Kurz Get A Video obsahuje všechna témata, která potřebujete, abyste byli úspěšní. složení zkoušky v matematice o 60-65 bodů. Kompletně všechny úkoly 1-13 Profilové jednotné státní zkoušky z matematiky. Vhodné také pro složení základní zkoušky z matematiky. Pokud chcete složit zkoušku na 90-100 bodů, je potřeba vyřešit 1. část za 30 minut a bezchybně!

Přípravný kurz na zkoušku pro ročníky 10-11 i pro učitele. Vše, co potřebujete k vyřešení 1. části zkoušky z matematiky (prvních 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometrie). A to je na zkoušce více než 70 bodů a bez nich se neobejde ani stobodový, ani humanitní student.

Veškerá teorie, kterou potřebujete. Rychlé způsobyřešení, pasti a tajemství zkoušky. Všechny relevantní úkoly části 1 z Banky úkolů FIPI byly rozebrány. Kurz plně splňuje požadavky zkoušky-2018.

Kurz obsahuje 5 velkých témat, každé 2,5 hodiny. Každé téma je zadáno od začátku, jednoduše a přímočaře.

Stovky zkouškových úkolů. Slovní úlohy a teorie pravděpodobnosti. Jednoduché a snadno zapamatovatelné algoritmy pro řešení problémů. Geometrie. Teorie, referenční materiál, analýza všech typů zkoušek. Stereometrie. Záludná řešení, užitečné cheaty, vývoj prostorová představivost... Trigonometrie od nuly k problému 13. Porozumění místo nacpávání. Vizuální vysvětlení složitých pojmů. Algebra. Odmocniny, stupně a logaritmy, funkce a derivace. Základ řešení obtížné úkoly 2 části zkoušky.

Průměrný obecné vzdělání

Linka UMK G. K. Muravina. Algebra a počátky matematické analýzy (10-11) (do hloubky)

Linka UMK Merzlyak. Algebra a počátky analýzy (10-11) (U)

Matematika

Příprava na zkoušku z matematiky (profilová úroveň): úkoly, řešení a vysvětlení

S učitelem analyzujeme úkoly a řešíme příklady

Papír na zkoušku úroveň profilu trvá 3 hodiny 55 minut (235 minut).

Minimální práh- 27 bodů.

Zkušební písemka se skládá ze dvou částí, které se liší obsahem, náročností a počtem úkolů.

Určujícím znakem každé části práce je forma zadání:

• část 1 obsahuje 8 úloh (úlohy 1-8) s krátkou odpovědí ve tvaru celého čísla nebo koncovky desetinný;
• 2. část obsahuje 4 úlohy (úlohy 9-12) s krátkou odpovědí ve tvaru celého čísla nebo koncového desetinného zlomku a 7 úloh (úkoly 13-19) s podrobnou odpovědí (úplný záznam řešení se zdůvodněním provedené akce).

Panová Světlana Anatolievna, učitel matematiky nejvyšší kategorie školy, praxe 20 let:

„Abyste dostali, musíte školní certifikát, absolvent musí absolvovat dva povinné zkoušky formou zkoušky, z nichž jednou je matematika. V souladu s Koncepcí rozvoje matematická výchova proti Ruská Federace Zkouška z matematiky je rozdělena do dvou úrovní: základní a specializovaná. Dnes zvážíme možnosti pro úroveň profilu."

Úkol číslo 1- testuje schopnost účastníků USE aplikovat dovednosti získané v průběhu 5-9 ročníků v elementární matematice, v praktické činnosti... Účastník musí mít výpočetní dovednosti, umět pracovat s racionálními čísly, umět zaokrouhlovat desetinné zlomky, umět převádět jednu měrnou jednotku na druhou.

Příklad 1. V bytě, kde Petr bydlí, byl instalován měřič výdajů studená voda(čelit). Měřič ukázal 1. května spotřebu 172 metrů krychlových. m vody a 1. června - 177 metrů krychlových. m. Kolik by měl Petr zaplatit za studenou vodu v květnu, je-li cena 1 metr krychlový. m studené vody je 34 rublů 17 kopecks? Odpověď uveďte v rublech.

Řešení:

1) Zjistěte množství spotřebované vody za měsíc:

177 – 172 = 5 (metry krychlové)

2) Pojďme zjistit, kolik peněz bude zaplaceno za vynaloženou vodu:

34,17 5 = 170,85 (rub)

Odpovědět: 170,85.

Úkol číslo 2- je jedním z nejjednodušších zkouškových úkolů. Většina absolventů se s ním úspěšně vyrovnává, což svědčí o vlastnictví definice pojmu funkce. Typ úlohy číslo 2 dle kodifikátoru požadavků je úloha o využití získaných znalostí a dovedností v praktických činnostech a Každodenní život... Úkol číslo 2 se skládá z popisu pomocí funkcí různých reálných vztahů mezi veličinami a interpretace jejich grafů. Úkol číslo 2 testuje schopnost extrahovat informace prezentované v tabulkách, diagramech, grafech. Absolventi potřebují umět určit hodnotu funkce hodnotou argumentu různými způsoby definice funkce a popsat chování a vlastnosti funkce podle jejího grafu. Je také nutné umět najít největší resp nejmenší hodnotu a vytvářet grafy naučených funkcí. Udělané chyby jsou náhodné při čtení prohlášení o problému a čtení diagramu.

# ADVERTISING_INSERT #

Příklad 2 Obrázek ukazuje změnu tržní hodnoty jedné akcie těžařské společnosti v první polovině dubna 2017. Podnikatel získal 7. dubna 1000 akcií této společnosti. 10. dubna prodal tři čtvrtiny nakoupených akcií a 13. dubna prodal všechny ostatní. Kolik podnikatel v důsledku těchto operací ztratil?

Řešení:

2) 1000 3/4 = 750 (akcií) - tvoří 3/4 všech nakoupených akcií.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rublů) - podnikatel po prodeji obdržel 1000 akcií.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (rublů) - podnikatel ztratil v důsledku všech operací.

Odpovědět: 15000.

Úkol číslo 3- je úkol základní úroveň první část prověřuje schopnost provádět úkony s geometrickými tvary podle obsahu předmětu "Planimetrie". V úloze 3 se testuje schopnost vypočítat plochu obrazce na kostkovaném papíře, schopnost vypočítat míry úhlů, vypočítat obvody atd.

Příklad 3 Najděte oblast obdélníku znázorněného na kostkovaném papíře o velikosti buňky 1 cm x 1 cm (viz obrázek). Svou odpověď uveďte v centimetrech čtverečních.

Řešení: Chcete-li vypočítat plochu tohoto obrázku, můžete použít vzorec Pick:

Pro výpočet plochy tohoto obdélníku použijeme vzorec Peak:

S= B +	G
	2

kde B = 10, G = 6, tedy

S = 18 +	6
	2

Odpovědět: 20.

Viz také: Sjednocená státní zkouška z fyziky: Řešení problémů s oscilací

Úkol číslo 4- úkol předmětu "Teorie pravděpodobnosti a statistika". Testuje se schopnost vypočítat pravděpodobnost události v nejjednodušší situaci.

Příklad 4. Na kruhu je vyznačeno 5 červených a 1 modrý bod. Určete, kterých polygonů je více: ty se všemi vrcholy jsou červené, nebo ty, které mají jeden z vrcholů modrý. Ve své odpovědi uveďte, kolik z nich je více než ostatních.

Řešení: 1) Pro počet kombinací od používáme vzorec n prvky podle k:

ve kterém jsou všechny vrcholy červené.

3) Jeden pětiúhelník se všemi vrcholy červenými.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygonů se všemi vrcholy červenými.

jehož vrcholy jsou červené nebo s jedním modrým vrcholem.

jehož vrcholy jsou červené nebo s jedním modrým vrcholem.

8) Jeden šestiúhelník s červenými vrcholy s jedním modrým vrcholem.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygonů, ve kterých jsou všechny vrcholy červené nebo s jedním modrým vrcholem.

10) 42 - 16 = 26 polygonů pomocí modrého bodu.

11) 26 - 16 = 10 polygonů - kolik polygonů s jedním z vrcholů - modrý bod, více než polygonů se všemi vrcholy pouze červenými.

Odpovědět: 10.

Úkol číslo 5- základní úroveň první části prověřuje schopnost řešit nejjednodušší rovnice (iracionální, exponenciální, trigonometrické, logaritmické).

Příklad 5.Řešte rovnici 2 3 + X= 0,453+ X .

Řešení. Vydělte obě strany této rovnice 5 3 + NS≠ 0, dostáváme

2 3 + X	= 0,4 nebo		2		3 + NS	=	2	,
5 3 + NS			5				5

z čehož plyne, že 3 + X = 1, X = –2.

Odpovědět: –2.

Úkol číslo 6 na planimetrii pro zjišťování geometrických veličin (délky, úhly, plochy), modelování reálných situací v jazyce geometrie. Studium sestrojených modelů pomocí geometrických konceptů a vět. Zdrojem obtíží je zpravidla neznalost nebo nesprávná aplikace nezbytných planimetrických vět.

Oblast trojúhelníku ABC se rovná 129. DE- střední čára rovnoběžná se stranou AB... Najděte oblast lichoběžníku POSTEL.

Řešení. Trojúhelník CDE jako trojúhelník KABINA ve dvou rozích, od vrcholového úhlu C obecné, úhel CDE rovný úhlu KABINA jako odpovídající úhly v DE || AB secant AC... Protože DE- střední čára trojúhelníku podmínkou, poté vlastností střední čáry | DE = (1/2)AB... To znamená, že koeficient podobnosti je 0,5. Plochy takových obrazců jsou tedy vztaženy jako druhá mocnina koeficientu podobnosti

Proto, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Úkol číslo 7- zkontroluje použití derivace při studiu funkce. Pro úspěšnou implementaci je nutná smysluplná, neformální znalost konceptu derivátu.

Příklad 7. Přejděte na graf funkcí y = F(X) v bodě s úsečkou X 0 je nakreslena tečna, která je kolmá k přímce procházející body (4; 3) a (3; –1) tohoto grafu. Nalézt F′( X 0).

Řešení. 1) Použijeme rovnici přímky procházející dvěma nastavit body a najděte rovnici přímky procházející body (4; 3) a (3; –1).

(y – y 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–y + 3 = –4X+ 16 | · (-1)

y – 3 = 4X – 16

y = 4X- 13, kde k 1 = 4.

2) Najděte sklon tečny k 2, který je kolmý k přímce y = 4X- 13, kde k 1 = 4, podle vzorce:

3) Směrnice tečny je derivací funkce v bodě tečnosti. Prostředek, F′( X 0) = k 2 = –0,25.

Odpovědět: –0,25.

Úkol číslo 8- prověřuje znalosti účastníků zkoušky z elementární stereometrie, schopnost aplikovat vzorce pro zjišťování ploch ploch a objemů obrazců, dihedrálních úhlů, porovnávat objemy podobných obrazců, umět provádět akce s geometrickými obrazci, souřadnicemi a vektory atd.

Objem krychle popsané kolem koule je 216. Najděte poloměr koule.

Řešení. 1) PROTI kostka = A 3 (kde A Je tedy délka hrany krychle).

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Protože je koule vepsána do krychle, znamená to, že délka průměru koule je rovna délce hrany krychle, proto d = A, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Úkol číslo 9- požaduje, aby absolvent převáděl a zjednodušoval algebraické výrazy. Úkol číslo 9 zvýšené úrovně obtížnosti s krátkou odpovědí. Úkoly ze sekce „Výpočty a transformace“ u zkoušky jsou rozděleny do několika typů:

převod čísel racionální projevy;

transformace algebraických výrazů a zlomků;

převod číselných / abecedních iracionálních výrazů;

akce s tituly;

transformace logaritmických výrazů;

1. převod číselných / abecedních trigonometrických výrazů.

Příklad 9. Vypočítejte tgα, je-li známo, že cos2α = 0,6 a

3π	< α < π.
4

Řešení. 1) Použijme vzorec dvojitého argumentu: cos2α = 2 cos 2 α - 1 a najdeme

tg 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Tudíž tg2α = ± 0,5.

3) Podle podmínky

3π	< α < π,
4

tedy α je úhel čtvrtiny II a tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Odpovědět: –0,5.

# ADVERTISING_INSERT # Úkol číslo 10- prověřuje schopnost studentů využívat raně nabyté znalosti a dovednosti v praxi a běžném životě. Můžeme říci, že jde o problémy ve fyzice, a ne v matematice, ale všechny potřebné vzorce a veličiny jsou uvedeny v podmínce. Úkoly se zredukují na řešení lineárního resp kvadratická rovnice, buď lineární nebo čtvercová nerovnost... Proto je nutné umět takové rovnice a nerovnice řešit a určit odpověď. Odpověď by měla být buď celé číslo, nebo konečný desetinný zlomek.

Dvě těla vážící m= 2 kg každý, pohybující se stejnou rychlostí proti= 10 m / s pod úhlem 2α vůči sobě. Energie (v joulech) uvolněná při jejich absolutně nepružné srážce je určena výrazem Q = mv 2 hřích 2 α. Jaký je nejmenší úhel 2α (ve stupních) by se měla tělesa pohybovat tak, aby se v důsledku srážky uvolnilo nejméně 50 joulů?
Řešení. K vyřešení problému potřebujeme vyřešit nerovnost Q ≥ 50 na intervalu 2α ∈ (0 °; 180 °).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Protože α ∈ (0 °; 90 °) budeme pouze řešit

Představme řešení nerovnosti graficky:

Protože podle hypotézy α ∈ (0 °; 90 °), znamená to 30 ° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Úkol číslo 11- je typické, ale pro studenty se ukazuje jako obtížné. Hlavním zdrojem obtíží je konstrukce matematického modelu (sestavení rovnice). Úkol číslo 11 prověřuje schopnost řešit slovní úlohy.

Příklad 11. Během jarních prázdnin musel žák 11. třídy Vasya vyřešit 560 tréninkových problémů, aby se připravil na jednotnou státní zkoušku. 18. března, poslední den školy, Vasja vyřešil 5 problémů. Každý den pak řešil stejný počet úkolů více než předchozí den. Určete, kolik problémů Vasya vyřešil 2. dubna poslední den dovolené.

Řešení: Označujeme A 1 = 5 - počet problémů, které Vasya vyřešil 18. března, d- denní počet úkolů vyřešených Vasyou, n= 16 - počet dní od 18. března do 2. dubna včetně, S 16 = 560 – celkový počet úkolů, A 16 - počet problémů, které Vasya vyřešil 2. dubna. S vědomím, že Vasya každý den vyřešil stejný počet úkolů více ve srovnání s předchozím dnem, pak můžete použít vzorce pro nalezení součtu aritmetický postup:

560 = (5 + A 16) 8,

5 + A 16 = 560: 8,

5 + A 16 = 70,

A 16 = 70 – 5

A 16 = 65.

Odpovědět: 65.

Úkol číslo 12- otestovat schopnost studentů provádět akce s funkcemi, umět aplikovat derivaci při studiu funkce.

Najděte maximální bod funkce y= 10 ln ( X + 9) – 10X + 1.

Řešení: 1) Najděte definiční obor funkce: X + 9 > 0, X> –9, tedy x ∈ (–9; ∞).

2) Najděte derivaci funkce:

4) Nalezený bod patří do intervalu (–9; ∞). Určíme znaménka derivace funkce a znázornime chování funkce na obrázku:

Hledá se maximální bod X = –8.

Stáhněte si zdarma pracovní program v matematice pro řadu výukových materiálů G.K. Muravina, K.S. Muravina, O. V. Muravina 10-11 Stáhněte si zdarma učební pomůcky o algebře

Úkol číslo 13-zvýšená úroveň obtížnosti s podrobnou odpovědí, která testuje schopnost řešit rovnice, nejúspěšněji řešené mezi úlohami s podrobnou odpovědí zvýšené úrovně složitosti.

a) Vyřešte rovnici 2log 3 2 (2cos X) - 5log 3 (2cos X) + 2 = 0

b) Najděte všechny kořeny této rovnice, které patří do segmentu.

Řešení: a) Nechte log 3 (2cos X) = t, pak 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log 3 (2cos X) =	2	⇔		2cos X = 9	⇔		cos X =	4,5	⇔ od té doby | cos X| ≤ 1,
	log 3 (2cos X) =	1			2cos X = √3			cos X =	√3
		2							2

pak cos X =	√3
	2

	X =	π	+ 2π k
		6
	X = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Najděte kořeny ležící na segmentu.

Z obrázku je vidět, že kořeny

11π	a	13π	.
6		6

Odpovědět: A)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Úkol číslo 14- pokročilá úroveň odkazuje na úkoly druhé části s podrobnou odpovědí. Úkol testuje schopnost provádět akce s geometrickými tvary. Úkol obsahuje dvě položky. V prvním odstavci musí být úloha prokázána a ve druhém odstavci musí být vypočtena.

Průměr obvodu základny válce je 20, tvořící čára válce je 28. Rovina protíná jeho základnu podél tětiv délky 12 a 16. Vzdálenost mezi tětivami je 2√197.

a) Dokažte, že středy podstav válce leží na jedné straně této roviny.

b) Najděte úhel mezi touto rovinou a rovinou podstavy válce.

Řešení: a) Tětiva o délce 12 se nachází ve vzdálenosti = 8 od středu základní kružnice a tětiva o délce 16 obdobně ve vzdálenosti 6. Proto vzdálenost mezi jejich průměty na letadlo, rovnoběžně se základnami válců je buď 8 + 6 = 14, nebo 8 - 6 = 2.

Potom je vzdálenost mezi tětivami buď

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Podmínkou byl realizován druhý případ, kdy průměty tětiv leží na jedné straně osy válce. Osa se tedy nekříží dané letadlo uvnitř válce, to znamená, že základny leží na jeho jedné straně. Co bylo potřeba dokázat.

b) Označme středy základen pro O 1 a O 2. Nakreslete ze středu podstavy s tětivou délky 12 střed kolmý k této tětivě (má délku 8, jak již bylo uvedeno) a ze středu druhé základny na druhou tětivu. Leží ve stejné rovině β, kolmé na tyto tětivy. Střed menšího tětivy B nazýváme větší než A a průmět A na druhou bázi H (H ∈ β). Pak AB, AH ∈ β a tedy AB, AH jsou kolmé na akord, tedy přímku průniku základny s danou rovinou.

Požadovaný úhel je tedy

∠ABH = arctg	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Úkol číslo 15- zvýšená obtížnost s podrobnou odpovědí, testuje schopnost řešit nerovnosti, nejúspěšněji vyřešená mezi úkoly s podrobnou odpovědí zvýšené úrovně složitosti.

Příklad 15. Vyřešit nerovnost | X 2 – 3X| Protokol 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Řešení: Oblastí této nerovnosti je interval (–1; + ∞). Zvažte tři případy samostatně:

1) Nechte X 2 – 3X= 0, tj. NS= 0 nebo NS= 3. V tomto případě se tato nerovnost stane pravdivou, proto jsou tyto hodnoty zahrnuty do řešení.

2) A teď pojďme X 2 – 3X> 0, tzn. X∈ (–1; 0) ∪ (3; + ∞). Navíc lze tuto nerovnost přepsat jako ( X 2 – 3X) Protokol 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 a vydělte kladným X 2 – 3X... Dostaneme log 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 -1 nebo X≤ –0,5. Vezmeme-li v úvahu doménu definice, máme X ∈ (–1; –0,5].

3) Nakonec zvažte X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). V tomto případě bude původní nerovnost přepsána jako (3 X – X 2) protokol 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Po rozdělení kladným výrazem 3 X – X 2, dostaneme log 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. S přihlédnutím k regionu máme X ∈ (0; 1].

Spojením získaných řešení získáme X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Odpovědět: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Úkol číslo 16- pokročilá úroveň odkazuje na úkoly druhé části s podrobnou odpovědí. Úloha prověřuje schopnost provádět akce s geometrickými tvary, souřadnicemi a vektory. Úkol obsahuje dvě položky. V prvním odstavci musí být úloha prokázána a ve druhém odstavci musí být vypočtena.

PROTI rovnoramenný trojúhelník ABC s úhlem 120° na vrcholu A je nakreslena os BD. Obdélník DEFH je vepsán do trojúhelníku ABC tak, že strana FH leží na úsečce BC a vrchol E leží na úsečce AB. a) Dokažte, že FH = 2DH. b) Najděte obsah obdélníku DEFH, pokud AB = 4.

Řešení: A)

1) ΔBEF - obdélníkový, EF⊥BC, ∠B = (180 ° - 120 °): 2 = 30 °, pak EF = BE podle vlastnosti nohy ležící proti úhlu 30 °.

2) Nechť EF = DH = X, pak BE = 2 X, BF = X√3 podle Pythagorovy věty.

3) Protože ΔABC je rovnoramenný, znamená to, že ∠B = ∠C = 30˚.

BD je osa ∠B, takže ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Uvažujme ΔDBH - obdélníkový, protože DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)		4

1	=	2 – X
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3) 2 (3 - √3)

S DEFH = 24 - 12√3.

Odpovědět: 24 – 12√3.

Úkol číslo 17- úkol s podrobnou odpovědí, tento úkol testuje aplikaci znalostí a dovedností v praxi a každodenním životě, schopnost budovat a zkoumat matematické modely. Toto zadání je textový problém s ekonomickým obsahem.

Příklad 17. Vklad ve výši 20 milionů rublů se plánuje otevřít na čtyři roky. Na konci každého roku banka navýší svůj vklad o 10 % oproti své velikosti na začátku roku. Na začátku třetího a čtvrtého roku navíc vkladatel každoročně doplní vklad do NS milionů rublů, kde NS - Celýčíslo. Nalézt největší hodnotu NS, ve kterém banka za čtyři roky naúčtuje vklad méně než 17 milionů rublů.

Řešení: Na konci prvního roku bude příspěvek 20 + 20 · 0,1 = 22 milionů rublů a na konci druhého roku - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milionu rublů. Na začátku třetího roku bude příspěvek (v milionech rublů) (24,2 + NS), a na konci - (24,2 + NS) + (24,2 + NS) 0,1 = (26,62 + 1,1 NS). Na začátku čtvrtého roku bude příspěvek ve výši (26,62 + 2,1 NS) a na konci - (26,62 + 2,1 NS) + (26,62 + 2,1NS) 0,1 = (29,282 + 2,31 NS). Podle podmínky musíte najít největší celé číslo x, pro které je nerovnost

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

Největší celočíselné řešení této nerovnosti je 24.

Odpovědět: 24.

Úkol číslo 18- úkol zvýšené úrovně složitosti s podrobnou odpovědí. Tento úkol je určen pro konkurenční výběr na vysoké školy se zvýšenými požadavky na matematické vzdělávání uchazečů. Úloha vysoké úrovně složitosti není úkolem pro použití jedné metody řešení, ale pro kombinaci různých metod. Pro úspěšné splnění úkolu 18 je kromě solidních matematických znalostí zapotřebí také vysoká úroveň matematické kultury.

Pod čím A systém nerovností

	X 2 + y 2 ≤ 2ano – A 2 + 1
	y + A ≤ |X| – A

má přesně dvě řešení?

Řešení: Tento systém lze přepsat jako

	X 2 + (y– A) 2 ≤ 1
	y ≤ |X| – A

Nakreslíme-li na rovinu množinu řešení první nerovnosti, dostaneme vnitřek kružnice (s hranicí) o poloměru 1 se středem v bodě (0, A). Množina řešení druhé nerovnosti je ta část roviny, která leží pod grafem funkce y = | X| – A, a poslední je graf funkcí
y = | X| posunuto dolů o A... Řešením této soustavy je průsečík množin řešení pro každou z nerovností.

V důsledku toho bude mít tento systém dvě řešení pouze v případě znázorněném na obr. 1.

Tečné body kružnice s přímkami budou dvěma řešeními soustavy. Každá z přímek je nakloněna k osám pod úhlem 45°. Takže trojúhelník PQR- pravoúhlé rovnoramenné. Směřovat Q má souřadnice (0, A) a pointa R- souřadnice (0, - A). Kromě toho segmenty PR a PQ se rovnají poloměru kruhu rovnému 1.

Qr= 2A = √2, A =	√2	.
	2

Odpovědět: A =	√2	.
	2

Úkol číslo 19- úkol zvýšené úrovně složitosti s podrobnou odpovědí. Tento úkol je určen pro konkurenční výběr na vysoké školy se zvýšenými požadavky na matematické vzdělávání uchazečů. Úloha vysoké úrovně složitosti není úkolem pro aplikaci jedné metody řešení, ale pro kombinaci různých metod. Pro úspěšné splnění úkolu 19 je nutné umět hledat řešení, volit různé přístupy ze známých, modifikovat studované metody.

Nech být Sn součet NSčlenové aritmetické progrese ( a n). Je známo že S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Určete vzorec NSčlen této progrese.

b) Najděte nejmenší modulový součet S n.

c) Najděte nejmenší NS při kterém S n bude druhou mocninou celého čísla.

Řešení: a) To je zřejmé a n = S n – S n- 1. Pomocí tohoto vzorce dostaneme:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

prostředek, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Od té doby S n = 2n 2 – 25n, pak zvažte funkci S(X) = | 2X 2 – 25x |... Jeho graf je vidět na obrázku.

Je zřejmé, že nejmenší hodnoty je dosaženo v celočíselných bodech, které jsou nejblíže nulám funkce. Očividně to jsou body NS= 1, NS= 12 a NS= 13. Vzhledem k tomu, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = | 2 · 144 - 25 · 12 | = 12, S(13) = |S 13 | = | 2 169 - 25 13 | = 13, pak nejmenší hodnota je 12.

c) Z předchozího bodu vyplývá, že Sn pozitivně od n= 13. Od S n = 2n 2 – 25n = n(2n- 25), pak zřejmý případ, kdy je tento výraz dokonalým čtvercem, je realizován, když n = 2n- 25, tedy v NS= 25.

Zbývá zkontrolovat hodnoty od 13 do 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 2321, S 24 = 24 23.

Ukazuje se, že pro menší hodnoty NS není dosaženo plného čtverce.

Odpovědět: A) a n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

* Od května 2017 je společná nakladatelská skupina „DROFA-VENTANA“ součástí korporace „Učebnice ruštiny“. Součástí společnosti je také vydavatelství Astrel a digitální vzdělávací platforma LECTA. Alexander Brychkin, absolvent Finanční akademie při vládě Ruské federace, Ph.D. v oboru ekonomie, vedoucí inovativních projektů vydavatelství DROFA v oblasti digitálního vzdělávání (elektronické formy učebnic, Ruská elektronická škola, digitální vzdělávací platforma LECTA) byl jmenován generálním ředitelem. Před nástupem do vydavatelství DROFA zastával pozici viceprezidenta pro strategický rozvoj a investice vydavatelského holdingu EKSMO-AST. Vydavatelská společnost Russian Textbook má dnes největší portfolio učebnic zařazených do federálního seznamu - 485 titulů (přibližně 40%, bez učebnic pro nápravná škola). Nakladatelství korporace vlastní nejžádanější sady učebnic na ruských školách o fyzice, kreslení, biologii, chemii, technice, zeměpisu, astronomii - oblastech znalostí, které jsou potřebné k rozvoji produkčního potenciálu země. Portfolio korporace zahrnuje učebnice a tutoriály pro základní škola udělil prezidentskou cenu ve školství. Jedná se o učebnice a příručky z oborů, které jsou nezbytné pro rozvoj vědeckého, technického a výrobního potenciálu Ruska.

Tento článek představuje analýzu úloh 9-12 části 2 USE v matematice na profilové úrovni od tutora matematiky a fyziky. Video tutoriál lektora s rozborem navržených úkolů obsahuje podrobné a srozumitelné komentáře ke každému z nich. Pokud jste se právě začali připravovat na zkoušku z matematiky, může se vám tento článek hodit.

9. Najděte smysl výrazu

Pomocí vlastností logaritmů, se kterými se můžete podrobně seznámit ve výše uvedeném nebo ve video tutoriálu, transformujeme výraz:

10. Kyvadlo pružiny kmitá s periodou T= 16 s. Závěsné závaží m= 0,8 kg. Rychlost pohybu nákladu se v průběhu času mění v souladu se vzorcem ... V tomto případě m/s. Definující vzorec pro kinetickou energii (v joulech) má tvar:, kde m odebráno v kilogramech - v metrech za sekundu. Jaká je kinetická energie zátěže v joulech 10 s po startu? oscilační pohyb?

Rychlost pohybu břemene 10 s po začátku kmitavého pohybu bude rovna:

Pak se kinetická energie v tomto okamžiku bude rovnat:

J.

Nech být X- cena jednoho bonbonu a y- cena čokoládové tyčinky. Pak 6 lízátek má hodnotu 6 X a 2 % nákladů na čokoládovou tyčinku se rovná 0,02 y... Protože je známo, že 6 bonbonů je o 2 % levnější než čokoládová tyčinka, platí první rovnice: 6 X + 0,02y = y, od kterého to získáváme X = 0,98/6 y = 98/600 y = 49/300 y... Na druhou stranu, 9 lízátek stojí 9 X, tedy 9 49/300 y = 49/300 y = 1,47 y... Úkolem je určit, o jaké procento 1,47 y více než y... Li y je 100 %, pak 1,47 y je 1,47 * 100 % = 147 %. Tedy 1,47 y více než y o 47 %.

12. Najděte minimální bod funkce.

1) ODZ je dáno nerovností: title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="23" width="106" style="vertical-align: -5px;"> (так выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть больше нуля), откуда получаем, что .!}

2) Hledáme derivaci funkce. Podrobný příběh o tom, jak se počítá derivace této funkce, najdete ve videu výše. Derivace funkce je:

3) Hledání hodnot X pro které je derivace 0 nebo neexistuje. Neexistuje, protože v tomto případě jmenovatel zmizí. Derivát se vynuluje, když.

Vlak odjížděl z Petrohradu ve 23 hodin 50 minut (moskevského času) a do Moskvy dorazil v 7 hodin 50 minut následujícího dne. Kolik hodin vlak jel?

- Umět využít získané znalosti a dovednosti v praxi i běžném životě.
- Analyzovat reálná číselná data; provádět praktické výpočty podle vzorců, v praktických výpočtech používat odhad a odhad.
Jednoduše řečeno, umět se rozhodnout slovní úlohy , který je úkol 1 část 1.
Problémy tohoto typu jsou různé a jsou podrobně uvedeny na stránce "matematik".

Při přípravě na zkoušku potřeba opakovat následující témata:

• Celá čísla.
• Zlomky, procenta, racionální čísla.
• Aplikace matematických metod pro řešení smysluplných problémů z různé oblasti věda a praxe.

Textové úlohy v demo verzi zkoušky najdete také v úkolu 13. První úkol však obsahuje ty nejjednodušší z nich - ty, které lze vyřešit v obyčejný životúčty téměř každý den.
Pojďme analyzovat několik takových úloh z banky úloh FIPI a postupně zvažovat následující typy:

Tato aktivita je zaměřena na schopnost využívat matematické znalosti v reálný život... Popsat různé vztahy mezi veličinami pomocí funkcí, tabulek a grafů a interpretovat je; extrahovat informace prezentované v tabulkách, diagramech, grafech.

Na obrázku tečky ukazují průměrnou teplotu vzduchu v Soči pro každý měsíc v roce 1920. Čísla měsíců jsou zobrazena vodorovně; vertikální - teplota ve stupních Celsia. Pro přehlednost jsou body spojeny úsečkou.

Kolik měsíců byla průměrná teplota nad 18 stupňů Celsia?

V minulých letech existovaly dva úkoly, které měly tyto dovednosti otestovat. V jednom z nich byl kladen důraz na grafické prvky (diagramy, grafy), ve druhém na tabulky. Od roku 2016 jsou pro profilovou úroveň obě témata spojena v jednom úkolu. Zároveň jsou vyloučeny ty úlohy, ve kterých analýza tabulkových dat vyžaduje poměrně velké množství jednoduchých výpočtů, a to sčítání několika desetinná čísla ve sloupci. To se provádí proto, aby zkoušející mohli racionálněji využívat svůj čas - méně za něj utrácet jednoduché úkoly a více pro úkoly zvýšené a vysoká úroveň potíže.

Na kostkovaném papíře je vyobrazen trojúhelník o velikosti buňky 1 cm × 1 cm.

Najděte jeho oblast. Svou odpověď uveďte v cm2.

Ze vzdělávacího standardu vyplývá, že absolvent střední škola by měl:
- Umět provádět akce s geometrickými tvary, souřadnicemi a vektory.
- Řešit planimetrické úlohy k nalezení geometrických veličin (délky, úhly, plochy).

Problém 3 se věnuje testování těchto dovedností, tj. tohle je úkol z planimetrie ... Dovolte mi, abych vám to připomněl se nazývá planimetriečást elementární geometrie, ve které se studují vlastnosti útvarů ležících v rovině. Planimetrie je součástí středoškolského kurzu geometrie. Další její část, ve které jsou uvažovány prostorové obrazce, se nazývá stereometrie. V části úkolů s krátkou odpovědí je jí věnován úkol 8.

Chcete-li vyřešit problém 3, samozřejmě, potřeba opakovat

• definice a vlastnosti geometrické tvary že jsi studoval i ve škole
• základní vzorce z kurzu planimetrie.

Vzorce pro oblasti obdélníku, trojúhelníku, čtyřúhelníků, které jsou nezbytné pro řešení většiny úloh 3. úlohy, si můžete zopakovat právě teď, když přejdete na stránku tohoto webu pomocí odkazu

Demo verze Jednotná státní zkouška z profiluúrovni je ještě jedna úloha pro planimetrii (v roce 2018 její číslo 6). Témata těchto úkolů se samozřejmě částečně překrývají. Pro přípravu na úkol 3 navrhuji zvážit následující typy úkolů:

Problémy s oblastními vzorci. Úlohy pro čtvercové tvary na kostkovaném papíře. Úkoly pro oblast obrázku na rovině souřadnic. Problémy pojmu souřadnicová rovina. Vektorové úkoly.

Některé z nich však v skutečná verze Můžete se setkat již pod jiným číslem.

Řešení většiny ze 3 problémů jsou dočasně skryta. Na stránku se načtou později po kliknutí na odpovídající tlačítka odkazu. Buďte však opatrní v rozhodnutích úkoly jsou běžné kresby Blikat a JavaScript.

Ve sbírce biologických vstupenek je pouze 25 lístků. Pouze dva lístky obsahují otázku hub. Na zkoušce student získá jeden náhodně vybraný lístek z této kolekce. Najděte pravděpodobnost, že tento lístek bude mít otázku o houbách.

Odpověď: 0,08

Vzdělávací standard znamená, že absolvent střední školy musí:
- Být schopen sestavit a prozkoumat nejjednodušší matematické modely.
V tomto případě přichází to na modelování náhodných jevů. Konkrétně o využití prvků teorie pravděpodobnosti při řešení aplikovaných problémů.

K vyřešení většiny úloh 4. úlohy stačí opakovat klasická definice pravděpodobnost události : pravděpodobnost události A je zlomek P (A) = m / n , v jehož čitateli je číslo m základní události, příznivý událost A a ve jmenovateli n - číslo ze všech elementární události.

Odvolej to základní jsou volány události, které jsou párově nekompatibilní a stejně možné. V jiných učebnicích jsou také tzv výsledek testu.

Z hlediska matematických operací je tedy tento problém vyřešen v jedné akci, je extrémně jednoduchý.
A zároveň je to dost těžké, protože to vyžaduje velmi pečlivý rozbor „každodenní“ situace dané za podmínky, že

• identifikovat elementární události,
• zvýraznit příznivé
• nenechte si ujít žádný ze všech možných výsledků
• a nezahrnují žádné nadbytečné.

To se můžete naučit pouze v procesu řešení problémů, postupně přecházet od velmi jednoduchých ke složitějším.
Pokuste se vyřešit několik problémů v tomto pořadí. Pokud máte stále potíže s počítáním elementárních událostí (možné výsledky, možnosti rozvoje atd.), zopakujte si část matematiky zvanou kombinatorika. Chcete-li to provést, můžete sledovat odkazy a

Najděte kořen rovnice 3 X − 5 = 81 .

Vzdělávací standard znamená, že absolvent střední školy musí:
- Umět řešit racionální, iracionální, exponenciální, goniometrické a logaritmické rovnice, jejich soustavy.

Úkol 5 věnovaný řešení jednoduché rovnice... Tito. rovnice s jednou proměnnou, obvykle označované symbolem NS, pro jejichž řešení nejsou vyžadovány významné algebraické transformace.

Absolvent střední školy musí umět simulovat reálné situace v jazyce geometrie, stavět a zkoumat modely pomocí geometrických pojmů a vět a řešit praktické úlohy spojené s hledáním geometrických veličin (délky, úhly, plochy). Ovládání těchto dovedností je věnováno úkol 6 ... Další úkol z planimetrie.

Trojúhelník ABC vepsané do kruhu se středem Ó... Injekce BAC se rovná 32°. Najděte roh BOC... Uveďte svou odpověď ve stupních.

Chcete-li úspěšně dokončit tento úkol, zopakujte definice a vlastnosti následujících ploché postavy

1. Trojúhelník
2. Čtyřúhelníky, zejména rovnoběžník, obdélník, kosočtverec, čtverec, lichoběžník.
3. Mnohoúhelníky, zejména pravidelné mnohoúhelníky.
4. Kruh a kružnice, včetně vepsaných a opsaných kružnic mnohoúhelníku.
5. Plocha trojúhelníku, rovnoběžníku, lichoběžníku, kruhu, sektoru.

Chcete -li rychle otestovat své znalosti těchto témat, můžete
Vzorce můžete opakovat pro oblasti plochých obrazců

Obrázek ukazuje graf diferencovatelné funkce y = f(X). Na přímce je vyznačeno devět bodů: X 1 , X 2 , ..., X 9 .

Najděte všechny označené body, ve kterých je derivace funkce F(X) je negativní. V odpovědi uveďte počet těchto bodů.

Ze vzdělávacího standardu vyplývá, že absolvent střední školy musí být schopen výkonu akce s funkcemi :
- určit hodnotu funkce hodnotou argumentu různými způsoby definování funkce;
- popsat chování a vlastnosti funkcí podle plánu;
- najít největší a nejmenší hodnoty podle funkčního grafu;
- vytvořit grafy studovaných funkcí.

Důležitou roli při studiu funkce hraje její derivace.

Problém 7 kontroluje, jak je absolvent obeznámen koncept derivace funkce, geometrický a fyzikální význam derivace.

1. Úkoly pro určení charakteristik grafové derivace funkce.
2. Úkoly pro určení charakteristik funkce z grafu její derivace.
Problémy geometrického významu derivace. Úlohy pro fyzikální význam derivace.

Řešení většiny úloh 7. úlohy jsou dočasně skryta. Na stránku se načtou později po kliknutí na odpovídající tlačítka odkazu. Navíc mnoho problémů, stejně jako některá řešení, obsahují obrázky. Počkejte, až se stránka načte.

V první válcové nádobě dosahuje hladina kapaliny 16 cm. Tato kapalina byla nalita do druhé válcové nádoby, jejíž průměr základny je 2krát větší než průměr základny první. V jaké výšce bude hladina kapaliny ve druhé nádobě? Odpověď vyjádřete v cm.

Vzdělávací standard znamená, že absolvent střední školy musí:
- umět řešit nejjednodušší stereometrické problémy zjišťovat geometrické veličiny (délky, úhly, plochy, objemy), využívat planimetrická fakta a metody při řešení stereometrických úloh.

V úkolu 8 opravdu jen v úvahu nejjednodušší prostorová tělesa , je -li rovnoběžnostěnný, pak obdélníkový, je -li pyramidový, pak pravidelný. V těchto případech se úkol snadno redukuje na planimetrii.

Podívejme se na několik úkolů z federální banky úkolů a seskupíme je podle typu těla. vlastnosti těchto těles .

Řešení většiny úkolů 8. úkolu jsou dočasně skryta. Na stránku se načtou později po kliknutí na odpovídající tlačítka odkazu. Buďte však opatrní v rozhodnutích úkoly jsou běžné kresby , počkejte, až budou plně nabité. Pokud se něco nenačte, zkontrolujte, zda je to ve vašem prohlížeči povoleno Blikat a JavaScript.

Najděte sin 2α, pokud cos α = 0,6 a π

Odpověď: -0,96

Toto přiřazení vyžaduje schopnost provádět výpočty a transformace. Sada úloh na toto téma v bance úloh USE je velmi široká a pestrá: od čistě aritmetických operací až po stupně s racionálními exponenty a logaritmy. Znalost zkrácených vzorců pro násobení bude velkou pomocí při řešení většiny těchto problémů. Také by neškodilo zopakovat vlastnosti stupňů a logaritmů, definici modulu (absolutní hodnoty) čísla.

Tento úkol prověří vaši schopnost řešit aplikované úkoly, včetně socioekonomické a fyzické povahy. Algoritmus pro jeho řešení je obecně jednoduchý - musíte pečlivě dosadit daná čísla do vzorce, zadat podobné výrazy, pokud existují, pak vyřešit rovnici, ve které požadovaný parametr působí jako neznámá veličina. Chyby mohou být spojeny především s nepozorným čtením zadání úlohy, stejně jako s „složitostí“ řešení rovnic a nerovnicemi v zápisu proměnných a neznámé veličiny, což je pro matematiku neobvyklé.

Lokátor batyskafu, neustále klesající svisle dolů, vysílá ultrazvukový signál o frekvenci 749 MHz. Přijímač zaznamenává frekvenci signálu odraženého od dna oceánu. Rychlost potopení batyskafu (v m / s) a frekvence jsou závislé na poměru

proti = C · F − F 0 ____ F + F 0 ,

Kde C= 1500 m / s - rychlost zvuku ve vodě; F 0 je frekvence vysílaného signálu (v MHz); F je frekvence odraženého signálu (v MHz). Najděte frekvenci odraženého signálu (v MHz), pokud je batyskaf ponořen rychlostí 2 m/s. Odpověď: 751

Chcete-li získat správné odpovědi, musíte si také procvičit převod výrazů, které zahrnují aritmetické operace. Bohužel v problémech tohoto typu nejsou aritmetické chyby méně časté než logické chyby.

Na jaře se loď vydává proti proudu řeky v 1 2 _ 3 krát pomaleji než po proudu. V létě se proud zpomalí o 1 km/h. Proto v létě loď jede proti proudu 1 1 _ 2 krát pomalejší než po proudu. Najděte rychlost proudu na jaře (v km / h).

Úkol 11 jako úkol 1 je textový úkol o využití matematických metod pro řešení smysluplných problémů z různých vědních oborů a praxe. Jednoduše řečeno, aplikace matematiky v různých životních situacích, jen o něco složitější než v předchozím případě. Zvažování tohoto typu úloh by proto mělo být zahájeno až po rozebrání všech typů. úkol 1.

Složitost situací nejčastěji spočívá ve skutečnosti, že konečné (pozorovatelné) výsledky procesu jsou známy lépe než počáteční podmínky. V takových případech se k označení neznámých počátečních veličin obvykle používají symboly a problém se redukuje na řešení algebraických rovnic nebo soustav rovnic.

Tak, vzdělávací standard znamená, že absolvent střední školy musí být schopen:
- Simulovat reálné situace v jazyce algebry, sestavovat rovnice a nerovnice podle stavu problému; prozkoumejte sestrojené modely pomocí algebraického aparátu.

Při přípravě na zkoušku potřeba opakovat následující témata:

• Ekvivalence rovnic, soustavy rovnic.
• Metody řešení racionálních rovnic.
• Metody řešení soustav rovnic.
• Interpretace výsledku s přihlédnutím ke skutečným omezením.

Sada úkolů pro úlohu 11 na oficiálních stránkách FIPI je velmi rozmanitá. Jsou tam úkoly pro pohyb, pro tok řeky, pro zajímavost, pro průměrná rychlost, o roztokech a slitinách, o produktivitě práce a "produktivitě potrubí" ... Nechtěl bych je ale takto klasifikovat. To se dělo na základní a střední škole, když jste měli méně životní zkušenost a absolutně neexistoval nápad, jak formalizovat situaci popsanou v prohlášení o problému. Nyní jste zestárli, některé dovednosti jsou již uloženy hluboko ve vašem podvědomí, takže se nemusíte snažit zapamatovat si doslova a do písmene, například metody řešení úloh pro pohyb, měli byste se snažit sestavit řešitelnou rovnici nebo systém , opírám se o vše, co víte o pohybu z fyziky, matematiky, vlastní zkušenosti ...

Stejně tak je zbytečné třídit metodami řešení. Takové úkoly se řeší různými způsoby. Cokoli, co lze vyřešit systémem, lze vyřešit jednou rovnicí. Cokoli, co lze vyřešit rovnicí, lze vyřešit i bez ní. Cokoli lze vyřešit krátce, lze vyřešit dlouho a naopak. X + 7.

Odpověď: -5

Pokud jste již vyřešili úlohu 7, pak jste se ujistili, že derivace charakterizuje tvar (zvýšení nebo snížení) a rychlost změny funkce.
Proto se derivace široce používá k určení takových charakteristik funkce, jako jsou její extrémy.
Připomeňme si, že pojem „extrémum“ kombinuje pojmy maxima a minima funkce. (Poslechněte si slova hlasatele, když čte předpověď počasí. Pokud jde o extrémní teploty v zimě, chápeme, že budou silné mrazy. Ale pokud se to stane v létě, pak očekáváme velmi horké dny.)

Tématu hledání extrémů je věnováno úkol 12 USE 2018 v matematice úroveň profilu ... Technicky jsou všechny varianty tohoto problému řešeny stejným způsobem:
- musíte najít derivaci funkce,
- pak kritické body derivace, tzn. ty hodnoty argumentu, pro které je derivace 0 nebo neexistuje,
- a nakonec určete znaménka derivace v okolí kritické body ujistit se, že extrémy existují a určovat jejich vzhled.

Jak je tento algoritmus implementován, můžete vidět např.

Nezapomeňte si zopakovat základní elementární funkce a také ty, které se vyskytují při výpočtu derivace a jak s nimi zacházet.

U zkoušky si však dejte velký pozor na formulaci zadávací otázky. V pojmech existují značné rozdíly - extrémní bod, extrémní hodnota a největší nebo nejmenší hodnota funkce v segmentu.

Přejít na řešení problémů:

Problémy hledání extrémních bodů funkce.
Problémy hledání extrémů funkce.
Úkoly k určení největší (nejmenší) hodnoty funkce na segmentu.

Překontrolovat Demonstrační verze USE 2018 v matematice.

Úkoly na úrovni profilu, jako dříve rozdělena na dvě části. První je zhruba stejně složitý jako v základní verzi, druhý obsahuje úkoly zvýšené a vysoké úrovně složitosti.
Celkem demoverze roku 2018 obsahuje 19 úkolů: úkoly 1-8 základního stupně obtížnosti s krátkou odpovědí ve tvaru celého čísla nebo koncového desetinného zlomku, úkoly 9-12 zvýšeného stupně obtížnosti s krátkým odpověď stejného typu, úkoly 13-19 vyšší a vyšší obtížnosti s podrobnou odpovědí.

Řešení si můžete procvičit zde úkoly úrovně profilu s krátkou odpovědí .

Chcete-li zobrazit obsah základní zkoušky, přejděte na interaktivní stránku.
Chcete -li si procvičit řešení úkolů na úrovni profilu s podrobnou odpovědí, přejděte do sekce

Výběrem číslo práce na kartě vlevo se podívejte na příklad tohoto přiřazení z Demonstrace verze zkoušky v matematice 2018. Přečtěte si, o jaký typ zadání se jedná, jakými tématy se zabývá a co je potřeba zopakovat. Nezapomeňte na úkoly demo verze neodrážejí všechny možné problémy s obsahem možnost vyšetření ... Chcete-li vidět příklady podobných problémů, které byly uvedeny ve zkouškách minulých let a lze je zahrnout do materiálů ke zkoušce v roce 2018, vyhledejte požadovanou sekci v obsahu úloh a klikněte na odkaz.

Ve všech částech jsou úkoly opatřeny odpověďmi a řešeními. U většiny úkolů je však řešení dočasně skryto a načte se pro každý úkol samostatně postupným stisknutím tlačítek na žlutém pozadí. Není třeba spěchat, abyste se podívali na hotové řešení! Více účinná příprava nejprve se pokuste problém vyřešit sami a teprve poté můžete stisknutím zeleného tlačítka porovnat odpověď a žlutého pro odhalení mého řešení. Pokud vaše řešení není stejné jako moje, nemusí být nutně špatné. Linie uvažování může být různá, hlavní je, že vede ke správné odpovědi. Nezapomeňte – v prvních 12 USE přiřazení 2018 jsou kontrolovány pouze odpovědi.

Složíme zkoušku z matematiky? Snadno!

autor Bagmenova T. A. učitel matematikyStřední škola MBOU č. 14, Novočerkassk, Rostovský kraj.

Při řešení úloh na použití derivace v přípravě na zkoušku člověk narazí velká rozmanitostúkoly, což vyžaduje rozdělení úkolů do skupin doprovodem teoretický materiál na téma "Derivace".

Zvažte příklady úkolů číslo 7 na téma "Derivace" úrovně profilu v matematice a rozdělte je do skupin.

1 . Nechť je funkce f (x) spojitá na segmentu [ A ; b ] a diferencovatelné na intervalu (a; b). Pokud je potom derivace funkce větší než nula pro všechna x patřící do [ A ; b ], pak se funkce zvýší o [ A ; b ], a pokud je derivace funkce menší než nula, pak na tomto intervalu klesá.

Příklady:

1)

Řešení.

V bodech a bodech funkce klesá, proto je derivace funkce v těchto bodech záporná.

Odpověď: 2.

2)

Řešení.

Na intervalech (-2; 2), (6; 10) je derivace funkce záporná a v důsledku toho funkce na těchto intervalech klesá. Délka obou mezer 4.

Odpověď: 4.

3)

Řešení.

Na intervalu je derivace funkce kladná, následná funkce na tomto intervalu roste, proto funkce nabývá nejmenší hodnoty v bodě 3.

Odpověď: 3.

4)

Řešení.

Na intervalu [-2;3] je derivace funkce záporná, následně funkce na tomto intervalu klesá, proto funkce nabývá největší hodnoty v bodě -2.

Odpověď: -2.

2 . Jestliže v bodě derivace funkce změní své znaménko z "-" na "+", pak je to minimální bod funkce; pokud v bodě derivace funkce změní znaménko z "+" na "-", pak je to maximální bod funkce.

Příklad:

Řešení.

V bodě x = 3; x = 13 derivace funkce změní své znaménko z "-" na "+", proto se jedná o minimální body funkce.

Odpověď: 2.

3. Podmínka ( X ) = 0 je nutná podmínka pro extrém diferencovatelné funkce F ( X ). Protože v průsečíkech grafu derivace funkce s osou Ox je derivace funkce rovna nule, pak jsou tyto body extrémními body.

Příklad:

Řešení.

Body průniku grafu derivace funkce s osou Ox v daném intervalu 4, odtud extrémní body 4.

Odpověď: 4.

4 . Derivace funkce je rovna nule v extrémních bodech funkce. V tomto problému se jedná o body, kde funkce přechází z rostoucí na klesající nebo naopak.

Příklad:

Řešení.

Derivace je v bodech nulová.

Odpověď: 4.

5. Najděte hodnotu derivace funkce v bodě, to znamená najít tečnu úhlu sklonu tečny k ose Ox nebo k přímce rovnoběžné s osou Ox. Pokud je úhel sklonu tečny k ose Ox ostrý, pak je tečna úhlu kladná, pokud je úhel sklonu tečny k ose Ox tupý, pak je tečna úhlu záporná.

Příklad:

Řešení.

Postavme pravoúhlý trojúhelník, ve kterém bude přepona ležet na tečně a jedna z ramen leží na ose Ox nebo na přímce rovnoběžné s osou Ox, pak spočítáme délky ramen a vypočítáme tangens ostrého úhlu pravoúhlý trojuhelník... Protější rameno je 2, sousední rameno je 8, proto je tečna ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku 0,25. Úhel sklonu tečny k ose Ox je tupý, proto je tečna úhlu sklonu tečny záporná, proto je hodnota derivace funkce v bodě -0,25.

Odpověď: - 0,25.

6. 1) Sklony rovnoběžných čar jsou stejné.

2) Hodnota derivace funkce F ( X y = F ( X ) na místě (; F ()).

Příklad.

Řešení.

Sklon přímky je 2. Odhodnota derivátuF( X) v bodě se rovná sklonu tečny ke grafu funkcey= F( X) na místě (;F()), pak najdeme body, ve kterých je derivace funkceF( X) se rovná 2.Na tomto grafu jsou 4 takové body. Proto počet bodů, ve kterých je tečna ke grafu funkceF( X) je rovnoběžná s touto přímkou ​​nebo se s ní rovná 4.

Odpověď: 4.

Použité knihy:

Kolyagin Yu.M., Tkacheva MV, Fedorova N. Ye. et al. Algebra a začátek matematické analýzy (základní a pokročilá úroveň). 10 tř. - Osvícení. 2014

Jednotná státní zkouška: 4000 úloh s odpověďmi v matematice. Všechny úkoly "Uzavřený segment". Základní a profilová úroveň. Editoval I. V. Yashchenko. - M .: Nakladatelství "Zkouška", - 2016.-640.