Невероятните числа на професор Стюарт. Съвременни високотехнологични технологии Всички Питагорови триъгълници

Бескровни И.М. 1

1 ОАО "Ангстрем-М"

Целта на работата е да се разработят методи и алгоритми за изчисляване на питагорови триплети от вида a2 + b2 = c2. Процесът на анализ е извършен в съответствие с принципите системен подход... Наред с математическите модели бяха използвани графични модели, които изобразяват всеки член на Питагоровата тройка под формата на сложни квадрати, всеки от които се състои от набор от единични квадрати. Установено е, че безкраен набор от питагорови тройки съдържа безкраен брой подмножества, различаващи се по разликата между b – c стойности. Предложен е алгоритъм за образуване на питагорови триплети с всяка предварително определена стойност на тази разлика. Показано е, че питагорейските тройки съществуват при всяка стойност 3≤a

Питагорови тризнаци

системен анализ

математически модел

графичен модел

1. Аносов Д.Н. Поглед към математиката и нещо от нея. - М.: МЦНМО, 2003.- 24 с.: Ил.

2. Ayerland K., Rosen M. Класическо въведение в съвременната теория на числата. - М .: Мир, 1987.

3. Бескровни И.М. Системен анализ и информационни технологиив организации: Урок... - М .: РУДН, 2012 .-- 392 с.

4. Саймън Сингх. Великата теоремаФерма.

5. Ферма П. Изследвания по теория на числата и диофантов анализ. - М .: Наука, 1992.

6. Яптро. Ucoz, Достъпно на: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Питагоровите тройки са кохорта от три цели числа, удовлетворяващи питагорейското отношение x2 + y2 = z2. Най-общо казано, това е специален случай на диофантови уравнения, а именно системи от уравнения, в които броят на неизвестните е по-голям от броя на уравненията. Те са известни отдавна, още от времето на Вавилон, тоест много преди Питагор. И те придобиха името, след като Питагор доказа своята известна теорема на тяхна основа. Въпреки това, както следва от анализа на множество източници, в които въпросът за питагорейските триплети е засегнат в една или друга степен, въпросът за съществуващите класове на тези триплети и възможните начини за тяхното формиране все още не е напълно разкрит.

Така че в книгата на Саймън Сингх се казва: - "Учениците и последователите на Питагор... разказаха на света тайната за намиране на така нареченото питагорейско три k." След това обаче четем: - „Питагорейците мечтаеха да намерят други питагорейски тройки, други квадратчета, от които да се сгъва трети голям квадрат. ... С нарастването на числата питагорейските тройки са все по-рядко срещани и става все по-трудно да ги намерите. Питагорейците изобретиха метод за намиране на такива тройки и, използвайки го, доказаха, че има безкрайно много питагорейски тройки”.

В горния цитат думите, които предизвикват объркване, са подчертани. Защо "питагорейците са мечтали да намерят ...", ако са "измислили метод за намиране на такива тризнаци ...", и защо за големи числа„Все по-трудно е да ги намериш...“.

На работа известен математикД.В. Аносов, желаният отговор изглежда е даден. - „Има тройки естествени (тоест положителни числа) числа x, y, z такива, че

x2 + y2 = z2. (1)

… Възможно ли е да се намерят всички решения на уравнението x2 + y2 = z2 в естествени числа? …Да. Отговорът е следният: всяко такова решение може да бъде представено като

x = l (m2-n2), y = 2lmn, z = l (m2 + n2), (2),

където l, m, n - цели числа, където m> n, или в подобна форма, в която x и y се разменят. Може да се каже малко по-накратко, че x, y, z от (2) с всички възможни естествени числа l и m> n са всички възможни решения на (1) до пермутация на x и y. Например, тройката (3, 4, 5) се получава, когато l = 1, m = 2, n = 1. ... Явно вавилонците са знаели този отговор, но как са стигнали до него, не е известно “.

Обикновено математиците са известни със своята взискателност към формулировките си. Но в този цитат такава строгост не се наблюдава. И така, какво точно: намерете или си представите? Очевидно това са напълно различни неща. По-долу е даден ред от "прясно изпечени" тризнаци (получени по метода, описан по-долу):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Няма съмнение, че всяка една от тези тройки може да бъде представена под формата на релация (2) и след това да се изчислят стойностите на l, m, n. Но това е след като са намерени всички стойности на тройките. Но какво ще кажете преди това?

Не може да се изключи, че отговорите на тези въпроси отдавна са известни. Но по някаква причина те все още не са открити. По този начин целта на тази работа е систематичен анализ на набора от известни примери за питагорейски триплети, търсене на системообразуващи връзки в различни групи триплети и идентифициране на системни характеристики, характерни за тези групи, а след това - развитието на просто ефективни алгоритмиизчисляване на тройки с предварително зададена конфигурация. Под конфигурация имаме предвид връзката между количествата, които съставляват триплета.

Като инструментариум ще се използва математически апарат на ниво, което не излиза извън обхвата на математиката, преподавана в гимназияи системен анализ въз основа на методите, описани в.

Изграждане на модела

От гледна точка на системния анализ, всяка питагорова тройка е система, образувана от обекти, които са три числа и техните свойства. Тяхната съвкупност, в която обектите се поставят в определени отношения и образуват система с нови свойства, които не са присъщи нито на отделни обекти, нито на друга съвкупност от тях, където обектите се поставят в други отношения.

В уравнение (1) обектите на системата са естествени числа, свързани с прости алгебрични отношения: вляво от знака за равенство е сборът от две числа, повдигнати на степен 2, вдясно е третото число, също повдигнато на степен 2. Отделните числа, вляво от равенството, повдигнати на степен 2, не налагат никакви ограничения върху операцията на тяхното сумиране - получената сума може да бъде всякаква. Но знакът за равенство, поставен след операцията за сумиране, налага системно ограничение върху стойността на тази сума: сумата трябва да бъде такова число, че резултатът от операцията за извличане на корен квадратен да е естествено число. И това условие не е изпълнено за числа, заместени в лявата част на равенството. По този начин знакът за равенство, поставен между двата члена на уравнението и третия, превръща трите члена в система. Нова характеристика на тази система е въвеждането на ограничения за стойностите на началните числа.

Въз основа на формата на нотация, Питагоровата триплета може да се разглежда като математически модел на геометрична система, състояща се от три квадрата, свързани чрез отношения на сумиране и равенство, както е показано на фиг. 1. Фиг. 1 е графичен модел на разглежданата система, а нейният вербален модел е твърдението:

Площта на квадрат със страна c може да бъде разделена без остатък на два квадрата със страни а и b, така че сумата от техните площи да е равна на площта на оригиналния квадрат, т.е. три количества a, b и c са свързани чрез съотношението

Графичен модел на разлагане на квадрат

В рамките на каноните на системния анализ е известно, че ако един математически модел отразява адекватно свойствата на определена геометрична система, тогава анализът на свойствата на самата система дава възможност да се изяснят свойствата на нейния математически модел, да ги опознае по-задълбочено, да изясни и, ако е необходимо, да усъвършенства. Ние ще се придържаме към този път.

Нека уточним, че според принципите на системния анализ, операциите за събиране и изваждане могат да се извършват само върху сложни обекти, тоест обекти, съставени от набор от елементарни обекти. Следователно ние ще възприемаме всеки квадрат като фигура, съставена от колекция от елементарни или единични квадрати. Тогава условието за получаване на решение в естествени числа е еквивалентно на приемането на условието, че единичният квадрат е неделим.

Единичен квадрат е квадрат, в който дължината на всяка страна е равна на единица. Тоест, когато площта на единичен квадрат се определя от следния израз.

Количественият параметър на квадрата е неговата площ, определена от броя на единичните квадрати, които могат да бъдат поставени върху дадена площ. За квадрат с произволна стойност x изразът x2 определя площта на квадрата, образувана от сегменти с дължина x единични сегменти... Единичните квадрати X2 могат да бъдат поставени върху площта на този квадрат.

Горните определения могат да се приемат като тривиални и очевидни, но не са. Д.Н. Аносов дефинира понятието площ по различен начин: - „...площта на фигура е равна на сумата от площите на нейните части. Защо сме сигурни, че това е така? ... Представяме си фигура, направена от някакъв хомогенен материал, тогава нейната площ е пропорционална на количеството вещество, съдържащо се в нея - нейната маса. Освен това се подразбира, че когато разделим тяло на няколко части, сумата от техните маси е равна на масата на първоначалното тяло. Това е разбираемо, защото всичко се състои от атоми и молекули и тъй като броят им не се е променил, общата им маса също не се е променила ... Всъщност, всъщност масата на парче хомогенен материал е пропорционална на обема му; следователно, трябва да знаете, че обемът на "лист", който има формата на дадена фигура, е пропорционален на неговата площ. С една дума, ... че площта на фигура е равна на сумата от площите на нейните части, в геометрията е необходимо да се докаже това. ... В учебника на Киселев честно се постулира като един вид предположение съществуването на област, която притежава точно това свойство, което сега обсъждаме, и се казваше, че това всъщност е вярно, но няма да го доказваме. Така че теоремата на Питагор, ако се докаже с области, в чисто логически смисъл ще остане не напълно доказана."

Струва ни се, че дефинициите на единичния квадрат, въведени по-горе, премахват посоченото от D.N. Аносова несигурност. В крайна сметка, ако размерът на площта на квадрат и правоъгълник се определя от сумата на единичните квадрати, които ги запълват, тогава когато правоъгълникът е разделен на произволни части, съседни една на друга, площта на правоъгълникът естествено е равен на сбора от всички негови части.

Освен това въведените дефиниции премахват неяснотата при използването на понятията „разделяне“ и „добавяне“ във връзка с абстрактни геометрични фигури. Всъщност какво означава да разделиш правоъгълник или друг плоска фигурана части? Ако е лист хартия, можете да го изрежете с ножица. Ако парцел - поставете ограда. Стая - поставете преграда. Ами ако е начертан квадрат? Начертайте разделителна линия и декларирайте, че квадратът е разделен? Но в крайна сметка D.I. Менделеев: "... Можете да декларирате всичко, но вие - отидете и демонстрирайте!"

И когато използвате предложените дефиниции, „Разделете фигура“ означава да разделите броя на единичните квадрати, запълващи тази цифра, на две (или повече) части. Броят на единичните квадрати във всяка от тези части определя нейната площ. Конфигурацията на тези части може да бъде дадена произволна, но сумата от техните площи винаги ще бъде равна на площта на оригиналната фигура. Може би математиците ще сметнат тези аргументи за неправилни, тогава ще ги приемем като предположение. Ако подобни предположения са приемливи в учебника на Киселев, то би било грях да не използваме такава техника.

Първият етап от системния анализ е да се идентифицира проблемната ситуация. В началото на този етап няколкостотин питагорейски тройки са намерени в различни източници... В същото време беше обърнато внимание на факта, че целият набор от питагорейски тройки, споменати в публикациите, може да бъде разделен на няколко групи, които се различават по конфигурация. Разликата в дължините на страните на оригиналните и извадените квадрати ще се счита за признак на конкретна конфигурация, т.е. стойността c-b... Например, публикациите доста често демонстрират тройки, удовлетворяващи условието c-b = 1 като пример. Нека приемем, че цялото множество от такива питагореви тройки образува множество, което ще наречем "Клас c-1", и анализираме свойствата на този клас.

Помислете за трите квадрата, показани на фигурата, където c е дължината на страната на намаления квадрат, b е дължината на страната на квадрата, който трябва да се извади, и a е дължината на страната на квадрата, образувана от тяхната разлика. На фиг. 1, че при изваждане на площта на квадрата, който трябва да се извади от площта на намаления квадрат, в остатъка остават две ленти от единични квадрати:

За да може този остатък да образува квадрат, е необходимо да се изпълни условието

Тези съотношения позволяват да се определят стойностите на всички членове на триплета за едно дадено число c. Най-малкото число c, удовлетворяващо отношението (6), е числото c = 5. Така дължините на всички три страниквадрати, удовлетворяващи отношение (1). Припомнете си, че b стойността на страната на средния квадрат

беше избран, когато решихме да оформим средния квадрат, като намалим страната на оригиналния квадрат с единица. Тогава от отношения (5), (6). (7) получаваме следната зависимост:

от което следва, че избраната стойност c = 5 уникално задава стойностите b = 4, a = 3.

В резултат на това бяха получени отношения, които позволяват да се представи всяка питагорова тройка от класа "c - 1" в такава форма, където стойностите на всичките три термина се определят от един определен параметър - стойността на c:

Добавяме, че числото 5 в горния пример се появи като минимум от всички възможни стойности на c, за които уравнение (6) има решение в естествени числа. Следващото число, което има същото свойство, е 13, след това 25, след това 41, 61, 85 и т.н. Както можете да видите, в тази поредица от числа интервалите между съседните числа се увеличават интензивно. Така например след допустимата стойност следва следващата допустима стойност, а след нея следващата допустима стойност, тоест допустимата стойност е на повече от петдесет милиона от предишната!

Сега става ясно откъде идва тази фраза в книгата: – „С увеличаването на числата питагорейските тройки са все по-рядко срещани и става все по-трудно да ги открием...“. Това твърдение обаче не е вярно. Трябва само да погледнете питагорейските триплети, съответстващи на горните двойки съседни стойности на c, тъй като една характеристика веднага хваща окото - и в двете двойки, в които стойностите на c са отдалечени на толкова големи интервали, стойностите на a се оказват съседни нечетни числа. Наистина, за първия чифт имаме

и за втория чифт

Така че не самите тройки „се срещат все по-рядко“, а интервалите между съседните стойности на c се увеличават. Самите питагорейски тройки, както ще бъде показано по -долу, съществуват за всяко естествено число.

Сега нека разгледаме тризнаците от следващия клас - "Клас c-2". Както може да се види от фиг. 1, при изваждане от квадрат със страна c на квадрата със страна (c - 2) се образува остатък под формата на сумата от две единични ленти. Стойността на тази сума се определя от уравнението:

От уравнение (10) получаваме отношенията, дефиниращи която и да е от безкрайния набор от триплети от класа "c-2":

Условието за съществуване на решение на уравнение (11) в естествени числа е всяка такава стойност на c, за която a е естествено число. Минималната стойност c, за която съществува решение, е c = 5. Тогава "началният" триплет за този клас триплети се определя от множеството a = 4, b = 3, c = 5. Това е отново класическата триплета Образува се 3, 4, 5, само че сега площта на квадрата, който трябва да се извади, е по-малка от площта на остатъка.

И накрая, нека анализираме тризнаците клас C-8. За този клас тройки, като извадим площта на квадрата от площта c2 на оригиналния квадрат, получаваме:

Тогава от уравнение (12) следва:

Минималната стойност на c, при която съществува решението, е c = 13. Питагоровата тройка при тази стойност ще приеме формата 12, 5, 13. В този случай площта на квадрата, който трябва да се извади, отново е по-малка от площ на остатъка. И като пренаредим обозначенията на места, получаваме тройката 5, 12, 13, която по своята конфигурация принадлежи към клас "c - 1". Изглежда, че по-нататъшният анализ на други възможни конфигурации няма да разкрие нищо принципно ново.

Извличане на проектни съотношения

В предишния раздел логиката на анализа беше разработена в съответствие с изискванията на системния анализ в четири от петте му основни етапа: анализ на проблемна ситуация, формиране на цели, формиране на функции и формиране на структура. Сега е време да преминем към последния, пети етап – проверката за осъществимост, тоест проверката доколко са постигнати поставените цели. ...

Таблица 1 е показана по-долу. 1, който показва стойностите на питагорейските тройки, принадлежащи към клас "c - 1". Повечето от тройките се срещат в различни публикации, но тройки за стойности, равни на 999, 1001, не са срещани в известните публикации.

маса 1

Питагорови тройки от клас "s-1"

Може да се провери, че всички тройки удовлетворяват съотношение (3). Така една от поставените цели е постигната. Съотношенията (9), (11), (13), получени в предишния раздел, дават възможност да се образува безкраен набор от тройки, определящи единствения параметър с - страната на редуцирания квадрат. Това, разбира се, е по-конструктивен вариант от релация (2), за чието използване трябва да се зададат произволно три числа l, m, n с каквато и да е стойност, след което да се търси решение, като се знае само, че в крайна сметка a Питагоровата тройка със сигурност ще се получи, а какво е неизвестно предварително. В нашия случай конфигурацията на образуваната тройка е известна предварително и трябва да се зададе само един параметър. Но, уви, не всяка стойност на този параметър има решение. И трябва предварително да знаете допустимите му стойности. Така че резултатът е добър, но далеч от идеалния. Желателно е да се получи такова решение, за да могат да се изчислят питагорейските тройки за произволно дадено естествено число. За целта да се върнем към четвъртия етап – формиране на структурата на получените математически отношения.

Тъй като изборът на c като основен параметър за определяне на останалите членове на триплета се оказа неудобен, трябва да се опита друг вариант. Както можете да видите от таблицата. 1, изборът на параметър a като основен изглежда за предпочитане, тъй като стойностите на този параметър са в ред в поредица от нечетни естествени числа. След прости трансформации привеждаме отношения (9) в по-конструктивна форма:

Отношенията (14) ни позволяват да намерим питагорова тройка за всяка предварително определена нечетна стойност на a. Въпреки това, простотата на израза за b позволява изчисленията да се извършват дори без калкулатор. Всъщност, избирайки например числото 13, получаваме:

И съответно за числото 99 получаваме:

Отношенията (15) позволяват да се получат стойностите и на трите члена на питагореевия низ за всяко дадено n, започвайки с n = 1.

Сега нека разгледаме питагорейските тройки от клас "c - 2". Таблица Фигура 2 показва десет такива тройки като пример. Освен това в известни публикации са открити само три двойки тризнаци - 8, 15, 23; 12, 35, 36; и 16, 63, 65. Това се оказа достатъчно, за да се определят моделите, по които се формират. Останалите седем са открити от изведените по-рано отношения (11). За удобство при изчисляване тези съотношения са трансформирани така, че всички параметри да се изразяват чрез a. От (11) ясно следва, че всички тройки за клас "c - 2" удовлетворяват следните отношения:

таблица 2

Питагорови тройки от клас "c-2"

Както можете да видите от таблицата. 2, целият безкраен набор от триплети от клас "c - 2" може да бъде разделен на два подкласа. За тройки, в които стойността на a се дели на 4 без остатък, стойностите на b и c са нечетни. Такива тройки с GCD = 1 се наричат ​​примитивни. За тройки, за които a не се дели на 4 в цели числа, и трите члена на тройката a, b, c са четни.

Сега да преминем към разглеждането на резултатите от анализа на третия от отличените класове - клас "c - 8". Изчислените съотношения за този клас, получени от (13), имат формата:

Отношенията (20), (21) по същество са идентични. Единствената разлика е в избора на последователност от действия. Или, в съответствие с (20), се избира желаната стойност на a (в този случай се изисква тази стойност да се дели на 4), след което се определят стойностите на b и c. Или се избира произволно число и след това от съотношения (21) се определят и трите члена на питагорейската тройка. Таблица 3 показва определен брой питагорейски тройки, изчислени по този начин. Въпреки това, изчисляването на стойностите на питагорейските тройки може да бъде още по-лесно. Ако е известна поне една стойност, тогава всички следващи стойности се определят много просто от следните отношения:

Таблица 3

Валидността на съотношение (22) за всички може да бъде проверена както чрез тризнаци от Таблица. 2 и други източници. Като пример, в табл. 4 курсив тройки от обширната таблица на питагорейските тройки (10 000 триплета), изчислени на базата на компютърна програмапо съотношение (2) и удебелен - тройки, изчислени по съотношение (20). Тези стойности отсъстваха в посочената таблица.

Таблица 4

Питагорови тройки от клас "c-8"

Съответно, за тройки на формата могат да се използват следните съотношения:

И за тройки като<>, имаме съотношението:

Трябва да се подчертае, че горните класове тройки "c - 1", "c - 2", "c - 8" съставляват повече от 90% от първите хиляда тройки, от таблицата, дадена в. Това дава основание тези класове да се възприемат като основни. Добавяме, че при извеждане на релации (22), (23), (24), не сме използвали никакви специални свойства на числата, изследвани в теорията на числата (прости, взаимно прости и др.). Разкритите закономерности на образуване на питагорейските триплети се дължат единствено на системните свойства на геометричните фигури, описани от тези триплети – квадрати, състоящи се от набор от единични квадрати.

Заключение

Сега, както каза Андрю Уайлс през 1993 г., „Мисля, че трябва да спра дотук“. Поставената цел е напълно постигната. Показано е, че анализът на свойствата на математическите модели, чиято структура е свързана с геометрични фигури, е значително опростено, ако в процеса на анализ, заедно с чисто математически изчисления, и геометрични свойстваизследваните модели. Опростяването се постига, по-специално, поради факта, че изследователят "вижда" желаните резултати, без да извършва математически трансформации.

Например равенство

става очевидно без трансформации от лявата му страна, трябва само да се погледне фиг. 1, който показва графичен модел на това равенство.

В резултат на това въз основа на извършения анализ е показано, че за всеки квадрат със страни могат да се намерят квадрати със страни b и c, така че за тях е изпълнено равенство и се получават отношения, които дават резултати с минимално количество изчисление :

за нечетни стойности на a,

и - за четни стойности.

Библиографска справка

Бескровни И.М. СИСТЕМЕН АНАЛИЗ НА СВОЙСТВАТА НА ДЪРВОТО ПИТАГОР // Съвременни наукоемки технологии. - 2013. - No 11. - С. 135-142;
URL: http: // site / ru / article / view? Id = 33537 (дата на достъп: 20.03.2020 г.). Предлагаме на вашето внимание списанията, издавани от "Академията по естествени науки" Образователни: изучаване на редица питагорови тройки, разработване на алгоритъм за тяхното приложение в различни ситуации, съставете бележка за използването им.

Образователни: формиране на съзнателно отношение към ученето, развитие на познавателната дейност, културата на образователната работа.

Развиващи се: развитие на геометрична, алгебрична и числова интуиция, интелигентност, наблюдателност, памет.

По време на часовете

I. Организационен момент

II. Обяснение на новия материал

Учителят: Загадката за привлекателната сила на питагорейските тризнаци отдавна тревожи човечеството. Уникалните свойства на питагорейските тройки ги обясняват специална роляв природата, музиката, математиката. Питагорейското заклинание, питагорейската теорема, остава в мозъка на милиони, ако не и милиарди хора. Това е основна теорема, която всеки ученик е принуден да запомни. Макар че Питагоровата теорема е разбираема за десетгодишните, тя е вдъхновяващо начало на проблем, който е фиаско на най-великите умове в историята на математиката, теоремата на Ферма. Питагор от остров Самос (вж. Приложение 1 , слайд 4) беше една от най-влиятелните, но мистериозни фигури в математиката. Тъй като не са оцелели надеждни сведения за живота и работата му, животът му е обвит в митове и легенди, а историците трудно отделят фактите от измислиците. Няма съмнение обаче, че Питагор е развил идеята за логиката на числата и че именно на него дължим първата златна ера на математиката. Благодарение на неговия гений числата вече не се използват само за броене и изчисления и са оценени за първи път. Питагор изучава свойствата на определени класове числа, връзката между тях и фигурите, които образуват числата. Питагор разбира, че числата съществуват независимо от материалния свят и затова изучаването на числата не се влияе от неточността на сетивата ни. Това означаваше, че Питагор придобива способността да открива истини независимо от нечие мнение или предразсъдъци. Истините са по-абсолютни от всяко предишно знание. Въз основа на изучената литература относно питагорейските тройки ще се интересуваме от възможността да използваме питагорейски тройки при решаването на тригонометрични задачи. Затова ще си поставим за цел: да проучим редица питагорейски тройки, да разработим алгоритъм за тяхното използване, да изготвим бележка за тяхното използване, да проведем изследвания за използването им в различни ситуации.

Триъгълник ( слайд 14), чиито страни са равни Питагорови числа, е правоъгълна. Освен това всеки такъв триъгълник е хероничен, т.е. така че всички страни и площ са цели числа. Най-простият от тях е египетският триъгълник със страни (3, 4, 5).

Нека съставим поредица от питагорови тройки, като умножим числата (3, 4, 5) по 2, по 3, по 4. Ще получим поредица от питагорови тройки, сортираме ги във възходящ ред на максималния брой, изберете примитивните .

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. По време на часовете

1. Нека се завъртим около задачите:

1) Използвайки отношенията между тригонометричните функции на същия аргумент, намерете дали

известно е че .

2) Намерете стойността на тригонометричните функции на ъгъла ?, Ако е известно, че:

3) Системата от обучителни задачи по темата "Формули за добавяне"

знаейки, че sin = 8/17, cos = 4/5 и са ъглите на първата четвърт, намерете стойността на израза:

знаейки, че и са ъглите на втората четвърт, sin = 4/5, cos = - 15/17, намерете :.

4) Системата от учебни задачи по темата "Формули за двоен ъгъл"

а) Нека sin = 5/13, е ъгълът на втората четвърт. Намерете sin2, cos2, tg2, ctg2.

б) Известно е, че tg? = 3/4, е ъгълът на третата четвърт. Намерете sin2, cos2, tg2, ctg2.

в) Известно е, че 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

г) Известно е, че , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

д) Намерете tg (+), ако е известно, че cos = 3/5, cos = 7/25, където и са ъглите на първата четвърт.

е) Намерете , Е ъгълът на третото тримесечие.

Решаваме проблема по традиционния начин, използвайки основните тригонометрични тождества, а след това решаваме същите проблеми по по-рационален начин. За това използваме алгоритъм за решаване на задачи с помощта на питагорови тройки. Изготвяме бележка за решаване на задачи с помощта на питагорови тройки. За да направите това, припомнете си определението за синус, косинус, тангенс и котангенс, остър ъгъл на правоъгълен триъгълник, изобразете го, в зависимост от условията на задачата върху страните на правоъгълен триъгълник, правилно подредете питагорейския тройки ( ориз. 1). Записваме съотношението и поставяме знаци. Алгоритъмът е разработен.

Снимка 1

Алгоритъм за решаване на задачи

Преглед (учебен) теоретичен материал.

Познавайте наизуст примитивните питагорейски тройки и, ако е необходимо, можете да конструирате нови.

Приложете Питагоровата теорема за точки с рационални координати.

Познайте дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник, да можете да начертаете правоъгълен триъгълник и в зависимост от състоянието на задачата да подредите правилно питагоровите тройки по страните на триъгълника.

Познайте знаците на синус, косинус, тангенс и котангенс, в зависимост от местоположението им координатна равнина.

Необходими изисквания:

1. знаят какви знаци имат синус, косинус, тангенса, котангенс във всяка от четвъртините на координатната равнина;
2. знаят дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник;
3. да знаят и умеят да прилагат питагоровата теорема;
4. познайте основното тригонометрични идентичности, формули за събиране, формули за двоен ъгъл, формули с половин аргумент;
5. познават формулите за леене.

Като вземете предвид горното, попълнете таблицата ( маса 1). Трябва да се попълни, като се следва определението за синус, косинус, тангенс и котангенс или се използва питагоровата теорема за точки с рационални координати. В този случай винаги е необходимо да се запомнят знаците на синуса, косинуса, тангенса и котангенса, в зависимост от местоположението им в координатната равнина.

маса 1

		Тройки числа		грях	cos	tg	ctg
		(3, 4, 5)	Част I
		(6, 8, 10)	II част			-	-
		(5, 12, 13)	III част	-	-
		(8, 15, 17)	IV стр.	-		-	-
		(9, 40, 41)	Част I

За успешна работаможете да използвате бележката за използването на питагорейски тройки.

таблица 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Решаваме заедно.

1) Проблем: намерете cos, tg и ctg, ако sin = 5/13, ако е ъгълът на втората четвърт.

Питагорови тройки числа

Творческа работа

ученик 8 "А"клас

МАОУ "Гимназия № 1"

Октябрски район на Саратов

Панфилов Владимир

Ръководител - учител по математика от най-висока категория

Гришина Ирина Владимировна

Съдържание

Въведение ……………………………………………………………………………………………… 3

Теоретична частработа

Намиране на главния питагоров триъгълник

(древни индуистки формули) …………………………………………………………………………………… 4

Практическата част от работата

Съставяне на питагорейски тройки по различни начини ..................... 6

Важно свойство на питагорейските триъгълници ……………………………………………… 8

Заключение ………………………………………………………………………………………………… .... 9

Литература …………………………………………………………………………………… ... 10

Въведение

В това академична годинав уроците по математика изучавахме една от най-популярните геометрични теореми - Питагоровата теорема. Питагоровата теорема се прилага в геометрията на всяка стъпка, тя е намерила широко приложение в практиката и ежедневието. Но освен самата теорема, изучавахме и теоремата, обратна на питагоровата теорема. Във връзка с изучаването на тази теорема се запознахме с питагорейските тройки числа, т.е. с набори от 3 естествени числаа , б и° С , за което е валидно следното отношение: = + ... Такива комплекти включват например следните тройки:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Веднага имах въпроси: колко питагорейски тризнаци се сещате? Как ги композирате?

В нашия учебник по геометрия, след представянето на теоремата, обратна на Питагоровата теорема, беше направена важна забележка: може да се докаже, че кракатаа иб и хипотенузас Правоъгълни триъгълници, чиито дължини на страните са изразени в естествени числа, могат да бъдат намерени по формулите:

а = 2kmn b = k ( - ) c = k ( + , (1)

къдеток , м , н - всякакви естествени числа им > н .

Естествено възниква въпросът - как да се докажат тези формули? И дали само по тези формули могат да се съставят питагорейски триплети?

В работата си направих опит да отговоря на въпросите, които имах.

Теоретичната част на работата

Намиране на главния питагоров триъгълник (формули на древните индуси)

Първо доказваме формули (1):

Нека обозначим дължините на кракатаNS ипри , и дължината на хипотенузата презz ... Според Питагоровата теорема имаме равенството:+ = .(2)

Това уравнениенаречено Питагорово уравнение. Изучаването на питагорейски триъгълници се свежда до решаване на уравнение (2) в естествени числа.

Ако всяка страна на някакъв питагоров триъгълник се увеличи със същия брой пъти, тогава получаваме нов правоъгълен триъгълник, подобен на този със страни, изразени в естествени числа, т.е. отново Питагоров триъгълник.

Сред всички такива триъгълници има най-малкият, лесно е да се досетите, че това ще бъде триъгълник, чиито страниNS ипри изразено чрез относителни прости числа

(GCD (x, y )=1).

Ние наричаме такъв питагорейски триъгълникосновното .

Намиране на главните питагорови триъгълници.

Нека триъгълникът (х , г , z ) - основният питагоров триъгълник. ЧислатаNS ипри - са взаимно прости и следователно и двете не могат да бъдат четни. Нека докажем, че те не могат да бъдат едновременно и странни. За да направите това, обърнете внимание на товаквадратът на нечетно число, разделен на 8, дава остатък от 1. Всъщност всяко нечетно естествено число може да бъде представено като2 к -1 , къдеток принадлежин .

Следователно: = -4 к +1 = 4 к ( к -1)+1.

Числата( к -1) ик - последователни, единият от тях е задължително четен. След това изразътк ( к -1) разделена на2 , 4 к ( к -1) се дели на 8, което означава, че числото разделянето на 8 дава остатък от 1.

Сборът от квадратите на две нечетни числа дава, когато се раздели на 8, в остатъка от 2, следователно сборът от квадратите на две нечетни числа е четно число, но не е кратно на 4 и следователно това числоне може да бъде квадрат на естествено число.

Така че равенството (2) не може да бъде валидно, акох ипри и двете са странни.

По този начин, ако Питагоровият триъгълник (x, y, z ) е основният, след това сред числатаNS ипри едното трябва да е четно, а другото - нечетно. Нека числото y да е четно. ЧислатаNS иz нечетно (нечетноz следва от равенството (2)).

От уравнението+ = получаваме това= ( z + х )( z - х ) (3).

Числатаz + х иz - х като сбор и разлика на две нечетни числа - числата са четни и следователно (4):

z + х = 2 а , z - х = 2 б , къдетоа иб принадлежатн .

z + х =2 а , z - х = 2 б ,

z = a + b , х = а - б. (5)

От тези равенства следва, чеа иб - взаимно прости числа.

Нека докажем това, като спорим от противоречие.

Нека gcd (а , б )= д , къдетод >1 .

Тогавад z их , а оттам и числатаz + х иz - х ... Тогава, въз основа на равенство (3) ще бъде делител на числото ... В такъв случайд ще бъде общ делител на числатапри иNS но числапри иNS трябва да са взаимно прости.

номерпри следователно е известно, че е четноy = 2c , къдетос - естествено число. Равенството (3) въз основа на равенство (4) приема следната форма: = 2a * 2 б , или = ab.

От аритметиката се знае, чеако произведението на две взаимни числа е квадратът на естествено число, тогава всяко от тези числа е и квадратът на естествено число.

означава,а = иб = , къдетом ин Оттогава са взаимно прости числа те са делители на взаимно прости числаа иб .

Въз основа на равенство (5) имаме:

z = + , х = - , = аб = * = ; c = mn

Тогаваy = 2 mn .

Числатам ин от са взаимно прости, не могат да бъдат дори по едно и също време. Но те не могат да бъдат едновременно странни, т.к в такъв случайx = - би било равномерно, което е невъзможно. Значи едно от числатам илин е четен, а другият е нечетен. очевидно,y = 2 mn се дели на 4. Следователно във всеки основен питагоров триъгълник поне един от катетите се дели на 4. От това следва, че няма питагорови триъгълници, всички страни на които биха били прости числа.

Получените резултати могат да бъдат изразени като следната теорема:

Всички основни триъгълници, в коитопри е четно число, получено от формулата

x = - , г =2 mn , z = + ( м > н ), къдетом ин - всички двойки взаимно прости числа, едното от които е четно, а другото нечетно (няма значение кое). Всяка основна питагорова тройка (x, y, z ), къдетопри - дори, - се определя еднозначно по този начин.

Числатам ин не може да бъде едновременно четно или и двете нечетни, тъй като в тези случаи

x = ще бъде равномерно, което е невъзможно. Значи едно от числатам илин е четно, а другото е нечетно (г = 2 mn е кратно на 4).

Практическата част от работата

Съставяне на питагорови тризнаци по различни начини

Във формулите на индианцитем ин - взаимно прости, но те могат да бъдат числа с произволна четност и е доста трудно да се съставят питагорейски тройки от тях. Затова ще се опитаме да намерим различен подход към съставянето на питагорейските тройки.

= - = ( z - г )( z + г ), къдетоNS - странно,г - дори,z - странно

v = z - г , u = z + г

= uv , къдетоu - странно,v - нечетно (взаимно просто)

Защото тогава произведението на две нечетни взаимно прости числа е квадратът на естествено числоu = , v = , къдеток ил - взаимно прости, нечетни числа.

z - г = z + г = к 2 , откъдето, като добавим равенствата и извадим другото от едното, получаваме:

2 z = + 2 г = - това е

z = y = x = kl

к

л

х

г

z

37

9

1

9

40

41 (снули)*(100…0 (снули) +1)+1 =200…0 (s-1нули) 200…0 (s-1нули) 1

Важно свойство на питагорейските триъгълници

Теорема

В главния питагоров триъгълник един от катетата непременно се дели на 4, един от краката непременно се дели на 3, а площта на питагореевия триъгълник е задължително кратна на 6.

Доказателство

Както знаем, във всеки Питагоров триъгълник поне един от катетите се дели на 4.

Нека докажем, че един от краката също се дели на 3.

За доказателство да предположим, че в Питагоровия триъгълник (х , г , z х илиг кратно на 3.

Сега ще докажем, че площта на питагоров триъгълник се дели на 6.

Всеки питагоров триъгълник има площ, изразена с естествено число, делимо на 6. Това следва от факта, че поне един от катетите се дели на 3 и поне един от катетите се дели на 4. Площта на триъгълника , определен от полупродукта на краката, трябва да се изрази като кратно на 6 ...

Заключение

На работа

- доказани формули на древните индуси

-Проведено е проучване за броя на питагорейските тризнаци (има безкрайно много от тях)

- посочени са методи за намиране на питагорейски тройки

-изучава някои свойства на питагорейските триъгълници

За мен беше много интересна темаи намирането на отговори на въпросите ми стана много интересно занимание... В бъдеще смятам да разгледам връзката на питагоровите тройки с последователността на Фибоначи и теоремата на Ферма и да науча още много свойства на питагоровите триъгълници.

литература

Л.С. Атанасян "Геометрия. 7-9 клас" М.: Образование, 2012.

В. Серпински „Питагорови триъгълници“ М.: Учпедгиз, 1959.

Саратов

2014

След това ще разгледаме известните методи за генериране на ефективни питагорови тройки. Учениците на Питагор бяха първите, които измислиха прост начин за генериране на питагорейски тройки, използвайки формула, чиито части представляват питагорейската тройка:

м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ((м 2 + 1)/2) 2 ,

Където м- несдвоен, м> 2. Наистина ли,

4м 2 + м 4 − 2м 2 + 1
м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((м 2 + 1)/2) 2 .
4

Подобна формула е предложена от древногръцкия философ Платон:

(2м) 2 + (м 2 − 1) 2 = (м 2 + 1) 2 ,

Където м- произволно число. За м= 2,3,4,5 се генерират следните тройки:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Както можете да видите, тези формули не могат да дадат всички възможни примитивни триплети.

Помислете за следния полином, който се разлага на сумата от полиноми:

(2м 2 + 2м + 1) 2 = 4м 4 + 8м 3 + 8м 2 + 4м + 1 =
=4м 4 + 8м 3 + 4м 2 + 4м 2 + 4м + 1 = (2м(м+1)) 2 + (2м +1) 2 .

Оттук следват следните формули за получаване на примитивни триплети:

а = 2м +1 , б = 2м(м+1) = 2м 2 + 2м , ° С = 2м 2 + 2м + 1.

Тези формули генерират тройки, в които средната стойност се различава от най-голямата точно с една, тоест не се генерират и всички възможни тройки. Тук първите три са равни: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

За да определите как да генерирате всички примитивни тройки, трябва да проучите техните свойства. Първо, ако ( а, б, в) Значи е примитивна тройка аи б, би ° С, аи ° С- трябва да са взаимно прости. Нека бъде аи бса разделени на д... Тогава а 2 + б 2 - също се дели на д... Съответно, ° С 2 и ° Стрябва да се разделят на д... Тоест не е примитивна тройка.

Второ, сред числата а, бединият трябва да бъде сдвоен, а другият - несдвоен. Наистина, ако аи б- сдвоени, значи сще бъдат сдвоени и числата могат да бъдат разделени на поне 2. Ако и двете са несдвоени, тогава те могат да бъдат представени като 2 к+1 и 2 л+1, къде к,л- някои цифри. Тогава а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+1+4л 2 +4л+1, т.е. с 2 както и а 2 + б 2, когато се раздели на 4, има остатък от 2.

Нека бъде с- произволно число, т.е с = 4к+i (i= 0, ..., 3). Тогава с 2 = (4к+i) 2 има остатък от 0 или 1 и не може да има остатък от 2. По този начин, аи бне може да бъде раздвоен, т.е а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+4л 2 +4л+1 и остатък с 2 по 4 трябва да е 1, което означава, че стрябва да е несдвоен.

Следните числа удовлетворяват тези изисквания за елементите на питагоровата тройка:

а = 2mn, б = м 2 − н 2 , ° С = м 2 + н 2 , м > н, (2)

Където ми н- взаимно прости с различно сдвояване. За първи път тези зависимости стават известни от произведенията на Евклид, който е живял 2300 r. обратно.

Нека докажем валидността на зависимостите (2). Нека бъде а- сдвоени, значи би ° С- несдвоени. Тогава ° С + б i ° С − б- сдвоени. Те могат да бъдат представени като ° С + б = 2uи ° С − б = 2v, където u,v- някои цели числа. Ето защо

а 2 = с 2 − б 2 = (° С + б)(° С − б) = 2u· 2 v = 4uv

И следователно ( а/2) 2 = uv.

Може да се докаже от противоречие, че uи v- взаимно прости. Нека бъде uи v- се разделят на д... Тогава ( ° С + б) и ( ° С − б) са разделени на д... И следователно ° Си бтрябва да се разделят на д, а това противоречи на условието за питагоровата тройка.

Защото uv = (а/ 2) 2 и uи vАко са взаимно прости, тогава е лесно да се докаже това uи vтрябва да са квадрати от някои числа.

Така че има положителни цели числа ми нтакъв, че u = м 2 и v = н 2. Тогава

а 2 = 4uv = 4м 2 н 2 така че
а = 2mn; б = u − v = м 2 − н 2 ; ° С = u + v = м 2 + н 2 .

Защото б> 0, тогава м > н.

Остава да покажем това ми нимат различно сдвояване. Ако ми н- сдвоени, значи uи vтрябва да бъдат сдвоени, но това е невъзможно, тъй като те са взаимно прости. Ако ми н- неспарен, значи б = м 2 − н 2 и ° С = м 2 + н 2 ще бъдат сдвоени, което е невъзможно, тъй като ° Си б- взаимно прости.

По този начин всяка примитивна питагорова тройка трябва да отговаря на условия (2). Освен това цифрите ми нса наречени генериране на числапримитивни тризнаци. Например, да кажем, че имаме примитивна питагорова тройка (120,119,169). В такъв случай

а= 120 = 2 12 5, б= 119 = 144 - 25 и ° С = 144+25=169,

Където м = 12, н= 5 - генериране на числа, 12> 5; 12 и 5 са ​​взаимно прости и различни двойки.

Може да се докаже обратното, че числата м, нпо формули (2) дават примитивна питагорова тройка (a, b, c). Наистина ли,

а 2 + б 2 = (2mn) 2 + (м 2 − н 2) 2 = 4м 2 н 2 + (м 4 − 2м 2 н 2 + н 4) =
= (м 4 + 2м 2 н 2 + н 4) = (м 2 + н 2) 2 = ° С 2 ,

Това е ( а,б,° С) Е питагорейска тройка. Нека го докажем в случая а,б,° С- взаимно прости числа от противоречие. Нека тези числа се делят на стр> 1. Тъй като ми нтогава имайте различно сдвояване би ° С- несдвоен, т.е стр≠ 2. Тъй като Рразделя би ° С, тогава Ртрябва да разделим 2 м 2 и 2 н 2, но това е невъзможно, т.к стр≠ 2. Следователно м, н- взаимно прости и а,б,° С- също са взаимно прости.

Таблица 1 показва всички примитивни питагорейски тройки, генерирани от формули (2) за м≤10.

Таблица 1. Примитивни питагорейски тройки за м≤10

м	н	а	б	° С	м	н	а	б	° С
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Анализът на тази таблица показва наличието на следната серия от модели:

• или а, или бдели се на 3;
• едно от числата а,б,° Ссе дели на 5;
• номер асе дели на 4;
• работа а· бе кратно на 12.

През 1971 г. американските математици Тейгън и Хедуин предлагат такива малко известни параметри на правоъгълен триъгълник за генериране на тризнаци като неговата височина з = ° С- b и излишък (успех) д = а + б − ° С... Фигура 1. тези стойности са показани на определен правоъгълен триъгълник.

Фигура 1. Правоъгълен триъгълник и неговият растеж и излишък

Името "излишък" произлиза от факта, че това е допълнителното разстояние, което трябва да се премине по протежение на краката на триъгълника от един връх до противоположния, ако не минава по неговия диагонал.

Чрез излишъка и растежа на страните на питагорейския триъгълник той може да се изрази като:

д 2 д 2
а = з + д, б = д + ——, ° С = з + д + ——, (3)
2з 2з

Не всички комбинации зи дможе да съответства на питагорови триъгълници. За даденост звъзможни стойности дПродуктите са на определен брой д... Този номер дима името на приращението и се отнася за зпо следния начин: дТова е най-малкото положително число, чийто квадрат се дели на 2 з... Защото дмногократни д, тогава се пише като д = kd, където кЕ цяло положително число.

Използване на двойки ( к,з) можете да генерирате всички питагорови триъгълници, включително непримитивни и обобщени, както следва:

(дк) 2 (дк) 2
а = з + дк, б = дк + ——, ° С = з + дк + ——, (4)
2з 2з

Освен това тройката е примитивна ако ки зВзаимно са прости и ако з =± q 2 в q- несдвоен.
В допълнение, това ще бъде точно питагорейската тройка, ако к> √2 з/ди з > 0.

Да намеря ки зот ( а,б,° С), извършете следните действия:

• з = ° С − б;
• записвам зкак з = pq 2, където стр> 0 и такъв, че да не е квадрат;
• д = 2pqако стр- несдвоени и д = pqако p е сдвоен;
• к = (а − з)/д.

Например, за тройката (8,15,17) имаме з= 17−15 = 2 1, така че стр= 2 и q = 1, д= 2 и к= (8 - 2) / 2 = 3. Така че тази тройка е дадена като ( к,з) = (3,2).

За тройната (459,1260,1341) имаме з= 1341 - 1260 = 81, така че стр = 1, q= 9 и д= 18, следователно к= (459 - 81) / 18 = 21, така че кодът на тази тройка е равен ( к,з) = (21, 81).

Настройка на тройки с зи кима редица интересни свойства. Параметър кравно на

к = 4С/(dP), (5)

Където С = аб/ 2 е площта на триъгълника и П = а + б + ° С- неговия периметър. Това следва от равенството eP = 4С, което идва от питагорейската теорема.

За правоъгълен триъгълник де равен на диаметъра на окръжност, вписана в триъгълник. Това идва от факта, че хипотенузата с = (а − r)+(б − r) = а + б − 2r, където rРадиусът на окръжността. Оттук з = ° С − б = а − 2rи д = а − з = 2r.

За з> 0 и к > 0, ке редовният номер на тройките а-б-° Св последователността на Питагоровите триъгълници с нарастване з... От таблица 2, където са представени няколко варианта на триплети, генерирани от двойки з, к, се вижда, че с увеличение кразмерите на страните на триъгълника се увеличават. По този начин, за разлика от класическата номерация, номерацията по двойки з, кима по-висок ред в последователности от триплети.

Таблица 2. Питагорови триплети, генерирани от двойки h, k.

з	к	а	б	° С	з	к	а	б	° С
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

За з > 0, дудовлетворява неравенството 2√ з ≤ д ≤ 2з, при което долната граница се достига при стр= 1, а горната - за q= 1. Следователно стойността дспрямо 2√ зТова е мярка за това колко е числото зотдалечен от квадрата на някакво число.

Изучаването на свойствата на естествените числа доведе питагорейците до още един "вечен" проблем на теоретичната аритметика (теория на числата) - проблем, който има своите корени много преди Питагор в Древен Египет и Древен Вавилон, и общо решение не е намерено до този ден. Нека започнем с проблем, който в съвременните термини може да бъде формулиран по следния начин: да се реши в естествени числа неопределеното уравнение

Днес тази задача се нарича проблема на Питагор, а неговите решения - тройки естествени числа, отговарящи на уравнение (1.2.1) - се наричат Питагорови тризнаци... Поради очевидната връзка на питагоровата теорема с питагоровата задача на последния, може да се даде геометрична формулировка: намерете всички правоъгълни триъгълници с цели крака х, ги целочислена хипотенуза z.

Конкретни решения на питагорейския проблем са били известни в древни времена. В папирус от времето на фараон Аменемхат I (ок. 2000 г. пр. н. е.), съхраняван в Египетския музей в Берлин, откриваме правоъгълен триъгълник със съотношението на страните (). Според най-великия немски историк на математиката М. Кантор (1829 - 1920) в Древен Египет е имало специална професия харпедонапти- "обтегачи на въжета", които по време на тържествената церемония по полагането на храмовете и пирамидите отбелязват прави ъгли с въже с 12 (= 3 + 4 + 5) равно разположени възела. Начинът за конструиране на прав ъгъл с харпедонапти е очевиден от фигура 36.

Трябва да кажа, че друг експерт категорично не е съгласен с Кантор древна математика- ван дер Ваерден, въпреки че самите пропорции на древноегипетската архитектура свидетелстват в полза на Кантор. Както и да е, днес се нарича правоъгълен триъгълник със съотношение на страните египетски.

Както е отбелязано на стр. 76, глинена плоча, датираща от вавилонската епоха, е оцеляла и съдържа 15 реда питагорейски тройки. В допълнение към тривиалния триплет, получен от египтяните (3, 4, 5) чрез умножаване по 15 (45, 60, 75), има и много сложни питагорейски тройки, като (3367, 3456, 4825) и дори (12709 , 13500, 18541)! Няма съмнение, че тези числа са намерени не чрез просто изброяване, а по някакви единни правила.

Независимо от това, въпросът за общото решение на уравнение (1.2.1) в естествени числа е поставен и решен само от питагорейците. Общата формулировка на всеки математически проблем е била чужда както на древните египтяни, така и на древните вавилонци. Едва с Питагор математиката започва да се формира като дедуктивна наука и една от първите стъпки по този път е решаването на проблема за питагорейските тройки. Древната традиция свързва първите решения на уравнение (1.2.1) с имената на Питагор и Платон. Нека се опитаме да направим обратно инженерство на тези решения.

Ясно е, че уравнението (1.2.1) Питагор е мислил не в аналитична форма, а под формата на квадратно число, вътре в което е било необходимо да се намерят квадратни числа и. Естествено беше числото да бъде представено под формата на квадрат със страна гедна страна по-малко zоригиналния квадрат, т.е. След това, както е лесно да се види от Фигура 37 (само да се види!), за оставащото квадратно число трябва да е изпълнено равенството. Така стигаме до системата линейни уравнения

Събирайки и изваждайки тези уравнения, намираме решението на уравнение (1.2.1):

Лесно е да се провери, че полученото решение дава естествени числа само за нечетни. Така най-накрая имаме

И т. н. Традицията свързва това решение с името на Питагор.

Имайте предвид, че система (1.2.2) може да бъде получена и формално от уравнение (1.2.1). Наистина,

откъдето, ако приемем, стигаме до (1.2.2).

Ясно е, че решението на Питагор е намерено при достатъчно строго ограничение () и не съдържа всички питагорови тройки. Следващата стъпка може да бъде поставена, тъй като само в този случай ще квадратно число... Така че системата ще бъде и питагорова тройка. Сега основното

Теорема.Ако стри qвзаимно прости числа с различна четност, тогава всички примитивни питагорови тройки се намират по формулите