Різниця косинусів. Перетворення суми (різниці) косинусів двох кутів в твір. Сума і різниця синусів, сума і різниця косинусів

Тема урока. Сума і різниця синусів. Сума і різниця косинусів.

(Урок засвоєння нових знань.)

Мета уроку.

дидактичні:

вивести формули суми синусів і суми косинусів і сприяти їх засвоєнню в ході вирішення завдань;

продовжити формування вмінь і навичок щодо застосування тригонометричних формул;

проконтролювати ступінь засвоєння матеріалу по темі.

Розвиваючі:

сприяти розвитку навичок самостійного застосування знань;

розвивати навички самоконтролю і взаємоконтролю;

продовжити роботу з розвитку логічного мислення і усній математичної мови при пошуку рішення поставленої проблеми.

виховні:

привчати до вміння спілкуватися і вислуховувати інших;

виховувати уважність і спостережливість;

стимулювати мотивацію і інтерес до вивчення тригонометрії.

устаткування: презентація, інтерактивна дошка, формули.

Хід уроку:

організаційний момент. - 2 хв.

Актуалізація опорних знань. Повторення. - 12 хв.

Цілепокладання. - 1 хв.

Сприйняття і осмислення нових знань. - 3 хв.

Застосування набутих знань. - 20 хв.

Аналіз досягнень і корекція діяльності. - 5 хв.

Рефлексія. - 1 хв.

Домашнє завдання. - 1 хв.

1. Організаційний момент. (Слайд 1)

- Вітаю! Тригонометрія - один з найцікавіших розділів математики, але чомусь більшість учнів вважають його найважчим. Пояснити це, швидше за все можна тим, що в цьому розділі формул більше, ніж в будь-якому іншому. Для успішного вирішення завдань з тригонометрії необхідно впевнене володіння численними формулами. Багато формули вже вивчені, але виявляється, не все. Тому девізом цього уроку стане вислів Піфагора «Дорогу здолає той, хто йде, а математику - мислячий». Давайте мислити!

2. Актуалізація опорних знань. Повторення.

1) математичний диктант з взаємоперевіркою(Слайди 2-5)

Перше завдання. Використовуючи вивчені формули обчислити:

1 варіант

2 варіант

sin 390 0

cos 420 0

1 - cos 2 30 0

1 - sin 2 60 0

сos 120 0 ∙ cos 30 0 + sin 120 0 ∙ sin 30 0

sin 30 0 ∙ cos 150 0 + cos 30 0 ∙ sin 150 0

Відповіді:; 1; -; ; -; - 1; 1; ; ; 0; ; 3. - взаимопроверка.

Критерії оцінок: (роботи здаються вчителю)

«4» - 10 - 11

2) завдання проблемного характеру(Слайд 6) - доповідь учня.

Спростити вираз, використовуючи тригонометричні формули:

А чи можна цю задачу вирішити інакше? (Так, за допомогою нових формул.)

3. Цілепокладання(Слайд 7)

Тема урока:
Сума і різниця синусів. Сума і різниця косинусів. - запис в зошиті

Мета уроку:

вивести формули суми і різниці синусів, суми і різниця косинусів;

вміти застосовувати їх на практиці.

4. Сприйняття і осмислення нових знань. (слайд 8-9)

Виведемо формулу суми синусів: - учитель

Аналогічно доводяться інші формули: (формули перетворення суми в добуток)

Правила запам'ятовування!

У доказі яких ще тригонометричних формул використовувалися формули додавання?

5. Застосування придбаних знань.(Слайди 10-11)

За допомогою нових формул:

1) Обчислити: (біля дошки) - Що буде відповіддю? (Число)

Під диктовку з учителем

6. Аналіз досягнень і корекція діяльності.(Слайд 13)

диференційована самостійна робота з самопроверкой

обчислити:

7. Рефлексія. (Слайд 14)

Чи задоволені ви своєю роботою на уроці?

Яку оцінку ви поставили б собі за весь урок?

Який момент найбільш цікавий був на уроці?

Де вам довелося найбільше сконцентруватися?

8. Домашнє завдання:вивчити формули, індивідуальні завдання на картках.

). Ці формули дозволяють від суми або різниці синусів і косинусів кутів і перейти до добутку синусів і / або косинусів кутів і. У цій статті ми спочатку перерахуємо ці формули, далі покажемо їх висновок, а на закінчення розглянемо кілька прикладів їх застосування.

Навігація по сторінці.

список формул

Запишемо формули суми і різниці синусів і косинусів. Як Ви розумієте, їх чотири штуки: дві для синусів і дві для косинусів.

Тепер дамо їх формулювання. При формулюванні формул суми і різниці синусів і косинусів кут називають напівсумою кутів і, а кут - Полуразность. Отже,

Варто відзначити, що формули суми і різниці синусів і косинусів справедливі для будь-яких кутів і.

висновок формул

Для виведення формул суми і різниці синусів можна використовувати формули додавання, зокрема, формули
синуса суми,
синуса різниці,
косинуса суми і
косинуса різниці.

Також нам потрібно уявлення кутів і у вигляді і . Таке уявлення правомірно, так як і для будь-яких кутів і.

Тепер детально розберемо виведення формули суми синусів двох кутів виду.

Спочатку в сумі замінюємо на , А на , При цьому отримуємо. тепер до застосовуємо формулу синуса суми, а до - формулу синуса різниці:

Після приведення подібних доданків одержуємо . У підсумку маємо формулу суми синусів виду.

Для виведення інших формул потрібно лише виконати аналогічні дії. Наведемо висновок формул різниці синусів, а також суми і різниці косинусів:

Для різниці косинусів ми привели формули двох видів або . Вони еквівалентні, так як , Що випливає з властивостей синусів протилежних кутів.

Отже, ми розібрали доказ всіх формул суми і різниці синусів і косинусів.

приклади використання

Розберемо декілька прикладів використання формул суми синусів і косинусів, а також різниці синусів і косинусів.

Для прикладу перевіримо справедливість формули суми синусів виду, взявши і. Щоб це зробити, обчислимо значення лівої і правої частин формули для даних кутів. Так як і (при необхідності дивіться таблицю основних значень синусів і косинусів), то. При і маємо і , Тоді. Таким чином, значення лівої і правої частин формули суми синусів для і збігаються, що підтверджує справедливість цієї формули.

У деяких випадках використання формул суми і різниці синусів і косинусів дозволяє обчислювати значення тригонометричних виразів, коли кути відмінні від основних кутів ( ). Наведемо рішення приклад, що підтверджує цю думку.

Приклад.

Обчисліть точне значення різниці синусів 165 і 75 градусів.

Рішення.

Точних значень синусів 165 і 75 градусів ми не знаємо, тому безпосередньо обчислити значення заданої різниці ми не можемо. Але відповісти на питання завдання нам дозволяє формула різниці синусів. Дійсно, полусумма кутів 165 і 75 градусів дорівнює 120, а полуразность дорівнює 45, а точні значення синуса 45 градусів і косинуса 120 градусів відомі.

Таким чином, маємо

відповідь:

.

безсумнівно, головна цінність формул суми і різниці синусів і косинусів полягає в тому, що вони дозволяють перейти від суми і різниці до твору тригонометричних функцій (З цієї причини ці формули часто називають формулами переходу від суми до твору тригонометричних функцій). А це в свою чергу може бути корисно, наприклад, при перетворенні тригонометричних виразів або при рішенні тригонометричний рівнянь. Але ці теми вимагають окремої розмови.

Список літератури.

• алгебра: Учеб. для 9 кл. середовищ. шк. / Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; Під ред. С. А. Теляковского.- М .: Просвещение, 1990.- 272 с .: іл.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. І. Алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-е изд. - М .: Просвещение, 1993. - 351 с .: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин і ін .; Під ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е вид.- М .: Просвещение, 2004. 384 с .: іл.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г. Математика (посібник для вступників до технікумів): Учеб. посібник.- М .; Вища. шк., 1984.-351 с., іл.

формули приведення

Формули приведення дають можливість знаходити значення тригонометричних функцій для будь-яких кутів (а не тільки гострих). З їх допомогою можна здійснювати перетворення, що спрощують вид тригонометричних виразів.

Малюнок 1.

Крім формул приведення при вирішенні задач використовуються наступні основні формули.

1) Формули одного кута:

2) Вираз одних тригонометричних функцій через інші:

зауваження

У цих формулах перед знаком радикала повинен бути поставлений знак $ "+" $ або $ "-" $ в залежності від того, в якій чверті знаходиться кут.

Сума і різниця синусів, сума і різниця косинусів

Формули суми і різниці функцій:

Крім формул суми і різниці функцій, при вирішенні задач бувають корисні формули твори функцій:

Основні співвідношення між елементами косокутних трикутників

позначення:

$ A $, $ b $, $ c $ - сторони трикутника;

$ A $, $ B $, $ C $ - протилежні переліченим сторонам кути;

$ P \u003d \\ frac (a + b + c) (2) $ - напівпериметр;

$ S $ - площа;

$ R $ - радіус описаного кола;

$ R $ - радіус вписаного кола.

Основні співвідношення:

1) $ \\ frac (a) (\\ sin A) \u003d \\ frac (b) (\\ sin B) \u003d \\ frac (c) (\\ sin C) \u003d 2 \\ cdot R $ - теорема синусів;

2) $ a ^ (2) \u003d b ^ (2) + c ^ (2) -2 \\ cdot b \\ cdot c \\ cdot \\ cos A $ - теорема косинусів;

3) $ \\ frac (a + b) (a-b) \u003d \\ frac (tg \\ frac (A + B) (2)) (tg \\ frac (A-B) (2)) $ - теорема тангенсов;

4) $ S \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot a \\ cdot b \\ cdot \\ sin C \u003d \\ sqrt (p \\ cdot \\ left (pa \\ right) \\ cdot \\ left (pb \\ right) \\ cdot \\ Розв'язання косокутних трикутників

Розв'язання косокутних трикутників передбачає визначення всіх його елементів:

сторін і кутів приклад 1.

Дано три сторони $ a $, $ b $, $ c $:

1) в трикутнику для обчислення кутів можна застосовувати тільки теорему косинусів, так як тільки головне значення арккосинуса знаходиться в межах $ 0 \\ le \\ arccos x \\ le + \\ pi $, відповідних трикутнику;

3) знаходимо кут $ B $, застосувавши теорему косинусів $ \\ cos B \u003d \\ frac (a ^ (2) + c ^ (2) -b ^ (2)) (2 \\ cdot a \\ cdot c) $, а потім зворотний тригонометричну функцію $ B \u003d \\ arccos \\ left (\\ cos B \\ right) $;

приклад 2

Дано дві сторони $ a $, $ b $ і кут $ C $ між ними:

1) знаходимо сторону $ c $ по теоремі косинусів $ c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -2 \\ cdot a \\ cdot b \\ cdot \\ cos C $;

2) знаходимо кут $ A $, застосувавши теорему косинусів $ \\ cos A \u003d \\ frac (b ^ (2) + c ^ (2) -a ^ (2)) (2 \\ cdot b \\ cdot c) $, а потім зворотний тригонометричну функцію $ A \u003d \\ arccos \\ left (\\ cos A \\ right) $;

3) знаходимо кут $ B $ за формулою $ B \u003d 180 () ^ \\ circ - \\ left (A + C \\ right) $.

приклад 3

Дано два кута $ A $, $ B $ і сторона $ c $:

1) знаходимо кут $ C $ за формулою $ C \u003d 180 () ^ \\ circ - \\ left (A + B \\ right) $;

2) знаходимо сторону $ a $ по теоремі синусів $ a \u003d \\ frac (c \\ cdot \\ sin A) (\\ sin C) $;

3) знаходимо сторону $ b $ по теоремі синусів $ b \u003d \\ frac (c \\ cdot \\ sin B) (\\ sin C) $.

приклад 4

Дано сторони $ a $, $ b $ і кут $ B $, протилежний стороні $ b $:

1) записуємо теорему косинусів $ b ^ (2) \u003d a ^ (2) + c ^ (2) -2 \\ cdot a \\ cdot c \\ cdot \\ cos B $, використовуючи задані величини; звідси отримуємо квадратне рівняння $ C ^ (2) - \\ left (2 \\ cdot a \\ cdot \\ cos B \\ right) \\ cdot c + \\ left (a ^ (2) -b ^ (2) \\ right) \u003d 0 $ щодо боку $ c $ ;

2) вирішивши отримане квадратне рівняння, теоретично можемо отримати один з трьох випадків - два позитивних значення для боку $ c $, одне позитивне значення для боку $ c $, відсутність позитивних значень для боку $ c $; відповідно і завдання матиме два, одне або нуль рішень;

3) використовуючи конкретне позитивне значення боку $ c $, знаходимо кут $ A $, застосувавши теорему косинусів $ \\ cos A \u003d \\ frac (b ^ (2) + c ^ (2) -a ^ (2)) (2 \\ cdot b \\ cdot c) $, а потім зворотний тригонометричну функцію $ A \u003d \\ arccos \\ left (\\ cos A \\ right) $;

4) знаходимо кут $ C $ за формулою $ C \u003d 180 () ^ \\ circ - \\ left (A + B \\ right) $.

Формули суми і різниці синусів і косинусів для двох кутів α і β дозволяють перейти від суми зазначених кутів до твору кутів α + β 2 і α - β 2. Відразу відзначимо, що не варто плутати формули суми і різниці синусів і косинусів з формулами синусів і косинусів суми і різниці. Нижче ми перерахуємо ці формули, наведемо їх висновок і покажемо приклади застосування для конкретних завдань.

Формули суми і різниці синусів і косинусів

Запишемо, як виглядають формули суми і різниці для синусів і для косинусів

Формули суми і різниці для синусів

sin α + sin β \u003d 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β \u003d 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Формули суми і різниці для косинусів

cos α + cos β \u003d 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 · β - α 2

Дані формули справедливі для будь-яких кутів α і β. Кути α + β 2 і α - β 2 називаються відповідно напівсумою і Полуразность кутів альфа і бета. Дамо формулювання для кожної формули.

Визначення формул сум і різниці синусів і косинусів

Сума синусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса напівсуми цих кутів на косинус полуразность.

Різниця синусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса полуразность цих кутів на косинус напівсуми.

Сума косинусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку косинуса напівсуми і косинуса полуразность цих кутів.

Різниця косинусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса напівсуми на косинус полуразность цих кутів, взятому з негативним знаком.

Висновок формул суми і різниці синусів і косинусів

Для виведення формул суми і різниці синуса і косинуса двох кутів використовуються формули додавання. Наведемо їх нижче

sin (α + β) \u003d sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) \u003d sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) \u003d cos α · cos β - sin α · sin β cos (α - β) \u003d cos α · cos β + sin α · sin β

Також представимо самі кути у вигляді суми напівсумі і Полуразность.

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Переходимо безпосередньо до висновку формул суми і різниці для sin і cos.

Висновок формули суми синусів

В сумі sin α + sin β замінимо α і β на вираження для цих кутів, наведені вище. отримаємо

sin α + sin β \u003d sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Тепер до першого висловом застосовуємо формулу складання, а до другого - формулу синуса різниць кутів (див. Формули вище)

sin α + β 2 + α - β 2 \u003d sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 \u003d sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 \u003d sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Розкриємо дужки, наведемо подібні доданки і отримаємо шукану формулу

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 \u003d \u003d 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Дії по висновку інших формул аналогічні.

Висновок формули різниці синусів

sin α - sin β \u003d sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 \u003d sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 \u003d \u003d 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Висновок формули суми косинусів

cos α + cos β \u003d cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 \u003d cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 \u003d \u003d 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Висновок формули різниці косинусів

cos α - cos β \u003d cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 \u003d cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 \u003d \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Приклади розв'язання практичних завдань

Для початку, зробимо перевірку однієї з формул, підставивши в неї конкретні значення кутів. Нехай α \u003d π 2, β \u003d π 6. Обчислимо значення суми синусів цих кутів. Спочатку скористаємося таблицею основних значень тригонометричних функцій, а потім застосуємо формулу для суми синусів.

Приклад 1. Перевірка формули суми синусів двох кутів

α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 · 3 2 · 3 2 \u003d 3 2

Розглянемо тепер випадок, коли значення кутів відрізняються від основних значень, представлених в таблиці. Нехай α \u003d 165 °, β \u003d 75 °. Обчислимо значення різниці синусів цих кутів.

Приклад 2. Застосування формули різниці синусів

α \u003d 165 °, β \u003d 75 ° sin α - sin β \u003d sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 \u003d 2 · sin 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 \u003d \u003d 2 · sin 45 ° · cos 120 ° \u003d 2 · 2 2 · - 1 | 2 \u003d 2 2

За допомогою формул суми і різниці синусів і косинусів можна перейти від суми або різниці до твору тригонометричних функцій. Часто ці формули називають формулами переходу від суми до твору. Формули суми і різниці синусів і косинусів широко використовуються при вирішенні тригонометричних рівнянь і при перетворенні тригонометричних виразів.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Перетворення суми (різниці) косинусів двох кутів в твір

Для суми і різниці косинусів двох кутів вірні такі формули:

Сума косинусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку косинуса напівсуми на косинус полуразность цих кутів.

Різниця косинусів двох кутів дорівнює мінус подвоєному добутку синуса напівсуми на синус полуразность цих кутів.

приклади

Формули (1) і (2) можуть бути отримані багатьма способами. Доведемо, наприклад, формулу (1).

cos α cos β = 1 / 2 .

Вважаючи в ній (α + β) = х , (α - β) = у, Ми і приходимо до формули (1). Цей спосіб аналогічний тому, за допомогою якого в попередньому параграфі була отримана формула для суми синусів двох кутів.

2-й спосіб. У попередньому параграфі було доведено формула

Вважаючи в ній α = х + Π / 2, β = у + π / 2, Отримуємо:

Але за формулами приведення sin ( х + Π / 2) \u003d\u003d cos x , Sin (у + π / 2) \u003d cos у;

отже,

що і потрібно було довести.

Формулу (2) ми пропонуємо учням довести самостійно. Спробуйте знайти не менше двох різних способів докази!

вправи

1. Обчислити без таблиць, використовуючи формули для суми і різниці косинусів двох кутів:

а). cos 105 ° + cos 75 °. г). cos 11π / 12 - cos 5π / 12..

б). cos 105 ° - cos 75 °. д). cos 15 ° -sin 15 °.

в). cos 11π / 12 + cos 5π / 12.. е). sin π / 12 + cos 11π / 12.

2 . Спростити дані вирази:

а). cos ( π / 3 + α ) + Cos ( π / 3 - α ).

б). cos ( π / 3 + α ) - cos ( π / 3 - α ).

3. Кожне з тотожностей

sin α + cos α = \/ 2 sin ( α + π / 4)

sin α - cos α = \/ 2 sin ( α - π / 4)

довести не менш ніж двома різними способами.

4. Дані вирази представити у вигляді творів:

а). \/ 2 + 2cos α . в). sin x + cos y.

б). \/ 3 - 2 cos α . г). sin x - cos y.

5 . Спростити вираз sin 2 ( α - π / 8) - cos 2 ( α + π / 8) .

6 .Разложіть на множники дані вирази (№ 1156-1159):

а). 1 + sin α - cos α

б). sin α + sin (α + β) + sin β .

в). cos α + cos 2α + cos 3α

г). 1 + sin α + cos α

7. Довести дані тотожності

8. Довести, що косинуси кутів α і β рівні тоді і тільки тоді, коли

α = ± β + 2 nπ,

де n - деяке ціле число.