Знаходження координат середини відрізка: приклади, розв'язки. Координати та вектори. Вичерпний гід (2020) Формула знаходження координати середини вектора

Вектор – це величина, що характеризується своїм чисельним значенням та напрямком. Інакше кажучи, вектор – це спрямований відрізок. Становище вектора AB у просторі задається координатами точки початку вектора A і точки кінця вектора B. Розглянемо, як визначити координати середини вектора.

Інструкція

Для початку визначимося з позначеннями початку та кінця вектора. Якщо вектор записаний як AB, то точка A є початком вектора, А точка B - кінцем. І навпаки, для вектора BA точка B є початком вектора, А точка A - кінцем. Нехай нам заданий вектор AB з координатами початку вектора A = (a1, a2, a3) і кінця вектора B = (b1, b2, b3). Тоді координати вектора AB будуть такими: AB = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3), тобто. з координати кінця векторанеобхідно відняти відповідну координату початку вектора. Довжина вектора AB (або його модуль) обчислюється як корінь квадратний із суми квадратів його координат: | AB | = ?((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2).

Знайдемо координати точки, що є серединою вектора. Позначимо її літерою O = (o1, o2, o3). Знаходяться координати середини векторатак само, як координати середини звичайного відрізка, за такими формулами: o1 = (a1 + b1) / 2, o2 = (a2 + b2) / 2, o3 = (a3 + b3) /2. Знайдемо координати вектора AO: AO = (o1 – a1, o2 – a2, o3 – a3) = ((b1 – a1)/2, (b2 – a2)/2, (b3 – a3)/2).

Розглянемо приклад. Нехай дано вектор AB з координатами початку вектора A = (1, 3, 5) і кінця вектора B = (3, 5, 7). Тоді координати вектора AB можна записати як AB = (3 – 1, 5 – 3, 7 – 5) = (2, 2, 2). Знайдемо модуль вектора AB: | AB | =? (4 + 4 + 4) = 2 *? Значення довжини заданого векторадопоможе нам для подальшої перевірки правильності координат середини вектора. Далі знайдемо координати точки O: O = ((1 + 3) / 2, (3 + 5) / 2, (5 + 7) / 2) = (2, 4, 6). Тоді координати вектора AO розраховуємо як AO = (2 – 1, 4 – 3, 6 – 5) = (1, 1, 1).

Виконаємо перевірку. Довжина вектора AO =? (1 + 1 + 1) =? Згадаймо, що довжина вихідного векторадорівнює 2 *? 3, тобто. половина векторасправді дорівнює половині довжини вихідного вектора. Тепер розрахуємо координати вектора OB: OB = (3 - 2, 5 - 4, 7 - 6) = (1, 1, 1). Знайдемо суму векторів AO та OB: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Отже, координати середини векторабули знайдені правильно.

Корисна порада

Виконавши обчислення координат середини вектора, обов'язково виконайте хоча б найпростішу перевірку – порахуйте довжину вектора та порівняйте її із довжиною даного вектора.

У статті нижче будуть висвітлені питання знаходження координат середини відрізка за наявності як вихідні дані координат його крайніх точок. Але, перш ніж приступити до вивчення питання, запровадимо низку визначень.

Визначення 1

Відрізок- Пряма лінія, що з'єднує дві довільні точки, звані кінцями відрізка. Як приклад нехай це будуть точки A та B і відповідно відрізок A B .

Якщо відрізок A B продовжити в обидві сторони від точок A і B ми отримаємо пряму A B . Тоді відрізок A B – частина отриманої прямої, обмежена точками A і B . Відрізок A B поєднує точки A і B, що є його кінцями, а також безліч точок, що лежать між. Якщо, наприклад, взяти будь-яку довільну точку K , що лежить між точками A і B можна сказати, що точка K лежить на відрізку A B .

Визначення 2

Довжина відрізка- Відстань між кінцями відрізка при заданому масштабі (відрізку одиничної довжини). Довжину відрізка A B позначимо так: A B .

Визначення 3

Середина відрізка- Крапка, що лежить на відрізку і рівновіддалена від його кінців. Якщо середину відрізка A B позначити точкою C , то вірною буде рівність: A C = C B

Вихідні дані: координатна пряма O x і точки, що не збігаються на ній: A і B . Цим точкам відповідають дійсні числа x A та x B . Точка C – середина відрізка A B: необхідно визначити координату x C .

Оскільки точка C є серединою відрізка АВ, вірним буде рівність: | А З | = | З У | . Відстань між точками визначається модулем різниці їх координат, тобто.

| А З | = | З У | ⇔ x C - x A = x B - x C

Тоді можливі дві рівності: x C - x A = x B - x C і x C - x A = - (x B - x C)

З першої рівності виведемо формулу для координати точки C: x C = x A + x B 2 (напівсума координат кінців відрізка).

З другої рівності отримаємо: x A = x B що неможливо, т.к. у вихідних даних - незбігаючі точки. Таким чином, формула для визначення координат середини відрізка A B з кінцями A (x A) та B (x B):

Отримана формула буде основою визначення координат середини відрізка на площині чи просторі.

Вихідні дані: прямокутна система координат на площині О x y , дві довільні точки, що не співпадають, з заданими координатами A x A , y A і B x B , y B . Крапка C – середина відрізка A B . Необхідно визначити координати x C та y C для точки C .

Візьмемо для аналізу випадок, коли точки A та B не збігаються і не лежать на одній координатній прямій або прямій, перпендикулярній до однієї з осей. A x, A y; B x , B y і C x , C y - проекції точок A , B і C на осі координат (прямі О х та О y).

Відповідно до побудови прямі A A x , B B x , C C x паралельні; прямі також паралельні між собою. Сукупно з цим за теоремою Фалеса з рівності АС = С слідують рівності: А x С x = С x В x і А y С y = С y В y , і вони у свою чергу свідчать про те, що точка С x - середина відрізка А x x , а С y - середина відрізка А y В y . І тоді, спираючись на отриману раніше формулу, отримаємо:

x C = x A + x B 2 і y C = y A + y B 2

Цими формулами можна скористатися у випадку, коли точки A і B лежать на одній координатній прямій або прямій, перпендикулярній одній з осей. Проводити детальний аналіз цього випадку не будемо, розглянемо його лише графічно:

Резюмуючи все вище сказане, координати середини відрізка A B на площині з координатами кінців A (x A , y A) і B (x B , y B) визначаються як:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Вихідні дані: система координат x y z і дві довільні точки із заданими координатами A (x A , y A , z A) і B (x B , y B , z B) . Необхідно визначити координати точки C , що є серединою відрізка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z та C x , C y , C z - проекції всіх заданих точок на осі системи координат.

Відповідно до теореми Фалеса вірні рівності: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Отже, точки C x , C y , C z є серединами відрізків A x B x , A y B y , A z B z відповідно. Тоді, для визначення координат середини відрізка у просторі вірні формули:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Отримані формули можна застосовувати також у випадках, коли точки A і B лежать на одній з координатних прямих; на прямій, перпендикулярній до однієї з осей; в одній координатній площині або площині перпендикулярної однієї з координатних площин.

Визначення координат середини відрізка через координати радіус-векторів його кінців.

Формулу для знаходження координат середини відрізка також можна вивести відповідно до тлумачення алгебри векторів.

Вихідні дані: прямокутна декартова система координат O x y точки з заданими координатами A (x A , y A) і B (x B , x B) . Крапка C – середина відрізка A B .

Згідно геометричного визначеннядій над векторами вірною буде рівність: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C у разі – точка перетину діагоналей паралелограма, побудованого з урахуванням векторів O A → і O B → , тобто. точка середини діагоналей. Координати радіус-вектора точки дорівнюють координатам точки, тоді вірні рівності: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Виконаємо деякі операції над векторами в координатах та отримаємо:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Отже, точка C має координати:

x A + x B 2 , y A + y B 2

За аналогією визначається формула для знаходження координат середини відрізка у просторі:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Приклади розв'язання задач на знаходження координат середини відрізка

Серед завдань, що передбачають використання отриманих вище формул, зустрічаються, як і ті, в яких безпосередньо стоїть питання розрахувати координати середини відрізка, так і такі, що передбачають приведення заданих умов до цього питання: найчастіше використовується термін «медіана», що має на меті знаходження координат одного з кінців відрізка, і навіть поширені завдання на симетрію, вирішення яких загалом також має викликати труднощів після вивчення цієї теми. Розглянемо характерні приклади.

Приклад 1

Початкові дані:на площині – точки із заданими координатами А (- 7, 3) та В (2, 4). Необхідно знайти координати середини відрізка АВ.

Рішення

Позначимо середину відрізка A B точкою C . Координати її визначатимуться як напівсума координат кінців відрізка, тобто. точок A та B .

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Відповідь: координати середини відрізка АВ - 5 2 , 7 2 .

Приклад 2

Початкові дані:відомі координати трикутника АВС: А(-1,0), В(3,2), С(9,-8). Необхідно знайти довжину медіани АМ.

Рішення

1. За умовою завдання A M – медіана, отже M є точкою середини відрізка B C . Насамперед знайдемо координати середини відрізка B C , тобто. точки M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (-8) 2 = - 3

1. Оскільки тепер нам відомі координати обох кінців медіани (точки A та М), можемо скористатися формулою для визначення відстані між точками та порахувати довжину медіани А М:

A M = (6 - (-1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Відповідь: 58

Приклад 3

Початкові дані:у прямокутній системі координат тривимірного просторузаданий паралелепіпед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Задано координати точки C 1 (1 , 1 , 0) , а також визначено точку M , що є серединою діагоналі B D 1 і має координати M (4 , 2 , - 4) . Потрібно розрахувати координати точки А.

Рішення

Діагоналі паралелепіпеда мають перетин в одній точці, яка при цьому є серединою всіх діагоналей. Виходячи з цього твердження, можна мати на увазі, що відома за умовами завдання точка М є серединою відрізка АС 1 . Маючи формулу для знаходження координат середини відрізка в просторі, знайдемо координати точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M - x C 1 = 2 · 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M - y C 1 = 2 · 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Відповідь:координати точки А (7, 3, - 8).

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

У цій статті ми з тобою почнемо обговорення однієї палички-виручалочки, яка дозволить тобі звести багато завдань з геометрії до простої арифметики. Ця «паличка» може суттєво полегшити тобі життя особливо у тому випадку, коли ти невпевнено почуваєшся у побудові просторових постатей, перерізів тощо. буд. Усе це потребує певної уяви та практичних навичок. Метод же, який ми тут почнемо розглядати, дозволить тобі практично повністю абстрагуватися від різноманітних геометричних побудов і міркувань. Метод має назву "метод координат". У цій статті ми з тобою розглянемо такі питання:

1. Координатна площина
2. Точки та вектори на площині
3. Побудова вектора по двох точках
4. Довжина вектора (відстань між двома точками)
5. Координати середини відрізка
6. Скалярний добуток векторів
7. Кут між двома векторами

Я гадаю, ти вже здогадався, чому метод координат так називається? Правильно, він отримав таку назву, оскільки оперує не з геометричними об'єктами, і з їх числовими характеристиками (координатами). А саме перетворення, що дозволяє перейти від геометрії до алгебри, полягає у запровадженні системи координат. Якщо вихідна фігура була плоскою, то координати двовимірні, а якщо об'ємна фігура, то координати тривимірні. У цій статті ми розглядатимемо лише двовимірний випадок. А основна мета статті – навчити тебе користуватися деякими базовими прийомами методу координат (вони іноді виявляються корисними під час вирішення завдань щодо планіметрії в частині B ЄДІ). Обговоренню методів вирішення завдань С2 (завдання по стереометрії) присвячені наступні два розділи з цієї тематики.

З чого було б логічно розпочати обговорення методу координат? Напевно, із поняття системи координат. Згадай, коли ти з нею вперше зіткнувся. Мені здається, що у 7 класі, коли ти дізнався про існування лінійної функціїнаприклад. Нагадаю, ти будував її по точках. Пам'ятаєш? Ти вибирав довільне число, підставляв її у формулу та обчислював таким чином. Наприклад, якщо, те, якщо ж, те й т.д. Що ж ти отримував у результаті? А отримував ти крапки з координатами: і. Далі ти малював "хрестик" (систему координат), вибирав на ній масштаб (скільки клітин у тебе буде одиничним відрізком) і відзначав на ній отримані тобою точки, які потім з'єднував прямою лінією, отримана лінія і є графік функції.

Тут є кілька моментів, які варто пояснити тобі трохи докладніше:

1. Поодинокий відрізокти вибираєш з міркувань зручності, так, щоб все красиво та компактно вміщалося на малюнку

2. Прийнято, що вісь йде зліва направо, а вісь - знизу вгору

3. Вони перетинаються під прямим кутом, а точка їхнього перетину називається початком координат. Вона позначається літерою.

4. У записі координати точки, наприклад, ліворуч у дужках стоїть координата точки по осі, а праворуч, по осі. Зокрема, просто означає, що у точки

5. Для того, щоб задати будь-яку точку на координатної осі, потрібно вказати її координати (2 числа)

6. Для будь-якої точки, що лежить на осі,

7. Для будь-якої точки, що лежить на осі,

8. Вісь називається віссю абсцис

9. Вісь називається віссю ординат

Тепер давай з тобою зробимо наступний крок: відзначимо дві крапки. З'єднаємо ці дві точки відрізком. І поставимо стрілочку так, ніби ми проводимо відрізок з точки до точки: тобто зробимо наш відрізок спрямованим!

Згадай, як називається спрямований відрізок? Мабуть, він називається вектором!

Таким чином, якщо ми з'єднаємо точку з точкою, причому початком у нас буде точка A, а кінцем - точка B,ми отримаємо вектор. Цю побудову ти теж робив у 8 класі, пам'ятаєш?

Виявляється, вектори, як точки, можна позначати двома цифрами: ці цифри називаються координатами вектора. Питання: як ти думаєш, чи достатньо нам знати координати початку та кінця вектора, щоб знайти його координати? Виявляється, що так! І робиться це дуже просто:

Таким чином, так як у векторі точка - початок, а - кінець, вектор має наступні координати:

Наприклад, якщо, то координати вектора

Тепер давай зробимо навпаки, знайдемо координати вектора. Що нам для цього потрібно змінити? Так, потрібно поміняти місцями початок і кінець: тепер початок вектора буде у точці, а кінець – у точці. Тоді:

Подивися уважно, чим відрізняються вектори та? Єдина їхня відмінність - це знаки в координатах. Вони протилежні. Цей факт прийнято записувати так:

Іноді, якщо спеціально не обговорюється, яка точка є початком вектора, а яка - кінцем, то вектори позначають не двома великими літерами, а однієї малої, наприклад: , і т.д.

Тепер трохи потренуйсясам і знайди координати наступних векторів:

Перевірка:

А тепер виріши завдання трохи складніше:

Век-тор з початком у точці має ко-ор-ді-на-ти. Знай-діте абс-цис-су точки.

Усе те досить прозаїчно: Нехай - координати точки. Тоді

Систему я склав визначення того, що таке координати вектора. Тоді точка має координати. Нас цікавить абсцис. Тоді

Відповідь:

Що ще можна робити із векторами? Та майже все те саме, що і зі звичайними числами (хіба що ділити не можна, зате множити можна аж двома способами, один з яких ми тут обговоримо трохи пізніше)

1. Вектори можна складати один з одним
2. Вектори можна віднімати один з одного
3. Вектори можна множити (або ділити) на довільне ненульове число
4. Вектори можна множити один на одного

Всі ці операції мають цілком наочне геометричне уявлення. Наприклад, правило трикутника (або паралелограма) для складання та віднімання:

Вектор розтягується або стискається або змінює напрямок при множенні або розподілі на число:

Однак тут нас цікавитиме питання, що ж відбувається з координатами.

1. При складанні (відніманні) двох векторів, ми складаємо (віднімаємо) поелементно їх координати. Тобто:

2. При множенні (розподілі) вектора на число всі його координати множаться (діляться) на це число:

Наприклад:

· Знайди суму ко-ор-ді-нат вік-то-ра.

Давай спочатку знайдемо координати кожного вектора. Обидва вони мають однаковий початок – точку початку координат. Кінці вони різні. Тоді, . Тепер обчислимо координати вектора. Тоді сума координат отриманого вектора дорівнює.

Відповідь:

Тепер розв'яжи сам наступне завдання:

· Знайти суму координат вектора

Перевіряємо:

Давайте розглянемо тепер таке завдання: у нас є дві точки на координатній площині. Як знайти відстань між ними? Нехай перша точка буде, а друга. Позначимо відстань між ними через. Давай зробимо для наочності наступне креслення:

Що я зробив? Я, по-перше, поєднав точки і,також з точки провів лінію, паралельну осі, а з точки провів лінію, паралельну осі. Вони перетнулися в точці, утворивши при цьому чудову фігуру? Чим вона чудова? Так ми з тобою майже всі знаємо про прямокутний трикутник. Ну теорему Піфагора - точно. Шуканий відрізок – це гіпотенуза цього трикутника, а відрізки – катети. Чому рівні координати точки? Так, їх нескладно знайти за картинкою: Так як відрізки паралельні осям і відповідно, то їх довжини легко знайти: якщо позначити довжини відрізків відповідно через, то

Тепер скористаємося теоремою Піфагора. Довжини катетів нам відомі, гіпотенузу ми знайдемо:

Таким чином, відстань між двома точками - це корінь із суми квадратів різниць з координат. Або ж - відстань між двома точками - це довжина відрізка, що їх з'єднує. Легко помітити, що відстань між точками залежить від напрямку. Тоді:

Звідси робимо три висновки:

Давай трохи повправляємось у обчисленні відстані між двома точками:

Наприклад, якщо, то відстань між і дорівнює

Або підемо інакше: знайдемо координати вектора

І знайдемо довжину вектора:

Як бачиш, одне й те саме!

Тепер трохи потренуйся сам:

Завдання: знайти відстань між вказаними точками:

Перевіряємо:

Ось ще пара завдань на ту ж формулу, щоправда звучать вони трохи інакше:

1. Знайди квад-рат довжини століття.

2. Знай-ді-те квад-рат довжини вік-то-ра

Я так думаю, ти з ними легко справився? Перевіряємо:

1. А це на уважність) Ми вже знайшли координати векторів і раніше: . Тоді вектор має координати. Квадрат його довжини дорівнюватиме:

2. Знайдемо координати вектора

Тоді квадрат його довжини дорівнює

Нічого складного, правда? Звичайна арифметика, не більше.

Наступні завдання не можна однозначно класифікувати, вони скоріш загальну ерудицію і вміння малювати прості картинки.

1. Най-ді-те синус кута на-кло-на від-різ-ка, зі-є-ня-ю-ще-го крапки, з віссю абсцис.

і

Як ми будемо чинити тут? Потрібно знайти синус кута між і віссю. Де ми вміємо шукати синус? Правильно, у прямокутному трикутнику. То що нам потрібно зробити? Побудувати цей трикутник!

Оскільки координати точки і то відрізок дорівнює, а відрізок. Нам потрібно знайти синус кута. Нагадаю тобі, що синус - це ставлення протилежного катета до гіпотенузи, тоді

Що нам лишилося зробити? Знайти гіпотенузу. Ти можеш зробити це двома способами: за теоремою Піфагора (катети відомі!) або за формулою відстані між двома точками (насправді одне й те саме, що і перший спосіб!). Я піду другим шляхом:

Відповідь:

Наступне завдання здасться тобі ще простіше. Вона – на координати точки.

Завдання 2.З точки опущений пер-пен-ді-куляр на вісь абс-цис. Най-ді-те абс-цис-су ос-но-ва-ня пер-пен-ді-ку-ля-ра.

Давай зробимо малюнок:

Основа перпендикуляра - це та точка, в якій він перетинає вісь абсцис (вісь), у мене це точка. На малюнку видно, що має координати: . Нас цікавить абсциса – тобто «іксова» складова. Вона рівна.

Відповідь: .

Завдання 3.У разі попередньої завдання знайти суму відстаней від точки до осей координат.

Завдання – взагалі елементарне, якщо знати, що таке відстань від точки до осей. Ти знаєш? Я сподіваюся, але все ж таки нагадаю тобі:

Отже, на моєму малюнку, розташованому трохи вище, я вже зобразив такий перпендикуляр? До якої він осі? До осі. І чому ж дорівнює його довжина? Вона рівна. Тепер сам проведи перпендикуляр до осі та знайди його довжину. Вона дорівнюватиме, адже так? Тоді їхня сума дорівнює.

Відповідь: .

Завдання 4.В умовах задачі 2 знайдіть ординату точки, симетричній точці щодо осі абсцис.

Я думаю, тобі інтуїтивно зрозуміло, що таке симетрія? Дуже багато об'єктів нею мають: багато будинків, столів, літаків, багато геометричні фігури: куля, циліндр, квадрат, ромб і т. д. Грубо кажучи, симетрію можна розуміти ось як: фігура складається з двох (або більше) однакових половинок. Така симетрія називається осьовою. А що тоді таке вісь? Це якраз та лінія, за якою фігуру можна, умовно кажучи, «розрізати» на однакові половинки (на цій картинці вісь симетрії - пряма):

Тепер давай повернемося до нашого завдання. Нам відомо, що ми шукаємо точку, симетричну щодо осі. Тоді ця вісь – вісь симетрії. Отже, нам потрібно відзначити таку точку, щоб вісь розрізала відрізок на рівні частини. Спробуй сам наголосити на такій точці. А тепер порівняй із моїм рішенням:

У тебе вийшло так само? Добре! У знайденої точки нас цікавить ордината. Вона дорівнює

Відповідь:

А тепер скажи мені, подумавши секунд, чому дорівнюватиме абсцис точки, симетричній точці A щодо осі ординат? Яка твоя відповідь? Правильну відповідь: .

Загалом правило можна записати ось так:

Крапка, симетрична точці щодо осі абсцис, має координати:

Крапка, симетрична точці щодо осі ординат, має координати:

Ну і тепер зовсім страшна завдання: знайти координати точки, симетричної точки щодо початку координат. Ти спочатку подумай сам, а потім подивися на мій малюнок!

Відповідь:

Тепер Завдання на паралелограм:

Завдання 5: Крапки яв-ля-ють-ся вер-ши-на-ми парал-ле-ло-ло-грам-ма. Знайди ор-ді-на-ту точки.

Можна вирішувати це завдання двома способами: логікою та методом координат. Я спочатку застосую метод координат, а потім розповім тобі як можна вирішити інакше.

Цілком ясно, що абсцис точки дорівнює. (Вона лежить на перпендикулярі, проведеній з точки до осі абсцис). Нам треба знайти ординату. Скористаємося тим, що наша фігура – ​​паралелограм, це означає, що. Знайдемо довжину відрізка, використовуючи формулу відстані між двома точками:

Опускаємо перпендикуляр, що сполучає крапку з віссю. Точку перетину позначу буквою.

Довжина відрізка дорівнює. (Знайди саму задачу, де ми обговорювали цей момент), тоді знайдемо довжину відрізка по теоремі Піфагора:

Довжина відрізка - точно збігається з його ординатою.

Відповідь: .

Інше рішення (я просто наведу малюнок, що його ілюструє)

Хід рішення:

1. Провести

2. Знайти координати точки та довжину

3. Довести, що.

Ще одна Завдання на довжину відрізка:

Крапки яв-ля-ють-ся вер-ши-на-ми трикутника. Знайдіть довжину його середньої лінії, параллельної.

Ти пам'ятаєш, що таке середня лінія трикутника? Тоді тобі це завдання елементарна. Якщо не пам'ятаєш, то я нагадаю: середня лінія трикутника – це лінія, яка сполучає середини протилежних сторін. Вона паралельна до основи і дорівнює його половині.

Підстава – це відрізок. Його довжину нам доводилося шукати раніше, воно рівне. Тоді довжина середньої лінії вдвічі менша і дорівнює.

Відповідь: .

Коментар: це завдання можна вирішити і в інший спосіб, до якого ми звернемося трохи пізніше.

А поки що - ось тобі кілька завдань, потренуйся на них, вони дуже прості, але допомагають «набивати руку», на використанні способу координат!

1. Крапки яв-ля-ють-ся вер-ши-на-ми тра-пе-ції. Знайдіть довжину її середньої лінії.

2. Крапки і яв-ля-ють-ся вер-ши-на-ми парал-ле-ло-грам-ма. Знайди ор-ді-на-ту точки.

3. Знай-ди-те довжину від-різ-ка, з'єд-ня-ю-ще-го точки і

4. Най-ді-те пло-ща за-кра-шен-ної фі-гу-ри на ко-ор-ді-нат-ної плос-ко-сті.

5. Окруж-ність з центром в на-ча-ле ко-ор-ді-нат про-хо-дить через точку. Знай-діть її ра-ді-ус.

6. Най-ді-те ра-ді-ус окруж-ності, опи-сан-ної біля пря-мо-кут-ні-ка, вер-ши-ни ко-то-ро-го мають ко-ор -ді-на-ти зі-від-віт-ствен-но

Рішення:

1. Відомо, що середня лінія трапеції дорівнює напівсумі її основ. Основа рівна, а основа. Тоді

Відповідь:

2. Найпростіше вирішити це завдання так: помітити, що (правило паралелограма). Обчислити координати векторів і легко: . При складанні векторів координати складаються. Тоді має координати. Ці координати має і точка, оскільки початок вектора - це точка з координатами. Нас цікавить ордината. Вона рівна.

Відповідь:

3. Діємо відразу за формулою відстані між двома точками:

Відповідь:

4. Подивися на картинку і скажи, між якими двома фігурами затиснута заштрихована область? Вона затиснута між двома квадратами. Тоді площа шуканої фігури дорівнює площі великого квадрата мінус площа маленького. Сторона маленького квадрата - це відрізок, що з'єднує точки і його довжина дорівнює

Тоді площа маленького квадрата дорівнює

Так само чинимо і з великим квадратом: його сторона - це відрізок, що з'єднує точки і його довжина дорівнює

Тоді площа великого квадрата дорівнює

Площу шуканої фігури знайдемо за формулою:

Відповідь:

5. Якщо коло має як центр початок координат і проходить через точку, то її радіус буде точно дорівнює довжині відрізка (зроби малюнок і ти зрозумієш, чому це очевидно). Знайдемо довжину цього відрізку:

Відповідь:

6. Відомо, що радіус описаного біля прямокутника кола дорівнює половині його діагоналі. Знайдемо довжину будь-якої з двох діагоналей (адже у прямокутнику вони рівні!)

Відповідь:

Ну що, ти справився з усім? Було не дуже складно розібратися, адже так? Правило тут одне – вміти зробити наочну картинку і просто «рахувати» з неї всі дані.

Нам залишилося зовсім небагато. Є ще буквально два моменти, які мені хотілося б обговорити.

Давай спробуємо вирішити ось таке нехитре завдання. Нехай дані дві точки в. Знайти координати середини відрізка. Розв'язання цього завдання таке: нехай точка - шукана середина, тоді має координати:

Тобто: координати середини відрізка = середнє арифметичне відповідних координат кінців відрізка.

Це дуже просте і зазвичай викликає труднощів в учнів. Давай подивимося, в яких завданнях і як воно використовується:

1. Най-ді-те ор-ді-на-ту се-ре-ді-ни від-різ-ка, зі-є-ня-ю-щ-го точки і

2. Крапки яв-ля-ють-ся вер-ши-на-ми че-ти-рех-вугі-ни-ка. Най-ді-те ор-ді-на-ту точки пе-ре-се-че-ня його диа-го-на-лей.

3. Знай-ді-те абс-цис-су цен-тра окруж-ності, опи-сан-ної біля пря-мо-кут-ні-ка, вер-ши-ни ко-то-ро-го мають ко-ор-ді-на-ти со-від-віт-но.

Рішення:

1. Перше завдання - просто класика. Діємо відразу за визначенням середини відрізка. Вона має координати. Ордината дорівнює.

Відповідь:

2. Легко бачити, що цей чотирикутник є паралелограмом (навіть ромбом!). Ти й сам можеш це довести, вирахувавши довжини сторін і порівнявши їх між собою. Що я знаю про паралелограм? Його діагоналі точкою перетину діляться навпіл! Ага! Значить точка перетину діагоналей – це що? Це середина будь-якої з діагоналей! Виберу, зокрема, діагональ. Тоді точка має координати Ординату точки, що дорівнює.

Відповідь:

3. З чим збігається центр описаного біля прямокутника кола? Він збігається з точкою перетину його діагоналей. А що ти знаєш про діагоналі прямокутника? Вони рівні і точкою перетину діляться навпіл. Завдання звелося до попереднього. Візьму, наприклад, діагональ. Тоді якщо – центр описаного кола, то – середина. Шукаю координати: Абсцисса рівна.

Відповідь:

Тепер потренуйся трохи самостійно, я лише наведу відповіді до кожного завдання, щоб ти міг себе перевірити.

1. Най-ді-те ра-ді-ус окруж-ності, опи-сан-ної біля трикутника, вер-ши-ни ко-то-ро-го мають ко-ор-ди -на ти

2. Най-ді-те ор-ді-на-ту цен-тра окруж-ності, опи-сан-ної біля трикутника, вер-ши-ни ко-то-ро-го мають ко-ор-ді-на-ти

3. Якого ра-ді-у-са має бути коло з центром у точці щоб вона торкалася осі абс-цис?

4. Най-ді-те ор-ді-на-ту точки пе-ре-се-че-ня осі і від-різ-ка, со-є-ня-ю-ще-го точки і

Відповіді:

Чи все вдалося? Дуже на це надіюсь! Тепер – останній ривок. Зараз будь особливо уважним. Той матеріал, який я зараз пояснюватиму, має безпосереднє відношення не тільки до простих завдань на метод координат з частини B, але також зустрічається повсюдно і в задачі С2.

Яку зі своїх обіцянок я ще не дотримав? Згадай, які операції над векторами я обіцяв запровадити і які зрештою ввів? Я нічого не забув? Забув! Забув пояснити, що означає збільшення векторів.

Існують два способи помножити вектор на вектор. Залежно від обраного способу у нас виходитимуть об'єкти різної природи:

Векторний твір виконується досить хитро. Як його робити і навіщо воно потрібне, ми з тобою обговоримо в наступній статті. А в цій ми зупинимося на скалярному творі.

Є аж два способи, що дозволяють нам його обчислити:

Як ти здогадався, результат має бути той самий! Отже, давай спочатку розглянемо перший спосіб:

Скалярний твір через координати

Знайти: - загальноприйняте позначення скалярного твору

Формула для обчислення така:

Тобто скалярний добуток = сума творів координат векторів!

Приклад:

Знайди-те

Рішення:

Знайдемо координати кожного із векторів:

Обчислюємо скалярний твір за такою формулою:

Відповідь:

Бачиш абсолютно нічого складного!

Ану, тепер спробуй сам:

· Най-ді-те ска-ляр-не про-з-ве-де-ние вік-то-рів і

Впорався? Може, й підступ невеликий помітив? Давай перевіримо:

Координати векторів, як у минулому завданні! Відповідь: .

Крім координатного, є й інший спосіб обчислити скалярний твір, а саме через довжини векторів і косинус кута між ними:

Позначає кут між векторами та.

Тобто скалярний добуток дорівнює добутку довжин векторів на косинус кута між ними.

Навіщо нам ця друга формула, якщо в нас є перша, яка набагато простіше, в ній принаймні немає жодних косінусів. А потрібна вона для того, що з першої та другої формул ми з тобою зможемо вивести, як знаходити кут між векторами!

Нехай тоді згадуй формулу для довжини вектора!

Тоді якщо я підставлю ці дані до формули скалярного твору, то я отримаю:

Але з іншого боку:

Отже, що ми з тобою отримали? У нас тепер є формула, яка дає змогу обчислювати кут між двома векторами! Іноді її для стислості записують ще й так:

Тобто алгоритм обчислення кута між векторами наступний:

1. Обчислюємо скалярний твір через координати
2. Знаходимо довжини векторів та перемножуємо їх
3. Ділимо результат пункту 1 на результат пункту 2

Давай потренуємось на прикладах:

1. Знай-ді-те кут між вік-то-ра-ми і. Відповідь дайте у гра-ду-сах.

2. В умовах попереднього завдання знайдіть косинус між векторами

Вчинимо так: перше завдання я допоможу тобі вирішити, а друге спробуй зробити сам! Згоден? Тоді починаємо!

1. Ці вектори - наші старі знайомі. Їх скалярний твір ми вже вважали і він був рівний. Координати вони такі: , . Тоді знайдемо їх довжини:

Тоді шукаємо косинус між векторами:

Косинус якого кута дорівнює? Це кут.

Відповідь:

Ну а тепер сам розв'яжи друге завдання, а потім порівняємо! Я наведу лише дуже коротке рішення:

2. має координати, має координати.

Нехай - кут між векторами і тоді

Відповідь:

Слід зазначити, що завдання безпосередньо на вектор і метод координат в частині B екзаменаційної роботи досить рідкісні. Однак переважна більшість завдань C2 можна легко вирішити, вдавшись до введення системи координат. Тож ти можеш вважати цю статтю фундаментом, на основі якого ми робитимемо досить хитрі побудови, які знадобляться нам для вирішення складних завдань.

КООРДИНАТИ І ВЕКТОРИ. СЕРЕДНІЙ У РІВЕНЬ

Ми з тобою продовжуємо вивчати метод координат. Минулої частини ми вивели ряд важливих формул, які дозволяють:

1. Знаходити координати вектора
2. Знаходити довжину вектора (альтернативно: відстань між двома точками)
3. Складати, віднімати вектори. Помножувати їх на дійсне число
4. Знаходити середину відрізка
5. Обчислювати скалярний добуток векторів
6. Знаходити кут між векторами

Звісно, ​​у ці 6 пунктів не вкладається весь координатний метод. Він лежить в основі такої науки, як аналітична геометрія, з якою тобі належить познайомитися у ВНЗ. Я хочу побудувати фундамент, який дозволить тобі вирішувати завдання у єдиному держ. екзамені. Із завданнями частини B ми розібралися в Пора переходити на якісно новий рівень! Ця стаття буде присвячена методу вирішення завдань С2, в яких буде розумно перейти до методу координат. Ця розумність визначається тим, що в завданні потрібно знайти і яка фігура дана. Отже, я став застосовувати метод координат, якщо ставляться питання:

1. Знайти кут між двома площинами
2. Знайти кут між прямою та площиною
3. Знайти кут між двома прямими
4. Знайти відстань від точки до площини
5. Знайти відстань від точки до прямої
6. Знайти відстань від прямої до площини
7. Знайти відстань між двома прямими

Якщо дана за умови завдання фігура є тілом обертання (куля, циліндр, конус...)

Придатними фігурами для методу координат є:

1. Прямокутний паралелепіпед
2. Піраміда (трикутна, чотирикутна, шестикутна)

Також на мій досвід недоцільно використовувати метод координат для:

1. Знаходження площ перерізів
2. Обчислення обсягів тіл

Проте слід відразу зазначити, що три «невигідні» для методу координат ситуації практично досить рідкісні. У більшості завдань він може стати твоїм рятівником, особливо якщо ти не дуже сильний у тривимірних побудовах (які часом бувають досить хитромудрими).

Якими є всі перелічені мною вище постаті? Вони вже не плоскі, як, наприклад, квадрат, трикутник, коло, а об'ємні! Відповідно нам потрібно розглядати вже не двомірну, а тривимірну систему координат. Будується вона досить легко: просто окрім осі абсцис та ординат, ми введемо ще одну вісь, вісь аплікат. На малюнку схематично зображено їхнє взаємне розташування:

Всі вони є взаємно перпендикулярними, перетинаються в одній точці, яку ми називатимемо початком координат. Вісь абсцис, як і раніше, позначатимемо, вісь ординат - , а введену вісь аплікат - .

Якщо раніше кожна точка на площині характеризувалася двома числами – абсцисою та ординатою, то кожна точка у просторі вже описується трьома числами – абсцисою, ординатою, аплікатою. Наприклад:

Відповідно абсцис точки дорівнює, ордината - , а апліката - .

Іноді абсцис точки ще називають проекцією точки на вісь абсцис, ординату - проекцією точки на вісь ординат, а аплікату - проекцією точки на вісь аплікат. Відповідно, якщо задана точка то, точку з координатами:

називають проекцією точки на площину

називають проекцією точки на площину

Постає природне питання: чи справедливі всі формули, виведені для двовимірної нагоди, у просторі? Відповідь ствердна, вони справедливі і мають той самий вигляд. За невеликою деталлю. Я думаю, ти вже сам здогадався, за якою саме. У всі формули ми повинні будемо додати ще один член, який відповідає за вісь аплікат. А саме.

1. Якщо задані дві точки: , то:

• Координати вектора:
• Відстань між двома точками (або довжина вектора)
• Середина відрізка має координати

2. Якщо дано два вектори: і, то:

• Їх скалярний твір дорівнює:
• Косинус кута між векторами дорівнює:

Однак із простором не все так просто. Як ти розумієш, додавання ще однієї координати вносить суттєву різноманітність у спектр фігур, які «живуть» у цьому просторі. І для подальшої розповіді мені потрібно буде запровадити деяке, грубо кажучи, «узагальнення» прямої. Цим узагальненням буде площина. Що ти знаєш про площину? Спробуй відповісти на запитання, а що таке? Дуже важко сказати. Однак ми всі інтуїтивно уявляємо, як вона виглядає:

Грубо кажучи, це якийсь нескінченний «аркуш», засунутий у простір. «Нескінченність» слід розуміти, що площина поширюється на всі боки, тобто її площа дорівнює нескінченності. Однак, це пояснення «на пальцях» не дає жодного уявлення про структуру площини. А нас цікавитиме саме вона.

Давай згадаємо одну з основних аксіом геометрії:

• через дві різні точки на площині проходить пряма, до того ж лише одна:

Або її аналог у просторі:

Звичайно, ти пам'ятаєш, як за двома заданими точками вивести рівняння прямої, це зовсім неважко: якщо перша точка має координати: а друга, то рівняння прямої буде наступним:

Це ти проходив ще у 7 класі. У просторі рівняння прямої виглядає ось так: нехай у нас дано дві точки з координатами: , то рівняння прямої, через них проходить, має вигляд:

Наприклад, через точки проходить пряма:

Як це слід розуміти? Це слід розуміти ось як: точка лежить на прямій, якщо її координати задовольняють таку систему:

Нас не дуже цікавитиме рівняння прямої, але нам потрібно звернути увагу на дуже важливе поняття напрямного вектора прямої. - будь-який ненульовий вектор, що лежить на цій прямій або паралельний їй.

Наприклад, обидва вектори є напрямними векторами прямої. Нехай – точка, що лежить на прямій, а – її напрямний вектор. Тоді рівняння прямої можна записати у такому вигляді:

Ще раз повторюся, мені не дуже буде цікаве рівняння прямої, але мені дуже потрібно, щоб ти запам'ятав, що таке напрямний вектор! Ще раз: це БУДЬ-ЯКИЙ ненульовий вектор, що лежить на прямий, або паралельний їй.

Вивести рівняння площини за трьома заданими точкамивже не так тривіально, і зазвичай це питання не розглядається в курсі середньої школи. А даремно! Цей прийом життєво необхідний, коли ми вдається до методу координат на вирішення складних завдань. Однак, я припускаю, що ти сповнений бажання навчитися чогось нового? Більше того, ти зможеш вразити свого викладача у ВНЗ, коли з'ясується, що ти вже вмієш із методикою, яку зазвичай вивчають у курсі аналітичної геометрії. Отже, почнемо.

Рівняння площини не надто відрізняється від рівняння прямої на площині, а саме воно має вигляд:

деякі числа (усі рівні нулю), а змінні, наприклад: тощо. Як бачиш, рівняння площини не дуже відрізняється від рівняння прямої (лінійної функції). Проте згадай, що ми з тобою затверджували? Ми говорили, що якщо у нас є три точки, які не лежать на одній прямій, то рівняння площини однозначно по них відновлюється. Але як? Спробую тобі пояснити.

Оскільки рівняння площини має вигляд:

А точки належать цій площині, то при підстановці координат кожної точки в рівняння площини ми повинні отримувати правильну тотожність:

Таким чином, постає необхідність вирішувати три рівняння аж із невідомими! Дилема! Однак завжди можна припускати, що (для цього потрібно поділити). Таким чином, ми отримаємо три рівняння з трьома невідомими:

Однак ми не вирішуватимемо таку систему, а випишемо загадкове вираження, яке з нього випливає:

Рівняння площини, що проходить через три задані точки

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0 \]

Стоп! Це ще що таке? Якийсь незвичайний модуль! Однак об'єкт, який ти бачиш перед собою, не має нічого спільного з модулем. Цей об'єкт називається визначником третього порядку. Відтепер і надалі, коли ти матимеш справу з методом координат на площині, тобі дуже часто зустрічатимуться ці визначники. Що таке визначник третього порядку? Як не дивно, це всього лише число. Залишилося зрозуміти, яке саме число ми зіставлятимемо з визначником.

Давай спочатку запишемо визначник третього порядку у більш загальному вигляді:

Де – деякі числа. Причому під першим индеком ми розуміємо номер рядка, а під индеком - номер стовпця. Наприклад, означає, що це число стоїть на перетині другого рядка і третього стовпця. Давай поставимо наступне питання: яким саме чином ми обчислюватимемо такий визначник? Тобто, яке саме число ми будемо йому зіставляти? Для визначника саме третього порядку є евристичне (наочне) правило трикутника воно виглядає так:

1. Добуток елементів головної діагоналі (з верхнього лівого кута до нижнього правого) добуток елементів, що утворюють перший трикутник «перпендикулярний» головної діагоналі добуток елементів, що утворюють другий трикутник «перпендикулярний»
2. Твір елементів побічної діагоналі (з верхнього правого кута до нижнього лівого) добуток елементів, що утворюють перший трикутник «перпендикулярний» побічної діагоналі добуток елементів, що утворюють другий трикутник «перпендикулярний»
3. Тоді визначник дорівнює різницізначень, отриманих на кроці та

Якщо записати все це цифрами, ми отримаємо такий вираз:

Тим не менш, запам'ятовувати спосіб обчислення в такому вигляді не потрібно, достатньо в голові просто тримати трикутники і саму ідею, що з чим складається і що потім віднімається).

Давай проілюструємо метод трикутників на прикладі:

1. Обчислити визначник:

Давай розбиратися, що ми складаємо, а що – віднімаємо:

Доданки, які йдуть із «плюсом»:

Це головна діагональ: добуток елементів дорівнює

Перший трикутник, «перпендикулярний головній діагоналі: добуток елементів дорівнює

Другий трикутник, «перпендикулярний головній діагоналі: добуток елементів дорівнює

Складаємо три числа:

Доданки, які йдуть з «мінусом»

Це побічна діагональ: добуток елементів дорівнює

Перший трикутник, «перпендикулярний до побічної діагоналі: добуток елементів дорівнює

Другий трикутник, «перпендикулярний до побічної діагоналі: добуток елементів дорівнює

Складаємо три числа:

Все, що залишилося зробити - це відняти від суми доданків «з плюсом» суму доданків «з мінусом»:

Таким чином,

Як бачиш, нічого складного та надприродного у обчисленні визначників третього порядку немає. Просто важливо пам'ятати про трикутники і не допускати арифметичних помилок. Тепер спробуй самостійно обчислити:

Перевіряємо:

1. Перший трикутник, перпендикулярний головній діагоналі:
2. Другий трикутник, перпендикулярний головній діагоналі:
3. Сума доданків із плюсом:
4. Перший трикутник, перпендикулярний до побічної діагоналі:
5. Другий трикутник, перпендикулярний до побічної діагоналі:
6. Сума доданків з мінусом:
7. Сума доданків з плюсом мінус сума доданків з мінусом:

Ось тобі ще пара визначників, обчисли їх значення самостійно і порівняй із відповідями:

Відповіді:

Ну що, все збіглося? Добре, тоді можна рухатися далі! Якщо ж є труднощі, то моя порада така: в інтернеті є купа програм обчислення визначника он-лайн. Все, що тобі потрібно – придумати свій визначник, вирахувати його самостійно, а потім порівняти з тим, що вважатиме програма. І так доти, доки результати не почнуть збігатися. Впевнений, цей момент не змусить довго чекати!

Тепер повернімося до того визначника, який я виписав, коли говорив про рівняння площини, що проходить через три задані точки:

Все, що тобі потрібно – це обчислити його значення безпосередньо (методом трикутників) та прирівняти результат до нуля. Звичайно, оскільки - змінні, то ти отримаєш певний вираз, що від них залежить. Саме цей вираз і буде рівнянням площини, що проходить через три задані точки, що не лежать на одній прямій!

Давай проілюструємо сказане на прикладі:

1. Побудувати рівняння площини, що проходить через точки

Складаємо для цих трьох точок визначник:

Спрощуємо:

Тепер обчислюємо його безпосередньо за правилом трикутників:

\[(\left| right| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Таким чином, рівняння площини, що проходить через точки, має вигляд:

Тепер спробуй вирішити одне завдання самостійно, а потім ми його обговоримо:

2. Знайти рівняння площини, що проходить через точки

Ну що, тепер обговоримо рішення:

Складаємо визначник:

І обчислюємо його значення:

Тоді рівняння площини має вигляд:

Або ж, скоротивши на, отримаємо:

Тепер два завдання для самоконтролю:

1. Побудувати рівняння площини, що проходить через три точки:

Відповіді:

Все збіглося? Знову ж таки, якщо є певні труднощі, то моя порада така: береш із голови три крапки (з великим ступенем ймовірності вони не лежатимуть на одній прямій), будуєш по них площину. А потім перевіряєш себе он-лайн. Наприклад, на сайті:

Однак за допомогою визначників ми будуватимемо не тільки рівняння площини. Згадай, я казав тобі, що для векторів не лише скалярний твір. Є ще векторний, а також змішаний твір. І якщо скалярним твором двох векторів і буде число, то векторним твором двох векторів і буде вектор, причому цей вектор перпендикулярний до заданих:

Причому його модуль буде дорівнює площіпаралелограма, посторенного на векторах та. Цей вектор знадобиться для обчислення відстані від точки до прямої. Як нам вважати векторний твір векторів і, якщо їх координати задані? На допомогу знову приходить визначник третього порядку. Однак, перш ніж я перейду до алгоритму обчислення векторного твору, я мушу зробити невеликий ліричний відступ.

Цей відступ стосується базових векторів.

Схематично вони зображені малюнку:

Як ти гадаєш, а чому вони називаються базисними? Справа в тому що :

Або на зображенні:

Справедливість цієї формули очевидна, адже:

Векторний витвір

Тепер я можу розпочати введення векторного твору:

Векторним твором двох векторів називається вектор, який обчислюється за таким правилом:

Тепер наведемо кілька прикладів обчислення векторного твору:

Приклад 1: Знайти векторний добуток векторів:

Рішення: складаю визначник:

І рахую його:

Тепер від запису через базисні вектори, я повернуся до звичного запису вектора:

Таким чином:

Тепер спробуй.

Готовий? Перевіряємо:

І традиційно дві завдання для контролю:

1. Знайти векторний твір наступних векторів:
2. Знайти векторний твір наступних векторів:

Відповіді:

Змішаний твір трьох векторів

Остання конструкція, яка мені знадобиться, - це змішаний твір трьох векторів. Воно, як і скалярне, є числом. Є два способи його обчислення. - через визначник, - через мішане твір.

А саме, нехай у нас дано три вектори:

Тоді змішаний добуток трьох векторів, що позначається через можна обчислити як:

1. - тобто змішаний твір - це скалярний твір вектора на вектор твір двох інших векторів

Наприклад, змішаний добуток трьох векторів дорівнює:

Самостійно спробуй обчислити його через векторний твір та переконайся, що результати збігатимуться!

І знову – два приклади для самостійного рішення:

Відповіді:

Вибір системи координат

Ну ось тепер у нас є весь необхідний фундамент знань, щоб вирішувати складні стереометричні завдання з геометрії. Однак перш ніж приступати безпосередньо до прикладів та алгоритмів їх вирішення, я вважаю, що буде корисно зупинитися ще на якому питанні: як саме вибирати систему координат для тієї чи іншої фігури.Адже саме вибір взаємного розташування системи координат і фігури у просторі зрештою визначить, наскільки громіздкими будуть обчислення.

Я нагадаю, що в цьому розділі ми розглядаємо такі постаті:

1. Прямокутний паралелепіпед
2. Пряма призма (трикутна, шестикутна…)
3. Піраміда (трикутна, чотирикутна)
4. Тетраедр (одно й те саме, що й трикутна піраміда)

Для прямокутного паралелепіпеда чи куба я рекомендую тобі таку побудову:

Тобто фігуру я поміщатиму «в кут». Куб і паралелепіпед – це дуже гарні фігури. Для них ти завжди легко можеш знайти координати його вершин. Наприклад, якщо (як показано на малюнку)

то координати вершин такі:

Запам'ятовувати це, звичайно, не потрібно, проте пам'ятати, як краще мати куб або прямокутний паралелепіпед- Бажано.

Пряма призма

Призма – більш шкідлива постать. Знайти її в просторі можна по-різному. Однак мені найбільш прийнятним видається такий варіант:

Трикутна призма:

Тобто одну із сторін трикутника ми цілком кладемо на вісь, причому одна з вершин збігається з початком координат.

Шестикутна призма:

Тобто одна з вершин збігається з початком координат і одна зі сторін лежить на осі.

Чотирикутна та шестикутна піраміда:

Ситуація, аналогічна кубу: дві сторони основи поєднуємо з осями координат, одну з вершин поєднуємо з початком координат. Єдиною невеликою складністю розрахувати координати точки.

Для шестикутної піраміди – аналогічно, як для шестикутної призми. Основне завдання знову-таки буде у пошуку координат вершини.

Тетраедр (трикутна піраміда)

Ситуація дуже схожа на ту, яку я навів для трикутної призми: одна вершина збігається із початком координат, одна сторона лежить на координатній осі.

Ну що, тепер ми з тобою нарешті близькі до того, щоб приступити до вирішення завдань. Зі сказаного мною на самому початку статті, ти міг зробити ось який висновок: більшість завдань C2 діляться на 2 категорії: задачі на кут і задачі на відстань. Спочатку ми з тобою розглянемо завдання знайти кута. Вони у свою чергу поділяються на такі категорії (у міру збільшення складності):

Завдання на пошук кутів

1. Знаходження кута між двома прямими
2. Знаходження кута між двома площинами

Давай розглядатимемо ці завдання послідовно: почнемо з знаходження кута між двома прямими. Ну, згадай, а чи не вирішували ми з тобою подібні приклади раніше? Пригадуєш, адже ми вже мали щось подібне… Ми шукали кут між двома векторами. Я нагадаю тобі, якщо дано два вектори: і, то кут між ними знаходиться із співвідношення:

Тепер же ми маємо мету - знаходження кута між двома прямими. Давай звернемося до «плоскої картинки»:

Скільки у нас вийшло кутів при перетині двох прямих? Аж штуки. Щоправда, не рівних з них тільки два, інші ж є вертикальними до них (а тому з ними збігаються). То який кут нам вважати кутом між двома прямими: чи? Тут правило таке: кут між двома прямими завжди не більше ніж градусів. Тобто з двох кутів ми завжди вибиратимемо кут з найменшою градусною мірою. Тобто на цій картинці кут між двома прямими дорівнює. Щоб кожен раз не морочитися з пошуком найменшого з двох кутів, хитрі математики запропонували використовувати модуль. Таким чином, кут між двома прямими визначається за формулою:

У тебе, як у уважного читача, мало виникнути питання: а звідки, власне, ми візьмемо ті самі числа, які нам потрібні для обчислення косинуса кута? Відповідь: ми братимемо їх із напрямних векторів прямих! Таким чином, алгоритм знаходження кута між двома прямими виглядає так:

1. Застосовуємо формулу 1.

Або докладніше:

1. Шукаємо координати напрямного вектора першої прямої
2. Шукаємо координати напрямного вектора другої прямої
3. Обчислюємо модуль їхнього скалярного твору
4. Шукаємо довжину першого вектора
5. Шукаємо довжину другого вектора
6. Помножуємо результати пункту 4 на результати пункту 5
7. Ділимо результат пункту 3 на результат пункту 6. Отримуємо косинус кута між прямими
8. Якщо даний результатдозволяє точно вирахувати кут, шукаємо його
9. Інакше пишемо через арккосинус

Ну що, саме час перейти до завдань: рішення перших двох я продемонструю докладно, рішення ще одного я представлю в короткому вигляді, а до останніх двох завдань я лише дам відповіді, всі викладки до них ти повинен провести сам.

Завдання:

1. У пра-вільному тет-ра-ед-ре най-ді-те кут між ви-со-тою тет-ра-ед-ра і ме-ді-а-ної бо-ко-вої грані.

2. У пра-вільній шості-вугіль-ній пі-ра-мі-де сто-ро-ни ос-но-ва-ня ко-то-рої рівні, а бо-ко-ві ребра рівні, знайди кут між пря-ми-ми і.

3. Довжини всіх ребер правильної че-ти-рех-вугільної пі-ра-мі-ди рівні між собою. Знай-ді-те кут між пря-ми-ми і якщо від-різок — ви-со-та даної пі-ра-мі-ди, точка — се-ре-ді-на її бо-ко- во-го ребра

4. На ребері куба від-ме-че-на точка так, що Най-ді-те кут між пря-ми-ми і

5. Точка - се-ре-ді-на ребра куба Най-ді-те кут між пря-ми-ми і.

Я невипадково розмістив завдання у такому порядку. Поки ти ще не встиг почати орієнтуватися в методі координат, я сам розберу найпроблемніші фігури, а тобі надам розібратися з найпростішим кубом! Поступово тобі доведеться навчитися працювати з усіма фігурами, складність завдань я збільшуватиму від теми до теми.

Приступаємо до вирішення завдань:

1. Малюємо тетраедр, поміщаємо його до системи координат так, як я пропонував раніше. Оскільки тетраед правильний - всі його грані (включаючи основу) - правильні трикутники. Оскільки нам не дана довжина сторони, то я можу прийняти її рівною. Я думаю, ти розумієш, що кут насправді не залежатиме від того, наскільки наш тетраедр буде «розтягнутий»? Також проведу в тетраедрі висоту та медіану. Принагідно я намалюю його підставу (вона нам теж знадобиться).

Мені потрібно знайти кут між і. Що нам відомо? Нам відома лише координата точки. Отже, треба знайти координати точок. Тепер думаємо: точка - це точка перетину висот (або бісектрис або медіан) трикутника. А точка – це піднята точка. Точка ж – це середина відрізка. Тоді остаточно треба знайти: координати точок: .

Почнемо з найпростішого: координати точки. Дивись на малюнок: Ясно, що апліката точки дорівнює нулю (крапка лежить на площині). Її ордината дорівнює (оскільки - медіана). Складніше знайти її абсцису. Однак це легко робиться на основі теореми Піфагора: Розглянемо трикутник. Його гіпотенуза дорівнює, а один з катетів дорівнює:

Остаточно маємо: .

Тепер знайдемо координати точки. Ясно, що її апліката знову дорівнює нулю, а її ордината така сама, як у точки, тобто. Знайдемо її абсцису. Це робиться досить тривіально, якщо пам'ятати, що висоти рівностороннього трикутникаточкою перетину діляться у пропорціїз вершини. Оскільки: , то шукана абсциса точки, що дорівнює довжині відрізка, дорівнює: . Таким чином, координати точки дорівнюють:

Знайдемо координати точки. Ясно, що її абсциса та ордината збігаються з абсцисою та ординатою точки. А апліката дорівнює довжині відрізка. - це один із катетів трикутника. Гіпотенуза трикутника – це відрізок – катет. Він шукається з міркувань, які я виділив жирним шрифтом:

Крапка – це середина відрізка. Тоді нам треба згадати формулу координат середини відрізка:

Ну все, тепер ми можемо шукати координати напрямних векторів:

Ну що, все готово: підставляємо всі дані у формулу:

Таким чином,

Відповідь:

Тебе не повинні лякати такі "страшні" відповіді: для завдань С2 це звичайна практика. Я скоріше здивувався б «красивій» відповіді в цій частині. Також, як ти помітив, я практично не вдавався ні до чого, крім теореми Піфагора і якості висот рівностороннього трикутника. Тобто для вирішення стереометричного завдання я використовував найменший стереометр. Виграш у цьому частково «гаситься» досить громіздкими обчисленнями. Зате вони досить алгоритмічні!

2. Зобразимо правильну шестикутну піраміду разом із системою координат, а також її основу:

Нам потрібно знайти кут між прямими та. Отже, наше завдання зводиться до пошуку координат точок: . Координати останніх трьох знайдемо по маленькому малюнку, а коодинату вершини знайдемо через координату точки. Роботи навалом, але треба приступати до неї!

a) Координата: ясно, що її апліката та ордината дорівнюють нулю. Знайдемо абсцису. Для цього розглянемо прямокутний трикутник. На жаль, у ньому нам відома лише гіпотенуза, яка дорівнює. Катет ми намагатимемося відшукати (бо ясно, що подвоєна довжина катета дасть нам абсцису крапки). Як же нам її шукати? Давай пригадаємо, що за постать у нас лежить у основі піраміди? Це правильний шестикутник. А що це означає? Це означає, що в нього всі боки та всі кути рівні. Треба знайти один такий кут. Є ідеї? Ідей маса, але є формула:

Сума кутів правильного n-кутника дорівнює .

Отже, сума кутів правильного шестикутника дорівнює градусів. Тоді кожен із кутів дорівнює:

Знову дивимося на картинку. Зрозуміло, що відрізок - бісектриса кута. Тоді кут дорівнює градусам. Тоді:

Тоді звідки.

Таким чином, має координати

b) Тепер легко знайдемо координату точки: .

c) Знайдемо координати точки. Так як її абсциса збігається з довжиною відрізка вона дорівнює. Знайти ординату теж не дуже складно: якщо ми з'єднаємо точки і точку перетину прямої позначимо, скажемо за. (Зроби сам нескладне побудова). Таким чином, ордината точки B дорівнює сумі довжин відрізків. Знову звернемося до трикутника. Тоді

Тоді як точка має координати

d) Тепер знайдемо координати точки. Розглянь прямокутник і довести, що таким чином координати точки:

e) Залишилось знайти координати вершини. Ясно, що її абсциса та ордината збігається з абсцисою та ординатою точки. Знайдемо аплікату. Тому що. Розглянемо прямокутний трикутник. За умовою завдання бічне ребро. Це гіпотенуза мого трикутника. Тоді висота піраміди – катет.

Тоді точка має координати:

Ну все, у мене є координати всіх точок, що цікавлять мене. Шукаю координати напрямних векторів прямих:

Шукаємо кут між цими векторами:

Відповідь:

Знову ж таки, при розв'язанні цього завдання я не використовував жодних витончених прийомів, крім формули суми кутів правильного n-кутника, а також визначення косинуса та синуса прямокутного трикутника.

3. Оскільки нам знову не дано довжини ребер у піраміді, то я вважатиму їх рівними одиниці. Таким чином, оскільки всі ребра, а не тільки бічні, рівні між собою, то в основі піраміди і мене лежить квадрат, а бічні грані - правильні трикутники. Зобразимо таку піраміду, а також її основу на площині, відзначивши всі дані, наведені в тексті завдання:

Шукаємо кут між і. Я робитиму дуже короткі викладки, коли займатимуся пошуком координат точок. Тобі потрібно буде «розшифрувати» їх:

b) – середина відрізка. Її координати:

c) Довжину відрізка знайду за теоремі Піфагора в трикутнику. Знайду за теоремою Піфагора у трикутнику.

Координати:

d) – середина відрізка. Її координати рівні

e) Координати вектора

f) Координати вектора

g) Шукаємо кут:

Куб - найпростіша фігура. Я впевнений, що з нею ти розберешся самостійно. Відповіді до завдань 4 та 5 такі:

Знаходження кута між прямою та площиною

Ну що, час найпростіших завдань закінчено! Тепер приклади будуть ще складнішими. Для пошуку кута між прямою і площиною ми будемо чинити так:

1. За трьома точками будуємо рівняння площини
   ,
   використовуючи визначник третього порядку.
2. За двома точками шукаємо координати напрямного вектора прямої:
3. Застосовуємо формулу для обчислення кута між прямою та площиною:

Як бачиш, ця формула дуже схожа на ту, яку ми застосовували для пошуку кутів між двома прямими. Структура правої частини просто однакова, а зліва ми тепер шукаємо синус, а чи не косинус, як раніше. Ну і додалася одна неприємна дія - пошук рівняння площини.

Не відкладатимемо в довгу скриньку рішення прикладів:

1. Ос-но-ва-ні-єм прямий приз-ми яв-ля-є-ся рів-но-бед-рен-ний трикутник Ви-со-та приз-ми дорівнює. Знайди кут між пря-мою і плоскістю.

2. У прямо-вугільному парале-ле-ле-пі-пе з-вест-ни Най-ді-те кут між пря-мою і плос-кістю

3. У правильній шість-вугільний приз-мі всі ребра рівні. Знайдіть кут між прямою і плоскістю.

4. У пра-вільної трикутної пі-ра-мі-де з ос-но-ва-ні-єм із-вест-ни ребра Най-ді-те кут, об-ра-зо-ван -ний плос-кістю ос-но-ва-ня і пря-мий, про-хо-дя-щої через се-ре-ді-ни ребер і

5. Довжини всіх ребер правильної чотирикутної піраміди з вершиною рівні між собою. Знайди кут між пря-мою і плоскістю, якщо точка - се-ре-ді-на бо-ко-во-го ребра пі-ра-мі-ди.

Знову вирішу перші дві завдання докладно, третю - коротко, а останні дві залишаю тобі для самостійного рішення. До того ж тобі вже доводилося мати справу із трикутною і чотирикутною пірамідами, а ось із призмами – поки що ні.

Рішення:

1. Зобразимо призму, а також її основу. Сумісний її з системою координат і відзначимо всі дані, які дано за умови завдання:

Вибачаюсь за деяке недотримання пропорцій, але для вирішення завдання це, по суті, не так важливе. Площина – це просто «задня стінка» моєї призми. Досить просто здогадатися, що рівняння такої площини має вигляд:

Однак це можна показати і безпосередньо:

Виберемо довільні три точки на цій площині: наприклад .

Складемо рівняння площини:

Вправа тобі: самостійно вирахувати цей визначник. У тебе вийшло? Тоді рівняння площини має вигляд:

Або просто

Таким чином,

Для вирішення прикладу мені потрібно знайти координати напрямного вектора прямої. Так як точка збіглася з початком координат, то координати вектора просто збігатимуться з координатами точки Для цього знайдемо спочатку координати точки.

Для цього розглянемо трикутник. Проведемо висоту (вона ж – медіана та бісектриса) з вершини. Оскільки, то ордината точки дорівнює. Для того, щоб знайти абсцис цієї точки, нам потрібно обчислити довжину відрізка. За теоремою Піфагора маємо:

Тоді точка має координати:

Крапка - це «піднята» на крапку:

Тоді координати вектора:

Відповідь:

Як бачиш, нічого принципово складного під час вирішення таких завдань немає. Насправді, процес ще трохи спрощує «прямота» такої фігури, як призма. Тепер давай перейдемо до такого прикладу:

2. Малюємо паралелепіпед, проводимо в ньому площину та пряму, а також окремо викреслюємо його нижню основу:

Спочатку знайдемо рівняння площини: Координати трьох точок, що у ній:

(перші дві координати отримані у очевидний спосіб, а останню координату ти легко знайдеш по картинці з точки). Тоді складаємо рівняння площини:

Обчислюємо:

Шукаємо координати напрямного вектора: Зрозуміло, що його координати збігаються з координатами точки, чи не так? Як знайти координати? Це координати точки, підняті по осі аплікат на одиницю! . Тоді Шукаємо шуканий кут:

Відповідь:

3. Малюємо правильну шестикутну піраміду, а потім проводимо в ній площину та пряму.

Тут навіть площину намалювати проблемно, не кажучи вже про розв'язання цього завдання, проте метод координат все одно! Саме в його універсальності і полягає його головна перевага!

Площина проходить через три точки: . Шукаємо їх координати:

1). Сам виведи координати останніх двох точок. Тобі знадобиться для цього розв'язання задачі із шестикутною пірамідою!

2) Будуємо рівняння площини:

Шукаємо координати вектора: . (Знову дивись завдання з трикутною пірамідою!)

3) Шукаємо кут:

Відповідь:

Як бачиш, нічого надприродно складного у цих завданнях немає. Потрібно лише бути дуже уважним із корінням. До останніх двох завдань я дам лише відповіді:

Як ти міг переконатися, техніка вирішення завдань скрізь однакова: основне завдання знайти координати вершин і підставити в деякі формули. Нам залишилося розглянути ще один клас завдань на обчислення кутів, а саме:

Обчислення кутів між двома площинами

Алгоритм рішення буде таким:

1. За трьома точками шукаємо рівняння першої площини:
2. За іншими трьома точками шукаємо рівняння другої площини:
3. Застосовуємо формулу:

Як бачиш, формула дуже схожа на дві попередні, за допомогою яких ми шукали кути між прямими та між прямою та площиною. Так що запам'ятати цю тобі не складе особливих труднощів. Відразу переходимо до розбору завдань:

1. Сто-ро-на ос-но-ва-ня правиль-ної трикутної приз-ми дорівнює, а діа-го-наль бокової грані дорівнює. Знай-ді-те кут між плос-кістю і плос-кістю ос-но-ва-ня приз-ми.

2. У пра-вільній че-ти-рех-вугіль-ній пі-ра-мі-де, всі ребра ко-то-рої рівні, знай-ді-те синус кута між плос-кістю і плос- кісткою, що проходить через точку пер-пен-ді-ку-ляр-но пря-мий.

3. У правильній че-ти-рех-вугільній призмі сто-ро-ни ос-но-ва-ня рівні, а бічні ребра рівні. На ребрі від-ме-че-на крапка так, що. Знайдіть кут між плос-ко-стя-ми і

4. У пра-виль-ної чотирикутної приз-мі сто-рони ос-но-ва-ня рівні, а бічні ребра рівні. На ребрі від-ме-че-на точка так, що Най-ді-те кут між плос-ко-стя-ми і.

5. У кубі най-ді-те ко-си-нус кута між плос-ко-стя-ми і

Розв'язання задач:

1. Малюю правильну (в основі - рівносторонній трикутник) трикутну призму і наголошую на ній площині, які фігурують за умови завдання:

Нам потрібно знайти рівняння двох площин: Рівняння основи виходить тривіально: ти можеш скласти відповідний визначник за трьома точками, я ж складу рівняння відразу:

Тепер знайдемо рівняння Точка має координати Точка - Так як - медіана та висота трикутника, то легко знаходиться за теоремою Піфагора у трикутнику. Тоді точка має координати: Знайдемо аплікату точки Для цього розглянемо прямокутний трикутник

Тоді отримуємо такі координати: Складаємо рівняння площини.

Обчислюємо кут між площинами:

Відповідь:

2. Робимо малюнок:

Найскладніше – це зрозуміти, що це така за таємнича площина, яка проходить через точку перпендикулярно. Ну що ж, головне, що це? Головне – це уважність! Насправді, пряма перпендикулярна. Пряма також перпендикулярна. Тоді площина, що проходить через ці дві прямі, буде перпендикулярна до прямої, і, до речі, проходити через точку. Ця площина проходить через вершину піраміди. Тоді потрібна площина - А площина нам вже дана. Шукаємо координати точок.

Координату точки знайдемо через точку. З маленького малюнка легко вивести, що координати точки будуть такі: Що тепер залишилося знайти, щоб знайти координати вершини піраміди? Ще треба вирахувати її висоту. Це робиться за допомогою тієї ж теореми Піфагора: спочатку доведи, що (тривіально з маленьких трикутничків, що утворюють квадрат в основі). Оскільки за умовою, то маємо:

Тепер все готово: координати вершини:

Складаємо рівняння площини:

Ти вже фахівець у обчисленні визначників. Без праці ти отримаєш:

Або інакше (якщо домножимо обидві частини на корінь із двох)

Тепер знайдемо рівняння площини:

(Ти не забув, як ми отримуємо рівняння площини, правда? Якщо ти не зрозумів, звідки взялася ця мінус одиниця, то повернися до визначення рівняння площини! Просто завжди до цього виявлялося так, що моїй площині належало початок координат!)

Обчислюємо визначник:

(Ти можеш помітити, що рівняння площини збіглося з рівнянням прямої, що проходить через точки і! Подумай, чому!)

Тепер обчислюємо кут:

Нам треба знайти синус:

Відповідь:

3. Каверзне питання: а що таке прямокутна призма, як ти вважаєш? Це ж всього лише добре відомий тобі паралелепіпед! Відразу ж робимо креслення! Можна навіть окремо не зображати основу, користі від неї тут небагато:

Площина, як ми вже помітили, записується у вигляді рівняння:

Тепер складаємо площину

Відразу складаємо рівняння площини:

Шукаємо кут:

Тепер відповіді до останніх двох завдань:

Ну що ж, тепер саме час трохи перепочити, адже ми з тобою молодці і проробили величезну роботу!

Координати та вектори. Просунутий рівень

У цій статті ми обговоримо ще один клас завдань, які можна вирішувати за допомогою методу координат: завдання на обчислення відстані. Зокрема, ми з тобою розглянемо такі випадки:

1. Обчислення відстані між прямими, що схрещуються.

Я впорядкував ці завдання зі збільшенням їхньої складності. Найбільш просто виявляється знайти відстань від точки до площини, а найскладніше - знайти відстань між схрещуючими прямими. Хоча, звісно, ​​немає нічого неможливого! Давай не відкладатимемо в довгий ящик і відразу приступимо до розгляду першого класу завдань:

Обчислення відстані від точки до площини

Що нам знадобиться для вирішення цього завдання?

1. Координати точки

Отже, як тільки ми отримаємо всі необхідні дані, то застосовуємо формулу:

Як ми будуємо рівняння площини, тобі вже повинно бути відомо з попередніх завдань, які я розбирав у минулій частині. Давай відразу приступимо до завдань. Схема наступна: 1, 2 – я допомагаю тобі вирішувати, причому досить докладно, 3, 4 – тільки відповідь, рішення ти проводиш сам і порівнюєш. Почали!

Завдання:

1. Даний куб. Довжина ребра куба дорівнює. Най-ді-те роз-сто-я-ня від се-ре-ді-ни від-різ-ка до плос-ко-сті

2. Дана пра-вільна че-ти-рех-вугільна-на пі-ра-мі-да Бо-ко-вое ребро сто-ро-на ос-но-ва-ня дорівнює. Знай-ді-те роз-сто-я-ня від точки до плоскості де — се-ре-ді-на ребра.

3. У пра-вільній трикутній пи-ра-мі-де з ос-но-ва-ні-єм бо-ко-ве ребро одно, а сто-ро-на ос-но-ва- ня дорівнює. Знай-ді-те роз-сто-я-ня від вер-ши-ни до плоскості.

4. У правильної шестикутної призмі всі ребра рівні. Знай-ді-те роз-сто-я-ня від точки до плоскості.

Рішення:

1. Малюємо кубик з одиничними ребрами, будуємо відрізок та площину, середину відрізка позначимо буквою

.

Спочатку давай почнемо з легені: знайдемо координати точки. Бо то (згадай координати середини відрізка!)

Тепер складаємо рівняння площини за трьома точками

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\y&1&0\z&1&1\end(array)) \right| = 0 \]

Тепер я можу приступати до пошуку відстані:

2. Знову починаємо з креслення, на якому відзначаємо всі дані!

Для піраміди було б корисно окремо малювати її основу.

Навіть той факт, що я малюю як курка лапою, не завадить нам легко вирішити це завдання!

Тепер легко знайти координати точки

Оскільки координати точки, то

2. Оскільки координати точки а – середина відрізка, то

Без проблем знайдемо і координати ще двох точок на площині Складаємо рівняння площини та спростимо його:

\[\left| (\left| (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0 \]

Оскільки точка має координати: , то обчислюємо відстань:

Відповідь (дуже рідкісна!):

Ну що, розібрався? Мені здається, що тут так само технічно, як і в тих прикладах, що ми розглядали з тобою в попередній частині. Так що я впевнений, що якщо ти оволодів тим матеріалом, то тобі не важко буде вирішити два завдання, що залишилися. Я лише наведу відповіді:

Обчислення відстані від прямої до площини

Насправді тут немає нічого нового. Як можуть розташовуватися пряма та площина один щодо одного? У них є всі можливості: перетнутися, або пряма паралельна площині. Як ти думаєш, чим дорівнює відстань від прямої до площини, з якою ця пряма перетинається? Мені здається, що тут ясно, що така відстань дорівнює нулю. Нецікавий випадок.

Другий випадок хитріший: тут уже відстань ненульова. Однак, оскільки пряма паралельна площині, то кожна точка прямої рівновіддалена від цієї площини:

Таким чином:

А це означає, що моє завдання звелося до попереднього: шукаємо координати будь-якої точки на прямій, шукаємо рівняння площини, обчислюємо відстань від точки до площини. Насправді такі завдання в ЄДІ зустрічаються вкрай рідко. Мені вдалося знайти лише одне завдання, і то дані в ньому були такими, що метод координат до неї був не дуже й застосовний!

Тепер перейдемо до іншого, набагато важливішого класу завдань:

Обчислення відстані точки до прямої

Що нам потрібно?

1. Координати точки, від якої ми шукаємо відстань:

2. Координати будь-якої точки, що лежить на прямій

3. Координати напрямного вектора прямої

Яку застосовуємо формулу?

Що означає знаменник даного дробу тобі і так має бути ясно: це довжина напрямного вектора прямої. Тут дуже хитрий чисельник! Вираз означає модуль (довжина) векторного добутку векторів і Як обчислювати векторний добуток, ми з тобою вивчали в попередній частині роботи. Освіжи свої знання, нам вони зараз дуже знадобляться!

Таким чином, алгоритм розв'язання задач буде наступним:

1. Шукаємо координати точки, від якої ми шукаємо відстань:

2. Шукаємо координати будь-якої точки на прямій, до якої ми шукаємо відстань:

3. Будуємо вектор

4. Будуємо напрямний вектор прямий

5. Обчислюємо векторний твір

6. Шукаємо довжину отриманого вектора:

7. Обчислюємо відстань:

Роботи у нас багато, а приклади будуть доволі складними! Так що тепер зосередьте всю увагу!

1. Дана пра-вільна трикутна пі-ра-мі-да з вер-ши-ною. Сто-ро-на ос-но-ва-ня пі-ра-мі-ди дорівнює, ви-со-та дорівнює. Знай-ді-те роз-сто-я-ня від се-ре-ді-ни бо-ко-во-го ребра до прямої, де точки і — се-ре-ді-ни ребер і зі-від- вет-ствен-но.

2. Довжини ребер і прямо-вугіль-но-го парал-ле-ле-пі-пе-да рівні со-від-від-ст-но і Най-ді-те рас-сто-я-ня від вер-ши-ни до прямий

3. У пра-вільній шість-вугільній приз-мі всі ребра якої рівні рівні най-ди-те роз-сто-я-ня від точки до пря-мий

Рішення:

1. Робимо акуратне креслення, на якому відзначаємо всі дані:

Роботи у нас з тобою безліч! Я спочатку хотів би описати словами, що ми шукатимемо і в якому порядку:

1. Координати точок та

2. Координати точки

3. Координати точок та

4. Координати векторів та

5. Їхній векторний твір

6. Довжина вектора

7. Довжину векторного твору

8. Відстань від до

Ну що ж, роботи нам належить чимало! Приймаємося за неї, засукавши рукави!

1. Щоб знайти координати висоти піраміди, нам потрібно знати координати точки Її аплікату дорівнює нулю, а ордината дорівнює Абсцисса її дорівнює довжині відрізка. Остаточно отримали координати:

Координати точки

2. – середина відрізка

3. – середина відрізка

Середина відрізка

4.Координати

Координати вектора

5. Обчислюємо векторний добуток:

6. Довжина вектора: найпростіше замінити, що відрізок - середня лінія трикутника, отже, він дорівнює половині основи. Так що.

7. Вважаємо довжину векторного твору:

8. Нарешті, знаходимо відстань:

Ух, ну все! Чесно тобі скажу: вирішення цього завдання традиційними методами (через побудови) було б набагато швидше. Натомість тут я все звів до готового алгоритму! Я так думаю, що алгоритм вирішення тобі зрозумілий? Тому попрошу тебе вирішити два завдання самостійно. Порівняємо відповіді?

Знову ж таки повторюся: ці завдання простіше (швидше) вирішувати через побудови, а не вдаючись до координатного методу. Я продемонстрував такий спосіб рішення лише для того, щоб показати тобі універсальний метод, який дозволяє «нічого не добудовувати».

Нарешті, розглянемо останній клас завдань:

Обчислення відстані між схрещувальними прямими

Тут алгоритм розв'язання задач буде схожий на попередній. Що у нас є:

3. Будь-який вектор, що з'єднує точки першої та другої прямої:

Як ми шукаємо відстань між прямими?

Формула така:

Чисельник - це модуль змішаного твору(ми його вводили в попередній частині), а знаменник - як і в попередній формулі (модуль векторного твору напрямних векторів прямих, відстань між якими ми шукаємо з тобою).

Я нагадаю тобі, що

тоді формулу для відстані можна переписати у вигляді:

Такий собі визначник ділити на визначник! Хоча, якщо чесно, мені тут зовсім не до жартів! Ця формула насправді дуже громіздка і призводить до досить складних обчислень. На твоєму місці я вдавався б до неї тільки в крайньому випадку!

Давай спробуємо вирішити кілька завдань, використовуючи викладений вище метод:

1. У пра-вільної трикутної приз-мі, всі ребра якої рівні, зна-ди-те рас-сто-я-ня між пря-ми-ми і.

2. Дана пра-вільна трикутна приз-ма всі ребра ос-но-ва-ня ко-то-рої рівні Сі-че-ня, про-хо-дя-че через бо-ко-вое ребро і се-ре-ді-ну ребра яв-ля-ється квад-ра-том. Знай-ді-те роз-сто-я-ня між пря-ми-ми і

Першу вирішую я, а спираючись на неї, другу вирішуєш ти!

1. Малюю призму і відзначаю прямі та

Координати точки С: тоді

Координати точки

Координати вектора

Координати точки

Координати вектора

Координати вектора

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Вважаємо векторний твір між векторами та

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Тепер рахуємо його довжину:

Відповідь:

Тепер постарайся акуратно виконати друге завдання. Відповіддю неї: .

Координати та вектори. Короткий опис та основні формули

Вектор – спрямований відрізок. - Початок вектора, -кінець вектора.
Вектор позначається або.

Абсолютна величинавектор - довжина відрізка, що зображує вектор. Позначається як.

Координати вектора:

,
де кінці вектора \displaystyle a .

Сума векторів: .

Твір векторів:

Скалярний добуток векторів:

Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними:

ЗАЛИШЕНІ 2/3 СТАТТІ ДОСТУПНІ ТІЛЬКИ УЧНЯМ YOUCLEVER!

Стати учнем YouClever,

Підготуватися до ОДЕ або ЄДІ з математики за ціною "чашка кави на місяць",

А також отримати безстроковий доступ до підручника "YouClever", Програми підготовки (решітника) "100gia", необмеженого пробному ЄДІта ОДЕ, 6000 завдань з розбором рішень та до інших сервісів YouClever та 100gia.