pontnak felel meg, ezért:

Nem létezik;

Továbbá, ugyanezt a logikát követve megtudjuk, hogy a sarkok a koordinátákkal rendelkező pontoknak, ill. Ennek ismeretében könnyű meghatározni a trigonometrikus függvények értékeit a megfelelő pontokon. Először próbálja ki magát, majd ellenőrizze a válaszokat.

Válaszok:

Nem létezik

Nem létezik

Nem létezik

Nem létezik

Így elkészíthetjük a következő táblázatot:

Nem szükséges emlékezni ezekre a jelentésekre. Elég emlékezni az egységkör pontjainak koordinátáinak és a trigonometrikus függvények értékeinek megfelelőségére:

De az alábbi szögben megadott szögek trigonometrikus függvényeinek értékei, és emlékezni kell:

Ne féljen, most megmutatjuk az egyik példát. elég egyszerű memorizálás megfelelő értékeket:

Ennek a módszernek a használatához elengedhetetlen, hogy emlékezzen a szinusz értékeire mind a három szögmérőnél (), valamint a szög érintőjének értékére. Ezen értékek ismeretében meglehetősen könnyű helyreállítani a teljes táblázatot - a koszinusz értékeket a nyilaknak megfelelően kell átvinni, azaz:

Ennek ismeretében visszaállíthatja az értékeket. A "" számláló egyezik, és a "" nevező egyezik. A kotangens értékek az ábrán látható nyilak szerint kerülnek átvitelre. Ha megérti ezt, és emlékezik a diagramra nyilakkal, akkor elegendő, ha megjegyzi a táblázat összes értékét.

Pontos koordináták egy körön

Meg lehet találni egy pontot (annak koordinátáit) egy körön, ismerve a kör középpontjának koordinátáit, sugarát és forgásszögét?

Hát persze, hogy lehet! Hozzuk általános képlet egy pont koordinátáinak megkeresésére.

Például egy ilyen kör áll előttünk:

Azt kapjuk, hogy a pont a kör középpontja. A kör sugara az. Meg kell találni a pont koordinátáit, amelyet a pont fokos elforgatásával kapunk.

Amint az ábrán látható, a szakasz hossza megfelel a pont koordinátájának. A szegmens hossza megfelel a kör középpontjának koordinátájának, azaz egyenlő. A szegmens hossza kifejezhető a koszinusz definíciójával:

Akkor ezt a pontot kapjuk a koordinátáért.

Ugyanezt a logikát használva megtaláljuk a pont y -koordinátájának értékét. És így,

Tehát bent Általános nézet a pontok koordinátáit a következő képletek határozzák meg:

A kör középpontjának koordinátái,

Kör sugara,

A vektor sugarának forgásszöge.

Amint láthatja, a vizsgált egységkör esetében ezek a képletek jelentősen csökkennek, mivel a középpont koordinátái nulla, a sugár pedig eggyel egyenlő:

Nos, megkóstoljuk ezeket a képleteket úgy, hogy gyakoroljuk a pontok keresését egy körön?

1. Keresse meg a pont koordinátáit az egységkörön, amelyet a pont elforgatásával kapunk.

2. Keresse meg a pont koordinátáit az egységkörön, amelyet a pont elforgatásával kapunk.

3. Keresse meg a pont koordinátáit az egységkörön, amelyet a pont elforgatásával kapunk.

4. A pont a kör középpontja. A kör sugara az. Meg kell találni a kezdő sugárvektor elforgatásával kapott pont koordinátáit.

5. A pont a kör középpontja. A kör sugara az. Meg kell találni a kezdő sugárvektor elforgatásával kapott pont koordinátáit.

Problémái vannak egy kör koordinátáinak megtalálásával?

Oldja meg ezt az öt példát (vagy találja ki jól a megoldást), és megtanulja megtalálni őket!

1.

Ezt láthatja. De tudjuk, hogy mi felel meg a teljes forgalomnak kiindulópont... Így a kívánt pont ugyanabban a helyzetben lesz, mint amikor felé fordul. Ennek ismeretében megtaláljuk a pont szükséges koordinátáit:

2. A kör egy egység, amelynek középpontja egy ponton van, ami azt jelenti, hogy használhatunk egyszerűsített képleteket:

Ezt láthatja. Tudjuk, mi felel meg a kiindulópont két teljes fordulatának. Így a kívánt pont ugyanabban a helyzetben lesz, mint amikor felé fordul. Ennek ismeretében megtaláljuk a pont szükséges koordinátáit:

A szinusz és a koszinusz táblázatos értékek. Emlékezünk jelentésükre, és ezt kapjuk:

Így a szükséges pontnak vannak koordinátái.

3. A kör egy egység, amelynek középpontja egy ponton van, ami azt jelenti, hogy használhatunk egyszerűsített képleteket:

Ezt láthatja. Ábrázoljuk a megfontolt példát az ábrán:

A sugár szögeket hoz létre, amelyek tengelye egyenlő és. Tudva, hogy a koszinusz és a szinusz táblázatos értékei egyenlők, és miután megállapítottuk, hogy a koszinusz itt negatív értéket vesz fel, és a szinusz pozitív, a következőket kapjuk:

Az ilyen példákat részletesebben elemezzük, amikor tanulmányozzuk a trigonometriai függvények öntésére vonatkozó képleteket a témában.

Így a szükséges pontnak vannak koordinátái.

4.

A vektor sugarának forgási szöge (feltétel szerint)

A szinusz és a koszinusz megfelelő jeleinek meghatározásához alakítsunk ki egy egységkört és szöget:

Amint látja, az érték, vagyis a pozitív, és az érték, vagyis a negatív. Ismerve a megfelelő trigonometrikus függvények táblázatos értékeit, azt kapjuk, hogy:

Helyezze be a kapott értékeket a képletünkbe, és keresse meg a koordinátákat:

Így a szükséges pontnak vannak koordinátái.

5. A probléma megoldásához általános képleteket fogunk használni, ahol

A kör középpontjának koordinátái (példánkban

Kör sugara (feltétel szerint,)

A vektor sugarának forgási szöge (feltétel szerint,).

Cserélje ki a képlet összes értékét, és kapja meg:

és - táblázatos értékek. Emlékezünk és helyettesítjük őket a képletben:

Így a szükséges pontnak vannak koordinátái.

ÖSSZEFOGLALÓ ÉS ALAPVETŐ FORMULÁK

A szög szinusa az ellentétes (távoli) láb és a hypotenuse aránya.

A szög koszinusza a szomszédos (közeli) láb és a hypotenuse aránya.

A szög érintője az ellenkező (távoli) láb és a szomszédos (közeli) láb aránya.

A szög kotangensét a szomszédos (közeli) láb és az ellenkező (távoli) láb aránya jelenti.