Побудова трикутника за трьома елементами. Побудова трикутника за трьома елементами Побудова трикутника за трьома сторонами

Клас: 7

Цілі уроку:

• максимально донести до учнів матеріал, що вивчається;
• розвивати мислення, пам'ять, вміння вільно користуватися циркулем;
• спробувати підвищити активність та самостійність учнів під час виконання завдань.

Обладнання:

• шкільний циркуль
• транспортир,
• лінійка,
• картки для самостійної роботи.

ХІД УРОКУ

Тема уроку: "Завдання на побудову".

Сьогодні ми будемо вчитися будувати трикутники за трьома заданими елементами за допомогою циркуля та лінійки.

Щоб побудувати трикутник, потрібно спочатку вміти будувати відрізок, що дорівнює заданому, і кут, що дорівнює заданому. Звичайно, можна це зробити за допомогою лінійки з поділами та транспортиром, але в математиці потрібно ще й вміти виконувати побудови за допомогою циркуля та лінійки без поділів.

Будь-яке завдання на побудову включає чотири основні етапи:

• аналіз;
• побудова;
• Доведення;
• Вивчення.

Аналіз та дослідження завдання необхідні так само, як і сама побудова. Необхідно подивитися, у яких випадках завдання має рішення, а яких – рішення немає.

1. Побудова відрізка, що дорівнює заданому.

2. Будуємо кут, що дорівнює заданому, за допомогою циркуля та лінійки.

А ось тепер перейдемо до побудови трикутників за трьома елементами.

3. Побудова трикутника з обох боків та куту між ними.

Схема №3.

Дано	Потрібно збудувати	Побудова
1. Побудувати кут А, що дорівнює заданому куту. 2. На одній стороні кута відзначити точку С так, щоб відрізок АС дорівнював заданому відрізку b. 3. На іншій стороні кута відзначити точку В так, щоб відрізок АВ дорівнював заданому відрізку с. 4. З'єднати за допомогою лінійки точки В та С. Побудовано трикутник АСВ з обох боків та кута між ними.

Самостійна робота до схеми 3.

Варіант 1.

Побудувати трикутник ВСН, якщо ВС = 3 см, СН = 4 см, С = 35є.

Варіант 2.

Побудувати трикутник СДЕ, у якого ДС = 4 см, ДЕ = 5 см, Д = 110є.

Підказка. Перед побудовою трикутника необхідно зробити від руки креслення трикутника, де показані всі задані елементи.

4. Побудова трикутника по стороні і кутів, що прилягають до неї.

Дано	Потрібно збудувати	Побудова
1. Довільно накреслити відрізок АВ, що дорівнює заданому відрізку c. 2. Побудувати кут А, що дорівнює заданому. 3. Побудувати кут, рівний заданому. Точка перетину двох сторін кутів А та В – вершина трикутника С. Побудували трикутник АСВ на стороні та двох заданих кутах.

Самостійна робота до схеми 4.

Варіант 1

Побудувати трикутник КМО, якщо КЗ = 6 см, К = 130є, О = 20є.

Варіант 2

Побудувати трикутник ВСР, якщо С = 15є, Д = 50є, ЦД = 3 см.

5. Побудова трикутника з трьох сторін.

Дано Після побудови будь-якого трикутника, самостійно провести доказ того, що трикутник - шуканий, і по можливості провести дослідження.

Картинка 3 із презентації «Трикутник 2»до уроків геометрії на тему «Трикутник»

Розміри: 720 х 540 пікселів, формат: jpg. Щоб безкоштовно скачати картинку для уроку геометрії, клацніть правою кнопкою мишки на зображенні і натисніть «Зберегти зображення як...». Для показу картинок на уроці Ви також можете безкоштовно скачати презентацію «Трикутник 2.ppt» повністю з усіма картинками у zip-архіві. Розмір архіву – 16 КБ.

Завантажити презентацію

Трикутник

"Вектори в просторі" - Вектори спрямовані. k (a + b) = ka + kb - перший розподільчий закон. a+b=b+a (переміщувальний закон). Умноження вектора на число. Вектор – це спрямований відрізок. Вектори в просторі. Сонаправленные вектори - це вектори, мають один напрям. Якщо вектори сонаправлены та його довжини рівні, ці вектори називаються рівними.

"Кут між векторами" - Координати векторів. Напрямний вектор прямий. Візуальний розбір завдань із підручника. Введення системи координат. Розглянемо напрямні прямих D1B та CB1. Як знаходять відстань між точками? Знайти кут між прямими ВD та CD1. Кут між прямими АВ та CD. Кут між векторами. Як знаходять координати середини відрізка?

"Великі математики" - Запропонована Декартом система координат отримала його ім'я. Декарт висловив закон збереження кількості руху, дав поняття імпульсу сили. «Метод» (або «Ефод») та «Правильний семикутник». Лейбніц Готфрід Вільгельм. Келдиш Мстислав Всеволодович. Ісаак Ньютон. Піфагор Самоський. Ступінь доктора Гаус отримав в 1799 в університеті Хельмштедта.

«Математика як наука» - Конкурс "Рахункова машина". Математика та історія - дві нерозривні галузі знання. Жуковський Микола Єгорович. Соболєв народився 22 жовтня 1793 р. Нижегородської губернії. Любачевський - професор Московського університету та Імператорського технічного училища. Ребуси. Леонард Ейлер. Чисельник. Батьки Александрова були шкільними вчителями.

«Ознаки рівності трикутників» - Будь-який трикутник має три медіани. Рівносторонній та рівнобедрений трикутник. Трикутник – найпростіша плоска фігура. Трикутник. Висота трикутника. Ознаки рівності трикутників. Вивчення трикутника породило науку – тригонометрію. Будь-який трикутник має три висоти. Перпендикуляр, проведений із вершини трикутника до прямої.

"Функція синус" - Графік заходу Сонця. Дата. Процес заходу Сонця описується тригонометричною функцієюсинус. Середнє час заходу Сонця – 18ч. За допомогою відривного календаря неважко відзначити момент заходу Сонця. Ціль. Висновки. Час. Сонячний захід. Різноманітна тригонометрія.

Всього у темі 42 презентації

Представляємо вашій увазі відеоурок на тему «Побудова трикутника за трьома елементами». Ви зможете вирішити кілька прикладів із класу завдань на побудову. Вчитель докладно розбере завдання побудувати трикутника за трьома елементами, і навіть нагадає теорему про рівність трикутників.

Ця темамає широке практичне застосуванняТому розглянемо деякі типи розв'язання задач. Нагадаємо, що будь-які побудови виконуються виключно за допомогою циркуля та лінійки.

Приклад 1:

Побудувати трикутник по обидва боки і кут між ними.

Дано: Припустимо, аналізований трикутник виглядає так

Рис. 1.1. Аналізований трикутник, наприклад, 1

Нехай задані відрізкибудуть з і а, а заданий кут буде

Рис. 1.2. Задані елементи, наприклад, 1

Побудова:

Спочатку слід відкласти кут 1

Рис. 1.3. Відкладений кут 1 приклад 1

Потім на сторонах даного кута відкладаємо циркулем дві дані сторони: заміряємо циркулем довжину сторони аі поміщаємо вістрі циркуля у вершину кута 1, а іншою частиною робимо насічку на стороні кута 1. Аналогічну процедуру проробляємо зі стороною з

Рис. 1.4. Відкладені сторони аі зНаприклад 1

Потім з'єднуємо отримані насічки, і ми отримаємо шуканий трикутник АВС

Рис. 1.5. Побудований трикутник АВС наприклад 1

Чи буде цей трикутник рівний передбачуваному? Буде, адже елементи отриманого трикутника (дві сторони та кут між ними) відповідно дорівнюють двом сторонам та куту між ними, даним в умові. Тому за першою властивістю рівності трикутників - шуканий.

Побудова виконана.

Примітка:

Нагадаємо, як відкласти кут, що дорівнює цьому.

Приклад 2

Відкласти від даного променя кут, що дорівнює даному. Задано кут А та промінь ОМ. Побудувати.

Побудова:

Рис. 2.1. Умова прикладу 2

1. Побудувати коло Окр(А, r = AB). Точки В і С є точками перетину зі сторонами кута А

Рис. 2.2. Рішення на приклад 2

1. Побудувати коло Окр(D, r = CB). Точки E та M - є точками перетину зі сторонами кута А

Рис. 2.3. Рішення на приклад 2

1. Кут МОЄ - шуканий, тому що .

Побудова виконана.

Приклад 3

Побудувати трикутник АВС по відомій стороні та двом прилеглим до неї кутам.

Нехай аналізований трикутник виглядає так:

Рис. 3.1. Умова прикладу 3

Тоді задані відрізки виглядають таким чином

Рис. 3.2. Умова прикладу 3

Побудова:

Відкладемо кут на площині

Рис. 3.3. Рішення на приклад 3

Відкладемо на стороні даного кута довжину сторони а

Рис. 3.4. Рішення на приклад 3

Потім відкладемо від вершини З кут. Незагальні сторони кутів γ і α перетинаються у точці А

Рис. 3.5. Рішення на приклад 3

Чи є побудований трикутник шуканим? Є, оскільки сторона і два прилеглих до неї кута побудованого трикутника відповідно дорівнюють стороні і куту між ними, даних в умові

Шуканий за другою ознакою рівності трикутників

Побудова виконана

Приклад 4

Побудувати трикутник по 2 катетам

Нехай аналізований трикутник виглядає так

Рис. 4.1. Умова прикладу 4

Відомі елементи - катети

Рис. 4.2. Умова прикладу 4

Це завдання відрізняється від попередніх тим, що кут між сторонами можна визначити за замовчуванням - 90 0

Побудова:

Відкладемо кут, що дорівнює 90 0 . Робити це будемо так само, як показано в прикладі 2

Рис. 4.3. Рішення, наприклад, 4

Потім на сторонах даного кута відкладаємо довжини сторін аі b, даних за умови

Рис. 4.4. Рішення, наприклад, 4

В результаті отриманий трикутник - шуканий, адже його дві сторони та кут між ними відповідно дорівнюють двом сторонам та куту між ними, даними в умові

Зауважимо, що відкласти кут 90 0 можна, збудувавши дві перпендикулярні прямі. Як виконати це завдання, розглянемо в додатковому прикладі

Додатковий приклад

Відновити перпендикуляр до прямої р, що проходить через точку А,

Пряма р, і точка А, що лежить на даній прямій

Рис. 5.1. Умова додаткового прикладу

Побудова:

Спочатку виконаємо побудову кола довільного радіусу з центром у точці А

Рис. 5.2. Рішення до додаткового прикладу

Це коло перетинає пряму ру точках К і Е. Потім побудуємо два кола Окр(К, R = КЕ), Окр(E, R = КЕ). Дані кола перетинаються в точках С і В. Відрізок СВ - шуканий,

Рис. 5.3. Відповідь до додаткового прикладу

1. Єдина колекція цифрових освітніх ресурсів ().
2. Репетитор з математики ().

1. № 285, 288. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Е. Г., Юдіна І. І. за редакцією Тихонова А. Н. Геометрія 7-9 класи. М: Просвітництво. 2010 р.
2. Побудуйте рівнобедрений трикутник збоку і куту, що протилежить основі.
3. Побудуйте прямокутний трикутникз гіпотенузи та гострого кута
4. Побудуйте трикутник по куту, висоті та бісектрисі, проведеним з вершини даного кута.

Їх суть полягає в тому, щоб побудувати будь-який геометричний об'єкт за яким-небудь достатнім набором початкових умов, маючи під рукою тільки циркуль і лінійку. Розглянемо загальну схему до виконання таких задач:

Аналіз завдання.

У цю частину входить встановлення зв'язку між елементами, які необхідно побудувати та початковими умовами завдання. Після виконання цього пункту ми маємо з'явитися план щодо вирішення нашого завдання.

Побудова.

Тут ми виконуємо побудови за планом, складеним нами вище.

Доведення.

Тут ми доводимо те, що побудована нами фігура справді задовольняє початкові умови завдання.

Дослідження.

Тут ми з'ясовуємо, за яких даних завдання має одне рішення, за яких кілька, а за яких жодного.

Далі розглядатимемо завдання на побудову трикутників за різними трьома елементами. Тут ми не розглядатимемо елементарні побудови, таких як відрізок, кут і т.д. До цього моменту ці навички вже у Вас мають бути.

Побудова трикутника по обидва боки та кут між ними

Приклад 1

Побудуйте трикутник, якщо нам дано дві сторони та кут, що знаходиться між цими сторонами.

Аналіз.

Нехай нам дано відрізки $AB$ і $AC$ та кут $α$. Нам потрібно побудувати трикутник $ABC$ з кутом $C$ рівним $α$.

Складемо план побудови:

1. Приймаючи $AB$ за одну зі сторін кута, відкладемо від неї кут $BAM$, що дорівнює куту $α$.
2. На прямий $AM$ відкладемо відрізок $AC$.
3. З'єднаємо точки $B$ та $C$.

Побудова.

Побудуємо малюнок за складеним вище планом (рис. 1).

Доведення.

Дослідження.

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює $180^\circ$. Значить, якщо кут α буде більшим або дорівнює $180^\circ$, то завдання рішень не матиме.

В іншому випадку рішення є. Так як пряма $a$ - довільна пряма, таких трикутників буде нескінченна кількість. Але оскільки вони всі рівні між собою за першою ознакою, то вважатимемо, що вирішення цього завдання єдине.

Побудова трикутника з трьох сторін

Приклад 2

Побудуйте трикутник, якщо нам дано три його сторони.

Аналіз.

Нехай нам дані відрізки $AB$ і $AC$ і $BC$. Нам потрібно збудувати трикутник $ABC$.

Складемо план побудови:

1. Проведемо пряму $a$ та побудуємо на ній відрізок $AB$.
2. Побудуємо $2$ кола: перше з центром $A$ і радіусом $AC$, і друге з центром $B$ і радіусом $BC$.
3. З'єднаємо одну з точок перетину кіл (яка буде точкою $C$) з точками $A$ і $B$.

Побудова.

Побудуємо малюнок за складеним вище планом (рис. 2).

Доведення.

З побудови видно, що це початкові умови виконані.

Дослідження.

З нерівності трикутника ми знаємо, що будь-яка сторона має бути меншою від суми двох інших. Отже, коли така нерівність не виконується для вихідних трьох відрізків, завдання рішення не матиме.

Так як кола з побудови мають дві точки перетину, то ми можемо побудувати два такі трикутники. Але оскільки вони рівні між собою за третьою ознакою, то вважатимемо, що вирішення цього завдання єдине.

Побудова трикутника збоку і двох кутів, що прилягають до неї.

Приклад 3

Побудуйте трикутник, якщо нам дана одна сторона та кути $α$ і $β$, що прилягають до неї.

Аналіз.

Нехай нам дано відрізок $BC$ та кути $α$ та $β$. Нам потрібно побудувати трикутник $ABC$, де $∠B=α$, а $∠C=β$.

Складемо план побудови:

1. Проведемо пряму $a$ та побудуємо на ній відрізок $BC$.
2. Побудуємо у вершині $B$ до сторони $BC$ кут $∠K=α$.
3. Побудуємо у вершині $C$ до сторони $BC$ кут $∠M=β$.
4. З'єднаємо точку перетину (це і буде точка $A$) променів $∠K$ і $∠M$ з точками $C$ і $B$,

Побудова.

Побудуємо малюнок за складеним вище планом (рис. 3).

Доведення.

З побудови видно, що це початкові умови виконані.

Дослідження.

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює $180^\circ$, то, якщо $α+β≥180^\circ$ завдання рішень не матиме.

В іншому випадку рішення є. Так як кути можемо будувати з двох сторін, ми можемо побудувати два таких трикутники. Але оскільки вони рівні між собою за другою ознакою, то вважатимемо, що вирішення цього завдання єдине.