Цифровий ряд золотого перерізу. Дослідницька робота "загадка чисел фібоначчі". сума квадратів, що стоять поруч чисел буде числом Фібоначчі, яке стоїть через дві позиції після більшого зі зведених у квадрат чисел

Числа Фібоначчі – елементи числової послідовності.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, в якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх чисел. Назва на ім'я середньовічного математика Леонардо Пізанського (або Фібоначчі), який жив і працював торговцем та математиком в італійському місті Пізі. Він один із найславетніших європейських вчених свого часу. Серед його найбільших досягнень - запровадження арабських цифр, які замінили римські. Fn = Fn-1 + Fn-2

Математичний ряд асимптотично (тобто наближаючись дедалі повільніше і повільніше) прагне постійного відношенню. Однак це ставлення ірраціональне; воно має нескінченну, непередбачувану послідовність десяткових значень, що вишиковуються після нього. Воно ніколи не може бути виражене точно. Якщо кожне число, що є частиною ряду, розділити на попереднє значення (наприклад, 13-^8 або 21 -З), результат дії висловиться щодо, що коливається навколо ірраціонального числа 1,61803398875, трохи більше або трохи менше від сусідніх відносин ряду. Ставлення ніколи, до нескінченності, не буде точним до останньої цифри (навіть за використання найпотужніших комп'ютерів, створених у наш час). Заради стислості, будемо використовувати як відношення Фібоначчі число 1,618 і просимо читачів не забувати про цю похибку.

Числа Фібоначчі мають важливе значення і під час аналізу Алгоритм Евкліда для визначення найбільшого загального дільника двох чисел. Числа Фібоначчі відбуваються у формулі про діагоналі трикутником Паскаля (біноміальних коефіцієнтів).

Числа Фібоначчі виявилися пов'язаними із «золотим перетином».

Про золотий перетин знали ще у стародавньому Єгипті та Вавилоні, в Індії та Китаї. Що ж таке «золотий перетин»? Відповідь невідома досі. Числа Фібоначчі дійсно є актуальними для теорії практики в наш час. Підйом значущості стався у 20 столітті і продовжується досі. Використання чисел Фібоначчі економіки та інформатики і залучило маси людей до вивчення.

Методика мого дослідження полягала у вивченні спеціалізованої літератури та узагальненні отриманої інформації, а також проведенні власних досліджень та виявлення властивостей чисел та сфери їх використання.

В ході наукових дослідженьвизначила саме поняття чисел Фібоначчі, їхні властивості. Також я з'ясувала цікаві закономірності у живій природі, безпосередньо у будові насіння соняшника.

На соняшнику насіння вибудовується в спіралі, причому кількості спіралей, що йдуть в інший бік, різні - вони є послідовними числами Фібоначчі.

На цьому соняшнику 34 та 55.

Те саме спостерігається і на плодах ананаса, де спіралей буває 8 і 14. З унікальною властивістю чисел Фібоначчі пов'язане листя кукурудзи.

Дроби виду a/b, що відповідають гвинтоподібному розташуванню листя ніг стеблинки рослини, часто є відносинами послідовних чисел Фібоначчі. Для ліщини це відношення дорівнює 2/3, для дуба-3/5, для тополі 5/8, для верби 8/13 і т.д.

Розглядаючи розташування листя на стеблі рослин можна помітити, що між кожною парою листя (А і С) третя розташована в місці золотого перерізу(В)

Ще цікавою властивістю числа Фібоначчі є, що твір і приватне двох будь-яких різних чисел Фібоначчі, відмінних від одиниці, ніколи не є числом Фібоначчі.

В результаті дослідження я дійшла таких висновків: числа Фібоначчі - унікальна арифметична прогресія, що з'явилася у 13 столітті нашої ери. Це прогресія не втрачає своєї актуальності, що й підтвердилося під час моїх досліджень. Число Фібоначчі зустрічаються не те й у програмуванні та економічних прогнозах, у живописі, архітектурі та музиці. Картини таких відомих художників, як Леонардо да Вінчі, Мікеланджело, Рафаеля та Боттічеллі приховують у собі магію золотого перетину. Навіть І. І. Шишкін використовував золотий перетин у своїй картині «Сосновий гай».

У це складно повірити, але золотий перетин зустрічається й у музичних творах таких великих композиторів, як Моцарт, Бетховен, Шопен тощо.

Числа Фібоначчі зустрічається і в архітектурі. Наприклад, золотий перетин використовувався при будівництві Парфенону та собору Паризької Богоматері.

Я виявила, що числа Фібоначчі використовуються і в наших краях. Наприклад, наличники будинків, фронтони.

У всесвіті ще багато нерозгаданих таємниць, деякі з яких вчені вже змогли визначити та описати. Числа Фібоначчі та золотий перетин становлять основу розгадки навколишнього світу, побудови його форми та оптимального зорового сприйняттялюдиною, за допомогою яких вона може відчувати красу та гармонію.

Золотий перетин

Принцип визначення розмірів золотого перерізу лежить в основі досконалості цілого світу та його частин у своїй структурі та функціях, його прояв можна бачити у природі, мистецтві та техніці. Вчення про золоту пропорцію було закладено в результаті досліджень давніми вченими природи чисел.

В основі його лежить теорія про пропорції та співвідношення поділів відрізків, яке було зроблено ще давнім філософом та математиком Піфагором. Він довів, що при розділенні відрізка на дві частини: X (меншу) і Y (велику), відношення більшого до меншого буде рівним відношенню їх суми (всього відрізка):

В результаті виходить рівняння: х 2 - х - 1 = 0,яке вирішується як х=(1±√5)/2.

Якщо розглянути співвідношення 1/х, воно дорівнює 1,618…

Свідчення використання древніми мислителями золотої пропорції наведено у книзі Евкліда «Початку», написаної ще 3 в. до н.е., який застосовував це правило для побудови правильних 5-кутників. У піфагорійців ця фігура вважається священною, оскільки є одночасно симетричною та асиметричною. Пентаграма символізувала життя та здоров'я.

Числа Фібоначчі

Знаменита книга Liber abaci математика з Італії Леонардо Пізанського, який у подальшому став відомий, як Фібоначчі, побачила світ у 1202 р. У ній учений вперше наводить закономірність чисел, серед яких кожне число є сумою 2-х попередніх цифр. Послідовність чисел Фібоначчі полягає в наступному:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 і т.д.

Також вчений навів низку закономірностей:

• Будь-яке число з ряду, розділене на наступне, дорівнюватиме значенню, яке прагне 0,618. Причому перші числа Фібоначчі не дають такого числа, але в міру просування від початку послідовності це співвідношення буде дедалі точнішим.
• Якщо ж поділити число із ряду на попереднє, то результат спрямує до 1,618.
• Одне число, поділене наступне через одне, покаже значення, що прагне 0,382.

Застосування зв'язку і закономірностей золотого перерізу, числа Фібоначчі (0,618) можна знайти у математиці, а й у природі, історія, архітектурі та будівництві й у багатьох інших науках.

Спіраль Архімеда та золотий прямокутник

Спіралі, дуже поширені у природі, було досліджено Архімедом, який навіть вивів її рівняння. Форма спіралі ґрунтується на законах про золотий переріз. При її розкручуванні виходить довжина, до якої можна застосувати пропорції та числа Фібоначчі, збільшення кроку відбувається поступово.

Паралель між числами Фібоначчі та золотим перетином можна побачити і побудувавши «золотий прямокутник», у якого сторони пропорційні, як 1,618:1. Він будується, переходячи від більшого прямокутника до малих так, що довжини сторін дорівнюватимуть числам з ряду. Побудову його можна зробити і у зворотному порядку, починаючи з квадратика «1». При з'єднанні лініями кутів цього прямокутника у центрі їхнього перетину виходить спіраль Фібоначчі або логарифмічна.

Історія застосування золотих пропорцій

Багато стародавніх пам'яток архітектури Єгипту зведено з використанням золотих пропорцій: знамениті піраміди Хеопса та ін. Стародавню Греціюїх широко використовували при зведенні архітектурних об'єктів, таких як храми, амфітеатри, стадіони. Наприклад, були застосовані такі пропорції при будівництві античного храму Парфенон, (Афіни) та інших об'єктів, які стали шедеврами стародавнього зодчества, що демонструють гармонію на математичній закономірності.

У пізніші століття інтерес до золотого перерізу вщух, і закономірності були забуті, проте знову відновився в епоху Ренесансу разом з книгою францисканського ченця Л. Пачолі ді Борго «Божественна пропорція» (1509). У ній було наведено ілюстрації Леонардо да Вінчі, який і закріпив нову назву «золотий перетин». Також було науково доведено 12 властивостей золотої пропорції, причому автор розповідав про те, як проявляється вона в природі, мистецтві та називав її «принципом побудови світу та природи».

Вітрувіанська людина Леонардо

Малюнок, яким Леонардо да Вінчі в 1492 проілюстрував книгу Вітрувія, зображує фігуру людини в 2-х позиціях з руками, розведеними в сторони. Фігура вписана у коло та квадрат. Цей малюнок прийнято вважати канонічними пропорціями людського тіла (чоловічого), описаними Леонардо з урахуванням вивчення в трактатах римського архітектора Вітрувія.

Центром тіла як рівновіддаленою точкою від кінця рук і ніг вважається пупок, довжина рук прирівнюється до зростання людини, максимальна ширина плечей = 1/8 росту, відстань від верху грудей до волосся = 1/7, від верху грудей до верху голови =1/6 і т.д.

З того часу малюнок використовується у вигляді символу, що показує внутрішню симетрію тіла людини.

Термін "Золотий перетин" Леонардо використовував для позначення пропорційних відносин у фігурі людини. Наприклад, відстань від пояса до ніг співвідноситься до аналогічної відстані від пупка до верхівки так само, як зростання до першої довжини (від пояса вниз). Ці обчислення виробляється аналогічно співвідношенню відрізків при обчисленні золотої пропорції і прагне 1,618.

Всі ці гармонійні пропорції часто використовуються митцями для створення красивих і вражаючих творів.

Дослідження золотого перерізу у 16-19 століттях

Використовуючи золотий перетин і числа Фібоначчі, дослідницьку роботу з питання пропорції продовжують не одне століття. Паралельно з Леонардо да Вінчі німецький художник Альбрехт Дюрер займався також розробкою теорії правильних пропорцій тіла людини. Для цього їм навіть було створено спеціальний циркуль.

У 16 ст. питанню про зв'язок числа Фібоначчі та золотого перерізу були присвячені роботи астронома І. Кеплера, який вперше застосував ці правила для ботаніки.

Нове «відкриття» чекало на золотий перетин у 19 ст. з опублікуванням "Естетичного дослідження" німецького вченого професора Цейзіга. Він звів ці пропорції в абсолют і оголосив у тому, що вони універсальні всім природних явищ. Їм були проведені дослідження величезної кількості людей, вірніше їх тілесних пропорцій (близько 2 тис.), за підсумками яких зроблено висновки про статистичні підтверджені закономірності у співвідношеннях різних частин тіла: довжини плечей, передпліч, кистей, пальців і т.д.

Було досліджено також предмети мистецтва (вази, архітектурні споруди), музичні тони, розміри під час написання віршів — усе це Цейзіг відобразив через довжини відрізків і цифри, він запровадив термін «математична естетика». Після отримання результатів з'ясувалося, що виходить низка Фібоначчі.

Число Фібоначчі та золотий перетин у природі

У рослинному та тваринному світі існує тенденція до формоутворення у вигляді симетрії, яка спостерігається у напрямку зростання та руху. Розподіл на симетричні частини, в яких дотримуються золоті пропорції, така закономірність властива багатьом рослинам і тваринам.

Природа навколо нас може бути описана за допомогою чисел Фібоначчі, наприклад:

• розташування листя або гілок будь-яких рослин, а також відстані співвідносяться з рядом наведених чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 і далі;
• насіння соняшника (луска на шишках, осередки ананаса), розташовуючись двома рядами по закручених спіралях у різні боки;
• співвідношення довжини хвоста та всього тіла ящірки;
• форма яйця, якщо провести лінію умовно через його широку частину;
• співвідношення розмірів пальців на руці людини.

І, звичайно, найцікавіші форми представляють раковини равликів, що закручуються по спіралі, візерунки на павутині, рух вітру всередині урагану, подвійна спіраль в ДНК і структура галактик — всі вони включають послідовність чисел Фібоначчі.

Використання золотого перерізу мистецтво

Дослідники, які займаються пошуком у мистецтві прикладів використання золотого перерізу, докладно досліджують різноманітні архітектурні об'єкти та твори живопису. Відомі знамениті скульптурні роботи, творці яких дотримувалися золотих пропорцій, - статуї Зевса Олімпійського, Аполлона Бельведерського та

Один із творів Леонардо да Вінчі — «Портрет Мони Лізи» — вже багато років є предметом досліджень вчених. Ними було виявлено, що композиція роботи повністю складається із «золотих трикутників», об'єднаних разом у правильний п'ятикутник-зірку. Всі роботи да Вінчі є свідченням того, наскільки глибокими були його пізнання в будові та пропорціях тіла людини, завдяки чому він і зміг вловити неймовірно загадкову усмішку Джоконди.

Золотий перетин в архітектурі

Як приклад, вчені досліджували шедеври архітектури, створені за правилами «золотого перерізу»: єгипетські піраміди, Пантеон, Парфенон, Собор Нотр-Дам де Парі, храм Василя Блаженного та ін.

Парфенон — одне з найкрасивіших будівель у Стародавню Грецію (5 в. е.) — має 8 колон і 17 з різних боків, відношення його висоти до довжини сторін дорівнює 0,618. Виступи на його фасадах зроблено за «золотим перерізом» (фото нижче).

Одним із вчених, який вигадав та успішно застосовував удосконалення модульної системи пропорцій для архітектурних об'єктів (так званий «модулер»), був французький архітектор Ле Корбюзьє. В основу модулера покладено вимірювальну систему, пов'язану з умовним розподілом на частини людського тіла.

Російський архітектор М. Козаков, який збудував кілька житлових будинків у Москві, а також будівлі сенату в Кремлі та Голицинській лікарні (зараз 1-а Клінічна ім. М. І. Пирогова), був одним з архітекторів, які використовували при проектуванні та будівництві закони про золотий переріз.

Застосування пропорцій у дизайні

У дизайні одягу всі модельєри роблять нові образи та моделі з урахуванням пропорцій людського тіла та правил золотого перетину, хоча від природи не всі люди мають ідеальні пропорції.

При плануванні ландшафтного дизайну та створенні об'ємних паркових композицій за допомогою рослин (дерев та чагарників), фонтанів та малих архітектурних об'єктів також можуть застосовуватися закономірності «божественних пропорцій». Адже композиція парку має бути орієнтована на створення враження на відвідувача, який вільно зможе орієнтуватися у ньому та знаходити композиційний центр.

Всі елементи парку знаходяться в таких співвідношеннях, щоб за допомогою геометричної будови, взаєморозташування, освітлення та світла справити на людину враження гармонії та досконалості.

Застосування золотого перерізу в кібернетиці та техніці

Закономірності золотого перерізу та чисел Фібоначчі виявляються також у переходах енергії, у процесах, що відбуваються з елементарними частинками, складових хімічні сполуки, в космічних системаху генній структурі ДНК.

Аналогічні процеси відбуваються і в організмі людини, виявляючись у біоритмах його життя, у дії органів, наприклад, головного мозку чи зору.

Алгоритми та закономірності золотих пропорцій широко використовуються в сучасній кібернетиці та інформатиці. Одне з нескладних завдань, яке дають вирішувати програмістам-початківцям, — написати формулу і визначити, суму чисел Фібоначчі до певного числа, використовуючи мови програмування.

Сучасні дослідження теорії про золоту пропорцію

Починаючи з середини 20 століття, інтерес до проблем та впливу закономірностей золотих пропорцій на життя людини різко зростає, причому з боку багатьох вчених різних професій: математиків, дослідників етносу, біологів, філософів, медичних працівників, економістів, музикантів та ін.

У США з 1970-х років починає випускатись журнал The Fibonacci Quarterly, де публікуються роботи на цю тему. У пресі з'являються роботи, у яких узагальнені правила золотого перерізу та ряду Фібоначчі використовують у різних галузях знань. Наприклад, для кодування інформації, хімічних досліджень, біологічних та ін.

Усе це підтверджує висновки древніх і сучасних учених у тому, що золота пропорція багатосторонньо пов'язані з фундаментальними питаннями науки і проявляється у симетрії багатьох творінь і явищ навколишнього світу.

Спільно з видавництвом « » ми публікуємо уривок із книги професора прикладної математикиЕдварда Шейнермана «Путівник для закоханих у математику», присвяченої нестандартним питанням захоплюючої математики, головоломкам, Всесвіту чисел та фігур. Переклад з англійської Олексія Огнєва.

Цей розділ розповідає про знамениті числа Фібоначчі: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 і т. д. Цей ряд був названий на честь Леонардо Пізанського, більше відомого як Фібоначчі. Леонардо Пізанський (1170-1250) - один із перших великих математиків середньовічної Європи. Прізвисько Фібоначчі означає «син Боначчі». Автор "Книги абака", що викладає десяткову систему числення.

Квадрати та доміно

Почнемо з укладання квадратів та доміно. Уявимо довгу горизонтальну рамку розмірами 1×10. Ми хочемо повністю заповнити її квадратами 1×1 та кісточками доміно 1×2, не залишивши жодної щілини. Ось картинка:

Запитання: Скільки способами це можна зробити?

Для зручності позначимо кількість варіантів F10. Перебирати їх все і потім перераховувати - важка праця, що загрожує помилками. Набагато краще спростити завдання. Не будемо з місця у кар'єр шукати F10, почнемо з F1. Це найпростіше! Нам потрібно заповнити рамку 1×1 квадратами 1×1 та кісточками доміно 1×2. Доміно не поміститься, залишається єдине рішення: взяти один квадрат. Інакше кажучи, F1 = 1.

Тепер розберемося із F2. Розмір рамки 1×2. Можна заповнити її двома квадратами або однією кісточкою доміно. Таким чином, є два варіанти, і F2 = 2.

Далі: Скільки способами можна заповнити рамку 1 × 3? Перший варіант: три квадрати. Два інших варіанти: одна кісточка доміно (дві не влізуть) і квадрат ліворуч чи праворуч. Отже, F3 = 3. Ще один крок: візьмемо рамку 1×4. На малюнку показані всі варіанти заповнення:

Ми знайшли п'ять можливостей, але де гарантія, що ми нічого не проґавили? Є спосіб перевірити себе. У лівому кінці рамки може бути або квадрат, або кісточка доміно. У верхньому ряду малюнку - варіанти, коли ліворуч квадрат, у нижньому ряду - коли ліворуч доміно.

Припустимо, зліва квадрат. Решту потрібно заповнити квадратами і доміно. Іншими словами, потрібно заповнити рамку 1 × 3. Це дає 3 варіанти, оскільки F3 = 3. Якщо зліва доміно, розмір частини 1 × 2, що залишилася, і заповнити її можна двома варіантами, так як F2 = 2.

Таким чином, у нас є 3 + 2 = 5 варіантів і ми переконалися, що F4 = 5.

Тепер ваша черга. Подумайте пару хвилин і знайдіть усі варіанти заповнення для рамки 1×5. Їх небагато. Рішення – наприкінці глави. Можете відволіктися та подумати.

Повернемося до наших квадратів. Хочеться вірити, що ви знайшли 8 варіантів, тому що є 5 способів укладання, де ліворуч квадрат, і ще 3 способи, де ліворуч доміно. Отже, F5 = 8.

Підсумуємо. Ми позначили FN кількість способів заповнення рамки 1×n квадратами та кісточками доміно. Нам потрібно знайти F10. Ось що ми вже знаємо:

Рухаємось далі. Чому дорівнює F6? Можна намалювати всі варіанти, але це нудно. Краще розіб'ємо питання на дві частини. Скільки способами можна заповнити рамку 1 × 6, якщо ліворуч (a) квадрат і (b) кісточка доміно? Хороша новина: ми вже знаємо відповідь! У першому випадку нам залишається п'ять квадратів, а ми знаємо, що F5 = 8. У другому випадку потрібно заповнити чотири квадрати; нам відомо, що F4 = 5. Отже, F5 + F4 = 13.

Чому дорівнює F7? З тих самих міркувань, F7 =F6+F5=13+8=21. А як щодо F8? Очевидно, F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. І так далі. Ми виявили наступний взаємозв'язок: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Ще кілька кроків – і ми знайдемо шукане число F10. Правильна відповідь – наприкінці глави.

Числа Фібоначчі

Числа Фібоначчі – це послідовність:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Вона вишиковується за такими правилами:

― перші два числа 1 та 1;

― кожне наступне число отримуємо додаванням двох попередніх.

Позначатимемо n-ний елемент послідовності Fn, починаючи з нуля: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, … Черговий елемент ми обчислюємо за формулою: Fn = Fn-1 + Fn-2 .

Як бачимо, завдання укладання квадратів і доміно призвела нас до послідовності чисел Фібоначчі [ 1 ]У задачі про квадрати та доміно ми з'ясували: F1 = 1, а F2 = 2. Але числа Фібоначчі починаються з F0 = 1. Як це узгоджується з умовами задачі? Скільки існує способів заповнити на тих самих умовах рамку 0×1? Довжина квадрата і довжина кісточки доміно, як не крути, більше за нуль, тому є спокуса сказати, що відповідь дорівнює нулю, але це не так. Прямокутник 0×1 вже заповнений, там немає щілин; нам не знадобиться ні квадрат, ні кісточка доміно. Таким чином, є лише один спосіб дії: не брати ні квадрата, ні кісточки доміно. Розумієте? У такому разі я вітаю вас. У вас є душа математика!

Сума чисел Фібоначчі

Спробуємо скласти перші кілька чисел Фібоначчі. Що ми можемо сказати про суму F0+F1+…+Fn для будь-якого n? Давайте проробимо деякі обчислення і подивимося, що вийде. Зверніть увагу на результати додавання внизу. Чи бачите ви закономірність? Почекайте трохи, перш ніж рухатися далі: буде краще, якщо ви знайдете відповідь самостійно, а не прочитаєте вже готове рішення.

Хочеться вірити, ви побачили, що результати підсумовування, якщо до них приплюсувати по одиниці, теж вишиковуються в послідовність чисел Фібоначчі. Наприклад, додавання чисел від F0 до F5 дає: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1. Додавання чисел від F0 до F6 дає 33, що на одиницю менше від F8 = 34. Ми можемо записати формулу для невід'ємних цілих чисел n: F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. (*)

Мабуть, особисто вам достатньо буде побачити, що формула [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.. працює в дюжині випадків, щоб ви повірили, що вона вірна, але математики прагнуть доказів. Ми раді надати вам два можливі докази того, що вона вірна для всіх невід'ємних цілих чисел n.

Перше називається доказом індукції, друге - комбінаторним доказом.

Доказ по індукції

Формула [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.є нескінченно багато формул у згорнутому вигляді. Довести, що [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.Правильно конкретного значення n, скажімо для n = 6, - просте арифметична завдання. Достатньо буде записати числа від F0 до F6 і скласти їх: F0 + F2 + ... + F6 = 1 +1 +2 +3 +5 +8 +13 = 33.

Неважко побачити, що F8 = 34 тому формула діє. Перейдемо до F7. Не витрачатимемо час і складатимемо всі числа: ми вже знаємо суму аж до F6. Отже, (F0 +F1 +…+F6)+F7 =33+21=54. Як і раніше, все сходиться: F9 = 55.

Якщо зараз ми почнемо перевіряти, чи формула працює для n = 8, наші сили остаточно вичерпаються. Але все ж таки подивимося, що ми вже знаємо і що хочемо з'ясувати:

F0 + F1 + ... + F7 = F9.

F0 + F1 + ... + F7 + F7 =?

Скористаємося попереднім результатом: (F0 + F1 + ... + F7) + F8 = (F9-1) + F8.

Ми, звісно, ​​можемо обчислити (F9-1) + F8 арифметично. Але так ми втомимося ще більше. У той самий час ми знаємо, що F8 + F9 = F10. Таким чином, нам не потрібно нічого вираховувати чи заглядати до таблиці чисел Фібоначчі:

(F0 + F1 + ... + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.

Ми переконалися, що формула працює для n=8, на основі того, що знали про n=7.

У разі n = 9 ми так само спираємося на результат для n = 8 (переконайтеся в цьому самостійно). Зрозуміло, довівши вірність [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.для n, ми можемо бути впевнені, що [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.вірно й у n + 1.

Ми готові надати повний доказ. Як було сказано, [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.є нескінченною кількістю формул для всіх значень n від нуля до нескінченності. Подивимося, як працює доказ.

Спочатку ми доводимо [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.у найпростішому випадку, для n = 0. Ми просто перевіряємо, що F0 = F0+2 - 1. Оскільки F0 = 1, а F2 = 2 очевидно 1 = 2 - 1, а F0 = F2-1.

Далі нам достатньо показати, що вірність формули одного значення n (скажімо, n = k) автоматично означає вірність для n + 1 (у прикладі n = k + 1). Нам треба лише продемонструвати, як влаштовано це «автоматично». Що нам потрібно зробити?

Візьмемо кілька k. Припустимо, ми знаємо, що F0+F1+…+Fk =Fk+2–1. Ми шукаємо величину F0+F1+…+Fk+Fk+1.

Ми вже знаємо суму чисел Фібоначчі аж до Fk, тому ми отримуємо:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =(Fk+2–1)+Fk+1.

Права частина дорівнює Fk+2 - 1 + Fk+1, і ми знаємо, чому дорівнює сума наступних один за одним чисел Фібоначчі:

Fk+2–1 + Fk+1 = (Fk+2 + Fk+1) - 1 = Fk+3– 1

Підставимо в нашу рівність:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =Fk+3–1

Зараз поясню, що ми зробили. Якщо ми знаємо, що [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.вірно, коли ми підсумовуємо числа до Fk, тоді [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.має бути вірно, якщо ми приплюсуємо Fk+1.

Підсумуємо:

Формула [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.правильна для n = 0.

Якщо формула [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.вірна для n, вона вірна й у n + 1.

Ми можемо впевнено сказати, що [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.Правильно для будь-яких значень n. Чи правильно [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.для n = 4987? Це так, якщо вираз вірний для n = 4986, що ґрунтується на вірності виразу для n = 4985, і так далі до n = 0. Отже, формула [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.вірна всім можливих значень. Цей метод доказу відомий під назвою математична індукція (або доказ щодо індукції). Ми перевіряємо базовий випадок і даємо шаблон, яким кожен наступний випадок може бути доведений на основі попереднього.

Комбінаторний доказ

А ось зовсім інший доказ тотожності * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.. Основний підхід тут – скористатися тим фактом, що число Fn – це кількість способів облицьовувати прямокутник 1×n квадратами та кісточками доміно.

Нагадаю, що нам потрібно довести:

F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2-1. (*)

Ідея полягає в тому, щоб розглядати обидві частини рівняння як розв'язання задачі з облицюванням. Якщо ми доведемо, що ліва і права частина- Рішення для одного і того ж прямокутника, вони збігатимуться між собою. Ця техніка носить назву комбінаторного доказу 2 ]Слово «комбінаторний» утворено від іменника «комбінаторика» - назви розділу математики, предметом якого є підрахунок варіантів у завданнях, схожих на облицювання прямокутника. Слово «комбінаторика» у свою чергу утворене від слова «комбінації»..

На яке питання щодо комбінаторики рівняння [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.дає дві вірні відповіді? Ця головоломка схожа на ті, що зустрічаються у шоу Jeopardy! [ 3 ]Популярна у США телевікторина. Аналоги Jeopardy! виходять у різних країнах; у Росії це – «Своя гра». - Прим. ред., де учасники повинні формулювати питання, знаючи заздалегідь правильну відповідь.

Права частина виглядає простіше, тож почнемо з неї. Відповідь: Fn+2– 1. Яке питання? Якби відповідь дорівнювала просто Fn+2, ми з легкістю сформулювали б питання: скільки способів можна облицьувати прямокутник 1 × (n + 2) за допомогою квадратів і кісточок доміно? Це майже те, що потрібно, але відповідь менша на одиницю. Спробуємо м'яко змінити питання та зменшити відповідь. Приберемо один варіант облицювання і перерахуємо решту. Складність полягає в тому, щоб знайти один варіант, який кардинально відрізняється від решти. Чи є такий?

Кожен спосіб облицювання передбачає використання квадратів або доміно. Тільки квадрати задіяні в одному варіанті, в інших є хоча б одна кістячка доміно. Візьмемо це за основу нового питання.

Запитання:Скільки існує варіантів облицювання квадратами і кісточками доміно прямокутної рамки 1 × (n + 2), що включають щонайменше одну кісточку доміно?

Зараз ми знайдемо дві відповіді на це запитання. Оскільки обидва будуть вірні, ми зможемо впевнено поставити знак рівності.

Одну з відповідей ми вже обговорювали. Є Fn+2 варіантів укладання. Тільки один з них має на увазі використання виключно квадратів, без доміно. Отже, відповідь №1 на запитання така: Fn+2– 1.

Друга відповідь має бути - я сподіваюся - лівою частиною рівняння [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.. Подивимося, як це працює.

Потрібно перерахувати варіанти заповнення рамки, що включають хоча б одну кістячку доміно. Давайте подумаємо, де буде розташована найперша кісточка. Є n + 2 позицій, і перша кісточка може розташовуватись у позиціях від 1 до n + 1.

Розглянемо випадок n = 4. Ми шукаємо варіанти заповнення рамки 1 × 6, що задіють хоча б одну кісточку доміно. Ми знаємо відповідь: F6 – 1 = 13 – 1 = 12, але нам необхідно отримати його іншим шляхом.

Перша кісточка доміно може займати такі позиції:

Перша колонка демонструє випадок, коли кісточка знаходиться на першій позиції, друга - коли кісточка на другій, і т.д.

Скільки варіантів у кожній колонці?

У першій колонці – п'ять варіантів. Якщо відкинути доміно зліва, ми отримаємо рівно F4 = 5 варіантів для прямокутника 1×4. У другій колонці – три варіанти. Відкинемо доміно та квадрат зліва. Ми отримаємо F3 = 3 варіанти для прямокутника 1×3. Аналогічно для інших колонок. Ось що ми виявили:

Таким чином, кількість способів замостити квадратами і доміно (хоча б однією кісточкою) прямокутну рамку 1 × 6 дорівнює F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12.

Висновок: F0+F1+F2+F3+F4=12=F6–1.

Розглянемо загальний випадок. Нам дана рамка довжиною n + 2. Скільки є варіантів її заповнення, за яких перша кісточка доміно знаходиться на певній позиції k? І тут перші k - 1 позицій зайняті квадратами. Таким чином, загалом зайнята k + 1 позиція [ 4 ]Число k може приймати значення від 1 до n + 1, але не більше, бо інакше остання кісточка доміно висунеться за межі рамки.. Ті, що залишилися (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1 можна заповнити будь-якими способами. Це дає Fn-k+1 варіантів. Побудуємо діаграму:

Якщо k змінюється від 1 до n + 1, то величина n - k + 1 змінюється від 0 до n. Таким чином, кількість варіантів заповнення нашої рамки з використанням хоча б однієї кісточки доміно дорівнює Fn+Fn-1+…+F1+F0.

Якщо поставити доданки у зворотному порядку, ми отримаємо ліву частину виразу (*). Таким чином, ми знайшли другу відповідь на поставлене запитання: F0+F1+…+Fn.

Отже, ми маємо дві відповіді на запитання. Величини, отримані за допомогою двох виведених нами формул, збігаються, і тотожність [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.доведено.

Співвідношення чисел Фібоначчі та золотий переріз

Додавання двох наступних один за одним чисел Фібоначчі дає чергове число Фібоначчі. У цьому розділі ми торкнемося питання цікавіше: що буде, якщо ми поділимо число Фібоначчі на попереднє в ряду? Порахуємо співвідношення Fk1. Для значень k.

У таблиці можна бачити співвідношення від F1/F0 до F20/19.

Чим більше стають числа Фібоначчі, тим ближче співвідношення Fk+1/Fk до константи приблизно дорівнює 1,61803. Це число - ви будете здивовані - досить відоме, і якщо ви введете його в пошукову систему, вивалиться сила-силенна сторінок про золотий перетин. Що це таке? Співвідношення сусідніх чисел Фібоначчі однаково. Однак воно майже однаково, якщо цифри досить великі. Давайте знайдемо формулу для числа 1,61803 і цього на час вважатимемо, що це співвідношення однакові. Введемо позначення x:

x=Fk+1/ Fk=/ Fk+2/ Fk+1= Fk+3/ Fk+2=…

Це означає, що Fk+1 = xFk, Fk+2 = xFk+1 і т. д. Можна переформулювати:

Fk+2=xFk+1=x2>Fk.

Але ми знаємо, що Fk+2= Fk+1 + Fk. Отже, x2>FkFk = xFk + Fk.

Якщо ми поділимо обидві частини на Fk і перегрупуємо доданки, то отримаємо квадратне рівняння: x2-x-1 = 0. Воно має два рішення:

Співвідношення має бути позитивним. І ось ми отримали знайоме нам число. Зазвичай для позначення золотого перерізу використовують грецьку букву φ (фі):

Ми вже зауважили, що співвідношення сусідніх чисел Фібоначчі наближається (прагне) до φ. Це чудово. Це дає нам ще один спосіб обчислювати приблизні значення чисел Фібоначчі. Послідовність чисел Фібоначчі – це ряд F0 F1, F2, F3, F4, F5… Якщо всі співвідношення Fk+1/Fk будуть однакові, ми отримаємо формулу:

Тут з- Ще одна константа. Порівняємо округлені значення Fn та φn для різних n:

Для більших значень n співвідношення Fn/φn ≈ 0,723607. Це число дорівнює точності φ/корінь5. Іншими словами,

Зверніть увагу: якщо округлити до найближчого цілого числа, ми отримаємо точно Fn.

Якщо ви не хочете турбувати себе округленнями до цілого числа, то формула, названа названа на честь Жака Біне [ 5 ]Жак Біне (1786–1856) – французький математик, механік та астроном. Формула для чисел Фібоначчі названа на честь Біне, хоча майже сто років раніше її вивів Абрахам де Муавр (1667–1754). - Прим. пров., надасть вам точне значення:

Заповнення рамки 1×5

Нашу рамку можна заповнити квадратами та доміно такими способами:

Є F4 = 5 варіантів, коли спочатку стоїть квадрат, і F3 = 3 варіанти, коли спочатку стоїть кісточка доміно. Загалом це дає F5 = F4 + F3 = 8 варіантів.

Величина F10(Відповідь на наступне питання, що стосується укладання) дорівнює 89.

Здрастуйте, дорогі читачі!

Золотий перетин – що це таке? Числа Фібоначчі - це? У статті – відповіді на ці питання кратно та зрозуміло, простими словами.

Ці питання ось уже кілька тисячоліть розбурхують уми нових і нових поколінь! Виявляється математика може бути не нудною, а захоплюючою, цікавою, чарівною!

Інші корисні статті:

Числа Фібоначчі – це що?

Вражаючий той факт, що при розподілі кожного наступного числа числової послідовності на попереднєвиходить число, що прагне 1,618.

Виявив цю загадкову послідовність щасливчик математик середньовіччя Леонардо Пізанський (відоміший під ім'ям Фібоначчі). До нього Леонардо Да Вінчівиявив у будові тіла людини, рослин і тварин дивовижним чином пропорцію, що повторюється. Фі = 1,618. Це число (1,61) вчені ще називають Числом Бога.

До Леонардо да Вінчі ця послідовність чисел була відома в Стародавньої Індіїта Стародавньому Єгипті. Єгипетські піраміди побудовані із застосуванням пропорції Фі = 1,618.

Але і це ще не все, виявляється закони природи Землі та Космосуякимось незрозумілим чином підкоряються суворим математичним законам послідовності чисел Фідоначчі.

Наприклад, і мушлі на Землі, і галактика в Космосі побудовані із застосуванням чисел Фібоначчі. Абсолютна більшість кольорів має 5, 8, 13 пелюсток. У соняшнику, на стеблах рослин, у закручених вихорах хмар, у вир і навіть у графіках зміни курсів валют на Форексі, всюди працюють числа Фібоначчі.

Подивіться просте та цікаве пояснення, що таке послідовність чисел Фібоначчі та Золотий перетин у цьому КОРОТКОМ ВІДЕО (6 хвилин):

Що таке Золотий перетин чи Божественна пропорція?

Отже, що таке Золотий перетин чи Золота чи Божественна пропорція? Фібоначчі також виявив, що послідовність, яка складається з квадратів чисел Фібоначчіє ще більшою загадкою. Спробуємо графічно зобразити у вигляді площі послідовність:

1², 2², 3², 5², 8²…

Якщо вписати спіраль у графічне зображенняпослідовності квадратів чисел Фібоначчі, то ми отримаємо Золотий перетин, за правилами якого побудовано все у всесвіті, включаючи рослини, тварини, спіраль ДНК, людське тіло, … Список цей можна продовжувати до нескінченності.

Золотий перетин та Числа Фібоначчі у природі ВІДЕО

Пропоную подивитись короткий фільм (7 хвилин), у якому розкриваються деякі загадки Золотого перетину. При роздумах про закон чисел Фібоначчі, як про першорядний закон, який керує живим і неживою природою, постає питання: Ця ідеальна формула для макросвіту та мікросвіту виникла сама чи її хтось створив і вдало застосував?

Що ви думаєте з цього приводу? Давайте разом подумаємо над цією загадкою і можливо ми наблизимося до .

Дуже сподіваюся, що стаття була корисною для Вас і Ви дізналися, що це таке Золотий перетин *і Числа Фібоначчі? До нових зустрічей на сторінках блогу підписуйтесь на блог. Форма підписки - під статтею.

Всім бажаю багато нових ідей та натхнення для їх реалізації!

Давайте з'ясуємо, що спільного між давньоєгипетськими пірамідами, картиною Леонардо да Вінчі «Мона Ліза», соняшником, равликом, сосновою шишкою та пальцями людини?

Відповідь на це питання прихована в дивовижних числах, які були відкриті італійським математиком середньовіччя Леонардо Пізанським, більш відомим на ім'я Фібоначчі (нар. бл. 1170 - помер після 1228), італійський математик . Мандруючи Сходом, познайомився з досягненнями арабської математики; сприяв передачі їх у Захід.

Після його відкриття ці цифри так і стали називатися ім'ям відомого математика. Дивна суть послідовності чисел Фібоначчі полягає в тому, що кожне число у цій послідовності виходить із суми двох попередніх чисел.

Отже, числа, що утворюють послідовність:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

називаються «числами Фібоначчі», а сама послідовність – послідовністю Фібоначчі.

У числах Фібоначчі є одна дуже цікава особливість. При розподілі будь-якого числа з послідовності на число, що стоїть перед ним у ряді, результатом завжди буде величина, що коливається біля ірраціонального значення 1.61803398875 ... і через раз то перевищує, то не досягає його. (Прим. ірраціональне число, тобто число, десяткове уявлення якого нескінченно і не періодично)

Більше того, після 13-го числа в послідовності цей результат поділу стає постійним до нескінченності ряду. Саме це постійне число поділу в середні віки було названо Божественною пропорцією, а нині в наші дні називається як золотий перетин, золотий середній або золота пропорція . У алгебри це число позначається грецькою літерою фі (Ф)

Отже, Золота пропорція = 1: 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Тіло людини та золотий перетин

Художники, вчені, модельєри, дизайнери роблять свої розрахунки, креслення або начерки, виходячи із співвідношення золотого перерізу. Вони використовують мірки з тіла людини, створеного також за принципом золотого перерізу. Леонардо Да Вінчі та Ле Корбюзьє перед тим, як створювати свої шедеври, брали параметри людського тіла, створеного за законом Золотої пропорції.

Сама Головна книгавсіх сучасних архітекторів довідник Е.Нойферта «Будівельне проектування» містить основні розрахунки параметрів тулуба людини, які містять золоту пропорцію.

Пропорції різних частин нашого тіла становлять число дуже близьке до золотого перерізу. Якщо ці пропорції збігаються з формулою золотого перерізу, то зовнішність чи тіло людини вважають ідеально складеними. Принцип розрахунку золотої міри на тілі людини можна зобразити як схеми:

M/m=1,618

Перший приклад золотого перерізу у будові тіла людини:
Якщо прийняти центром людського тіла точку пупа, а відстань між ступнею людини і точкою пупа за одиницю виміру, то зростання людини еквівалентне числу 1.618.

Крім цього є ще кілька основних золотих пропорції нашого тіла:

* Відстань від кінчиків пальців до зап'ястя до ліктя дорівнює 1:1.618;

* відстань від рівня плеча до верхівки голови та розміру голови дорівнює 1:1.618;

* відстань від точки пупа до верхівки голови і від рівня плеча до верхівки голови дорівнює 1:1.618;

* відстань точки пупа до колін і від колін до ступнів дорівнює 1:1.618;

* Відстань від кінчика підборіддя до кінчика верхньої губи і від кінчика верхньої губи до ніздрів дорівнює 1:1.618;

* відстань від кінчика підборіддя до верхньої лінії брів і від верхньої лінії брів до верхівки дорівнює 1:1.618;

* відстань від кінчика підборіддя до верхньої лінії брів і від верхньої лінії брів до верхівки дорівнює 1:1.618:

Золотий перетин у рисах людини як критерій досконалої краси.

У будові рис особи людини також є безліч прикладів, що наближаються за значенням до формули золотого перерізу. Однак не кидайтеся відразу за лінійкою, щоб обміряти обличчя всіх людей. Тому що точні відповідності золотому перерізу, на думку вчених та людей мистецтва, художників та скульпторів, існують лише у людей із досконалою красою. Власне, точна наявність золотої пропорції в особі людини і є ідеал краси для людського погляду.

Наприклад, якщо ми підсумовуємо ширину двох передніх верхніх зубів і розділимо цю суму на висоту зубів, то отримавши при цьому число золотого перерізу, можна стверджувати, що будова цих зубів ідеальна.

На людському обличчі існують інші втілення правила золотого перерізу. Наведемо кілька таких співвідношень:

* Висота обличчя / ширина особи;

* Центральна точка з'єднання губ до основи носа / довжина носа;

* Висота обличчя / відстань від кінчика підборіддя до центральної точки з'єднання губ;

* Ширина рота / ширина носа;

* Ширина носа / відстань між ніздрями;

* Відстань між зіницями / відстань між бровами.

Рука людини

Достатньо лише наблизити зараз долоню до себе і уважно подивитися на вказівний палець, і ви відразу ж знайдете в ньому формулу золотого перерізу. Кожен палець нашої руки складається із трьох фаланг.

* Сума двох перших фаланг пальця у співвідношенні з усією довжиною пальця і ​​дає число золотого перерізу (за винятком великого пальця);

* Крім того, співвідношення між середнім пальцем і мізинцем також дорівнює числу золотого перерізу;

* У людини 2 руки, пальці на кожній руці складаються з 3 фаланг (за винятком великого пальця). На кожній руці є по 5 пальців, тобто всього 10, але за винятком двох двофалангових великих пальців лише 8 пальців створено за принципом золотого перерізу. Тоді як усі ці цифри 2, 3, 5 та 8 є числа послідовності Фібоначчі:

Золота пропорція у будові легень людини

Американський фізик Б.Д.Уест та доктор А.Л. Гольдбергер під час фізико-анатомічних досліджень встановили, що у будові легень людини також існує золотий перетин.

Особливість бронхів, що становлять легені людини, полягає в їхній асиметричності. Бронхи складаються з двох основних дихальних шляхів, один з яких (лівий) довший, а інший (правий) коротший.

* Було встановлено, що ця асиметричність продовжується і у відгалуженнях бронхів, у всіх дрібніших дихальних шляхах. Причому співвідношення довжини коротких і довгих бронхів також становить золотий переріз і 1:1,618.

Будова золотого ортогонального чотирикутника та спіралі

Золотий переріз — це такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього.

У геометрії прямокутник із таким ставленням сторін стали називати золотим прямокутником. Його довгі сторони співвідносяться з короткими сторонами у співвідношенні 1,168:1.

Золотий прямокутник також має багато дивовижними властивостями. Золотий прямокутник має багато незвичайних властивостей. Відрізавши від золотого прямокутника квадрат, сторона якого дорівнює меншій стороні прямокутника, ми знову отримаємо золотий прямокутник менших розмірів. Цей процес можна продовжувати до нескінченності. Продовжуючи відрізати квадрати, ми отримуватимемо все менші і менші золоті прямокутники. Причому вони розташовуватимуться по логарифмічній спіралі, що має важливе значення в математичних моделях природних об'єктів (наприклад, раковинах равликів).

Полюс спіралі лежить на перетині діагоналей початкового прямокутника і першого вертикального, що відрізається. Причому діагоналі всіх наступних золотих прямокутників, що зменшуються, лежать на цих діагоналях. Зрозуміло, є золотий трикутник.

Англійський дизайнер та естетик Вільям Чарлтон констатував, що люди вважають спіралеподібні форми приємними на вигляд і використовують їх ось уже тисячоліття, пояснивши це так:

"Нам приємний вигляд спіралі, тому що візуально ми з легкістю можемо розглядати її."

В природі

* Яке лежить в основі будови спіралі правило золотого перерізу зустрічається в природі дуже часто в незрівнянних за красою творах. Найбільш наочні приклади - спіралеподібну форму можна побачити і в розташуванні насіння соняшника, і в шишках сосни, в ананасах, кактусах, будові пелюсток троянд і т.д.;

* Ботаніки встановили, що в розташуванні листя на гілці, насіння соняшнику або шишок сосни з усією очевидністю проявляється ряд Фібоначчі, а отже, проявляється закон золотого перерізу;

Всевишній Господь кожному Своєму творінню встановив особливу міру і надав пропорційності, що підтверджується на прикладах, що зустрічаються в природі. Можна навести безліч прикладів, коли процес зростання живих організмів відбувається у суворій відповідності до форми логарифмічної спіралі.

Усі пружинки у спіралі мають однакову форму. Математики встановили, що навіть за збільшення розмірів пружинок форма спіралі залишається незмінною. У математиці немає більше іншої форми, яка мала б такі ж унікальні властивості як спіраль.

Будова морських раковин

Вчені, які вивчали внутрішнє та зовнішня будовараковин м'якотілих молюсків, що мешкають на дні морів, констатували:

«Внутрішня поверхня раковин бездоганно гладка, а зовнішня вся вкрита шорсткістю, нерівностями. Молюс був у раковині і для цього внутрішня поверхня раковини мала бути бездоганно гладкою. Зовнішні кути-згинання раковини збільшують її міцність, твердість і таким чином підвищують її міцність. Досконалість і разюча розумність будови черепашки (равлики) захоплює. Спіральна ідея раковин є досконалою геометричною формою і дивовижна за своєю відточеною красою.»

У більшості равликів, які мають раковини, раковина росте у формі логарифмічної спіралі. Однак немає сумніву, що ці нерозумні істоти не мають уявлення не тільки про логарифмічну спіраль, але й не мають навіть найпростіших математичних знань, щоб самим створити собі спіралеподібну раковину.

Але тоді як ці нерозумні істоти змогли визначити та обрати для себе ідеальну форму зростання та існування у вигляді спіральної раковини? Чи могли ці живі істоти, яких вчений світ називає примітивними формами життя, розрахувати, що ідеальною для їхнього існування буде логарифмічна форма черепашки?

Звичайно ж, ні, тому що такий задум неможливо здійснити без наявності розуму і знань. Але такий розум не мають ні примітивні молюски, ні несвідома природа, яку, щоправда, деякі вчені називають творцем життя землі (?!)

Намагатися пояснити походження подібної навіть найпримітивнішої форми життя випадковим збігом деяких природних обставин щонайменше абсурдно. Цілком зрозуміло, що цей проект є усвідомленим витвором.

Біолог Сер Д`аркі Томпсон цей вид зростання морських раковин називає "форма зростання гномів".

Сер Томпсон робить такий коментар:

«Немає простішої системи, ніж зростання морських черепашок, які ростуть і розширюються пропорційно, зберігаючи ту ж форму. Раковина, що найдивовижніше, росте, але ніколи не змінює форми.

Наутілус, розміром у кілька сантиметрів у діаметрі, є найбільшим виразний прикладгномового виду зростання. С.Моррисон так описує цей процес зростання наутилуса, спланувати який навіть людським розумом є досить складним:

«Всередині раковини наутилуса є безліч відділів-кімнат з перегородками з перламутру, причому сама раковина всередині є спіралью, що розширюється від центру. У міру зростання наутилуса в передній частині черепашки наростає ще одна кімнатка, але вже більших розмірів, ніж попередня, а перегородки кімнатки, що залишилася позаду, покриваються шаром перламутру. Отже, спіраль постійно пропорційно розширюється.»

Наведемо лише деякі типи спіралеподібних раковин, що мають логарифмічну форму зростання відповідно до їх наукових назв.
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Усі виявлені копалини рештки раковин також мали розвинену спіральну форму.

Однак логарифмічна форма зростання зустрічається у тваринному світі не тільки у молюсків. Роги антилоп, диких козлів, баранів та інших подібних тварин також розвиваються у вигляді спіралі за законами золотої пропорції.

Золотий перетин у вусі людини

У внутрішньому вусі людини є орган Cochlea («Равлик»), який виконує функцію передачі звукової вібрації. Ця костевидна структура наповнена рідиною і також створена у формі равлика, що містить у собі стабільну логарифмічну форму спіралі = 73 43 '.

Роги та бивні тварин, що розвиваються у формі спіралі

Бивні слонів та вимерлих мамонтів, кігті левів та дзьоби папуг являють собою логарифмічні форми та нагадують форму осі, схильної звернутися до спіралі. Павуки завжди плетуть свої павутиння у вигляді логарифмічної спіралі. Будова таких мікроорганізмів, як планктони (види globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae та trochida) також мають форму спіралі.

Золотий переріз у будові мікросвітів

Геометричні фігури не обмежуються тільки трикутником, квадратом, п'яти-або шестикутником. Якщо поєднати ці постаті різним чином між собою, то ми отримаємо нові тривимірні. геометричні фігури. Прикладами цього є такі фігури як куб або піраміда. Однак крім них існують також інші тривимірні фігури, з якими нам не доводилося зустрічатися в повсякденному життіі назви яких ми чуємо, можливо, вперше. Серед таких тривимірних фігур можна назвати тетраедр (правильна чотиристороння фігура), октаедр, додекаедр, ікосаедр тощо. Додекаедр складається з 13-ти п'ятикутників, ікосаедр з 20-ти трикутників. Математики відзначають, що ці фігури математично дуже легко трансформуються, і трансформація їх відбувається відповідно до формули логарифмічної спіралі золотого перерізу.

У мікросвіті тривимірні логарифмічні форми, побудовані за золотими пропорціями, поширені повсюдно . Наприклад, багато вірусів мають тривимірну. геометричну формуікосаедра. Мабуть, найвідоміший із таких вірусів — вірус Adeno. Білкова оболонка вірусу Адено формується із 252 одиниць білкових клітин, розташованих у певній послідовності. У кожному куті ікосаедра розташовані по 12 одиниць білкових клітин у формі п'ятикутної призми і з цих кутів простягаються шипоподібні структури.

Вперше золотий перетин у будові вірусів виявили у 1950-х роках. вчені з Лондонського Біркбецького Коледжу А.Клуг та Д.Каспар. 13 Першим логарифмічну форму виявив вірус Polyo. Форма цього вірусу виявилася аналогічною формою вірусу Rhino 14.

Виникає питання, яким чином віруси утворюють такі складні тривимірні форми, пристрій яких містить у собі золотий перетин, які навіть нашим людським розумом сконструювати досить складно? Першовідкривач цих форм вірусів, вірусолог О.Клуг дає такий коментар:

«Доктор Каспар і я показали, що для сферичної оболонки вірусу найоптимальнішою формою є симетрія типу форми ікосаедра. Такий порядок зводить до мінімуму кількість сполучних елементів... Більшість геодезичних напівсферичних кубів Букмінстера Фуллера побудовані за аналогічним геометричним принципом. 14 Монтаж таких кубів потребує надзвичайно точної та докладної схеми-роз'яснення. Тоді як несвідомі віруси самі споруджують собі таку складну оболонку з еластичних, гнучких білкових клітинних одиниць.