Як шукати різницю арифметичної прогресії. Арифметична прогресія. Підручник по ЄДІ і ДПА. Формула знаходження n-ого члена арифметичної прогресії

У чому головна суть формули?

Ця формула дозволяє знайти будь-який ПО ЙОГО НОМЕРОМ " n " .

Зрозуміло, треба знати ще перший член a 1 і різниця прогресії d, Ну так без цих параметрів конкретну прогресію і не запишеш.

Завчити (або зашпаргаліть) цю формулу мало. Треба засвоїти її суть і попріменять формулу в різних завданнях. Та ще й не забути в потрібний момент, да ...) Як не забути - я не знаю. А от як згадати, при необхідності, - точно підкажу. Тим, хто урок до кінця подужає.)

Отже, розберемося з формулою n-го члена арифметичної прогресії.

Що таке формула взагалі - ми собі уявляємо.) Що таке арифметична прогресія, номер члена, різниця прогресії - доступно викладено в попередньому уроці. Загляньте, до речі, якщо не читали. Там все просто. Залишилося розібратися, що таке n-й член.

прогресію в загалом вигляді можна записати у вигляді ряду чисел:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1 - позначає перший член арифметичної прогресії, a 3 - третій член, a 4 - четвертий, і так далі. Якщо нас цікавить п'ятий член, скажімо, ми працюємо з a 5, Якщо сто двадцятий - з a 120.

А як позначити в загальному вигляді будь-який член арифметичної прогресії, з будь-яким номером? Дуже просто! Ось так:

a n

Це і є n-й член арифметичної прогресії. Під буквою n ховаються відразу всі номери членів: 1, 2, 3, 4, і так далі.

І що нам дає такий запис? Подумаєш, замість цифри букву записали ...

Ця запис дає нам потужний інструмент для роботи з арифметичною прогресією. використовуючи позначення a n, Ми можемо швидко знайти будь-який член будь-який арифметичної прогресії. І ще купу задач по прогресії вирішити. Самі далі побачите.

У формулі n-го члена арифметичної прогресії:

a n \u003d a 1 + (n-1) d

a 1 - перший член арифметичної прогресії;

n - номер члена.

Формула пов'язує ключові параметри будь прогресії: a n; a 1; d і n. Навколо цих параметрів і крутяться всі завдання по прогресії.

Формула n-го члена може використовуватися і для запису конкретної прогресії. Наприклад, в задачі може бути сказано, що прогресія задана умовою:

a n \u003d 5 + (n-1) · 2.

Така задачка може і в глухий кут поставити ... Немає ні ряду, ні різниці ... Але, порівнюючи умова з формулою, легко збагнути, що в цій прогресії a 1 \u003d 5, а d \u003d 2.

А буває ще зліше!) Якщо взяти той же умова: a n \u003d 5 + (n-1) · 2,да розкрити дужки і привести подібні? Отримаємо нову формулу:

a n \u003d 3 + 2n.

це Тільки не загальна, а для конкретної прогресії. Ось тут і криється підводний камінь. Деякі думають, що перший член - це трійка. Хоча реально перший член - п'ятірка ... Трохи нижче ми попрацюємо з такою видозміненій формулою.

У завданнях на прогресію зустрічається ще одне позначення - a n + 1. Це, як ви здогадалися, "ен плюс перший" член прогресії. Сенс його простий і нешкідливий.) Це член прогресії, номер якого більше номера n на одиницю. Наприклад, якщо в якій-небудь задачі ми беремо за a n п'ятий член, то a n + 1 буде шостим членом. І тому подібне.

Найчастіше позначення a n + 1 зустрічається в рекурентних формулах. Не лякайтеся цього страшного слова!) Це просто спосіб вираження члена арифметичної прогресії через попередній. Припустимо, нам дана арифметична прогресія ось в такому вигляді, за допомогою рекурентної формули:

a n + 1 \u003d a n +3

a 2 \u003d a 1 + 3 \u003d 5 + 3 \u003d 8

a 3 \u003d a 2 + 3 \u003d 8 + 3 \u003d 11

Четвертий - через третій, п'ятий - через четвертий, і так далі. А як порахувати відразу, скажімо двадцятий член, a 20 ? А ніяк!) Поки 19-й член не дізнаємося, 20-й не порахувати. В цьому і є принципова відмінність рекуррентной формули від формули n-го члена. Рекурентна працює тільки через попередній член, а формула n-го члена - через перший і дозволяє відразу знаходити будь-який член за його номером. Чи не прораховуючи весь ряд чисел по порядочку.

В арифметичній прогресії рекуррентную формулу легко перетворити в звичайну. Порахувати пару послідовних членів, обчислити різницю d, знайти, якщо треба, перший член a 1, Записати формулу в звичайному вигляді, та й працювати з нею. У ДПА подібні завдання часто зустрічаються.

Застосування формули n-го члена арифметичної прогресії.

Для початку розглянемо пряме застосування формули. В кінці попереднього уроку була задачка:

Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121, якщо a 1 \u003d 3, а d \u003d 1/6.

Це завдання можна без жодних формул вирішити, просто виходячи зі змісту арифметичної прогресії. Додавати, так додавати ... Годинку-другий.)

А по формулі рішення займе менше хвилини. Можете засікати час.) Вирішуємо.

В умовах наведені всі дані для використання формули: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Залишається зрозуміти, чому дорівнює n. Не питання! Нам треба знайти a 121. Ось і пишемо:

Прошу звернути увагу! замість індексу n з'явилося конкретне число: 121. Що цілком логічно.) Нас цікавить член арифметичної прогресії номер сто двадцять один. Ось це і буде наш n. Саме це значення n \u003d 121 ми і підставимо далі в формулу, в дужки. Підставляємо всі числа в формулу і вважаємо:

a 121 \u003d 3 + (121-1) · 1/6 \u003d 3 + 20 \u003d 23

Ось і всі справи. Так само швидко можна було б знайти, і п'ять сотень десятий член, і тисяча третій, будь-хто. ставимо замість n потрібний номер в індексі у літери " a " і в дужках, та й вважаємо.

Нагадаю суть: ця формула дозволяє знайти будь-який член арифметичної прогресії ПО ЙОГО НОМЕРОМ " n " .

Вирішимо завдання хитріше. Нехай нам попалася така задачка:

Знайдіть перший член арифметичної прогресії (a n), якщо a 17 \u003d -2; d \u003d -0,5.

Якщо виникли труднощі, підкажу перший крок. Запишіть формулу n-го члена арифметичної прогресії! Так Так. Руками запишіть, прямо в зошиті:

a n \u003d a 1 + (n-1) d

А тепер, дивлячись на літери формули, міркуємо, які дані у нас є, а чого не вистачає? є d \u003d -0,5,є сімнадцятий член ... Все? Якщо вважаєте, що все, то завдання не вирішите, так ...

У нас ще є номер n! В умови a 17 \u003d -2 заховані два параметра. Це і значення сімнадцятого члена (-2), і його номер (17). Тобто n \u003d 17. Ця "дрібниця" часто проскакує повз голови, а без неї, (без "дрібниці", а не голови!) Завдання не вирішити. Хоча ... і без голови теж.)

Тепер можна просто тупо підставити наші дані в формулу:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) · (-0,5)

Ах да, a 17 нам відомо, це -2. Ну ладно, підставимо:

-2 \u003d a 1 + (17-1) · (-0,5)

Ось, по суті, і все. Залишилося виразити перший член арифметичної прогресії з формули, та порахувати. Вийде відповідь: a 1 \u003d 6.

Такий прийом - запис формули і проста підстановка відомих даних - здорово допомагає в простих завданнях. Ну, треба, звичайно, вміти висловлювати змінну з формули, а що робити !? Без цього вміння математику можна взагалі не вивчати ...

Ще одна популярна завдання:

Знайдіть різницю арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 \u003d 2; a 15 \u003d 12.

Що робимо? Ви здивуєтеся, пишемо формулу!)

a n \u003d a 1 + (n-1) d

Міркуємо, що нам відомо: a 1 \u003d 2; a 15 \u003d 12; і (спеціально виділю!) n \u003d 15. Сміливо підставляємо в формулу:

12 \u003d 2 + (15-1) d

Вважаємо арифметику.)

12 \u003d 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Це правильна відповідь.

Так, завдання на a n, a 1і d повирішували. Залишилося навчитися номер знаходити:

Число 99 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 \u003d 12; d \u003d 3. Знайти номер цього члена.

Підставляємо в формулу n-го члена відомі нам величини:

a n \u003d 12 + (n-1) · 3

На перший погляд, тут дві невідомі величини: a n і n. але a n - це якийсь член прогресії з номером n... І цей член прогресії ми знаємо! Це 99. Ми не знаємо його номер n,так цей номер і потрібно знайти. Підставляємо член прогресії 99 в формулу:

99 \u003d 12 + (n-1) · 3

Висловлюємо з формули n, Вважаємо. Отримаємо відповідь: n \u003d 30.

А тепер завдання на ту ж тему, але більш творча):

Визначте, чи буде число 117 членом арифметичної прогресії (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Знову пишемо формулу. Що, немає ніяких параметрів? Гм ... А очі нам навіщо дадени?) Перший член прогресії бачимо? Бачимо. Це -3,6. Можна сміливо записати: a 1 \u003d -3,6. різниця d можна з ряду визначити? Легко, якщо знаєте, що таке різниця арифметичної прогресії:

d \u003d -2,4 - (-3,6) \u003d 1,2

Так, найпростіше зробили. Залишилося розібратися з невідомим номером n і незрозумілим числом 117. У попередній задачі хоч було відомо, що даний саме член прогресії. А тут і того не знаємо ... Як бути !? Ну, як бути, як бути ... Включити творчі здібності!)

ми припустимо, що 117 - це, все-таки, член нашої прогресії. З невідомих номером n. І, точно як в попередній задачі, спробуємо знайти цей номер. Тобто пишемо формулу (так-так!)) і підставляємо наші числа:

117 \u003d -3,6 + (n-1) · 1,2

Знову висловлюємо з формулиn, Вважаємо і отримуємо:

От чорт! номер вийшов дробовий! Сто один з половиною. А дрібних номерів в прогресія не буває. Який висновок зробимо? Так! число 117 не є членом нашої прогресії. Воно знаходиться десь між сто перше і сто другим членом. Якби номер вийшов натуральним, тобто позитивним цілим, то число було б членом прогресії зі знайденим номером. А в нашому випадку, відповідь завдання буде: немає.

Завдання на основі реального варіанту ДПА:

Арифметична прогресія задана умовою:

a n \u003d -4 + 6,8n

Знайти перший і десятий члени прогресії.

Тут прогресія задана не зовсім звичним чином. Формула якась ... Буває.) Однак, ця формула (як я писав вище) - теж формула n-го члена арифметичної прогресії! Вона теж дозволяє знайти будь-який член прогресії за його номером.

Шукаємо перший член. Той, хто думає. що перший член - мінус чотири, фатально помиляється!) Тому, що формула в завданню - видозмінена. Перший член арифметичної прогресії в ній захований. Нічого, зараз відшукаємо.)

Так само, як і в попередніх задачах, підставляємо n \u003d 1 в дану формулу:

a 1 \u003d -4 + 6,8 · 1 \u003d 2,8

Ось! Перший член 2,8, а не -4!

Аналогічно шукаємо десятий член:

a 10 \u003d -4 + 6,8 · 10 \u003d 64

Ось і всі справи.

А тепер, тим хто дочитав до цих рядків, - обіцяний бонус.)

Припустимо, в складній бойовій обстановці ДПА або ЄДІ, ви призабули корисну формулу n-го члена арифметичної прогресії. Щось пригадується, але невпевнено якось ... Чи то n там, то чи n + 1, то чи n-1 ... Як бути!?

Спокій! Цю формулку легко вивести. Не дуже строго, але для впевненості і правильного рішення точно вистачить!) Для виведення досить пам'ятати елементарний сенс арифметичної прогресії і мати пару-трійку хвилин часу. Потрібно просто намалювати картинку. Для наочності.

Малюємо числову вісь і відзначаємо на ній перший. другий, третій і т.п. члени. І відзначаємо різницю d між членами. Ось так:

Дивимося на картинку і міркуємо: чому дорівнює другий член? другий одне d:

a 2 \u003d A 1 + 1 · d

Чому дорівнює третій член? третій член дорівнює перший член плюс два d.

a 3 \u003d A 1 + 2 · d

Відчуваєте? Я не дарма деякі слова виділяю жирним шрифтом. Ну ладно, ще один крок).

Чому дорівнює четвертий член? четвертий член дорівнює перший член плюс три d.

a 4 \u003d A 1 + 3 · d

Пора збагнути, що кількість проміжків, тобто d, завжди на один менше, ніж номер шуканого члена n. Тобто, до номера n, кількість проміжківбуде n-1. Стало бути, формула буде (без варіантів!):

a n \u003d a 1 + (n-1) d

Взагалі, наочні картинки дуже допомагають вирішувати багато завдань в математиці. Не нехтуйте картинками. Але якщо вже картинку намалювати важко, то ... тільки формула!) Крім того, формула n-го члена дозволяє підключити до вирішення весь потужний арсенал математики - рівняння, нерівності, системи і т.д. Картинку-то в рівняння не вставиш ...

Завдання для самостійного рішення.

Для розминки:

1. В арифметичній прогресії (a n) a 2 \u003d 3; a 5 \u003d 5,1. Знайти a 3.

Підказка: по картинці завдання вирішується секунд за 20 ... По формулі - складніше виходить. Але для освоєння формули - корисніше.) У Розділі 555 ця задачка вирішена і по картинці, і по формулі. Відчуйте різницю!)

А це - вже не розминка.)

2. В арифметичній прогресії (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 \u003d 49, 3. Знайти a 3.

Що, не хочеться картинку малювати?) Ще б! Вже краще за формулою, так ...

3. Арифметична прогресія задана умовою:a 1 \u003d -5,5; a n + 1 \u003d a n +0,5. Знайдіть сто двадцять п'ятий член цієї прогресії.

У цьому завданні прогресія задана рекурентним способом. Але вважати до ста й двадцяти п'ятого члена ... Не всім такий подвиг під силу.) Зате формула n-го члена під силу кожному!

4. Дана арифметична прогресія (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Знайти номер найменшого позитивного члена прогресії.

5. За умовою завдання 4 знайти суму найменшого позитивного і найбільшого негативного членів прогресії.

6. Твір п'ятого і дванадцятого членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює -2,5, а сума третього і одинадцятого членів дорівнює нулю. Знайти a 14.

Чи не найпростіша завдання, так ...) Тут спосіб "на пальцях" не пройде. Доведеться формули писати так рівняння вирішувати.

Відповіді (в безладді):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Вийшло? Це приємно!)

Чи не все виходить? Буває. До речі, в останньому завданні є один тонкий момент. Уважність при читанні завдання буде потрібно. І логіка.

Рішення всіх цих завдань докладно розібрано в Розділі 555. І елемент фантазії для четвертої, і тонкий момент для шостий, і загальні підходи для вирішення будь-яких завдань на формулу n-го члена - все розписано. Рекомендую.

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

Арифметична прогресія - це ряд чисел, в якому кожне число більше (або менше) попереднього на одну і ту ж величину.

Ця тема часто представляється складною та незрозумілою. Індекси у букв, n-й член прогресії, різниця прогресії - все це якось бентежить, так ... Розберемося зі змістом арифметичній прогресії і все відразу налагодиться.)

Поняття арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія - поняття дуже просте і чітке. Сумніваєтеся? Даремно.) Дивіться самі.

Я напишу незакінчений ряд чисел:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Чи зможете продовжити цей ряд? Які числа підуть далі, за п'ятіркою? Кожен ... е-е-е ..., коротше, кожен зрозуміє, що далі підуть числа 6, 7, 8, 9 і т.д.

Ускладнити завдання. Даю незакінчений ряд чисел:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Чи зможете вловити закономірність, продовжити ряд, і назвати сьоме число ряду?

Якщо зрозуміли, що це число 20 - я вас вітаю! Ви не тільки відчули ключові моменти арифметичної прогресії, але і успішно використали їх в справу! Якщо не зрозуміли - читаємо далі.

А тепер переведемо ключові моменти з відчуттів в математику.)

Перший ключовий момент.

Арифметична прогресія має справу з рядами чисел. Це і бентежить спочатку. Ми звикли рівняння вирішувати, графіки будувати і таке інше ... А тут продовжити ряд, знайти число ряду ...

Нічого страшного. Просто прогресії - це перше знайомство з новим розділом математики. Розділ називається "Ряди" і працює саме з рядами чисел і виразів. Звикайте.)

Другий ключовий момент.

В арифметичній прогресії будь-яке число відрізняється від попереднього на одну і ту ж величину.

У першому прикладі ця різниця - одиничка. Яке число не візьми, воно більше попереднього на одиницю. У другому - трійка. Будь-яке число більше попереднього на трійку. Власне, саме цей момент і дає нам можливість вловити закономірність і розрахувати наступні числа.

Третій ключовий момент.

Цей момент не кидається в очі, так ... Але дуже, дуже важливий. Ось він: кожне число прогресії стоїть на своєму місці. Є перше число, є сьомим, є сорок п'яте, і т.д. Якщо їх переплутати абияк, закономірність зникне. Зникне і арифметична прогресія. Чи залишиться просто ряд чисел.

Ось і вся суть.

Зрозуміло, в новій темі з'являються нові терміни і позначення. Їх треба знати. Інакше і завдання щось не зрозумієш. Наприклад, доведеться вирішувати, що-небудь, типу:

Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 \u003d 5, d \u003d -2,5.

Вселяє?) Буковки, індекси якісь ... А завдання, між іншим - простіше нікуди. Просто потрібно зрозуміти сенс термінів і позначень. Зараз ми цю справу освоїмо і повернемося до завдання.

Терміни і позначення.

Арифметична прогресія - це ряд чисел, в якому кожне число відрізняється від попереднього на одну і ту ж величину.

Ця величина називається . Розберемося з цим поняттям детальніше.

Різниця арифметичної прогресії.

Різниця арифметичної прогресії - це величина, на яку будь-яке число прогресії більше попереднього.

Один важливий момент. Прошу звернути увагу на слово "Більше". Математично це означає, що кожне число прогресії виходить додатком різниці арифметичної прогресії до попереднього числа.

Для розрахунку, скажімо, другого числа ряду, треба до першого числу додати цю саму різницю арифметичної прогресії. Для розрахунку п'ятого - різниця треба додати до четвертому, ну і т.п.

Різниця арифметичної прогресії може бути позитивної, тоді кожне число ряду вийде реально більше попереднього. Така прогресія називається зростаючій. наприклад:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Тут кожне число виходить додатком позитивного числа, +5 до попереднього.

Різниця може бути і негативною, тоді кожне число ряду вийде менше попереднього. Така прогресія називається (ви не повірите!) спадання.

наприклад:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Тут кожне число виходить теж додатком до попереднього, але вже негативного числа, -5.

До речі, при роботі з прогресією дуже корисно буває відразу визначити її характер - зростаюча вона, або спадна. Це здорово допомагає зорієнтуватися в рішенні, засікти свої помилки і виправити їх, поки не пізно.

Різниця арифметичної прогресії позначається, як правило, буквою d.

Як знайти d ? Дуже просто. Треба від будь-якого числа ряду відняти попереднє число. Відняти. До речі, результат віднімання називається "різниця".)

Визначимо, наприклад, d для зростаючої арифметичної прогресії:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Беремо будь-яке число ряду, яке хочемо, наприклад, 11. Віднімаємо від нього попереднє число, тобто 8:

Це правильна відповідь. Для цієї арифметичної прогресії різниця дорівнює трьом.

Брати можна саме будь-яке число прогресії, тому для конкретної прогресії d -завжди одне і те ж. Хоч де-небудь на початку ряду, хоч в середині, хоч де завгодно. Брати не можна тільки найперше число. Просто тому, що у самого першого числа немає попереднього.)

До речі, знаючи, що d \u003d 3, Знайти сьоме число цієї прогресії дуже просто. Додамо 3 до п'ятого числа - отримав шість, це буде 17. Додамо до шостого числа трійку, отримаємо сьоме число - двадцять.

визначимо d для спадної арифметичної прогресії:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Нагадую, що, незалежно від знаків, для визначення d треба від будь-якого числа відняти попереднє. Вибираємо будь-яке число прогресії, наприклад -7. Попереднє у нього - число -2. тоді:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

Різниця арифметичної прогресії може бути будь-яким числом: цілим, дробовим, ірраціональним, всяким.

Інші терміни та позначення.

Кожне число ряду називається членом арифметичної прогресії.

Кожен член прогресії имет свій номер. Номери йдуть строго по порядочку, без жодних фокусів. Перший, другий, третій, четвертий і т.д. Наприклад, в прогресії 2, 5, 8, 11, 14, ... двійка - це перший член, п'ятірка - другий, одинадцять - четвертий, ну, ви зрозуміли ...) Прошу чітко усвідомити - самі числа можуть бути абсолютно будь-які, цілі, дробові, негативні, які потрапило, але нумерація чисел - строго по порядку!

Як записати прогресію в загальному вигляді? Не питання! Кожне число ряду записується у вигляді букви. Для позначення арифметичної прогресії використовується, як правило, буква a. Номер члена вказується індексом внизу праворуч. Члени пишемо через кому (або крапку з комою), ось так:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- це перше число, a 3 - третя, і т.п. Нічого хитрого. Записати цей ряд коротко можна ось так: (A n).

прогресії бувають кінцеві і нескінченні.

Кінцева прогресія має обмежену кількість членів. П'ять, тридцять вісім, хоч греблю гати. Але - кінцеве число.

Нескінченна прогресія - має нескінченну кількість членів, як можна здогадатися.)

Записати кінцеву прогресію через ряд можна ось так, всі члени і точка в кінці:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Або так, якщо членів багато:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

У короткої записи доведеться додатково вказувати кількість членів. Наприклад (для двадцяти членів), ось так:

(A n), n \u003d 20

Нескінченну прогресію можна дізнатися по три крапки в кінці ряду, як в прикладах цього уроку.

Тепер уже можна вирішити завдання. Завдання нескладні, чисто для розуміння сенсу арифметичної прогресії.

Приклади завдань по арифметичній прогресії.

Розберемо подробненько завдання, що наведено вище:

1. Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 \u003d 5, d \u003d -2,5.

Переводимо завдання на зрозумілу мову. Дана нескінченна арифметична прогресія. Відомий друге число цієї прогресії: a 2 \u003d 5. Відома різниця прогресії: d \u003d -2,5. Потрібно знайти перший, третій, четвертий, п'ятий і шостий члени цієї прогресії.

Для наочності запишу ряд за умовою завдання. Перші шість членів, де другий член - п'ятірка:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6, ....

a 3 = a 2 + d

Підставляємо у вираз a 2 \u003d 5 і d \u003d -2,5. Не забуваємо про мінус!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Третій член вийшов менше другого. Все логічно. Якщо число більше попереднього на негативну величину, значить саме число вийде менше попереднього. Прогресія - спадна. Гаразд, врахуємо.) Вважаємо четвертий член нашого ряду:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Так, члени з третього по шостий вирахували. Вийшов такий ряд:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Залишається знайти перший член a 1 за відомим другого. Це крок в інший бік, вліво.) Значить, різниця арифметичної прогресії d треба не додати до a 2, а відняти:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Ось і всі справи. Відповідь завдання:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Попутно зауважу, що це завдання ми вирішували рекурентним способом. Це страшне слово означає, всього лише, пошук члена прогресії за попереднім (сусіднього) числу. Інші способи роботи з прогресією ми розглянемо далі.

З цього нескладного завдання можна зробити один важливий висновок.

запам'ятовуємо:

Якщо нам відомий хоча б один член і різницю арифметичної прогресії, ми можемо знайти будь-який член цієї прогресії.

Запам'ятали? Цей нескладний висновок дозволяє вирішувати більшість завдань шкільного курсу по цій темі. Всі завдання крутяться навколо трьох головних параметрів: член арифметичної прогресії, різниця прогресії, номер члена прогресії. Усе.

Зрозуміло, вся попередня алгебра не відміняється.) До прогресії чіпляється і нерівності, і рівняння, і інші речі. але по самій прогресії - все крутиться навколо трьох параметрів.

Для прикладу розглянемо деякі популярні завдання по цій темі.

2. Запишіть кінцеву арифметичну прогресію у вигляді ряду, якщо n \u003d 5, d \u003d 0,4, і a 1 \u003d 3,6.

Тут все просто. Все вже дано. Потрібно згадати, як вважають членів арифметичної прогресії, порахувати, та й записати. Бажано не пропустити слова в умові завдання: "кінцеву" і " n \u003d 5". Щоб не брати до уваги до повного посиніння.) У цій прогресії всього 5 (п'ять) членів:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d \u003d 4,4 + 0,4 \u003d 4,8

a 5 = a 4 + d \u003d 4,8 + 0,4 \u003d 5,2

Залишається записати відповідь:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Ще завдання:

3. Визначте, чи буде число 7 членом арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 \u003d 4,1; d \u003d 1,2.

Хм ... Хто ж його знає? Як визначити-то?

Як-як ... Та записати прогресію у вигляді ряду і подивитися, буде там сімка, чи ні! вважаємо:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d \u003d 6,5 + 1,2 \u003d 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Зараз чітко видно, що сімку ми просто проскочили між 6,5 і 7,7! Чи не потрапила сімка в наш ряд чисел, і, значить, сімка НЕ \u200b\u200bбуде членом заданої прогресії.

Відповідь: ні.

А ось завдання на основі реального варіанту ДПА:

4. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:

...; 15; х; 9; 6; ...

Тут записаний ряд без кінця і початку. Немає ні номерів членів, ні різниці d. Нічого страшного. Для вирішення завдання досить розуміти сенс арифметичної прогресії. Дивимося і міркуємо, що можна дізнатися з цього ряду? Які параметри з трьох головних?

Номери членів? Немає тут ні єдиного номера.

Зате є три числа і - увага! - слово "Послідовних" в умови. Це означає, що числа йдуть строго по порядку, без пропусків. А чи є в цьому ряду два сусідніх відомих числа? Так є! Це 9 і 6. Стало бути, ми можемо обчислити різницю арифметичної прогресії! Від шістки віднімаємо попереднє число, тобто дев'ятку:

Залишилися дрібниці. Яке число буде попереднім для ікси? П'ятнадцять. Значить, ікс можна легко знайти простим додаванням. До 15 додати різницю арифметичної прогресії:

От і все. відповідь: х \u003d 12

Наступні завдання вирішуємо самостійно. Зауваження: ці завдання - нема на формули. Чисто на розуміння сенсу арифметичної прогресії.) Просто записуємо ряд з числами-літерами, дивимося і міркуємо.

5. Знайдіть перший позитивний член арифметичної прогресії, якщо a 5 \u003d -3; d \u003d 1,1.

6. Відомо, що число 5,5 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 \u003d 1,6; d \u003d 1,3. Визначте номер n цього члена.

7. Відомо, що в арифметичній прогресії a 2 \u003d 4; a 5 \u003d 15,1. Знайдіть a 3.

8. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:

...; 15,6; х; 3,4; ...

Знайдіть член прогресії, позначений буквою х.

9. Поїзд почав рух від станції, поступово збільшуючи швидкість на 30 метрів в хвилину. Яка буде швидкість поїзда через п'ять хвилин? Відповідь дайте у км / год.

10. Відомо, що в арифметичній прогресії a 2 \u003d 5; a 6 \u003d -5. Знайдіть a 1.

Відповіді (в безладді): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Все вийшло? Чудово! Можна освоювати арифметичну прогресію на більш високому рівні, В наступних уроках.

Чи не все вийшло? Не біда. В Особливій розділі 555 всі ці завдання розібрані по кісточках.) І, звичайно, описаний простий практичний прийом, який відразу висвічує рішення подібних завдань чітко, ясно, як на долоні!

До речі, в задачці про поїзд є дві проблемки, на яких часто спотикається народ. Одна - чисто по прогресії, а друга - загальна для будь-яких завдань з математики, та й фізиці теж. Це переклад розмірностей з однієї в іншу. В показано, як треба ці проблеми вирішувати.

У цьому уроці ми розглянули елементарний сенс арифметичної прогресії і її основні параметри. Цього достатньо для вирішення практично всіх завдань на цю тему. додавай d до чисел, пиши ряд, все і вирішиться.

Рішення "на пальцях" добре підходить для дуже коротких шматочків ряду, як в прикладах цього уроку. Якщо ряд достовірніше, обчислення ускладнюються. Наприклад, якщо в задачі 9 в питанні замінити "п'ять хвилин" на "Тридцять п'ять хвилин", завдання стане істотно зліше.)

А ще бувають завдання прості по суті, але несусвітні за обчисленнями, наприклад:

Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121, якщо a 1 \u003d 3, а d \u003d 1/6.

І що, будемо багато-багато раз додавати по 1/6 ?! Це ж вбитися можна !?

Можна.) Якщо не знати просту формулу, По якій вирішувати подібні завдання можна за хвилину. Ця формула буде в наступному уроці. І завдання це там вирішена. За хвилину.)

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.

Багато хто чув про арифметичній прогресії, але не всі добре уявляють, що це таке. У даній статті дамо відповідну ухвалу, а також розглянемо питання, як знайти різницю арифметичній прогресії, і наведемо ряд прикладів.

математичне визначення

Отже, якщо мова йде про арифметичній прогресії або алгебраїчної (ці поняття визначають одне й те саме), то це означає, що є деякий числовий ряд, Що задовольняє наступним законом: кожні два сусідніх числа в ряду відрізняються на одне і те ж значення. Математично це записується так:

Тут n означає номер елемента a n в послідовності, а число d - це різниця прогресії (її назва випливає з представленої формули).

Про що говорить знання різниці d? Про те, як "далеко" один від одного відстоять сусідні числа. Однак знання d є необхідним, але не достатньою умовою для визначення (відновлення) всієї прогресії. Необхідно знати ще одне число, яким може бути абсолютно будь-який елемент аналізованого ряду, наприклад, a 4, a10, але, як правило, використовують перше число, тобто a 1.

Формули для визначення елементів прогресії

Загалом, інформації вище вже досить, щоб переходити до вирішення конкретних завдань. Проте до того, як буде дана прогресія арифметична, і знайти різницю її буде необхідно, наведемо пару корисних формул, полегшивши тим самим подальший процес вирішення завдань.

Нескладно показати, що будь-який елемент послідовності з номером n може бути знайдений в такий спосіб:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Дійсно, перевірити цю формулу може кожен простим перебором: якщо підставити n \u003d 1, то вийде перший елемент, якщо підставити n \u003d 2, тоді вираз видає суму першого числа і різниці, і так далі.

Умови багатьох завдань складаються таким чином, що за відомою парі чисел, номери яких в послідовності також дані, необхідно відновити весь числовий ряд (знайти різницю і перший елемент). Зараз ми вирішимо цю задачу в загальному вигляді.

Отже, нехай дано два елементи з номерами n і m. Користуючись отриманою вище формулою, можна скласти систему з двох рівнянь:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m \u003d a 1 + (m - 1) * d

Для знаходження невідомих величин скористаємося відомим простим прийомом вирішення такої системи: віднімемо попарно ліву і праву частини, рівність при цьому залишиться справедливим. маємо:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m \u003d (n - 1) * d - (m - 1) * d \u003d d * (n - m)

Таким чином, ми виключили одну невідому (a 1). Тепер можна записати остаточний вираз для визначення d:

d \u003d (a n - a m) / (n - m), де n\u003e m

Ми отримали дуже просту формулу: щоб обчислити різницю d відповідно до умов завдання, необхідно лише взяти відношення різниць самих елементів і їх порядкових номерів. Слід звернути на один важливий момент увагу: різниці беруться між "старшим" і "молодшим" \u200b\u200bчленами, тобто n\u003e m ( "старший" - мається на увазі стоїть далі від початку послідовності, його абсолютне значення може бути як більше, так і менше більш "молодшого" елемента).

Вираз для різниці d прогресії слід підставити в будь-який з рівнянь на початку виконання завдання, щоб отримати значення першого члена.

У наше століття розвитку комп'ютерних технологій багато школярів намагаються знайти рішення для своїх завдань в Інтернеті, тому часто виникають питання такого типу: знайти різницю арифметичної прогресії онлайн. За подібним запитом пошуковик видасть ряд web-сторінок, перейшовши на які, потрібно буде ввести відомі з умови дані (це можуть бути як два члена прогресії, так і сума деякого їх числа) і моментально отримати відповідь. Проте такий підхід до вирішення завдання є непродуктивним в плані розвитку школяра і розуміння суті поставленої перед ним завдання.

Рішення без використання формул

Вирішимо перше завдання, при цьому не будемо використовувати будь-які з наведених формул. Нехай дано елементи ряду: А6 \u003d 3, а9 \u003d 18. Знайти різницю арифметичній прогресії.

Відомі елементи стоять близько один до одного в ряду. Скільки разів потрібно додати різницю d до найменшого, щоб отримати найбільшу з них? Три рази (перший раз додавши d, ми отримаємо 7-й елемент, другий раз - восьмий, нарешті, третій раз - дев'ятий). Яке число потрібно додати до трьох три рази, щоб отримати 18? Це число п'ять. дійсно:

Таким чином, невідома різниця d \u003d 5.

Звичайно ж, рішення можна було виконати із застосуванням відповідної формули, але цього не було зроблено навмисно. Детальне пояснення рішення задачі повинно стати зрозумілим і яскравим прикладом, що таке арифметична прогресія.

Завдання, подібна попередньої

Тепер вирішимо схоже завдання, але змінимо вхідні дані. Отже, слід знайти якщо а3 \u003d 2, а9 \u003d 19.

Звичайно, можна вдатися знову до методу рішення "в лоб". Але оскільки дані елементи ряду, які стоять щодо далеко один від одного, такий метод стане не зовсім зручним. А ось використання отриманої формули швидко приведе нас до відповіді:

d \u003d (а 9 - а 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17/6 ≈ 2,83

Тут ми округлили кінцеве число. Наскільки це округлення призвело до помилки, можна судити, перевіривши отриманий результат:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Цей результат відрізняється всього на 0,1% від значення, даного в умові. Тому використане округлення до сотих можна вважати успішним вибором.

Завдання на застосування формули для an члена

Розглянемо класичний приклад завдання на визначення невідомої d: знайти різницю арифметичній прогресії, якщо а1 \u003d 12, а5 \u003d 40.

Коли дані два числа невідомої алгебраїчної послідовності, причому одним з них є елемент a 1, тоді не потрібно довго думати, а слід відразу ж застосувати формулу для a n члена. В даному випадку маємо:

a 5 \u003d a 1 + d * (5 - 1) \u003d\u003e d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (40 - 12) / 4 \u003d 7

Ми отримали точне число при діленні, тому немає сенсу перевіряти точність розрахованого результату, як це було зроблено в попередньому пункті.

Вирішимо ще одне аналогічне завдання: слід знайти різницю арифметичної прогресії, якщо а1 \u003d 16, А8 \u003d 37.

Використовуємо аналогічний попередньому підхід і отримуємо:

a 8 \u003d a 1 + d * (8 - 1) \u003d\u003e d \u003d (a 8 - a 1) / 7 \u003d (37 - 16) / 7 \u003d 3

Що ще варто знати про арифметичній прогресії

Крім завдань на знаходження невідомої різниці або окремих елементів, часто необхідно вирішувати проблеми суми перших членів послідовності. Розгляд цих завдань виходить за рамки теми статті, проте для повноти інформації наведемо загальну формулу для суми n чисел ряду:

Σ n i \u003d 1 (a i) \u003d n * (a 1 + a n) / 2

Поняття числової послідовності має на увазі відповідність кожному натуральному числу деякого дійсного значення. Такий ряд чисел може бути як довільним, так і володіти певними властивостями - прогресія. В останньому випадку кожен наступний елемент (член) послідовності можна обчислити за допомогою попереднього.

Арифметична прогресія - послідовність числових значень, в якій її сусідні члени різняться між собою на однакове число (подібним властивістю володіють всі елементи ряду, починаючи з 2-ого). Дане число - різниця між попереднім і наступним членом - постійно і називається різницею прогресії.

Різниця прогресії: визначення

Розглянемо послідовність, що складається з j значень A \u003d a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j належить множині натуральних чисел N. Арифметична прогресія, згідно свого визначення, - послідовність, в якій a (3) - a (2) \u003d a (4) - a (3) \u003d a (5) - a (4) \u003d ... \u003d a (j) - a (j-1) \u003d d. Величина d - шукана різниця даної прогресії.

d \u003d a (j) - a (j-1).

виділяють:

• Зростаючу прогресію, в такому випадку d\u003e 0. Приклад: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Спадну прогресію, тоді d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Різниця прогресії і її довільні елементи

Якщо відомі 2 довільних члена прогресії (i-ий, k-ий), то встановити різницю для даної послідовності можна на базі співвідношення:

a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d, значить d \u003d (a (i) - a (k)) / (i-k).

Різниця прогресії і її перший член

Цей вираз допоможе визначити невідому величину лише у випадках, коли відомий номер елемента послідовності.

Різниця прогресії і її сума

Сума прогресії - це сума її членів. Для обчислення сумарного значення її перших j елементів скористайтеся відповідною формулою:

S (j) \u003d ((a (1) + a (j)) / 2) * j, але тому що a (j) \u003d a (1) + d (j - 1), то S (j) \u003d ((a (1) + a (1) + d (j - 1)) / 2) * j \u003d (( 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.

При вивченні алгебри в загальноосвітній школі (9 клас) однією з важливих тем є вивчення числових послідовностей, до яких відносяться прогресії -геометріческая і арифметична. У цій статті розглянемо арифметичну прогресію і приклади з рішеннями.

Що собою являє арифметична прогресія?

Щоб це зрозуміти, необхідно дати визначення розглянутої прогресії, а також привести основні формули, які далі будуть використані при вирішенні завдань.

Арифметична або алгебраїчна прогресія - це такий набір упорядкованих раціональних чисел, кожен член якого відрізняється від попереднього на деяку постійну величину. Ця величина називається різницею. Тобто, знаючи будь-який член упорядкованого ряду чисел і різниця, можна відновити всю арифметичну прогресію.

Наведемо приклад. Наступна послідовність чисел буде прогресією арифметичної: 4, 8, 12, 16, ..., оскільки різниця в цьому випадку дорівнює 4 (8 - 4 \u003d 12 - 8 \u003d 16 - 12). А ось набір чисел 3, 5, 8, 12, 17 вже не можна віднести до даного виду прогресії, оскільки різниця для нього не є постійною величиною (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

важливі формули

Наведемо тепер основні формули, які знадобляться для вирішення завдань з використанням арифметичної прогресії. Позначимо символом a n n-й член послідовності, де n - ціле число. різниця позначимо латинською літерою d. Тоді справедливі такі вирази:

1. Для визначення значення n-го члена підійде формула: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Для визначення суми перших n доданків: S n \u003d (a n + a 1) * n / 2.

Щоб зрозуміти будь-які приклади арифметичної прогресії з рішенням в 9 класі, досить запам'ятати ці дві формули, оскільки на їх використанні будуються будь-які завдання розглянутого типу. Також слід не забувати, що різниця прогресії визначається за формулою: d \u003d a n - a n-1.

Приклад №1: знаходження невідомого члена

Наведемо простий приклад арифметичній прогресії і формул, які необхідно використовувати для вирішення.

Нехай дана послідовність 10, 8, 6, 4, ..., необхідно в ній знайти п'ять членів.

З умови задачі вже випливає, що перші 4 доданків відомі. П'яте можна визначити двома способами:

1. Обчислимо для початку різницю. Маємо: d \u003d 8 - 10 \u003d -2. Аналогічним чином можна було взяти будь-які два інших члена, що стоять поруч один з одним. Наприклад, d \u003d 4 - 6 \u003d -2. Оскільки відомо, що d \u003d a n - a n-1, тоді d \u003d a 5 - a 4, звідки отримуємо: a 5 \u003d a 4 + d. підставляємо відомі значення: A 5 \u003d 4 + (-2) \u003d 2.
2. Другий спосіб також вимагає знання різниці розглянутої прогресії, тому спочатку потрібно визначити її, як показано вище (d \u003d -2). Знаючи, що перший член a 1 \u003d 10, скористаємося формулою для n числа послідовності. Маємо: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Підставляючи в останній вираз n \u003d 5, отримуємо: a 5 \u003d 12-2 * 5 \u003d 2.

Як видно, обидва способи вирішення привели до одного і того ж результату. Відзначимо, що в цьому прикладі різницю d прогресії є негативною величиною. Такі послідовності називаються убутними, так як кожен наступний член менше попереднього.

Приклад №2: різниця прогресії

Тепер усложним трохи завдання, наведемо приклад, як

Відомо, що в деякій 1-й член дорівнює 6, а 7-й член дорівнює 18. Необхідно знайти різницю і відновити цю послідовність до 7 члена.

Скористаємося формулою для визначення невідомого члена: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. Підставами в неї відомі дані з умови, тобто числа a 1 і a 7, маємо: 18 \u003d 6 + 6 * d. З цього виразу можна легко обчислити різницю: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Таким чином, відповіли на першу частину завдання.

Щоб відновити послідовність до 7 члена, слід скористатися визначенням алгебраїчної прогресії, тобто a 2 \u003d a 1 + d, a 3 \u003d a 2 + d і так далі. В результаті відновлюємо всю послідовність: a 1 \u003d 6, a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, a 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, a 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14, a 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, a 7 \u003d 18.

Приклад №3: складання прогресії

Ускладнимо ще сильніше умову задачі. Тепер необхідно відповісти на питання, як знаходити арифметичну прогресію. Можна навести такий приклад: дано два числа, наприклад, - 4 і 5. Необхідно скласти прогресію алгебраїчну так, щоб між цими містилося ще три члени.

Перш ніж починати вирішувати цю задачу, необхідно зрозуміти, яке місце займатимуть задані числа в майбутньої прогресії. Оскільки між ними будуть перебувати ще три члени, тоді a 1 \u003d -4 і a 5 \u003d 5. Встановивши це, переходимо до задачі, яка аналогічна попередній. Знову для n-го члена скористаємося формулою, одержимо: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Звідки: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Тут отримали не ціле значення різниці, однак воно є раціональним числом, тому формули для алгебраїчної прогресії залишаються тими ж самими.

Тепер додамо знайдену різницю до a 1 і відновимо відсутні члени прогресії. Отримуємо: a 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 4 + 2,25 \u003d - 1,75, a 3 \u003d -1,75 + 2,25 \u003d 0,5, a 4 \u003d 0,5 + 2,25 \u003d 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, що збіглося з умовою завдання.

Приклад №4: перший член прогресії

Продовжимо наводити приклади арифметичної прогресії з рішенням. У всіх попередніх завданнях було відомо перше число алгебраїчної прогресії. Тепер розглянемо задачу іншого типу: нехай дано два числа, де a 15 \u003d 50 і a 43 \u003d 37. Необхідно знайти, з якого числа починається ця послідовність.

Формули, якими користувалися до теперішнього часу, припускають знання a 1 і d. В умові задачі про ці числа нічого невідомо. Проте випишемо вираження для кожного члена, про яку є інформація: a 15 \u003d a 1 + 14 * d і a 43 \u003d a 1 + 42 * d. Отримали два рівняння, в яких 2 невідомі величини (a 1 і d). Це означає, що завдання зводиться до вирішення системи лінійних рівнянь.

Зазначену систему найпростіше вирішити, якщо висловити в кожному рівнянні a 1, а потім порівняти отримані вирази. Перше рівняння: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; друге рівняння: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Прирівнюючи ці вирази, отримаємо: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, звідки різниця d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (наведені лише 3 знаки точності після коми).

Знаючи d, можна скористатися будь-яким з 2 наведених вище виразів для a 1. Наприклад, першим: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, можна його перевірити, наприклад, визначити 43 член прогресії, який заданий в умові. Отримаємо: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Невелика похибка пов'язана з тим, що при обчисленнях використовувалося округлення до тисячних часток.

Приклад №5: сума

Тепер розглянемо кілька прикладів з рішеннями на суму арифметичної прогресії.

Нехай дана числова прогресія такого вигляду: 1, 2, 3, 4, ...,. Як розрахувати суму 100 цих чисел?

Завдяки розвитку комп'ютерних технологій можна цю задачу вирішити, тобто послідовно скласти всі числа, що обчислювальна машина зробить відразу ж, як тільки людина натисне клавішу Enter. Однак завдання можна вирішити в розумі, якщо звернути увагу, що представлений ряд чисел є прогресією алгебраїчної, причому її різниця дорівнює 1. Застосовуючи формулу для суми, отримуємо: S n \u003d n * (a 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Цікаво відзначити, що ця задача носить назву "гаусом", оскільки на початку XVIII століття знаменитий німецький ще будучи у віці всього 10 років, зміг розв'язати цю проблему в розумі за кілька секунд. Хлопчик не знав формули для суми алгебри прогресії, але він зауважив, що якщо складати попарно числа, що знаходяться на краях послідовності, то виходить завжди один результат, тобто 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ..., а оскільки витрат на пальне буде рівно 50 (100/2), то для отримання правильної відповіді досить помножити 50 на 101.

Приклад №6: сума членів від n до m

Ще одним типовим прикладом суми арифметичної прогресії є наступний: дана така чисел ряд: 3, 7, 11, 15, ..., потрібно знайти, чому дорівнює сума його членів з 8 по 14.

Завдання вирішується двома способами. Перший з них передбачає знаходження невідомих членів з 8 по 14, а потім їх послідовне підсумовування. Оскільки доданків трохи, то такий спосіб не є досить трудомістким. Проте пропонується вирішити цю задачу другим методом, який є більш універсальним.

Ідея полягає в отриманні формули для суми алгебри прогресії між членами m і n, де n\u003e m - цілі числа. Випишемо для обох випадків два вирази для суми:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Оскільки n\u003e m, то очевидно, що 2 сума включає в себе першу. Останнє умовивід означає, що якщо взяти різницю між цими сумами, і додати до неї член a m (в разі взяття різниці він віднімається від суми S n), то отримаємо необхідний відповідь на завдання. Маємо: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1 m / 2). В цей вислів необхідно підставити формули для a n і a m. Тоді отримаємо: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Отримана формула є дещо громіздкою, проте сума S mn залежить тільки від n, m, a 1 і d. У нашому випадку a 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. Підставляючи ці числа, отримаємо: S mn \u003d 301.

Як видно з наведених рішень, все завдання грунтуються на знанні вираження для n-го члена і формули для суми набору перших доданків. Перед тим як приступити до вирішення будь-якої з цих завдань, рекомендується уважно прочитати умову, ясно зрозуміти, що потрібно знайти, і лише потім приступати до вирішення.

Ще одна порада полягає в прагненні до простоти, тобто якщо можна відповісти на запитання, чи не застосовуючи складні математичні викладки, то необхідно чинити саме так, оскільки в цьому випадку ймовірність припуститися помилки менше. Наприклад, в прикладі арифметичної прогресії з рішенням №6 можна було б зупинитися на формулі S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, і розбити спільне завдання на окремі підзадачі (в даному випадку спочатку знайти члени a n і a m).

Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, то рекомендується його перевіряти, як це було зроблено в деяких наведених прикладах. Як знаходити арифметичну прогресію, з'ясували. Якщо розібратися, то це не так складно.