Події з матрицями. Розмноження матриць Перемножити 3 матриці онлайн

Матриця визначена як прямокутна таблиця , геометрично – це прямокутник з розмірами та . Дві матриці – два прямокутники: з розмірами і , з розмірами і . При розгляді операції додавання матриць було виявлено вимогу за погодженням розмірів прямокутників: =, =. Ця вимога забезпечує взаємодію матриць у системах векторів:

=
-
- …-
- Ланцюжок рядків,

=
-
- …-
- Ланцюжок стовпців,

причому, якщо матриця представлена ​​у схемі , то й матриця має бути представлена ​​в цій же схемі. Але головне: матриці взаємодіють групами елементів – векторами!

Якщо визначити операцію множення матриць у вигляді: · =, то виникає питання: скільки рядків та стовпців має матриця ? Це визначило лише дві можливі схеми взаємодії матриць при їх перемноженні:

1* : рядок лівої матриці ↔ стовпець правої матриці,

2* : стовпець лівої матриці ↔ рядок правої матриці

Для схеми 1* : у матриці . Для схеми 2* : у матриці рядків стільки, скільки у матриці , стовпців стільки, скільки у матриці .

У практиці закріпилося використання схеми 1* , яку скорочено називають правилом: рядок стовпчик .

Визначення:

Добутком матриць і є матриця ,елементи якої визначаються співвідношенням: , для всіх , , тобто застосовується правилорядок стовпчик .

Зауваження: З визначення твору матриць випливає: елемент дорівнює скалярному твору рядка- матриці на стовпець- матриці .

Властивості операції множення матриці на матрицю :

1* .
≠
- Не переміщувальна (не комутативна);

2* .
=
=
- Сполучна (асоціативна).

3* .
=
+
- Розподільче (дистрибутивне).

Зауваження: слід мати на увазі: у властивості 1* у випадку може бути так, що матриця
існує, а матриця
не існує!

У зв'язку з запровадженням операції твори матриць постає питання: як потрібно виконати твір матриць і , щоб вийшла матриця, транспонована по відношенню до матриці . Якщо позначити транспоновані матриці як:
,
і
, то вірна така теорема.

1) Уявимо твір матриць:
у вигляді схеми обчислення елемента матриці :

C

i

2). Враховуючи визначення транспонування матриці, зобразимо також рівність
=
у вигляді аналогічної схеми:

C ′

i

Бачимо: елемент матриці
дорівнює елементу матриці С.◄

Зауваження: Визначення транспонування матриці та доведена теорема про транспонування твору матриць неодноразово використовуватимуться при розгляді визначників та матриць лінійних перетворень у векторних просторах.

Приклад 4–05 : Обчислити твір матриць: C =A B =

.

Рішення:

A і B :

C B ;

C B ;

Використання технологічного шаблону як таблиці дозволить відпрацювати алгоритм обчислення твори матриць і захистити від помилок у обчисленнях. Простежимо обчислення стовпця-1 матриці C: =
, =
.

Відповідь: C=
.

Приклад 4–06 : Обчислити твір матриць: C =A B =

.

Рішення:

У таблиці представлена ​​схема обчислення твору матриць A і B :

▫ для обчислення стовпця-1 матриці C над матрицею розміщуємо стовпець-1 матриці B ;

▫ для обчислення стовпця-2 матриці C над матрицею розміщуємо стовпець-2 матриці B ;

C B ;

Стовпець

Стовпець

Стовпець

Стовпець

Стовпець

Стовпець

C:

=, =, =.

Відповідь: =
.

Приклад 4–07 C=AB=

.

Рішення:

У таблиці представлена ​​схема обчислення твору матриць A і B :

▫ для обчислення стовпця-1 матриці C над матрицею розміщуємо стовпець-1 матриці B ;

▫ для обчислення стовпця-2 матриці C над матрицею розміщуємо стовпець-2 матриці B ;

▫ для обчислення стовпця-3 матриці C над матрицею розміщуємо стовпець-3 матриці B ;

▫ для обчислення стовпця-4 матриці C над матрицею розміщуємо стовпець-4 матриці B .

Стовпець					Стовпець	Стовпець					Стовпець

(продовження таблиці).

Стовпець					Стовпець	Стовпець					Стовпець

З таблиці бачимо відповідь. Простежимо обчислення стовпця-1 матриці C:

=, =,

=, =.

Відповідь: C=
.

Приклад 4–08 :Обчислити: C=
, якщо A =
.

Рішення:

1) Запишемо ланцюжок рядків-векторів матриці A:

(,0,0,...,0,...,0), (0,,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,...,),

і помножимо її (скалярно) на стовпець- матриці A: (0,0, 0, ... , , ..., 0). Легко бачити, що у матриці C=
=
стовпець- набуде вигляду (0,0, 0, ... , , ..., 0). Це означає, що ланцюжок рядків-векторів матриці C =
набуде вигляду:

(,0,0,...,0,...,0), (0, , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

2) Якщо тепер вирахувати C=
=
, то ланцюжок рядків-векторів матриці C =
набуде вигляду:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

3) Застосовуючи метод математичної індукції, для матриці C =
можемо записати:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

Відповідь: C=
.

Приклад 4–09 : Довести, що якщо матриці Aі B- Квадратні, причому
≠
, то завжди справедливі твердження: а);

Рішення:

1) Враховуючи розподільну властивість множення матриць:
=
+
, запишемо:

.

2) Враховуючи розподільну властивість множення матриць:
=
+
, запишемо:

.

Відповідь: доведено.

Приклад 4–10 : Знайти всі матриці, перестановочні з матрицею: =.

Рішення:

1) Нехай маємо матрицю: , таку, що
=
. Враховуючи правило множення матриць, легко помітити, що множення цих матриць можливе лише у випадку, якщо матриця - квадратна, причому тієї ж розмірності, що матриця .

2) Приймемо: =
, і запишемо вираз
=
:

C=AB.

Стовпець

a

d

g

Стовпець

Стовпець

b

e

h

Стовпець

Стовпець

c

f

k

Стовпець

3 a + d

3 b + e

3 c + f

3 d + g

3 e + h

3 f + k

3 g

3 h

3 k

З таблиці бачимо відповідь.

3) Запишемо тепер вираз
=
:

У таблиці представлена ​​схема обчислення твору матриць D=BA.

Стовпець

Стовпець

Стовпець

Стовпець

Стовпець

Стовпець

a

b

c

3 a

a

b

c

a + 3 b

a

b

c

b + 3 c

d

e

f

3 d

d

e

f

d+ 3e

d

e

f

e+ 3f

g

h

k

3 g

g

h

k

g+ 3h

g

h

k

h+ 3k

З таблиці бачимо відповідь.

4) Скористаємося рівністю:
→ отримуємо рівняння для обчислення матриці :

3 a + d =3 a → d =0; 3 d + g =3 d → g =0; 3 b + e =a+ 3b → e =a ; 3 e + h =d+ 3e → h =0;

3 h =g+ 3h → h =h ; 3 c + f =b+ 3c → f =b ; 3 f + k =e+ 3f → k =e ; 3 k =h+ 3k → h =0.

5) Використовуючи отримані рівняння, можемо записати: =
.

Відповідь: =
.

Приклад 4–11 :Довести, що матриця: =
задовольняє рівняння: –(a+d) x+ad–
=0.

Рішення:

Зауваження: аналізований приклад цікавий тим, що він демонструє участь у матричному вираженні скалярної матриці:
=
.

1) Обчислимо:
=

=
;
=
.

2) Підставимо в рівняння матрицю : , або:

–
+
=
.

Відповідь: доведено.

Приклад 4–12 :Обчислити твір матриць: A= (4 0 -2 3 1) та B=: а) AB; б) BA.

Зауваження: аналізований приклад цікавий тим, що він гранично виразно демонструє нерівність :
.

Рішення:

а)
= (4 · 3 + 0 · 1 + (-2) · (-1) + 3 · 5 + 1 · 2) = (31) - матриця з одним елементом;

б)
=
=
.

Відповідь: матриці у тексті.

Матриці є таблицями чисел, взаємопов'язаних між собою. Над ними можна проводити ряд різноманітних операцій, про які ми розповімо нижче.

Розмір матриці визначається її порядками- кількістю рядків $m$ і стовпців $n$, які у ній присутні. Рядки утворені елементами, що стоять на горизонтальних лініях, а стовпці - елементами, що стоять на прямих вертикальних лініях. Якщо кількість рядків еквівалентно кількості стовпців - порядок аналізованої таблички визначається лише одним значенням $m = n$.

Примітка 1

Для будь-якого елемента матриці номер рядка, в якій він знаходиться, записується першим в індексі, а номер стовпця - другим, тобто запис $a_(ij)$ означає, що елемент стоїть у $i$-му рядку і в $j$- ом стовпці.

Складання та віднімання

Отже, про складання та віднімання. Ці дії можна проводити тільки з матрицями однакового розміру.

Для того щоб здійснити ці дії, необхідно провести додавання або віднімання кожного елемента матриці з елементом іншої матриці, що стоїть на тій же позиції, що елемент першої.

Як приклад знайдемо суму $A+B$, де:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23)\\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \\ \end(pmatrix)$

і $B = \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33)\\\end(pmatrix)$

Сума будь-якого елемента нової отриманої матричної таблички $A + B$ дорівнює $a_(ij) + b_(ij)$, наприклад, елемент з індексом $11$ дорівнює $a_(11) + b_(11)$,а весь результат цілком виглядає так:

$A + B = \begin(pmatrix) a_(11)+b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+ b_(13) \\ a_(21)+ b_(21) & a_(22)+b_(22) & a_(23)+ b_(23) \\ a_(31)+ b_(31) & a_(32)+ b_(32) & a_(33) + b_(33 ) \\ \end(pmatrix)$

Віднімання для двох матриць $A-B$ здійснюється аналогічно, але кожен елемент нової матриці результату буде обчислюватися за формулою $a_(ij) – b_(ij)$.

Зверніть увагу, що додавання та віднімання для матриць можливо здійснювати тільки якщо їх порядки однакові.

Приклад 1

Розв'яжіть такі матричні приклади: $A + B$; $A – B$.

$A=\begin(pmatrix) 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end(pmatrix)$

$B=\begin(pmatrix) 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end(pmatrix)$

Пояснення:

Дії виконуємо для кожної пари елементів $a_(ij)$ та $b_(ij)$ відповідно:

$A+B=\begin(pmatrix) 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 - 1\\-2+0 & 0+7 & 7 - 3 \ \ \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end(pmatrix)$

$AB=\begin(pmatrix) 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \ end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end(pmatrix)$

Розмноження матриці на число

Для того щоб зробити множення матричної таблички на якесь число, потрібно кожен її елемент помножити на це число, тобто будь-який елемент нової матриці $C$, що є результатом добутку $A$ на $λ$ дорівнюватиме $с_(ij)= λ \cdot a_(ij)$.

Приклад 2

Помножте $A$ на $λ$, де $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$, а $λ =5$:

$A \cdot λ = 5 \cdot \begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 \cdot 5 & ​​0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 0 \cdot 5 \\ 2 \cdot 5 & 1\cdot 5 & 3\cdot 5 \\ \end(pmatrix ) = \begin(pmatrix) 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \end(pmatrix)$.

Твір матричних таблиць

Це завдання дещо складніше за попередні, але при цьому в ньому також немає нічого складного.

Для здійснення множення двох матриць $A \cdot B$ кількість стовпців $A$ має збігатися з кількістю рядків $B$.

Математично це можна записати так:

$A_(m \times n)\cdot B_(n \times p) = С_(m \times p)$

Тобто бачачи вихідні матриці, що перемножуються, можна відразу визначити порядки одержуваної нової. Наприклад, якщо необхідно перемножити $A_(3 \times 2)$ і $B_(2 \times 3)$ - отриманий результат матиме розмір $3 \times 3$:

$\begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ a_(31) & a_(32) \\ \end(pmatrix) \times \begin(pmatrix ) b_(11) & b_(12) &b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) &b_(33) \\ \end( pmatrix) = \begin(pmatrix) & \\ & & \\ & & \\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) (a_(11)b_(11) + a_(12)b_(21)) & (a_(11)b_(12) + a_(12)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(12)b_(23)) \\ (a_(21)b_(11) ) + a_(22)b_(21)) & (a_(21)b_(12) + a_(22)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(22)b_(23) ) \\ (a_(31)b_(11) + a_(32)b_(21)) & (a_(31)b_(12) + a_(32)b_(22)) & (a_(31)b_( 13) + a_(32)b_(23)) \\ \end(pmatrix)$

Якщо число стовпчиків першого матричного множника не збігається з кількістю рядків другого матричного множника, множення виконати неможливо.

Приклад 3

Розв'яжіть приклад:

$A \times B = ?$, якщо $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ і $B = \begin(pmatrix) 3 & - 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(pmatrix)$.

$A \times B = \begin(pmatrix) (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end(pmatrix) $

$A \times B= \begin(pmatrix) (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0 + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \end(pmatrix) = \begin(pmatrix ) 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\\end(pmatrix)$.

Знаходження визначника матриці

Визначник матриці позначається як $Δ$ або $\det$.

Примітка 2

Детермінант можна визначити тільки для квадратних видів матриць.

У найпростішому випадку, коли матриця складається з одного елемента, її визначник дорівнює цьому елементу: $det A = |a_(11)|= a_(11)$

Обчислити визначник від матриці близько двох можна за таким правилом:

Визначення 1

Визначник матриці розміру 2 дорівнює різницітворів елементів, що стоять на головній діагоналі з твором елементів із побічної діагоналі:

$\begin(array)(|cc|) a_(11)& a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ \end(array) = a_(11) \cdot a_(22) – a_(12) \cdot a_(21)$

Якщо визначник матриці заданий розміром $3 \times 3$, то знайти його можна використовуючи мнемонічні правила: Саррюса або трикутників, також можна розкласти матрицю по рядку або стовпцю або скористатися перетвореннями Гауса.

Для визначників більшого розміру можна використовувати перетворення Гауса та розкладання по рядку.

Зворотні матриці

За аналогією зі звичайним множенням числа на зворотне число №(1+\frac1x= 1)$, множення зворотної матриці $A^(-1)$ на вихідну матрицю дає в результаті одиничну матрицю $E$.

Найпростіший метод вирішення при пошуку зворотної матриці - Жордана-Гаусса. Поряд з матрицею-піддослідним кроликом записується одинична того ж розміру, а потім вихідна за допомогою перетворень наводиться до одиничної, причому всі дії, що виконуються, повторюються і з $E$.

Приклад 4

Дана $A=\begin(pmatrix)(cc) 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end(pmatrix)$

Отримати зворотну матрицю.

Рішення:

Пишемо разом $A$ і праворуч від неї відповідного розміру $E$:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end(array)$

Отримуємо нуль в останній рядку на першій позиції: додаємо до неї верхню, помножену на $-3$:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(array)$

Тепер обнулюємо останній елемент першого рядка. Для цього до верхнього рядка плюсуємо нижню:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(array)$

Ділимо другу на $-2$:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end(array)$

Отримали результат:

$A=\begin(pmatrix)(cc) -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end(pmatrix)$

Транспонування матричних таблиць

Транспонування - це зміна рядків і стовпців у матриці чи визначнику місцями із збереженням їхнього вихідного порядку. Визначник траспонованої матричної таблички $A^T$ дорівнюватиме визначнику вихідної матриці $A$.

Приклад 5

Транспонуйте матрицю $A$ та перевірте себе, знайшовши визначник $A$ та транспонованої матричної таблички.

$A=\begin(pmatrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ - 1 & -2 & -3\\\end(pmatrix)$

Рішення:

Застосуємо метод Саррюса для детермінанту:

$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) – 2 \cdot 4 \cdot (-3) – 1 \cdot 6 \cdot (-2) - 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 - 12 - 24 + 24 + 12 + 15 = 0 $.

Ми отримали вироджену матрицю.

Тепер зробимо транспонування $A$, для цього повалимо матрицю на її правий бік:

$A^T = \begin(pmatrix) 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end(pmatrix)$

Знайдемо для $A^T$ визначник, використовуючи те саме правило:

$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) – 1 \cdot (-2) \cdot 6 - (-1) \cdot 5 \cdot 3 = - 15 -24 - 12+24+12+15 = 0$.

Перш за все, ЩО має вийти в результаті множення трьох матриць? Кішка не народить мишку. Якщо матричне множення можна здійснити, то в результаті теж вийде матриця. М-да, добре мій викладач з алгебри не бачить, як я поясню замкнутість алгебраїчної структури щодо її елементів =)

Добуток трьох матриць можна обчислити двома способами:

1) знайти , а потім примножити на матрицю «це»: ;

2) або спочатку визначити, потім виконати множення.

Результати обов'язково співпадуть, і теоретично дана властивістьназивають асоціативністю матричного множення:

Приклад 6

Перемножити матриці двома способами

Алгоритм рішеннядвокроковий: знаходимо твір двох матриць, потім знову знаходимо твір двох матриць.

1) Використовуємо формулу

Дія перша:

Дія друга:

2) Використовуємо формулу

Дія перша:

Дія друга:

Відповідь:

Звичніший і стандартніший, звичайно ж, перший спосіб вирішення, там «ніби все по порядку». До речі, щодо порядку. У розглянутому завданні часто виникає ілюзія, що йдеться про якісь перестановки матриць. Їх тут нема. Знову нагадую, що у загальному випадку ПЕРЕСТАВЛЯТИ МАТРИЦІ НЕ МОЖНА. Так, у другому пункті на другому кроці виконуємо множення , але в жодному разі не . Зі звичайними числами такий би номер пройшов, а з матрицями – ні.

Властивість асоціативності множення справедливе як для квадратних, але й довільних матриць – аби вони множались:

Приклад 7

Знайти твір трьохматриць

Це приклад самостійного рішення. У зразку рішення обчислення проведено двома способами, проаналізуйте, який шлях вигідніший і коротший.

Властивість асоціативності матричного множення має місце і для великої кількості множників.

Тепер саме час повернутися до ступенів матриць. Квадрат матриці розглянутий на самому початку і на порядку денному питання.

Це методичний посібникдопоможе Вам навчитися виконувати дії з матрицями: складання (віднімання) матриць, транспонування матриці, множення матриць, знаходження зворотної матриці. Весь матеріал викладений у простій та доступній формі, наведені відповідні приклади, таким чином, навіть непідготовлена ​​людина зможе навчитися виконувати дії з матрицями. Для самоконтролю та самоперевірки Ви можете безкоштовно завантажити матричний калькулятор >>>.

Я намагатимуся мінімізувати теоретичні викладки, подекуди можливі пояснення «на пальцях» та використання ненаукових термінів. Любителі ґрунтовної теорії, будь ласка, не займайтеся критикою, наше завдання – навчитися виконувати дії з матрицями.

Для СВЕРХШВИДКОГО підготовки за темою (у кого «горить») є інтенсивний pdf-курс Матриця, визначник та залік!

Матриця – це прямокутна таблиця будь-яких елементів. В якості елементівми розглядатимемо числа, тобто числові матриці. ЕЛЕМЕНТ- Це термін. Термін бажано запам'ятати, він часто зустрічатиметься, не випадково я використав для його виділення жирний шрифт.

Позначення:матриці зазвичай позначають великими латинськими літерами

Приклад:розглянемо матрицю «два на три»:

Дана матриця складається з шести елементів:

Всі числа (елементи) всередині матриці існують самі по собі, тобто ні про яке віднімання не йдеться:

Це просто таблиця (набір) чисел!

Також домовимося не переставлятичисла, якщо іншого не сказано у поясненнях. У кожного числа своє місце розташування, і перетасовувати їх не можна!

Розглянута матриця має два рядки:

і три стовпці:

СТАНДАРТ: коли говорять про розміри матриці, то спочаткувказують кількість рядків, а потім – кількість стовпців. Ми щойно розібрали по кісточках матрицю «два на три».

Якщо кількість рядків та стовпців матриці збігається, то матрицю називають квадратний, наприклад: - матриця "три на три".

Якщо в матриці один стовпець або один рядок, то такі матриці також називають векторами.

Насправді поняття матриці ми знаємо ще зі школи, розглянемо, наприклад, точку з координатами «ікс» і «гравець»: . Фактично, координати точки записані в матрицю «один на два». До речі, ось Вам і приклад, чому порядок чисел має значення: і – це дві абсолютно різні точкиплощині.

Тепер переходимо безпосередньо до вивчення дій із матрицями:

1) Дія перша. Винесення мінуса із матриці (внесення мінуса в матрицю).

Повернемося до нашої матриці . Як ви, напевно, помітили, в даній матриці занадто багато негативних чисел. Це дуже незручно з точки зору виконання різних дій з матрицею, незручно писати стільки мінусів, та й просто в оформленні виглядає некрасиво.

Винесемо мінус за межі матриці, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:

У нуля, як Ви знаєте, знак не змінюється, нуль – він і в Африці нуль.

Зворотній приклад: . Виглядає потворно.

Внесемо мінус у матрицю, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:

Ну ось, набагато симпатичніше вийшло. І, найголовніше, виконувати будь-які дії з матрицею буде ПРОЩЕ. Тому що є така математична Народна прикмета: чим більше мінусів – тим більше плутанини та помилок.

2) Дія друга. Розмноження матриці на число.

Приклад:

Все просто, щоб помножити матрицю на число, потрібно коженелемент матриці помножити на це число. У цьому випадку – на трійку.

Ще один корисний приклад:

– множення матриці на дріб

Спочатку розглянемо те, що робити НЕ ТРЕБА:

Вносити дріб у матрицю НЕ ТРЕБА, по-перше, це тільки ускладнює подальші діїз матрицею, по-друге, ускладнює перевірку рішення викладачем (особливо якщо - Остаточна відповідь завдання).

Тим паче, НЕ ТРЕБАділити кожен елемент матриці на мінус сім:

Зі статті Математика для чайників або з чого почати, ми пам'ятаємо, що десяткових дробівз комою у вищій математиці намагаються всіляко уникати.

Єдине що бажанозробити в цьому прикладі – це внести мінус у матрицю:

А от якби УСЕелементи матриці поділялися на 7 без залишку, Тоді можна (і треба!) було б поділити.

Приклад:

В цьому випадку можна і ПОТРІБНОпомножити всі елементи матриці на , тому що всі числа матриці поділяються на 2 без залишку.

Примітка: теоретично вищої математики шкільного поняття «розподіл» немає. Замість фрази "це поділити на це" завжди можна сказати "це помножити на дріб". Тобто, розподіл – це окремий випадок множення.

3) Дія третя. Транспонування матриці.

Щоб транспонувати матрицю, потрібно її рядки записати в стовпці транспонованої матриці.

Приклад:

Транспонувати матрицю

Рядок тут лише один і, згідно з правилом, його потрібно записати в стовпець:

– транспонована матриця.

Транспонована матриця зазвичай позначається надрядковим індексом чи штрихом праворуч угорі.

Покроковий приклад:

Транспонувати матрицю

Спочатку переписуємо перший рядок у перший стовпець:

Потім переписуємо другий рядок у другий стовпець:

І, нарешті, переписуємо третій рядок у третій стовпець:

Готово. Грубо кажучи, транспонувати це означає повернути матрицю набік.

4) Дія четверта. Сума (різниця) матриць.

Сума матриць дія нескладна.
НЕ ВСІ МАТРИЦІ МОЖНА СКЛАДАТИ. Для виконання складання (віднімання) матриць, необхідно, щоб вони були ОДНАКОВИМИ ЗА РОЗМІРУ.

Наприклад, якщо дана матриця «два на два», то її можна складати тільки з матрицею «два на два» та жодної іншої!

Приклад:

Скласти матриці і

Для того, щоб скласти матриці, необхідно скласти їх відповідні елементи:

Для різниці матриць правило аналогічне, необхідно знайти різницю відповідних елементів.

Приклад:

Знайти різницю матриць ,

А як вирішити цей приклад простіше, щоб не заплутатися? Доцільно позбавитися зайвих мінусів, для цього внесемо мінус в матрицю:

Примітка: теоретично вищої математики шкільного поняття «віднімання» немає. Замість фрази «від цього відняти це» завжди можна сказати «до цього додати від'ємне число». Тобто, віднімання – це окремий випадок складання.

5) Дія п'ята. Розмноження матриць.

Які матриці можна множити?

Щоб матрицю можна було помножити на матрицю потрібно, щоб число стовпців матриці дорівнювало числу рядків матриці.

Приклад:
Чи можна помножити матрицю на матрицю?

Отже, множити дані матриці можна.

А от якщо матриці переставити місцями, то в даному випадку множення вже неможливо!

Отже, виконати множення неможливо:

Не так вже й рідко зустрічаються завдання з каверзою, коли студенту пропонується помножити матриці, множення яких явно неможливе.

Слід зазначити, що у ряді випадків можна множити матриці і так, і так.
Наприклад, для матриць, і можливо як множення, так і множення

Визначення 1

Твір матриць (С = АВ) - операція тільки для узгоджених матриць А і В, у яких число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці:

C ∟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Приклад 1

Дані матриці:

• A = a (i j) розмірів m × n;
• B = b (i j) розмірів p × n

Матрицю C , елементи c i j якої обчислюються за такою формулою:

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j +. . . + a i p × b p j, i = 1,. . . m, j = 1,. . . m

Приклад 2

Обчислимо твори АВ=ВА:

А = 1 2 1 0 1 2 , В = 1 0 0 1 1 1

Рішення, використовуючи правило множення матриць:

А ⏟ 2 × 3 × В ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

В ⏟ 3 × 2 × А ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

Твір АВ і В А знайдені, але є матрицями різних розмірів: АВ не дорівнює В А.

Властивості множення матриць

Властивості множення матриць:

• (А В) С = А (В С) – асоціативність множення матриць;
• А (В + С) = А В + АС - дистрибутивність множення;
• (А + В) С = АС + ВС - дистрибутивність множення;
• λ (АВ) = (λ А) В

Приклад 1

Перевіряємо властивість №1: (АВ) С = А (ВС) :

(А × В) × А = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100 ,

А (В × С) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .

Приклад 2

Перевіряємо властивість №2: А (В+С) = АВ+АС:

А × (В + С) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58 ,

А В + АС = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58 .

Твір трьох матриць

Твір трьох матриць А В обчислюють двома способами:

• знайти АВ і помножити на З: (АВ) З;
• або знайти спочатку ВС, а потім помножити А (ВС) .

Приклад 3

Перемножити матриці двома способами:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Алгоритм дій:

• знайти твір 2-х матриць;
• потім знову знайти твір 2-х матриць.

1). А В = 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (-28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). А В С = (А В) С = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Використовуємо формулу АВС = (АВ) С:

1). В С = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). А В С = (А В) С = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (-12) = 2 0 0 3

Відповідь: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Розмноження матриці на число

Визначення 2

Добуток матриці А на число k - це матриця В = А k того ж розміру, яка отримана з вихідною множенням на задане число всіх її елементів:

b i , j = k × a i , j

Властивості множення матриці на число:

• 1 × А = А
• 0 × А = нульова матриця
• k(A+B) = kA+kB
• (k + n) A = k A + n A
• (k × n) × A = k (n × A)

Приклад 4

Знайдемо добуток матриці А = 4290 на 5.

5 А = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Розмноження матриці на вектор

Визначення 3

Щоб знайти твір матриці та вектора, необхідно множити за правилом «рядок на стовпець»:

• якщо помножити матрицю на вектор-стовпець число стовпців у матриці має співпадати з числом рядків у векторі-стовпці;
• результатом множення вектора-стовпчика є тільки вектор-стовпець:

АВ = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а m 1 а m 2 ⋯ а mnb 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 1 2 + ⋯ + a 1 n × bna 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × bn ⋯ ⋯ ⋯ am 1 × b 1 + am 2 × b 2 + ⋯ + amn × bn = c 1 c 2 ⋯ c 1 m

• якщо помножити матрицю на вектор-рядок, то матриця повинна бути виключно вектором-стовпцем, причому кількість стовпців має збігатися з кількістю стовпців у векторі-рядку:

А В = а а ⋯ а bb ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × bna 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × bn ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an × b 1 an × b 2 ⋯ an × bn = c 11 c 12 ⋯ c 1 nc 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ cn 1 cn 2 ⋯ cnn

Приклад 5

Знайдемо твір матриці А та вектора-стовпця В:

А В = 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (-1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (-1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Приклад 6

Знайдемо твір матриці А та вектора-рядок В:

А = 3 2 0 - 1, В = - 1 1 0 2

А В = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Відповідь: А В = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter