Як побудувати проекції точок на комплексному кресленні. Графічне відображення точки на комплексному кресленні. Взаємне положення точок в просторі

Побудувати комплексні креслення точок: А(15,30,0), В(30,25,15), З(30,10,15), D(15,30,20)

Рішення завдання розділимо на чотири етапи.

1. А(15,30,0); x A= 15 мм ; y A= 30мм ; zA= 0.

Як Ви думаєте, якщо у точки Акоордината z A= 0, то яке становище вона займає в просторі?

Так виглядає комплексний креслення точки Апобудований за заданими координатами

Якщо у точки одна координата дорівнює нулю, то точка належить одній з площин проекції. В даному випадку у точки немає висоти: z= 0, отже точка Алежить в площині П 1.

На комплексному кресленні оригінал (тобто сама точка А) Незображується, є тільки її проекції.

2. В(30,25,15) і З(30,10,15).

На другому етапі об'єднаємо побудова двох точок.

x B= 30мм; x C= 30мм

y B= 35мм; y C= 10мм

z B= 15мм; z C= 15мм

У точок Ві З: x B = x C= 30мм, z B = z C= 15мм

а)координати хточок однакові, отже, в системі П 1 - П 2 проекції точок лежать на одній лінії зв'язку (рис. 1.2),

б)координати zточок збігаються, (обидві точки однаково віддалені від П 1на 15мм,) тобто вони розташовані на одній висоті, отже на П 2проекції точок збігаються: В 2=(З 2).

в)Для визначення видимості щодо П 2дивимося на рис. 1.3. Спостерігач бачить точку В, Яка закриває собою точку З, Тобто крапка Врозташована ближче до спостерігача, тому на П 2вона видимою. (Див. М1 - 13 і 16).

В системі П 2 П 3проекції точок також лежать на одній лінії зв'язку і видимість визначається по стрілці (рис. 1.2).

точки Ві З- називаються фронтально конкуруючими.

3. D(15,30,20); x D= 15мм; y D= 30мм; z D= 20мм.

а)На цьому комплексному кресленні (рис. 1.4) побудовані три проекції точки D (D 1,D 2,D 3).

Всі три координати мають числові значення, відмінні від нуля, тому точка не належить жодній з площини проекцій.

б)Сумісний просторове зображення Аі D(Рис. 1.5). В системі П 1 П 2проекції точок Аі Dлежать на одній лінії зв'язку, тільки точка Dвище точки А, отже D- видима, а А- невидима (видима на П 1та точка, яка розташована вище)

На четвертому, завершальному етапі, з'єднаємо всі три фрагменти комплексних креслень точок А, В, С,Dв один загальний.

точки Аі D- називаються горизонтально конкуруючими.

Координати точки прийнято писати в дужках поруч з позначенням точки. Наприклад: запис В(3, 2, 3) означає, що координати точки Внаступні: Х = 3; Y = 2; Z = 3. На малюнку 43 показані побудови на аксонометричному зображенні і на епюрі точки Вза заданими координатами.

Малюнок 43 - Побудова точки за заданими координатами

Матеріал для закріплення:

1. Вказати умови, при яких можна визначити положення точки в просторі.

2. Вказати, скільки проекцій може мати точка в просторі на площині проекцій.

3. Вказати назви площин проекцій і їх позначення.

4. Вказати яким чином розташовуються площині проекцій відносно один одного.

5. Вказати назви прямих ліній, за якими перетинаються площині проекцій.

6. Показати позначення точки перетину площин проекцій.

7. Показати позначення точок проекцій на площинах проекцій.

8. Пояснити отримання епюра або комплексного креслення.

9. Пояснити призначення епюра.

10. Пояснити призначення координат точки.

11. Пояснити можливість перенесення координат точки по осі Y.

12. Пояснити значення координат точки А (6, 10, 4).

Після теоретичного закріплення матеріалу, що навчаються виконують індивідуальні практичні завдання на побудову комплексного креслення точки за заданими координатами, відповідно до варіанта, хто навчається

(Завдання 4а). Робота виконується на форматі А4 з дотриманням ліній креслення. Назва креслення - «Графічна робота №4. Проекції точки ».

Побудова комплексного креслення прямої

Будь-яку лінію, в тому числі і пряму, можна розглядати як безліч послідовно розташованих точок у просторі, а проекцію прямої АВна площину Н- як безліч проекцій точок даної прямої (рисунок 44).

Положення прямої в просторі визначають дві її точки. Частина прямої, обмежена двома точками, називається відрізком. Щоб побудувати проекції відрізка АВ, досить побудувати проекції його крайніх точок. Поєднавши прямими однойменні проекції цих точок, отримаємо проекції відрізка (рисунок 45).

Малюнок 45 - Проекції відрізка

Положення відрізка прямої в просторі визначається двома його проекціями. Щоб знайти третю проекцію відрізка, необхідно побудувати третю проекції точок, що обмежують відрізок. На малюнку 45а, б стрілками показаний хід побудови профільної проекції а "" б ""відрізка АВза заданими горизонтальної аві фронтальної а "в"проекція.

Закріплення матеріалу:

За заданими координатами точок відрізка АВпобудувати комплексне креслення відповідно до свого варіантом (завдання 13, 14, 15). Робота виконується на форматі А4, з дотриманням ліній креслення і позначення точок на площинах проекцій (завдання 4б).

Назва креслення - «Графічна робота №4. Проекції відрізка ».

Положення точки в просторі може бути задано двома її ортогональними проекціями, наприклад, горизонтальній і фронтальній, фронтальної і профільної. Поєднання будь-яких двох ортогональних проекційдозволяє дізнатися значення всіх координат точки, побудувати третю проекцію, визначити октант, в якому вона знаходиться. Розглянемо кілька типових задач з курсу нарисної геометрії.

По заданому комплексного креслення точок A і B необхідно:

Визначимо спочатку координати т. A, які можна записати у вигляді A (x, y, z). горизонтальна проекціят. A - точка A ", що має координати x, y. Проведемо з т. A" перпендикуляри до осей x, y і знайдемо відповідно A х, A у. Координата х для т. A дорівнює довжині відрізка A х O зі знаком плюс, так як A х лежить в області позитивних значень осі х. З урахуванням масштабу креслення знаходимо х = 10. Координата у дорівнює довжині відрізка A у O зі знаком мінус, так як т. A у лежить в області від'ємних значень осі у. З урахуванням масштабу креслення у = -30. Фронтальна проекція т. A - т. A "" має координати х і z. Опустимо перпендикуляр з A "" на вісь z і знайдемо A z. Координата z точки A дорівнює довжині відрізка A z O зі знаком мінус, так як A z лежить в області від'ємних значень осі z. З урахуванням масштабу креслення z = -10. Таким чином, координати т. A (10, -30, -10).

Координати т. B можна записати у вигляді B (x, y, z). Розглянемо горизонтальну проекцію точки B - т. В ". Так як вона лежить на осі х, то B x = B" і координата B у = 0. Абсциса x точки B дорівнює довжині відрізка B х O зі знаком плюс. З урахуванням масштабу креслення x = 30. Фронтальна проекція точки B - т. B˝ має координати х, z. Проведемо перпендикуляр з B "" до осі z, таким чином знайдемо B z. Аппликата z точки B дорівнює довжині відрізка B z O зі знаком мінус, так як B z лежить в області від'ємних значень осі z. З урахуванням масштабу креслення визначимо значення z = -20. Таким чином, координати B (30, 0, -20). Всі необхідні побудови представлені на малюнку нижче.

Побудова проекцій точок

Точки A і B в площині П 3 мають наступні координати: A "" "(y, z); B" "" (y, z). При цьому A "" і A "" "лежать одному перпендикуляр до осі z, так як координата z у них спільна. Точно також на загальному перпендикуляре до осі z лежать B" "і B" "". Щоб знайти профільну проекцію т. A, відкладемо по осі у значення відповідної координати, знайдене раніше. На малюнку це зроблено за допомогою дуги кола радіуса A у O. Після цього проведемо перпендикуляр з A у до перетину з перпендикуляром, відновленим з точки A "" до осі z. Точка перетину цих двох перпендикулярів визначає положення A "" ".

Точка B "" "лежить на осі z, так як ордината y цієї точки дорівнює нулю. Для знаходження профільної проекції т. B в даній задачі необхідно лише провести перпендикуляр з B" "до осі z. Точка перетину цього перпендикуляра з віссю z є B "" ".

Визначення положення точок в просторі

Наочно уявляючи собі просторовий макет, складений з площин проекцій П 1, П 2 і П 3, розташування октантів, а також порядок трансформації макета в епюр, можна безпосередньо визначити, що т. A розташована в III Октант, а т. B лежить в площині П 2.

Іншим варіантом вирішення даного завдання є метод винятків. Наприклад, координати точки A (10, -30, -10). Позитивна абсциса x дозволяє судити про те, що точка розташована в перших чотирьох октантах. Негативна ордината y говорить про те, що точка знаходиться в другому або третьому октантах. Нарешті, негативна аппликата z вказує на те, що т. A розташована в третьому Октант. Наведені міркування наочно ілюструє наступна таблиця.

октанти	знаки координат
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Координати точки B (30, 0, -20). Оскільки ордината т. B дорівнює нулю, ця точка розташована в площині проекцій П 2. Позитивна абсциса і негативна аппликата т. B вказують на те, що вона розташована на кордоні третього і четвертого октантів.

Побудова наочного зображення точок в системі площин П 1, П 2, П 3

Використовуючи фронтальну ізометричну проекцію, ми побудували просторовий макет III октанта. Він являє собою прямокутний тригранник, у якого гранями є площині П 1, П 2, П 3, а кут (-y0x) дорівнює 45 º. У цій системі відрізки по осях x, y, z будуть відкладатися в натуральну величину без спотворень.

Побудова наочного зображення т. A (10, -30, -10) почнемо з її горизонтальної проекції A ". Відклавши по осі абсцис і ординат відповідні координати, знайдемо точки A х і A у. Перетин перпендикулярів, відновлених з A х і A у відповідно до осей x і y визначає положення т. A ". Відклавши від A "паралельно осі z в сторону її негативних значень відрізок AA", довжина якого дорівнює 10, знаходимо положення точки A.

Наочне зображення т. B (30, 0, -20) будується аналогічно - в площині П 2 по осях x і z потрібно відкласти відповідні координати. Перетин перпендикулярів, відновлених з B х і B z, визначить положення точки B.

1. Найбільше застосування в технічній практиці отримав креслення, складений з двох або більше пов'язаних між собою ортогональних проекцій зображуваного оригіналу. Такий креслення називається комплексним.

Принцип освіти такого креслення полягає в тому, що даний оригінал проектується ортогонально на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій, які потім відповідним чином поєднують з площиною креслення. Одна з площин проекцій 1 розташовується вертикально перед спостерігачем і тому називається фронтальної площиною проекцій (Рис. 5а), а інша площина 2 розташовується горизонтально і називається горизонтальною площиною проекцій . Пряму перетину площин проекцій називають віссю проекцій.

Спроектуємо ортогонально на площині проекцій 1 і 2 якусь точку А, Тоді отримаємо дві її проекції: фронтальну проек- цію А 1 на площині 1 і горизонтальну проекцію А 2 на площині 2 .

проектують прямі АА 1 і АА 2, за допомогою яких точка Апроектується на площині проекцій, визначають проецирующую площину А 1 АА 2, перпендикулярну до обох площин проекцій і до осі проекцій х. прямі А 1 А xі А x А 2, що є проекціями проецирующей площині на площинах проекцій 1 і 2 , Будуть перпендикулярні до осі проекцій х.

Назад, кожна пара точок А 1 і А 2, відповідно належать площинах 1 і 2 і розташованих на перпендикулярах до осі х, Відновлених з однієї і тієї ж точки А х, Визначає в просторі єдину точку А. Справді, якщо провести через точки А 1 і А 2 перпендикуляри А 1 Аі А 2 Авідповідно до площин 1 і 2 , То вони, перебуваючи в одній площині А 1 А x А 2, перетнуться в деякій точці А.

відстань А 2 Аточки Авід горизонтальної площини проекцій називається висотою hточки А, А її відстань А 1 Авід фронтальної площини проекцій - глибиною fточки А.

2. Щоб отримати плоский креслення, Сумісний площину проекцій 2 c площиною 1 , Обертаючи площину 2 навколо осі хв напрямку, зазначеному на рис. 5а стрілкою. В результаті отримаємо комплексний креслення точки А(Рис. 5б), що складається з двох проекцій А 1 і А 2 точки А, Що лежать на одній прямій, перпендикулярній до осі х. пряма А 1 А 2, що з'єднує дві проекції точки, називається лінією зв'язку .

Отриманий комплексний креслення буде оборотним , Т. Е. З цього кресленням можна визначити або, як кажуть, реконструювати оригінал. Справді, розглядаючи, наприклад, фронтальну проекцію А 1 точки Аі маючи на кресленні її глибину f= I А x А 2 I, можна реконструювати точку А. Для цього треба відновити перпендикуляр до площини креслення в його точці А 1 і від площини креслення відкласти глибину шуканої точки, тоді кінець перпендикуляра визначить положення точки А.

3. Розглянутий принцип освіти комплексного креслення отримав з часів Монжа широке поширення в навчальній літературі. Однак в технічній практиці немає необхідності у визначенні положення зображуваного оригіналу відносно нерухомої системи площин проекцій, тому при утворенні комплексного креслення можна відмовитися від фіксації площин проекцій. Підставою цього може служити встановлене в § 1 (2) властивість 6, що проекція фігури не змінюється при паралельному перенесенні площині проекцій.

Освіта комплексного креслення точки Апри нефіксованих площинах проекцій показано на рис. 6. У цьому випадку площині проекцій 1 і 2 поєднують з площиною креслення так, щоб проекції проецирующей площині на площинах 1 і 2 лежали б на одній прямій (рис. 6б) . Це можливо зробити і при утворенні комплексного креслення будь-якого безлічі точок, так як проекції всіх проектують площин цих точок на обох площинах проекцій будуть паралельні, а відстані між проекціями кожних двох з цих площин на площинах 1 і 2 рівні між собою. Для зручності читання креслення площину 2 вважають розташованої нижче всіх точок оригіналу, а площину 1 - ззаду всіх точок оригіналу.

Зображення на площині проекції 1 в технічній практиці називають видом спереду , Або, коротше, видом 1 , відображення же на площині проекцій 2 називають видом зверху , або видом 2 . Реконструі- вання оригіналу по його комплексного креслення, освіченій при нефіксованих площинах проекцій, виробляють по його виду спереду 1 і виміряним на кресленні глибин точок оригіналу по відношенню до фіксованої в довільному положенні площині проекції 1 (Рис. 6а); на вигляді зверху цю площину позначимо знаком трикутника.

Фіксовані площині проекцій, по відношенню до яких виробляють будь-які вимірювання, в подальшому будемо називати базовими площинами.

Таким чином, для реконструкції точки Апо її комплексного креслення (рис. 6б) потрібно відновити перпендикуляр до площини креслення в його точці Ана вигляді спереду і відкласти на ньому від площини креслення глибину fточки А, Виміряну на вигляді зверху від базової площини, зазначеної на цьому виді знаком трикутника (вид зверху цієї базової площині будемо називати базою відліку глибин).

Кінець цього перпендикуляра визначить положення точки Апо відношенню до площини креслення. Так як положення базової площині вибирається довільно, то при реконструкції оригіналу з комплексного креслення, освіченій при нефіксованих площинах проекцій, її статус визначається з точністю до паралельного переносу.

Точка - одне з основних понять геометрії. У сучасній математиці точками називають елементи різної природи, з яких складаються простору, наприклад, в евклідовому просторі точкою називають впорядковану сукупність з n чисел.

У нарисної геометрії положення точки в просторі можна визначити її координатами. Чудовим знаком є ​​те, що координата, що характеризує видалення точки від площини проекцій, однойменний з віссю, яка не присутня при утворенні цієї площини проекцій. Так, видалення точки від П 2 вимірюється координатою y, а сама фронтальна площину проекцій П 2 утворюється перетином осей OХ і OZ.

Таким чином, кожна з трьох проекційточки характеризується двома координатами, їх назва відповідає назвам осей, які утворюють відповідну площину проекцій: горизонтальна - A 1 (X A; Y A); фронтальна - A 2 (X A; Z A); профільна - A 3 (Y A; Z A).

Трансляція координат між проекціями здійснюється за допомогою ліній зв'язку. Так, в системі площин проекцій П 1 П 2 загальна для фронтальної і горизонтальної проекцій координата x транслюється вертикальною лінією зв'язку А 2 А 1, перпендикулярній осі OХ.

По двох даними проекціями можна побудувати проекції точки або за допомогою координат, або графічно. Графічно профільну проекцію будують, транслюючи параметр Z горизонтальною лінією зв'язку, проведеною з фронтальної проекції, а параметр Y переносять з горизонтальної проекції, використовуючи постійну пряму креслення k - бісектрису кута розщепленої осі: Y 1 ОY 3, на якій горизонтальна лінія зв'язку, проведена з горизонтальною проекції перпендикулярно OY 1, заломлюється під прямим кутом. При цьому у початку координат формується квадрат зі стороною, що дорівнює координаті Y оригіналу, що забезпечує передачу координати Y між горизонтальною і профільної проекціями. У табл. 3.1 і 3.2 представлені загальні алгоритми побудови точки А за координатами в просторової моделі системи трьох площин проекцій П 1 П 2 П 3 і на комплексному кресленні.

Таблиця 3.1

Алгоритм побудови наочного зображення точки по координатах
словесна форма	графічна форма
1. Відкласти на осях X, Y, Ζ відповідні координати точки А. Отримаємо точки A x, A y, A z
2. Горизонтальна проекція А 1 знаходиться на перетині ліній зв'язку з точок A x і A y, проведених паралельно осях X і Y
3. Фронтальна проекція А 2 знаходиться на перетині ліній зв'язку з точок A x і A z, проведених паралельно осях X і Ζ
4. Профільна проекція А 3 знаходиться на перетині ліній зв'язку з точок A y і A z, проведених паралельно осях Y і Ζ
5. Точка А знаходиться на перетині ліній зв'язку, проведених з точок А 1, А 2 і А 3