Методи одержання оцінок, приклади. Як оцінити значення виразу? Методи отримання оцінок, приклади Що таке оцінити значення виразу

короткий змістінших презентацій

«Складання та віднімання алгебраїчних дробів» - Алгебраїчні дроби. 4а?b. Вивчення нової теми Цілі: Згадаймо! Кравченко Г. М. Приклади:

«Ступені з цілим показником» - Феоктистів Ілля Євгенович Москва. 3. Ступінь із цілим показником (5 год) п.43. Викладання алгебри у 8 класі з поглибленим вивченням математики. Запізнене введення ступеня з негативним показником… Знати визначення ступеня з негативним показником. 2.

"Види квадратних рівнянь" - Неповні квадратні рівняння. Питання... Повні квадратні рівняння. Квадратні рівняння. Визначення квадратного рівняння Види квадратних рівняньРозв'язання квадратних рівнянь. Способи розв'язання квадратних рівнянь. Група "Дискримінанта": Миронов А., Мігунов Д., Зайцев Д., Сидоров Е, Іванов Н., Петров Г. Наведене квадратне рівняння. Виконали: учні 8 “в” класу. Метод виділення повного квадрата. Види квадратних рівнянь. Нехай. Графічний метод.

«Числові нерівності 8 клас» - А-с>0. Нерівності. А<0 означает, что а – отрицательное число. >= «Більш чи одно». b> с. Пишуть a>b чи a 0. B-с>0. Числові нерівності. Несуворі. Властивості числових нерівностей. Приклади: Якщо a b, a-5>b-5. А>0 означає, що а – позитивне число;

«Рішення квадратних рівнянь теорема Вієта» - Один із коренів рівняння дорівнює 5. Завдання №1. МОУ «Кисловська ЗОШ». Керівник: учитель математики Баранникова Є. А. Кисловка – 2008 р. (Презентація до уроку алгебри у 8 класі). Знайдіть х2 і к. Роботу виконала: учениця 8 класу Слинька В. Розв'язання квадратних рівнянь із застосуванням теореми Вієта.

У цій статті ми розберемо, по-перше, що розуміють під оцінкою значень виразу чи функції, і, по-друге, як оцінюються значення виразів та функцій. Спочатку введемо необхідні визначення та поняття. Після цього детально опишемо основні методи отримання оцінок. По ходу наводитимемо рішення характерних прикладів.

Що означає оцінити значення виразу?

Нам не вдалося знайти в шкільних підручникахявної відповіді питанням, що розуміється під оцінкою значення висловлювання. Спробуємо самі розібратися з цим, відштовхуючись від тих крупинок інформації з цієї теми, які все ж таки містяться в підручниках та у збірниках завдань для підготовки до ЄДІ та вступу до ВНЗ.

Давайте подивимося, що можна знайти за цікавою для нас темою в книгах. Наведемо кілька цитат:

У перших двох прикладах фігурують оцінки чисел і числових виразів. Там ми маємо справу з оцінкою єдиного значення висловлювання. У інших прикладах фігурують оцінки, які стосуються висловлюванням зі змінними. Кожному значенню змінної з ОДЗ для виразу або з деякої множини X (яка, зрозуміло, є підмножиною області допустимих значень) відповідає своє значення виразу. Тобто, якщо ОДЗ (або безліч X) не складається з однини, то виразу зі змінною відповідає безліч значень виразу. У цьому випадку доводиться говорити про оцінку не одного єдиного значення, а оцінку всіх значень виразу на ОДЗ (або безлічі X). Така оцінка має місце для будь-якого значення виразу, що відповідає деякому значенню змінної з ОДЗ (або множини X).

За міркуваннями ми трохи відволіклися від пошуку відповіді питання, що означає оцінити значення висловлювання. Наведені вище приклади просувають нас у цій справі, і дозволяють прийняти дві наступні визначення:

Визначення

Оцінити значення числового виразу- Це означає вказати числову множину, що містить значення, що оцінюється. При цьому зазначене число буде оцінкою значення числового виразу.

Визначення

Оцінити значення виразу зі змінноюна ОДЗ (або на множині X) – це означає вказати числову множину, що містить усі значення, які приймає вираз на ОДЗ (або на множині X). При цьому зазначена множина буде оцінкою значень виразу.

Неважко переконатися, що для одного виразу можна вказати не єдину оцінку. Наприклад, числове вираз можна оцінити як , або , або , або , і т.д. Те саме стосується і виразів зі змінними. Наприклад, вираз на ОДЗ можна оцінити як , або , або , і т.д. У зв'язку з цим до записаних ухвал варто додати уточнення, що стосується вказаного числової множини, Що являє собою оцінку: оцінка не повинна бути аби який, вона повинна відповідати цілям, для яких її знаходять. Наприклад, для вирішення рівняння підходить оцінка . Але ця оцінка вже не підходить для вирішення рівняння , тут значення виразу треба оцінити інакше, наприклад, так: .

Варто окремо відзначити, що однією з оцінок значень виразу f(x) є область значень відповідної функції y=f(x).

На закінчення цього пункту звернемо увагу на форму запису оцінок. Як правило, оцінки записуються за допомогою нерівностей. Ви, напевно, це й так помітили.

Оцінка значень виразу та оцінка значень функції

За аналогією з оцінкою значень виразу можна говорити про оцінку значень функції. Це виглядає досить природно, особливо якщо при цьому мати на увазі функції, задані формулами, адже оцінка значень виразу f(x) та оцінка значень функції y=f(x) по суті є те саме, що очевидно. Понад те, процес отримання оцінок часто зручно описувати саме термінах оцінки значень функції. Зокрема, у певних випадках отримання оцінки виразу проводиться через знаходження найбільшого та найменшого значень відповідної функції.

Про точність оцінок

У першому пункті цієї статті ми сказали, що для вираження можуть мати місце багато оцінок його значень. Чи є одні з них кращими за інших? Це залежить від розв'язуваного завдання. Пояснимо на прикладі.

Наприклад, використовуючи методи оцінки значень виразів, які описані в наступних пунктах, можна отримати дві оцінки значень виразу : перша - це , друга - це . Трудовитрати отримання цих оцінок істотно відрізняються. Перша їх практично очевидна, а отримання другий оцінки пов'язані з перебуванням найменшого значенняпідкореного виразу та подальшим використанням властивості монотонності функції вилучення квадратного кореня. У деяких випадках з вирішенням поставленого завдання дозволяє впоратися будь-яка оцінка. Наприклад, будь-яка з наших оцінок дозволяє вирішити рівняння . Зрозуміло, що в цьому випадку ми обмежилися б знаходженням першої очевидної оцінки, і, природно, не напружувалися б у знаходженні другої оцінки. Але в інших випадках може виявитися, що одна з оцінок не підходить для вирішення поставленого завдання. Наприклад, перша наша оцінка не дозволяє вирішити рівняння , а оцінка дозволяє це зробити. Тобто в цьому випадку першої очевидної оцінки нам було б недостатньо, і нам довелося б шукати другу оцінку.

Так ми підійшли до питання точності оцінок. Можна детально визначити, що розуміти під точністю оцінки. Але для наших потреб у цьому немає особливої ​​потреби, нам буде достатньо спрощеного уявлення про точність оцінки. Давайте домовимося сприймати точність оцінки як певний аналог точності наближення. Тобто, давайте із двох оцінок значень деякого виразу f(x) вважати більш точною ту, яка «ближча» до області значень функції y=f(x) . У цьому сенсі оцінка є найточнішою з усіх можливих оцінок значень виразу , оскільки вона збігається з областю значень відповідної функції . При цьому зрозуміло, що оцінка точніше оцінки . Іншими словами, оцінка грубіше за оцінку .

Чи є сенс постійно шукати найточніші оцінки? Ні. І річ тут у тому, що для вирішення завдань часто вистачає порівняно грубих оцінок. А головна перевага таких оцінок перед точними оцінками в тому, що їх часто значно простіше отримати.

Основні методи отримання оцінок

Оцінки значень основних елементарних функцій

Оцінка значень функції y = | x |

Крім основних елементарних функційдобре вивченою і корисною в плані отримання оцінок є функція y = | x |. Нам відома область значень цієї функції: ; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. - М.: Просвітництво, 2008. - 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Алгебрата початку математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 2010. - 368 с.: Іл.-ISBN 978-5-09-022771-1.

Математика. Підвищений рівень ЄДІ-2012 (С1, С3). Тематичні тести. Рівняння, нерівності, системи / за редакцією Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова. - Ростов-на-Дону: Легіон-М, 2011. - 112 с.-(Готуємось до ЄДІ) ISBN 978-5-91724-094-7

Збірникзадач з математики для вступників до вузів (з рішеннями) У 2-х кн. Кн. 1. Алгебра: Навч. посібник / В. К. Єгерєв, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемський та ін; за ред. М. І. Сканаві. - 8-е вид., Випр. - М: Вища. шк., 1998. – 528 с.: іл. ISBN 5-06-003524-7

Алгебра
Уроки для 9 класів

УРОК №5

Тема.Почлення додавання та множення нерівностей. Застосування властивостей числових нерівностей для оцінки значень виразів

Мета уроку: домогтися засвоєння учнями змісту поняття «додати нерівності почленно» і «перемножити нерівності почленно», і навіть змісту властивостей числових нерівностей, виражені теоремами про почление додавання і почление множення числових нерівностей і наслідків їх. Виробити вміння відтворювати названі властивості числових нерівностей та використовувати ці властивості для оцінки значень виразів, а також продовжити роботу з відпрацювання навичок доказу нерівностей, порівняння виразів з використанням визначення та властивостей числових нерівностей

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення первинних умінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект №5.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Вчитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх працювати.

II. Перевірка домашнього завдання

Учні виконують тестові завданняз наступною перевіркою.

III. Формулювання мети та завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльностіучнів

Для свідомої участі учнів у формулюванні мети уроку можна запропонувати їм практичні завдання геометричного змісту (наприклад, оцінку периметра і площі прямокутника, довжини суміжних сторін якого оцінено як подвійних нерівностей). Під час бесіди вчитель повинен направити думку учнів на той факт, що хоча завдання схожі на ті, що були вирішені на попередньому уроці (див. урок № 4, оцінити значення виразів), проте на відміну від названих не можуть бути вирішені тими самими засобами, оскільки необхідно оцінити значення виразів, що містять дві (а в перспективі і більше) літери. Таким чином учні усвідомлюють існування суперечності між знаннями, які вони отримали до цього моменту, та необхідністю вирішення певного завдання.

Результатом виконаної роботи є формулювання мети уроку: вивчити питання про такі властивості нерівностей, які можуть бути застосовані у випадках, подібних до описаних у запропонованому завданні учням; навіщо слід чітко сформулювати математичною мовою й у словесному вигляді, та був довести відповідні властивості числових нерівностей і навчитися використовувати в комплексі з вивченими раніше властивостями числових нерівностей на вирішення типових завдань.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1. Порівняйте числа а і b, якщо:

1) а - b = -0,2;

2) а – b = 0,002;

3) а = b – 3;

4) а – b = m 2;

5) а = b - m2.

3. Порівняйте значення виразів а + b і ab якщо а = 3, b = 2. Відповідь обґрунтуйте. Виконуватиметься отримане співвідношення, якщо:

1) а = -3, b = -2;

2) a = -3, b = 2?

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1. Властивість про поєднання додавання числових нерівностей (з доведенням).

2. Властивість про помноження множення числових нерівностей (з доведенням).

3. Наслідок. Властивість про помноження множення числових нерівностей (з доведенням).

4. Приклади застосування доведених властивостей.

Опорний конспект №5

Теорема (властивість) про почлення додавання числових нерівностей
Якщо а b і c d, то a + c b + d.
Доведення .
Теорема (властивість) про помноження множення числових нерівностей
Якщо 0 а b та 0 c d , то ac bd . Доведення . Наслідок. Якщо 0 а b, то an bn, де n – натуральне число.
Доведення
			(за теоремою про помноження множення числових нерівностей).
Приклад 1. Відомо, що 3 а 4; 2 b 3. Оцінимо значення виразу: 1) а + b; 2) а - b; 3) b; 4).
		2) а - b = а + (-b) 2 b 31 ∙ (-1) 2 > -b > -3				(0) 2 b 3
Приклад 2. Доведемо нерівність (m + n) (mn + 1) > 4mn якщо m > 0, n > 0.
Доведення Використавши нерівність (де а ≥ 0, b ≥ 0) та отриману з неї нерівність a + b ≥ 2 (а ≥ 0, b ≥ 0), для m ≥ 0 та n ≥ 0 маємо:
m + n ≥ 2, (1) mn + 1 ≥ 2. (2)
По теоремі про почлення множення нерівностей перемножимо нерівності (1) та (2) почленно. Тоді маємо: (m + n )(mn + 1) ≥ 2∙ 2, (m + n )(mn + 1) ≥ 4, отже, (m + n) (mn + 1) ≥ 4mn де m ≥ 0, n ≥ 0.

Методичний коментар

Для усвідомленого сприйняття нового матеріалу вчитель може на етапі актуалізації опорних знань та вмінь учнів запропонувати рішення усних вправ з відтворенням відповідно визначення порівняння чисел та вивчених на попередніх уроках властивостей числових нерівностей (див. вище), а також розгляд питання про відповідні властивості.

Зазвичай учні добре засвоюють зміст теорем про почлення додавання та множення числових нерівностей, проте досвід роботи свідчить про схильність учнів до певних хибних узагальнень. Тому з метою попередження помилок при формуванні знань учнів з цього питання шляхом демонстрацій прикладів та контрприкладів вчителю слід наголосити на наступних моментах:

· свідоме застосування властивостей числових нерівностей неможливо без уміння записувати ці властивості як математичною мовою, і у словесному вигляді;

· теореми про почлення додавання та множення числових нерівностей виконуються тільки для нерівностей однакових знаків;

· Властивість про почлення додавання числових нерівностей виконується за певної умови (див. вище) для будь-яких чисел, а теорема про почлення множення (у тому вигляді, як це заявлено в опорному конспекті № 5) тільки для позитивних чисел;

· теореми про почлення віднімання та почлення поділ числових нерівностей не вивчаються, тому у випадках, коли необхідно оцінити різницю або частку виразів, ці вирази подаються у вигляді суми або твору відповідно, і далі вже за певних умов використовують властивості про почлення додавання та множення числових нерівностей .

VI. Формування вмінь

Усні вправи

1. Додайте почленно нерівності:

1) а > 2, b > 3;

2) з -2, d4.

Чи можна ті самі нерівності почленно перемножити? Відповідь обґрунтуйте.

2. Перемножте почленно нерівності:

1) а > 2, b > 0,3;

2) з > 2, d > 4.

Чи можна ті самі нерівності додати? Відповідь обґрунтуйте.

3. Визначте та обґрунтуйте, чи є правильним твердження, що якщо 2 а 3, 1 b 2, то:

1) 3 а + b 5;

2) 2 аb 6;

3) 2 – 1 а – b 3 – 2;

Письмові вправи

Для реалізації дидактичної мети уроку слід вирішити вправи такого змісту:

1) додати та перемножити почленно дані числові нерівності;

2) оцінити значення суми, різниці, твору та частки двох виразів за даними оцінками кожного з цих чисел;

3) оцінити значення виразів, що містять дані літери, за даними оцінки кожної з цих літер;

4) довести нерівність з використанням теорем про почлення додавання та множення числових нерівностей та з використанням класичних нерівностей;

5) на повторення властивостей числових нерівностей, вивчених попередніх уроках.

Методичний коментар

Письмові вправи, які пропонуються для вирішення на цьому етапі уроку, повинні сприяти виробленню стійких навичок по-членного складання та множення нерівностей у простих випадках. (При цьому відпрацьовується дуже важливий момент: перевірка відповідності запису нерівностей за умови теореми та правильний запис суми та твору лівої та правої частиннерівностей. Підготовча робота проводиться під час виконання усних вправ. Для кращого засвоєння матеріалу слід вимагати від учнів відтворення вивчених теорем при коментуванні дій.

Після успішного опрацювання учнями теорем у найпростіших випадках можуть поступово переходити до складніших випадків (на оцінювання різниці і частки двох висловів і складніших выражений). На цьому етапі роботи вчителю слід уважно стежити, щоб учні не допустили типових помилок, намагаючись різницю та оцінювати частку за власними хибними правилами

Також на уроці (звичайно, якщо дозволяє час і рівень засвоєння учнями змісту матеріалу) слід приділити увагу вправам застосування вивчених теорем для доказу складніших нерівностей.

VII. Підсумки уроку
Контрольне завдання

Відомо, що 4 а 5; 6 b 8. Знайдіть неправильні нерівності та виправте помилки. Відповідь обґрунтуйте.

1) 10 а + b 13;

2) -4 а - b -1;

3) 24 аb 13;

4) ;

5) ;

7) 100 а2 + b 2169?

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити теореми про почлення додавання та множення числових нерівностей (з доведенням).

2. Виконати вправи репродуктивного характеру, аналогічні до вправ класної роботи.

3. На повторення: вправи застосування визначення порівняння чисел (на доведення нерівностей і порівняння выражений).

Наш «Решитель» містить відповіді до всіх завдань та вправ з « Дидактичних матеріалівз алгебри 8 клас»; докладно розібрані методи та способи їх вирішення. «Решитель» адресований виключно батькам учнів, для перевірки домашніх завдань та допомоги у вирішенні завдань.
За короткий час батьки можуть стати цілком ефективними домашніми репетиторами.

Варіант 1 4

у багаточлен (повторення) 4

З-2. Розкладання на множники (повторення) 5

З-3. Цілі та дробові вирази 6

З-4. Основна властивість дробу. Скорочення дробів. 7

З-5; Скорочення дробів (продовження) 9

з однаковими знаменниками 10

з різними знаменниками 12

знаменниками (продовження) 14

З-9. Розмноження дробів 16

З-10. Розподіл дробів 17

З-11. Усі дії з дробами 18

З-12. Функція 19

З-13. Раціональні та ірраціональні числа 22

З-14. Арифметичний квадратний корінь 23

З-15. Розв'язання рівнянь виду х2=а 27

З-16. Знаходження наближених значень

квадратного кореня 29

З-17. Функція у=д/х 30

Твір коріння 31

Приватне коріння 33

З-20. Квадратний корінь зі ступеня 34

З-21. Винесення множника з-під знака кореня Внесення множника під знак кореня 37

З-23. Рівняння та їх коріння 42

Неповні квадратні рівняння 43

З-25. Розв'язання квадратних рівнянь 45

(продовження) 47

З-27. Теорема Вієта 49

З-28. Розв'язання задач за допомогою

квадратних рівнянь 50

множники. Біквадратні рівняння 51

З-30. Дробні раціональні рівняння 53

З-31. Розв'язання задач за допомогою

раціональних рівнянь 58

З-32. Порівняння чисел (повторення) 59

З-33. Властивості числових нерівностей 60

З-34. Додавання та множення нерівностей 62

З-35. Доказ нерівностей 63

З-36. Оцінка значення виразу 65

З-37. Оцінка похибки наближення 66

З-38. Округлення чисел 67

З-39. Відносна похибка 68

З-40. Перетин та об'єднання множин 68

З-41. Числові проміжки 69

З-42. Вирішення нерівностей 74

З-43. Вирішення нерівностей (продовження) 76

З-44. Вирішення систем нерівностей 78

З-45. Вирішення нерівностей 81

змінну під знаком модуля 83

З-47. Ступінь із цілим показником 87

ступеня з цілим показником 88

З-49. Стандартний виглядчисла 91

З-50. Запис наближених значень 92

З-51. Елементи статистики 93

(повторення) 95

З-53. Визначення квадратичної функції 99

З-54. Функція у = ах2 100

З-55. Графік функції у=ах2+Ьж+з 101

З-56. Рішення квадратних нерівностей 102

З-57. Метод інтервалів 105

Варіант 2 108

З 1. Перетворення цілого виразу

в багаточлен (повторення) 108

З-2. Розкладання на множники (повторення) 109

З-3. Цілі та дробові вирази 110

З-4. Основна властивість дробу.

Скорочення дробів 111

З-5. Скорочення дробів (продовження) 112

З-6. Додавання та віднімання дробів

з однаковими знаменниками 114

З-7. Додавання та віднімання дробів

е різними знаменниками 116

З-8. Складання та віднімання дробів з різними

знаменниками (продовження) 117

З-9. Розмноження дробів, 118

З-10. Розподіл дробів 119

З-11. Усі дії з дробами 120

З-12. Функція 121

З-13. Раціональні та ірраціональні числа 123

З-14. Арифметичний квадратний корінь 124

З-15. Розв'язання рівнянь виду х2-а 127

З-16. Знаходження наближених значень квадратного кореня 129
З-17. Функція у=\/х" 130

З-18. Квадратний корінь із твору.

Твір коріння 131

З-19. Квадратний корінь із дробу.

Приватне коріння 133

З-20. Квадратний корінь зі ступеня 134

З-21. Винесення множника з-під знака кореня

Внесення множника під знак кореня 137

З-22. Перетворення виразів,

З-23. Рівняння та їх коріння 141

З-24. Визначення квадратного рівняння.

Неповні квадратні рівняння 142

З-25. Розв'язання квадратних рівнянь 144

З-26. Розв'язання квадратних рівнянь

(продовження) 146

З-27. Теорема Вієта 148

З-28. Розв'язання задач за допомогою

квадратних рівнянь 149

З-29. Розкладання квадратного тричленана

множники. Біквадратні рівняння 150

З-30. Дробні раціональні рівняння 152

З-31. Розв'язання задач за допомогою

раціональних рівнянь 157

З-32. Порівняння чисел (повторення) 158

З-33. Властивості числових нерівностей 160

З-34. Додавання та множення нерівностей 161

З-35. Доказ нерівностей 162

З-36. Оцінка значення виразу 163

З-37. Оцінка похибки наближення 165

З-38. Округлення чисел 165

З-39. Відносна похибка 166

З-40. Перетин та об'єднання множин 166

З-41. Числові проміжки 167
З-42. Вирішення нерівностей 172

З-43. Вирішення нерівностей (продовження) 174

З-44. Вирішення систем нерівностей 176

З-45. Вирішення нерівностей 179

З-46. Рівняння та нерівності, що містять

змінну під знаком модуля 181

З-47. Ступінь із цілим показником 185

З-48. Перетворення виразів, що містять

ступеня з цілим показником 187

З-49. Стандартний вид числа 189

З-50. Запис наближених значень 190

З-51. Елементи статистики 192

З-52. Концепція функції. Графік функції

(повторення) 193

З-53. Визначення квадратичної функції 197

З-54. Функція у=ах2 199

З-55. Графік функції у = ах24-Ьж + з 200

З-56. Розв'язання квадратних нерівностей 201

З-57. Метод інтервалів 203

Контрольні роботи 206

Варіант 1 206

К-10 (підсумкова) 232

Варіант 2 236

К-2А 238
К-ЗА 242

К-9А (підсумкова) 257

Підсумкове повторення на теми 263

Осіння олімпіада 274

Весняна олімпіада 275

М.: 2014 – 288с. М.: 2012 – 256с.

«Решитель» містить відповіді до всіх завдань та вправ з «Дидактичних матеріалів з алгебри 8 клас»; докладно розібрані методи та способи їх вирішення. «Решитель» адресований виключно батькам учнів, для перевірки домашніх завдань та допомоги у вирішенні завдань. За короткий час батьки можуть стати цілком ефективними домашніми репетиторами.

Формат: pdf (201 4 , 28 8с., Єрін В.К.)

Розмір: 3,5 Мб

Дивитись, скачати: drive.google

Формат: pdf (2012 , 256 с., Морозов А.В.)

Розмір: 2,1 Мб

Дивитись, скачати: посилання видалено (див. примітку!!)

Формат: pdf(2005 , 224с., Федоскін Н.С.)

Розмір: 1,7 Мб

Дивитись, скачати: drive.google

Зміст
Самостійні роботи 4
Варіант 1 4

у багаточлен (повторення) 4
З-2. Розкладання на множники (повторення) 5
З-3. Цілі та дробові вирази 6
З-4. Основна властивість дробу. Скорочення дробів 7
З-5. Скорочення дробів (продовження) 9

з однаковими знаменниками 10

з різними знаменниками 12

знаменниками (продовження) 14
З-9. Розмноження дробів 16
З-10. Розподіл дробів 17
З-11. Усі дії з дробами 18
З-12. Функція 19
З-13. Раціональні та ірраціональні числа 22
З-14. Арифметичний квадратний корінь 23
З-15. Розв'язання рівнянь виду х2=а 27

квадратного кореня 29
З-17. Функція у=\/х 30

Твір коріння 31

Приватне коріння 33
З-20. Квадратний корінь зі ступеня 34

Внесення множника під знак кореня 37

що містять квадратне коріння 39
З-23. Рівняння та їх коріння 42

Неповні квадратні рівняння 43
З-25. Розв'язання квадратних рівнянь 45

(продовження) 47
З-27. Теорема Вієта 49

квадратних рівнянь 50

множники. Біквадратні рівняння 51
З-30. Дробні раціональні рівняння 53

раціональних рівнянь 58
З-32. Порівняння чисел (повторення) 59
З-33. Властивості числових нерівностей 60
З-34. Додавання та множення нерівностей 62
З-35. Доказ нерівностей 63
З-36. Оцінка значення виразу 65
З-37. Оцінка похибки наближення 66
З-38. Округлення чисел 67
З-39. Відносна похибка 68
З-40. Перетин та об'єднання множин 68
З-41. Числові проміжки 69
З-42. Вирішення нерівностей 74
З-43. Вирішення нерівностей (продовження) 76
З-44. Вирішення систем нерівностей 78
З-45. Вирішення нерівностей 81

змінну під знаком модуля 83
З-47. Ступінь із цілим показником 87

ступеня з цілим показником 88
З-49. Стандартний вид числа 91
З-50. Запис наближених значень 92
З-51. Елементи статистики 93

(повторення) 95
З-53. Визначення квадратичної функції 99
З-54. Функція у = ах2 100
З-55. Графік функції у=ах2+Ьж+з 101
З-56. Розв'язання квадратних нерівностей 102
З-57. Метод інтервалів 105
Варіант 2 108
З 1. Перетворення цілого виразу
в багаточлен (повторення) 108
З-2. Розкладання на множники (повторення) 109
З-3. Цілі та дробові вирази ПЗ
З-4. Основна властивість дробу.
Скорочення дробів 111
З-5. Скорочення дробів (продовження) 112
З-6. Додавання та віднімання дробів
з однаковими знаменниками 114
З-7. Додавання та віднімання дробів
з різними знаменниками 116
З-8. Складання та віднімання дробів з різними
знаменниками (продовження) 117
З-9. Розмноження дробів 118
З-10. Розподіл дробів 119
З-11. Усі дії з дробами 120
З-12. Функція 121
З-13. Раціональні та ірраціональні числа 123
З-14. Арифметичний квадратний корінь 124
З-15. Розв'язання рівнянь виду х2=а 127
З-16. Знаходження наближених значень
квадратного кореня 129
З-17. Функція y=Vx 130
З-18. Квадратний корінь із твору.
Твір коріння 131
З-19. Квадратний корінь із дробу.
Приватне коріння 133
З-20. Квадратний корінь зі ступеня 134
З-21. Винесення множника з-під знака кореня
Внесення множника під знак кореня 137
З-22. Перетворення виразів,
містять квадратне коріння 138
З-23. Рівняння та їх коріння 141
З-24. Визначення квадратного рівняння.
Неповні квадратні рівняння 142
З-25. Розв'язання квадратних рівнянь 144
З-26. Розв'язання квадратних рівнянь
(продовження) 146
З-27. Теорема Вієта 148
З-28. Розв'язання задач за допомогою
квадратних рівнянь 149
З-29. Розкладання квадратного тричлена на
множники. Біквадратні рівняння 150
З-30. Дробні раціональні рівняння 152
З-31. Розв'язання задач за допомогою
раціональних рівнянь 157
З-32. Порівняння чисел (повторення) 158
З-33. Властивості числових нерівностей 160
З-34. Додавання та множення нерівностей 161
З-35. Доказ нерівностей 162
З-36. Оцінка значення виразу 163
З-37. Оцінка похибки наближення 165
З-38. Округлення чисел 165
З-39. Відносна похибка 166
З-40. Перетин та об'єднання множин 166
З-41. Числові проміжки 167
З-42. Вирішення нерівностей 172
З-43. Вирішення нерівностей (продовження) 174
З-44. Вирішення систем нерівностей 176
З-45. Вирішення нерівностей 179
З-46. Рівняння та нерівності, що містять
змінну під знаком модуля 181
З-47. Ступінь із цілим показником 185
З-48. Перетворення виразів, що містять
ступеня з цілим показником 187
З-49. Стандартний вид числа 189
З-50. Запис наближених значень 190
З-51. Елементи статистики 192
З-52. Концепція функції. Графік функції
(повторення) 193
З-53. Визначення квадратичної функції 197
З-54. Функція у=ах2 199
З-55. Графік функції y=ax2+txr+c 200
З-56. Розв'язання квадратних нерівностей 201
З-57. Метод інтервалів 203
Контрольні роботи 206
Варіант 1 206
К-1 206
К-2 208
К-3 212
К-4 215
К-5 218
К-6 221
К-7 223
К-8 226
К-9 229
К-10 (підсумкова) 232
Варіант 2 236
К-1А 236
К-2А 238
К-ЗА 242
К-4А 243
К-5А 246
К-6А 249
К-7А ​​252
К-8А 255
К-9А (підсумкова) 257
Підсумкове повторення на теми 263
Осіння олімпіада 274
Весняна олімпіада 275