Какво е идентификация и типове полиедрон. Polyhedra. Теорем Еулер за Полихедра. Топологично правилен и неправилен полихедра. Полихедра в природата

Въведение

Повърхността, съставена от полигони и ограничаваща се геометрично тяло, се нарича многостранна повърхност или полихедрон.

Полихедрът се нарича ограничено тяло, повърхността на която се състои от ограничен брой полигони. Полигоните, които ограничават полихедрона, се наричат \u200b\u200bръбове, линиите за пресичане на линията се наричат \u200b\u200bребра.

Полиедрата може да има разнообразие от много сложна структура. Различни сгради, като сгради, изградени от тухли и бетонни блокове, са примери за полиедър. Други примери могат да бъдат намерени сред мебелите, като например таблицата. В химията, формата на въглеводородните молекули е тетраедър, десният двадесет moor, куб. Във физиката, примерът на Polyhedra сервира кристали.

От най-древните времена представянето на красотата е свързано със симетрия. Вероятно обяснява интересът на човек към Полиедра - невероятни символи на симетрия, които нападнаха вниманието на изключителните мислители, които красотата се удари, съвършенство, хармонията на тези цифри.

Първото споменаване на Полихедра са известни с още три хиляди години преди нашата епоха в Египет и Вавилон. Достатъчно е да си припомним известните египетски пирамиди и най-известните от тях - пирамидата на Heops. Това е дясната пирамида, в основата на която квадратът със страна на 233 m и височината на която достига 146,5 m. Не е случайно, че пирамидът на Хейопс е \u200b\u200bням трактат за геометрията.

Историята на десния полихедра върви дълбока античност. От 7 век до нашата ера в Древна Гърция Създават се философски училища, в които се среща постепенно преход от практически за философска геометрия. От голямо значение в тези училища придобиват разсъждение, с помощта на която новите геометрични свойства успяха да получат.

Една от първите и най-известните училища е питагорейски, кръстена на основателя на Питагора. Отличителен знак на питагорейците е пентаграма, на езика на математиката - това е правилният незначителен или звезден петоъгълник. Pentagram е възложена способността да защитава човек от зли духове.

Питагорейците смятат, че въпросът се състои от четири основни елемента: пожар, земя, въздух и вода. Наличието на петте десни полихедра, те се позоваха на структурата на материята и вселената. Според това становище атомите на основните елементи трябва да бъдат под формата на различни Тел:

§ Вселената - Додекаедрон

§ земя - куб

§ пожар - тетраедър

§ Вода - Ikosahedron

§ Въздух - октаедрон

По-късно учението на питагорейците за дясната полиедра очерта друг древен гръцки учен в своите писания, философът е идеалист на Платон. Оттогава правилната полиедрия стана известна като платонични тела.

Платонните тела се наричат \u200b\u200bправилни хомогенни изпъкнали Polyhedra, т.е. изпъкнали полихедра, всички лица и ъглите на които са равни, а ръбовете - десни полигони. Всеки връх на правилния полихед се слива със същия брой Ryubers. Всички ъгли на Dugrani с Ribrs и всички многостранни ъгли на върховете на правилния многоъгълник са равни. Платоничното тяло е триизмерен аналог на плоски обикновени полигони.

Теорията на Polyhedra е модерна секция по математика. Тя е тясно свързана с топологията, теорията на графиките, има голямо значение както за теоретични проучвания върху геометрията, така и за практически приложения в други участъци на математиката, например, в алгебра, теория на числата, приложна математика - линейно програмиране, теория на оптималния контрол. По този начин, тази тема Той е уместно и знанието по този въпрос е важно за съвременното общество.

Главна част

Ограниченият орган е многостранен, повърхността на която се състои от ограничен брой полигони.

Ние даваме дефиницията на полихедрон, еквивалентен на първата дефиниция на полихед.

Polyhedron. – Тази цифра, която е съюз на крайния брой тетраедра, за които са изпълнени следните условия:

1) на всеки две тетраедър нямат общи точки или имат общ връх или само общ ръб или цяла обща линия;

2) От всеки тетраедър е възможно да се премине през веригата Tetrahedron, при която всеки следващ в непосредствена близост до предишното на цялото лице.

Елементи на полихедрон

Ръбът на полигона е някакъв многоъгълник (многоъгълник е ограничена затворена зона, чиято граница се състои от ограничен брой сегменти).

Фасети на лицата се наричат \u200b\u200bребрата на полихедрон, а върховете на лицата са пик на върховете. Към елементите на полихедрона, освен върховете, ребрата и лицата, включват и плоските ъгли на лицата и дограните с ребрата му. Джуджето ъгъл на ръба на полихедрона се определя от лицата, подходящи за този ръб.

Класификация на Полиедра

Изпъкнал полиедрон -това е полихедрон, всякакви две точки, които са свързани в него с сегмент. Избключването Polyhedra притежава много прекрасни имоти.

Теорем Айлер. За всеки изпъкнал полихедрон В p + g \u003d 2,

Където В - броя на нейните върхове, R. - броя на ребрата му, Г. - броя на лицата му.

Cauchy теорема. Две затворени изпъкнали полихедра, еднакво съставени от съответно равни лица, равни.

Изблярният полихед се счита за правилен, ако всичките му лица са равни на десните полигони и във всеки от най-големите му се сближават същия брой ребра.

Десен полихедрон

Полихедрът се нарича правилен, ако, първо, е изпъкнал, второ, всичките му лица са равни един на друг десните полигони, трето, във всеки от неговия връх има същия брой лица, и четвърти, всичките му Dugrani ъглите се сближават. равен.

Има пет изпъкнали десни полиедрия - тетраедър, октаедрон и икосахдрон с триъгълни лица, куб (хексахед) с квадратни лица и додекаедър с петоъгълни лица. Доказателството за този факт вече е известно повече от две хиляди години; Тези доказателства и изучаване на петте десни органи са завършени от "началото" евклидея (древен гръцки математик, авторът на теоретичните трактати по математика, които са достигнали САЩ). Защо правилната полиедрия получи такива имена? Това се дължи на броя на лицата им. Tetrahedron има 4 лица, преведени от гръцкия "Тетра" - четири, "Едрон" - лицето. Hexahedron (Cube) има 6 лица, "Hex" - шест; Октаедрон - октаедрон, "Ок" - осем; Додекаедрон - Twelveman, "Додека" - дванадесет; Ikosahedr има 20 лица, "Ikoshi" - двадесет.

2.3. Видове правилни полихедрия:

1) Десен тетраедрон (Съставен от четири равнострани триъгълника. Всеки връх е върха на три триъгълника. Следователно сумата от плоските ъгли на всеки връх е 180 0);

2) Кубик - паралелепипед, всички от които са квадрати. Кубът се състои от шест квадрата. Всеки връх на Куба е върха на три квадрата. Следователно, сумата от плоските ъгли на всеки връх е 270 0.

3) Правилен октаедронили просто octahedron.– полихедрон, който има осем правилни триъгълни лица и във всяка горна част сближи четири лица. Октаедрон съставлява осем равностранени триъгълника. Всеки връх на октахедрата е връх от четири триъгълника. Следователно, сумата от плоските ъгли на всеки връх е 240 0. Тя може да бъде изградена чрез сгъване на две пирамиди, в основата на кои квадрати и страничните повърхности са правилните триъгълници. Ръбовете на октаедрона могат да бъдат получени чрез свързване на центровете на съседните ръбове на куба, ако свържете центровете на съседните ръбове на правилния октаедрон, след това получаваме ръба на куба. Казва се, че кубът и октаедрон са двойни един към друг.

4)Икосахдрон - Състои се от двадесет равнострани триъгълника. Всяка върха на ikosahedron е връх от пет триъгълника. Следователно, сумата от плоските ъгли на всеки връх е 300 0.

5) Додекаедрон - полихед, съставен от дванадесетте петоъгълника. Всеки връх на додекаедър е върха на трите десни пентони. Следователно, сумата от плоските ъгли на всеки връх е 324 0.

Додекаедър и Икосахдрон също са двойни един към друг в смисъл, че чрез свързване на центровете на центровете на съседните лица на iKosahedron, ние получаваме Додекаедър и обратно.

Правилният тетраедър е двоен за себе си.

В същото време няма правилен полихедрон, чиито краища са правилните шестоъгълници, севгените и общите N-KOM при n ≥ 6.

Правилният полихед се нарича полихедрон, в който всички лица са правилни равни полигони и всички ъгли на джуджета са равни. Но има и такава полиедрия, в която всички многостранни ъгли са равни, и правото, правилното, но разнообразието от обикновени полигони. Полиедрата от този тип се нарича еднакво полу-масло полиедър. За първи път полиедрата е като например отворените архимеди. Те описват подробно 13 полиедрия, които по-късно в чест на великия научен са посочени от органите на Архимед. Този пресечен тетраедър, пресечен оксахидрон, пресечен икосахидрон, пресечен куб, съкратен додекаедър, кубтухедрон, ikosododecahedron, съкратено cavoythedron съкратено ikosodtecahedron, ромбокабококотедр, ромбикозодекаедрон, "флопи" (пиян) куб, "плосък" (заден) додекаедър.

2.4. Полу-екологични полиедрия или архимедови тела - изпъкнала полиедра с две свойства:

1. Всички лица са правилните полигони от два или повече вида (ако всички ръбове са правилните полигони от същия тип, това е правилният полихедрон).

2. За всеки двойка върхове има симетрия на полихедрона (т.е. движението от превеждащия полихед) превежда един връх на друг. По-специално, всички многостранни ъгли на върховете на съотнозните.

В допълнение към полу-екологичната полиедрия от правилните полиедрови - платонични тела, е възможно да се получи така наречената обикновена звезда полихедра. Има само четири от тях, те също се наричат \u200b\u200bтела Кеплер-понасо. Кеплер отвори малък додекаедър, наречен от бодлива или таралеж, и голям додекаедър. Ponaso отвори две други правилни Star Polyhedra, съответно, първо Две: Голяма звезда Додекаедър и голям икосаедър.

Две тетраедра, които преминаха един през другата форма на октомври. Johann Keplerpriseded тази фигура името "Stella Okatgul" - "Осмоъгълна звезда". Той се среща в природата: това е така нареченият двоен кристал.

При определянето на правилния полихед съзнателно - при изчисляването на привидно доказателство - думата "изпъкнала" не беше подчертана. И това означава допълнително изискване: "И всичките ръбове, които лежат от едната страна от самолета, минавайки през някой от тях." Ако откажете такова ограничение, тогава до платонични тела, с изключение на "продължаващата октаедрон", ще трябва да добавите още четири полиедрия (те се наричат \u200b\u200bтела на Кеплер - Puenau), всеки от които ще бъде "почти прав". Всички те се получават от "омар" Платонов Тялото, т.е. удължаването на лицата, преди да се пресичат и затова се наричат \u200b\u200bзвезда. Кубът и тетраедър не генерират нови фигури - лицето им, колко ще продължи, не се пресича.

Ако разширите всички краища на октаедрон преди пресечната точка един с друг, фигурата ще се окаже, че се появява, когато се интервюира двете тетраедра - "Stella Oktangul", който се нарича "Продължение" октаедром.

Икосахдрон и Додекаедрон дават на света на четири "почти дясна полиедра". Един от тях е малка звезда Додекаедър, получена за първи път от Йохан Кеплер.

Векът на математиката не бяха признати за всички видове звезди на правото да бъдат наречени полигони поради факта, че техните партии се пресичат. Лудвиг Шлефли не хвърли геометрично тяло от семейство полиедрия само за факта, че аспектите му са самостоятелно възпроизвеждане, въпреки това, остават категорични веднага щом говорим за малка звезда Додекаедър. Аргументът е прост и тегло: това животно животно не се подчинява на формулата на Ойлер! Бодниците му се формират Дванадесет степени, тридесет ребра и дванадесет върхове, и следователно, в + г-н не е равно на два пъти.

Шлефли беше прав, а не прав. Разбира се, геометричният таралеж не е толкова бодлив, за да се бунтува срещу непогрешимата формула. Необходимо е само да не се предположи, че се формира от дванадесет пресичащи се стереос, но погледнете го като просто, честно геометрично тяло, съставено от 60 триъгълника, с 90 ребра и 32 върха.

След това b + mr \u003d 32 + 60-90 е, както трябва да бъде, 2. но след това думата "правилна" не е приложима за този полихед - в края на краищата, това не е по-дълго равномерно, но само равни триъгълници. Кеплер Н. Мислех, че цифрата, получена от него, има двойна.

Полихедрон, който се нарича "голям додекадерон" - построен френски геометър Луи Поноксо двеста години след цифрите на звездите на Кеплер.

Големият Ikosahedrbel за първи път описа Луи Понасо през 1809 година. И отново, Кеплер, като видя голяма звезда Додекаедър, честта на откриването на втората фигура напусна Луи Пунау. Тези фигури също наполовина се подчиняват на формулата на сумата.

Практическа употреба

Полихедра в природата

Десните полиедри са най-печелившите фигури, така че те са широко разпространени в природата. Това се потвърждава от формата на някои кристали. Например, кристалите на сол за готвене имат формата на куб. При производството на алуминий се използват алуминиев калиев кварц, чийто единичен кристал има формата на правилния октаедър. Получаване на сярна киселина, желязо, специални оценки на цимента не е без сярна сяра. Кристалите на това химично вещество имат форма на додекаедър. В различни химична реакция Използва се от антицискуларния натрий - вещество, синтезирано от учени. Натриевият анти-рафинеров кристал има формата на тетраедър. Последният правилен полихедрон - iKosahedron предава формата на боронски кристали.

Star Polyhedra са много декоративни, което им позволява да бъдат широко използвани в бижутата в производството на всякакви декорации. Те се използват в архитектурата. Много форми на Star Polyhedra подканва самата природа. Снежинките са звездни полиедри. С древни времена хората се опитват да опишат всички възможни видове снежинки, отчитат специални атласи. Сега има няколко хиляди различни вида снежинки.

Правилната полихедра се намира и в дивата природа. Например, скелетът на едноклетъчен организъм на Feudalia (Circjgnia iCosahtdra) във форма прилича на Ikosahedron. Повечето феодалия живеят дълбочина на морето И обслужвайте плячката на корала. Но най-простото животно се защитава с дванадесет игли, напускащи от 12 върха на скелета. Тя прилича повече на звездния полихед.

Можем също да наблюдаваме полиедрия под формата на цветя. Ярък пример може да бъде кактуси.

Подобна информация.

Въпреки че стереометърът се учи само в училищата в гимназията, но с куб, десните пирамиди и други прости полихедри подписват всеки ученик. Темата "Полихедра" има ярки приложения, включително боядисване и архитектура. В допълнение, в него, според фигуративния израз на академик Александров, "лед и глобален" са комбинирани, т.е. живи въображение и строга логика. Но Б. курс за училище Стереометрията се дава малко време на десния полихедра. Но много от правилните полиедри са от голям интерес, но няма възможност да научите повече за тях в урока. Ето защо реших да разкажа за всички десни полиедрия, с различни форми и за техните интересни имоти.

Структурата на правилната полихедра е много удобна за изучаване на множество трансформации (обороти, симетрия и др.). Получените групи трансформации (те се наричат \u200b\u200bгрупи на симетрия) се оказаха много интересни от гледна точка на теорията на крайните групи. Същата симетрия направи възможно да се създаде серия от пъзели под формата на десния полихед, който започва "кубът на рубин" и "молдов пирамида".

Научно и популярно физико-математическо списание "KVANT" е било използвано за съставяне на резюмето, от която е взета информация за това какъв е правилният полихедрон, за тяхното количество, върху изграждането на всички правилни полихедра и описание на всички завои, в които Полихедронът е подравнен с първоначалното си положение. От вестника "Математика" получих интересна информация Върху звездите на десния полихедра, техните имоти, открития и тяхното приложение.

Сега имате възможност да се потопите в света на дясното и великолепно, в света на красивите и необикновени, което води очите ни.

1. Право полиедра

1. 1 Определяне на правилната полиедрия.

Изблярният полихед се нарича правилен, ако лицата му са еднакви правилни полихедра и всички многостранни ъгли са равни.

Помислете за възможната правилна полиедрия и преди всичко, тези, от които са правилата на правилните триъгълници. Най-простият такъв правилен полихед е триъгълна пирамида, чиито лица са правилните триъгълници. Във всеки от нейните върхове се сближават три лица. Като само четири лица, този полихед също се нарича десния тетраедър, или просто тетраедър, което означава четирикратно на гръцкия език.

Полихедрът, чиито краища са правилните триъгълници и във всеки връх има четири лица, нейната повърхност се състои от осем правилни триъгълника, така че се нарича октаедром.

Полиедрон, във всеки от тях, от които се събират пет редовни триъгълника. Повърхността му се състои от двадесет правилни триъгълници, така че се нарича ikosahedrome.

Имайте предвид, че тъй като в горната част на изпъкналия полихедрон повече от пет правилни триъгълника не могат да се събират, тогава други правилни полигони, чиито краища са правилните триъгълници, не съществуват.

По същия начин, защото само три квадрата могат да се сближат в върховете на изпъкналия полихедрон, тогава, с изключение на куба, други правилни полихедри, в които квадратите са квадрати, не съществуват. Кубът има шест лица и затова се нарича още хексахидром.

Полихедрон, чиито лица са десни пентони И във всеки връх има три лица. Неговата повърхност се състои от дванадесет редовни пентони, така че се нарича Додекаедром.

От дефиницията на правилния полихед, от това следва, че правилният полихед "напълно симетричен": ако отбележите някои феяли на R и един от нейните върхове А, тогава за всяко друго лице на G1 и неговите върхове A1, можете да комбинирате полиедрон С самото движение в пространството, така че ръбът G е съвместим с G1 и в същото време въртенето и попада в точката А1.

1. 2. Историческа справка.

Петте, изброени над дясната полиедрия, често наричани "телата на Платон", завладяха въображението на математиците, мистиците и философите на древни времена преди повече от две хиляди години. Древните гърци дори са създали мистична кореспонденция между тетраедър, куб, октаедром и икосахдром и четири естествен произход - огън, земя, въздух и вода. Що се отнася до петия десен полихедрон, додекаедрон, те го смятат за форма на вселената. Тези идеи не са едно от собствеността на миналото. И сега, след две хилядолетия, много хора привличат естетическото начало, което ги е влязло.

Първите четири полиедрия бяха известни дълго преди Плато. Археолозите са намерили додекадерон, направен по време на етруска цивилизация най-малко 500 години преди това. д. Но, очевидно в училището Платон, додекаедрът е отворен независимо. Налице е легенда за ученика на Платон Хипаза, умрял в морето, защото той изглади тайната на "топката с дванадесет петоъгълника".

Тъй като Платон и евклид е добре известно, че има точно пет вида правилни полиедри.

Доказваме този факт. Нека всички аспекти на някои полиедрон -вили P-Caps и K са броят на лицата в непосредствена близост до върха (тя е еднакво за всички върхове). Помислете за върха и нашия полихедрон. Нека m1, m2,. , МК - краищата на риоберите, излизащи от нея; Тъй като диедтралните ъгли с тези гуми са равни, AM1M2MK е правилната пирамида: при завъртане под ъгъл от 360º / k около височината на анорем m1 преминава в m, Vertex M1 е в m2. Mk в m1.

Нека да сравним аноселите триъгълници AM1M2 и HM1M2 те имат обща основа, а страничната страна е по-голяма от HM1, така M1AM2

Tetrahedron 3 4 4 6 6

Cube 4 3 8 6 12

Octahedron 3 4 6 8 12 12

Додекаедър 5 3 20 12 30

IKosahedron 3 5 12 20 30 30

1. 3. Изграждане на десния полихедра.

Всички съответни полихедри могат да бъдат построени чрез вземане на куба.

За да получите правилния тетраедър, е достатъчно да отнеме четири нещастия на куба и да отрежете пирамидата от нея с четири самолета, всяка от които преминава през три от върховете

Такъв тетраедър може да бъде въведен в куб по два начина.

Пресечването на две такива редовни тетраедра е само правилния октаедрон: полиедрон от осем триъгълника с върхове, разположени в центровете на куба.

2. свойства на правилната полихедра.

2. 1. Сфера и правилна полихедра.

Върховете на всеки правилен полихед лежат в сферата (което е малко вероятно да предизвика изненада, ако си спомняте, че върховете на всеки правилен многоъгълник са в кръга). В допълнение към тази сфера, наречена "описаната сфера", има две по-важни области. Един от тях, "средната сфера", минава през средата на всички ребрата, а другата, "вписаната сфера" се отнася до всички лица в техните центрове. И трите сфера имат общ център, който се нарича център на полиедрона.

Радиуса на описаната сфера на радиуса на полиедрона на вписаната сфера

Tetrahedron.

Додекаедрон

Икосахдрон

2. 1. Многоцветно самозамесване.

Какво самосъдържание (ротации, които са преведени в себе си), имат куба, тетраедра и октаедра? Обърнете внимание, че някакъв точков център на полихедрона - с всяко самосмесване, то се превръща в себе си, така че всички самозалепвания имат обща стационарна точка.

Нека видим кой като цяло има ротации с фиксиран момент А. Ще покажем, че такова въртене е непременно да се обърне към някакъв ъгъл около някакво правно преминаване през точката А. Достатъчно за нашето движение F (CF (A) \u003d а) да се посочи фиксирана права линия. Възможно е да се намери така: да разгледате три точки m1, m2 \u003d f (m1) и m3 \u003d f (m2), различни от фиксираната точка А, ще извършат равнината през тях и ще поставят перпендикулярния en - това ще бъде да бъде желаното директно. (Ако m3 \u003d m1, тогава нашите директни преминават през средата на сегмента M1M2, F - аксиална симетрия: въртене под ъгъл 180 °).

Така че самозаменяването на полиедрона е непременно обрат около оста, минаваща през центъра на полихедрона. Тази ос пресича нашия полихед в горната част или във вътрешната точка на реброто или лицето. Следователно, нашият самозапис превежда горната, ръба или лицето, това означава, че прехвърля върха, средата на ръба или центъра на лицето. Заключение: движението на куба, тетраедрон или октаедрон, което го съчетава със себе си, е въртенето около оста на един от трите вида: центъра на полиедрона - върха, центърът на полиедрона - средата на ръб, центърът на полиедрона - центъра на лицето.

Като цяло, ако полихедрът е подравнен със себе си, когато се превръща в право на ъгъл от 360 ° / m, тогава този директен се нарича оста на симетрията на M-TH ред.

2. 2. Движение и симетрия.

Основният интерес към правилните причини за полихедра голям номер Симетрии, с които те притежават.

Като се има предвид самозалепването на Polyhedra, е възможно да се включат не само въртенето, но и всякакви движения, които превеждат полиедрона. Тук движението е всяко превръщане на пространството, което запазва двойки разстояния между точките.

В броя на движенията, с изключение на върховете, трябва да включите огледални движения. Сред тях - симетрия по отношение на равнината (отражение), както и състава на отражението спрямо равнината и се обръща около линията, перпендикулярна на нея (това е обща форма. Огледалното движение с фиксирана точка). Разбира се, такива движения не могат да бъдат приложени чрез непрекъснатото движение на полихедрона в пространството.

По-подробно разгледайте симетрията на тетраедър. Всеки директен, преминаващ през всеки връх и центърът на тетраедър, преминава през центъра на обратното лице. Обръщането на 120 или 240 градуса около тази права линия принадлежи към броя на симетрията на тетраедъра. Тъй като тетраедър е 4 върха (и 4 лица), тогава ще получаваме само 8 директни симетрии. Всяко директно минава през центъра и средата на ръба на тетраедър минава през средата на противоположното ребро. Ротацията от 180 градуса (половин завой) около такава права е и симетрия. Тъй като тетраедър има 3 двойки ребра, получаваме още 3 прави симетрии. Следователно, общ брой Директните симетрии, включително идентично превръщане, достига 12. Може да се покаже, че други директни симетрии не съществуват и че има 12 обратни симетрии. Така тетраедрон признава само 24 симетрия.

Директните симетрии на останалата част от десния полихедрат могат да бъдат изчислени по формулата [(Q - 1) N0 + N1 + (P - 1) N2] / 2 + 1, където P-номерът на страните на десните полигони , които са ръбовете на полихедрона, Q - броят на лицата, съседни на всеки връх, N0 е броят на върховете, N1 е броят на ръбовете и N2 - броя на ръбовете на всеки полихед.

Hexahedron и Octahedron имат 24 симетрия и икосахдрон и Додекаедрон - 60 симетрии.

Всичките десни полиедрия имат равнината на симетрия (в тетраедронът - 6, в куба и октаедрона - с 9, в икосахдрона и Додекаедрон - 15).

2. 3. Starny Polyhedra.

В допълнение към правилната полихедра, красивите форми имат звезди от полиедрия. Има само четири от тях. Първите две бяха отворени от I. Kepler (1571 - 1630), а двете други почти 200 години по-късно построени Л. Понасо (1777 - 1859). Ето защо правилните звезди на Полиедра се наричат \u200b\u200bтела Кеплер - Пунау. Те се получават от дясната полиедрия, за да продължат лицата или ритурите. Френският Punso Geolute през 1810 г. построи четири редовни звезди на полиедрона: малка звезда на Додекаедрон, голям Stard Dodecahedron, голям додекаедър и голям икосаедър. В тези четири полиедра кръстостът пресича десния полихедра и две от тях всяка лица са самоактивиран полигон. Но Ponaso не успя да докаже, че други правилни полиедри не съществуват.

Година по-късно (през 1811 г.) това е направено от френския математик Августен Луис Cauchy (1789 - 1857). Тя се възползва от факта, че според определението за правилния полихедрон може да се наложи върху себе си по такъв начин, че произволното лице е съвместимо с избрания. От това следва, че всички ръбове на звездния полихед са равносилно на някакъв точков център на сферата, вписани в полихедрона.

Самолетите на лицата на звездния полихед, пресичащи се, образуват и правилния изпъкнал полихед, т.е. платонова тяло, описан около една и съща сфера. Това платоново тяло Cauchy нарича ядрото на този звезден полихедрон. Така звездите на полиедрона могат да бъдат получени чрез продължаване на равнината на краищата на един от платоничните тела.

От тетраедрон, куб и октаедрон, звездата Полихедра не може да получи. Помислете за додекаедър. Продължаването на риба му води до подмяна на всяко лице, с участието на дясното петоъгълник и в резултат на това се оказва малко звезди на Додекаедрон.

При продължаването на лицата на додекаедрона следващите два случая са възможни: 1) Ако разгледаме правилните пентони, тя се оказва голям додекаедър.

2) Ако разглеждаме звездните петоъгълници като лицата, се получава голям додекаедър.

Ikosahedron има една звезда форма. С продължаването на лицето на правилния икосахедрон се получава голям икосаедър.

Така има четири вида празни звезди от полиедрия.

Starny Polyhedra са много декоративни, което им позволява да бъдат широко използвани в бижутерската индустрия в производството на всякакви декорации.

Много форми на звезди от полиедрия предполагат самата природа. Снежинките са звезди от полиедрия. С древни времена хората се опитват да опишат всички възможни видове снежинки, отчитат специални атласи. Сега има няколко хиляди различни вида снежинки.

Заключение

Следните теми са оповестени в работата: правилната полихедра, изграждането на правилната полихедра, самозаписване, движение и симетрия, звезди от полиедрия и техните свойства. Научихме, че има само пет редовни полиедрия и четири звезди от десния полихедрон, които се използват широко в различни области.

Проучването на платоничните тела и цифрите, свързани с тях, продължават и така нататък. И въпреки че красотата и симетрията са основните мотиви на съвременните проучвания, те също имат известно научно значение, особено в кристалографията. Кристалите на готварската сол, натриев тиоантимонид и хром алум са намерени в природата под формата на куб, тетрадедра и октаедрон. Икосахдрон и Додекаедрон не се срещат сред кристални форми, но могат да бъдат наблюдавани сред формите на микроскопични морски организми, известни като радилация.

Платон и Кеплер идеи за връзката на десния полихедра с хармонично устройство на света и в нашето време намериха продължаването им в интересна научна хипотеза, която в началото на 80-те години. Московските инженери бяха изразени от В. Макаров и В. Морозов. Те вярват, че ядрото на Земята има формата и свойствата на нарастващия кристал, който влияе на развитието на всички естествени процесиХодене по планетата. Лъчите на този кристал, или по-скоро, нейното поле на мощност е причинено от икосаедро-додекаделната структура на Земята. Тя се проявява във факта, че в земната кора прогнозите са вписани в земята Дясно полихедра: Икосахдрон и Додекаедрон.

Много минерални депозити се простират по икосахедро-додекаедрата; 62 Версиите и средата на Ryube Polyhedra нарече авторите на възлите, имат редица специфични свойства, които ви позволяват да обясните някои неразбираеми явления. Фотовете се намират тук древни култури и цивилизации: Перу, Северна Монголия, Хаити, Култура на Obskaya и др. В тези точки има максимални и минимуми атмосферно налягане, Гигантският световен океан. В тези възли има езерото loche ness, Бермудски триъгълник. По-нататъшното изследване на Земята може да определи отношението към тази научна хипотеза, в която, както може да се види, правилната полихедра заема важно място.

Структурата на правилната полихедра е много удобна за изучаване на множество трансформации (обороти, симетрия и др.). Получените групи трансформации (те се наричат \u200b\u200bгрупи на симетрия) се оказаха много интересни от гледна точка на теорията на крайните групи. Същата симетрия позволи създаването на поредица от пъзели под формата на правилната полихедра, която започна "куб Рубик" и "Молдова пирамида".

Скулптори, архитекти, художници също показаха голям интерес към формите на правилна полиедрия. Всички те удариха съвършенство, хармония на полиедрия. Леонардо да Винчи (1452 - 1519) обичаше теорията на Полиедра и често ги представяше на техните платна. Салвадор беше даден на снимката "последната вечеря", изобразена I. Христос със своите ученици на фона на огромен прозрачен додекаедър.

Част от геометрията, която изследвахме досега, се нарича планиметрия - тази част беше за имотите на плоските геометрични фигури, т.е. фигури, изцяло разположени в някакъв самолет. Но елементите около нас не са плоски. Всяка реална тема заема част от пространството.

Секцията на геометрията, в която се изследват свойствата на фигурите в пространството се нарича стереометър.

Ако повърхностите на геометричните тела са съставени от полигони, тогава такива тела се наричат polyhedra..

Полигони, от които е направен полихедрон, се наричат \u200b\u200bлицата му. Предполага се, че в една и съща равнина не се лежат две съседни ръбове на полиедрона.

Страните на лицата се наричат \u200b\u200bребра, а краищата на риоберите са върховете на полиедрона.

Сегментът, свързващ двете върхове, които не принадлежат към едно лице, се нарича диагонал на полиедрия.

Полихедрата са изпъкнали и не-прекъсвания.

Изблярният полихед се характеризира с факта, че се намира един от равнината на всяка от нейните лица. На фигурата, изпъкнал полихедрон - октаедрон. Oktahedra има осем лица, всички лица са правилните триъгълници.

Фигурата е незначителна (вдлъбната) многоъгълник. Ако смятате, например, равнината на триъгълника (EDC), тогава, очевидно, частта на полигона е по един начин, а частта е от другата страна на този самолет.

За повече дефиниции въвеждаме концепцията за паралелни самолети и паралелни прави линии в пространството и перпендикулярност на прав и равнина.

Две равнини се наричат \u200b\u200bпаралел, ако нямат общи точки.

Две направо в пространството се наричат \u200b\u200bпаралелно, ако лежат в една и съща равнина и не се пресичат.

Директно извика перпендикулярно на равнинатаАко е перпендикулярно на всяка права линия в тази равнина.

Призм

Сега можем да влезем в дефиницията на призмата.

(N) - въглищните призми се наричат \u200b\u200bполихедрон, съставен от две равни (n) - квадратв паралелни равнинии (n) - паралелограми, които са били оформени по време на свързването на върховете (n) - въглеродни участъци от паралелни прави линии.

Squal (n) - телетата наричат \u200b\u200bосновите на призмата.

Страните на полигоните се наричат основи на ребрата.

Обадете се на побори странични ръбове Призма.

Се наричат \u200b\u200bпаралелни сегменти странична раблимапризма.

Призмите са прав и наклонени.

Ако основата е пряката призма - десните полигони, тогава такава призма се нарича правилно.

В директни призми всички странични лица са правоъгълници. Страничните ребра Директната призма са перпендикулярни на равнините на нейните основи.

Ако от всяка точка на една база е перпендикулярна на друга база на призмата, тогава това перпендикулярно се нарича височина на призмата.

На фигурата - наклоната четири разклонена призма, в която е извършена височината B 1 e.

В пряка призма всеки страничен ръб е височината на призмата.

Фигура е права триъгълна призма. Всички странични повърхности са правоъгълници, всеки страничен ръб може да се нарече височина на призмата. Триъгълната призма няма диагонали, тъй като всички върхове са свързани с ребрата.

Фигурата е подходящата четиристепенна призма. Основите на призмата са квадрати. Всички диагонали на правилната четиримесечна призма са равни, пресичат в една точка и са разделени в този момент наполовина.

Quadriginal Prism, основата на която - паралеламите се нарича паралелепипед.

Гореспоменатото правилна четворна призма може да се нарече и също директен паралелепипед.

Ако основите на директния паралелепипед са правоъгълници, тогава този паралелепипед - правоъгълна.

Картината е правоъгълна паралелепипед. Три рибена дължина с общ връх наречени измервания правоъгълна паралелепипеда.

Например, AB, AD и A A 1 могат да бъдат наречени измервания.

Тъй като ABC и AC C 1 триъгълници са правоъгълни, следователно, квадратът на диагоналната дължина на правоъгълния паралелепипед е равен на сумата на квадратите на неговите измервания:

C 1 2 \u003d ab2 + ad 2 + a a 1 2.

Ако чрез съответните диагонали на основанията за извършване на напречно сечение ще се окаже това, което се нарича диагонална кръстосана секцияпризма.

В директните призми диагоналните секции са правоъгълници. Чрез равни диагонали преминават еднакви диагонални секции.

Фигурата е правилната шестоъгълна призма, в която се държат две различни диагонални секции, които са диагонално с различни дължини.

Основни формули за изчисления в директни призми

1. Странична повърхност S. \u003d P OSN. ⋅ h, където (h) е височината на призмата. За наклонени призми, площта на всяка странична повърхност се определя отделно.

2. Пълна повърхност. \u003d 2 ⋅ s земя. + S страна. . Тази формула е валидна за всички призми, не само за директно.

3. VOLUME V \u003d S OSN. ⋅ h. Тази формула е валидна за всички призми, не само за директно.

Пирамида

\\ (н \\) - въглища пирамида - полихедрон, съставен от (n) - квадрата в основата и (n) - триъгълници, които са оформени, когато точката на пирамида върха е свързана с всички върхове на основата на полигона.

(n) - квадратът се нарича база на пирамидата.

Триъгълниците са страничните повърхности на пирамидата.

Общият връх на триъгълниците е горната част на пирамидата.

Rybra излиза от горните странични ребра на пирамидата.

Perpendictor от горната част на пирамидата до базовата равнина се нарича височина на пирамидата.

Целта на урока:

1. Въведете концепцията за правилна полиедрия.
2. Помислете за видовете обикновени полиедри.
3. Решаване на задачи.
4. Създайте интерес към темата, научете, за да видите красиви в геометрични тела, развитието на пространствено въображение.
5. Междуправителствени връзки.

Визуалност: Маси, модели.

По време на класовете

I. Организационен момент. Докладвайте урока, формулирайте целите на урока.

II. Изследване на нов материал /

Има в училищна геометрия специални темикоито чакат с нетърпение, предвиждайки среща с невероятно красив материал. Тези теми включват "десния полихедра". Има не само удивителен свят на геометрични тела с уникални свойства, но и интересни научни хипотези. И тогава урокът на геометрията става нещо като проучване на неочаквани страни на обичайното училище.

Нито един от геометричните тела не няма такова съвършенство и красота като десния полихедра. "Правилната полиедрия предизвикателно предизвикателно - веднъж Л. Карл пише, - но този много скромен отрязък успя да влезе в най-дълбоките дълбочини на различните науки."

Определяне на правилния полихед.

Полихедрът се нарича правилно, ако:

1. тя е изпъкнала;
2. всичките му лица са равни един на друг десните полигони;
3. във всеки от върха му, същия брой ръбове се сближават;
4. всички негови диедрени ъгли са равни.

Теорема:Има пет различни (с точност на сходството) Видове правилни полихедрия: правилния тетраедър, правилният хексахидр (куб), правилният октаедрон, правилния додекаедър и правилния iKosahedron.

Маса 1.Някои свойства на правилните полихедри са дадени в следващата таблица.

Тип на ръба	Плосък ъгъл на върха	Изглед на многостранен ъгъл в горната част	Сумата от плоските ъгли на върха	В	R.	Г.	Име на полихедрон
Право триъгълник	60º.	3-степен	180º.	4	6	4	Десен тетраедрон
Право триъгълник	60º.	4-степен	240º.	6	12	8	Правилен октаедрон
Право триъгълник	60º.	5-степен	300º.	12	30	20	Десен икосахдрон
Квадрат	90º.	3-степен	270º.	8	12	6	Подходящ хексахидрон (куб)
Право триъгълник	108º	3-степен	324º.	20	30	12	Право Додекаедрон

Помислете за видовете полиедрия:

Десен тетраедрон

<Рис. 1>

Правилен октаедрон

<Рис. 2>

Десен икосахдрон

<Рис. 3>

Подходящ хексахидрон (куб)

<Рис. 4>

Право Додекаедрон

<Рис. 5>

Таблица 2. Формули за намиране на обема на правилната полихедра.

Изглед на полихедрон	Обем на полихедрона
Десен тетраедрон
Правилен октаедрон
Десен икосахдрон
Подходящ хексахидрон (куб)
Право Додекаедрон

"Платонични тела".

Куб и октаедрон двойки, т.е. Оказва се един друг, ако центровете са гравитация на ръбовете на човек да поемат върховете на другия и обратно. По същия начин, Додекаедър и Икосахдрон. Тетраедрън се справи. Правилният додекадерон се получава от куба, изграждаща "покривите" на повърхността му (метод на евклидея), върховете на тетраедър са четири върха на куба, в двойки не са в непосредствена близост до ръба. Така че всички останали редовни полиедри се получават от Куба. Самият факт на съществуването само на пет наистина правилен полихеддра е невероятно - защото десните полигони в самолета са безкрайно!

Всички десни полиедрия бяха известни в Древна Гърция, а финалната книга XII започна Евклидея. Тези полиедри често се наричат \u200b\u200bсъщото платонски телав идеалистичната картина на света, дадена от великия древен гръцки по-тънък плато. Четири от тях олицетвориха четири елемента: тетраедрон огън, куб-земя, икосаедрон-вода и октаедрон въздух; Петият полихед, додекаедър, символизира цялата вселена. Латинският му започна да нарича Quinta essentia ("пета единица").

Измислете с десния тетраедър, куб, октаедрон, очевидно, не беше трудно, особено след като тези форми имат естествени кристали, например: куб - единична кристална сол (NaCl), октаедрон - единичен кристал Alumokalia Alum ((Kalso 4) 2 · L2H20). Налице е предположение, че формата на додекадрените древни гърци получи, като се има предвид кристалите на пирит (FES SURFUR SURFUR). Наличието на Додекаедър е лесен за изграждане и икосахдрон: нейните върхове ще бъдат центровете 12 лица на додекаедрона.

Къде другаде виждате тези невероятни тела?

В много красива книга на германския биолог от началото на нашия век, Е. Гектел "Красотата на формите в природата" може да се намери такива линии: "Природата емисии в скута си неизчерпаем брой невероятни същества, които са далеч от Красота и разнообразие от всички създадени от изкуството на човек. " Създаването на природа, дадено в тази книга, е красиво и симетрично. Това е неразделна собственост на естествената хармония. Но тук са видими едноклетъчни организми - феодарии, формата на която е точно предадена от ikosahedron. Какво предизвика тази естествена геометризация? Може да е, че от цялата полиедрия със същия брой лица, това е икосахедрът, който има най-голям обем и най-малката повърхност. Този геометричен имот помага на морския микроорганизъм да преодолее натиска на водния скрит.

Интересно е, че фактът, че той е икосахдрон, който се фокусира върху биолозите в техните спорове относно формата на вируси. Вирусът не може да бъде напълно кръгъл, както се смяташе за по-рано. За да се установи своята форма, те взеха различни полиедрия, насочена към тях по същите ъгли като потока от атоми към вируса. Оказа се, че споменатите по-горе свойства позволяват спестяване на генетична информация. Десните полиедри са най-печелившите фигури. И естеството на това е широко използвано. Правилната полихедра определя формата на кристалните решетки на някои химически вещества. Следващата задача илюстрира тази мисъл.

Задача. Моделът на молекула на метан СН 4 има формата на правилния тетраедър, в четири върха на които са водородните атоми, а в центъра - въглероден атом. Определете връзката между две CH връзки.

<Рис. 6>

Решение. Тъй като правилният тетраедър има шест равни ребра, можете да изберете такъв куб, така че диагоналите на лицата му да са ребрата на правилния тетраедър. Куба Център е и център Tetrahedra, защото четири върхове на тетраедър са върховете на куба, а сферата, описана за тях, е уникално определена от четири точки, които не лежат в една и съща равнина.

Триъгълникът AOS е равновесие. Оттук и страната на куба, D е дължината на диагоналната страна на страничното лице или ръба на тетраедъра. Така, a \u003d 54, 73561 0 и J \u003d 109,47 0

Задача. В куб от един връх (d) диагоналите са диагонал на лицата на DA, DB и DC и техните краища са свързани с права. Докажете, че DABC полиедрон, образуван от четири самолета, минаваща през тези права, е правилният тетраедър.

<Рис. 7>

Задача. Ребът на Куба е равно а. Изчислете повърхността на правилния октаедър, вписан в него. Намерете отношението към повърхността, вписана в същия куб на десния тетраедрон.

<Рис. 8>

Обобщение на концепцията за полихедрон.

Полихедрът е набор от краен брой плоски полигони, така че:

1. всяка страна на всеки от полигоните е едновременно от страна на друг (но само един (наричан в непосредствена близост до първия) от тази страна);
2. от всеки от полигоните на компонентите на полихедрона можете да стигнете до някоя от тях, да се преместите на непосредствена близост до нея и от това, от своя страна, към него и т.н.

Тези полигони се наричат \u200b\u200bръбове, техните партии са ребра и техните върхове са върхове на полихед.

Намаленото определение на полихедрън получава различно значение в зависимост от това как да се идентифицира многоъгълник:

- ако под полигона разбират плоски затворени счупени (поне пресичащи се), тогава те стигат до това определение на полихед;

- ако под полигона да се разбере част от равнината, ограничена от счупена, след това от тази гледна точка, под полихедрон, повърхността, съставена от многоъгълни парчета, се разбира. Ако тази повърхност не се пресича, тя е пълната повърхност на някакво геометрично тяло, което също се нарича полихедрон. От тук има трета гледна точка върху полиедрата като геометрични тела, на която също е позволено да съществува в тези дупки "дупки", ограничени от крайния брой плоски лица.

Най-простите примери за полиедри са призми и пирамиди.

Полихедрът се нарича н-въглища пирамидата, ако има едно от лицето му (основа) на всеки н-квадрат, а останалите лица са триъгълници с общ връх, който не лежи в основната равнина. Триъгълната пирамида също се нарича тетраедър.

Полихедрът се нарича н.-Gal prism, ако има две лица (бази) равни н.Основания (без да лежат в една и съща равнина), произтичащи един от друг с паралелен трансфер, а останалите лица - паралелари, противоположни на страните от които са съответните страни на основата.

За всеки полихед на нулевия вид супер, характеристиката (брой върхове минус броя на ребрата плюс броят на лицата) е равен на два; Символично: b - p + g \u003d 2 (теореем еулер). За полихедрон Рода пс. Справедливо съотношение в - p + r \u003d 2 - 2 пс..

Изпъкнал полихед се нарича такъв полихедрон, който се намира от едната страна от равнината на някое от лицето му. Следните изпъкнали полиедри са най-важни:

<Рис. 9>

1. десния полихедра (тялото на Платон) - такава изпъкнала полихедра, всички лица, които са същите правилни полигони и всички многостранни ъгли на върховете са правилни и равни<Рис. 9, № 1-5>;
2. isogones и Isoorders - изпъкнали полихедра, всички многостранни ъгли на които са равни на (изогон) или равни на всички ръбове (Isoorders); Освен това, групата за завъртане (с отражения) на ISOGON (ISOHED) около центъра на тежестта превръща някой от неговия връх (лицето) до всеки друг топ (ръб). Получената полихедра се наричат \u200b\u200bполу-среда Polyhedra (тела на архимедите)<Рис. 9, № 10-25>;
3. paralsalohedra (изпъкнал) - полиедрия, считан за телата, успоредна на чието пресичане, може да се пълни с цялото безкрайно пространство, така че да не влизат помежду си и да са оставили зловещи помежду си, т.е. Подправено място за разделяне<Рис. 9, № 26-30>;
4. Ако под полигона, за да разберете плоски затворени (поне самостоятелно възпроизвеждане), тогава можете да посочите още 4 неспецифицирани (звезда) правилно Polyhedra (Puenau Body). В тези полихедра или ръбовете се пресичат помежду си или лице - самоактивирани полигони<Рис. 9, № 6-9>.

III. Задача у дома.

IV. Задачи на решаване № 279, № 281.

V. обобщаване.

Списък на препратките:

1. "Математическа енциклопедия", редактирана I. М. Виноградова, Издателство Съветска енциклопедия", Москва, 1985 Том 4 стр. 552-553 том 3, стр. 708-711.
2. "Малка математическа енциклопедия", Е. Пържен, I. Пастор, I. Рейман и други. Издателство на Академията на науките на Унгария, Будапеща, 1976. 264-267.
3. "Събиране на задачи по математика за влизане в университети" в две книги, редактирани от M.I. Скави, книга 2 - Геометрия, Издателство " гимназия", Москва, 1998 p. 45-50.
4. "Практически класове по математика: Ръководител За технически училища, "издател" Висше училище ", Москва, 1979 г. стр. 388-395, стр. 405.
5. "Повторяваме етикета" издание 2-6, допълнително., Урок за кандидатите за университети, издателство "Висше училище", Москва, 1974 година. 446-447.
6. Енциклопедичен речник Млада математика А. П. Савин, Издателство "Педагогика", Москва, 1989. 197-199.
7. "Енциклопедия за деца. T.p. Математика ", главен редактор М. Д. АксеновШпакловка Метод и d. Редактор V. A. Володин, издателство "Аванта +", Москва, 2003. 338-340.
8. Геометрия, 10-11: Урок за общи образователни институции/ Л.С. Атанасян, v.f. Бузов, с.Б. Кадовцев et al. - 10-то издание - m.: Образование, 2001. страница 68-71.
9. "Кваннт" № 9, 11 - 1983, № 12 - 1987, № 11, 12 - 1988, № 6, 7, 8 - 1989 г. Научно-популярно физико-математическо списание на Академията на науките на СССР и Академията на Педагогически науки на СССР. Издателство "Наука". Основната редакция на физико-математическата литература. Пс. 5-9, 6-12, 7-9, 10, 4-8, 13, 16, 58.
10. Решаване на проблеми на повишената сложност върху геометрията: 11-ти клас - m.: ARCTA, 2002. Страница 9, 19-20.