Природа - досконале творіння, переконуються вчені, які відкривають в будову людського тіла пропорції золотого перетину, а в голівці цвітної капусти - фрактальні фігури.

«Вивчення і спостереження природи породило науку», - писав Цицерон в першому столітті до нашої ери. У більш пізні часи з розвитком науки і віддаленням її від вивчення природи, вчені з подивом відкривають те, що було відомо ще нашим предкам, але не було підтверджено науковими методами.

Цікаво знаходити схожі освіти в мікро- і макросвіті, надихати може і те, що геометрію цих утворень наука може описати. Кровоносна система, річка, блискавка, гілки дерев ... все це - схожі системи, що складаються з різних частинок і різні за масштабом.

Пропорції «золотого перетину»

Ще древні греки, а, можливо, і єгиптяни, знали пропорцію «золотого перетину». Лука Пачолі, математик епохи Відродження, назвав це співвідношення «божественної пропорцією». Пізніше вчені виявили, що золотий перетин, Яке так приємно оку людини і яке часто зустрічається в класичній архітектурі, мистецтві і навіть поезії, можна повсюдно знайти і в природі.

Пропорція золотого перетину - це поділ відрізка на дві нерівні частини, в якому коротка частина так відноситься до довгої, як довга до всього відрізку. Ставлення довгої частини до всього відрізку - це нескінченне число, ірраціональна дріб 0,618 ..., ставлення короткою - відповідно 0,382 ...

Якщо побудувати прямокутник зі сторонами, співвідношення яких дорівнюватиме пропорції «золотого перетину», і вписати в нього ще один «золотий прямокутник», в той - ще один, і так до нескінченності всередину і назовні, то за кутовими точками прямокутників можна провести спіраль. Цікаво те, що така спіраль співпаде зі зрізом раковини наутилуса, а також іншими зустрічаються в природі спіралями.

Ілюстрація: Homk / wikipedia.org

Скам'янілість Наутілуса.
Фото: Studio-Annika / Photos.com

Раковина Наутілуса.
Фото: Chris 73 / en.wikipedia.org

Пропорція золотого перетину сприймається людським оком як красива, гармонійна. А ще пропорція 0,618 ... дорівнює відношенню попереднього до наступного числа в ряді Фібоначчі. Числа ряду Фібоначчі повсюдно виявляються в природі: це спіраль, по якій гілочки рослин примикають до стебла, спіраль, по якій виростають лусочки на шишці або зерна на соняшнику. Що цікаво, кількість рядів, що закручуються проти годинникової стрілки і за годинниковою стрілкою, - це сусідні числа в ряді Фібоначчі.

Спірально закручується головка капусти брокколі та баранячий ріг ... Та й в самому людському тілі, зрозуміло, здоровому і нормальних пропорцій, зустрічаються співвідношення золотого перетину.

Вітрувіанська людина. Малюнок Леонардо да Вінчі.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... - числа Фібоначчі в якому кожний наступний член отримуємо з суми двох попередніх. Далекі спіральні сонячної, які зняли супутники, також закручуються по спіралях Фібоначчі.

Спіральна Сонячна.
Фото: NASA

Три тропічних циклони.
Фото: NASA

Подвійною спіраллю закручена молекула ДНК.

Закручена спіраллю ДНК людини.
Ілюстрація: Zephyris / en.wikipedia.org

Ураган закручується по спіралі, спірально плете свою павутину павук.

Павутина павука-хрестовика.
Фото: Vincent de Groot / videgro.net

«Золоту пропорцію» можна побачити і в будові тіла метелики, щодо грудної та черевної частин її тільця, а також у бабки. Та й більшість яєць вписується якщо не в прямокутник золотого перетину, то в похідний від нього.

Ілюстрація: Adolphe Millot

фрактали

Іншими цікавими фігурами, які ми можемо скрізь побачити в природі, є фрактали. Фрактали - це фігури, складені з частин, кожна з яких подібна до цілої постаті - чи не нагадує це принцип золотого перетину?

Дерева, блискавка, бронхи і кровоносна система людини мають фрактальну форму, ідеальними природними ілюстраціями фракталів називають також папороті і капусту брокколі. «Все так складно, все так просто» влаштовано в природі, помічають люди, з повагою прислухаючись до неї.

«Природа наділила людину прагненням до виявлення істини», - писав Цицерон, словами якого хотілося б і закінчити першу частину статті про геометрії в природі.

Брокколі - ідеальна природна ілюстрація фрактала.
Фото: pdphoto.org

Листя папороті мають форму фрактальної фігури - вони самоподобни.
Фото: Stockbyte / Photos.com

Зелені фрактали: листя папороті.
Фото: John Foxx / Photos.com

Жилки на пожовклому аркуші, що мають форму фрактала.
Фото: Diego Barucco / Photos.com

Тріщини на камені: фрактал в макро.
Фото: Bob Beale / Photos.com

Розгалуження кровоносної системи на вухах кролика.
Фото: Lusoimages / Photos.com

Удар блискавки - фрактальна гілка.
Фото: John R. Southern / flickr.com

Гілочка артерій в людському тілі.

Кучерява річка і її відгалуження.
Фото: Jupiterimages / Photos.com

Лід, замерзлий на склі має самоподібний малюнок.
Фото: Schnobby / en.wikipedia.org

Листочок плюща з розгалуженням прожилок - фракталів за формою.
Фото: Wojciech Plonka / Photos.com

Надіслати свою хорошу роботу в базу знань просто. Використовуйте форму, розташовану нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань в своє навчання і роботи, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки Російської Федерації

Тема: фрактали- особливіоб'єктиживогоінеживогосвіту

Хабаровськ тогу 2015

• Зміст
• фрактал геометричний фрактальний графіка
• Історія фракталів
• Класифікація фракталів
• геометричні фрактали
• алгебраїчні фрактали
• застосування фракталів
• Фрактали і світ навколо нас
• фрактальна графіка
• застосування фракталів
• Природні науки
• Радіотехніка
• Інформатика
• Економіка та фінанси

Історія фракталів

Дуже часто ми зустрічаємося з особливими об'єктами, але мало хто знає, що це і є фрактали. Фрактали - унікальні об'єкти, породжені непередбачуваними рухами хаотичного світу. Вони зустрічаються як в малих об'єктах, наприклад, клітинна мембрана, і величезних, таких як Сонячна система і Галактика. У повсякденному житті ми можемо побачити фрактали на малюнку шпалер, на тканини, заставці робочого столу на комп'ютері, а в природі - це рослини, морські тварини, природні явища.

Вчені, з давніх часів, зачаровані фракталами, програмісти і фахівці в області комп'ютерної графіки також люблять ці об'єкти. Відкриття фракталів стало революцією в людському сприйнятті світу і відкриттям нової естетики мистецтва і науки.

Так що ж таке фрактали? фрактал - геометрична фігура, що володіє властивістю самоподібності, тобто складена з декількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури в цілому.

Термін фрактал був запропонований в 1975 р. Бенуа Мандельброт для позначення нерегулярних, самоподібних структур, якими він займався. Народженням фрактальної геометрії є вихід його книги "The Fractal Geometry of Nature" в 1977р. Його роботи базувалися на працях вчених Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантора і Хаусдорфа, які працювали в 1875? 1925 роках в цій же області. Але вдалося об'єднати їх роботи в єдину систему тільки в наш час.

Поняття «фрактал» утворено від латинського «fractus»? що складається з фрагментів. Одне з визначень звучить так: «фрактали називається структура, що складається з частин, які, в якому? Сенсі подібні цілому».

Бенуа Мандельброт в своїх роботах привів яскраві приклади застосування фракталів для пояснення деяких природних явищ. Він приділив велику увагу цікавому властивості, яким володіють багато фрактали. Справа в тому, що часто фрактал можна розбити на скільки завгодно малі частини так, що кожна частина виявиться просто зменшеною копією цілого. Інакше кажучи, якщо ми будемо дивитися на фрактал в мікроскоп, то з подивом побачимо ту ж саму картину, що і без мікроскопа. Це властивість самоподібності різко відрізняє фрактали від об'єктів класичної геометрії.

Для сучасних вчених вивчення фракталів? не просто нова область пізнання. Це відкриття нового типу геометрії, яка описує світ навколо нас і яку можна побачити не тільки в підручниках, а й в природі, і в безмежній Всесвіту. В даний час Мандельброт і інші вчені розширили область фрактальної геометрії так, що вона може бути застосовна практично до всього в світі, від передбачення цін на ринку цінних паперів до скоєння нових відкриттів в теоретичній фізиці.

Класифікація фракталів

Існують різні класифікації фракталів.

Основною класифікацією фракталів є поділ на геометричні та алгебраїчні.

Геометричні фрактали мають точним самоподібності, а алгебраїчні - наближеним самоподібності.

Існує також поділ на природні та рукотворні фрактали.

До рукотворним відносяться фрактали, які були придумані вченими, вони при будь-якому масштабі мають фрактальні властивості. На природні фрактали накладається обмеження на область існування - тобто максимальний і мінімальний розмір, при яких у об'єкта спостерігаються фрактальні властивості.

Найпростішими фракталами є геометричні фрактали.

геометричні фрактали

Геометричні фрактали по-іншому називають класичними, детермінованими або лінійними. Вони є найбільш наочними, так як мають так званої жорсткої самоподобна, що не змінюється при зміні масштабу. Це означає, що, незалежно від того, наскільки ви наближаєте фрактал, ви бачите все той же візерунок.

У двомірному випадку такі фрактали можна отримати, задавши деяку ламану, яка називається генератором. За один крок алгоритму кожен з відрізків даної ламаної (ініціатора) замінюється на ламану-генератор у відповідному масштабі. В результаті нескінченного повторення цієї процедури виходить фрактальная крива. Незважаючи на гадану складність цієї кривої, її форма визначається лише формою генератора.

Найбільш відомі геометричні фрактали: крива Коха, крива Маньківського, крива Леві, крива дракона, серветка і килим Серпінського, п'ятикутник Дюрера.

Побудова деяких геометричних фракталів

1). Крива Коха.

Вона була винайдена в 1904 році німецьким математиком на ім'я Хельге фон Кох. Для її побудови береться одиничний інтервал, ділиться на три рівні частини і середня ланка замінюється рівностороннім трикутником без цієї ланки. На наступному кроці повторюємо операцію для кожного з чотирьох одержані відрізків. В результаті нескінченного повторення даної процедури виходить фрактальная крива.

2). Серветка Серпінського.

У 1915 році польський математик Вацлав Серпінського придумав цікавий об'єкт. Для його побудови береться суцільний рівносторонній трикутник. На першому кроці з центру видаляється перевернутий рівносторонній трикутник. На другому кроці видаляється три перевернутих трикутника з трьох, що залишилися трикутників і т.д. За теорією кінця цьому процесу не буде, і в трикутнику не залишиться живого місця, але і на частині він не розпадеться - вийде об'єкт, що складається з одних тільки дірок.

3). Дракон Хартера-Хейтуея.

Дракон Хартера, також відомий як дракон Хартера-Хейтуея, вперше досліджували фізики NASA? Джон Хейтуей, Вільям Хартер і Брюс Бенкс. Він був описаний в 1967 році Мартіном Гарднером в колонці «Математичні ігри» журналу «Scientific American».

Кожен з відрізків прямої на наступному кроці замінюється на два відрізки, що утворюють бічні сторони рівнобедреного прямокутного трикутника, для якого вихідний відрізок був би гіпотенузою. В результаті відрізок як би прогинається під прямим кутом. Напрямок прогину чергується. Перший відрізок прогинається вправо (по ходу руху зліва направо), другий - вліво, третій - знову вправо і т.д.

Приклади геометричних фракталів

криваКохасерветкаСерпінського

драконХартера-Хейтуея

Друга велика група фракталів - алгебраїчні. Свою назву вони отримали за те, що їх будують на основі алгебраїчних формул.

алгебраїчні фрактали

Складні (алгебраїчні) фрактали неможливо створити без допомоги комп'ютера. Для отримання барвистих результатів цей комп'ютер повинен володіти потужним математичним співпроцесором і монітором з високою роздільною здатністю. Свою назву вони отримали за те, що їх будують на основі алгебраїчних формул. В результаті математичної обробки цієї формули на екран виводиться точка певного кольору. Результатом виявляється дивна постать, в якій прямі лінії переходять в криві, з'являються хоча і не без деформацій, ефекти самоподібності на різних масштабних рівнях. Практично кожна точка на екрані комп'ютера як окремий фрактал.

Найбільш відомі алгебраїчні фрактали: безлічі Мандельброта і Жюліа, басейни Ньютона.

Алгебраїчні фрактали мають наближеним самоподібності. Фактично, якщо ви збільшите маленьку область будь-якого складного фрактала, а потім зробите те ж саме з маленьким ділянкою цій галузі, то ці два збільшення будуть значно відрізнятися один від одного. Два зображення будуть дуже схожі в деталях, але вони не будуть повністю ідентичними.

алгебраїчних фракталів

Наближення безлічі Мандельброта

Фрактали знаходять все більше і більше застосування в науці. Основна причина в тому, що вони описують реальний світ кращим, ніж традиційна фізика і математика.

застосування фракталів

1). Теорія хаосу: фрактали завжди асоціюються зі словом хаос. Теорія хаосу визначається як вчення про складних нелінійних динамічних системах. Хаос - це відсутність передбачуваності. Він виникає в динамічних системах, коли для двох дуже близьких початкових значень система веде себе зовсім по-різному. Приклад хаотичної динамічної системи - погода. Прикладами подібних систем є турбулентні потоки, біологічні популяції, суспільство і його підсистеми: економічні, політичні та інші соціальні системи. Однією з центральних концепцій в цій теорії є неможливість точного передбачення стану системи. Теорія хаосу зосереджує увагу не на безладді системи (спадкової непередбачуваності системи), а на успадкованому їй порядку (загалом в поведінці схожих систем). Таким чином, наука про хаос - це система уявлень про різні форми порядку, де випадковість стає організуючим принципом.

2). Економіка: аналіз ринку цінних паперів.

3). Астрофізика: опис процесів кластеризації галактик у Всесвіті.

4). Геологія: вивчення шорсткості мінералів;

5). Картографія: вивчення форм берегових ліній; вивчення розгалуженої мережі річкових русел.

6). Механіка рідин і газів, фізика поверхонь:

- динаміка і турбулентність складних потоків.

- моделювання язиків полум'я;

7). Біологія і медицина:

- моделювання популяцій тварин і міграції птахів;

- моделювання епідемій;

- аналіз будови кровоносної системи;

- розгляд складних поверхонь клітинних мембран;

- опис процесів всередині організму, наприклад, биття серця.

8). Фрактальні антени: використання фрактальної геометрії при проектуванні антенних пристроїв було вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який тоді жив у центрі Бостона, де була заборонена установка на будівлях зовнішніх антен. Він вирізав з алюмінієвої фольги фігуру в формі кривої Коха та наклеїв її на аркуш паперу, а потім приєднав до приймача. Виявилося, що така антена працює не гірше за звичайне. І хоча фізичні принципи роботи такої антени не вивчені досі, це не завадило Коену заснувати власну компанію і налагодити їх серійний випуск.

9). Стиснення зображень: гідності алгоритмів фрактального стиснення зображень - дуже маленький розмір упакованого файлу і малий час відновлення картинки. Інша перевага фрактального стиснення в тому, що при збільшенні картинки, не спостерігається ефекту пикселизации (збільшення розмірів точок до розмірів, які деформують зображення). При фрактальному стисненні, після збільшення, картинка часто виглядає навіть краще, ніж до нього.

10). Комп'ютерна графіка: комп'ютерна графіка переживає сьогодні період інтенсивного розвитку. Вона виявилася здатна відтворити на екрані монітора нескінченну різноманітність фрактальних форм і пейзажів, занурюючи глядача в дивовижне віртуальний простір. У теперішній час за допомогою порівняно простих алгоритмів з'явилася можливість створювати тривимірні зображення фантастичних ландшафтів і форм, які здатні перетворюватися в часі в ще більш захоплюючі картини. Схильність фракталів походити на гори, квіти і дерева експлуатується деякими графічними редакторами (наприклад, фрактальні хмари з 3D studio MAX, фрактальні гори в World Builder). Фрактальні моделі сьогодні широко застосовують в комп'ютерних іграх, створюючи в них обстановку, яку вже важко відрізнити від реальності.

Кінець ХХ століття ознаменувався не тільки відкриттям разюче гарних і нескінченно різноманітних структур, названих фракталами, а й усвідомленням фрактального характеру природи. Навколишній нас світ дуже різноманітний, і його об'єкти не вкладаються в жорсткі рамки евклідових ліній і поверхонь.

Фрактали і світ навколо нас

« Краса завжди відносна ... Не слід думати, що берега океану і справді безформні тільки тому, що їх форма відмінна від правильної форми побудованих нами причалів; форму гір не можна вважати неправильною на підставі того, що вони не є правильними конусами або пірамідами; з того, що відстані між зірками неоднакові, ще не випливає, що їх розкидала по небу невміла рука. Ці неправильності існують тільки в нашій уяві , насправді вони такими не є і ніяк не заважають істинним проявам життя на Землі, ні в царстві рослин і тварин, ні серед людей ». Ці слова англійського вченого XVII в. Річарда Бентлі свідчать про те, що ідея об'єднати форми берегів, гір і небесних об'єктів і протиставити їх евклідовим побудов виникла в умах людей вже дуже давно.

Галілео Галілей сказав, що «велика книга Природи написана мовою геометрії». Зараз з упевненістю можна стверджувати, що вона написана на мові фрактальної геометрії.

Те, що ми спостерігаємо в природі, часто інтригує нас нескінченним повторенням одного і того ж візерунка, збільшеного або зменшеного у скільки завгодно разів. Химерні форми берегових ліній і хитромудрі вигини річок, зламані поверхні гірських хребтів і обриси хмар, розлогі гілки дерев і коралові рифи, боязке мерехтіння свічки і спінені потоки гірських річок - все це фрактали. Одні з них, типу хмар або бурхливих потоків, постійно змінюють свої обриси, інші, подібно до дерев або гірськими масивами, зберігають свою структуру незмінною. Загальним для всіх типів фрактальних структур є їх самоподоба - основна властивість, що забезпечує виконання у фракталах основного закону - закону єдності в різноманітті світобудови.

Фрактальними структурами також є системи і органи людини. Так, наприклад, кровоносні судини багаторазово розгалужуються, тобто мають фрактальну природу. Електрична активність серця - фрактальний процес. Кардіологи виявили, що спектральні характеристики серцевих скорочень підкоряються фрактальним законам, як землетруси та економічні феномени. У тканинах травного тракту одна хвиляста поверхня вбудована в іншу. Легкі також представляють приклад того, як велика площа «Втиснута» в маленький простір. Насправді, вся структура людського тіла має фрактальну природу; це вже визнано вченими. Принцип єдиного простого, задає різноманітне складне, закладений в геномі людини, коли одна клітина живого організму містить інформацію про весь організм в цілому.

Фрактальні структури в природі

Наведемо кілька зразків фото:

Як сказав біолог Джон Холдейн, "світ влаштований не тільки химерні, ніж ми думаємо, але й вигадливо, ніж ми можемо припускати". Фрактали - не винахід Мандельброта. Вони існують об'єктивно. У природних формах і процесах, в науці і мистецтві, які цей світ відображають і пізнають. Саме "за зміну нашого погляду на світ завдяки ідеям фрактальної геометрії" Бенуа Мандельброту в 1993 році була присуджена почесна премія Вольфа в області фізики.

В даний час великою популярністю користуються фрактальні картини. Вони виробляють абсолютно фантастичне враження. Безліч тонких ліній, що утворюють одне ціле, або ж незвичайні елементи, що сплітаються в єдину картину. Спалахи яскравого світла і помірні згладжені лінії. Фрактал здається живим. Він горить, палає, він приваблює, і Ви не можете відвести від нього очей, вивчаючи навіть самі крихітні і незначні деталі.

фрактальна графіка

Фрактальні картини в інтер'єрі

застосування фракталів

Природні науки

У фізиці фрактали природним чином виникають при моделюванні нелінійних процесів, таких як турбулентний плин рідини, складні процеси дифузії-адсорбції, полум'я, хмари тощо. Фрактали використовуються при моделюванні пористих матеріалів, наприклад, в нафтохімії. У біології вони застосовуються для моделювання популяцій і для опису систем внутрішніх органів (система кровоносних судин). Після створення кривої Коха було запропоновано використовувати її при обчисленні довжини берегової лінії.

Радіотехніка

Використання фрактальної геометрії при проектуванні антенних пристроїв було вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який тоді жив у центрі Бостона, де була заборонена установка зовнішніх антен на будівлі. Натан вирізав з алюмінієвої фольги фігуру в формі кривої Коха та наклеїв її на аркуш паперу, потім приєднав до приймача. Коен заснував власну компанію і налагодив їх серійний випуск.

Інформатика

стиснення зображень

Фрактальное дерево

Існують алгоритми стиснення зображення за допомогою фракталів. Вони засновані на ідеї про те, що замість самого зображення можна зберігати стискуюче відображення, для якого це зображення (або деякий близьке до нього) є нерухомою точкою. Один з варіантів даного алгоритму був використаний фірмою Microsoft при виданні своєї енциклопедії, але великого поширення ці алгоритми не отримали.

Комп'ютерна графіка

Фрактали широко застосовуються в комп'ютерній графіці для побудови зображень природних об'єктів, таких як дерева, кущі, гірські ландшафти, поверхні морів і так далі. Існує безліч програм, що служать для генерації фрактальних зображень.

децентралізовані мережі

Система призначення IP-адрес в мережі Netsukuku (ця мережа є проектом створення розподіленої самоорганізується тимчасової мережі, здатної забезпечити взаємодію великої кількості вузлів при мінімальному навантаженні на центральний процесор і пам'ять) використовує принцип фрактального стиснення інформації для компактного збереження інформації про вузли мережі. Кожен вузол мережі Netsukuku зберігає всього 4 Кб інформації про стан сусідніх вузлів, при цьому будь-який новий вузол підключається до загальної мережі без необхідності в центральному регулюванні роздачі IP-адрес, що, наприклад, характерно для мережі Інтернет. Таким чином, принцип фрактального стиснення інформації гарантує повністю децентралізовану, а отже, максимально стійку роботу всієї мережі.

Економіка та фінанси

А. А. Алмазов у \u200b\u200bсвоїй книзі «Фрактальна теорія. Як поміняти погляд на ринки »запропонував спосіб використання фракталів при аналізі біржових котирувань, зокрема - на ринку Форекс.

Всякий раз, розглядаючи фрактали, замислюєшся, як прекрасний реальний світ і світ математики, і про те, що математика дійсно є мовою, який здатний описати практично все, що існує у Всесвіті.

бібліографічний список

1. Мандельброт Б. Фрактальна геометрія природи. М .: "Інститут комп'ютерних досліджень", 2002. 656 с.

2. Морозов А.Д. Введення в теорію фракталів. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-ту 1999 р 140 с.

3. Пайтген Х.-О., Ріхтер П. Х. Краса фракталів. М .: "Світ", 1993. - 176 с.

4. Тіхоплав В.Ю., Тіхоплав Т.С. Гармонія хаосу, або фрактальная реальність. С.-Петербург: ВД "Весь", 2003. 340 с.

5. Федер Е. Фрактали. М: "Мир", 1991. 254 с.

6. Шредер М. Фрактали, хаос, статечні закони. Мініатюри з нескінченного раю. Іжевськ: "РГД", 2001. 528 с.

Список сайтів про фрактали

1. http://www.fractals.nsu.ru.

2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.

3. http://www.multifractal.narod.ru.

4. http://algolist.manual.ru.

Розміщено на Allbest.ru

подібні документи

Розгляд фрактальної розмірності як однієї з характеристик інженерної поверхні. Опис природних фракталів. Вимірювання довжини негладкою (зламаним) лінії. Подоба і скейлинг, самоподоба і самоаффінность. Співвідношення "периметр-площа".

контрольна робота, доданий 23.12.2015


Історія появи теорії фракталів. Фрактал - самоподібна структура, чиє зображення не залежить від масштабу. Це рекурсивна модель, кожна частина якої повторює в своєму розвитку розвиток всієї моделі в цілому. Практичне застосування теорії фракталів.

наукова робота, доданий 12.05.2010


Класичні фрактали. Самоподібність. Сніжинка Коха. Килим Серпінського. L-системи. Хаотична динаміка. Аттрактор Лоренца. Безлічі Мандельброта і Жюліа. Застосування фракталів в комп'ютерних технологіях.

курсова робота, доданий 26.05.2006


Ознаки деяких чотирикутників. Реалізація моделей геометричних ситуацій в середовищах динамічної геометрії. Особливості динамічної середовища "Жива геометрія", особливості побудови в ній моделей паралелограма, ромба, прямокутника і квадрата.

курсова робота, доданий 28.05.2013


Геометрична картина світу і передумови виникнення теорії фракталів. Елементи детермінованою L-системи: алфавіт, слово ініціалізації і набір породжують правил. Фрактальні властивості соціальних процесів: синергетика і хаотична динаміка.

курсова робота, доданий 22.03.2014


Вивчення проявів геометричних законів в живій природі і використання їх в освітній практичної діяльності. Опис геометричних законів і сутність геометричних побудов. Графічне освіту і його місце в сучасному світі.

дипломна робота, доданий 24.06.2010


Визначення поняття моделі, необхідність їх застосування в науці та повсякденному житті. Характеристика методів матеріального і ідеального моделювання. Класифікація математичних моделей (детерміновані, стохастичні), етапи процесу їх побудови.

реферат, доданий 20.08.2015


Дослідження поняття симетрії, пропорційності, пропорційності і однаковості в розташуванні частин. Характеристика симетричних властивостей геометричних фігур. Описи ролі симетрії в архітектурі, природі і техніці, в рішенні логічних задач.

презентація, доданий 06.12.2011


Історія математизації науки. Основні методи математизації. Межі і проблеми математизації. Проблеми застосування математичних методів в різних науках пов'язані з самою математикою (математичне вивчення моделей), з областю моделювання.

реферат, доданий 24.05.2005


Поняття і історія дослідження золотого перетину. Особливості його відображення в математики, природі, архітектурі і живопису. Порядок і принципи побудови, структура та сфери практичного застосування золотого перетину, математичне обґрунтування і значення.

Надіслати свою хорошу роботу в базу знань просто. Використовуйте форму, розташовану нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань в своє навчання і роботи, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru

• Вступ
• 1. Поняття фрактала
• 2. Класифікація фракталів
• 4. Застосування фракталів
• висновок
• Список використаної літератури

Вступ

Поява самоподібних математичних об'єктів сто і більше років тому майже нікого не зацікавило, вони були цікаві лише авторам цих об'єктів. Більш того, деякі вчені охрестили їх "монстрами" і не вважали, що вони мають хоч якесь відношення до реального світу і науці.

Ставлення до самоподібним математичним об'єктам змінилося з появою комп'ютерів, коли з'явилися перші зображення алгебраїчних і стохастичних фракталів. Відразу після цього вони зацікавили не тільки математиків, але і фізиків, біологів, акустиков, і всіх, хто в своїй роботі стикався з природними об'єктами. Математиків фрактали залучали нехитрістю формул, якими описуються настільки складні структури, Фізиків - можливістю переглянути фізику з нової позиції, біологів - відповідністю зображень фракталів з різними біологічними об'єктами.

Фрактали ще не вичерпали себе, фрактальні об'єкти знаходять все в нових галузях науки. Їх застосовують фізики, біологи, соціологи, економісти і багато інших. Фрактали не вивчені до кінця, їм знаходять все нове застосування, що змінюють наше ставлення, як до самих фракталам, так і до природи.

Об'єкт роботи - феномен фракталів.

Предмет роботи - місце фракталів в сучасній науці.

Мета роботи - розглянути фрактали як одночасно простий і складний феномен.

Завдання роботи: розглянути поняття фракталів, види фракталів, історію виникнення і вивчення фракталів, застосування фракталів на практиці.

1. Поняття фрактала

Поняття фрактал і фрактальна геометрія, що з'явилися в кінці 70-х, з середини 80-х 20-го століття міцно увійшли в ужиток математиків і програмістів. Слово фрактал утворене від латинського fractus і в перекладі означає що складається з фрагментів Мандельброт Б. Фрактальна геометрія природи, с.5 - М .: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002.. Воно було запропоновано Бенуа Мандельброт в 1975 році для позначення нерегулярних, але самоподібних структур, якими він займався Мандельброт Б. Фрактальна геометрія природи, с.5 - М .: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002.. Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом в 1977 році книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature". У його роботах використані наукові результати інших вчених, які працювали в період 1875-1925 років в тій же області (Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф ). Але тільки в наш час вдалося об'єднати їх роботи в єдину систему.

Роль фракталів в машинній графіці сьогодні досить велика. Вони приходять на допомогу, наприклад, коли потрібно, за допомогою декількох коефіцієнтів, задати лінії і поверхні дуже складної форми. З точки зору машинної графіки, фрактальна геометрія незамінна при генерації штучних хмар, гір, поверхні моря. Фактично знайдений спосіб легкого представлення складних неевклідових об'єктів, образи яких дуже схожі на природні.

Одним з основних властивостей фракталів є самоподібність. У найпростішому випадку невелика частина фрактала містить інформацію про всіх фрактале.

Визначення фрактала, дане Мандельброт, звучить так: "фракталів називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні цілому" Федер Е. Фрактали .: Мир 1991 року, с.67.

Слід зазначити, що слово «фрактал» не є математичним терміном і не має загальноприйнятого суворого математичного визначення. Воно може вживатися, коли розглянута фігура володіє якими-небудь з перерахованих нижче властивостей:

1. Має нетривіальною структурою на всіх шкалах. У цьому відмінність від регулярних фігур (таких, як окружність, еліпс, графік гладкої функції): якщо ми розглянемо невеликий фрагмент регулярної фігури в дуже великому масштабі, він буде схожий на фрагмент прямої. Для фрактала збільшення масштабу не веде до спрощення структури, на всіх шкалах ми побачимо однаково складну картину.

2. Чи є самоподобной або наближено самоподобной.

3. Володіє дробової метричної розмірністю або метричної розмірністю, яка перевершує топологічну.

4. Чи може бути побудована за допомогою рекурсивної процедуриФедер Е. Фрактали .: Мир 1991 року, с.133.

Багато об'єктів в природі мають фрактальні властивості, наприклад узбережжя, хмари, крони дерев, кровоносна система і система альвеол людини або тварин.

Фрактали, особливо на площині, популярні завдяки поєднанню краси з простотою побудови за допомогою комп'ютера.

Фрактали - це перш за все мова геометрії. Однак їх головні елементи недоступні безпосередньому спостереженню. В цьому відношенні вони принципово відрізняються від звичних об'єктів геометрії Евкліда, таких, як пряма лінія або коло. Фрактали виражаються не в первинних геометричних формах, а в алгоритмах, наборах математичних процедур.

Ці алгоритми трансформуються в геометричні форми за допомогою комп'ютера. Репертуар алгоритмічних елементів невичерпний. Оволодівши мовою фракталів, можна описати форму хмари так само чітко і просто, як архітектор описує будівлю за допомогою креслень, в яких застосовується мова традиційної геометрії.

2. Класифікація фракталів

Геометричні фрактали. Фрактали цього класу самі наочні. У двомірному випадку їх отримують за допомогою деякої ламаної (або поверхні в тривимірному випадку), званої генератором. За один крок алгоритму кожен з відрізків, що становлять ламану, замінюється на ламану-генератор, у відповідному масштабі. В результаті нескінченного повторення цієї процедури, виходить геометричний фрактал.

Алгебраїчні фрактали. Це найбільша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах. Найбільш вивчені двомірні процеси. Інтерпретуючи нелінійний ітераційний процес, як дискретну динамічну систему, можна користуватися термінологією теорії цих систем: фазовий портрет, сталий процес, аттрактор і т.д.

Відомо, що нелінійні динамічні системи володіють декількома стійкими станами. Той стан, в якому опинилася динамічна система після деякого числа ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожне стійкий стан (або як кажуть - аттрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково потрапить в розглянуті кінцеві стану. Таким чином фазовий простір системи розбивається на області тяжіння аттракторов. Якщо фазовим є двомірний простір, то фарбуючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати колірний фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Змінюючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складні нетривіальні структури.

Схоластичні фрактали. Природні об'єкти, що виникають в результаті складних процесів випадкового характеру, часто мають фрактальну форму. Для їх моделювання можуть застосовуватися стохастичні (випадкові) фрактали. Приклади стохастичних фракталів:

1. траєкторія броунівського руху на площині і в просторі;

2. межа траєкторії броунівського руху на площині. У 2001 році Лоулер, Шрамм і Вернер довели припущення Мандельборта про те, що її розмірність дорівнює 4/3.

3. еволюції Шрамм-Лёвнера - конформно-інваріантні фрактальні криві, що виникають в критичних двовимірних моделях статистичної механіки, наприклад в моделі Ізінга і перколяції.

4. різні види рандомізованих фракталів, тобто фракталів, отриманих за допомогою рекурсивної процедури, в яку на кожному кроці введений випадковий параметр. Плазма - приклад використання такого фрактала в комп'ютерній графіці.

Фрактальна монотипія, або стохатіпія - напрямки в образотворчому мистецтві, що складаються в отриманні зображення випадкового фрактала Шредер М. Фрактали, хаос, статечні закони. Мініатюри з нескінченного раю. - Іжевськ: РГД, 2001., с.26.

3. Історія виникнення фракталів

Заслуговує на увагу той факт, що поява фракталів (ще не отримали цього імені) в математичній літературі близько ста років тому було зустрінуте з сумної неприязню, як це бувало і в історії розвитку багатьох інших математичних ідей. Один відомий математик, Шарль Ерміта, навіть охрестив їх монстрами. По крайней мере, загальна думка визнало їх патологією, що представляє інтерес тільки для дослідників, які зловживають математичними примхами, а не для справжніх вчених.

В результаті зусиль Бенуа Мандельброта таке ставлення змінилося, і фрактальна геометрія стала шанованою прикладною наукою. Мандельброт ввів у вживання термін фрактал, грунтуючись на теорії фрактальної (дробової) розмірності Хаусдорфа, запропонованої в 1919 році. За багато років до появи його першої книги по фрактальної геометрії, Мандельброт приступив до дослідження появи монстрів і інших патологій в природі. Він відшукав нішу для мали погану репутацію множин Кантора, кривих Пеано, функцій Вейєрштрасса та їх численних різновидів, які вважалися нонсенсом. Він і його учні відкрили багато нових фракталів, наприклад, фрактальное броунівський рух для моделювання лісового та гірського ландшафтів, флуктуації рівня річок і биття серця. З виходом у світ його книг додатки фрактальної геометрії стали з'являтися як гриби після дощу. Це торкнулося як багатьох прикладних наук, так і чистої математики. Навіть кіноіндустрія не залишилася осторонь. Мільйони людей милувалися гірським ландшафтом у фільмі «Зоряне переселення II: гнів хана», сконструйованим за допомогою фракталів Пайтген Х.-О., Ріхтер П. Х. Краса фракталів. - М .: Світ 1993, с.45.

Французький математик Анрі Пуанкаре ініціював дослідження в області нелінійної динаміки близько 1890 року, були що призвело до появи сучасної теорії хаосу. Інтерес до предмета помітно збільшився, коли Едвард Лоренц, який займався нелінійним моделюванням погоди, в 1963 році виявив неможливість довгострокових прогнозів погоди. Лоренц зауважив, що навіть незначні помилки при вимірюванні параметрів поточного стану погодних умов можуть призвести до абсолютно неправильним прогнозам про стан погоди в майбутньому. Ця суттєва залежність від початкових умов лежить в основі математичної теорії хаосу.

Траєкторії часток броунівського руху, яким займалися Роберт Броун ще в 1828 році і Альберт Ейнштейн в 1905 році, є прикладом фрактальних кривих, хоча їх математичний опис було дано тільки в 1923 році Норбертом Вінером. У 1890 році Пеано сконструював свою знамениту криву - безперервне відображення, що переводить відрізок в квадрат і, отже, підвищує його розмірність з одиниці до двійки. Кордон сніжинки Коха (1904 рік), чия розмірність d »1,2618, - це ще одна добре відома крива, що підвищує розмірність.

Фрактал, жодним чином не схожий на криву, який Мандельброт назвав пилом - це класичне безліч Кантора (тисяча вісімсот сімдесят п'ять або раніше). Це безліч настільки розріджене, що воно не містить інтервалів, але, тим не менш, має стільки ж точок, скільки інтервал. Мандельброт використав таку «пил» для моделювання стаціонарного шуму в телефонії. Фрактальна пил того чи іншого роду з'являється в численних ситуаціях. Фактично, вона є універсальним фракталом в тому сенсі, що будь-який фрактал - аттрактор системи ітерованих функцій - являє собою або фрактальную пил, або її проекцію на простір з більш низькою розмірністю Пайтген Х.-О., Ріхтер П., с. 22.

Різні деревовидні фрактали застосовувалися не тільки для моделювання дерев-рослин, але і бронхіального дерева (повітроносні гілки в легких), роботи нирок, кровоносної системи та ін. Цікаво відзначити припущення Леонардо да Вінчі про те, що все гілки дерева на даній висоті, складені разом , рівні по товщині стовбура (нижче їх рівня). Звідси випливає фрактальная модель для крони дерева у вигляді поверхні-фрактала.

багато чудові властивості фракталів і хаосу відкриваються при вивченні ітерованих відображень. При цьому починають з деякою функції у \u003d / (х) і розглядають поведінку послідовності f (х), f (f (х)), f (f (f (x))), ... У комплексній площині роботи такого роду сягають , по всій видимості, до імені Келі, який досліджував метод Ньютона знаходження кореня в додатку до комплексних, а не тільки речовим, функцій (1879). Чудового прогресу у вивченні ітерованих комплексних відображень домоглися Гастон Жюліа і П'єр Фату (1919). Природно, все було зроблено без допомоги комп'ютерної графіки. У наші дні, багато хто вже бачили барвисті постери із зображенням * множин Жюліа і безлічі Мандельброта, тісно з ними пов'язаного. Освоєння математичної теорії хаосу природно почати саме з ітерованих відображень.

Вивчення фракталів і хаосу відкриває чудові можливості, як в дослідженні нескінченного числа додатків, так і в області чистої математики. Але в той же час, як це часто трапляється в так званій новій математиці, відкриття спираються на піонерські роботи великих математиків минулого. Сер Ісаак Ньютон розумів це, кажучи: «Якщо я і бачив далі інших, то тільки тому, що стояв на плечах гігантів».

4. Застосування фракталів

Комп'ютерна графіка

Фрактали широко застосовуються в комп'ютерній графіці для побудови зображень природних об'єктів, таких, як дерева, кущі, гірські ландшафти, поверхні морів і т. Д.

Фізика та інші природні науки

У фізиці фрактали природним чином виникають при моделюванні нелінійних процесів, таких, як турбулентний плин рідини, складні випадкові процеси дифузії-адсорбції, полум'я, хмари і т. П. Також фрактали використовуються при моделюванні пористих матеріалів, наприклад, в нафтохімії. У біології вони застосовуються для моделювання популяцій і для опису систем внутрішніх органів (система кровоносних судин).

література

Серед літературних творів знаходять такі, які мають текстуальної, структурної або семантичної фрактальної природою. У текстуальних фракталах потенційно нескінченно повторюються елементи тексту:

1. Неразветвляющееся нескінченне дерево, тотожні самим собі з будь ітерації ( «У попа була собака ...», «Притча про філософа, якому сниться, що він метелик, якій сниться, що вона філософ, якому сниться ...», «Помилково твердження, що істинно твердження, що помилково твердження ... »).

2. Неразветвляющіеся нескінченні тексти з варіаціями ( «У Пеггі був веселий гусак ...») і тексти з наращениями ( «Будинок, який побудував Джек»).

3. У структурних фракталах схема тексту потенційно фрактальна

4. Вінок сонетів (15 віршів), вінок вінків сонетів (211 віршів), вінок вінків вінків сонетів (2455 віршів).

5. «Розповіді в оповіданні» ( «Книга тисячі і однієї ночі», Я. Потоцький «Рукопис, знайдений в Сарагосі»).

6. Передмови, що приховують авторство (У. Еко «Ім'я троянди»).

У семантичних і наративних фракталах автор розповідає про нескінченному подобі частини цілому

Х. Л. Борхес «У колі руїн»

Х.Кортасар «Жовта квітка»

Ж.Перек «Кунсткамера»

Фрактальні антени.

Використання фрактальної геометрії при проектуванні антенних пристроїв було вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який тоді жив у центрі Бостона, де була заборонена установка на будівлях зовнішніх антен. Натан вирізав з алюмінієвої фольги фігуру в формі кривої Коха та наклеїв її на аркуш паперу, а потім приєднав до приймача. Виявилося, що така антена працює не гірше за звичайне. І хоча фізичні принципи роботи такої антени не вивчені досі, це не завадило Коену заснувати власну компанію і налагодити їх серійний випуск.

Стиснення зображень.

Існують алгоритми для стиснення зображення за допомогою фракталів. Вони засновані на ідеї про те, що замість зображення можна зберігати відображення стиснення, для якого це зображення є нерухомою точкою.

Децентралізовані мережі.

Система призначення IP-адрес в мережі Netsukuku використовує принцип фрактального стиснення інформації для компактного збереження інформації про вузли мережі. Кожен вузол мережі Netsukuku зберігає всього 4 Кб інформації про стан сусідніх вузлів, при цьому будь-який новий вузол підключається до загальної мережі без необхідності в центральному регулюванні роздачі IP-адрес, що, наприклад, характерно для мережі Інтернет. Таким чином, принцип фрактального стиснення інформації гарантує повністю децентралізовану, а отже, максимально стійку роботу всієї мережі.

висновок

Більшість людей, вважають, що фрактали, це лише красиві картинки, які тішать око. На щастя, це не так, і фрактали застосовуються в багатьох областях діяльності людини. Вже існує теоретична база для створення нових напрямків їх застосування, такі як діагностика захворювань, прогнозування руйнувань при динамічному ударі і багато інших. Але, незважаючи на теоретичну невичерпність використання фракталів, можна припустити, що з часом виділяться основні напрямки їх застосування.

Минуло всього кілька десятиліть з тих пір, як Бенуа Мандельброт заявив: «Геометрія природи фрактальна!», На сьогоднішній день ми вже можемо припустити набагато більше, а саме, що фрактальность - це першочерговий принцип побудови всіх без винятку природних об'єктів.

висновки:

1. Природа фракталів ретельно вивчається вченими

2. У майбутньому за допомогою фракталів будуть вирішені багато проблем в медицині, в комп'ютерній індустрії, в науці і т.д.

Список використаної літератури

фрактал природний графіка

1. Мандельброт Б. Фрактальна геометрія природи. - М .: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002.

2. Пайтген Х.-О., Ріхтер П. Х. Краса фракталів. - М .: Мир, 1993.

3. Федер Е. Фрактали-М .: Світ, 1991.

4. Шредер М. Фрактали, хаос, статечні закони. Мініатюри з нескінченного раю. - Іжевськ: РГД, 2001..

Розміщено на Allbest.ru

подібні документи

Фрактал як безліч, розмірність якого відрізняється від звичайної розмірності, званої топологічної. Принципи та умови формування відповідної системи згідно з дослідженнями Мандельброта. Типи і значення фракталів, головні етапи їх еволюції.

контрольна робота, доданий 19.02.2015


Суть сучасних концепцій відносності простору і часу в спеціальній та загальної теоріях. Гіперхронологіческое історичний простір, прискорення історичного часу. Розкриття понять біфуркацій, фракталів, аттракторов, чинників випадковості.

контрольна робота, доданий 10.12.2009


Гуманітарний, технічний, математичний типи знання і природознавство в сучасній системі знання. Роль і значення математики і фізики в пізнанні світу. Ставлення до природи в природних і гуманітарних науках. Проблема протистояння науки і релігії.

реферат, доданий 26.11.2011


Розвиток природничих наук в середні століття, місце і роль церкви в державі. Побудова теорії будови атома на основі планетарної моделі. Розвиток астрономії, характеристики галактик. Теорії виникнення життя на Землі. Гіпотези походження рас.

контрольна робота, доданий 14.09.2009


Гіппократ як основоположник сучасної клінічної медицини. Заслуга вчених античності в розвитку природничих наук. Зміст основних законів діалектики, застосування діалектичних методів дослідження. Закон переходу кількості в якість.

контрольна робота, доданий 03.04.2011


Синергетика як теорія систем, що самоорганізуються в сучасному науковому світі. Історія і логіка виникнення синергетичного підходу в природознавстві. Вплив цього підходу на розвиток науки. Методологічна значимість синергетики в сучасній науці.

реферат, доданий 27.12.2016


Загальна характеристика бактерій. Їх будова, розмноження та харчування. Поняття про природні ресурси і їх характеристика. Будова і значення травної системи. економічна класифікація природних ресурсів. Будова стінки травного каналу.

контрольна робота, доданий 09.10.2012


Тенденції розвитку сфери промисловості, енергетики, народного господарства в даний час. Перетворення в області науки. Наслідки розвитку біотехнологій, розробок в природничих науках. хімічні процеси і енергетика. Збереження озонового шару.

реферат, доданий 18.11.2009


Застосування принципу абсолютної об'єктивності і визначеності емпіричних даних в квантовій фізиці. Використання циркуля і лінійки в геометрії Евкліда. аналіз періодичної системи хімічних елементів Д.І. Менделєєва. Свойсіва точки біфуркації.

контрольна робота, доданий 12.06.2015


Поняття про біоелектричних явищах. Виникнення сучасної мембранної теорії збудження. Основні види біоелектричних потенціалів, механізм їх виникнення і застосування в медико-біологічних лабораторіях, в клінічній практиці при діагностиці.

Для того щоб зрозуміти, що таке фрактал, слід було б почати розбір польотів з позиції математики, однак перш ніж заглиблюватися в точні науки, ми трохи пофілософствуємо. Кожній людині властива природна допитливість, завдяки якій він і пізнає навколишній світ. Найчастіше в своєму прагненні пізнання він намагається оперувати логікою в судженнях. Так, аналізуючи процеси, які відбуваються навколо, він намагається вирахувати взаємозв'язку і вивести певні закономірності. Найбільші уми планети зайняті вирішенням цих завдань. Грубо кажучи, наші вчені шукають закономірності там, де їх немає, та й бути не повинно. І тим не менше навіть в хаосі є зв'язок між тими чи іншими подіями. Ось цим зв'язком і виступає фрактал. Як приклад розглянемо зламану гілку, що валяється на дорозі. Якщо уважно до неї придивитися, то ми побачимо, що вона з усіма своїми відгалуженнями і сучками сама схожа на дерево. Ось ця схожість окремої частини з єдиним цілим свідчить про так званому принципі рекурсивного самоподібності. Фрактали в природі можна знайти скрізь і всюди, адже багато неорганічних і органічних форми формуються аналогічно. Це і хмари, і морські раковини, і раковини равликів, і крони дерев, і навіть кровоносна система. Даний список можна продовжувати до нескінченності. Всі ці випадкові форми з легкістю описує фрактальний алгоритм. Ось ми підійшли до того, щоб розглянути, що таке фрактал з позиції точних наук.

Трохи сухих фактів

Саме слово «фрактал» з латини перекладається як "частковий", "розділений", "роздроблений", а що стосується змісту цього терміна, то формулювання як такої не існує. Зазвичай його трактують як самоподібних безліч, частина цілого, яка повторюється своєю структурою на мікрорівні. Цей термін придумав в сімдесятих роках ХХ століття Бенуа Мандельброт, який визнаний батьком фрактальної геометрії. Сьогодні під поняттям фрактала на увазі графічне зображення якоїсь структури, яка при збільшеному масштабі буде подібна сама собі. Однак математична база для створення цієї теорії була закладена ще до народження самого Мандельброта, а ось розвиватися вона не могла, поки не з'явилися електронні обчислювальні машини.

Історична довідка, або Як все починалося

На рубежі 19-20 століть вивчення природи фракталів носило епізодичний характер. Це пояснюється тим, що математики вважали за краще вивчати об'єкти, піддаються дослідженню, на основі загальних теорій і методів. У 1872 році німецьким математиком К. Вейерштрассом був побудований приклад безперервної функції, Ніде не диференціюється. Однак це побудова виявилася цілком абстрактним і важким для сприйняття. Далі пішов швед Хельге фон Кох, який в 1904 році побудував безперервну криву, яка не має ніде дотичній. Її досить легко намалювати, і, як виявилося, вона характеризується фрактальними властивостями. Один з варіантів цієї кривою назвали в честь її автора - «сніжинка Коха». Далі ідею самоподібності фігур розвивав майбутній наставник Б. Мандельброта француз Поль Леві. У 1938 році він опублікував статтю «Плоскі та просторові криві і поверхні, що складаються з двох частин, подібних цілому». У ній він описав новий вид - С-криву Леві. Всі перераховані вище фігури умовно відносяться до такого виду, як геометричні фрактали.

Динамічні, або алгебраїчні фрактали

До даного класу належить безліч Мандельброта. Першими дослідниками цього напряму стали французькі математики П'єр Фату і Гастон Жюліа. У 1918 році Жюліа опублікував роботу, в основі якої лежало вивчення ітерацій раціональних комплексних функцій. Тут він описав сімейство фракталів, які близько пов'язані з безліччю Мандельброта. Незважаючи на те що дана робота прославила автора серед математиків, про неї швидко забули. І тільки через півстоліття завдяки комп'ютерам працю Жюліа отримав друге життя. ЕОМ дозволили зробити видимим для кожної людини ту красу і багатство світу фракталів, які могли «бачити» математики, відображаючи їх через функції. Мандельброт став першим, хто використав комп'ютер для проведення обчислень (вручну такий обсяг неможливо провести), що дозволили побудувати зображення цих фігур.

Людина з просторовою уявою

Мандельброт починав свою наукову кар'єру в дослідницькому центрі IBM. Вивчаючи можливості передачі даних на великі відстані, вчені зіткнулися з фактом великих втрат, які виникали через шумових перешкод. Бенуа шукав шляхи вирішення цієї проблеми. Переглядаючи результати вимірювань, він звернув увагу на дивну закономірність, а саме: графіки шумів виглядали однаково в різному масштабі часу. Аналогічна картина спостерігалася як для періоду в один день, так і для семи днів або для години. Сам Бенуа Мандельброт часто повторював, що він працює не з формулами, а грає з картинками. Цей вчений відрізнявся образним мисленням, будь-яку алгебраїчну задачу він перекладав в геометричну область, де правильну відповідь очевидна. Так що не дивно, що така людина, що відрізняється багатим просторовим мисленням, І став батьком фрактальної геометрії. Адже усвідомлення даної фігури може прийти тільки тоді, коли вивчаєш малюнки і вдумуватися в сенс цих дивних завихрень, що утворюють візерунок. Фрактальні малюнки не мають ідентичних елементів, однак володіють подібними при будь-якому масштабі.

Жюліа - Мандельброт

Одним з перших малюнків цієї фігури була графічна інтерпретація множини, яка народилася завдяки роботам Гастона Жюліа і була доопрацьована Мандельброт. Гастон намагався уявити, як виглядає безліч, побудоване на базі простої формули, яка проітерірована циклом зворотного зв'язку. Спробуємо сказане пояснити людською мовою, так би мовити, на пальцях. Для конкретного числового значення за допомогою формули знаходимо нове значення. Підставляємо його в формулу і бачимо таке. В результаті виходить велика числова послідовність. Для подання такого безлічі потрібно виконати цю операцію безліч разів: сотні, тисячі, мільйони. Це і виконав Бенуа. Він обробив послідовність і переніс результати в графічну форму. Згодом він розфарбував отриману фігуру (кожен колір відповідає певному числу ітерацій). Дане графічне зображення отримало ім'я «фрактал Мандельброта».

Л. Карпентер: мистецтво, створене природою

Теорія фракталів досить швидко знайшла практичне застосування. Так як вона дуже тісно пов'язана з візуалізацією самоподібних образів, то першими, хто взяв на озброєння принципи і алгоритми побудови цих незвичайних форм, стали художники. Першим з них став майбутній засновник студії Pixar Лорен Карпентер. Працюючи над презентацією прототипів літаків, йому в голову прийшла ідея в якості фону використовувати зображення гір. Сьогодні з таким завданням зможе впоратися практично кожен користувач комп'ютера, а в сімдесятих роках минулого століття ЕОМ були не в змозі виконувати такі процеси, адже графічних редакторів і додатків для тривимірної графіки на той момент ще не було. І ось Лорену попалася книга Мандельброта «Фрактали: форма, випадковість і розмірність». У ній Бенуа приводив безліч прикладів, показуючи, що існують фрактали в природі (фива), він описував їх різноманітну форму і доводив, що вони легко описуються математичними виразами. Дану аналогію математик приводив як аргумент корисності розробляється ним теорії у відповідь на шквал критики від своїх колег. Вони стверджували, що фрактал - це всього лише красива картинка, яка не має ніякої цінності, що є побічним результатом роботи електронних машин. Карпентер вирішив випробувати цей метод на практиці. Уважно вивчивши книгу, майбутній аніматор став шукати спосіб реалізації фрактальної геометрії в комп'ютерній графіці. Йому знадобилося всього три дні, щоб візуалізувати цілком реалістичне зображення гірського ландшафту на своєму комп'ютері. І сьогодні цей принцип широко використовується. Як виявилося, створення фракталів не займає багато часу і сил.

рішення Карпентера

Принцип, використаний Лорен, виявився простий. Він полягає в тому, щоб розділити більші геометричні фігури на дрібні елементи, а ті - на аналогічні меншого розміру, і так далі. Карпентер, використовуючи великі трикутники, дробив їх на 4 дрібних, і так далі, до тих пір, поки у нього не вийшов реалістичний гірський пейзаж. Таким чином, він став першим художником, який застосував фрактальний алгоритм в комп'ютерній графіці для побудови необхідного зображення. Сьогодні цей принцип використовується для імітації різних реалістичних природних форм.

Перша 3D-візуалізація на фрактальному алгоритмі

Вже через кілька років Лорен застосував свої напрацювання в масштабному проекті - анімаційному ролику Vol Libre, показаному на Siggraph в 1980 році. Це відео шокувало багатьох, і його творець був запрошений працювати в Lucasfilm. Тут аніматор зміг реалізуватися повною мірою, він створив тривимірні ландшафти (цілу планету) для повнометражного фільму "Star Trek". Будь-яка сучасна програма ( «Фрактали») або додаток для створення тривимірної графіки (Terragen, Vue, Bryce) використовує всі той же алгоритм для моделювання текстур і поверхонь.

Том Беддард

У минулому лазерний фізик, а нині цифрових справ майстер і художник, Беддард створив ряд дуже інтригуючих геометричних фігур, які назвав фрактали Фаберже. Зовні вони нагадують декоративні яйця російського ювеліра, на них такий же блискучий хитромудрий узор. Беддард використовував шаблонний метод для створення своїх цифрових візуалізацій моделей. Отримані вироби вражають своєю красою. Хоч багато хто відмовляється порівнювати продукт ручної роботи з комп'ютерною програмою, однак слід визнати, що отримані форми надзвичайно красиві. Родзинка полягає в тому, що побудувати такий фрактал зможе будь-хто, скориставшись програмної бібліотекою WebGL. Вона дозволяє досліджувати в реальному часі різні фрактальні структури.

Фрактали в природі

Мало хто звертає увагу, але ці дивовижні фігури присутні всюди. Природа створена з самоподібних фігур, просто ми цього не помічаємо. Досить подивитися через збільшувальне скло на нашу шкіру або листок дерева, і ми побачимо фрактали. Або взяти, наприклад, ананас або навіть хвіст павича - вони складаються з подібних фігур. А сорт капусти броколі Романеско взагалі вражає своїм виглядом, адже це справді можна назвати дивом природи.

Музична пауза

Виявляється, фрактали - це не тільки геометричні фігури, вони можуть бути і звуками. Так, музикант Джонатан Колтон пише музику за допомогою фрактальних алгоритмів. Він стверджує, що така мелодія відповідає природної гармонії. Композитор всі свої твори публікує під ліцензією CreativeCommons Attribution-Noncommercial, яка передбачає вільне розповсюдження, копіювання, передачу творів іншими особами.

Індикатор-фрактал

Дана методика знайшла досить несподіване застосування. На її основі створено інструмент для аналізу ринку фондової біржі, і, як наслідок, його почали застосовувати на ринку «Форекс». Зараз індикатор-фрактал знаходиться на всіх торгових платформах і застосовується в торговельній техніці, яку називають ціновим проривом. Розробив цю методику Білл Вільямс. Як коментує свій винахід автор, даний алгоритм є поєднанням декількох «свічок», в якому центральна відображає максимальну або, навпаки, мінімальну екстремальну точку.

На закінчення

Ось ми і розглянули, що таке фрактал. Виявляється, в хаосі, який оточує нас, насправді існують ідеальні форми. Природа є найкращим архітектором, ідеальним будівельником і інженером. Вона влаштована досить логічно, і якщо ми не можемо знайти закономірність, це не означає, що її немає. Може бути, потрібно шукати в іншому масштабі. З упевненістю можна сказати, що фрактали зберігають ще чимало секретів, які нам тільки належить відкрити.

Нещодавно я дізналася про таких цікавих об'єктах математичного світу як фрактали. Але існують вони не тільки в математики. Вони оточують нас всюди. Фрактали бувають природні. Про те, що таке фрактали, про види фракталів, про приклади цих об'єктів і їх застосуванні я і розповім в цій статті. Для початку коротко розкажу, що таке фрактал.

Фрактал (лат. Fractus - подрібнений, зламаний, розбитий) - це складна геометрична фігура, що володіє властивістю самоподібності, тобто складена з декількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури в цілком. У більш широкому сенсі під фракталами розуміють безлічі точок в евклідовому просторі, мають дробову метричну розмірність (в сенсі Маньківського або Хаусдорфа), або метричну розмірність, відмінну від топологічної. Для прикладу я вставлю картинку із зображенням чотирьох різних фракталів.

Розповім трохи про історію фракталів. Поняття фрактал і фрактальна геометрія, що з'явилися в кінці 70-х, з середини 80-х міцно увійшли в ужиток математиків і програмістів. Слово «фрактал» було введено Бенуа Мандельброт в 1975 році для позначення нерегулярних, але самоподібних структур, якими він займався. Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом в 1977 році книги Мандельброта The Fractal Geometry of Nature. У його роботах використані наукові результати інших вчених, які працювали в період 1875-1925 років в тій же області (Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф). Але тільки в наш час вдалося об'єднати їх роботи в єдину систему.

Прикладів фракталів можна привести масу, тому що, як і говорила, вони оточують нас всюди. По-моєму, навіть вся наша Всесвіт - це один величезний фрактал. Адже все в ній, від будови атома до будови самого Всесвіту, в точності повторює один одного. Але є, звичайно, і більш конкретні приклади фракталів з різних областей. Фрактали, наприклад, присутні в комплексній динаміці. там вони природним чином з'являються при вивченні нелінійних динамічних систем. Найбільш вивчений випадок, коли динамічна система задається ітераціями многочлена або голоморфної функцією комплексу змінних на площині. Одними з найвідоміших фракталів такого виду є безліч Жюліа, безліч Мандельброта і басейни Ньютона. Нижче по порядку на картинки зображені кожен з вищеперелічених фракталів.

Ще одним прикладом фракталів є фрактальні криві. Пояснити, як будуватися фрактал найкраще саме на прикладі фрактальних кривих. Однією з таких кривих є, так звана, Сніжинка Коха. існує проста процедура отримання фрактальних кривих на площині. Задамо довільну ламану з кінцевим числом ланок, звану генератором. Далі замінимо в ній кожен відрізок генератором (точніше, ламаної, подібної генератору). У вийшла ламаної знову замінимо кожен відрізок генератором. Продовжуючи до нескінченності, в межі отримаємо фрактальну криву. Нижче показана Сніжинка (або крива) Коха.

Фрактальних кривих так само існує величезна безліч. Найвідоміші з них - це, вже згадана, Сніжинка Коха, а також крива Леві, крива Маньківського, ламана Дракона, крива Піано і дерево Піфагора. Зображення даних фракталів і їх історію, я думаю, при бажанні ви легко зможете знайти у Вікіпедії.

Третім прикладом або видом фракталів є стохастичні фрактали. До таких фракталам можна віднести траєкторію броунівського руху на площині і в просторі, еволюції Шрамм-Лёвнера, різні види рандомізованих фракталів, тобто фракталів, отриманих за допомогою рекурсивної процедури, в яку на кожному кроці введений випадковий параметр.

Існують так само чисто математичні фрактали. Це, наприклад, канторова безліч, губка Менгера, Трикутник Серпінського і інші.

Але самі, мабуть, цікаві фрактали - це природні. Природні фрактали - це такі об'єкти в природі, які мають фрактальні властивості. І тут вже список великий. Я не буду перераховувати всі, тому що, напевно, всіх і не перелічити, але про деякі розповім. Ось, наприклад, в живій природі до таких фракталам відносяться наша кровоносна система і легені. А ще крони і листя дерев. Так само сюди можна віднести морських зірок, морських їжаків, Корали, морські раковини, деякі рослини, такі як капуста або брокколі. Нижче наочно показані кілька таких природних фракталів з живої природи.

Якщо ж розглядати неживу природу, То там цікавих прикладів набагато більше, ніж в живій. Блискавки, сніжинки, хмари, всім відомі, візерунки на вікнах в морозні дні, кристалики, гірські хребти - все це є прикладами природних фракталів з неживої природи.

Приклади і види фрактали ми розглянули. Що ж стосується застосування фракталів, то вони застосовуються в самих різних областях знань. У фізиці фрактали природним чином виникають при моделюванні нелінійних процесів, таких як турбулентний плин рідини, складні процеси дифузії-адсорбції, полум'я, хмари і т. П. Фрактали використовуються при моделюванні пористих матеріалів, наприклад, в нафтохімії. У біології вони застосовуються для моделювання популяцій і для опису систем внутрішніх органів (система кровоносних судин). Після створення кривої Коха було запропоновано використовувати її при обчисленні протяжності берегової лінії. Так само фрактали активно використовуються в радіотехніці, в інформатиці та комп'ютерних технологіях, телекомунікації і навіть економіці. Ну і, звичайно ж, фрактальное бачення, активно використовується в сучасному мистецтві і архітектурі. Ось один із прикладів фрактальних картин:

І так, на цьому я думаю завершити свою розповідь про такому незвичайному математичному явище як фрактал. Сьогодні ми дізналися про те, що таке фрактал, як він з'явився, про види і про приклади фракталів. А так же я розповіла про їх застосуванні і продемонструвала деякі з фракталів наочно. Сподіваюся, вам сподобалася ця невелика екскурсія в світ дивовижних і зачаровують фрактальних об'єктів.