А для чого потрібні інтеграли? Спробуйте самі собі відповісти на це питання.

Пояснюючи тему інтегралів, вчителі перераховують малокорисні шкільним умам області застосування. Серед них:

• обчислення площі фігури.
• обчислення маси тіла з нерівномірною щільністю.
• визначення пройденого шляху при русі з непостійною швидкістю.
• та ін.

Зв'язати всі ці процеси не завжди виходить, тому багато учнів плутаються, навіть при наявності всіх базових знань для розуміння інтеграла.

Головна причина незнання- відсутність розуміння практичної значущості інтегралів.

Інтеграл - що це?

передумови. Потреба в інтегруванні виникла в Стародавній Греції. У той час Архімед почав застосовувати для знаходження площі кола методи, схожі по суті на сучасні інтегральні обчислення. Основним підходом для визначення площі нерівних фігур тоді був «Метод вичерпання», який досить легкий для розуміння.

суть методу. До цієї фігуру вписується монотонна послідовність інших фігур, а потім обчислюється межа послідовності їх площ. Ця межа і приймався за площу даної фігури.

У цьому методі легко простежується ідея інтегрального числення, яка полягає в знаходженні межі нескінченної суми. Надалі ця ідея застосовувалася вченими для вирішення прикладних задач астронавтики, економіки, механіки та ін.

сучасний інтеграл. Класична теорія інтегрування була сформульована в загалом вигляді Ньютоном і Лейбніцем. Вона спиралася на існуючі тоді закони диференціального обчислення. Для її розуміння, необхідно мати деякі базові знання, які допоможуть математичною мовою описати візуальні і інтуїтивні уявлення про інтеграли.

Пояснюємо поняття «Інтеграл»

Процес знаходження похідної називається дифференцированием, А знаходження первісної - інтеграцією.

інтеграл математичною мовою - це первісна функції (те, що було до похідної) + константа «C».

інтеграл простими словами - це площа криволінійної фігури. Невизначений інтеграл - вся площа. Визначений інтеграл - площа в заданій ділянці.

Інтеграл записується так:

Кожна подинтегральная функція множиться на компонент «dx». Він показує, з якої змінної здійснюється інтегрування. «Dx» - це приріст аргументу. Замість X може бути будь-який інший аргумент, наприклад t (час).

невизначений інтеграл

Невизначений інтеграл не має меж інтегрування.

Для вирішення невизначених інтегралів досить знайти первісну підінтегральної функції і додати до неї «C».

Визначений інтеграл

У певному інтегралі на знаку інтегрування пишуть обмеження «a» і «b». Вони вказані на осі X в графіку нижче.

Для обчислення визначеного інтеграла необхідно знайти первісну, підставити в неї значення «a» і «b» і знайти різницю. У математиці це називається формулою Ньютона-Лейбніца:

Таблиця інтегралів для студентів (основні формули)

Скачайте формули інтегралів, вони вам ще знадобляться

Як обчислювати інтеграл правильно

Існує декілька простих операцій для перетворення інтегралів. Ось основні з них:

Винесення константи з-під знака інтеграла

Розкладання інтеграла суми на суму інтегралів

Якщо поміняти місцями a і b, знак зміниться

Можна розбити інтеграл на проміжки таким чином

Це найпростіші властивості, на основі яких потім будуть формулюватися більш складні теореми і методи обчислення.

Приклади обчислення інтегралів

Рішення невизначеного інтеграла

Рішення певного інтеграла

Базові поняття для розуміння теми

Щоб ви зрозуміли суть інтегрування і не закрили сторінку від нерозуміння, ми пояснимо ряд базових понять. Що таке функція, похідна, межа і первісна.

функція - правило, за яким всі елементи з одного безлічі співвідносяться з усіма елементами з іншого.

похідна - функція, що описує швидкість зміни іншої функції в кожній конкретній точці. Якщо говорити суворим мовою, - це границя відношення приросту функції до приросту аргументу. Він обчислюється вручну, але простіше використовувати таблицю похідних, в якій зібрано більшість стандартних функцій.

приріст - кількісне зміна функції при деякому зміні аргументу.

межа - величина, до якої прагнути значення функції, при прагненні аргументу до певного значення.

Приклад межі: припустимо при X дорівнює 1, Y дорівнюватиме 2. Але що, якщо X НЕ дорівнює 1, а прагне до 1, тобто ніколи її не досягає? В цьому випадку y ніколи не досягне 2, а буде тільки прагнути до цієї величини. На математичній мові це записується так: limY (X), при X -\u003e 1 \u003d 2. Читається: межа функції Y (X), при x прагне до 1, дорівнює 2.

Як вже було сказано, похідна - це функція, яка описувала іншу функцію. Початкова функція може бути похідною для будь-якої іншої функції. Ця інша функція називається первообразной.

висновок

Знайти інтеграли не важко. Якщо ви не зрозуміли, як це робити,. З другого разу стає зрозуміліше. Запам'ятайте! Рішення інтегралів зводиться до простих перетворень підінтегральної функції і пошуку її в.

Якщо текстове пояснення вам не заходить, подивіться відео про сенс інтеграла і похідною:

Інтеграли - що це, як вирішувати, приклади рішень та пояснення для чайників оновлено: 22 листопад, 2019 автором: наукові Статьі.Ру

Даний калькулятор дозволяє вирішити певний інтеграл онлайн. По суті, обчислення визначеного інтеграла - це знаходження числа, яке дорівнює площі під графіком функції. Для вирішення необхідно задати кордону інтегрування і інтегруються функцію. Після інтегрування система знайде первісну для заданої функції, вирахує її значення в точках межах інтегрування, знайде їх різниця, що і буде рішенням певного інтеграла. Щоб вирішити невизначений інтеграл вам необхідно скористатися схожим онлайн калькулятором, який знаходиться на нашому сайті за посиланням - Вирішити невизначений інтеграл.

ми дозволяємо обчислити визначений інтеграл онлайн швидко і надійно. Ви отримаєте завжди вірне рішення. Причому для табличних інтегралів відповідь буде представлятися в класичному вигляді, тобто виражатися через відомі константи, такі як число "пі", "експонента" і т.д. Всі обчислення повністю безкоштовні і не вимагають реєстрації. Вирішуючи певний інтеграл у нас, ви позбавите себе від трудомістких і складних обчислень, або вирішивши інтеграл самостійно - ви зможете перевірити отримане вами рішення.

Визначений інтеграл. приклади рішень

І знову здрастуйте. На даному уроці ми детально розберемо таку чудову річ, як певний інтеграл. На цей раз вступ буде коротким. Усе. Тому що сніжна заметіль за вікном.

Для того щоб навчитися вирішувати певні інтеграли необхідно:

1) Вміти знаходити невизначені інтеграли.

2) Вміти обчислити визначений інтеграл.

Як бачите, для того щоб освоїти певний інтеграл, потрібно досить добре орієнтуватися в «звичайних» невизначених інтеграли. Тому якщо ви тільки-тільки починаєте занурюватися в інтегральне числення, і чайник ще зовсім закипів, то краще почати з уроку Невизначений інтеграл. приклади рішень. Крім того, є pdf-курси для надшвидкої підготовки - якщо у вас в запасі буквально день, пів дня.

У загальному вигляді визначений інтеграл записується так:

Що додалося в порівнянні з невизначеним інтегралом? додалися межі інтегрування.

Нижня межа інтегрування
Верхня межа інтегрування стандартно позначається буквою.
відрізок називається відрізком інтегрування.

Перш ніж ми перейдемо до практичним прикладам, Невелике faq за певним інтегралу.

Що означає вирішити певний інтеграл? Вирішити певний інтеграл - це значить, знайти число.

Як вирішити певний інтеграл?За допомогою знайомої зі школи формули Ньютона-Лейбніца:

Формулу краще переписати на окремий листочок, вона повинна бути перед очима протягом усього уроку.

Етапи вирішення певного інтеграла наступні:

1) Спочатку знаходимо первісну функцію (невизначений інтеграл). Зверніть увагу, що константа в певному інтегралі не додає. Позначення є чисто технічним, і вертикальна паличка не несе ніякого математичного сенсу, по суті - це просто отчёрківаніе. Навіщо потрібна сама запис? Підготовка для застосування формули Ньютона-Лейбніца.

2) Підставляємо значення верхньої межі в первісну функцію:.

3) Підставляємо значення нижньої межі в первісну функцію:.

4) Розраховуємо (без помилок!) Різниця, тобто, знаходимо число.

Чи завжди існує певний інтеграл? Ні не завжди.

Наприклад, інтеграла не існує, оскільки відрізок інтегрування не входить в область визначення підінтегральної функції (значення під квадратним коренем не можуть бути негативними). А ось менш очевидний приклад:. Тут на відрізку інтегрування тангенс терпить нескінченні розриви в точках,, і тому такого певного інтеграла теж не існує. До речі, хто ще не прочитав методичний матеріал Графіки та основні властивості елементарних функцій - саме час зробити це зараз. Буде здорово допомагати протягом усього курсу вищої математики.

Для того щоб певний інтеграл взагалі існував, досить щоб підінтегральна функція була неперервною на відрізку інтегрування.

З вищесказаного випливає перша важлива рекомендація: перед тим, як приступити до вирішення БУДЬ-ЯКОГО певного інтеграла, потрібно переконатися в тому, що підінтегральна функція неперервна на відрізку інтегрування. За студентської молодості у мене неодноразово бував казус, коли я довго мучився з перебуванням важкою первісної, а коли нарешті її знаходив, то ламав голову ще над одним питанням: «що за нісенітниця вийшла?». У спрощеному варіанті ситуація виглядає приблизно так:

???! Не можна підставляти негативні числа під корінь! Що за фігня?! Початкова неуважність.

Якщо для вирішення (в контрольної роботи, На заліку, іспиті) Вам запропонований інтеграл на кшталт чи, то потрібно дати відповідь, що цього визначеного інтеграла не існує і обгрунтувати - чому.

! Примітка : В останньому випадку слово «певного» опускати не можна, тому що інтеграл з точковими розривами розбивається на кілька, в даному випадку на 3 невласних інтеграла, і формулювання «даного інтеграла не існує» стає некоректною.

Чи може певний інтеграл дорівнювати негативного числа? Може. І негативного числа. І нулю. Може навіть вийти нескінченність, але це вже буде невласний інтеграл, Яким відведена окрема лекція.

Чи може нижня межа інтегрування бути більше верхньої межі інтегрування?Може, і така ситуація реально зустрічається на практиці.

- інтеграл спокійнісінько обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца.

Без чого не обходиться вища математика? Звичайно ж, без всіляких властивостей. Тому розглянемо деякі властивості визначеного інтеграла.

У певному інтегралі можна переставити верхню і нижню межу, змінивши при цьому знак:

Наприклад, в певному інтегралі перед інтеграцією доцільно поміняти межі інтегрування на «звичний» порядок:

- в такому вигляді інтегрувати значно зручніше.

- це справедливо не тільки для двох, але і для будь-якої кількості функцій.

У певному інтегралі можна проводити заміну змінної інтегрування, Правда, в порівнянні з невизначеним інтегралом тут є своя специфіка, про яку ми ще поговоримо.

Для певного інтеграла справедлива формула інтегрування частинами:

приклад 1

Рішення:

(1) Виносимо константу за знак інтеграла.

(2) Інтегруємо по таблиці за допомогою найпопулярнішою формули . З'явилася, константу доцільно відокремити від і винести за дужки. Робити це не обов'язково, але бажано - навіщо зайві обчислення?

. Спочатку підставляємо в верхню межу, потім - нижню межу. Проводимо подальші обчислення і отримуємо остаточну відповідь.

приклад 2

Обчислити визначений інтеграл

Це приклад для самостійно рішення, рішення і відповідь в кінці уроку.

Трохи ускладнюємо завдання:

приклад 3

Обчислити визначений інтеграл

Рішення:

(1) Використовуємо властивості лінійності певного інтеграла.

(2) Інтегруємо по таблиці, при цьому всі константи виносимо - вони не братимуть участі в підстановці верхньої і нижньої межі.

(3) Для кожного з трьох доданків застосовуємо формулу Ньютона-Лейбніца:

СЛАБКА ЗВЕНО в певному інтегралі - це помилки обчислень і часто зустрічається ПЛУТАНИНА В ЗНАКИ. Будьте уважні! Особливу увагу загострюю на третьому доданку: - перше місце в хіт-параді помилок через неуважність, дуже часто машинально пишуть (Особливо, коли підстановка верхньої і нижньої межі проводиться усно і не розписується так докладно). Ще раз уважно вивчіть вищерозглянутий приклад.

Слід зауважити, що розглянутий спосіб вирішення певного інтеграла - не єдиний. При певному досвіді, рішення можна значно скоротити. Наприклад, я сам звик вирішувати подібні інтеграли так:

Тут я усно використовував правила лінійності, усно проинтегрировал по таблиці. У мене вийшла всього одна дужка з отчёрківаніем меж: (На відміну від трьох дужок в першому способі). І в «Целікова» первісну функцію, я спочатку підставив спочатку 4, потім -2, знову ж виконавши всі дії в розумі.

Які недоліки у короткого способу вирішення? Тут все не дуже добре з точки зору раціональності обчислень, але особисто мені все одно - звичайні дроби я вважаю на калькуляторі.
Крім того, існує підвищений ризик припуститися помилки в обчисленнях, таким чином, студенту-чайнику краще використовувати перший спосіб, при «моєму» способі рішення точно десь загубиться знак.

Однак безперечними перевагами другого способу є швидкість вирішення, компактність запису і той факт, що первісна знаходиться в одній дужці.

Порада: перед тим, як використовувати формулу Ньютона-Лейбніца, корисно провести перевірку: а сама-то первісна знайдена правильно?

Так, стосовно до розглянутого прикладу: перед тим, як в первісну функцію підставляти верхній і нижній межі, бажано на чернетці перевірити, а чи правильно взагалі знайдений невизначений інтеграл? диференціюючи:

Отримано вихідна подинтегральная функція, значить, невизначений інтеграл знайдено вірно. Тепер можна і формулу Ньютона-Лейбніца застосувати.

Така перевірка буде не зайвою при обчисленні будь-якого певного інтеграла.

приклад 4

Обчислити визначений інтеграл

Це приклад для самостійно рішення. Спробуйте вирішити його коротким і докладним способом.

Заміна змінної в певному інтегралі

Для певного інтеграла справедливі всі типи замін, що і для невизначеного інтеграла. Таким чином, якщо із замінами у Вас не дуже, слід уважно ознайомитися з уроком Метод заміни в невизначеному інтегралі.

У цьому параграфі немає нічого страшного або складного. Новизна полягає в питанні, як поміняти межі інтегрування при заміні.

У прикладах я постараюся привести такі типи замін, які ще ніде не зустрічалися на сайті.

приклад 5

Обчислити визначений інтеграл

Головне питання тут зовсім не в певному інтегралі, а в тому, як правильно провести заміну. дивимося в таблицю інтегралів і прикидаємо, на що у нас найбільше схожа подинтегральная функція? Очевидно, що на довгий логарифм: . Але є одна неув'язочка, в табличному інтеграл під коренем, а в нашому - «ікс» в четвертого ступеня. З міркувань слід і ідея заміни - непогано б нашу четверту ступінь якось перетворити в квадрат. Це реально.

Спочатку готуємо наш інтеграл до заміни:

З вищевказаних міркувань цілком природно напрошується заміна:
Таким чином, в знаменнику буде все добре:.
З'ясовуємо, на що перетвориться решта подинтегрального вираження, для цього знаходимо диференціал:

У порівнянні з заміною в невизначеному інтегралі у нас додається додатковий етап.

Знаходимо нові межі інтегрування.

Це досить просто. Дивимося на нашу заміну і старі межі інтегрування,.

Спочатку підставляємо у вираз заміни нижня межа інтегрування, тобто, нуль:

Потім підставляємо у вираз заміни верхня межа інтегрування, тобто, корінь з трьох:

Готово. І все-то лише ...

Продовжуємо рішення.

(1) Відповідно до заміною записуємо новий інтеграл з новими межами інтегрування.

(2) Це найпростіший табличний інтеграл, інтегруємо по таблиці. Константу краще залишити за дужками (можна цього і не робити), щоб вона не заважала в подальших обчисленнях. Справа отчерківаем лінію із зазначенням нових меж інтегрування - це підготовка для застосування формули Ньютона-Лейбніца.

(3) Використовуємо формулу Ньютона-Лейбніца .

Відповідь прагнемо записати в максимально компактному вигляді, тут я використовував властивості логарифмів.

Ще одна відмінність від невизначеного інтеграла полягає в тому, що, після того, як ми провели заміну, ніяких зворотних замін проводити не треба.

А зараз кілька прикладів для самостійного рішення. Які заміни проводити - постарайтеся здогадатися самостійно.

приклад 6

Обчислити визначений інтеграл

приклад 7

Обчислити визначений інтеграл

Це приклади для самостійного рішення. Рішення і відповіді в кінці уроку.

І на закінчення параграфа пара важливих моментів, Розбір яких з'явився завдяки відвідувачам сайту. Перший з них стосується правомірності заміни. У деяких випадках її проводити не можна! Так, Приклад 6, здавалося б, дозволимо за допомогою універсальної тригонометричної підстановки , Проте верхня межа інтегрування ( «Пі») не входить в область визначення цього тангенса і тому дана підстановка нелегальна! Таким чином, функція-«заміна» повинна бути неперервна у всіх точках відрізка інтегрування.

В іншому електронному листі надійшло таке запитання: «А чи потрібно міняти межі інтегрування, коли ми підводимо функцію під знак диференціала?». Спочатку я хотів «відмахнутися від нісенітниці» і автоматично відповісти «звичайно, немає», але потім задумався про причини появи такого питання і раптом виявив, що інформації-то не вистачає. Але ж вона, нехай і очевидна, але дуже важливо:

Якщо ми підводимо функцію під знак диференціала, то міняти межі інтегрування не потрібно! Чому? Тому що в цьому випадку немає фактичного переходу до нової змінної. наприклад:

І тут підведення набагато зручніше академічної заміни з подальшою «розписом» нових меж інтегрування. Таким чином, якщо певний інтеграл не дуже складний, то завжди намагайтеся підвести функцію під знак диференціала! Це швидше, це компактніше, і це буденно - в чому ви переконаєтеся ще десятки разів!

Велике спасибі за ваші листи!

Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Тут новизни ще менше. Всі викладки статті Інтегрування по частинах в невизначеному інтегралі в повній мірі справедливі і для певного інтеграла.
Плюсом йде тільки одна деталь, у формулі інтегрування частинами додаються межі інтегрування:

Формулу Ньютона-Лейбніца тут необхідно застосувати двічі: для твору і, після того, як ми візьмемо інтеграл.

Тип інтеграла для прикладу я знову підібрав такий, який ще ніде не зустрічався на сайті. Приклад не найпростіший, але дуже і дуже пізнавальний.

приклад 8

Обчислити визначений інтеграл

Вирішуємо.

Інтегруємо частинами:

У кого виникли труднощі з інтегралом, загляньте на урок Інтеграли від тригонометричних функцій, Там він докладно розібраний.

(1) Записуємо рішення відповідно до формули інтегрування частинами.

(2) Для твори застосовуємо формулу Ньютона-Лейбніца. Для решти інтеграла використовуємо властивості лінійності, розділяючи його на два інтеграла. Чи не плутаємося в знаках!

(4) Застосовуємо формулу Ньютона-Лейбніца для двох знайдених первісних.

Якщо чесно, я не люблю формулу і, по можливості, ... обходжуся взагалі без неї! Розглянемо другий спосіб вирішення, з моєї точки зору він більш раціональний.

Обчислити визначений інтеграл

На першому етапі я знаходжу невизначений інтеграл:

Інтегруємо частинами:

Первісна функція знайдена. Константу в даному випадку додавати не має сенсу.

У чому перевага такого походу? Не потрібно «тягати за собою» межі інтегрування, дійсно, замучать можна десяток разів записувати дрібні значки меж інтегрування

На другому етапі я проводжу перевірку (Зазвичай на чернетці).

Теж логічно. Якщо я неправильно знайшов первісну функцію, то неправильно вирішу і визначений інтеграл. Це краще з'ясувати негайно, диференціюючи відповідь:

Отримано вихідна подинтегральная функція, значить, первісна функція знайдена вірно.

Третій етап - застосування формули Ньютона-Лейбніца:

І тут є суттєва вигода! У «моєму» способі рішення набагато менший ризик заплутатися в підстановках і обчисленнях - формула Ньютона-Лейбніца застосовується всього лише один раз. Якщо чайник вирішить подібний інтеграл по формулі (Першим способом), то стопудово де-небудь припуститься помилки.

Розглянутий алгоритм рішення можна застосувати для будь-якого певного інтеграла.

Шановний студент, роздрукуй і збережи:

Що робити, якщо даний певний інтеграл, який здається складним або не відразу зрозуміло, як його вирішувати?

1) Спочатку знаходимо невизначений інтеграл (первісну функцію). Якщо на першому ж етапі трапився облом, далі рипатися з Ньютоном і Лейбніцем безглуздо. Шлях тільки один - підвищувати свій рівень знань і навичок у вирішенні невизначених інтегралів.

2) Перевіряємо знайдену первісну функцію дифференцированием. Якщо вона знайдена невірно, третій крок буде марною тратою часу.

3) Використовуємо формулу Ньютона-Лейбніца. Всі обчислення проводимо ГРАНИЧНО УВАЖНО - тут найслабша ланка завдання.

І, на закуску, інтеграл для самостійного рішення.

приклад 9

Обчислити визначений інтеграл

Рішення і відповідь десь поруч.

Наступний рекомендований урок по темі - Як обчислити площу фігури за допомогою певного інтеграла?
Інтегруємо частинами:

Ви точно їх прорешалі і отримали такі відповіді? ;-) І на стару буває порнуха.

Онлайн сервіс на сайт дозволяє знаходити рішення певного інтеграла онлайн. Рішення проводиться автоматично на сервері і в перебігу декількох секунд користувачеві видається результат. Всі онлайн сервіси на сайті абсолютно безкоштовні, а рішення видається в зручному і зрозумілому вигляді. Також нашою перевагою є, що ми надаємо можливість користувачеві ввести кордони інтегрування, в тому числі і межі інтегрування: мінус і плюс нескінченність. Таким чином, вирішити певний інтеграл стає просто, швидко і якісно. Важливо, що сервер дозволяє обчислювати визначені інтеграли онлайн складних функцій, Рішення яких на інших онлайн-сервісах часто є неможливим через недосконалість їх систем. Ми надаємо дуже простий і інтуїтивно зрозумілий механізм для введення функцій і можливість вибору змінної інтегрування, для чого вам не доводиться переводити задану в одній змінної функцію в іншу, за винятком пов'язані з цим помилки і помилки. Також на сторінці є посилання на теоретичні статті та таблиці за рішенням визначених інтегралів. Все в совокупоності дозволить вам обчислювати визначений інтеграл онлайн дуже швидко і при бажанні знайти і розібратися з теорією вирішення певних інтегралів. На http: // сайт ви також можете переходити на інші сервіси: онлайн рішення меж, похідних, суми рядів. Перейти же на вкладку рішення невизначених інтегралів онлайн зовсім просто - посилання знаходиться в ряду серед корисних посилань. Більш того, сервіс постійно вдосконалюється і розвивається, і з кожним днем \u200b\u200bз'являються все нові і нові можливості і удосконалення. Вирішуйте певні інтеграли разом з нами! Всі онлайн сервіси доступні навіть незарегістріровшімся користувачам і абсолютно безкоштовні.

Вирішуючи певний інтеграл у нас ви можете перевірити своє власне рішення або позбутися від зайвих трудомістких обчислень і довіритися високотехнологічної автоматизованої машині. Обчислюється на сервісі точність задовольнить практично будь-які інженерні норми. Часто для багатьох табличних певних інтегралів результат видається в точному висловлюванні (використовуючи загальновідомі константи і неелементарні функції).

Введіть функцію, для якої треба знайти інтеграл

калькулятор надає ДОКЛАДНИЙ рішення визначених інтегралів.

Цей калькулятор знаходить рішення певного інтеграла від функції f (x) з даними верхніми і нижніми межами.

приклади

Із застосуванням ступеня
(Квадрат і куб) і дробу

(X ^ 2 - 1) / (x ^ 3 + 1)

Квадратний корінь

Sqrt (x) / (x + 1)

кубічний корінь

Cbrt (x) / (3 * x + 2)

Із застосуванням синуса і косинуса

2 * sin (x) * cos (x)

арксинус

X * arcsin (x)

арккосинус

X * arccos (x)

застосування логарифма

X * log (x, 10)

натуральний логарифм

експонента

Tg (x) * sin (x)

котангенс

Ctg (x) * cos (x)

ірраціональні дроби

(Sqrt (x) - 1) / sqrt (x ^ 2 - x - 1)

арктангенс

X * arctg (x)

арккотангенс

X * arсctg (x)

Гіберболіческіе синус і косинус

2 * sh (x) * ch (x)

Гіберболіческіе тангенс і котангенс

Ctgh (x) / tgh (x)

Гіберболіческіе арксинус і арккосинус

X ^ 2 * arcsinh (x) * arccosh (x)

Гіберболіческіе арктангенс і арккотангенс

X ^ 2 * arctgh (x) * arcctgh (x)

Правила введення виразів і функцій

Вирази можуть складатися з функцій (позначення дано в алфавітному порядку): absolute (x) Абсолютне значення x
(модуль x або | X |) arccos (x) Функція - арккосинус від x arccosh (x) Арккосинус гіперболічний від x arcsin (x) арксинус від x arcsinh (x) Арксинус гіперболічний від x arctg (x) Функція - арктангенс від x arctgh (x) Арктангенс гіперболічний від x e e число, яке приблизно дорівнює 2.7 exp (x) Функція - експонента від x (що і e^x) log (x) or ln (x) Натуральний логарифм від x
(Щоб отримати log7 (x), Треба ввести log (x) / log (7) (або, наприклад для log10 (x)\u003d Log (x) / log (10)) pi Число - "Пі", яке приблизно дорівнює 3.14 sin (x) Функція - Синус від x cos (x) Функція - Косинус від x sinh (x) Функція - Синус гіперболічний від x cosh (x) Функція - Косинус гіперболічний від x sqrt (x) Функція - квадратний корінь з x sqr (x) або x ^ 2 Функція - Квадрат x tg (x) Функція - Тангенс від x tgh (x) Функція - Тангенс гіперболічний від x cbrt (x) Функція - кубічний корінь з x

У виразах можна застосовувати такі операції: Дійсні числа вводити у вигляді 7.5 , що не 7,5 2 * x - множення 3 / x - розподіл x ^ 3 - зведення в ступінь x + 7 - складання x - 6 - віднімання
Інші функції: floor (x) Функція - округлення x в меншу сторону (приклад floor (4.5) \u003d\u003d 4.0) ceiling (x) Функція - округлення x в більшу сторону (приклад ceiling (4.5) \u003d\u003d 5.0) sign (x) Функція - Знак x erf (x) Функція помилок (або інтеграл ймовірності) laplace (x) функція Лапласа