Példák ismeretlen kifejezéssel. A matematika "Egyenletek megoldása" óra összefoglalása (3. osztály). A szabályok következetes alkalmazása

Tanulási célok- Egyenletek megoldása kiválasztási módszerrel, valamint az összeadás és kivonás kapcsolata alapján.

Az óra céljai

Minden tanuló képes lesz:
találjuk meg az egyenlet gyökerét illesztéssel

A legtöbb diák képes lesz:
tudjon egyszerű egyenleteket felírni és megoldani egy ismeretlen kifejezés megtalálásához

Néhány diák képes lesz:
a rajz alapján egyenleteket készíteni és megoldani.

Előző tudás: a 100-on belüli számrendszer megértése; az összehasonlítás képessége és az összehasonlítás nyelvének használata.

Az órák alatt

Együttműködési környezet kialakítása
(pszichológiai pillanatok)

Vidám csengő szólalt meg.
Készen állsz a leckére?
Hallgassunk, beszélgessünk
És segítsétek egymást!

Csoportosítás

Cél: a tanulók csoportosulása növeli az óra iránti kognitív érdeklődést, a csoportmunkához való kohéziót.
A csoportmunka szabályának megismétlése

Az élettapasztalat aktualizálása

stratégia" Ötletelés"Vékony és vastag anyag használata.
- Mi az egyenlet? (Az ismeretlennel való egyenlőséget egyenletnek nevezzük)
Mi az ismeretlen egy egyenletben?
Mit jelent egy egyenlet megoldása? (Az ismeretlen megtalálását jelenti)
- Mik az összeadás összetevői?

Osztályozás: Három taps
Kezdő "Videó megtekintése" (oktató rajzfilm)
Módszer "Freeze Frame!"

A lecke céljának kitűzése
- Kitaláltad, mit fogunk csinálni ma a leckén?
- Mi segít elérni az óra céljait (új dolgokat tanulni, ilyen matematikai rekordokat megoldani) (az Ön tapasztalata, tanára, tankönyve)
A gyerekek megfogalmazzák az óra célját, összefoglalom.
- Ma a leckében megtanulod, hogyan oldj meg egyenleteket ismeretlen kifejezésekkel

Tanulmány. Tankönyvi munka.
Cél: Fedezze fel a tankönyv anyagát. 46

1. feladat. Játék az "Autók az alagútban" tankönyv szerint
Csoportmunka. Stratégia „Gondolkodj, vitasd meg, oszd meg”. Interdiszciplináris kommunikációs műveltségi tréning (hallgatás és beszéd)

Játék "Autók az alagútban"

Hány autó van az alagútban?
6 + x = 18 és 2 + x = 14.
Válasz: 12 vagon.

Leíró:
- egyenletet készít a rajz szerint
- kiválasztással megtalálja a betű értékét.
- következtetést von le (szabályt fogalmaz meg)

Visszajelzés "Közlekedési lámpa"
Itt egy egyenlet szimulációt használok a céllal
egyenletmegoldó képesség kialakítása -val ismeretlen kifejezés.

2. feladat Párban dolgozzanak. "Segíts a hősnek"

Játék "Segíts a hősnek"

A páros munkához kollaboratív tanulást alkalmazok, amely tudást és készségeket ad át a tanulók között.
Önértékelés a leíró szerint: "Hüvelykujj"

Dinamikus szünet. Zenei gyakorlat.

3. feladat Csoportos munka. – Gondolkozz, keress párat, oszd meg!

Leírók:
- az egész csoport dolgozik;
- a rajz alapján önállóan egyenleteket állít össze és old meg;
- következtetést von le (szabályt fogalmaz meg).

Visszajelzés "kerék"
Alkalmazás (tanár - megfigyel, segít, ellenőrzi, tanuló - kérdéseket old meg, tudást mutat be)

Szakértői értékelés diákon
Itt a csoportmunkát használom a tanulási folyamat javítására.

4. feladat: Játssz egy pár "kockában" (próbáld ki)

Csoportmunka: "Gondolkodj, keress párat, oszd meg!"

Leíró:
- helyettesíti az elejtett számot
- Oldja meg az egyenletet.

Itt használom aktív módszer v játékforma ami többre vezet mély megértés ismeretlen tagú egyenlet megoldása.
Értékelés leírók szerint "Közlekedési lámpa"

5. feladat Egyéni feladat
differenciált feladatokat.
A feladatokat a különböző tudásszintű tanulók számára választják ki.

Leíró:

1. megkeresi az egyenlet gyökerét a számsugár alapján;
2. matematikai számok és előjelek segítségével megtalálja az egyenlet gyökerét;
3. egyenletet állít fel a képből.

Önértékelés „Közlekedési lámpa” (szabvány szerinti ellenőrzés).
- Nagyszerű munkát végeztek ezzel!
Itt az egyes tanulók egyéni tanulási igényeihez differenciált megközelítést alkalmazok.

A lecke összefoglalása. Reflexió "Módszer" Interjú "
Mit dolgoztunk ma az órán?
Hogyan lehet megtalálni az ismeretlen kifejezést?
Mi az az ismeretlen kifejezés? (Rész)
- Elérted a célodat?
- Mit fognak tenni azok a srácok, akiknek nehézségeik voltak az egyenletekkel való munka során? (Diákok nyilatkozatai)

Cél: a tanár megtudja, hogy a tanulók megértették-e az óra témáját és téves számításaikat, hogy a következő órán kiküszöböljék azokat. (tanulók nyilatkozata) (itt kielégítőbben használom ki a hallgatók igényeit)
Kölcsönös értékelés "2 csillag, 1 kívánság"

Reflexió "A siker létrája" (a gyerekek hangulatjeleket helyeznek el)
- Meg tudok oldani egy egyenletet ismeretlen taggal.
- Megtaníthatok egy másikat...
- Nehéz dolgom van...
- Nem értettem semmit …

Cél: az órán elért eredményeik önértékelése.

Admin

Anyag letöltéséhez vagy !

Rövid távú óratervezés

Tárgy: matematika

osztály: 2 "D"

Időpont: 14.12.5

Tanár: Agitaeva G.K.

Erőforrások: Interaktív tábla, prezentáció, diagramkártyák, poszterek, színes markerek,

Téma:

Ismeretlen tagokkal rendelkező egyenlet megoldása.

A tanulási feladat céljai

Ismeretlen tagú egyenletek megoldásának képessége ugyanazon szám mindkét részéből való kivonása alapján;

elemezze és magyarázza az egyenlet fogalmának jelentését;

fejleszteni a figyelmet és logikus gondolkodás;

a tárgy iránti pozitív motiváció, a barátság és a kölcsönös segítségnyújtás érzésének kialakítása.

Várható eredmény

Egyenletek megoldása ismeretlen kifejezésekkel: elemezze és magyarázza az egyenlet fogalmának jelentését, összetett feladatokat állítson össze és oldjon meg.

Kulcs ötletek

Az egyenlet egy ismeretlen számot tartalmazó egyenlőség.

Az óra szakaszai

Idő szervezése. Pszichológiai hangulat.

Csukd be a szemed, mosolyogj, és gondolatban kívánj egymásnak sok szerencsét az órán.

Srácok ma a barátunk ismét eljött hozzánk. Mi a neve?(Znayka)

Vendéget hívott az óránk

(Videó nem tudom)

Nem tudom, és segíteni akar neki, és új témát tanulni, de titkolja, és el fogja nevezni, miután elvégeztük a feladatait.

Van egy titkos ajtó az új tudás országába, és ahhoz, hogy kinyissa, Dunnónak végre kell hajtania Znayka feladatait és át kell vennie a kulcsot.

Verbális számolás.

9+3 8+7 6+7

15-8 12-3 14-7

8+6 9+5 12-5

16-7 8+4 13-7

7+4 11-4 7+7

11-3 6+7

Logikai rejtvények.

A kertben 2 nyír, 4 almafa, 5 cseresznye nőtt. Hány gyümölcsfa volt a kertben? (9 gyümölcsfa)

A nővérem 9 éves, a testvérem 3 éves. Mennyivel lesz idősebb a nővér, mint a testvér öt év múlva? (6 évig)

3. Notebook elrendezés. A kalligráfia "perce".

Tudós megkérdezi:

Mi a mai dátum?(5)

És mi a hónap?

Hogyan helyettesítheti a 12-es számot a kifejezések összegével?

Mit tud mondani róla?(Kétjegyű. 1 dec. és 2 egység van benne.

Mi a következő szám? Előző?

Mi az a szám, amit kapsz, ha felcseréled a tízest és az egyest?

Írjuk fel a 12-es számot.

De ne felejtsük el, hogy Znayka szereti a tisztaságot és a pontosságot.

4 . Matematikai diktálás.

1. csoport

42- 22=20

38-25=13

(84-4)+10=90

1. csoport

50+ (10-2)=58

14-6=8

5+9=14

3. csoport

58-43= 15

(25-20)+ 10=15

6+6=12

Rendezd a betűket a táblázatban megadott sorrendbe! Megkapjuk a kulcsot és a kódot is az ajtónyitáshoz.

58-és

20

8 - y

14 - in

13-a

15 - n

8

12

13

14

15

20

15

58

20

nál nél

R

a

v

n

e

n

és

e

5. Bevezetés a témába

Ismeri ezt a jelölést: □+ 4=12?

(Igen, ez egy példa "ablakkal")

Mit kell tenni a rekord helyességéhez?(Válassz egy számot.)

Ki választja ki a megfelelő számot?

Ellenőrizzük?

b) A fogalom bemutatása.

Srácok, nézd meg ezt a bejegyzést: x + 4 = 12.(Egy megjegyzés jelenik meg a táblán)

Miben különbözik az előzőtől?

(A beszúrt ablak helyett latin betű X)

Tudja valaki közületek, hogy hívják ezt a lemezt?

Az ilyen kifejezést egyenletnek nevezzük.

6. Ötletbörze. Definíció összeállítása klaszterből.

Gyerekek, hogyan fejeznétek be a mondatot? Dolgozzunk párban. Készítsünk definíciót

7 . PHYSMINUTKA Dunnóval és barátaival.

8. Formatív felmérés.

Keresse meg a következő bejegyzések közül az egyenletet:

Az összes egyenlet melyik cselekvésjellel van felírva?

Ez azt jelenti, hogy Összeadás.

Emlékezzünk az összeadás összetevőire.

Mit kell tenni az ismeretlen kifejezés megtalálásához?

- Mit jelent egy egyenlet megoldása? (Keress egy ismeretlen számot, hogy az egyenlőség igaz legyen)

Keresse meg az egyenlet gyökerét. (Csúszik)

1 csoport - a+10=18

2. csoport - y+30=38

3. csoport - 8+x=38

9. A probléma megoldása.

A végrehajtás előtt következő feladat meg kell oldania a rejtvényt, és meg kell találnia, milyen feladatot készített előtudod.

feladat

Nyissa meg a tankönyveket a p.

4. számú feladat.

Feladat rajzolása képből

1) 40+20=60 (tg.) ceruza

2) 40+60=100 (tg.)

B: 40+(40+20)=100 (tg.)

Válasz: csak 100 tenge ára festék és ceruza

10. Önálló munkavégzés. (csoport)

Írj egy egyenletet, és keresd meg a gyökét!

1 csoport?+?=15

2. csoport?+?=16

3. csoport?+?=14

Ha a lecke gyümölcsöző volt, ragassza fel a fára - gyümölcsökre

Érdekes - virágok

Unatkozik – levelek

S. 102 3. sz

Tanári akciók

Tanulói akciók

Hozzászólások

Hívásfázis

Reflexiós fázis

Reflexiós fázis

Házi feladat

A tanár köszönti a tanulókat.

A tanár előadást tart

A tanár logikai rejtvényeket olvas.

A tanár kérdéseket tesz fel, és emlékeztet arra, hogy minden szám külön cellába van írva.

A tanár kártyákon osztja szét a feladatokat a csoportok között.

A tanár megadja a kulcsot a titkosított szó feloldásához

A tanár megkéri a tanulókat, hogy hasonlítsák össze a jegyzeteket.

A tanár felkéri a gyerekeket, hogy végezzenek gyakorlatokat Dunno animációs barátaival.

A tanár vezető kérdéseket tesz fel.

A tanár kártyákat oszt ki.

A tanár plakátokat oszt ki.

A gyerekek köszöntik a tanárt.

A diákok megnézik a diát, és megtudják, kit hívott meg Znayka a leckére

A tanulók szóban oldanak meg példákat

A tanulók döntenek és szóban válaszolnak.

A gyerekek válaszolnak a kérdésekre, és szépen felírják a számot egy füzetbe.

A tanulók olvassák és írják a diktálást. Keresse meg az írott kifejezések értékeit! Minden csoport fellép, a többi csoport értékeli a munkáját.

A tanulók táblázatba rendezik a számokat és a betűket, és megnevezik a titkosított szót.

A gyerekek az íróasztalokon párban definíciókat készítenek.

A gyerekek fizikai gyakorlatokat végeznek.

A gyerekek egyenleteket találnak.

A gyerekek válaszolnak a kérdésekre.

A gyerekek együttesen alkotják a probléma feltételét.

1 tanuló dönt a táblánál.

A csoportban lévő gyerekek megbeszélik és plakátokat töltenek ki.

A gyerekek matricákat ragasszanak egy fára.

Formatív értékelési technika

"Közlekedési lámpa" (szóbeli visszajelzés). A tanár a technikát arra használja, hogy lássa, hogyan a diákok maguk

feladataikat szorgalmasan végezzék, és lehetőség szerint segítséget nyújtsanak számukra.

Hüvelykujj technika.

"Szóbeli értékelés"

(szóbeli visszajelzés).

A tanár dicsér

diákok a jobb oldalon

tett intézkedések.

tehát a tanár

szóbelit tartott

kommunikáció és a diákok

rájöttek, hogy ők

helyesen teljesítve

feladatokat.

Hosszú út a készségek fejlesztéséhez egyenletek megoldása a legelső és viszonylagos döntésével kezdődik egyszerű egyenletek. Az ilyen egyenletek alatt olyan egyenleteket értünk, amelyek bal oldalán két olyan szám összege, különbsége, szorzata vagy hányadosa van, amelyek közül az egyik ismeretlen, a jobb oldalon pedig egy szám található. Vagyis ezek az egyenletek egy ismeretlen tagot, minuendet, részfejet, szorzót, osztalékot vagy osztót tartalmaznak. Az ilyen egyenletek megoldásáról és meg lesz beszélve ebben a cikkben.

Itt megadjuk azokat a szabályokat, amelyek lehetővé teszik, hogy megtaláljunk egy ismeretlen kifejezést, szorzót stb. Sőt, azonnal megfontoljuk e szabályok gyakorlati alkalmazását, karakterisztikus egyenletek megoldásával.

Oldalnavigáció.

Tehát az eredeti 3 + x = 8 egyenletben az x helyett az 5-ös számot helyettesítjük, így 3 + 5 = 8-at kapunk - ez az egyenlőség helyes, ezért helyesen találtuk meg az ismeretlen tagot. Ha az ellenőrzés során hibás numerikus egyenlőséget kapunk, akkor ez azt jelezné számunkra, hogy rosszul oldottuk meg az egyenletet. Ennek fő oka lehet a rossz szabály alkalmazása, vagy a számítási hibák.

Hogyan találjuk meg az ismeretlen kisérletet, subtrahendit?

A számok összeadása és kivonása közötti kapcsolat, amelyet az előző bekezdésben már említettünk, lehetővé teszi számunkra, hogy egy szabályt kapjunk egy ismeretlen részösszeg megkeresésére ismert rész- és különbségen keresztül, valamint egy ismeretlen részösszeg megkeresésére egy ismert részleten keresztül. és a különbség. Sorra fogalmazzuk meg őket, és azonnal megadjuk a megfelelő egyenletek megoldását.

Az ismeretlen minuend megtalálásához hozzá kell adni a részfejet a különbséghez.

Vegyük például az x−2=5 egyenletet. Egy ismeretlen kisérletet tartalmaz. A fenti szabály azt mondja, hogy annak megtalálásához hozzá kell adni az ismert 2-es részrészt az ismert 5-ös különbséghez, így 5+2=7-et kapunk. Így a szükséges minuend hét.

Ha kihagyja a magyarázatokat, akkor a megoldás a következőképpen íródik:
x-2=5,
x=5+2,
x=7 .

Az önellenőrzés érdekében ellenőrzést végzünk. A talált redukáltot behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, és megkapjuk a 7−2=5 numerikus egyenlőséget. Helyes tehát, biztosak lehetünk abban, hogy helyesen határoztuk meg az ismeretlen minuend értékét.

Továbbléphet az ismeretlen részrész megkeresésére. Megtalálható, ha hozzáadjuk a következő szabály szerint: az ismeretlen részrész megtalálásához ki kell vonni a különbséget a minuendből.

Megoldunk egy 9−x=4 alakú egyenletet az írott szabály segítségével. Ebben az egyenletben az ismeretlen a részrész. Megtalálásához ki kell vonnunk az ismert különbséget 4 az ismert redukált 9-ből, 9−4=5 . Így a szükséges részrész egyenlő öttel.

Íme az egyenlet megoldásának rövid változata:
9-x=4,
x=9-4,
x=5.

Már csak a talált részrész helyességének ellenőrzése marad. Végezzünk egy ellenőrzést, amelyre az eredeti egyenletbe behelyettesítjük a talált x helyett 5-ös értéket, és a 9−5=4 numerikus egyenlőséget kapjuk. Helyes, ezért az általunk talált részrész értéke helyes.

És mielőtt áttérnénk a következő szabályra, megjegyezzük, hogy a 6. osztályban egy egyenletek megoldási szabályt vesznek figyelembe, amely lehetővé teszi, hogy bármely kifejezést átvigyen az egyenlet egyik részéből a másikba ellenkező előjellel. Tehát a fentiekben az ismeretlen kifejezések megtalálására vonatkozó összes szabály, csökkentve és kivonva, teljes mértékben összhangban van azzal.

Az ismeretlen tényező megtalálásához...

Nézzük meg az x 3=12 és 2 y=6 egyenleteket. Ezekben az ismeretlen szám a bal oldali tényező, a szorzat és a második tényező pedig ismert. Az ismeretlen tényező megtalálásához használja a következő szabályt: az ismeretlen tényező megtalálásához el kell osztani a szorzatot az ismert tényezővel.

Ez a szabály azon alapul, hogy a számosztásnak a szorzás jelentésével ellentétes jelentést adtunk. Vagyis a szorzás és az osztás között van összefüggés: az a b=c egyenlőségből, amelyben a≠0 és b≠0 következik, hogy c:a=b és c:b=c , és fordítva.

Például keressük meg az x·3=12 egyenlet ismeretlen tényezőjét. A szabály szerint osztanunk kell híres alkotás 12 ismert 3-as szorzóval. Tegyük: 12:3=4 . Tehát az ismeretlen tényező 4.

Röviden, az egyenlet megoldását egyenlőségek sorozataként írjuk fel:
x 3=12,
x=12:3 ,
x=4.

Kívánatos az eredmény ellenőrzése is: az eredeti egyenletben a betű helyett a talált értéket helyettesítjük, 4 3 \u003d 12 -t kapunk - a helyes numerikus egyenlőséget, tehát helyesen találtuk meg az ismeretlen tényező értékét.

És még valami: a vizsgált szabály szerint eljárva ténylegesen végrehajtjuk az egyenlet mindkét részének osztását egy nem nulla ismert szorzóval. A 6. évfolyamon elhangzik, hogy az egyenlet mindkét része szorozható és osztható ugyanazzal a nem nulla számmal, ez nem befolyásolja az egyenlet gyökereit.

Hogyan találjuk meg az ismeretlen osztalékot, osztót?

Témánk részeként azt kell kitalálni, hogyan lehet megtalálni az ismeretlen osztót ismert osztóval és hányadossal, valamint hogyan lehet megtalálni egy ismeretlen osztót ismert osztóval és hányadossal. Az előző bekezdésben már említett szorzás és osztás kapcsolata lehetővé teszi ezeknek a kérdéseknek a megválaszolását.

Az ismeretlen osztalék meghatározásához meg kell szorozni a hányadost az osztóval.

Tekintsük egy példán annak alkalmazását. Oldja meg az x:5=9 egyenletet. Ennek az egyenletnek az ismeretlen oszthatójának megtalálásához a szabály szerint meg kell szorozni az ismert 9 hányadost az ismert osztóval 5, azaz elvégezni a szorzást természetes számok: 9 5=45 . Így a kívánt osztalék 45.

Mutassuk meg a megoldás rövid jelölését:
x:5=9 ,
x=95,
x=45 .

Az ellenőrzés megerősíti, hogy az ismeretlen osztalék értéke helyesen került megállapításra. Valójában, ha az eredeti egyenletbe a 45-ös számot behelyettesítjük az x változó helyett, az a helyes 45:5=9 numerikus egyenlőséggé alakul.

Vegyük észre, hogy az elemzett szabály úgy értelmezhető, mint az egyenlet mindkét részének ismert osztóval való szorzata. Egy ilyen transzformáció nem befolyásolja az egyenlet gyökereit.

Térjünk át az ismeretlen osztó megtalálásának szabályára: az ismeretlen osztó megtalálásához osszuk el az osztalékot a hányadossal.

Vegyünk egy példát. Keresse meg az ismeretlen osztót a 18:x=3 egyenletből. Ehhez a 18-as ismert osztalékot el kell osztanunk az ismert 3-as hányadossal, 18:3=6-ot kapunk. Így a szükséges osztó egyenlő hattal.

A megoldás a következőképpen is megfogalmazható:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6 .

Ellenőrizzük ennek az eredménynek a megbízhatóságát: 18:6=3 a helyes numerikus egyenlőség, ezért az egyenlet gyöke helyesen található.

Nyilvánvaló, hogy ez a szabály csak akkor alkalmazható, ha a hányados eltér nullától, hogy ne ütközzön nullával való osztásba. Ha a hányados nulla, két eset lehetséges. Ha ebben az esetben az osztalék egyenlő nullával, azaz az egyenlet 0:x=0 alakú, akkor ez az egyenlet az osztó bármely nullától eltérő értékét kielégíti. Más szóval, egy ilyen egyenlet gyöke bármely olyan szám, amely nem egyenlő nullával. Ha a hányados nullával egyenlő, és az osztó nullától eltérő, akkor az osztó bármely értékénél az eredeti egyenlet nem válik valódi numerikus egyenlőséggé, vagyis az egyenletnek nincs gyökere. Szemléltetésül bemutatjuk az 5:x=0 egyenletet, nincs megoldása.

Megosztási szabályok

Az ismeretlen tag, a minuend, a részfej, a szorzó, az osztó és az osztó megtalálására vonatkozó szabályok következetes alkalmazása lehetővé teszi az egyetlen változóval rendelkező egyenletek megoldását több mint összetett típus. Foglalkozzunk ezzel egy példával.

Tekintsük a 3 x+1=7 egyenletet. Először megkereshetjük a 3 x ismeretlen tagot, ehhez ki kell vonnunk az ismert 1 tagot a 7 összegből, kapunk 3 x=7−1, majd 3 x=6 . Most már meg kell keresni az ismeretlen tényezőt úgy, hogy 6 szorzatát elosztjuk az ismert tényezővel 3-mal, így x=6:3, innen x=2 . Tehát az eredeti egyenlet gyökere megtalálható.

Az anyag konszolidálására egy másik (2·x−7) egyenlet rövid megoldását mutatjuk be:3−5=2 .
(2 x-7):3-5=2,
(2 x-7):3=2+5,
(2 x-7):3=7,
2 x-7=7 3,
2x−7=21,
2x=21+7,
2x=28,
x=28:2 ,
x=14.

Bibliográfia.

• Matematika.. 4. osztály. Proc. általános műveltségre intézmények. 2 órakor, 1. rész / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova és mások] - 8. kiadás. - M.: Oktatás, 2011. - 112 p.: ill. - (Oroszországi Iskola). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Matematika: tanulmányok. 5 cellához. Általános oktatás intézmények / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.

Az egyenletek az egyik legnehezebben elsajátítható téma, de elég erősek a legtöbb probléma megoldásához.

Egyenletek segítségével a természetben lezajló különféle folyamatokat írják le. Az egyenleteket széles körben használják más tudományokban: a közgazdaságtanban, a fizikában, a biológiában és a kémiában.

Ebben a leckében megpróbáljuk megérteni a legegyszerűbb egyenletek lényegét, megtanuljuk az ismeretlenek kifejezését és számos egyenlet megoldását. Ahogy új anyagokat tanul, az egyenletek bonyolultabbá válnak, ezért nagyon fontos az alapok megértése.

Előzetes készségek Az óra tartalma

Mi az egyenlet?

Az egyenlet egy olyan egyenlőség, amely egy változót tartalmaz, amelynek az értékét meg akarja találni. Ennek az értéknek olyannak kell lennie, hogy az eredeti egyenletbe behelyettesítve a helyes numerikus egyenlőséget kapjuk.

Például a 3 + 2 = 5 kifejezés egyenlőség. A bal oldal kiszámításakor a helyes numerikus egyenlőséget kapjuk 5 = 5 .

De az egyenlőség 3+ x Az = 5 egyenlet, mert változót tartalmaz x, amelynek értéke megtalálható. Az értéknek olyannak kell lennie, hogy ha ezt az értéket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, akkor a megfelelő numerikus egyenlőséget kapjuk.

Más szóval, olyan értéket kell találnunk, ahol az egyenlőségjel igazolná a helyét - a bal oldal egyenlő legyen a jobb oldallal.

3+ egyenlet x= 5 elemi. Változó érték x egyenlő a 2-es számmal. Más érték esetén az egyenlőség nem érvényesül

A 2-es szám állítólag az gyökér vagy az egyenlet megoldása 3 + x = 5

Gyökér vagy az egyenlet megoldása annak a változónak az értéke, amelynél az egyenlet valódi numerikus egyenlőséggé válik.

Lehet több gyökér, vagy egyáltalán nincs. oldja meg az egyenletet azt jelenti, hogy megtaláljuk a gyökereit, vagy bebizonyítjuk, hogy nincsenek gyökerei.

Az egyenletben szereplő változót más néven ismeretlen. Szabadon hívhatod, ahogy akarod. Ezek szinonimák.

jegyzet. kifejezés "oldja meg az egyenletet" magáért beszél. Egy egyenlet megoldása azt jelenti, hogy „egyenlítünk” egy egyenletet – kiegyensúlyozzuk úgy, hogy a bal oldal egyenlő a jobb oldallal.

Fejezd ki az egyiket a másikkal

Az egyenletek tanulmányozása hagyományosan azzal kezdődik, hogy megtanulunk egy, az egyenlőségben szereplő számot több másik számon keresztül kifejezni. Ne törjük meg ezt a hagyományt, és tegyük ugyanezt.

Tekintsük a következő kifejezést:

8 + 2

Ez a kifejezés a 8 és 2 számok összege. Ennek a kifejezésnek az értéke 10

8 + 2 = 10

Egyenlőséget kaptunk. Most ebből az egyenlőségből bármely számot kifejezhet más, ugyanabban az egyenlőségben szereplő számokkal. Például fejezzük ki a 2-es számot.

A 2-es szám kifejezéséhez fel kell tennie a kérdést: "mit kell tenni a 10-es és 8-as számokkal, hogy megkapja a 2-es számot." Nyilvánvaló, hogy a 2-es szám megszerzéséhez ki kell vonni a 8-at a 10-ből.

Tehát mi. Felírjuk a 2-es számot, és az egyenlőségjelen keresztül azt mondjuk, hogy ehhez a 2-hez a 8-at kivonjuk a 10-ből:

2 = 10 − 8

A 2-es számot a 8 + 2 = 10 egyenletből fejeztük ki. Amint a példából látható, ebben nincs semmi bonyolult.

Egyenletek megoldása során, különösen egy szám másokkal való kifejezésekor, célszerű az egyenlőségjelet a " szóra cserélni van" . Ezt mentálisan kell megtenni, nem magában a kifejezésben.

Tehát a 2-es számot a 8 + 2 = 10 egyenlőségből kifejezve a 2 = 10 − 8 egyenlőséget kaptuk. Ez az egyenlet így olvasható:

2 van 10 − 8

Ez a jel = helyébe a „van” szó lép. Ráadásul a 2 = 10 − 8 egyenlőség lefordítható a matematikai nyelvből teljes értékű emberi nyelvre. Akkor ezt így lehet olvasni:

2. számú van különbség 10 és 8 között

2. számú van a különbség a 10-es és a 8-as szám között.

De korlátozzuk magunkat arra, hogy az egyenlőségjelet a „van” szóra cseréljük, és akkor nem mindig tesszük ezt. Az elemi kifejezések a matematikai nyelv emberi nyelvre fordítása nélkül is megérthetők.

Állítsuk vissza a kapott 2 = 10 − 8 egyenlőséget eredeti állapotába:

8 + 2 = 10

Ezúttal fejezzük ki a 8-as számot. Mit kell tenni a többi számmal, hogy megkapjuk a 8-ast? Így van, ki kell vonni a 2-es számot a 10-ből

8 = 10 − 2

Állítsuk vissza a kapott 8 = 10 − 2 egyenlőséget eredeti állapotába:

8 + 2 = 10

Ezúttal a 10-es számot fogjuk kifejezni. De kiderül, hogy a tízet nem kell kifejezni, mivel az már ki van fejezve. Elég felcserélni a bal és jobb oldali részeket, akkor megkapjuk, amire szükségünk van:

10 = 8 + 2

2. példa. Tekintsük a 8 − 2 = 6 egyenlőséget

Ebből az egyenlőségből a 8-as számot fejezzük ki. A 8-as szám kifejezéséhez a másik két számot össze kell adni:

8 = 6 + 2

Állítsuk vissza a kapott 8 = 6 + 2 egyenlőséget eredeti állapotába:

8 − 2 = 6

Ebből az egyenlőségből a 2-t fejezzük ki. A 2-es szám kifejezéséhez 8-ból ki kell vonnunk a 6-ot

2 = 8 − 6

3. példa. Tekintsük a 3 × 2 = 6 egyenletet

Fejezd ki a 3-as számot. A 3-as szám kifejezéséhez el kell osztanod a 6-ot 2-vel

Állítsuk vissza a kapott egyenlőséget eredeti állapotába:

3 x 2 = 6

Adjuk meg ebből az egyenlőségből a 2-es számot. A 2-es szám kifejezéséhez el kell osztani a 3-at 6-tal

4. példa. Vegye figyelembe az egyenlőséget

Ebből az egyenlőségből a 15-öt fejezzük ki. A 15-ös szám kifejezéséhez meg kell szorozni a 3-as és az 5-ös számokat

15 = 3 x 5

Állítsuk vissza a kapott 15 = 3 × 5 egyenlőséget eredeti állapotába:

Ebből az egyenlőségből az 5-ös számot fejezzük ki. Az 5-ös szám kifejezéséhez 15-öt el kell osztani 3-mal

Az ismeretlenek megtalálásának szabályai

Vegye figyelembe az ismeretlenek megtalálásának számos szabályát. Talán ismerősek számodra, de nem árt megismételni őket. A jövőben ezeket elfelejthetjük, hiszen megtanulunk egyenleteket megoldani e szabályok alkalmazása nélkül.

Térjünk vissza az elsõ példához, amelyet az elõzõ témakörben vizsgáltunk, ahol a 8 + 2 = 10 egyenletben a 2-es szám kifejezésére volt szükség.

A 8 + 2 = 10 egyenletben a 8 és 2 számok tagok, a 10 pedig az összeg.

A 2-es szám kifejezésére a következőket tettük:

2 = 10 − 8

Vagyis a 8-as tagot kivontuk a 10 összegéből.

Most képzeljük el, hogy a 8 + 2 = 10 egyenletben a 2 helyett egy változó van x

8 + x = 10

Ebben az esetben a 8 + 2 = 10 egyenletből a 8 + egyenlet lesz x= 10 , és a változó x ismeretlen kifejezés

Feladatunk ennek az ismeretlen tagnak a megtalálása, vagyis a 8 + egyenlet megoldása x= 10. Az ismeretlen kifejezés megtalálásához a következő szabályt kell alkalmazni:

Az ismeretlen tag megkereséséhez vonja ki az ismert tagot az összegből.

Amit alapvetően tettünk, amikor a kettőt a 8 + 2 = 10 egyenletben fejeztük ki. A 2. tag kifejezéséhez a 10-es összegből kivontunk egy másik 8-as tagot

2 = 10 − 8

És most keressük meg az ismeretlen kifejezést x, ki kell vonnunk az ismert 8-as tagot a 10-es összegből:

x = 10 − 8

Ha kiszámítja a kapott egyenlőség jobb oldalát, akkor megtudhatja, hogy a változó mivel egyenlő x

x = 2

Megoldottuk az egyenletet. Változó érték x egyenlő 2-vel. Egy változó értékének ellenőrzése x az eredeti 8+ egyenlethez küldjük x= 10 és helyettesíti x. Célszerű ezt bármilyen megoldott egyenlettel megtenni, mivel nem lehet biztos abban, hogy az egyenlet helyesen van megoldva:

Ennek eredményeként

Ugyanez a szabály akkor is érvényes, ha az ismeretlen kifejezés az első 8.

x + 2 = 10

Ebben az egyenletben x az ismeretlen tag, a 2 az ismert tag, a 10 az összeg. Megtalálni az ismeretlen kifejezést x, ki kell vonni az ismert 2-es tagot a 10-es összegből

x = 10 − 2

x = 8

Térjünk vissza az előző téma második példájához, ahol a 8 − 2 = 6 egyenletben a 8-as szám kifejezésére volt szükség.

A 8 − 2 = 6 egyenletben a 8-as szám a minuend, a 2-es a részrész, a 6-os a különbség

A 8-as szám kifejezésére a következőket tettük:

8 = 6 + 2

Azaz összeadták a 6-os különbséget és a kivont 2-t.

Most képzeljük el, hogy a 8 − 2 = 6 egyenletben a 8 helyett egy változó van x

x − 2 = 6

Ebben az esetben a változó x szerepet vállal az ún ismeretlen minuend

Az ismeretlen minuend megtalálásához a következő szabályt kell alkalmazni:

Az ismeretlen minuend megtalálásához hozzá kell adni a részfejet a különbséghez.

Ezt tettük, amikor a 8-as számot kifejeztük a 8 − 2 = 6 egyenletben. A 8-as minuend kifejezéséhez hozzáadtuk a 2-es részrészt a 6-os különbséghez.

És most, hogy megtalálja az ismeretlen kisembert x, hozzá kell adnunk a 2-es részrészt a 6-os különbséghez

x = 6 + 2

Ha kiszámítja a jobb oldalt, akkor megtudhatja, hogy a változó mivel egyenlő x

x = 8

Most képzeljük el, hogy a 8 − 2 = 6 egyenletben a 2 helyett egy változó van x

8 − x = 6

Ebben az esetben a változó x szerepet vállal ismeretlen részrész

Az ismeretlen részrész megtalálásához a következő szabályt kell megadni:

Az ismeretlen részösszeg megtalálásához ki kell vonni a különbséget a minuendből.

Ezt tettük, amikor a 2-es számot kifejeztük a 8 − 2 = 6 egyenletben. A 2-es szám kifejezéséhez a redukált 8-ból kivontuk a 6-os különbséget.

És most, hogy megtaláljuk az ismeretlen részrészt x, ismét le kell vonni a 6-os különbséget a csökkentett 8-ból

x = 8 − 6

Számítsa ki a jobb oldalt, és keresse meg az értéket x

x = 2

Térjünk vissza az előző témakör harmadik példájához, ahol a 3 × 2 = 6 egyenletben a 3-as számot próbáltuk kifejezni.

A 3 × 2 = 6 egyenletben a 3 a szorzó, a 2 a szorzó, a 6 a szorzat

A 3-as szám kifejezésére a következőket tettük:

Vagyis 6 szorzatát el kell osztani 2-vel.

Most képzeljük el, hogy a 3 × 2 = 6 egyenletben a 3 helyett egy változó van x

x×2=6

Ebben az esetben a változó x szerepet vállal ismeretlen szorzó.

Az ismeretlen szorzó megtalálásához a következő szabályt alkalmazzuk:

Az ismeretlen szorzó meghatározásához el kell osztani a szorzatot a tényezővel.

Ezt tettük, amikor a 3-as számot kifejeztük a 3 × 2 = 6 egyenletből. A 6-os szorzatot elosztottuk 2-vel.

És most meg kell találni az ismeretlen szorzót x, 6 szorzatát el kell osztani 2-vel.

A jobb oldal számítása lehetővé teszi, hogy megtaláljuk a változó értékét x

x = 3

Ugyanez a szabály érvényes, ha a változó x a szorzó helyett található, nem a szorzó. Képzeljük el, hogy a 3 × 2 = 6 egyenletben a 2 helyett egy változó van x .

Ebben az esetben a változó x szerepet vállal ismeretlen szorzó. Az ismeretlen tényező megtalálásához ugyanazt adjuk meg, mint egy ismeretlen szorzó keresésekor, vagyis elosztjuk a szorzatot egy ismert tényezővel:

Az ismeretlen tényező megtalálásához el kell osztani a szorzatot a szorzóval.

Ezt tettük, amikor a 2-es számot kifejeztük a 3 × 2 = 6 egyenletből. Ezután, hogy megkapjuk a 2-es számot, elosztottuk a 6 szorzatát a 3 szorzóval.

És most meg kell találni az ismeretlen tényezőt x 6 szorzatát elosztottuk a 3 szorzójával.

Az egyenlet jobb oldalának kiszámítása lehetővé teszi, hogy megtudja, mi x egyenlő

x = 2

A szorzót és a szorzót együtt tényezőknek nevezzük. Mivel a szorzó és a szorzó megtalálásának szabályai megegyeznek, megfogalmazhatjuk Általános szabály az ismeretlen tényező megtalálása:

Az ismeretlen tényező megtalálásához el kell osztani a terméket az ismert tényezővel.

Például oldjuk meg a 9 × egyenletet x= 18 . Változó x egy ismeretlen tényező. Ennek az ismeretlen tényezőnek a megtalálásához el kell osztania a 18-as szorzatot az ismert 9-es tényezővel

Oldjuk meg az egyenletet x× 3 = 27 . Változó x egy ismeretlen tényező. Ennek az ismeretlen tényezőnek a megtalálásához el kell osztania a 27-es szorzatot az ismert 3-as tényezővel

Térjünk vissza az előző téma negyedik példájához, ahol az egyenlőségben a 15-öt kellett kifejezni. Ebben az egyenlőségben a 15-ös az osztó, az 5-ös az osztó, a 3-as a hányados.

A 15-ös szám kifejezéséhez a következőket tettük:

15 = 3 x 5

Vagyis szorozzuk meg a 3 hányadosát 5 osztójával.

Most képzeljük el, hogy az egyenlőségben a 15 helyett egy változó van x

Ebben az esetben a változó x szerepet vállal ismeretlen osztalék.

Az ismeretlen osztalék megtalálásához a következő szabályt kell alkalmazni:

Az ismeretlen osztalék meghatározásához meg kell szorozni a hányadost az osztóval.

Ezt tettük, amikor az egyenlőségből a 15-ös számot fejeztük ki. A 15-ös szám kifejezéséhez a 3 hányadosát megszoroztuk 5 osztójával.

És most meg kell találni az ismeretlen osztalékot x, meg kell szorozni a 3 hányadosát 5 osztójával

x= 3 × 5

x .

x = 15

Most képzeljük el, hogy az egyenlőségben az 5 helyett egy változó van x .

Ebben az esetben a változó x szerepet vállal ismeretlen osztó.

Az ismeretlen osztó megtalálásához a következő szabályt kell megadni:

Ezt tettük, amikor az egyenlőségből az 5-ös számot fejeztük ki. Az 5-ös szám kifejezéséhez a 15-ös osztalékot elosztottuk a 3-as hányadossal.

És most keressük meg az ismeretlen osztót x, a 15-ös osztalékot el kell osztani a 3-as hányadossal

Számítsuk ki a kapott egyenlőség jobb oldalát! Tehát megtudjuk, hogy a változó mivel egyenlő x .

x = 5

Tehát az ismeretlenek megtalálásához a következő szabályokat tanulmányoztuk:

• Az ismeretlen tag megtalálásához ki kell vonni az ismert tagot az összegből;
• Az ismeretlen minuend megtalálásához hozzá kell adni a különbséghez a részfejet;
• Az ismeretlen részösszeg megtalálásához ki kell vonni a különbséget a minuendből;
• Az ismeretlen szorzószám megtalálásához el kell osztani a szorzatot a tényezővel;
• Az ismeretlen tényező megtalálásához el kell osztani a szorzatot a szorzóval;
• Az ismeretlen osztalék meghatározásához meg kell szorozni a hányadost az osztóval;
• Ismeretlen osztó kereséséhez el kell osztani az osztalékot a hányadossal.

Alkatrészek

Összetevőknek nevezzük az egyenlőségben szereplő számokat és változókat

Tehát az összeadás összetevői feltételeketés összeg

A kivonás komponensei az kisebbítendő, kivonandóés különbség

A szorzás összetevői a szorzandó, tényezőés munka

Az osztás összetevői az osztó, az osztó és a hányados.

Attól függően, hogy mely összetevőkkel van dolgunk, az ismeretlenek megtalálásának megfelelő szabályait alkalmazzuk. Ezeket a szabályokat az előző témakörben tanulmányoztuk. Az egyenletek megoldása során kívánatos ezeket a szabályokat fejből ismerni.

1. példa. Keresse meg a 45+ egyenlet gyökerét x = 60

45 - időtartam, x az ismeretlen tag, a 60 az összeg. Kiegészítő komponensekkel foglalkozunk. Emlékeztetünk arra, hogy az ismeretlen kifejezés megtalálásához ki kell vonni az ismert kifejezést az összegből:

x = 60 − 45

Számítsa ki a jobb oldalt, kapja meg az értéket x egyenlő 15-tel

x = 15

Tehát az egyenlet gyöke 45 + x= 60 egyenlő 15-tel.

Leggyakrabban az ismeretlen kifejezést olyan formára kell redukálni, amelyben kifejezhető.

2. példa. oldja meg az egyenletet

Itt az előző példától eltérően az ismeretlen tagot nem lehet azonnal kifejezni, mivel a 2-es együtthatót tartalmazza. A feladatunk az, hogy ezt az egyenletet olyan formába hozzuk, amelyben kifejezhető lenne. x

Ebben a példában az összeadás összetevőivel - a kifejezésekkel és az összeggel - foglalkozunk. 2 x az első tag, a 4 a második tag, a 8 az összeg.

Ebben az esetben a 2. kifejezés x változót tartalmaz x. Miután megtalálta a változó értékét x kifejezés 2 x más formát ölt majd. Ezért a 2. kifejezés x teljesen felvehető az ismeretlen kifejezésre:

Most alkalmazzuk az ismeretlen kifejezés megtalálásának szabályát. Vonjuk ki az ismert tagot az összegből:

Számítsuk ki a kapott egyenlet jobb oldalát:

Van egy új egyenletünk. Most a szorzás összetevőivel foglalkozunk: szorzóval, szorzóval és szorzattal. 2 - szorzó, x- szorzó, 4 - szorzat

Ugyanakkor a változó x nem csak egy tényező, hanem egy ismeretlen tényező

Ennek az ismeretlen tényezőnek a megtalálásához el kell osztania a szorzatot a szorzóval:

Számítsa ki a jobb oldalt, kapja meg a változó értékét x

A talált gyökér ellenőrzéséhez küldje el az eredeti egyenletbe, és cserélje ki x

3. példa. oldja meg az egyenletet 3x+ 9x+ 16x= 56

Fejezd ki az ismeretlent x ez tiltott. Először az egyenletet olyan formára kell hoznia, amelyben kifejezhető.

A bal oldalon mutatjuk be adott egyenlet:

A szorzás összetevőivel foglalkozunk. 28 - szorzó, x- szorzó, 56 - szorzat. Ahol x egy ismeretlen tényező. Az ismeretlen tényező megtalálásához el kell osztani a szorzatot a szorzóval:

Innen x a 2

Egyenértékű egyenletek

Az előző példában az egyenlet megoldásakor 3x + 9x + 16x = 56 , hasonló kifejezéseket adtunk meg az egyenlet bal oldalán. Az eredmény egy új 28-as egyenlet x= 56 . régi egyenlet 3x + 9x + 16x = 56 és a kapott új 28-as egyenlet x= 56 hívott ekvivalens egyenletek mert a gyökereik ugyanazok.

Az egyenleteket ekvivalensnek mondjuk, ha a gyökereik azonosak.

Nézzük meg. Az egyenlethez 3x+ 9x+ 16x= 56 2-vel egyenlő gyöket találtunk. Helyettesítsd be először ezt a gyöket az egyenletbe 3x+ 9x+ 16x= 56 , majd a 28. egyenletbe x= 56 , ami az előző egyenlet bal oldalán lévő hasonló tagok redukciójából adódik. Meg kell kapnunk a megfelelő numerikus egyenlőségeket

A műveletek sorrendjének megfelelően először a szorzást kell végrehajtani:

Helyettesítsük be a 2 gyököt a 28 második egyenletbe x= 56

Látjuk, hogy mindkét egyenletnek ugyanaz a gyökere. Tehát az egyenletek 3x+ 9x+ 16x= 56 és 28 x= 56 valóban egyenértékű.

Az egyenlet megoldásához 3x+ 9x+ 16x= 56 a hasonló kifejezések egyikét használtuk. Az egyenlet helyes azonosságtranszformációja lehetővé tette, hogy megkapjuk a 28-as ekvivalens egyenletet x= 56 , ami könnyebben megoldható.

Az azonos átalakítások közül jelenleg csak törteket tudunk kicsinyíteni, hasonszőrű kifejezéseket hozni, kivenni közös tényező a zárójeleken kívül, és nyissa ki a zárójeleket. Vannak más átalakulások, amelyekkel tisztában kell lennie. De az egyenletek azonos transzformációinak általános elképzeléséhez az általunk tanulmányozott témák is elegendőek.

Tekintsünk néhány olyan transzformációt, amelyek lehetővé teszik, hogy egyenértékű egyenletet kapjunk

Ha az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot adjuk, akkor az adott egyenletet kapunk.

és hasonlóan:

Ha ugyanazt a számot kivonjuk az egyenlet mindkét oldaláról, akkor az adott egyenletet kapjuk.

Más szóval, az egyenlet gyöke nem változik, ha ugyanazt a számot hozzáadjuk (vagy kivonjuk mindkét oldaláról) az egyenlethez.

1. példa. oldja meg az egyenletet

Vonjuk ki a 10-et az egyenlet mindkét oldaláról

Megvan az 5. egyenlet x= 10. A szorzás összetevőivel foglalkozunk. Az ismeretlen tényező megtalálása x, 10 szorzatát el kell osztani az ismert 5-ös tényezővel.

és helyette helyettesítsd x talált érték 2

Megkaptuk a megfelelő számot. Tehát az egyenlet helyes.

Az egyenlet megoldása kivontuk a 10-es számot az egyenlet mindkét oldaláról. Az eredmény egy ekvivalens egyenlet. Ennek az egyenletnek a gyökere, akárcsak az egyenletek egyenlő 2-vel

2. példa. Oldja meg a 4. egyenletet ( x+ 3) = 16

Vonjuk ki a 12-es számot az egyenlet mindkét oldaláról

A bal oldal 4 lesz x, jobb oldalon pedig a 4-es szám

Megvan a 4. egyenlet x= 4. A szorzás összetevőivel foglalkozunk. Az ismeretlen tényező megtalálása x, el kell osztania a 4-es szorzatot az ismert 4-es tényezővel

Térjünk vissza az eredeti 4-es egyenlethez ( x+ 3) = 16 és helyette cserélje ki x talált érték 1

Megkaptuk a megfelelő számot. Tehát az egyenlet helyes.

A 4. egyenlet megoldása ( x+ 3) = 16 az egyenlet mindkét oldaláról kivontuk a 12-es számot. Ennek eredményeként egy ekvivalens 4-es egyenletet kaptunk x= 4. Ennek az egyenletnek a gyökere, valamint a 4( x+ 3) = 16 egyenlő 1-gyel

3. példa. oldja meg az egyenletet

Bontsuk ki az egyenlet bal oldalán lévő zárójeleket:

Adjuk hozzá a 8-as számot az egyenlet mindkét oldalához

Az egyenlet mindkét részében hasonló kifejezéseket mutatunk be:

A bal oldal a 2 lesz x, jobb oldalon pedig a 9-es szám

A kapott egyenletben 2 x= 9 az ismeretlen tagot fejezzük ki x

Vissza az eredeti egyenlethez és helyette helyettesítsd x talált érték 4,5

Megkaptuk a megfelelő számot. Tehát az egyenlet helyes.

Az egyenlet megoldása az egyenlet mindkét oldalához hozzáadtuk a 8-as számot, így ekvivalens egyenletet kaptunk. Ennek az egyenletnek a gyökere, akárcsak az egyenletek szintén egyenlő 4,5-tel

A következő szabály, amely lehetővé teszi, hogy egyenértékű egyenletet kapjon, a következő

Ha az egyenletben a tagot egyik részből a másikba visszük át, előjelét változtatva, akkor az adott egyenletet kapunk.

Vagyis az egyenlet gyöke nem fog megváltozni, ha a tagot az egyenlet egyik részéből a másikba visszük át az előjel megváltoztatásával. Ez a tulajdonság az egyik legfontosabb és az egyik leggyakrabban használt egyenletek megoldásában.

Tekintsük a következő egyenletet:

Ennek az egyenletnek a gyöke 2. Helyettesítsd be x ezt a gyökeret, és ellenőrizze, hogy a helyes számszerű egyenlőséget kapta-e

Kiderül a helyes egyenlőség. Tehát a 2-es szám valójában az egyenlet gyökere.

Most próbáljunk meg kísérletezni ennek az egyenletnek a feltételeivel, egyik részről a másikra áthelyezve, előjeleket váltva.

Például a 3. kifejezés x az egyenlet bal oldalán található. Vigyük át a jobb oldalra, a jelet fordítsuk az ellenkezőjére:

Kiderült az egyenlet 12 = 9x − 3x . ennek az egyenletnek a jobb oldalán:

x egy ismeretlen tényező. Keressük ezt az ismert tényezőt:

Innen x= 2. Mint látható, az egyenlet gyökere nem változott. Tehát a 12 + 3 egyenletek x = 9xés 12 = 9x − 3x egyenértékűek.

Valójában ez a transzformáció az előző transzformáció egyszerűsített módszere, ahol ugyanazt a számot adták hozzá (vagy vonták ki) az egyenlet mindkét oldalához.

Azt mondtuk, hogy a 12 + 3 egyenletben x = 9x kifejezés 3 x tábla megváltoztatásával jobb oldalra került. A valóságban a következő történt: a 3-as tagot kivonták az egyenlet mindkét oldaláról x

Ezután hasonló kifejezéseket adtunk meg a bal oldalon, és megkaptuk az egyenletet 12 = 9x − 3x. Ezután ismét hasonló kifejezéseket adtunk, de a jobb oldalon, és a 12 = 6 egyenletet kaptuk x.

De az úgynevezett "transzfer" kényelmesebb az ilyen egyenleteknél, ezért vált olyan széles körben elterjedtté. Az egyenletek megoldása során gyakran ezt a transzformációt fogjuk használni.

A 12 + 3 egyenletek is ekvivalensek x= 9xés 3x - 9x= −12 . Ezúttal a 12 + 3 egyenletben x= 9x a 12. tag jobb oldalra került, a 9. pedig x balra. Nem szabad megfeledkezni arról, hogy az átruházás során ezen feltételek jelei megváltoztak

A következő szabály, amely lehetővé teszi, hogy egyenértékű egyenletet kapjon, a következő:

Ha az egyenlet mindkét részét ugyanazzal a számmal szorozzuk vagy osztjuk, amely nem egyenlő nullával, akkor az adott egyenletet kapjuk.

Más szóval, az egyenlet gyökerei nem változnak, ha mindkét oldalt ugyanazzal a számmal szorozzuk vagy osztjuk. Ezt a műveletet gyakran használják, amikor törtkifejezéseket tartalmazó egyenletet kell megoldani.

Először nézzünk meg olyan példákat, amelyekben az egyenlet mindkét oldalát ugyanabban a számmal szorozzuk meg.

1. példa. oldja meg az egyenletet

Törtkifejezéseket tartalmazó egyenletek megoldásánál először ezt az egyenletet szokás leegyszerűsíteni.

Ebben az esetben éppen egy ilyen egyenlettel van dolgunk. Az egyenlet egyszerűsítése érdekében mindkét oldalt meg lehet szorozni 8-cal:

Emlékezzünk arra, hogy a esetén meg kell szorozni egy adott tört számlálóját ezzel a számmal. Két törtünk van, és mindegyiket megszorozzuk 8-cal. A feladatunk az, hogy a törtek számlálóit megszorozzuk ezzel a 8-cal.

Most a legérdekesebb dolog történik. Mindkét tört számlálója és nevezője 8-as tényezőt tartalmaz, amely 8-cal csökkenthető. Ezzel megszabadulhatunk a tört kifejezéstől:

Ennek eredményeként a legegyszerűbb egyenlet marad

Nos, könnyű kitalálni, hogy ennek az egyenletnek a gyöke 4

x talált érték 4

Kiderül a helyes numerikus egyenlőség. Tehát az egyenlet helyes.

Ennek az egyenletnek a megoldása során mindkét részét megszoroztuk 8-cal. Ennek eredményeként megkaptuk az egyenletet. Ennek az egyenletnek a gyöke az egyenletekhez hasonlóan 4. Tehát ezek az egyenletek ekvivalensek.

A szorzót, amellyel az egyenlet mindkét részét megszorozzuk, általában az egyenletrész elé írjuk, és nem utána. Tehát az egyenletet megoldva mindkét részt megszoroztuk 8-cal, és a következő bejegyzést kaptuk:

Ettől az egyenlet gyöke nem változott, de ha ezt iskolában csináltuk volna, akkor megjegyezték volna, hiszen az algebrában az a faktort szokás a kifejezés elé írni, amellyel szorozzuk. Ezért, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 8-as tényezővel, kívánatos a következőképpen átírni:

2. példa. oldja meg az egyenletet

A bal oldalon a 15-ös faktor 15-tel, a jobb oldalon pedig a 15-ös és 5-ös faktor 5-tel csökkenthető

Nyissuk meg a zárójeleket az egyenlet jobb oldalán:

Tegyük át a kifejezést x az egyenlet bal oldaláról a jobb oldalra az előjel megváltoztatásával. És az egyenlet jobb oldaláról a 15-ös tag átkerül a bal oldalra, ismét megváltoztatva az előjelet:

Mindkét részben hasonló kifejezéseket hozunk, kapunk

A szorzás összetevőivel foglalkozunk. Változó x

Vissza az eredeti egyenlethez és helyette helyettesítsd x talált érték 5

Kiderül a helyes numerikus egyenlőség. Tehát az egyenlet helyes. Ennek az egyenletnek a megoldása során mindkét oldalt megszoroztuk 15-tel. Továbbá azonos transzformációkat végrehajtva megkaptuk a 10 = 2 egyenletet x. Ennek az egyenletnek a gyökere, akárcsak az egyenletek egyenlő 5-tel. Tehát ezek az egyenletek egyenértékűek.

3. példa. oldja meg az egyenletet

A bal oldalon két hármast törölhet, és jobb oldali rész 18 lesz

A legegyszerűbb egyenlet marad. A szorzás összetevőivel foglalkozunk. Változó x egy ismeretlen tényező. Keressük ezt az ismert tényezőt:

Térjünk vissza az eredeti egyenlethez, és cseréljük be helyette x talált érték 9

Kiderül a helyes numerikus egyenlőség. Tehát az egyenlet helyes.

4. példa. oldja meg az egyenletet

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 6-tal

Nyissa ki a zárójeleket az egyenlet bal oldalán. A jobb oldalon a 6-os tényező a számlálóra emelhető:

Az egyenlet mindkét részében csökkentjük a redukálható mennyiséget:

Írjuk át, ami maradt:

A feltételek átadását használjuk. Ismeretlent tartalmazó kifejezések x, az egyenlet bal oldalán csoportosítjuk, az ismeretlenektől mentes kifejezéseket pedig a jobb oldalon:

Mindkét részben hasonló kifejezéseket mutatunk be:

Most keressük meg a változó értékét x. Ehhez a 28-as szorzatot elosztjuk az ismert 7-es tényezővel

Innen x= 4.

Vissza az eredeti egyenlethez és helyette helyettesítsd x talált érték 4

Kiderült a helyes számszerű egyenlőség. Tehát az egyenlet helyes.

5. példa. oldja meg az egyenletet

Ha lehetséges, nyissuk meg a zárójeleket az egyenlet mindkét részében:

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 15-tel

Nyissuk meg a zárójeleket az egyenlet mindkét részében:

Csökkentsük az egyenlet mindkét részében, hogy mit lehet redukálni:

Írjuk át, ami maradt:

Ha lehetséges, nyissuk meg a zárójeleket:

A feltételek átadását használjuk. Az ismeretlent tartalmazó kifejezések az egyenlet bal oldalán, az ismeretlenektől mentesek pedig a jobb oldalon vannak csoportosítva. Ne felejtse el, hogy az átutalás során a feltételek az ellenkezőjére változnak:

Az egyenlet mindkét részében hasonló kifejezéseket mutatunk be:

Keressük az értéket x

A kapott válaszban kiválaszthatja a teljes részt:

Térjünk vissza az eredeti egyenlethez, és cseréljük be helyette x talált értéket

Kiderül, hogy ez egy meglehetősen nehézkes kifejezés. Használjunk változókat. Az egyenlőség bal oldalát egy változóba tesszük A, az egyenlőség jobb oldalát pedig változóvá B

Az a feladatunk, hogy a bal oldal egyenlő legyen a jobb oldallal. Más szóval, bizonyítsd be az A = B egyenlőséget

Keresse meg a kifejezés értékét az A változóban.

Változó érték A egyenlő . Most keressük meg a változó értékét B. Ez egyenlőségünk jobb oldalának az értéke. Ha egyenlő -val, akkor az egyenlet helyesen lesz megoldva

Látjuk, hogy a változó értéke B, valamint a változó értéke A egyenlő . Ez azt jelenti, hogy a bal oldal egyenlő a jobb oldallal. Ebből arra következtetünk, hogy az egyenletet helyesen oldották meg.

Most próbáljuk meg, hogy az egyenlet mindkét oldalát ne szorozzuk meg ugyanazzal a számmal, hanem osztjunk.

Tekintsük az egyenletet 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . A szokásos módon oldjuk meg: az egyenlet bal oldalára csoportosítjuk az ismeretlent tartalmazó, jobbra pedig az ismeretlenektől mentes kifejezéseket. Továbbá az ismert azonos transzformációkat végrehajtva megtaláljuk az értéket x

Helyettesítse a talált értéket 2 helyett x az eredeti egyenletbe:

Most próbáljuk meg szétválasztani az egyenlet összes tagját 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 Megjegyezzük, hogy ennek az egyenletnek minden tagjának van egy közös tényezője 2. Minden tagot elosztunk vele:

Csökkentsük az egyes kifejezésekben:

Írjuk át, ami maradt:

Ezt az egyenletet az ismert azonos transzformációk segítségével oldjuk meg:

Megvan a gyökér 2. Tehát az egyenletek 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 és 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 egyenértékűek.

Ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk ugyanazzal a számmal, akkor az ismeretlent felszabadíthatjuk az együtthatóból. Az előző példában, amikor megkaptuk a 7-es egyenletet x= 14 , a 14-es szorzatot el kellett osztanunk az ismert 7-es tényezővel. De ha a bal oldalon lévő 7-es együtthatóból kiszabadítanánk az ismeretlent, akkor a gyökér azonnal megtalálható lenne. Ehhez elég volt mindkét részt elosztani 7-tel

Ezt a módszert is gyakran fogjuk alkalmazni.

Szorozd meg mínusz eggyel

Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk mínusz eggyel, akkor az adott egyenletet kapjuk.

Ez a szabály abból a tényből következik, hogy ha az egyenlet mindkét részét megszorozzuk (vagy elosztjuk) ugyanazzal a számmal, ennek az egyenletnek a gyöke nem változik. Ez azt jelenti, hogy a gyökér nem változik, ha mindkét részét megszorozzuk -1-gyel.

Ez a szabály lehetővé teszi az egyenletben szereplő összes komponens előjelének megváltoztatását. Mire való? Ismét, hogy egy ekvivalens egyenletet kapjunk, amely könnyebben megoldható.

Tekintsük az egyenletet. Mi ennek az egyenletnek a gyökere?

Adjuk hozzá az 5-ös számot az egyenlet mindkét oldalához

Itt vannak hasonló kifejezések:

És most emlékezzünk kb. Mi az egyenlet bal oldala. Ez a mínusz egy és a változó szorzata x

Vagyis a mínusz a változó előtt x, nem magára a változóra vonatkozik x, hanem az egységre, amit nem látunk, mivel az 1-es együtthatót nem szokás felírni. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet valójában így néz ki:

A szorzás összetevőivel foglalkozunk. Megtalálni x, akkor a −5 szorzatot el kell osztani a −1 ismert tényezővel.

vagy ossza el az egyenlet mindkét oldalát −1-gyel, ami még egyszerűbb

Tehát az egyenlet gyöke 5. Az ellenőrzéshez behelyettesítjük az eredeti egyenletbe. Ne felejtsük el, hogy az eredeti egyenletben a mínusz a változó előtt x láthatatlan egységre utal

Kiderült a helyes számszerű egyenlőség. Tehát az egyenlet helyes.

Most próbáljuk meg megszorozni az egyenlet mindkét oldalát mínusz eggyel:

A zárójelek kinyitása után a kifejezés a bal oldalon jön létre, a jobb oldal pedig 10 lesz

Ennek az egyenletnek a gyöke az egyenlethez hasonlóan 5

Tehát az egyenletek ekvivalensek.

2. példa. oldja meg az egyenletet

Ebben az egyenletben minden komponens negatív. Kényelmesebb pozitív komponensekkel dolgozni, mint negatívakkal, ezért változtassuk meg az egyenletben szereplő összes komponens előjelét. Ehhez megszorozzuk ennek az egyenletnek mindkét oldalát −1-gyel.

Nyilvánvaló, hogy a −1-gyel való szorzás után bármely szám az ellenkezőjére változtatja az előjelét. Ezért magát a −1-gyel való szorzást és a zárójelek kinyitását nem írjuk le részletesen, de az egyenlet ellentétes előjelű összetevőit azonnal felírjuk.

Tehát egy egyenlet -1-gyel való szorzata a következőképpen írható fel részletesen:

vagy egyszerűen megváltoztathatja az összes összetevő jelét:

Ugyanaz lesz, de a különbség az lesz, hogy időt takarítunk meg magunknak.

Tehát az egyenlet mindkét oldalát -1-gyel megszorozva megkapjuk az egyenletet. Oldjuk meg ezt az egyenletet. Vonjuk ki mindkét részből a 4-es számot, és osszuk el mindkét részt 3-mal

A gyökér megtalálásakor általában a bal oldalra írjuk a változót, a jobbra pedig az értéket, amit meg is tettünk.

3. példa. oldja meg az egyenletet

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát −1-gyel. Ekkor az összes komponens ellentétes előjelét váltja:

Vonjunk ki 2-t a kapott egyenlet mindkét oldaláról xés adj hozzá hasonló kifejezéseket:

Egységet adunk az egyenlet mindkét részéhez, és hasonló kifejezéseket adunk:

Egyenlő a nullával

Nemrég tanultuk meg, hogy ha egy egyenletben egy tagot az egyik részből a másikba úgy viszünk át, hogy előjelét megváltoztatjuk, akkor az adott egyenletet kapunk.

És mi lesz, ha egyik részből a másikba nem egy kifejezést, hanem az összes kifejezést áthelyezzük? Így van, abban a részben, ahonnan az összes kifejezést vették, nulla marad. Vagyis nem marad semmi.

Vegyük példának az egyenletet. Ezt az egyenletet szokás szerint megoldjuk - az egyik részbe az ismeretleneket tartalmazó kifejezéseket csoportosítjuk, a másikban a numerikus tagokat ismeretlenektől mentesen hagyjuk. Továbbá az ismert azonos transzformációkat végrehajtva megtaláljuk a változó értékét x

Most próbáljuk meg megoldani ugyanazt az egyenletet úgy, hogy minden összetevőjét nullával egyenlővé tesszük. Ehhez áthelyezzük az összes kifejezést jobbról balra, megváltoztatva a jeleket:

Íme a hasonló kifejezések a bal oldalon:

Adjunk hozzá 77-et mindkét részhez, és osszuk el mindkét részt 7-tel

Alternatíva az ismeretlenek megtalálásának szabályaihoz

Nyilvánvaló, hogy az egyenletek azonos transzformációinak ismeretében nem lehet megjegyezni az ismeretlenek megtalálásának szabályait.

Például, hogy megtaláljuk az ismeretlent az egyenletben, a 10-es szorzatot elosztottuk az ismert 2-es tényezővel.

De ha az egyenletben mindkét részt 2-vel osztjuk, akkor a gyökér azonnal megtalálható. Az egyenlet bal oldalán a 2-es tényező a számlálóban és a 2-es tényező a nevezőben 2-vel csökken. A jobb oldal pedig egyenlő lesz 5-tel.

A forma egyenleteit az ismeretlen tag kifejezésével oldottuk meg:

De használhatja azokat az azonos transzformációkat, amelyeket ma tanulmányoztunk. Az egyenletben a 4-es tag az előjel megváltoztatásával jobbra mozgatható:

Az egyenlet bal oldalán két kettes lesz redukálva. A jobb oldal egyenlő lesz 2-vel. Ezért .

Vagy levonhat 4-et az egyenlet mindkét oldaláról. Ekkor a következőt kapja:

Az alaki egyenletek esetében célszerűbb a szorzatot ismert tényezővel osztani. Hasonlítsuk össze a két megoldást:

Az első megoldás sokkal rövidebb és rendezettebb. A második megoldás jelentősen lerövidíthető, ha fejben hajtja végre a felosztást.

Mindazonáltal mindkét módszert ismernie kell, és csak ezután kell használnia azt, amelyik a legjobban tetszik.

Amikor több gyökér van

Egy egyenletnek több gyöke is lehet. Például egyenlet x(x + 9) = 0-nak két gyöke van: 0 és -9 .

Az egyenletben x(x + 9) = 0 ilyen értéket kellett találni x amelyeknél a bal oldal egyenlő lenne nullával. Ennek az egyenletnek a bal oldala tartalmazza a kifejezéseket xés (x + 9), amelyek olyan tényezők. A szorzás törvényeiből tudjuk, hogy a szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nullával egyenlő (akár az első, akár a második tényező).

Vagyis az egyenletben x(x + 9) = 0 egyenlőség akkor valósul meg, ha x nulla lesz vagy (x + 9) nulla lesz.

x= 0 vagy x + 9 = 0

Ha mindkét kifejezést nullával egyenlővé tesszük, megtaláljuk az egyenlet gyökereit x(x + 9) = 0 . Az első gyökér, amint a példából is látható, azonnal meglett. A második gyökér megtalálásához meg kell oldani az elemi egyenletet x+ 9 = 0 . Könnyű kitalálni, hogy ennek az egyenletnek a gyöke –9. Az ellenőrzés azt mutatja, hogy a gyökér helyes:

−9 + 9 = 0

2. példa. oldja meg az egyenletet

Ennek az egyenletnek két gyöke van: 1 és 2. Az egyenlet bal oldala a kifejezések szorzata ( x− 1) és ( x− 2) . És a szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla (vagy a tényező ( x− 1) vagy tényező ( x − 2) ).

Találjuk meg x amely alatt a kifejezések ( x− 1) vagy ( x− 2) eltűnik:

A talált értékeket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, és ügyelünk arra, hogy ezekkel az értékekkel a bal oldal egyenlő legyen a nullával:

Amikor végtelenül sok gyökér van

Egy egyenletnek végtelen sok gyöke lehet. Vagyis bármilyen számot behelyettesítve egy ilyen egyenletbe, megkapjuk a helyes numerikus egyenlőséget.

1. példa. oldja meg az egyenletet

Ennek az egyenletnek a gyöke tetszőleges szám. Ha kinyitja az egyenlet bal oldalán lévő zárójeleket, és hasonló kifejezéseket hoz létre, akkor a 14 \u003d 14 egyenlőséget kapja. Ezt az egyenlőséget bármelyikre megkapjuk x

2. példa. oldja meg az egyenletet

Ennek az egyenletnek a gyöke tetszőleges szám. Ha kinyitja az egyenlet bal oldalán lévő zárójeleket, megkapja az egyenlőséget 10x + 12 = 10x + 12. Ezt az egyenlőséget bármelyikre megkapjuk x

Amikor nincsenek gyökerek

Az is előfordul, hogy az egyenletnek egyáltalán nincs megoldása, vagyis nincs gyökere. Például az egyenletnek nincs gyöke, mert bármely értékhez x, az egyenlet bal oldala nem lesz egyenlő a jobb oldalával. Például hagyjuk. Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel

2. példa. oldja meg az egyenletet

Bontsuk ki az egyenlet bal oldalán lévő zárójeleket:

Itt vannak hasonló kifejezések:

Látjuk, hogy a bal oldal nem egyenlő a jobb oldallal. És így lesz minden értékben y. Például hadd y = 3 .

Letter egyenletek

Egy egyenlet nem csak számokat tartalmazhat változókkal, hanem betűket is.

Például a sebesség meghatározásának képlete egy szó szerinti egyenlet:

Ez az egyenlet a test sebességét írja le egyenletesen gyorsított mozgásban.

Hasznos készség a betűegyenletben szereplő bármely összetevő kifejezésének képessége. Például egy egyenlettől való távolság meghatározásához ki kell fejeznie a változót s .

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát t

Változók a jobb oldalon táltal csökkenteni t

A kapott egyenletben a bal és a jobb oldali rész felcserélődik:

Megkaptuk a távolság meghatározásának képletét, amelyet korábban tanulmányoztunk.

Próbáljuk meg meghatározni az időt az egyenletből. Ehhez ki kell fejezni a változót t .

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát t

Változók a jobb oldalon táltal csökkenteni tés írjuk át, ami maradt:

A kapott egyenletben v × t = s ossza fel mindkét részt v

Változók a bal oldalon váltal csökkenteni vés írjuk át, ami maradt:

Megkaptuk az idő meghatározásának képletét, amelyet korábban tanulmányoztunk.

Tegyük fel, hogy a vonat sebessége 50 km/h

v= 50 km/h

És a távolság 100 km

s= 100 km

Ekkor a szó szerinti egyenlet a következő alakot veszi fel

Ebből az egyenletből megtalálhatja az időt. Ehhez ki kell tudni fejezni a változót t. Használhatja a szabályt az ismeretlen osztó keresésére úgy, hogy az osztalékot elosztja a hányadossal, és így határozza meg a változó értékét t

vagy használhat azonos transzformációkat. Először szorozza meg az egyenlet mindkét oldalát t

Ezután mindkét részt el kell osztani 50-nel

2. példa x

Vonjunk ki az egyenlet mindkét oldalából a

Oszd el az egyenlet mindkét oldalát! b

a + bx = c, akkor kész megoldásunk lesz. Elég lesz behelyettesíteni kívánt értékeket. Azok az értékek, amelyek a betűket helyettesítik a, b, c hívott paramétereket. És a formaegyenletek a + bx = c hívott egyenlet paraméterekkel. A paraméterektől függően a gyökér megváltozik.

Oldja meg a 2 + 4 egyenletet x= 10. Úgy néz ki, mint egy szó szerinti egyenlet a + bx = c. Azonos átalakítások végrehajtása helyett használhatunk kész megoldást. Hasonlítsuk össze a két megoldást:

Látjuk, hogy a második megoldás sokkal egyszerűbb és rövidebb.

A teljes megoldáshoz meg kell tennie egy apró megjegyzés. Paraméter b nem lehet nulla (b ≠ 0), mivel a nullával való osztás nem megengedett.

3. példa. Adott egy szó szerinti egyenlet. Fejezd ki ebből az egyenletből x

Nyissuk meg a zárójeleket az egyenlet mindkét részében

A feltételek átadását használjuk. Változót tartalmazó paraméterek x, az egyenlet bal oldalán csoportosítjuk, az ettől a változótól mentes paramétereket pedig a jobb oldalon.

A bal oldalon kivesszük a faktort x

Osszuk fel mindkét részt kifejezésre a-b

A bal oldalon a számláló és a nevező csökkenthető a-b. Tehát a változó végül kifejeződik x

Nos, ha találkozunk a forma egyenletével a(x − c) = b(x + d), akkor kész megoldásunk lesz. Elegendő lesz behelyettesíteni a szükséges értékeket.

Tegyük fel, hogy kapunk egy egyenletet 4(x - 3) = 2(x+ 4) . Úgy néz ki, mint egy egyenlet a(x − c) = b(x + d). Kétféleképpen oldjuk meg: azonos transzformációkkal és egy kész megoldással:

A kényelem kedvéért kivonjuk az egyenletből 4(x - 3) = 2(x+ 4) paraméterértékek a, b, c, d . Ez lehetővé teszi számunkra, hogy ne kövessünk el hibákat a csere során:

Az előző példához hasonlóan a nevező itt sem lehet egyenlő nullával ( a - b ≠ 0) . Ha a forma egyenletével találkozunk a(x − c) = b(x + d) amelyben a paraméterek aés b megegyeznek, megoldás nélkül elmondhatjuk, hogy ennek az egyenletnek nincs gyökere, hiszen a különbség ugyanazok a számok egyenlő nullával.

Például az egyenlet 2(x – 3) = 2(x + 4) a forma egyenlete a(x − c) = b(x + d). Az egyenletben 2(x – 3) = 2(x + 4) paramétereket aés b ugyanaz. Ha elkezdjük megoldani, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a bal oldal nem egyenlő a jobb oldallal:

4. példa. Adott egy szó szerinti egyenlet. Fejezd ki ebből az egyenletből x

Az egyenlet bal oldalát közös nevezőre hozzuk:

Szorozd meg mindkét oldalt ezzel a

A bal oldalon x vedd ki a zárójelből

Mindkét részt elosztjuk az (1 −.) kifejezéssel a)

Lineáris egyenletek egy ismeretlennel

Az ebben a leckében tárgyalt egyenleteket ún elsőfokú lineáris egyenletek egy ismeretlennel.

Ha az egyenlet elsőfokú, nem tartalmaz osztást az ismeretlennel, és nem tartalmaz gyököket az ismeretlenből, akkor lineárisnak nevezhetjük. A fokozatokat és a gyökereket még nem tanultuk, ezért, hogy ne bonyolítsuk az életünket, a „lineáris” szót „egyszerűnek” fogjuk érteni.

A leckében megoldott egyenletek többsége a legegyszerűbb egyenletre redukálódott, amelyben a szorzatot el kellett osztani egy ismert tényezővel. Például a 2( x+ 3) = 16 . Oldjuk meg.

Nyissuk meg az egyenlet bal oldalán lévő zárójeleket, 2-t kapunk x+ 6 = 16. A 6-os tagot az előjel megváltoztatásával tegyük jobbra. Akkor kapunk 2-t x= 16 − 6. Számítsuk ki a jobb oldalt, 2-t kapunk x= 10. Megtalálni x, a 10-es szorzatot elosztjuk az ismert 2-es tényezővel x = 5.

2( x+ 3) = 16 lineáris. 2-es egyenletre redukált x= 10 , aminek a gyökerének megtalálásához el kellett osztani a szorzatot egy ismert tényezővel. Ezt az egyszerű egyenletet nevezzük elsőfokú lineáris egyenlet kanonikus alakban egy ismeretlennel. A „kanonikus” szó egyet jelent az „egyszerű” vagy a „normál” szavakkal.

Az elsőfokú lineáris egyenletet egy ismeretlennel a kanonikus alakban alakegyenletnek nevezzük ax = b.

2. egyenletünk x= 10 egy elsőfokú lineáris egyenlet egy kanonikus alakban ismeretlennel. Ez az egyenlet elsőfokú, egy ismeretlen, nem tartalmaz osztást az ismeretlennel, és nem tartalmaz gyököket az ismeretlenből, és kanonikus formában jelenik meg, vagyis a legegyszerűbb formában, amelyben könnyen meghatározható az érték x. Paraméterek helyett aés b egyenletünk a 2-es és a 10-es számokat tartalmazza. De egy hasonló egyenlet más számokat is tartalmazhat: pozitív, negatív vagy nullával egyenlő.

Ha egy lineáris egyenletben a= 0 és b= 0, akkor az egyenletnek végtelen sok gyöke van. Valóban, ha a nulla és b egyenlő nullával, akkor a lineáris egyenlet fejsze= b 0 alakot vesz fel x= 0. Bármilyen értékre x a bal oldal egyenlő lesz a jobb oldallal.

Ha egy lineáris egyenletben a= 0 és b≠ 0, akkor az egyenletnek nincs gyöke. Valóban, ha a nulla és b egyenlő valamilyen nullától eltérő számmal, mondjuk az 5-ös számmal, majd az egyenlettel ax=b 0 alakot vesz fel x= 5. A bal oldal nulla, a jobb oldal pedig öt. A nulla pedig nem egyenlő öttel.

Ha egy lineáris egyenletben a≠ 0 és b egyenlő bármely számmal, akkor az egyenletnek egy gyöke van. Ezt a paraméter elosztásával határozzuk meg b paraméterenként a

Valóban, ha a egyenlő valamilyen nullától eltérő számmal, mondjuk a 3-as számmal, és b egyenlő valamilyen számmal, mondjuk a 6-tal, akkor az egyenlet a következőt veszi fel.
Innen.

Van egy másik írási forma is lineáris egyenlet elsőfokú egy ismeretlennel. Ez így néz ki: fejsze − b= 0. Ez ugyanaz az egyenlet, mint ax=b

Tetszett a lecke?
Csatlakozzon új Vkontakte csoportunkhoz, és kapjon értesítéseket az új leckékről