Aritmetikai számítások. Érdeklődés. Átváltás tizedes törtekre. Az elfogyasztott cukorkák kiszámítása

Az aritmetikai átlag egy statisztikai mutató, amely egy adott adatsor átlagos értékét mutatja. Az ilyen mutatót törtként kell kiszámítani, amelynek számlálójában a tömb összes értékének összege, a nevezőben pedig számuk van. A számtani átlag fontos együttható a háztartások számításaiban.

Az együttható jelentése

A számtani átlag elemi mutató az adatok összehasonlítására és az elfogadható érték kiszámítására. Például a különböző üzletek egy doboz sört árulnak egy adott gyártótól. De az egyik áruházban 67 rubel, a másikban - 70 rubel, a harmadikban - 65 rubel, az utolsóban - 62 rubel. Elég nagy felárak az árak, így a vevőt a doboz átlagos költsége fogja érdekelni, hogy termék vásárlásakor összehasonlíthassa költségeit. A városban egy doboz sörnek átlagosan ára van:

Átlagos ár = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubel.

Az átlagár ismeretében könnyen meghatározható, hogy hol jövedelmező a termék megvásárlása, és hol kell túlfizetnie.

A számtani átlagot folyamatosan használják a statisztikai számítások során azokban az esetekben, amikor homogén adatsort elemeznek. A fenti példában ez az ára egy doboz sörnek. Nem tudjuk azonban összehasonlítani a különböző gyártók sörének árát, illetve a sör és a limonádé árát, mivel ebben az esetben az értéktartomány nagyobb lesz, az átlagár homályos és megbízhatatlan, és a számítások értelme a rajzfilmszerű „átlaghőmérséklet egy kórházban” lesz. A heterogén adathalmazok kiszámításához az aritmetikai súlyozott átlagot használják, amikor minden érték saját súlyozási tényezőt kap.

A számtani átlag kiszámítása

A számítási képlet rendkívül egyszerű:

P = (a1 + a2 + ... an) / n,

ahol an a mennyiség értéke, n az értékek teljes száma.

Mire használható ez a mutató? Az első és legnyilvánvalóbb alkalmazás a statisztika. Szinte minden statisztikai vizsgálat számtani átlagot használ. Lehet, hogy átlagos életkor házasság Oroszországban, egy tantárgy átlagos osztályzata egy diák számára, vagy az átlagos élelmiszer -költés naponta. Amint fentebb tárgyaltuk, súlyok nélkül az átlagok kiszámítása furcsa vagy abszurd értékeket eredményezhet.

Például az elnök Orosz Föderáció kijelentette, hogy a statisztikák szerint egy orosz átlagos fizetése 27 000 rubel. A legtöbb orosz lakos számára ez a fizetés abszurdnak tűnt. Nem meglepő, ha számításkor egyrészt az oligarchák, az ipari vállalkozások vezetőinek, a nagybankároknak a jövedelmét, másrészt a tanárok, takarítók és eladók fizetését is figyelembe vesszük. Még egy szakterület, például egy könyvelő átlagbére is komoly eltéréseket mutat Moszkvában, Kostromában és Jekatyerinburgban.

Hogyan lehet kiszámítani a különböző adatok átlagát?

A bérszámfejtési helyzetekben fontos figyelembe venni az egyes értékek súlyát. Ez azt jelenti, hogy az oligarchák és bankárok fizetése például 0,00001, az eladók fizetése pedig 0,12 súlyt kapna. Ezek a plafonról származó számok, de nagyjából illusztrálják az oligarchák és eladók elterjedtségét az orosz társadalomban.

Így egy heterogén adathalmaz átlagának vagy átlagértékének kiszámításához a súlyozott súlyozott átlagot kell használni. Ellenkező esetben Oroszországban átlagosan 27 000 rubel fizetést kap. Ha tudni szeretné az átlagos pontszámot a matematikából vagy a kiválasztott jégkorongozó által szerzett átlagos gólszámot, akkor a számtani átlag számológép megfelelő az Ön számára.

Programunk egy egyszerű és kényelmes számológép a számtani átlag kiszámításához. A számítások elvégzéséhez csak a paraméterértékeket kell megadnia.

Nézzünk egy -két példát

Átlagos pontszámítás

Sok tanár a számtani átlag módszerét használja egy tantárgy éves osztályzatának meghatározására. Tegyük fel, hogy a gyermek a következő matematikai negyedpontokat kapja: 3, 3, 5, 4. Mennyi a tanár éves osztályzata? Használjunk számológépet, és számítsuk ki az aritmetikai átlagot. Először válassza ki a megfelelő számú mezőt, és írja be a pontszámokat a megjelenő cellákba:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

A tanár az értéket a diák javára kerekíti, a tanuló pedig egy négyet kap egy év múlva.

Az elfogyasztott cukorkák kiszámítása

Illusztráljuk a számtani átlag néhány abszurditását. Képzeljük el, hogy Mashának és Vovának 10 édessége volt. Mása 8 édességet evett, Vova pedig csak 2. Hány édességet evett átlagosan minden gyermek? Számológép segítségével könnyen kiszámítható, hogy a gyerekek átlagosan 5 cukorkát ettek, ami teljesen ellentétes a valósággal és a józan ésszel. Ez a példa azt mutatja, hogy az aritmetikai átlag fontos az értelmes adatkészletek számításához.

Következtetés

A számtani átlag számítását sokan használják tudományos területeken... Ez a mutató nemcsak a statisztikai számítások, hanem a fizika, a mechanika, a közgazdaságtan, az orvostudomány vagy a pénzügyek területén is népszerű. Használja számológépeinket asszisztensként a számtani átlagfeladatok megoldásában.

Math-Calculator-Online v.1.0

A számológép a következő műveleteket hajtja végre: összeadás, kivonás, szorzás, osztás, munka tizedes számmal, gyök kivonás, hatványozás, százalékok kiszámítása és egyéb műveletek.

Megoldás:

Hogyan kell dolgozni egy matematikai számológéppel

Kulcs	Kijelölés	Magyarázat
5	számok 0-9	Arab számok. Természetes egész számok bevitele, nulla. Ha negatív egész számot szeretne kapni, nyomja meg a +/- gombot
.	pontosvessző)	A tizedes tört elválasztója. Ha nincs számjegy a pont előtt (vessző), a számológép automatikusan helyettesíti a nullát a pont előtt. Például: .5 - 0.5 lesz írva
+	Plusz jel	Számok összeadása (egész számok, tizedesjegyek)
-	mínusz jel	Számok kivonása (egész, tizedes törtek)
÷	osztási jel	A számok felosztása (egész, tizedes törtek)
NS	szorzás jele	Számok szorzása (egész, tizedes törtek)
√	gyökér	Egy szám gyökérének kivonása. Ha ismét megnyomja a "root" gombot, a gyökér az eredményből kerül kiszámításra. Például: 16 gyökere = 4; gyök 4 = 2
x 2	négyzetesítés	Egy szám négyzetbe állítása. Ha ismét megnyomja a "négyzet" gombot, az eredmény négyzetbe kerül, például: 2 -es négyzet = 4; négyzet 4 = 16
1 / x	töredék	Kimenet tizedes törtekben. Az 1 számlálóban, a nevezőben a bevitt szám
%	százalék	Számok százalékának megszerzése. A munkához be kell írnia: a számot, amelyből a százalékot kiszámítják, a jelet (plusz, mínusz, osztás, szorzás), hány százalékot numerikus formában, a "%" gombot
(	nyitott zárójel	Nyitott zárójel a számítás prioritásának beállításához. Zárt zárójel szükséges. Példa: (2 + 3) * 2 = 10
)	zárt zárójel	Zárt zárójel a számítás prioritásának beállításához. Nyitott zárójel szükséges
±	plusz minusz	Fordított jel
=	egyenlő	Megjeleníti a megoldás eredményét. Ezenkívül a számológép felett a "Megoldás" mezőben a köztes számítások és az eredmény is megjelenik.
←	karakter törlése	Eltávolítja az utolsó karaktert
VAL VEL	kisülés	Reset gomb. Teljesen visszaállítja a számológépet "0" állásba

Az online számológép algoritmusa példákkal

Kiegészítés.

Egészek hozzáadása természetes számok { 5 + 7 = 12 }

Pozitív egész és negatív egész számok hozzáadása (5 + (-2) = 3)

Tizedes tört számok hozzáadása (0,3 + 5,2 = 5,5)

Kivonás.

Egész természetes számok kivonása (7 - 5 = 2)

Pozitív egész és negatív egész számok kivonása (5 - (-2) = 7)

A tizedes törtek kivonása (6,5 - 1,2 = 4,3)

Szorzás.

Egész természetes számok szorzata (3 * 7 = 21)

Pozitív egész és negatív egész szám szorzata (5 * (-3) = -15)

Tizedes tört számok szorzata (0,5 * 0,6 = 0,3)

Osztály.

Egész természetes számok osztása (27/3 = 9)

Egész számok és negatív számok felosztása (15 / (-3) = -5)

A tizedes törtszámok felosztása (6,2 / 2 = 3,1)

Egy szám gyökérének kivonása.

Egy egész szám gyökerének kibontása (gyökér (9) = 3)

A tizedes törtek gyökérének kivonása (gyök (2.5) = 1.58)

A gyök kivonása a számok összegéből (gyök (56 + 25) = 9)

A számkülönbség gyökérének kivonása (gyök (32 - 7) = 5)

Egy szám négyzetbe állítása.

Négyzet egy egész számot ((3) 2 = 9)

Négyzetszám tizedes ([2.2] 2 = 4.84)

Átváltás tizedes törtekre.

Egy szám százalékos kiszámítása

Növelje a 230 számot 15% -kal (230 + 230 * 0,15 = 264,5)

Csökkentse az 510 számot 35% -kal (510 - 510 * 0,35 = 331,5)

A 140% 18% -a (140 * 0,18 = 25,2)

Az ősi idők óta a számokkal való munkát két részre osztották különböző területeken: az egyik közvetlen kapcsolatban állt a számok tulajdonságaival, a másik a számolás technikájával. Számos országban a "számtan" alatt kétségtelenül ez utóbbi terület a matematika legrégebbi ága.

Úgy tűnik, az ősi számológépek számára a legnagyobb nehézséget a törtekkel való munka okozta. Ez látható az Ahmes -papiruszból (más néven Rinda -papiruszból), egy ókori egyiptomi matematikai munkából, amely kb. Ie 1650 -ből származik. A papiruszban említett összes frakció, a 2/3 kivételével, számlálója 1. A törtek kezelésének nehézsége az ősi babiloni ékírásos táblák tanulmányozásakor is észrevehető. Úgy tűnik, mind az ókori egyiptomiak, mind a babilóniaiak valamiféle abakussal végezték el számításaikat. A számok tudománya jelentős fejlődésen ment keresztül az ókori görögök körében, Pythagorasszal kezdődően, ie 530 körül. Ami magát a számítási technikát illeti, ezen a területen sokkal kevesebbet tettek a görögök.

A később élt rómaiak éppen ellenkezőleg, gyakorlatilag nem járultak hozzá a számtudományhoz, de a gyorsan fejlődő termelés és kereskedelem igényei alapján javították az abakuszt, mint számítási eszközt. Nagyon keveset tudunk az indiai számtan születéséről. Csak néhány későbbi, számokkal végzett műveletek elméletére és gyakorlatára vonatkozó munka jutott el hozzánk, amelyek azután íródtak, hogy az indiai helyzetrendszert úgy javították, hogy nullát tartalmaztak benne. Nem tudjuk biztosan, hogy ez pontosan mikor történt, de ekkor rakták le a leggyakoribb számtani algoritmusaink alapjait.

Az indiai számrendszert és az első számtani algoritmusokat az arabok fogadták el. A számítás legkorábbi arab tankönyvét al-Khwarizmi írta 825 körül. Ez széles körben használja és magyarázza az indiai számokat. Ezt a tankönyvet később latinra fordították, és jelentős hatással volt Nyugat -Európára. Az al-Khwarizmi név eltorzult változata az "algoritmus" szóból származik, amelyet tovább keverve a görög szóval szívritmuszavar lett az "algoritmus" kifejezés.

Az indo-arab számtan Nyugat-Európában elsősorban L. Fibonacci munkássága miatt vált ismertté Abacus könyv (Liber abaci, 1202). Az abakista módszer a helyzeti rendszerünkhöz hasonló egyszerűsítéseket kínált, legalábbis összeadáshoz és szorzáshoz. Az Abazist felváltották a nullát alkalmazó algoritmusok, valamint az arab osztás és négyzetgyök módszer. Az első számtantankönyvek egyike, amelynek szerzője ismeretlen számunkra, 1478 -ban jelent meg Trevisóban (Olaszország). A kereskedelmi tranzakciók végrehajtásával kapcsolatos számításokkal foglalkozott. Ez a tankönyv számos későbbi számtani tankönyv előfutára lett. A 17. század elejéig. Európában több mint háromszáz ilyen tankönyv jelent meg. Az aritmetikai algoritmusok jelentősen javultak ez idő alatt. A 16-17 században. megjelentek a számtani műveletek szimbólumai, például =, +, -, ґ, ё és.

Aritmetikai számítások gépesítése.

A társadalom fejlődésével a gyorsabb, pontosabb számítások igénye is nőtt. Ez az igény négy figyelemre méltó találmányhoz vezetett: indo-arab számok, tizedesek, logaritmusok és modern számológépek.

Valójában a legegyszerűbb számolóeszközök léteztek a modern számtan megjelenése előtt, mert az ókorban elemi számtani műveleteket hajtottak végre egy abacuson (Oroszországban abacust használtak erre a célra). A legegyszerűbb modern számítástechnikai eszköz tekinthető diaszabálynak, amely két egymás mellett csúszó logaritmikus skála, amely lehetővé teszi a skálák szaporítását és osztását, összegzését és kivonását. B. Pascalt (1642) tekintik az első mechanikus összegzőgép feltalálójának. Ugyanebben a században H. Leibniz (1671) Németországban és S. Morland (1673) Angliában feltalált gépeket a szorzás végrehajtására. Ezek a gépek lettek a 20. századi asztali számítógépek (összeadó gépek) elődei, amelyek lehetővé tették az összeadás, kivonás, szorzás és osztás gyors és pontos végrehajtását.

1812 -ben C. Babbage angol matematikus elkezdett projektet készíteni egy matematikai táblázatok kiszámítására szolgáló géphez. Bár a projekt kidolgozása sok éven át folytatódott, befejezetlen maradt. Ennek ellenére Babbage projektje ösztönözte a korszerű elektronikus számítógépek létrehozását, amelyekre az első példák 1944 körül jelentek meg. Ezeknek a gépeknek a sebessége elképesztő volt: segítségükkel percek vagy órák alatt sikerült megoldani azokat a problémákat, amelyek korábban sok éves folyamatos munkát igényeltek. számításokat, még hozzáadógépek használatával is.

Pozitív egész számok.

Legyen Aés B- két véges halmaz, amelyeknek nincsenek közös elemei, és hagyjuk A tartalmaz n elemek, és B tartalmaz m elemeket. Aztán a szett S amely a halmazok minden eleméből áll Aés B együtt véve egy véges halmaz, amely mondjuk s elemeket. Például, ha A elemekből áll ( a, b, c), sok V- elemekből ( x, y), majd a készletet S = A + Bés elemekből áll ( a, b, c, x, y). Szám s hívott összeg számokat nés més így írjuk: s = n + m... Ebben a bejegyzésben a számok nés m hívják kifejezések, az összeg megtalálásának művelete az kiegészítés... A "+" művelet szimbólum "plusz". Sok P minden rendezett párból áll, amelyekben az első elemet választjuk ki a halmazból A, és a második - a készletből B, véges halmaz, amely tartalmazza, pl. o elemeket. Például ha, mint korábban, A = {a, b, c}, B = {x, y), azután P = AґB = {(a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)). Szám o hívott termék számokat aés bés így írjuk: p = aґb vagy p = ahb... A számok aés b a műben ún szorzók, a termék megtalálásának művelete az szorzás... A műveleti szimbólum ґ szövege "megszorozva".

Kimutatható, hogy a következő alapvető törvények az összegek összeadására és szorzására következnek ezekből a definíciókból:

- az összeadás kommutativitásának törvénye: a + b = b + a;

- az összeadás asszociativitásának törvénye: a + (b + c) = (a + b) + c;

- a szorzás kommutativitásának törvénye: aґb = bґa;

- a szorzás asszociativitásának törvénye: aґ(bґc) = (aґb)ґc;

- az elosztás törvénye: aґ(b + c)= (aґb) + (aґc).

Ha aés b- két pozitív egész szám és ha van pozitív egész szám c, oly módon, hogy a = b + c akkor azt mondjuk a több b(így van írva: a> b), vagy mi b kisebb a(így van írva: b). Bármely két számra aés b a három kapcsolat egyike érvényes: vagy a = b vagy a> b vagy a.

Az első két alaptörvény azt mondja, hogy kettő vagy több a kifejezések nem attól függenek, hogy hogyan csoportosítják és milyen sorrendben helyezkednek el. Hasonlóképpen a harmadik és a negyedik törvényből következik, hogy két vagy több tényező szorzata független a tényezők csoportosításának módjától és azok sorrendjétől. Ezeket a tényeket az összeadás és a szorzás "kommutativitásának és asszociativitásának általános törvényeinek" nevezik. Ezekből következik, hogy több kifejezés összegének vagy több tényező szorzatának írásakor a kifejezések és tényezők sorrendje jelentéktelen, és a zárójelek elhagyhatók.

Különösen az ismételt összeget a + a + ... + a tól től n kifejezések egyenlőek nґa... Ismételt munka aґaґ ... ґa tól től n tényezők, amelyekkel egyetértettek a n; szám a hívott alaponés a szám n – ismétlési arány, maga az ismételt darab az n fok a számok a... Ezek a meghatározások lehetővé teszik a következő alapvető törvények megalkotását a kitevők számára:

A meghatározások másik fontos következménye: aґ1 = a bármilyen egész számra a, és 1 az egyetlen egész szám ezzel a tulajdonsággal. Az 1 -es számot hívják Mértékegység.

Egész osztók.

Ha a, b, c- egész számok és aґb = c, azután aés b a szám osztói c... Mivel aґ1 = a bármilyen egész számra a, arra a következtetésre jutunk, hogy 1 minden egész szám osztója, és minden egész osztó önmagában. Bármely egész osztó a nem 1 vagy a, megvan a neve saját osztója a számok a.

Bármely egész számot, amely nem 1, és nincs megfelelő osztója, hívjuk prímszám... (A prímszámra példa a 7.) Egy egész számot, amelynek megfelelő osztói vannak, hívjuk összetett szám... (Például a 6 szám összetett, mivel 2 osztja a 6 -ot.) Az elmondottakból az következik, hogy az összes egész szám halmaza három osztályra oszlik: egy, prímszámokés összetett számok.

Van egy nagyon fontos tétel a számelméletben, amely kimondja, hogy "bármely egész szám ábrázolható prímszámok szorzataként, és a tényezők sorrendjéig az ilyen ábrázolás egyedi." Ezt a tételt "az aritmetika alaptételének" nevezik. Ez azt mutatja, hogy a prímszámok építőkövekként szolgálnak, amelyekből minden nem egy egész szám összeállítható szorzással.

Ha egy egész szám halmazt adunk meg, akkor a legnagyobb egész számot, amely a halmaz minden számának osztója, ún. legnagyobb közös tényező adott számhalmaz; a legkisebb egész számot, amelynek osztója minden szám egy adott halmazból, hívják legkisebb közös többszörös egy adott számhalmaz. Például a 12, 18 és 30 legnagyobb közös osztója 6. Az azonos számok legkisebb közös többszöröse 180. Ha két egész szám legnagyobb közös osztója aés b 1, akkor a számok aés b hívják kölcsönösen egyszerű... Például a 8 és 9 számok viszonylag prímszámok, bár egyik sem prímszám.

Pozitív racionális számok.

Amint láttuk, az egész számok absztrakciók, amelyek a véges tárgyhalmazok számlálási folyamatából származnak. Az igényekhez azonban Mindennapi élet egész szám nem elég. Például egy asztallap hosszának mérésekor az elfogadott mértékegység túl nagy lehet ahhoz, hogy egész számot beleférjen a mért hosszúságba. Egy ilyen nehézséggel való megbirkózáshoz, az ún. töredékes(azaz szó szerint "törött") számokat, kisebb hosszúságú egységet kell megadni. Ha d- néhány egész szám, majd tört egység 1 / d a tulajdonság határozza meg dґ1/d= 1, és ha n Akkor egész szám nґ1/d egyszerűen úgy írunk n/d... Ezeket az új számokat "közönséges" vagy "egyszerű" törteknek nevezik. Egész szám n hívott számláló törtek és a szám d – névadó... A nevező azt mutatja, hogy hány egyenlő részvényre osztották fel az egységet, a számláló pedig azt, hogy hány ilyen részvényt vett fel. Ha n d, a törtet helyesnek nevezzük; ha n = d vagy n> d akkor rossz. Az egész számokat törtként kell kezelni az 1. nevezővel; például 2 = 2/1.

Mivel a tört n/d felosztás eredményeként értelmezhető n egység per d egyenlő részekből és az egyik ilyen részből kiindulva, a tört két egész szám "hányadosának" vagy "arányának" tekinthető nés d, és a tört vonala osztási jelként értendő. Ezért a törteket (beleértve az egész számokat, mint a törtek speciális esetét) általában hívják racionális számok (lat. arányból - arány).

Két tört n/dés ( kґn)/(kґd), ahol k- egész szám, egyenlőnek tekinthető; például 4/6 = 2/3. (Itt n = 2, d= 3 és k= 2.) Ezt a körülményt "a tört alaptulajdonságának" nevezik: bármely tört értéke nem változik, ha a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal szorozzuk (vagy osztjuk). Ebből következik, hogy bármely törtet fel lehet írni két coprime szám arányaként.

A tört fenti értelmezéséből az is következik, hogy két tört összegeként n/dés m/d ha ugyanaz a nevező, akkor vegye a törtet ( n + m)/d... Amikor különböző nevezőjű törteket ad hozzá, először a tört alaptulajdonságát felhasználva kell azokat azonos (közös) nevezővel egyenértékű törtekké alakítani. Például, n 1 /d 1 = (n 1 óra d 2)/(d 1 óra d 2) és n 2 /d 2 = (n 2 óra d 1)/(d 1 óra d 2), honnan

Lehetett volna másként is cselekedni, és először megtalálni a legkevésbé közös többszörösét, mondjuk m, nevezők d 1 és d 2. Aztán vannak egész számok k 1 és k 2 olyan, hogy m = k 1 óra d 1 = k 2 óra d 2 és kapjuk:

Ezzel a módszerrel a szám máltalában hívják legalacsonyabb közös nevező két tört. Ez a két eredmény egyenértékű a törtek egyenlőségének meghatározásával.

Két frakció szorzata n 1 /d 1 és n 2 /d 2 -t a törtével egyenlőnek vesszük ( n 1 óra n 2)/(d 1 óra d 2).

A fent megadott nyolc alaptörvény egész számokra is érvényes, ha a, b, cérteni tetszőleges pozitív racionális számokat. Sőt, ha két pozitív racionális számot adunk meg n 1 /d 1 és n 2 /d 2, akkor ezt mondjuk n 1 /d 1 > n 2 /d 2 ha és csak akkor n 1 óra d 2 > n 2 óra d 1 .

Pozitív valós számok.

A számok használata a vonalszakaszok hosszának mérésére azt sugallja, hogy bármely két adott vonalszakasz esetében ABés CD valami szegmensnek kell lennie UV, esetleg nagyon kicsi, ami egész számú alkalommal késleltethető az egyes szegmensekben ABés CD... Ha ilyen gyakori hosszegység az UV létezik, akkor a szegmensek ABés CD arányosnak nevezik. A pitagoraiak már az ókorban is tudtak az összehasonlíthatatlan vonalszakaszok létezéséről. Klasszikus példa a négyzet oldala és annak átlója. Ha a négyzet oldalát hosszegységnek vesszük, akkor nincs olyan racionális szám, amely ennek a négyzetnek az átlójának mértéke lehetne. Ezt ellenkező módon érvelve ellenőrizheti. Valóban, tegyük fel, hogy a racionális szám n/d az átló mértéke. De akkor az 1 / szegmens d el lehet halasztani n alkalommal az átlón és d alkalommal a tér oldalán, annak ellenére, hogy az átló és a tér oldala összehasonlíthatatlan. Következésképpen, függetlenül a hosszegység megválasztásától, nem minden vonalszakasznak van racionális számmal kifejezett hossza. Annak érdekében, hogy az összes vonalszakaszt egy bizonyos mértékegységgel lehessen mérni, a számrendszert ki kell terjeszteni, hogy olyan számokat tartalmazzon, amelyek a választott hosszegységgel aránytalan vonalszakaszok mérési eredményeit képviselik. Ezeket az új számokat pozitívnak nevezik irracionális számokat. Ez utóbbiak a pozitív racionális számokkal együtt szélesebb számhalmazt alkotnak, amelyek elemeit pozitívnak nevezzük érvényes számokat.

Ha VAGY- vízszintes félvonal, kilép a pontból O, U- mutass rá VAGY más, mint az eredet O, és OU van kiválasztva egységszegmensként, majd minden pont P félvonal VAGY az egyetlen pozitívumhoz társítható valós szám o a szegmens hosszát fejezi ki OP... Így létrehozzunk egy-egy egyezést a pozitív valós számok és a pontok között O, a félvonalon VAGY... Ha oés q- két pozitív valós szám, amelyek pontoknak felelnek meg Pés Q tovább VAGY akkor írunk p> q,p = q vagy p a pont helyétől függően P a lényegetől jobbra Q tovább VAGY, egybeesik a Q vagy balra található Q.

A pozitív irracionális számok bevezetése jelentősen kibővítette az aritmetika alkalmazási körét. Például, ha a- bármilyen pozitív valós szám és n- bármilyen egész szám, akkor csak egy pozitív valós szám van b, oly módon, hogy b n = a... Ez a szám b rootnak hívják n-fokozata aés úgy van írva, hogy a körvonalaiban szereplő szimbólum hasonlít Latin betű r, amellyel a latin szó kezdődik alapszám(root) és az úgynevezett radikális... Kimutatható, hogy

Ezeket az arányokat a gyökök alapvető tulajdonságaiként ismerik.

Gyakorlati szempontból nagyon fontos, hogy bármely pozitív irracionális szám tetszőlegesen pontosan közelíthető egy pozitív racionális számmal. Ez azt jelenti, hogy ha r Pozitív irracionális szám és e- tetszőlegesen kicsi pozitív racionális szám, akkor lehet találni pozitív racionális számokat aés b oly módon, hogy a és b. Például egy szám irracionális. Ha úgy dönt e= 0,01, akkor; ha úgy dönt e= 0,001, akkor.

Indo-arab számrendszer.

Az algoritmusok vagy számítási sémák az aritmetika az alkalmazott számrendszertől függenek. Teljesen nyilvánvaló például, hogy a római számrendszer számára feltalált számítási módszerek eltérhetnek a ma hatályos indo-arab rendszerhez kitalált algoritmusoktól. Ezenkívül egyes számrendszerek teljesen alkalmatlanok aritmetikai algoritmusok létrehozására. A történelmi adatok azt mutatják, hogy az indo-arab a számok jelölési rendszerének elfogadása előtt egyáltalán nem léteztek olyan algoritmusok, amelyek lehetővé tették a számok összeadását, kivonását, szorzását és felosztását "ceruza és papír" segítségével. Az indo-arab rendszer fennállásának hosszú évei alatt számos, speciálisan hozzá igazított algoritmikus eljárást fejlesztettek ki, így modern algoritmusaink a fejlesztés és fejlesztés egész korszakának termékei.

Az indo-arab számrendszerben minden számot jelző bejegyzés tíz alapvető karakterkészlet, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, úgynevezett számok. Például a négyszázhuszonhárom szám indo-arab megnevezése 423-as számjegyből áll. A szám indo-arab nyelvű jelölésében szereplő számjegy helyét vagy pozícióját határozza meg, ezt a bejegyzést alkotó számjegyek sorrendjében. Példánkban a 4 -es szám négyszázat jelent, a 2 -es szám két tízet, a 3 -as szám pedig háromat. Nagyon fontos szerepet játszik a 0 (nulla) szám, amelyet üres pozíciók kitöltésére használnak; például a 403 rekord négyszázhármat jelent, azaz több tucat hiányzik. Ha a, b, c, d, e egyéni számokat jelentenek, majd az indo-arab rendszerben abcde egész szám rövidítését jelenti

Mivel minden egész szám egyedi megjelenítést fogad el az űrlapon

ahol n Egy egész szám, és a 0 , a 1 ,..., a n- számok, arra a következtetésre jutunk, hogy ebben a számrendszerben minden egész szám egyedi módon ábrázolható.

Az indo-arab számrendszer lehetővé teszi, hogy tömören ne csak egész számokat írjon, hanem minden pozitív valós számot is. Bemutatjuk a 10 jelölést - n 1/10 -ért n, ahol n- tetszőleges pozitív egész szám. Ekkor, mint látható, minden pozitív valós szám reprezentálható, és egyedülálló formában

Ez a bejegyzés tömöríthető, ha számsorozatként írjuk

ahol a tizedespontnak nevezett jel között van a 0 és b Az 1 jelzi, hogy hol kezdődik a 10 -es negatív hatalom (egyes országokban egy pontot használnak erre a célra). A pozitív valós szám írásának ezt a módját tizedes bővítésnek nevezzük, és a tizedes tágulása formájában megadott törtet decimális.

Kimutatható, hogy pozitív racionális szám esetén a tizedes tizedes tágulás a tizedespont után vagy megszakad (például 7/4 = 1,75), vagy megismétlődik (például 6577/1980 = 3,32171717 ...). Ha a szám irracionális, akkor a tizedes bővítése nem szakad meg vagy nem ismétlődik meg. Ha egy irracionális szám tizedes bővítését levágjuk valamilyen tizedesjegy pontossággal, akkor megkapjuk annak racionális közelítését. A tizedesponttól jobbra az a jel, amelynél lebontjuk a tizedes tágulást, annál jobb a racionális közelítés (annál kisebb a hiba).

Az indo-arab rendszerben egy számot tíz alapvető számjegyből írnak, amelyek jelentése a számrekordban elfoglalt helyüktől vagy pozíciójuktól függ (a számjegy értéke valamilyen hatványon belül megegyezik a szám szorzatával) 10). Ezért ezt a rendszert tizedes helyzetrendszernek nevezik. A pozicionális számrendszerek nagyon kényelmesek számtani algoritmusok készítéséhez, és ez megmagyarázza az indo-arab számrendszer ilyen széles körben elterjedt használatát modern világ bár ben különböző országok különböző szimbólumok használhatók az egyes számok jelölésére.

Számnevek.

A számnevek az indo-arab rendszerben bizonyos szabályok szerint épülnek fel. A számok leggyakoribb elnevezési módja az, hogy a számot először három számjegyből álló csoportokra osztják jobbról balra. Ezeket a csoportokat "periódusoknak" nevezik. Az első időszakot „egységek” periódusnak, a másodikat „ezer” periódusnak, a harmadikat „milliós” periódusnak stb. Nevezik, amint azt a következő példa is mutatja:

Minden pontot úgy olvasunk, mintha egy háromjegyű szám lenne. Például a 962 időszak "kilencszázhatvankettő". A több periódusból álló szám olvasásához minden periódusban egy számjegycsoportot kell olvasni, kezdve a bal szélsőtől és tovább balról jobbra; minden csoport után az időszak neve szerepel. Például a fenti szám „hetvenhárom billió nyolcszáznegyvenkét milliárd kilencszáz hatvankét millió ötszáz harminckétezer hétszáz kilencvennyolc”. Vegye figyelembe, hogy egész számok olvasása és írása során az "és" kötőszót általában nem használják. Az egységek kategória neve elmarad. A billiókat négymilliók, kvintillionok, sextillionok, septillionok, oktillionok, nemallionok, milliárdok követik. Minden időszak értéke 1000 -szerese az előző értékének.

Az indo-arab rendszerben szokás betartani a következő eljárást a tizedesponttól jobbra lévő számok olvasásához. Itt a pozíciókat nevezik (balról jobbra sorrendben): "tizedek", "századok", "ezredek", "tízezredek" stb. A helyes tizedes törtet úgy olvassuk, mintha a tizedespont utáni számjegyek egész számot alkotnának, ami után a jobb oldali utolsó számjegy pozíciójának neve kerül hozzáadásra. Például a 0,752 hétszázötvenkét ezrelék. A vegyes tizedes számot úgy olvassuk ki, hogy az egész számok elnevezésére vonatkozó szabályt a helyes tizedes törtek elnevezésének szabályával kombináljuk. Például a 632 752-ben ez olvasható: "hatszáz harminckettő pont hétszáz ötvenkét ezrelék". Figyelje meg az „egész” szót a tizedesvessző előtt. V utóbbi évek A tizedes számokat egyre egyszerűbben olvassák, például a 3.782 -t "három vessző hétszáznyolcvankettő" -ként.

Kiegészítés.

Most már készen állunk a bevezetett számtani algoritmusok elemzésére Általános Iskola... Ezek az algoritmusok tizedes kiterjesztések formájában írt pozitív valós számokkal végzett műveletekre vonatkoznak. Feltételezzük, hogy az összeadás és szorzás elemi tábláit fejből megtanultuk.

Tekintsük a hozzáadási problémát: számítsunk 279,8 + 5,632 + 27,54:

Először összefoglaljuk ugyanazokat a 10 -es hatványokat. A 19 × 10 –1 számot az elosztási törvény szerint 9 × 10 –1 és 10 × 10 –1 = 1 -re osztjuk. Az egységet balra mozgatjuk és hozzáadjuk a 21, ami 22 -t ad. Viszont a 22 -es számot 2 -re és 20 -ra osztjuk = 2X10. Mozgassa a 2X10 számot balra, és adja hozzá a 9X10 -hez, ami 11X10 -et ad. Végül felosztjuk a 11 × 10 -et 1 × 10 -re és 10 × 10 -re = ​​1 × 10 2, 1 × 10 2 mozduljunk balra, és adjuk hozzá a 2 × 10 2 -hez, ami 3 × 10 2 -t ad. A végső összeg 312,972.

Világos, hogy az elvégzett számításokat tömörebb formában is be lehet mutatni, ugyanakkor az iskolában tanított összeadási algoritmus példájaként kell használni. Ehhez mindhárom számot egymás alá írjuk, hogy a tizedespontok ugyanazon a függőlegesen legyenek:

Jobbról kiindulva azt találjuk, hogy a 10–3 -as együtthatók összege 2, amelyet a sor alatti oszlopba írunk. A 10–2 -es együtthatók összege 7, ami szintén a sor alatti oszlopba van írva. A 10–1 -es együtthatók összege 19. Írjuk a 9 -es számot a sor alá, és az 1 -es számot vigyük át az előző oszlopba, ahol az egyesek állnak. Figyelembe véve ezt az egységet, ebben az oszlopban az együttható összege egyenlő 22 -vel. A sor alá írunk egy kettőt, a másikat pedig átvisszük az előző oszlopba, ahol tízesek vannak. Az átvitt kettőt figyelembe véve ebben az oszlopban az együtthatók összege 11. Az egyik egységet a sor alá írjuk, a másikat átvisszük az előző oszlopba, ahol több száz van. Ebben az oszlopban az együtthatók összege 3, amit a sor alá írunk. A szükséges összeg 312.972.

Kivonás.

A kivonás az összeadás ellentéte. Ha három pozitív valós szám a, b, cösszefüggő így a + b = c akkor írunk a = c - b, ahol a "-" karakter "mínusz" -ként olvasható. A szám megtalálása a ismert számokkal bés c kivonásnak nevezik. Szám c csökkenőnek hívják, a számot b- "kivonva", és a szám a- "különbség". Mivel pozitív valós számokkal van dolgunk, a feltételnek teljesülnie kell c> b.

Vegyünk egy kivonási példát: számítson 453,87 - 82,94.

Először is, ha kölcsönkérjük, ha szükséges, a bal oldali egységet, akkor átalakítjuk a csökkentett bomlását úgy, hogy együtthatója bármely 10 -es teljesítményre nagyobb legyen, mint az azonos teljesítményre levont együttható. A 4 × 10 2 -ből 1 × 10 2 = 10 × 10 kölcsönzünk, az utolsó számot hozzáadva a bővítés következő tagjához, ami 15 × 10 -et ad; hasonlóképpen 1 × 10 0 -t vagy 10 × 10 –1 -et kölcsönzünk, és ezt a számot hozzáadjuk a bővítés utolsó előtti tagjához. Ezt követően megkapjuk a lehetőséget, hogy kivonjuk az együtthatókat 10 -es azonos hatványokkal, és könnyen megtaláljuk a különbséget 370,93.

A kivonási műveletek nyilvántartása tömörebb formában is bemutatható, és példát kaphat az iskolában tanult kivonási algoritmusra. Írjuk a kivonást a csökkenés alá úgy, hogy tizedespontjaik ugyanabban a függőlegesben legyenek. Jobbról kiindulva azt tapasztaljuk, hogy a 10–2 -es együttható közötti különbség 3, és ezt a számot ugyanabba az oszlopba írjuk a sor alá. Mivel a bal oldali következő oszlopban nem vonhatunk le 9 -et 8 -ból, kettőt kicseréljük a kicsinyítők helyzetében, és a tizedik pozícióban lévő 8 -at 18 -nak tekintjük. , stb ...

Szorzás.

Nézzük először az ún. "Rövid" szorzás - a pozitív valós szám szorzása az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 egyjegyű számok egyikével, például 32,67-4. Az eloszlási törvény, valamint az asszociativitás és a szorzás kommutativitási törvényei felhasználásával lehetőséget kapunk a tényezők részekre bontására és kényelmesebb elrendezésére. Például,

Ezeket a számításokat tömörebben a következőképpen írhatjuk le:

A tömörítési folyamat folytatható. Írja át a 4 -es tényezőt a 32,67 -es szorzó alá, az alábbiak szerint:

Mivel 4ґ7 = 28, a sor alá írjuk a 8 -as számot, a 2 -t pedig a szorzó 6 -os száma fölé. Továbbá 4ґ6 = 24, amely, figyelembe véve a jobb oldali oszlopból átvitt értéket, 26 -ot ad. Ekkor 4ґ2 = 8 kapunk, ami az átadott kettővel kombinálva 10 -et ad. A 0 aláírjuk a vonal alá, és a szorzó 3 -as száma fölé. Végül 4ґ3 = 12, ami az átadott egységet figyelembe véve 13 -at ad; a 13 -as számot a sor alá írjuk. Egy tizedesjegyet adva megkapjuk a választ: a szorzat 130,68.

A "hosszú" szorzás egyszerűen megismétlődő "rövid" szorzás. Vegyük például a 32,67 szorzását 72,4 -gyel. Helyezze a szorzót a szorzó alá az alábbiak szerint:

Ha rövid szorzást hajtunk végre jobbról balra, akkor az első részterméket 13,068, a másodikat - 65,34, a harmadikat - 2286,9 kapjuk. Az elosztási törvény szerint a keresendő munka ezen művek összessége, vagy 2365,308. Az írásbeli jelölésekben a tizedesvessző kimarad a magánmunkákból, de ezeket helyesen kell elrendezni "lépések", hogy aztán összegezzék és megkapják a teljes művet. A tizedesjegyek száma a szorzatban megegyezik a szorzó és a szorzó tizedesjegyeinek összegével.

Osztály.

Az osztás a szorzás fordítottja; ahogy a szorzás helyettesíti az ismételt összeadást, az osztás az ismételt kivonást. Gondoljunk például erre a kérdésre: hányszor 3 a 14 -ből? Megismételve a 14 -ből 3 kivonásának műveletét, azt találjuk, hogy 3 négyszer "lép be" 14 -be, és a 2 -es szám továbbra is "marad", azaz

A 14 -es számot hívják osztható, 3. szám - osztó, 4. szám - magánés a 2 -es szám - a maradék... Szavakkal a kapott arány a következőképpen fejezhető ki:

osztalék = (osztó ґ hányados) + maradék,

0 Ј maradék

A hányados és a maradék 1400 megtalálása 3 -mal osztva több 3 -as kivonással sok időt és munkát igényel. Az eljárás jelentősen felgyorsulhat, ha először 300 -at vonunk le 1400 -ból, majd 30 -at a maradékból, végül 3. Ha 300 -at négyszer kivonunk, a maradékban 200 -at kapunk; ha hatszor kivonnak 200 -ból 30 -at, a maradék 20 lenne; Végül, ha hatszor kivonunk 3 -at a 20 -ból, a maradék 2 -et kapjuk.

A hányados és a fennmaradó rész megegyezik a 466 -tal és a 2. A számítások a következőképpen rendezhetők, majd egymás után tömöríthetők:

A fenti érvelés akkor érvényes, ha az osztalék és az osztó bármely pozitív valós szám, tizedes számban kifejezve. Illusztráljuk ezt a 817,65–23,7 példával.

Először is az osztót egész számmá kell alakítani tizedesponteltolással. Az osztalék tizedespontját ugyanannyi tizedesjegy eltolja. Az osztó és az osztalék az alábbiak szerint helyezkedik el:

Határozza meg, hogy az osztó hányszor szerepel az osztalék első részében található 817 háromjegyű számban, amelyet osztunk az osztóval. Mivel a becslések szerint háromszor szerepel, a 237 -et megszorozzuk 3 -mal, és a 717 -et kivonjuk 817 -ből. A 106 -os különbség kisebb, mint az osztó. Ez azt jelenti, hogy a 237 -es szám legfeljebb háromszor szerepel a próbaosztalékban. A vízszintes vonal alatti osztó 2 -es száma alá írt 3 -as szám a keresni kívánt hányados első száma. Miután levittük az osztalék következő számjegyét, megkapjuk a következő 1066 próbaosztalékot, és meg kell határoznunk, hogy a 237 osztó hányszor fér bele az 1066 -os számba; tegyük fel 4 -szer. Az osztót megszorozzuk 4 -gyel, és megkapjuk a 948 szorzatot, amelyet kivonunk 1066 -ból; a különbség 118 -nak felel meg, ami azt jelenti, hogy a hányados következő számjegye 4. Ezután lebontjuk az osztalék következő számjegyét, és megismételjük a fent leírt teljes eljárást. Ezúttal kiderül, hogy az 1185 próbaosztalék pontosan (nincs maradék) osztható 237 -gyel (az osztalék többi része végül 0 -nak bizonyul). Ha a hányados tizedespontját elválasztjuk annyi osztott számtól, amennyit elválasztunk az osztalékban (emlékezzünk arra, hogy korábban a tizedespontot hordoztuk), megkapjuk a választ: a hányados 34,5.

Törtek.

A törtszámítások magukban foglalják az összetett törtek összeadását, kivonását, szorzását és osztását, valamint egyszerűsítését.

Az azonos nevezőjű törtek hozzáadása a számlálók hozzáadásával történik, pl.

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Ha a törteknek különböző nevezőjük van, akkor először közös nevezőre kell hozni őket, azaz töredékké alakulnak azonos nevezőkkel. Ehhez megtaláljuk a legkisebb közös nevezőt (az egyes nevezők legkisebb többszörösét). Például 2/3, 1/6 és 3/5 összeadásakor a legkisebb közös nevező 30:

Összefoglalva, megkapjuk

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

A törtek kivonása megegyezik a hozzáadásával. Ha a nevezők azonosak, akkor a kivonás a számlálók kivonására csökken: 10/13 - 2/13 = 8/13; Ha a törtek különböző nevezőkkel rendelkeznek, akkor először közös nevezőre kell hozni őket:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

Amikor a törteket megszorozzuk, azok számlálói és nevezői külön szorzódnak. Például,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Ahhoz, hogy az egyik törtet el tudja osztani a másikkal, meg kell szoroznia az első törtet (osztalék) a második fordítottjával (osztó) (az inverz tört megszerzéséhez fel kell cserélnie az eredeti tört számlálóját és nevezőjét), azaz ( n 1 /d 1) e ( n 2 /d 2) = (n 1 óra d 2)/(d 1 óra n 2). Például,

3 / 4ё7 / 8 = 3 / 4ґ8 / 7 = 24/28 = 6/7.

A vegyes szám egy egész szám és egy tört összege (vagy különbsége), például 4 + 2/3 vagy 10 - 1/8. Mivel egy egész számot 1 -es nevezőjű törtnek lehet tekinteni, a vegyes szám nem más, mint két tört összege (vagy különbsége). Például,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

A komplex tört az a tört, amelynek törte van a számlálóban, a nevezőben, vagy a számlálóban és a nevezőben. Egy ilyen töredék egyszerűvé alakítható:

Négyzetgyök.

Ha n r, oly módon, hogy r 2 = n... Szám r hívott négyzetgyök tól től nés jelzi. Az iskola kétféleképpen tanítja a négyzetgyök kivonását.

Az első módszer azért népszerűbb, mert egyszerűbb és könnyebben használható; az ezzel a módszerrel végzett számítások könnyen végrehajthatók asztali számológépen, és általánosíthatók a kocka és a magasabb gyökerek esetére. A módszer azon a tényen alapul, hogy ha r 1 - közelítés a gyökérhez r 2 = (1/2)(r 1 + n/r 1) a gyök pontosabb közelítése.

Szemléltessük az eljárást 1 és 100 közötti szám négyzetgyökének kiszámításával, mondjuk 40. Mivel 6 2 = 36 és 7 2 = 49, arra a következtetésre jutunk, hogy a 6 a legjobb közelítés egész számokban. A 6 -ból pontosabb közelítést kapunk az alábbiak szerint. A 40 -et 6 -tal elosztva 6,6 -ot kapunk (a tizedespont után az elsőre kerekítve) még tizedek). Ahhoz, hogy egy második közelítést kapjunk, a két 6 és 6,6 számot átlagolva 6,3 -at kapunk. Az eljárást megismételve még jobb közelítést kapunk. A 40 -et 6,3 -mal elosztva megtaláljuk a 6,350 számot, a harmadik közelítés pedig (1/2) (6,3 + 6,350) = 6,325. Egy másik ismétlés 40d6.325 = 6.3241106, a negyedik közelítés pedig (1/2) (6.325 + 6.3241106) = 6.3245553. A folyamat folytatható, amíg csak akarja. Általában minden következő közelítés kétszer tartalmazhat több szám mint az előző. Tehát példánkban, mivel az első közelítés, a 6 egész szám csak egy számjegyet tartalmaz, a második közelítésben két jelet tarthatunk, a harmadikban négyet, a negyedikben nyolcat.

Ha a szám n nem 1 és 100 között van, akkor először el kell osztani (vagy szorozni) n mondjuk valami 100 -as erejéig k-adik, hogy a szorzat 1 és 100 között legyen. Ekkor a termék négyzetgyöke 1 és 10 között lesz, és kivonása után megszorozzuk (vagy elosztjuk) a kapott számot 10 -gyel k, keresse meg a szükséges négyzetgyököt. Például, ha n= 400000, akkor először feloszt 400000 x 100 2, és megkapjuk a 40 -es számot, amely 1 és 100 között van. Szaporodás ez a szám 10 2, a 632.45553 értéket kapjuk hozzávetőleges értékként, a 0.63245553 szám pedig hozzávetőleges értékként szolgál.

A fenti eljárások közül a második az algebrai azonosságon alapul ( a + b) 2 = a 2 + (2a + b)b... Minden lépésnél a négyzetgyök már megszerzett részét úgy kell figyelembe venni a, és a még meghatározandó rész az b.

Köbgyökér.

A pozitív valós számból származó kockagyök kivonásához léteznek négyzetgyök kivonási algoritmusokhoz hasonló algoritmusok. Például, hogy megtaláljuk a szám kockagyökerét n, először valamilyen számmal közelítjük a gyökeret r 1. Ezután pontosabb közelítést készítünk r 2 = (1/3)(2r 1 + n/r 1 2), ami viszont még pontosabb közelítésnek ad helyet r 3 = (1/3)(2r 2 + n/r 2 2) stb. Az egyre pontosabb gyökközelítések létrehozásának folyamata tetszés szerint folytatódhat.

Vegyük például egy 1 és 1000 közötti, például 200 kockagyökének kiszámítását. Mivel 5 3 = 125 és 6 3 = 216, arra a következtetésre jutunk, hogy 6 a 200 -as kockagyökéhez legközelebb eső egész szám. Ezért választunk r 1 = 6, és sorrendben számolja ki r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5,8480. Minden közelítésben, a harmadiktól kezdve, meg lehet tartani a jelek számát, ami eggyel kevesebb, mint kétszer annyi jel, mint az előző közelítésben. Ha a szám, amelyből a kockagyökeret ki kell vonni, nem 1 és 1000 között van, akkor először el kell osztani (vagy meg kell szorozni) egyesekkel, például k th, az 1000 -es szám hatalma, és így hozza a számokat a kívánt intervallumba. Az újonnan kapott szám kockagyöke 1 és 10 között van. Kiszámítása után meg kell szorozni (vagy el kell osztani) 10 -gyel k hogy megkapjuk az eredeti szám kockagyökerét.

A második, összetettebb algoritmus a pozitív valós szám kockagyökének megtalálására az algebrai azonosság használatán alapul ( a + b) 3 = a 3 + (3a 2 + 3ab + b 2)b... Jelenleg a köbgyökerek, valamint a magasabb fokú gyökerek kinyerésére szolgáló algoritmusok Gimnázium nincsenek tanulmányozva, mivel könnyebben megtalálhatók logaritmusok vagy algebrai módszerek segítségével.

Euklidész algoritmusa.

Ezt az algoritmust körvonalazták Kezdetek Euklidész (Kr. E. 300 körül). Kiszámítja két egész szám legnagyobb közös osztóját. A pozitív számok esetében eljárási szabályként fogalmazzuk meg: „A két megadott szám közül a nagyobbat oszd meg a kisebbel. Ezután ossza el az osztót az osztás fennmaradó részével, és folytassa ugyanezt, amíg az utolsó osztó teljesen el nem oszlik az utolsó maradékkal. Az utolsó osztó lesz a két közös szám legnagyobb közös osztója. "

Számszerű példaként tekintsünk két 3132 és 7200 egész számot. Az algoritmus ebben az esetben a következő műveletekre korlátozódik:

A legnagyobb közös osztó megegyezik az utolsó osztóval, 36. A magyarázat egyszerű. Példánkban az utolsó sorból látjuk, hogy a 36 szám osztja a 288 számot. Az utolsó előtti sorból következik, hogy a 36 oszt 324 -et. Tehát, sorról sorra haladva meg vagyunk győződve arról, hogy a 36 szám osztja a 936 -at , 3132 és 7200. Most azt állítjuk, hogy a 36 szám közös osztója a 3132 és 7200 számoknak. g A 3132 és 7200 legnagyobb közös osztója. Azóta g osztja a 3132 -et és a 7200 -at, az első sorból ez következik g oszt 936. A második sorból arra következtetünk g oszt 324. Tehát sorról sorra lefelé haladva meggyőződünk arról gés mivel a 36 a 3132 és a 7200 közös osztója, és osztható a legnagyobb közös osztójukkal, arra a következtetésre jutunk, hogy a 36 ez a legnagyobb közös osztó.

Vizsgálat.

Az aritmetikai számítások állandó figyelmet igényelnek, ezért hajlamosak a hibákra. Ezért nagyon fontos ellenőrizni a számítási eredményeket.

1. A számok oszlopának hozzáadása ellenőrizhető úgy, hogy először hozzáadja az oszlopban lévő számokat felülről lefelé, majd alulról felfelé. Ennek az ellenőrzési módszernek az indoka a kommutativitás és az összeadás asszociativitásának általános törvénye.

2. A kivonást úgy ellenőrzik, hogy a különbséget összeadják a kivonással - a csökkenést meg kell kapni. Ennek az ellenőrzési módszernek az indoklása a kivonási művelet meghatározása.

3. A szorzás a szorzó és a tényező átrendezésével ellenőrizhető. Ennek az ellenőrzési módszernek az indoklása a szorzás kommutativitási törvénye. A szorzást úgy tesztelheti, hogy a tényezőt (vagy szorzást) két tagra osztja, két külön szorzási műveletet hajt végre, és hozzáadja a kapott termékeket - meg kell kapnia az eredeti terméket.

4. Az osztás ellenőrzéséhez meg kell szorozni a hányadost az osztóval, és a maradékot hozzá kell adni a szorzathoz. Osztalékot kell kapnia. Ennek az ellenőrzési módszernek az indoklása a felosztási művelet meghatározása.

5. A négyzet (vagy köb) gyök kivonásának helyességének ellenőrzése abból áll, hogy a kapott számot négyzetben (vagy kockában) emeljük fel - meg kell szerezni az eredeti számot.

Egy különösen egyszerű és nagyon megbízható módszer az egész számok összeadásának vagy szorzásának ellenőrzésére egy olyan technika, amely átmenet az ún. "Modulo 9 összehasonlítások". Nevezzük "túllépésnek" az adott számot író számjegyek összegének 9 -es osztásának fennmaradó részét. Ezután a "többletet" illetően két tétel fogalmazható meg: "az egész számok összegének többlete megegyezik a kifejezések többletének összegével", és "két egész szám szorzatának többlete egyenlő a többlet termékének többlete. " Az alábbiakban példák láthatók a tétel alapján végzett ellenőrzésekre:

A modulo 9 összehasonlításra való áttérés más aritmetikai algoritmusok ellenőrzésekor használható. Természetesen egy ilyen ellenőrzés nem tévedhetetlen, hiszen a "többlettel" való munkavégzés is hibalehetőséget jelent, de ilyen helyzet nem valószínű.

Érdeklődés.

A százalék olyan tört, amelyben a nevező 100; A százalékokat háromféleképpen lehet írni: törtként, tizedes törtként, vagy a százalékok speciális jelölésével. Például 7 százalék írható 7/100 -nak, 0,07 -nek vagy 7%-nak.

A kamatproblémák leggyakoribb típusaira példa a következő: "Keresse meg a 82% 17% -át". A probléma megoldásához ki kell számítani a terméket 0,17ґ82 = 13,94. Az ilyen jellegű művekben 0,17 -et neveznek árfolyamnak, 82 - alapnak, és 13,94 - részesedésnek százalékban kifejezve. A három említett mennyiség összefüggésben van egymással

Kamatláb ґ alap = részesedés százalékban.

Ha bármelyik két mennyiség ismert, a harmadik ebből az arányból határozható meg. Ennek megfelelően háromféle problémát kapunk "érdekből".

1. példa... Az iskolába beiratkozott tanulók száma 351 -ről 396 főre nőtt. Mennyivel nőtt ez a szám?

A növekedés 396 - 351 = 45 fő volt. A 45/351 frakciót százalékban leírva 45/351 = 0,128 = 12,8%-ot kapunk.

2. példa... A bolti hirdetés az akció során "25% kedvezmény minden termékre". Mi az akciós ár egy olyan terméknél, amely általában 3,60 dollárért kerül eladásra?

A 3,60 dolláros ár 25% -os csökkenése 0,25-3,60 dolláros csökkenést = 0,90 dollárt jelent; ezért a tétel ára az értékesítés során 3,60 - 0,90 = 2,70 dollár lenne.

3. példa... A bankban évente 5% -ban letétbe helyezett pénz évi 40 dolláros nyereséget hozott. Mennyit helyeztek el a bankban?

Mivel az összeg 5% -a 40 dollár, azaz 5/100 ґ összeg = 40 dollár, vagy 1/100 ґ összeg = 8 dollár, a teljes összeg 800 dollár.

Hozzávetőleges számszámítás.

A számítások során használt számok vagy mérésekből, vagy becslésekből származnak, ezért csak közelítőnek tekinthetők. Nyilvánvaló, hogy a hozzávetőleges számokkal végzett számítások eredménye csak hozzávetőleges szám lehet. Tegyük fel például, hogy a számláló felületének mérései a következő eredményeket kapták (tizedik méterig kerekítve): szélesség 1,2 m, hosszúság 3,1 m; mondhatnánk, hogy a számláló területe 1,2 - 3,1 = 3,72 m 2. A valóságban azonban az információ messze nem ilyen határozott. Mivel az 1,2 m csak azt jelzi, hogy a szélesség mérése 1,15 és 1,25 m között van, a 3,1 pedig azt, hogy a hosszmérés 3,05 és 3,15 m között van, a számláló területe körül, ezért csak azt mondhatjuk, hogy többnek kell lennie, mint 1,15 - 3,05 = 3,5075, de kevesebb, mint 1,25 - 3,15 = 3,9375. Következésképpen az egyetlen ésszerű válasz a számláló területével kapcsolatos kérdésre az a megállapítás, hogy az megközelítőleg 3,7 m 2.

Tekintsük tovább azt a problémát, hogy hozzávetőleg 3,73 m, 52,1 m és 0,282 m közötti mérési eredményeket adunk hozzá. Az egyszerű összeg 56,122 m. De mint az előző feladatban is, minden bizonyossággal elmondható, hogy a valódi összeg több mint 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m és kevesebb, mint 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m. Így az egyetlen ésszerű válasz a kérdésre azon megállapításra vezethető vissza, hogy az összeg megközelítőleg 56,1 m.

A fenti két példa néhány szabályt szemléltet, amelyek hasznosak, ha hozzávetőleges számokkal dolgozunk. A számok kerekítésére többféle módszer létezik. Az egyik a szám legkevésbé jelentős számjegyeinek elvetése. Sőt, ha az első eldobott számjegy ötnél több, akkor az utolsó fennmaradó karaktert eggyel, ha kevesebbel kell növelni, akkor a bal oldali rész utolsó karaktere változatlan marad.

Ha az első eldobott számjegy pontosan öt, akkor az utolsó tárolt számjegy eggyel növekszik, ha páratlan, és változatlan marad, ha páros. Például, amikor századik részre kerekít, 3,14159; 17,7682; 28,999; 0,00234; 7,235 és 7,325 3,14 lesz; 17,77; 29,00; 0,00; 7,24 és 7,32.

A kerekítés másik módja a szignifikáns számjegyek fogalmához kapcsolódik, és a szám gépi jelölésében használatos. A hozzávetőleges szám jelentős számjegyei a tizedesjegyben szereplő számjegyek balról jobbra haladva, az első nem nulla számjeggyel kezdődnek, és a hibának megfelelő tizedespont helyén lévő számjegygel végződnek. Például a 12.1 közelítő szám jelentős számjegye az 1, 2, 1 számjegy; hozzávetőleges szám 0,072 - számok 7, 2; a 82000 hozzávetőleges százas pontossággal írt szám 8, 2, 0.

Most megfogalmazzuk a két működési szabályt a fent említett hozzávetőleges számokkal.

Hozzávetőleges számok összeadásakor és kivonásakor minden számot a legkevésbé pontos szám utolsó számjegye után a következő számjegyre kell kerekíteni, és az így kapott összeget és különbséget ugyanannyi számjegyre kell kerekíteni, mint a legkevésbé pontos számot. A hozzávetőleges számok szorzásakor és elosztásakor minden számot a legkevésbé szignifikáns szám utolsó jelentős számjegye után a következő számjegyre kell kerekíteni, a terméket és a hányadost pedig a legkevésbé pontos számmal azonos pontossággal kell kerekíteni.

Visszatérve a korábban megfontolt feladatokhoz, a következőket kapjuk:

1,2-3,1 = 3,72 m 2 "3,7 m 2

3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 * 56,1 m,

ahol a "jelentése" körülbelül "egyenlő".

Egyes számtani tankönyvek algoritmusokat tartalmaznak a hozzávetőleges számokkal való munkához, hogy elkerüljék az extra számjegyeket a számítások során. Ezen kívül használják az ún. hozzávetőleges számok rögzítése, azaz bármely számot (1 -től 10 -ig terjedő szám) ґ (10 -es hatvány) formájában ábrázolunk, ahol az első tényező csak a szám jelentős számjegyeit tartalmazza. Például a 82000 km, száz kilométerre kerekítve 8,20ґ10 4 km, és 0,00702 cm - 7,02ґ10 –3 cm lesz.

A számok a matematikai táblázatokban, a trigonometrikus vagy a logaritmus táblázatokban hozzávetőlegesek, bizonyos számjegyekkel írva. Amikor ilyen táblázatokkal dolgozik, be kell tartania a hozzávetőleges számokkal történő számítási szabályokat.

Logaritmusok.

A 17. század elejére. az alkalmazott számítási problémák összetettsége annyira megnőtt, hogy a túl magas munka- és időráfordítás miatt nem lehetett „kézzel” megbirkózni velük. Szerencsére J. Neper találta ki időben a 17. század elején. A logaritmusok lehetővé tették a felmerült probléma kezelését. Mivel a logaritmusok elméletét és alkalmazását részletesen ismertetjük egy speciális LOGARITHM cikkben, csak a legszükségesebb információkra szorítkozunk.

Megmutatható, hogy ha n Ha pozitív valós szám, akkor csak egy pozitív valós szám létezik xúgy, hogy 10 x = n... Szám x hívott (rendes vagy tizedes) logaritmus a számok n; feltételesen így van írva: x= napló n... Így a logaritmus kitevő, és a kitevőkkel való cselekvési törvényekből az következik, hogy

A logaritmusok ezen tulajdonságai magyarázzák a számtanban való széles körű használatukat. Az első és a második tulajdonság lehetővé teszi, hogy minden szorzási és osztási problémát egyszerűbb összeadási és kivonási feladatra csökkentsen. A harmadik és negyedik tulajdonság lehetővé teszi a hatványozást és a gyökér kivonást egy sokkal egyszerűbb műveletre: szorzás és osztás.

A logaritmusok használatának megkönnyítése érdekében táblázatukat összeállítottuk. A tizedes logaritmusok táblázatának összeállításához elegendő csak az 1 -től 10 -ig terjedő számok logaritmusát szerepeltetni. Például, mivel 247,6 = 10 2 ґ2.476, így van: log247.6 = log10 2 + log2.476 = 2 + log2.476, és mivel 0.02476 = 10 –2 ґ2.476, akkor log0.02476 = log10 –2 + log2.476 = –2 + log2.476. Vegye figyelembe, hogy az 1 -től 10 -ig terjedő szám decimális logaritmusa 0 és 1 között van, és tizedes törtként írható fel. Ebből következik, hogy bármely szám tizedes logaritmusa egy egész szám összege, amelyet a logaritmus jellemzőjének neveznek, és egy tizedes tört, amelyet a logaritmus mantiszájának neveznek. Bármilyen szám logaritmusának jellemzője megtalálható "az elmében"; a mantissát a logaritmusok táblázataiban kell megtalálni. Például a táblázatokból azt találjuk, hogy log2.476 = 0.39375, innen log247.63 = 2.39375. Ha a logaritmus karakterisztikája negatív (ha a szám kisebb, mint egy), akkor célszerű két pozitív egész szám különbségeként ábrázolni, például log0.02476 = –2 + 0.39375 = 8.39375 - 10. A következő példák ezt a technikát magyarázzák.

Irodalom:

A matematika története az ókortól kezdve korai XIX v., köt. 1-3. M., 1970-1972.
Serre J.-P. Aritmetikai tanfolyam... M., 1972
V. I. Nechaev Számrendszerek... M., 1975
Daan-Dalmediko A., Peiffer J ... Útvonalak és labirintusok. Esszék a matematika történetéről... M., 1986
Engler E. Elemi matematika... M., 1987



A MATLAB környezetben végzett munka akár bent is elvégezhető programadó módban, vagy parancs mód (mód számológép, párbeszéd mód) a szabály szerint „kérdést tett fel, választ kapott”. Ezáltal a MATLAB szokatlanul nagy teljesítményű számológéppé válik, amely nemcsak a számológép szokásos számításait képes elvégezni, hanem vektorokkal és mátrixokkal, komplex számokkal, sorozatokkal és polinomokkal végzett műveleteket is. A különböző funkciók grafikonjait szinte azonnal beállíthatja és megjelenítheti, az egyszerű szinuszhullámtól a bonyolult háromdimenziós alakzatig.

A rendszerrel való munka módjának fő eleme a fő vagy parancsablak. Parancsablak... A parancs aktiválja Nézet => Asztali elrendezés => Csak parancsablak fő MATLAB menü. A parancsablak szerkezete ugyanaz, mint ablakok- alkalmazások (2. ábra).

Egy sor a parancssori ablak szövegdobozában, felszólító szimbólummal megjelölve >> villogó kurzorral hívjuk bemeneti vonal vagy parancs sor... Úgy tervezték, hogy parancsokat, számokat, változóneveket és műveleti szimbólumokat írjon be a billentyűzetről, amelyek kifejezést alkotnak. Annak érdekében, hogy a MATLAB végrehajtsa a beírt parancsot, vagy értékelje az adott kifejezést, nyomja meg a gombot (Belép).

Gépeléskor a kurzor bárhol lehet parancs sor. A beírt kifejezéseket kiértékeli, és a számítások és a parancsok végrehajtásának eredményei megjelennek a parancssori ablak egy vagy több sorában - a kimeneti sorokban.

Több számítás (billentyűleütések) eredményeként ) a parancsablakban automatikusan végrehajtódik függőleges nyílás (görgetés): a sorok egy pozícióval feljebb tolódnak, és a beviteli sor jelenik meg alul egy gyors karakterrel >> ... Az információ, amely elhagyta az ablak látható részét, nem tűnik el. A MATLAB -ban a korábban beírt parancssorok az "előzményeket" képviselik, és a rendszer megjegyzi őket parancs verem(lásd a 8. szakaszt).

A végrehajtott parancsok és a képernyőre nem illeszkedő számítások eredményeinek megtekintéséhez vízszintes és függőleges csíkok vannak. Az etetőcsíkok használata nem különbözik a többitől ablakok- alkalmazások. A billentyűk segítségével a parancsablakban is görgethet , , és .

Kulcsok <> és <↓> amelyek a szövegszerkesztőben a képernyőn felfelé vagy lefelé mozognak, a MATLAB -ban eltérően működnek. Arra szolgálnak, hogy visszaadják a korábban végrehajtott parancsokat a beviteli sorba, azok újbóli végrehajtása vagy szerkesztése céljából. Az első gombnyomás után<>a beviteli sor az utoljára megadott parancsot jeleníti meg, a második megnyomás az utolsót, és így tovább.<↓>a parancsok görgetése az ellenkező irányba.

Más szóval, az ablak szövegdoboza Parancsablak két alapvetően különböző zónában található: megtekintési területés szerkesztési terület... A szerkesztési terület a parancssorban található, és a parancssor látható részének minden egyéb információja a megtekintési területen található.

Amíg le nem nyom egy gombot , a bevitt kifejezés szerkeszthető vagy törölhető. A nézési területen semmi sem javítható. Ha ebbe helyezi a kurzort, és megnyom egy billentyűt a billentyűzeten, a kurzor automatikusan a szerkesztési területen található beviteli sorra lép. Ugyanakkor a gombok használatával<←>és<→>mozgathatja a kurzort a parancssorban.

Az egyik jellemző, hogy nem tud szerkeszteni egy korábban beírt parancsot úgy, hogy egyszerűen a kurzort a kívánt sorra helyezi rendszerek MATLAB.

A munkamenetet a MATLAB rendszerrel hívják meg ülés... Más szóval, a munkamenet minden, ami megjelenik a parancsablakban, miközben a rendszerrel dolgozik. A munkamenet -parancsok automatikusan listát alkotnak, amely megjelenik az ablakban Parancstörténet, és a változók értékeit az ablak menti Munkaterület(1. ábra).

Például az ábrán látható munkamenet. A 2 a négy parancs szekvenciális bevitelének eredményét mutatja. Beszéljük meg ezeket az eredményeket, és jegyezzünk meg néhányat a számítások jellemzői a rendszerben MATLAB:

Az elvégzett művelet eredménye nem kapott nevet, így azt automatikusan a szimbólum jelölte ans(az ansver a válasz). Ezen a néven a számítások eredményét a számítógép memóriájában tárolják, és a későbbi számítások során felhasználhatják mindaddig, amíg a munka során új meg nem nevezett eredményt nem kapnak. A számítások eredménye a kimeneti sorokon jelenik meg, amelyek nem tartalmaznak gyors karaktert. >> ;

>> a = 2/3, A = 2 ^ 3; cos (pi), b = exp (1)

Több parancsot is megadhat egy parancssorban, vesszővel vagy pontosvesszővel elválasztva. A MATLAB minden parancsot végrehajt, amelyet vessző követ, és az eredményt külön sorokban jeleníti meg. Egy parancs eredménye, amelyet egy karakter követ<; > nem jelenik meg a képernyőn, de elmentődik a memóriába, és felhasználható a későbbi számítások során.

A hozzárendelési jel =, nem kombinált jel := , például a programozási nyelven Pascal vagy a rendszerben szimbolikus matematika Juharfa.

A parancssor beírása után a kifejezések értékei kiszámításra kerülnek és tárolódnak a memóriában. a = 2/3 = 0, b667, A = 2 3 = 8, ans = cosp = -1, b = e 1 = e = 2,7183 (e - természetes logaritmus alapja). Változó érték A, Nem úgy mint a, ans, b, a karakter miatt nem jelenik meg<; >. Számításkor cosp rendszerváltozót használtunk pi - szám o... Szám e nem rendszerváltozó, és ennek kiszámításához a beépített atomi függvényt használjuk exp (1)... A függvényeket kisbetűvel írjuk, és érveik zárójelben vannak. Soron belüli érvelés trigonometrikus függvény kötözősaláta radiánban megadva;

>> disp (A / 2 + ans)

Parancs diszp(a "display" szóból) értékeli a kifejezést 2 3 /2+cospés kinyomtatja a választ, de nem rendeli hozzá egy változóhoz ans mint a normál számításoknál:

További diszp egy extra vonal kimenetének megakadályozására szolgál ans = vizuális dokumentumokban;

>> c = .5 + 3-11 + ...

Néha be kell lépnie az ablakba Parancsablak olyan parancs, amely túl hosszú ahhoz, hogy elférjen egy sorban. Amikor a sor végéhez közeledik, beléphet … (három egymást követő pont), nyomja meg a gombot és folytassa a parancs beírását a következő sorban. Az új sorban azonban nem fogja látni a prompt szimbólumot. >> .

A 2. ábrán látható munkamenet csak a helyes parancsokat és azok végrehajtásának eredményeit tartalmazza. Általában a munkamenet próba és hiba eredménye. Szövege a helyes meghatározásokkal együtt üzeneteket és figyelmeztetéseket tartalmaz a hibákról (lásd a 8. szakaszt), a használt függvények és változók felülírását háttér-információ parancsokat Segítség... Ha a munkamenet erősen „eldugult” felesleges információkkal, a felhasználó és a rendszer közötti párbeszéd megnehezül.

Képernyő törlése parancs clc

Ez a parancs azonban változatlanul hagyja az ablakok tartalmát. Parancstörténetés Munkaterület... Ezért a "tiszta" parancsablakban használhatja a parancs beírása előtt kapott változók értékeit clc.

Ha szükségessé válik egy korábban végrehajtott parancs szerkesztése vagy megismétlése, akkor ezt könnyen megteheti az ablak segítségével Parancstörténet... Több munka az ablakokkal Parancstörténetés Munkaterület a 8. és 9. szakaszban tárgyaljuk.

Változók Nevezett objektumok, amelyek bármilyen adatot tárolnak.

A változók lehetnek tárolt adatok típusától függően numerikusak, mátrixosak vagy szimbolikusak. A változótípusok nincsenek előre bejelentve. Ezeket egy kifejezés határozza meg, amelynek értéke egy változóhoz van rendelve, azaz a felhasználónak nem kell aggódnia, hogy a változó milyen értékeket vesz fel (összetett, valós vagy egész).

Változó név(neki azonosító) legfeljebb 31 szimbólum, és nem lehet azonos a többi MATLAB változó, függvény, parancs és rendszerváltozó nevével. A változóneveknek betűvel kell kezdődniük, számokat és aláhúzást is tartalmazhatnak . A MATLAB környezet megkülönbözteti a kis- és nagybetűket (változók aés A nem azonos).

A MATLAB számos fenntartott változónevet tartalmaz. Az ilyen nevű változókat nevezzük szisztémás... A rendszer indítása után kerülnek beállításra, és aritmetikai kifejezésekben használhatók. A rendszerváltozókat felülbírálhatjuk, vagyis szükség esetén különböző értékeket rendelhetünk hozzájuk.

Az alábbiakban bemutatjuk a MATLAB rendszer fő változóit:

ans- a felhasználó által nem mentett utolsó kifejezés kiszámításának eredménye;

én, j- képzeletbeli egység (), a komplex számok képzelt részének beállítására szolgál;

Inf(végtelen) - a gép végtelenségének kijelölése;

NaN-a Not-a-Number (nem szám) szavak rövidítése, amelyet egy nem meghatározott eredmény jelzésére használnak (például 0/0 vagy Inf / Inf).

pi- szám π ( p = 3,141592653589793);

eps- a lebegőpontos számok műveleteinek hibája, azaz a számok közötti intervallum 1.0 és a következő legközelebbi lebegőpontos szám 2.2204e-16 vagy 2 -52 ;

realmin A minimális modulo valós szám ( 2.2251e-308 vagy 2 -1022 );

realmax A legnagyobb modulo valós szám ( 1.7977e + 308 vagy 2 1023 ).

Prioritások számtani műveletek a MATLAB rendszerek csökkenő sorrendben a következők:

1. Hatványozás<^ >.

2. Szorzás<* > és osztás (balról jobbra</ >, jobbról balra<\ >).

3. Kiegészítés<+>és kivonás<–>.

Az azonos prioritású műveleteket balról jobbra sorrendben hajtják végre. Zárójel használatával módosíthatja az aritmetikai operátorok végrehajtási sorrendjét. Az aritmetikai operátorok mellett a MATLAB relációs és logikai operátorokat is biztosít.

Teljes lista szakaszban szerezhetők be az üzemeltetők és bármelyikük referencia -információi ops súgórendszer MATLAB parancsokkal Segítség vagy dok.

A legtöbb számítás értékszámításon alapul számtani kifejezések... Ezek lehetnek konstansok, változók vagy függvények operandusként. A legtöbb algoritmikus nyelvtől eltérően a MATLAB lehetővé teszi operandusok - tömbök használatát (lásd 6., 7., 10. szakasz). Ebben az esetben a kifejezés kiértékelésének eredménye tömb is lehet.

A kifejezések két aposztróf közé vannak zárva<′ ′ > , kisbetűként kezelik, és akkor sem értékelik, ha matematikai kifejezéseket tartalmaznak. Leggyakrabban a függvények paramétereinek és nem numerikus értékeik beállítására, szöveg grafikus objektumokba való beszúrására, valamint szimbolikus változók és kifejezések leírására szolgálnak. Tehát belépés a sorba "2+3" eredményhez vezet

de nem 5 .

A grafikonok megjelenítésekor az aposztrófok közé helyezett szimbólumok határozzák meg a gráfvonalak színét, típusát és a vonalak jelölésére használt jelölő típusát.

E szakasz megkülönböztető jellemzője az adóellenőrzések jogi és gazdasági megközelítéseinek kombinációja. Valójában az adóellenőrzéseket egyrészt szabályozó jogi aktusok szabályozzák. Eredményeik jogilag jelentősek, és jogi következményekkel járhatnak annak a személynek a vonatkozásában, akivel kapcsolatban egy bizonyos ellenőrzést végeznek. Másrészt lényegük abból áll, hogy valamilyen módon (adóellenőrzési módszerek vagy más, törvény által nem tiltott módszerek) megállapítják az ellenőrzött személy pénzügyi és gazdasági tevékenységére vonatkozó, jövedelemszerzést célzó rendelkezésre álló adatok megfelelőségét. , a tényleges adatokkal. Ennek a folyamatnak a végrehajtása lehetetlen az ellenőrzött szervezet gazdasági tevékenységére vonatkozó számviteli és beszámolási adatok (azaz tisztán gazdasági jellegű információk) elemzése nélkül. Az adózó által elvégzett és adójelentések formájában bemutatott számtani számítás helyességének ellenőrzése, az adókulcsok és kedvezmények alkalmazásának jogszerűségének ellenőrzése, az adóalap kiszámításának helyességének ellenőrzése, valamint a módszerek végrehajtása az ellenőrzött szervezet számviteli dokumentációjának ellenőrzéséhez, a számviteli adatok megbízhatóságának, a számítás helyességének és a költségvetésbe történő befizetésének elemzéséhez a különböző típusú adók azt feltételezik, hogy a vizsgáztatónak megfelelő gazdasági képzésre van szüksége.

Az Oroszországi Adó- és Adóügyi Minisztérium által az adóhatóságoknak kitűzött feladat teljes körű teljesítése csak a benyújtott számviteli és adójelentések számítógépes feldolgozásának egységes módszereinek létrehozása alapján lehetséges az esetleges következetlenségek feltárása érdekében. és az adóhatóságokat mentesítik a számítási számítások helyességének ellenőrzéséhez szükséges rutinmunka alól. Az ilyen technikák kifejlesztését elősegíti az ellenőrzés során ellenőrzött, egységes formájú dokumentumok természete. Az adóbevallások ellenőrzésére szolgáló számítógépes módszerek széles körű bevezetése azonban összefüggésben áll a jelentési dokumentáció gépen feldolgozható adathordozón történő bemutatására.

Az aritmetikai számítás helyességének ellenőrzése

Az aritmetikai számítások helyességének ellenőrzése az aritmetikai műveletek ellenőrzéséből áll - az árak megszorzása mennyiséggel (adózás) és az összesítések kiszámítása.

A számviteli osztályhoz benyújtott dokumentumokat gondosan ellenőrizni kell. Először is meg kell állapítani a szükséges aláírások és egyéb részletek jelenlétét a dokumentumban, a törlések, blotok és a nem meghatározott és nem hitelesített javítások hiányát, a számtani számítások helyességét. Ezután meghatározzák az elvégzett műveletek gazdasági megvalósíthatóságát, e műveletek megfelelését a tervezett céloknak vagy költségvetési előirányzatoknak, a megkötött szerződések feltételeit, a hatályos jogszabályokat, az adminisztráció utasításait, és feltárják a rossz gazdálkodás tényeit. Így a dokumentumok ellenőrzése az operatív dolgozók cselekedeteinek nyomon követésének eszköze.

Először is ellenőrizni kell az elemzésre összegyűjtött információkat a jóság szempontjából. Az ellenőrzést két oldalról végzik. Először az elemző ellenőrzi, hogy a terveket és jelentéseket tartalmazó adatok mennyire teljesek, helyesen vannak -e formázva. A számtani számítások helyességét ellenőrizni kell. Az elemzőnek arra is figyelnie kell, hogy a terv vagy jelentés különböző tábláiban stb. Megadott mutatók konzisztensek -e. Ez az ellenőrzés technikai jellegű.

Aritmetikai vagy számolási ellenőrzést végeznek a számtani számítások helyességének megállapítására (az összesítések kiszámításával, a számítási eljárások helyességének ellenőrzésével, például a közvetett költségek eloszlásának kiszámításával, az értékcsökkenés kiszámításával, a köpenyek, kedvezmények meghatározásával stb.). ).

A gazdasági tevékenység elemzéséből származó következtetések helyessége nagymértékben függ az elemzési folyamat során felhasznált információk megbízhatóságától. Ezért az elemzést a megbízhatóság és a pontosság érdekében alapos elemzésnek kell megelőznie. Ehhez a jelentések számlálási ellenőrzését végzik (figyelemmel kísérik az aritmetikai számítások helyességét, a

Az anyagok elszámolásához a számviteli osztályhoz beérkezett bevételi és kiadási dokumentumokat alaposan feldolgozzák, a számtani számítások helyességét, az elvégzett műveletek lényegét ellenőrzik. Különös figyelmet fordítanak a titkosítás és az adott üzleti tranzakciót jellemző egyéb mutatók teljességének és helyességének ellenőrzésére. Ezt követően az anyagi elszámolással kapcsolatos elsődleges dokumentumokat csoportosítják, és az így kapott általánosított adatokat beviszik a számviteli nyilvántartásokba.

Az ellenőrzés során ellenőrizni kell a bérek kiszámítására és kifizetésére vonatkozó dokumentumokban szereplő számtani számítások helyességét. A számítás helyességének függőleges ellenőrzésével megállapítható, hogy a tárgyalt összegeket túlbecsülik (a költségek leírása a visszatartott adók és a költségvetésbe átutalandó összegek csökkentésével). Az ilyen visszaélés nem követeli meg a könyvelés megváltoztatását Hasonló horizontális ellenőrzésre is sor kerülhet, amikor egyes alkalmazottaktól visszatartanak pénzt annak érdekében, hogy más munkavállalók adósságaikat töröljék. Hasonlóképpen, más következetlenségek is megállapíthatók a munkavállalók feladataik gondatlan teljesítése vagy visszaélés következtében,

A számviteli osztály úgy fogadja el a jelentést, hogy ellenőrzi a mellékelt elsődleges dokumentumok elérhetőségét, azok jogi nyilvántartását és a számtani számítások helyességét. Ellenőrzik az áruk, termékek és tartályok bejövő és kimenő egyenlegeinek, azok beérkezésének és fogyasztásának a jelentési időszakra vonatkozó jelzéseinek helyességét, valamint az összeget, az értékesítés típusa szerinti, késztermékek forgalmát.

El kell végezni a bérszámfejtésekben szereplő összesítések számításának helyességének szelektív számtani ellenőrzését b) készpénzkönyv vezetését, napi forgalmat, a nap végén levont egyenlegeket stb. El kell végezni. Munka, stb.), pénzkibocsátás meghatalmazás alapján (meghatalmazás kiadási könyve) stb.

Először az elemző ellenőrzi, hogy a terveket és jelentéseket tartalmazó adatok mennyire teljesek, helyesen vannak -e formázva. Feltétlenül ellenőrizni kell az aritmetikai számítások helyességét, a terv vagy jelentés különböző tábláiban megadott mutatók egyezését stb. Ez az ellenőrzés technikai jellegű.

Az ellenőrzés technikai és tartalmi elemekre oszlik. A műszaki ellenőrzés során a felhasznált források teljessége, végrehajtásuk helyessége, a hibák hiánya az aritmetikai számításokban és az eredményekben (számlálási ellenőrzés), a különböző érintett forrásokban megadott azonos mutatók megfelelősége, a több jelentési forma, a jelentési időszak anyagainak folytonossága az előző időszak adataival ... Lényegében történő ellenőrzéskor az anyagok megbízhatóságát és az objektív valóságnak való megfelelését határozzák meg. Ezt az információs indikátorok logikai ellenőrzésének néhány ellenőrzési technikája segítségével érik el, és ellenszolgáltatásként ellenőrzik a kapcsolódó mutatók kölcsönös következetességének elszámolásának állapotát stb.

A dokumentumok számtani ellenőrzése lehetővé teszi az összesítések számtani számításainak, a mennyiségi és költségmutatók tükrözésének helyességének ellenőrzését.

DOKUMENTÁLIS ELLENŐRZÉS - felügyelet céljából végzett felmérés, ellenőrzés a dokumentumok formális ellenőrzéséből áll (minden részlet kitöltésének helyessége, meg nem határozott javítások, törlések, kiegészítések a szövegben és a számokban, a tisztviselők aláírásának hitelessége és pénzügyileg felelős személyek), számtani ellenőrzés (a számítások helyessége az elsődleges dokumentumokban, a számviteli nyilvántartásokban és a jelentési formanyomtatványokban) és a dokumentumok ellenőrzése az érdemben (egy üzleti tranzakció jogszerűsége és célszerűsége, a tranzakciók számlákon való rögzítésének helyessége és a költségtételekben való szerepeltetés) ).

A forgalom és a kezdeti egyenlegek egyszerű számtani számítása lehetővé teszi a terhelési egyenleg megjelenítését összesen 100 000 (700 000 + 100 000 - 800 000 - 800 000) összegben, de nem vagyunk biztosak benne, hogy helyesek, az ellenőrzéshez analitikai elemeket nyitunk.

Aritmetikai ellenőrzés - a dokumentumadatok számításának helyességének ellenőrzése.

Az aritmetikát a számlálás, az adózás, az összesítés levonásának és egyéb számtani műveletek helyességének ellenőrzésének nevezik. A megállapított szabályok megsértésével végrehajtott dokumentumok további feldolgozás céljából visszakerülnek az előadókhoz.

A dokumentumok számtani ellenőrzése során a számításokat számba veszik, a helyességét a természetes és