Формулирайте 3 твърдения за Слънчевата система. Обобщени закони на Кеплер. Движение в гравитационно поле

Планетите се движат около Слънцето по удължени елиптични орбити, като Слънцето е в една от двете фокусни точки на елипсата.

Отсечката по права линия, свързваща Слънцето и планетата, отрязва равни области през равни интервали от време.

Квадратите на орбиталните периоди на планетите около Слънцето са свързани като кубове на големите полуоси на техните орбити.

Йоханес Кеплер имаше чувство за красота. През целия си възрастен живот той се опитва да докаже, че Слънчевата система е вид мистично произведение на изкуството. Първо се опита да свърже нейното устройство с пет правилни полиедри класическа древногръцка геометрия. (Правилният полиедър е триизмерна фигура, всички лица на която са равни една на друга правилни многоъгълници.) По времето на Кеплер са били известни шест планети, които е трябвало да бъдат поставени върху въртящи се "кристални сфери". Кеплер твърди, че тези сфери са подредени по такъв начин, че правилните полиедри да пасват точно между съседни сфери. Между двете външни сфери – Сатурн и Юпитер – той постави вписан във външната сфера куб, в който от своя страна е вписана вътрешната сфера; между сферите на Юпитер и Марс - тетраедър (правилен тетраедър) и т.н. Шест сфери на планетите, пет правилни многогранника, вписани между тях - изглежда, самото съвършенство?

Уви, след като сравни своя модел с наблюдаваните орбити на планетите, Кеплер беше принуден да признае, че действителното поведение на небесните тела не се вписва в хармоничната рамка, очертана от него. Както удачно отбеляза съвременният британски биолог Дж. Б. С. Холдейн, „идеята за Вселената като геометрично съвършено произведение на изкуството се оказа още една красива хипотеза, унищожена от грозни факти“. Единственият оцелял резултат от този младежки импулс на Кеплер е моделът на Слънчевата система, изработен от самия учен и подарен на неговия покровител херцог Фредерик фон Вюртембург. В този красиво изпълнен метален артефакт всички орбитални сфери на планетите и правилните многогранници, вписани в тях, са кухи съдове, които не комуникират помежду си, които по празници е трябвало да се пълнят с различни напитки, за да почерпят гостите на херцога.

Едва след като се премества в Прага и става асистент на известния датски астроном Тихо Брахе (1546-1601), Кеплер се натъква на идеи, които наистина увековечават името му в аналите на науката. Тихо Брахе е събирал данни през целия си живот астрономически наблюденияи натрупаха огромни количества информация за движението на планетите. След смъртта му те преминаха към Кеплер. Тези записи, между другото, имаха голяма търговска стойност по това време, тъй като можеха да се използват за съставяне на актуализирани астрологични хороскопи (днес учените предпочитат да мълчат за този раздел от ранната астрономия).

Обработвайки резултатите от наблюденията на Тихо Брахе, Кеплер се сблъска с проблем, който дори при съвременните компютри може да изглежда неразрешим за някого и Кеплер нямаше друг избор, освен да извърши всички изчисления ръчно. Разбира се, както повечето астрономи от своето време, Кеплер вече е бил запознат хелиоцентрична системаКоперник ( см.Принципът на Коперник) и знае, че Земята се върти около Слънцето, както се вижда от горния модел на Слънчевата система. Но как точно се въртят Земята и другите планети? Нека си представим проблема по следния начин: вие сте на планета, която, първо, се върти около оста си, и второ, се върти около Слънцето по непозната за вас орбита. Поглеждайки в небето, виждаме други планети, които също се движат по непознати за нас орбити. Нашата задача е да определим от данните от наблюденията, направени върху нашето въртене около оста си около Слънцето Глобусът, геометрията на орбитите и скоростите на други планети. Това в крайна сметка успя да направи Кеплер, след което въз основа на получените резултати изведе своите три закона!

Първи законописва геометрията на траекториите на планетарните орбити. Може би си спомняте от училищен курсгеометрия, че елипсата е набор от точки в равнината, сумата от разстоянията, от които до две фиксирани точки - триковее равно на константа. Ако това е твърде сложно за вас, има друго определение: представете си разрез от страничната повърхност на конус с равнина под ъгъл спрямо основата му, която не минава през основата - това също е елипса. Първият закон на Кеплер просто гласи, че орбитите на планетите са елипси, в един от фокусите на които се намира Слънцето. Ексцентричности(степен на удължаване) на орбитите и тяхното отстраняване от Слънцето в перихелий(най-близката точка до Слънцето) и апогелия(най-отдалечената точка) всички планети са различни, но всички елипсовидни орбити имат едно общо нещо – Слънцето се намира в един от двата фокуса на елипсата. След като анализира данните от наблюденията на Тихо Брахе, Кеплер стига до заключението, че орбитите на планетите са набор от вложени елипси. Преди него това просто не е хрумвало на никой от астрономите.

Историческото значение на първия закон на Кеплер не може да бъде надценено. Преди него астрономите вярваха, че планетите се движат изключително по кръгови орбити и ако това не се вписва в обхвата на наблюденията, основното кръгово движение се допълва от малки кръгове, които планетите описват около точките на основната кръгова орбита. Това беше, бих казал, преди всичко философска позиция, един вид неоспорим факт, неподлежащ на съмнение и проверка. Философите твърдят, че небесната структура, за разлика от земната, е съвършена в своята хармония и тъй като най-съвършената от геометрични фигуриса кръг и сфера, което означава, че планетите се движат в кръг (още повече, че и днес трябва да разсейвам тази заблуда сред моите ученици отново и отново). Основното е, че след като получи достъп до обширните данни от наблюдения на Тихо Брахе, Йоханес Кеплер успя да прекрачи този философски предразсъдък, виждайки, че той не отговаря на фактите - точно както Коперник се осмели да отстрани Земята от центъра на Вселената, изправена пред аргументи, които противоречат на упоритите геоцентрични идеи, които също се състоят в „неправилното поведение“ на планетите в техните орбити.

Втори законописва промяната в скоростта на планетите около слънцето. Във формална форма вече дадох нейната формулировка, но за да я разбера по-добре физическо значениеспомни си детството си. Вероятно някога сте се въртели около стълб на детската площадка, хващайки го с ръце. Всъщност планетите се въртят около слънцето по подобен начин. Колкото по-далече от Слънцето елиптичната орбита отвежда планетата, толкова по-бавно е движението, колкото по-близо до Слънцето, толкова по-бързо се движи планетата. Сега си представете двойка линейни сегменти, свързващи двете позиции на планетата в орбита с фокуса на елипсата, съдържаща Слънцето. Заедно с отсечката на елипсата, лежаща между тях, те образуват сектор, чиято площ е точно същата „област, която отрязва линейният сегмент“. Това казва вторият закон. Как по-близка планетакъм Слънцето, толкова по-къси са сегментите. Но в този случай, за да може секторът да покрие еднаква площ за еднакво време, планетата трябва да измине по-голямо разстояние в орбита, което означава, че скоростта й на движение се увеличава.

В първите два закона говорим сиза спецификата на орбиталните траектории на една планета. трети законКеплер ви позволява да сравнявате орбитите на планетите една с друга. В него се казва, че колкото по-далече от Слънцето е една планета, толкова по-дълго е необходимо, за да се направи пълна революция в орбита и съответно толкова по-дълго трае „годината“ на тази планета. Днес знаем, че това се дължи на два фактора. Първо, колкото по-далеч е планетата от Слънцето, толкова по-дълъг е периметърът на нейната орбита. Второ, с увеличаване на разстоянието от Слънцето се увеличава скорост на линиятапланетарни движения.

В своите закони Кеплер просто излага фактите, след като е проучил и обобщил резултатите от наблюденията. Ако го бяхте попитали какво е причинило елиптичността на орбитите или равенството на площите на секторите, той нямаше да ви отговори. Това просто следваше от неговия анализ. Ако го бяхте попитали за орбиталното движение на планетите в други звездни системи, той също нямаше да може да ви отговори. Той ще трябва да започне отначало - да натрупа данни от наблюдения, след това да ги анализира и да се опита да идентифицира модели. Тоест, той просто не би имал основание да вярва, че друга планетарна система се подчинява на същите закони като Слънчевата система.

Един от най-големите триумфи класическа механикаНютон се крие именно във факта, че дава фундаментално обосновка на законите на Кеплер и утвърждава тяхната универсалност. Оказва се, че законите на Кеплер могат да бъдат извлечени от законите на Нютон за механиката, закона на Нютон за всемирното притегляне и закона за запазване на ъгловия импулс чрез строги математически изчисления. И ако е така, можем да сме сигурни, че законите на Кеплер са в по равноприложимо за всяка планетарна система навсякъде във Вселената. Астрономите, които търсят нови планетни системи в космоса (а вече има доста от тях) от време на време, разбира се, използват уравненията на Кеплер за изчисляване на параметрите на орбитите на далечни планети, въпреки че не могат да ги наблюдават директно.

Третият закон на Кеплер е играл и все още играе важна роля в съвременната космология. Когато наблюдават далечни галактики, астрофизиците откриват слаби сигнали, излъчвани от водородни атоми, обикалящи много далеч от галактическия център - много по-далеч от звездите обикновено. Използвайки ефекта на Доплер в спектъра на това излъчване, учените определят скоростите на въртене на водородната периферия на галактическия диск и използвайки ги, ъгловите скорости на галактиките като цяло ( см.също тъмна материя). Радвам се, че работите на учения, който твърдо ни постави на пътя правилно разбиранеустройствата на нашата слънчева система и днес, векове след смъртта му, играят толкова важна роля в изучаването на структурата на огромната вселена.

Между сферите на Марс и Земята е додекаедър (додекаедър); между сферите на Земята и Венера - икосаедърът (двадесетстранен); между сферите на Венера и Меркурий е октаедър (октаедър). Получената конструкция е представена от Кеплер в част от подробен триизмерен чертеж (виж фигурата) в първата му монография Космографската мистерия (Mysteria Cosmographica, 1596).— Бележка на преводача.

И. Кеплер се опитва цял живот да докаже, че нашата слънчева система е някакво мистично изкуство. Първоначално той се опита да докаже, че структурата на системата е подобна на правилните полиедри от древногръцката геометрия. По времето на Кеплер се знае, че съществуват шест планети. Смятало се, че са поставени в кристални сфери. Според учения тези сфери са били разположени по такъв начин, че полиедрите с правилна форма да пасват точно между съседните сфери. Между Юпитер и Сатурн има куб, вписан във външната среда, в която е вписана сферата. Между Марс и Юпитер има тетраедър и т.н. След много години наблюдение на небесни обекти се появиха законите на Кеплер и той опроверга своята теория за полиедрите.

Законите

Геоцентричната система на Птолемей на света е заменена от системата от хелиоцентричен тип, създадена от Коперник. Още по-късно Кеплер разкрива около Слънцето.

След много години наблюдения на планетите се появяват трите закона на Кеплер. Нека ги разгледаме в статията.

Първо

Според първия закон на Кеплер всички планети в нашата система се движат по затворена крива, наречена елипса. Нашето светило се намира в един от фокусите на елипсата. Има две от тях: това са две точки вътре в кривата, сумата от разстоянията, от която до която и да е точка на елипсата е постоянна. След продължителни наблюдения ученият успял да разкрие, че орбитите на всички планети в нашата система са разположени почти в една и съща равнина. Някои небесни тела се движат по елиптични орбити, близки до кръг. И само Плутон и Марс се движат в по-издължени орбити. Въз основа на това първият закон на Кеплер е наречен закон за елипсите.

Втори закон

Изследването на движението на телата позволява на учения да установи, че то е повече през периода, когато е по-близо до Слънцето, и по-малко, когато е на максималното му разстояние от Слънцето (това са точките на перихелия и афелия).

Вторият закон на Кеплер казва следното: всяка планета се движи в равнина, минаваща през центъра на нашата звезда. В същото време радиус-векторът, свързващ Слънцето и изследваната планета, описва равни площи.

По този начин става ясно, че телата се движат около жълтото джудже неравномерно и имат максимална скорост в перихелий и минимална скорост в афелия. На практика това се вижда от движението на Земята. Всяка година в началото на януари нашата планета, по време на преминаването през перихелий, се движи по-бързо. Поради това движението на Слънцето по еклиптиката е по-бързо, отколкото през друго време на годината. В началото на юли Земята преминава през афелий, което кара Слънцето да се движи по-бавно по еклиптиката.

трети закон

Според третия закон на Кеплер се установява връзка между периода на въртене на планетите около звездата и средното й разстояние от нея. Ученият приложи този закон към всички планети от нашата система.

Обяснение на законите

Законите на Кеплер могат да бъдат обяснени само след откриването на закона за гравитацията от Нютон. Според него физическите обекти участват в гравитационно взаимодействие. Той има универсална универсалност, която засяга всички обекти от материалния тип и физически полета. Според Нютон две неподвижни тела действат взаимно едно с друго със сила, пропорционална на произведението на теглото им и обратно пропорционална на квадрата на пролуките между тях.

Възмутено движение

Движението на телата на нашата слънчева система се контролира от силата на гравитацията на жълтото джудже. Ако телата бяха привлечени само от силата на Слънцето, тогава планетите щяха да се движат около него точно според законите на движението на Кеплер. Този видпреместванията се наричат ​​невъзмутени или Кеплерови.

Всъщност всички обекти от нашата система са привлечени не само от нашето светило, но и един от друг. Следователно нито едно от телата не може да се движи точно по елипса, хипербола или окръжност. Ако тялото се отклони по време на движението от законите на Кеплер, тогава това се нарича смущение, а самото движение се нарича смущаващо. Това се счита за реално.

Орбитите на небесните тела не са неподвижни елипси. При привличане от други тела има промяна в елипсата на орбитата.

Приносът на И. Нютон

Исак Нютон успя да изведе от законите на Кеплер за движението на планетите закона земно притегляне. Нютон използва универсалната гравитация за решаване на космическо-механични проблеми.

След Исак напредъкът в областта на небесната механика се състоеше в развитието на математическата наука, прилагана за решаване на уравненията, изразяващи законите на Нютон. Този учен успя да установи, че гравитацията на планетата се определя от разстоянието до нея и масата, но такива показатели като температура и състав нямат ефект.

В неговия научна работаНютон показа, че третият закон на Кеплериан не е напълно точен. Той показа, че при изчисляване е важно да се вземе предвид масата на планетата, тъй като движението и теглото на планетите са свързани. Тази хармонична комбинация показва връзката между законите на Кеплер и закона за гравитацията на Нютон.

астродинамика

Прилагането на законите на Нютон и Кеплер стана основа за възникването на астродинамиката. Това е клон на небесната механика, който изучава движението на изкуствено създадени космически тела, а именно: спътници, междупланетни станции и различни кораби.

Астродинамиката се занимава с изчисления на орбитите на космическите кораби, а също така определя какви параметри да се изстреля, коя орбита да се изстреля, какви маневри трябва да се извършат и планиране на гравитационния ефект върху корабите. И това съвсем не са всички практически задачи, които се поставят пред астродинамиката. Всички получени резултати се използват при изпълнението на различни космически мисии.

Небесната механика е тясно свързана с астродинамиката, която изучава движението на естествените космически тела под въздействието на гравитацията.

Орбити

Под орбита се разбира траекторията на точка в дадено пространство. В небесната механика е общоприето, че траекторията на едно тяло в гравитационното поле на друго тяло има много по-голяма маса. В правоъгълна координатна система траекторията може да бъде под формата на конично сечение, т.е. да бъдат представени с парабола, елипса, кръг, хипербола. В този случай фокусът ще съвпадне с центъра на системата.

Дълго време се смяташе, че орбитите трябва да са кръгли. Дълго време учените се опитваха да изберат точно кръговата версия на движението, но не успяха. И само Кеплер успя да обясни, че планетите не се движат по кръгова орбита, а по удължена орбита. Това направи възможно откриването на три закона, които биха могли да опишат движението на небесните тела в орбита. Кеплер открива следните елементи на орбитата: формата на орбитата, нейния наклон, положението на равнината на орбитата на тялото в пространството, размера на орбитата и времето. Всички тези елементи определят орбита, независимо от нейната форма. При изчисляване на осн координатна равнинаможе да бъде равнината на еклиптиката, галактиката, планетарния екватор и т.н.

Многобройни проучвания показват, че геометрична формаорбитите могат да бъдат елипсовидни и заоблени. Има разделение на затворени и отворени. Според ъгъла на наклон на орбитата спрямо равнината на земния екватор орбитите могат да бъдат полярни, наклонени и екваториални.

Според периода на въртене около тялото орбитите могат да бъдат синхронни или слънчево-синхронни, синхронно-дневни, квазисинхронни.

Както каза Кеплер, всички тела имат определена скорост на движение, т.е. орбитална скорост. Тя може да бъде постоянна по време на цялата циркулация около тялото или да се променя.

Всяка планета се движи по елипса със Слънцето в един от фокусите му. Законът е открит от Нютон също през 17 век (ясно е, че въз основа на законите на Кеплер). Вторият закон на Кеплер е еквивалентен на закона за запазване на ъгловия импулс. За разлика от първите два, третият закон на Кеплер се прилага само за елиптични орбити. В началото на 17 век немският астроном Й. Кеплер, базирайки се на системата на Коперник, формулира три емпирични закона за движението на планетите от Слънчевата система.

В рамките на класическата механика те се извеждат от решението на задачата за две тела чрез преминаване до предела → 0, където са масите на планетата и съответно на Слънцето. Получихме уравнението на конично сечение с ексцентриситет и начало на координатната система в един от фокусите. Така от втория закон на Кеплер следва, че планетата се движи около Слънцето неравномерно, като има по-голяма линейна скорост в перихелий, отколкото в афелия.

3.1. Движение в гравитационно поле

Нютон установи, че гравитационното привличане на планета с определена маса зависи само от разстоянието й, а не от други свойства като състав или температура. Друга формулировка на този закон: секторната скорост на планетата е постоянна. Съвременната формулировка на първия закон се допълва, както следва: при невъзмутимо движение орбитата на движещо се тяло е крива от втори ред - елипса, парабола или хипербола.

Въпреки факта, че законите на Кеплер са най-важната стъпка в разбирането на движението на планетите, те все още остават само емпирични правила, извлечени от астрономически наблюдения.

За кръгови орбити първият и вторият закон на Кеплер се изпълняват автоматично, а третият закон гласи, че T2 ~ R3, където T е периодът на въртене, R е радиусът на орбитата. В съответствие със закона за запазване на енергията, общата енергия на тялото в гравитационно поле остава непроменена. За E = E1 rmax. В този случай небесното тяло се движи по елиптична орбита (планети от Слънчевата система, комети).

Законите на Кеплер се прилагат не само за движението на планетите и другите небесни тела в Слънчевата система, но и за движението изкуствени спътнициЗемята и космическите кораби. Създаден от Йоханес Кеплер в началото на 17 век като обобщение на данните от наблюденията на Тихо Брахе. Освен това Кеплер изучава движението на Марс с особено внимание. Нека разгледаме по-отблизо законите.

При c=0 и e=0 елипсата се превръща в кръг. Този закон, както и първите два, е приложим не само за движението на планетите, но и за движението както на техните естествени, така и на изкуствени спътници. Кеплер не се дава, защото не е било необходимо. Формулата на Кеплер е формулирана от Нютон по следния начин: квадратите на звездните периоди на планетите, умножени по сумата от масите на Слънцето и планетата, са свързани като кубове на големите полуоси на орбитите на планетите.

17-ти век И. Кеплер (1571-1630) въз основа на дългогодишни наблюдения на Т. Брахе (1546-1601). Законът за площите.) 3. Квадратите на периодите на произволни две планети са свързани като кубчета на средните им разстояния от Слънцето. Накрая той предположи, че орбитата на Марс е елиптична и видя, че тази крива описва добре наблюденията, ако Слънцето е поставено в един от фокусите на елипсата. След това Кеплер предположи (въпреки че не можеше да го докаже точно), че всички планети се движат в елипси със слънцето във фокуса им.

ЗАКОН ЗА ПЛОЩАТА НА КЕПЛЕР. 1-ви закон: всяка планета се движи в елиптична посока. Когато камък падне на Земята, той се подчинява на закона за всемирното притегляне. Тази сила се прилага към едно от взаимодействащите тела и се насочва към другото. По-специално, И. Нютон стигна до такова заключение в мисленото си хвърляне на камъни от висока планина.Така че Слънцето огъва движението на планетите, предотвратявайки тяхното разпръскване във всички посоки.

Кеплер, въз основа на резултатите от старателните и дългосрочни наблюдения на Тихо Брахе на планетата Марс, успя да определи формата на нейната орбита. Действието на Земята и Слънцето върху Луната прави законите на Кеплер напълно неподходящи за изчисляване на нейната орбита.

Формата на елипсата и степента на нейното сходство с окръжност се характеризират със съотношението, където е разстоянието от центъра на елипсата до нейния фокус (половината от междуфокалното разстояние), е голямата полуос. По този начин може да се твърди, че и следователно скоростта на почистване на площта, пропорционална на нея, е константа. Слънца, и и са дължините на големите полуоси на техните орбити. Твърдението е вярно и за сателитите.

Нека изчислим площта на елипсата, по която се движи планетата. В този случай взаимодействието между телата M1 и M2 не се взема предвид. Разликата ще бъде само в линейните размери на орбитите (ако телата имат различни маси). В света на атомите и елементарни частицигравитационните сили са незначителни в сравнение с други видове силови взаимодействия между частиците.

Глава 3

Гравитацията контролира движението на планетите в Слънчевата система. Без него планетите, които съставляват Слънчевата система, биха се разпръснали в различни посоки и биха се изгубили в необятните простори на световното пространство. От гледна точка на земния наблюдател, планетите се движат по много сложни траектории (фиг. 1.24.1). Геоцентричната система на Птолемей е продължила повече от 14 века и е заменена от хелиоцентричната система на Коперник едва в средата на 16 век.

На фиг. 1.24.2 показва елиптичната орбита на планетата, чиято маса е много по-малка от масата на Слънцето. Почти всички планети от Слънчевата система (с изключение на Плутон) се движат по орбити, близки до кръгови. Кръгови и елипсовидни орбити.

Нютон е първият, който предполага, че гравитационните сили определят не само движението на планетите от Слънчевата система; те действат между всякакви тела на Вселената. По-специално, вече беше казано, че силата на гравитацията, действаща върху тела в близост до земната повърхност, е от гравитационен характер. Потенциалната енергия на тяло с маса m, разположено на разстояние r от неподвижно тяло с маса M, е равна на работата на гравитационните сили при преместване на масата m от дадена точка до безкрайност.

В предела при Δri → 0 тази сума се превръща в интеграл. Общата енергия може да бъде положителна и отрицателна, а също и равна на нула. Знакът на пълната енергия определя естеството на движението на небесно тяло (фиг. 1.24.6). Ако скоростта на космическия кораб е υ1 = 7,9 103 m/s и е насочена успоредно на земната повърхност, тогава космическият кораб ще се движи по кръгова орбита на малка височина над Земята.

Така първият закон на Кеплер следва директно от закона на Нютон за всемирното притегляне и втория закон на Нютон. 3. Накрая, Кеплер отбеляза и третия закон за движението на планетите. Слънцето, и и са масите на планетите. По отношение на нашата Слънчева система две понятия са свързани с този закон: перихелий - точката на орбитата, която е най-близо до Слънцето, и афелият - най-отдалечената точка на орбитата.

Законите на Кеплер

В света на атомите и елементарните частици гравитационните сили са незначителни в сравнение с други видове силови взаимодействия между частиците. Много е трудно да се наблюдава гравитационното взаимодействие между различните тела около нас, дори ако масите им са много хиляди килограми. Въпреки това, гравитацията е тази, която определя поведението на "големите" обекти, като планети, комети и звезди, гравитацията е тази, която ни държи всички на Земята.

Гравитацията контролира движението на планетите в Слънчевата система. Без него планетите, които съставляват Слънчевата система, биха се разпръснали в различни посоки и биха се изгубили в необятните простори на световното пространство.

Моделите на планетарното движение привличат вниманието на хората от дълго време. Изучаването на движението на планетите и структурата на Слънчевата система довежда до създаването на теорията на гравитацията – откриването на закона за всемирното привличане.

От гледна точка на земния наблюдател, планетите се движат по много сложни траектории (фиг. 1.24.1). Направен е първият опит за създаване на модел на Вселената Птолемей(~ 140). В центъра на Вселената Птолемей постави Земята, около която планетите и звездите се движеха в големи и малки кръгове, като в хоровод.

Геоцентрична система Птолемей просъществува повече от 14 века и е заменен едва в средата на 16 век. хелиоцентриченсистемата на Коперник. В системата на Коперник траекториите на планетите се оказаха по-прости. немски астроном И. Кеплерв началото на 17 век, на базата на системата на Коперник, той формулира три емпирични закона за движението на планетите от Слънчевата система. Кеплер използва резултатите от наблюденията на движението на планетите от датския астроном Т. Брахе.

Първият закон на Кеплер (1609):

Всички планети се движат по елиптични орбити със Слънцето в един от фокусите.

На фиг. 1.24.2 показва елиптичната орбита на планетата, чиято маса е много по-малка от масата на Слънцето. Слънцето е в един от фокусите на елипсата. Точка, която е най-близо до слънцето Птраекторията се нарича перихелий, точка А, най-отдалечен от Слънцето афелий. Разстоянието между афелия и перихелия е главната ос на елипсата.

Почти всички планети от Слънчевата система (с изключение на Плутон) се движат по орбити, близки до кръгови.

Вторият закон на Кеплер (1609):

Радиус векторът на планетата описва равни площи през равни интервали от време.

Ориз. 1.24.3 илюстрира 2-ри закон на Кеплер.

Вторият закон на Кеплер е еквивалентен на закон за запазване на ъгловия импулс. На фиг. 1.24.3 показва вектора на инерцията на тялото и неговите компоненти и Площта, изметната от радиус вектора за кратко време Δ т, приблизително равна на площта на триъгълник с основа rΔθ и височина r:

Тук е ъгловата скорост ( виж §1.6).

ъглов импулс Лпо абсолютна стойност е равно на произведението на модулите на векторите и

Следователно, ако според втория закон на Кеплер, тогава ъгловият импулс Лостава същата по време на движение.

По-специално, тъй като скоростите на планетата в перихелий и афел са насочени перпендикулярно на радиус векторите и от закона за запазване на ъгловия импулс следва:

Третият закон на Кеплер е валиден за всички планети в Слънчевата система с точност, по-добра от 1%.

На фиг. 1.24.4 показва две орбити, едната от които е кръгла с радиус Р, а другият е елипсовиден с голяма полуос а. Третият закон гласи, че ако Р = а, то периодите на въртене на телата в тези орбити са еднакви.

Въпреки факта, че законите на Кеплер са най-важната стъпка в разбирането на движението на планетите, те все още остават само емпирични правила, извлечени от астрономически наблюдения. Законите на Кеплер се нуждаеха от теоретична обосновка. Направена е решителна стъпка в тази посока Исак Нютонкойто открива през 1682г закон на гравитацията:

където Ми мса масите на слънцето и планетата, r- разстоянието между тях, г\u003d 6,67 10 -11 N m 2 / kg 2 - гравитационна константа. Нютон е първият, който предполага, че гравитационните сили определят не само движението на планетите от Слънчевата система; те действат между всякакви тела на Вселената. По-специално, вече беше казано, че силата на гравитацията, действаща върху тела в близост до земната повърхност, е от гравитационен характер.

За кръгови орбити първият и вторият закон на Кеплер са валидни автоматично, а третият закон гласи това т 2 ~ Р 3 , където T е периодът на циркулация, Ре радиусът на орбитата. От тук е възможно да се получи зависимостта на гравитационната сила от разстоянието. Когато планетата се движи по кръгова траектория, върху нея действа сила, която възниква поради гравитационното взаимодействие на планетата и Слънцето:

Ако т 2 ~ Р 3, тогава

Свойството за запазване на гравитационните сили ( виж §1.10) ни позволява да въведем понятието потенциална енергия . За силите на универсалната гравитация е удобно да се брои потенциалната енергия от безкрайно далечна точка.

Потенциална енергия на тяло с масам , намиращ се на разстояниеr от неподвижно тяло с масаМ , е равно на работата на гравитационните сили при преместване на масатам от дадена точка до безкрайност.

Математическата процедура за изчисляване на потенциалната енергия на тяло в гравитационно поле се състои в сумиране на работата, извършена при малки премествания (фиг. 1.24.5).

Законът за универсалното притегляне се прилага не само за изрязаните маси, но и за сферично симетрични тела. Работата на гравитационната сила при малко преместване е:

В границата при Δ r и→ 0, тази сума влиза в интеграл. В резултат на изчисления за потенциалната енергия се получава изразът

В съответствие със закона за запазване на енергията, общата енергия на тялото в гравитационно поле остава непроменена.

Общата енергия може да бъде положителна и отрицателна, а също и равна на нула. Знакът на пълната енергия определя естеството на движението на небесно тяло (фиг. 1.24.6).

В Е = Е 1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > rмакс. В този случай небесното тяло се движи елиптична орбита(планети от Слънчевата система, комети).

В Е = Е 2 = 0 тялото може да се движи до безкрайност. Скоростта на тялото в безкрайността ще бъде нула. Тялото се движи параболична траектория.

В Е = Е 3 > 0 се извършва движението хиперболична траектория. Тялото се отдалечава до безкрайност, като има запас от кинетична енергия.

Законите на Кеплер се отнасят не само за движението на планети и други небесни тела в Слънчевата система, но и за движението на изкуствени земни спътници и космически кораби. В този случай центърът на тежестта е Земята.

Първа космическа скорост е скоростта на спътника в кръгова орбита близо до повърхността на Земята.

оттук

втора космическа скорост наречена минимална скорост, която трябва да бъде отчетена космически корабна повърхността на Земята, така че, преодолявайки гравитацията на Земята, тя се превръща в изкуствен спътник на Слънцето (изкуствена планета). В този случай корабът ще се отдалечи от Земята по параболична траектория.

оттук

Ориз. 1.24.7 илюстрира космическите скорости. Ако скоростта на космическия кораб е равна на υ 1 = 7,9·10 3 m/s и е насочена успоредно на земната повърхност, тогава космическият кораб ще се движи по кръгова орбита на малка височина над Земята. При начални скорости над υ 1, но по-малки от υ 2 = 11,2·10 3 m/s, орбитата на кораба ще бъде елиптична. При начална скорост υ 2 корабът ще се движи по парабола, а с още по-висока начална скорост по хипербола.

Той имаше изключителни математически способности. В началото на 17 век, в резултат на многогодишни наблюдения на движението на планетите, както и въз основа на анализ на астрономическите наблюдения на Тихо Брахе, Кеплер открива три закона, които по-късно са наречени на него.

Първият закон на Кеплер(закон за елипсите). Всяка планета се движи по елипса със Слънцето в един от фокусите му.

Вторият закон на Кеплер(закон равни площи). Всяка планета се движи в равнина, минаваща през центъра на Слънцето, и за равни периоди от време радиус-векторът, свързващ Слънцето и планетата, покрива равни площи.

Третият закон на Кеплер(хармоничен закон). Квадратите на орбиталните периоди на планетите около Слънцето са пропорционални на кубовете на големите полуоси на техните елипсовидни орбити.

Нека разгледаме по-подробно всеки един от законите.

Първият закон на Кеплер (законът на елипсите)

Всяка планета в Слънчевата система се върти около елипса със слънцето в един от фокусите му.

Първият закон описва геометрията на траекториите на планетарните орбити. Представете си разрез на страничната повърхност на конус от равнина под ъгъл спрямо основата му, която не минава през основата. Получената форма ще бъде елипса. Формата на елипсата и степента на нейното сходство с окръжност се характеризират със съотношението e = c / a, където c е разстоянието от центъра на елипсата до нейния фокус (фокусно разстояние), a е голямото полу ос. Стойността на e се нарича ексцентриситет на елипсата. При c = 0 и следователно e = 0, елипсата се превръща в кръг.

Точката P от траекторията, която е най-близо до Слънцето, се нарича перихелий. Точка А, най-отдалечената от Слънцето, е афелият. Разстоянието между афелия и перихелия е главната ос на елиптичната орбита. Разстоянието между афелий A и перихелий P е главната ос на елиптичната орбита. Половината от дължината на голямата ос, полуос а, е средното разстояние от планетата до Слънцето. Средното разстояние от Земята до Слънцето се нарича астрономическа единица (AU) и е равно на 150 милиона km.

Вторият закон на Кеплер (закон за областите)

Всяка планета се движи в равнина, минаваща през центъра на Слънцето, и за равни периоди от време радиус векторът, свързващ Слънцето и планетата, заема равни площи.

Вторият закон описва промяната в скоростта на планетите около Слънцето. Две концепции са свързани с този закон: перихелий - точката на орбитата, която е най-близо до Слънцето, и афелият - най-отдалечената точка на орбитата. Планетата се движи около Слънцето неравномерно, като има по-голяма линейна скорост в перихелий, отколкото в афелия. На фигурата областите на секторите, подчертани в синьо, са равни и съответно времето, необходимо на планетата да премине всеки сектор, също е равно. Земята преминава през перихелий в началото на януари и афелий в началото на юли. Вторият закон на Кеплер, законът за площите, показва, че силата, която управлява орбиталното движение на планетите, е насочена към Слънцето.

Трети закон на Кеплер (хармоничен закон)

Квадратите на орбиталните периоди на планетите около Слънцето са пропорционални на кубовете на големите полуоси на техните елипсовидни орбити. Това е вярно не само за планетите, но и за техните спътници.

Третият закон на Кеплер ви позволява да сравнявате орбитите на планетите една с друга. Колкото по-далеч е планетата от Слънцето, толкова по-дълъг е периметърът на нейната орбита, а когато се движи по орбитата, нейното пълно завъртане отнема повече време. Също така, с увеличаване на разстоянието от Слънцето, линейната скорост на планетата намалява.

където T 1 , T 2 са периодите на въртене на планетата 1 и 2 около Слънцето; a 1 > a 2 са дължините на големите полуоси на орбитите на планети 1 и 2. Полуостът е средното разстояние от планетата до Слънцето.

По-късно Нютон открива, че третият закон на Кеплер не е съвсем точен - всъщност включва и масата на планетата:

където M е масата на Слънцето, а m 1 и m 2 са масата на планетата 1 и 2.

Тъй като движението и масата са свързани, тази комбинация от хармоничния закон на Кеплер и закона за гравитацията на Нютон се използва за определяне на масите на планетите и спътниците, ако са известни техните орбити и орбитални периоди. Само като знаете разстоянието на планетата до Слънцето, можете да изчислите продължителността на годината (времето на пълен оборот около Слънцето). И обратно, като знаете дължината на годината, можете да изчислите разстоянието на планетата от Слънцето.

Три закона за движението на планетитеоткрит от Кеплер даде точно обяснение на неравномерното движение на планетите. Първият закон описва геометрията на траекториите на планетарните орбити. Вторият закон описва промяната в скоростта на планетите около Слънцето. Третият закон на Кеплер ви позволява да сравнявате орбитите на планетите една с друга. Законите, открити от Кеплер, по-късно послужиха на Нютон като основа за създаване на теорията на гравитацията. Нютон доказа математически, че всички закони на Кеплер са следствие от закона за гравитацията.