Formulujte 3 tvrzení o sluneční soustavě. Zobecněné Keplerovy zákony. Pohyb v gravitačním poli

Planety se pohybují kolem Slunce po protáhlých eliptických drahách, přičemž Slunce je v jednom ze dvou ohniskových bodů elipsy.

Úsečka spojující Slunce a planetu odřezává stejné oblasti ve stejných časových intervalech.

Kvadráty period rotace planet kolem Slunce se označují jako krychle hlavních poloos jejich drah.

Johannes Kepler měl smysl pro krásu. Po celý svůj dospělý život se snažil dokázat, že sluneční soustava je jakýmsi mystickým uměleckým dílem. Nejprve se pokusil spárovat její zařízení s pěti pravidelné mnohostěny klasická starořecká geometrie. (Pravidelný mnohostěn je trojrozměrný obrazec, jehož všechny plochy jsou si navzájem rovny pravidelné polygony.) V Keplerově době bylo známo šest planet, které měly být umístěny na rotujících „křišťálových koulích“. Kepler tvrdil, že tyto koule jsou umístěny takovým způsobem, že pravidelné mnohostěny přesně zapadají mezi sousední koule. Mezi dvě vnější sféry - Saturn a Jupiter - umístil krychli vepsanou do vnější sféry, do které je naopak vepsána vnitřní sféra; mezi sférami Jupitera a Marsu - čtyřstěn (pravidelný čtyřstěn) atd. Šest sfér planet, pět pravidelných mnohostěnů vepsaných mezi ně - zdálo by se, dokonalost sama?

Bohužel, při srovnání svého modelu s pozorovanými drahami planet byl Kepler nucen přiznat, že skutečné chování nebeských těles nezapadá do jím nastíněného štíhlého rámce. Podle trefné poznámky moderního britského biologa J. B. S. Haldana se „představa vesmíru jako geometricky dokonalého uměleckého díla ukázala jako další krásná hypotéza, zničená ošklivými fakty“. Jediným výsledkem onoho Keplerova mladického popudu, který přežil staletí, byl model sluneční soustavy, osobně vyrobený vědcem a darovaný jeho patronovi, vévodovi Fridrichu von Württemberg. V tomto nádherně provedeném kovovém artefaktu jsou všechny orbitální koule planet a v nich vepsané pravidelné mnohostěny duté nádoby, které spolu nekomunikují a které měly být o svátcích naplněny různými nápoji, aby se pohostili vévodovy hosty. .

Teprve poté, co se Kepler přestěhoval do Prahy a stal se asistentem slavného dánského astronoma Tycha Brahe (1546-1601), narazil na myšlenky, které jeho jméno skutečně zvěčnily ve vědeckých kronikách. Tycho Brahe sbíral data celý život astronomická pozorování a nashromáždil obrovské množství informací o pohybu planet. Po jeho smrti je převzal Kepler. Tyto záznamy měly mimochodem v té době velkou komerční hodnotu, protože se daly použít k sestavení rafinovaných astrologických horoskopů (dnes vědci o této části rané astronomie raději mlčí).

Při zpracovávání výsledků pozorování Tycha Braheho se Kepler potýkal s problémem, který by se i s moderními počítači mohl někomu zdát neřešitelný, a Keplerovi nezbylo, než všechny výpočty provádět ručně. Samozřejmě, jako většina astronomů své doby, Kepler to již znal heliocentrický systém Koperník ( cm. Koperníkův princip) a věděli, že Země se točí kolem Slunce, jak dokazuje výše uvedený model sluneční soustavy. Ale jak přesně se Země a další planety otáčí? Představme si problém následovně: jste na planetě, která se za prvé otáčí kolem své osy a za druhé obíhá kolem Slunce po vám neznámé dráze. Při pohledu na oblohu vidíme další planety, které se rovněž pohybují po nám neznámých drahách. Naším úkolem je určit z dat pozorování provedených na naší rotaci kolem své osy kolem Slunce zeměkoule, geometrie drah a rychlosti pohybu ostatních planet. Přesně to se nakonec podařilo Keplerovi, načež na základě získaných výsledků odvodil své tři zákony!

První zákon popisuje geometrii trajektorií planetárních drah. Možná si pamatujete z školní kurz geometrie, že elipsa je množina bodů roviny, součet vzdáleností, ze kterých ke dvěma pevným bodům - triky- se rovná konstantě. Pokud je to pro vás příliš obtížné, existuje další definice: představte si část boční plochy kužele rovinou pod úhlem k jeho základně, která neprochází základnou - to je také elipsa. První Keplerov zákon jen tvrdí, že oběžné dráhy planet jsou elipsy, v jejichž jednom z ohnisek se nachází Slunce. Výstřednosti(stupeň prodloužení) drah a jejich vzdálenost od Slunce v přísluní(bod nejblíže Slunci) a apogelia(nejvzdálenější bod) všechny planety jsou různé, ale všechny eliptické dráhy mají jedno společné – Slunce se nachází v jednom ze dvou ohnisek elipsy. Po analýze pozorovacích dat Tycho Brahe dospěl Kepler k závěru, že oběžné dráhy planet jsou souborem vnořených elips. Před ním to prostě žádného astronoma nenapadlo.

Historický význam prvního Keplerova zákona lze jen stěží přeceňovat. Před ním se astronomové domnívali, že planety se pohybují výhradně po kruhových drahách, a pokud to nezapadá do rámce pozorování, hlavní kruhový pohyb byl doplněn o malé kruhy, které planety popisovaly kolem bodů hlavní kruhové dráhy. To byla, řekl bych, především filozofická pozice, jakýsi neměnný fakt, který nepodléhá pochybnostem a ověřování. Filosofové tvrdili, že nebeská stavba je na rozdíl od pozemské dokonalá ve své harmonii, a protože nejdokonalejší geometrické tvary jsou kruh a koule, což znamená, že se planety pohybují v kruhu (a tento klam musím mezi svými studenty ještě dnes znovu a znovu rozptylovat). Hlavní věc je, že když Johannes Kepler získal přístup k rozsáhlým pozorovacím datům Tycha Brahe, dokázal překonat tento filozofický předsudek, když viděl, že neodpovídá skutečnosti – stejně jako se Koperník odvážil odstranit Zemi ze středu. vesmíru, tváří v tvář argumentům, které odporují přetrvávajícím geocentrickým představám.sestávala také z „nesprávného chování“ planet na oběžné dráze.

Druhý zákon popisuje změnu rychlosti pohybu planet kolem Slunce. Formálně jsem její formulaci již citoval, a to pro lepší pochopení fyzický význam, vzpomeňte si na své dětství. Pravděpodobně jste měli možnost se omotat kolem tyče na hřišti a chytit ji rukama. Ve skutečnosti planety obíhají kolem Slunce podobným způsobem. Čím dále od Slunce vede eliptická dráha planetu, tím je pohyb pomalejší, čím blíže ke Slunci, tím rychleji se planeta pohybuje. Nyní si představte dvojici úseček spojujících dvě planetární polohy na oběžné dráze s ohniskem elipsy, ve které se nachází Slunce. Spolu se segmentem elipsy ležícím mezi nimi tvoří sektor, jehož plocha je přesně stejná „plocha, která je odříznuta úsečkou“. Právě o ní říká druhý zákon. Jak bližší planeta ke Slunci, tím kratší jsou segmenty. Ale v tomto případě, aby sektor pokryl stejnou oblast za stejný čas, musí planeta na své oběžné dráze urazit větší vzdálenost, což znamená, že se její rychlost pohybu zvyšuje.

V prvních dvou zákonech přichází to o specifikách orbitálních trajektorií jedné planety. Třetí zákon Kepler umožňuje porovnávat oběžné dráhy planet mezi sebou. Říká, že čím dále od Slunce je planeta, tím déle trvá její úplná rotace při pohybu na oběžné dráze a tím déle tedy na této planetě trvá „rok“. Dnes víme, že je to způsobeno dvěma faktory. Za prvé, čím dále je planeta od Slunce, tím delší je obvod její oběžné dráhy. Za druhé, s rostoucí vzdáleností od Slunce klesá a rychlost linky pohyb planety.

Kepler ve svých zákonech jednoduše konstatoval fakta studiem a zobecněním výsledků pozorování. Kdybyste se ho zeptali, co způsobilo elipticitu drah nebo rovnost ploch sektorů, neodpověděl by vám. Jednoduše to vyplynulo z jeho analýzy. Pokud byste se ho zeptali na orbitální pohyb planet v jiných hvězdných systémech, také by vám odpověď nenašel. Musel by začít znovu - shromáždit pozorovací data, pak je analyzovat a pokusit se identifikovat vzorce. To znamená, že by prostě neměl důvod věřit, že jiná planetární soustava se řídí stejnými zákony jako sluneční soustava.

Jeden z největších triumfů klasická mechanika Newtonův spočívá právě v tom, že poskytuje základní zdůvodnění Keplerovy zákony a prosazuje jejich univerzálnost. Ukazuje se, že Keplerovy zákony mohou být odvozeny z Newtonových zákonů mechaniky, Newtonova zákona univerzální gravitace a zachování momentu hybnosti přesnými matematickými výpočty. A pokud ano, můžeme si být jisti, že Keplerovy zákony stejně použitelné pro jakýkoli planetární systém kdekoli ve vesmíru. Astronomové hledající nové planetární soustavy ve světovém prostoru (a mnoho z nich již bylo objeveno), stále znovu a znovu, samozřejmě, používají Keplerovy rovnice k výpočtu parametrů drah vzdálených planet, ačkoli nemohou pozorovat je přímo.

Třetí Keplerov zákon hrál a stále hraje důležitou roli v moderní kosmologii. Astrofyzici při pozorování vzdálených galaxií detekují slabé signály emitované atomy vodíku obíhajícími velmi daleko od galaktického středu – mnohem dále, než hvězdy obvykle jsou. Pomocí Dopplerova jevu ve spektru tohoto záření vědci určují rychlosti rotace vodíkové periferie galaktického disku a z nich - a úhlové rychlosti galaxií jako celku ( cm.(Viz také Temná hmota.) Jsem rád, že práce vědce, který nás pevně postavil na cestu správné pochopení zařízení naší sluneční soustavy a dnes, staletí po jeho smrti, hrají tak důležitou roli při studiu struktury nesmírného vesmíru.

Mezi sférami Marsu a Země je dvanáctistěn (dvanáctstěn); mezi sférami Země a Venuše - dvacetistěn (dvacetistranný); mezi sférami Venuše a Merkuru - osmistěn (oktaedr). Výslednou konstrukci představil Kepler v části detailní objemové kresby (viz obrázek) ve své první monografii „Kosmografické tajemství“ (Mysteria Cosmographica, 1596).- Poznámka překladatele.

I. Kepler se celý život snažil dokázat, že naše sluneční soustava je jakýmsi mystickým uměním. Zpočátku se snažil dokázat, že struktura systému připomíná pravidelné mnohostěny ze starořecké geometrie. V Keplerově době bylo známo, že existovalo šest planet. Věřilo se, že jsou umístěny v křišťálových koulích. Podle vědce byly tyto koule umístěny tak, aby mezi sousedními přesně zapadaly mnohostěny správného tvaru. Mezi Jupiterem a Saturnem je ve vnějším prostředí vepsána krychle, do které je vepsána koule. Mezi Marsem a Jupiterem je čtyřstěn atd. Po mnoha letech pozorování nebeských objektů se objevily Keplerovy zákony, které vyvrátily jeho teorii mnohostěnů.

Zákony

Geocentrický ptolemaiovský systém světa byl nahrazen systémem heliocentrického typu vytvořeným Koperníkem. Ještě později Kepler odhalil kolem Slunce.

Po mnoha letech pozorování planet se objevily tři Keplerovy zákony. Pojďme se na ně v článku podívat.

za prvé

Podle prvního Keplerova zákona se všechny planety v naší soustavě pohybují po uzavřené křivce zvané elipsa. Naše svítidlo se nachází v jednom z ohnisek elipsy. Jsou dva: jedná se o dva body uvnitř křivky, součet vzdáleností, z nichž do kteréhokoli bodu elipsy je konstantní. Po dlouhých pozorováních se vědci podařilo odhalit, že oběžné dráhy všech planet naší soustavy se nacházejí téměř ve stejné rovině. Některá nebeská tělesa se pohybují po eliptických drahách blízko kruhu. A pouze Pluto a Mars se pohybují po protáhlejších drahách. Na základě toho byl první Keplerov zákon nazván zákonem elips.

Druhý zákon

Studium pohybu těles umožňuje vědci zjistit, že je to více v období, kdy je blíže Slunci, a méně, když je v maximální vzdálenosti od Slunce (to jsou body perihélia a afélia).

Druhý Keplerov zákon říká následující: každá planeta se pohybuje v rovině procházející středem naší hvězdy. Vektor poloměru spojující Slunce a zkoumanou planetu zároveň popisuje stejné oblasti.

Je tedy zřejmé, že tělesa se pohybují kolem žlutého trpaslíka nerovnoměrně a mají maximální rychlost v perihéliu a minimální v aféliu. V praxi je to vidět z pohybu Země. Každým rokem na začátku ledna se naše planeta při průchodu perihéliem pohybuje rychleji. Díky tomu je pohyb Slunce podél ekliptiky rychlejší než v jiných obdobích roku. Začátkem července se Země pohybuje aféliem, a proto se Slunce po ekliptice pohybuje pomaleji.

Třetí zákon

Podle třetího Keplerova zákona vzniká souvislost mezi dobou oběhu planet kolem hvězdy a její průměrnou vzdáleností od ní. Vědec aplikoval tento zákon na všechny planety naší soustavy.

Vysvětlení zákonů

Keplerovy zákony mohly být vysvětleny až po Newtonově objevu gravitačního zákona. Podle ní se fyzické objekty účastní gravitační interakce. Má univerzální univerzálnost, které podléhají všechny předměty hmotného typu a fyzikální pole. Podle Newtona na sebe dvě stacionární tělesa působí silou úměrnou součinu jejich hmotnosti a nepřímo úměrnou druhé mocnině intervalů mezi nimi.

Rozhořčený pohyb

Pohyb těles v naší sluneční soustavě je řízen gravitací žlutého trpaslíka. Pokud by tělesa přitahovala pouze síla Slunce, pak by se planety pohybovaly kolem něj přesně podle Keplerova pohybových zákonů. Tento pohled posuny se nazývají nerušené nebo keplerovské.

Ve skutečnosti jsou všechny objekty v našem systému přitahovány nejen naším svítidlem, ale také navzájem. Žádné z těles se proto nemůže pohybovat přesně po elipse, hyperbole nebo po kružnici. Pokud se těleso během pohybu odchýlí od Keplerových zákonů, pak se to nazývá perturbace a pohyb samotný je narušen. To je to, co je považováno za skutečné.

Dráhy nebeských těles nejsou pevné elipsy. Při přitahování jinými tělesy se orbitální elipsa mění.

I. Newtonův příspěvek

Isaac Newton dokázal odvodit zákon ze zákonů pohybu Keplerových planet univerzální gravitace... K řešení vesmírně-mechanických problémů použil Newton přesně univerzální gravitaci.

Po Izákovi pokrok v nebeské mechanice spočíval v rozvoji matematické vědy používané k řešení rovnic vyjadřujících Newtonovy zákony. Tento vědec byl schopen zjistit, že gravitace planety je určena vzdáleností od ní a hmotností, ale ukazatele, jako je teplota a složení, nemají žádný vliv.

Ve svém vědecká práce Newton ukázal, že třetí Keplerianův zákon není zcela přesný. Ukázal, že při výpočtu je důležité vzít v úvahu hmotnost planety, protože pohyb a hmotnost planet spolu souvisí. Tato harmonická kombinace ukazuje souvislost mezi Keplerianovými zákony a Newtonovým gravitačním zákonem.

Astrodynamika

Aplikace Newtonových a Keplerových zákonů se stala základem pro vznik astrodynamiky. Jedná se o sekci nebeské mechaniky, která studuje pohyb uměle vytvořených kosmických těles, konkrétně: satelitů, meziplanetárních stanic, různých lodí.

Astrodynamika se zabývá výpočtem oběžných drah kosmických lodí a také určuje, jaké parametry vypustit, na kterou oběžnou dráhu vypustit, jaké manévry je třeba provést a plánuje gravitační účinek na lodě. A to zdaleka nejsou všechny praktické úkoly, které jsou kladeny na astrodynamiku. Všechny získané výsledky jsou využívány při realizaci nejrůznějších vesmírných misí.

Nebeská mechanika úzce souvisí s astrodynamikou, která studuje pohyb přírodních vesmírných těles působením gravitace.

Orbity

Dráha je chápána jako trajektorie bodu v daném prostoru. V nebeské mechanice se obecně uznává, že trajektorie tělesa v gravitačním poli jiného tělesa má výrazně větší hmotnost. V pravoúhlém souřadnicovém systému může být trajektorie ve tvaru kuželového řezu, tzn. být reprezentován parabolou, elipsou, kružnicí, hyperbolou. V tomto případě se zaměření bude shodovat se středem systému.

Dlouhou dobu se věřilo, že oběžné dráhy by měly být kulaté. Vědci se dlouho snažili najít kruhovou verzi pohybu, ale nepodařilo se jim to. A jen Kepler dokázal vysvětlit, že planety se nepohybují po kruhové dráze, ale po protáhlé. To umožnilo objevit tři zákony, které by mohly popsat pohyb nebeských těles na oběžné dráze. Kepler objevil tyto prvky dráhy: tvar dráhy, její sklon, polohu roviny dráhy tělesa v prostoru, velikost dráhy a časovou referenci. Všechny tyto prvky definují dráhu bez ohledu na její tvar. Při výpočtu hlavní souřadnicová rovina možná rovina ekliptiky, galaxie, planetárního rovníku atd.

Ukazují to četné studie geometrický tvar oběžné dráhy mohou být eliptické nebo kruhové. Existuje rozdělení na uzavřené a neuzavřené. Podle úhlu sklonu dráhy k rovině zemského rovníku mohou být dráhy polární, nakloněné a rovníkové.

Podle periody oběhu kolem těla mohou být oběžné dráhy synchronní nebo sluneční synchronní, synchronně-denní, kvazisynchronní.

Jak řekl Kepler, všechna tělesa mají určitou rychlost pohybu, tzn. orbitální rychlost. Může být konstantní v celém oběhu kolem těla, nebo se může měnit.

Každá planeta se pohybuje po elipse, v jejímž jednom z ohnisek je Slunce. Zákon objevil Newton také v 17. století (je zřejmé, že na základě Keplerova zákonů). Druhý Keplerov zákon je ekvivalentní zachování momentu hybnosti. Na rozdíl od prvních dvou platí třetí Keplerov zákon pouze pro eliptické dráhy. Německý astronom I. Kepler na počátku 17. století na základě Koperníkova systému formuloval tři empirické zákony pohybu planet sluneční soustavy.

V rámci klasické mechaniky jsou odvozeny z řešení úlohy dvou těles omezujícím přechodem → 0, kde jsou hmotnosti planety a Slunce. Získali jsme rovnici kuželového řezu s excentricitou a počátkem souřadného systému v jednom z ohnisek. Z druhého Keplerova zákona tedy vyplývá, že planeta se pohybuje kolem Slunce nerovnoměrně, přičemž má větší lineární rychlost v perihéliu než v aféliu.

3.1. Pohyb v gravitačním poli

Newton zjistil, že gravitační přitažlivost planety určité hmotnosti závisí pouze na vzdálenosti k ní, a nikoli na jiných vlastnostech, jako je složení nebo teplota. Další formulace tohoto zákona: sektorová rychlost planety je konstantní. Moderní formulace prvního zákona je doplněna následovně: při nerušeném pohybu je dráha pohybujícího se tělesa křivka druhého řádu - elipsa, parabola nebo hyperbola.

Navzdory tomu, že Keplerovy zákony byly nejdůležitější etapou v pochopení pohybu planet, stále zůstávaly pouze empirickými pravidly získanými z astronomických pozorování.

Pro kruhové dráhy jsou Keplerův první a druhý zákon splněny automaticky a třetí zákon říká, že T2 ~ R3, kde T je doba otáčení, R je poloměr oběžné dráhy. V souladu se zákonem zachování energie zůstává celková energie tělesa v gravitačním poli nezměněna. Pro E = E1 rmax. V tomto případě se nebeské těleso pohybuje po eliptické dráze (planety sluneční soustavy, komety).

Keplerovy zákony platí nejen pro pohyb planet a jiných nebeských těles ve sluneční soustavě, ale také pro pohyb umělé družice Země a vesmírné lodě. Založen Johannesem Keplerem na počátku 17. století jako zobecnění pozorování Tycha Brahe. Navíc Kepler zvláště pečlivě studoval pohyb Marsu. Podívejme se na zákony podrobněji.

Když c = 0 a e = 0, elipsa se změní na kruh. Tento zákon, stejně jako první dva, platí nejen pro pohyb planet, ale také pro pohyb jejich přirozených i umělých satelitů. Kepler se nepodává, protože to nebylo nutné. Keplera formuloval Newton takto: druhé mocniny hvězdných period planet, vynásobené součtem hmotností Slunce a planety, jsou ve vztahu jako krychle hlavních poloos oběžných drah planet.

17. století I. Keplera (1571-1630) na základě dlouhodobých pozorování T. Brahe (1546-1601). Zákon oblastí.) 3. Druhé mocniny period libovolných dvou planet jsou vztaženy jako krychle jejich průměrné vzdálenosti od Slunce. Nakonec předpokládal, že dráha Marsu je eliptická, a viděl, že tato křivka dobře popisuje pozorování, pokud bylo Slunce umístěno v jednom z ohnisek elipsy. Kepler pak předpokládal (ačkoli to nemohl s jistotou dokázat), že všechny planety se pohybují po elipsách se Sluncem v centru pozornosti.

KEPLERŮV ZÁKON OBLASTÍ. 1. zákon: každá planeta se pohybuje po eliptice. Když kámen spadne na Zemi, podřídí se zákonu gravitace. Tato síla působí na jedno ze vzájemně působících těles a směřuje k druhému. Zejména I. Newton došel k tomuto závěru při svém mentálním házení kamenů z vysoké hory, takže Slunce ohýbá pohyb planet a brání jim v rozptylu na všechny strany.

Kepler na základě výsledků usilovného a dlouhodobého pozorování planety Mars Tycho Brahe dokázal určit tvar její oběžné dráhy. Působení Země a Slunce na Měsíc činí Keplerovy zákony zcela nevhodnými pro výpočet jeho dráhy.

Tvar elipsy a míra její podobnosti s kružnicí je charakterizována poměrem, kde je vzdálenost od středu elipsy k jejímu ohnisku (polovina meziohniskové vzdálenosti), hlavní poloosa. Lze tedy tvrdit, že a tedy i úměrná rychlost zametání plochy je konstantní. Slunce a jsou délky hlavních poloos jejich drah. Toto tvrzení platí i pro satelity.

Vypočítejme plochu elipsy, po které se planeta pohybuje. V tomto případě se interakce mezi tělesy M1 a M2 nebere v úvahu. Rozdíl bude pouze v lineárních rozměrech drah (pokud jsou tělesa různé hmotnosti). Ve světě atomů a elementární částice gravitační síly jsou ve srovnání s jinými typy silových interakcí mezi částicemi zanedbatelné.

Kapitola 3. Základy nebeské mechaniky

Gravitace řídí pohyb planet ve sluneční soustavě. Bez ní by se planety, které tvoří sluneční soustavu, rozptýlily různými směry a ztratily by se v obrovských rozlohách světového prostoru. Z pohledu pozemského pozorovatele se planety pohybují po velmi složitých trajektoriích (obr. 1.24.1). Ptolemaiův geocentrický systém trval více než 14 století a teprve v polovině 16. století byl nahrazen Koperníkův heliocentrický systém.

Na Obr. 1.24.2 ukazuje eliptickou dráhu planety, jejíž hmotnost je mnohem menší než hmotnost Slunce. Téměř všechny planety sluneční soustavy (kromě Pluta) se pohybují po drahách blízkých kruhovým. Kruhové a eliptické dráhy.

Newton jako první vyslovil myšlenku, že gravitační síly určují nejen pohyb planet sluneční soustavy; působí mezi jakýmikoli tělesy ve vesmíru. Zejména již bylo řečeno, že gravitační síla působící na tělesa v blízkosti zemského povrchu má gravitační povahu. Potenciální energie tělesa o hmotnosti m, umístěného ve vzdálenosti r od stacionárního tělesa o hmotnosti M, se rovná práci gravitačních sil, když se hmota m pohybuje z daného bodu do nekonečna.

V limitě jako Δri → 0 přechází tento součet do integrálu. Celková energie může být kladná a záporná a také nulová. Znaménko celkové energie určuje charakter pohybu nebeského tělesa (obr. 1.24.6). Pokud je rychlost kosmické lodi rovna υ1 = 7,9 · 103 m/s a je nasměrována rovnoběžně s povrchem Země, pak se sonda bude pohybovat po kruhové dráze v malé výšce nad Zemí.

První Keplerův zákon tedy vyplývá přímo z Newtonova zákona univerzální gravitace a druhého Newtonova zákona. 3. Konečně si Kepler také všiml třetího zákona o pohybu planet. Slunce a a jsou hmotnosti planet. Ve vztahu k naší sluneční soustavě jsou s tímto zákonem spojeny dva pojmy: perihélium je bod oběžné dráhy nejblíže Slunci a afélium je nejvzdálenější bod oběžné dráhy.

Keplerovy zákony

Ve světě atomů a elementárních částic jsou gravitační síly ve srovnání s jinými typy silových interakcí mezi částicemi zanedbatelné. Je velmi obtížné pozorovat gravitační interakci mezi různými tělesy kolem nás, i když jejich hmotnosti dosahují mnoha tisíc kilogramů. Je to však gravitace, která určuje chování „velkých“ objektů, jako jsou planety, komety a hvězdy, je to gravitace, která nás všechny drží na Zemi.

Gravitace řídí pohyb planet ve sluneční soustavě. Bez ní by se planety, které tvoří sluneční soustavu, rozptýlily různými směry a ztratily by se v obrovských rozlohách světového prostoru.

Vzorce pohybu planet přitahovaly pozornost lidí již dlouhou dobu. Studium pohybu planet a stavby sluneční soustavy vedlo k vytvoření teorie gravitace – objevu zákona univerzální gravitace.

Z pohledu pozemského pozorovatele se planety pohybují po velmi složitých trajektoriích (obr. 1.24.1). Byl učiněn první pokus o vytvoření modelu vesmíru Ptolemaios(~ 140 g). Do středu vesmíru umístil Ptolemaios Zemi, kolem níž se planety a hvězdy pohybovaly ve velkých a malých kruzích jako při kulatém tanci.

Geocentrický systém Ptolemaios vydržel více než 14 století a byl nahrazen až v polovině 16. století. heliocentrický koperníkovského systému. V koperníkovském systému se trajektorie planet ukázaly jako jednodušší. Německý astronom I. Kepler na počátku 17. století na základě Koperníkova systému formuloval tři empirické zákony pohybu planet sluneční soustavy. Kepler využil výsledků pozorování pohybu planet dánského astronoma T. Brahe.

Keplerův první zákon (1609):

Všechny planety se pohybují po eliptických drahách, z nichž jedním z ohnisek je Slunce.

Na Obr. 1.24.2 ukazuje eliptickou dráhu planety, jejíž hmotnost je mnohem menší než hmotnost Slunce. Slunce je v jednom z ohnisek elipsy. Nejbližší bod ke Slunci P trajektorie se nazývá přísluní, směřovat A nejdále od Slunce - aphelion... Vzdálenost mezi aféliem a perihelem je hlavní osou elipsy.

Téměř všechny planety sluneční soustavy (kromě Pluta) se pohybují po drahách blízkých kruhovým.

Druhý Keplerov zákon (1609):

Vektor poloměru planety popisuje stejné oblasti ve stejných intervalech.

Rýže. 1.24.3 znázorňuje 2. Keplerův zákon.

Druhý Keplerov zákon je ekvivalentní zákon zachování momentu hybnosti... Na Obr. 1.24.3 znázorňuje vektor hybnosti tělesa a jeho složek a plochu, kterou vektor poloměru přenese v krátkém čase Δ t, se přibližně rovná ploše trojúhelníku se základnou rΔθ a výška r:

Tady - úhlová rychlost ( viz §1.6).

Okamžik impulsu L v absolutní hodnotě se rovná součinu modulů vektorů a

Pokud tedy podle druhého Keplerova zákona, pak moment hybnosti L zůstává při pohybu nezměněn.

Zejména, protože rychlosti planety v perihéliu a aféliu směřují kolmo k vektorům poloměru a ze zákona zachování momentu hybnosti vyplývá:

Třetí Keplerův zákon je splněn pro všechny planety sluneční soustavy s přesností lepší než 1 %.

Na Obr. 1.24.4 znázorňuje dvě dráhy, z nichž jedna je kruhová s poloměrem R a druhý je eliptický s hlavní poloosou A... Třetí zákon stanoví, že pokud R = A, pak jsou doby rotace těles podél těchto drah stejné.

Navzdory tomu, že Keplerovy zákony byly nejdůležitější etapou v pochopení pohybu planet, stále zůstávaly pouze empirickými pravidly získanými z astronomických pozorování. Keplerovy zákony potřebovaly teoretické zdůvodnění. V tomto směru byl učiněn rozhodující krok Isaac Newton otevřen v roce 1682 gravitační zákon:

kde M a m- hmotnosti Slunce a planety, r- vzdálenost mezi nimi, G= 6,67 · 10 –11 N · m 2 / kg 2 - gravitační konstanta. Newton jako první vyslovil myšlenku, že gravitační síly určují nejen pohyb planet sluneční soustavy; působí mezi jakýmikoli tělesy ve vesmíru. Zejména již bylo řečeno, že gravitační síla působící na tělesa v blízkosti zemského povrchu má gravitační povahu.

Pro kruhové dráhy jsou automaticky splněny Keplerův první a druhý zákon a třetí zákon to říká T 2 ~ R 3, kde T je doba oběhu, R- poloměr oběhu. Odtud můžete získat závislost gravitační síly na vzdálenosti. Když se planeta pohybuje po kruhové dráze, působí na ni síla, která vzniká gravitační interakcí planety a Slunce:

Li T 2 ~ R 3, tedy

Vlastnost konzervatismu gravitačních sil ( viz §1.10) nám umožňuje představit koncept potenciální energie ... Pro síly univerzální gravitace je vhodné měřit potenciální energii z nekonečně vzdáleného bodu.

Potenciální energie tělesné hmotym na dálkur z nehybného těla hmotyM , se rovná práci gravitačních sil při pohybu hmotym z daného bodu do nekonečna.

Matematický postup výpočtu potenciální energie tělesa v gravitačním poli spočívá v sečtení práce na malých posuvech (obr. 1.24.5).

Zákon univerzální gravitace platí nejen pro vytesané hmoty, ale také pro sféricky symetrická tělesa... Práce gravitační síly při malém přemístění je:

V limitu na Δ r i→ 0 tento součet přechází v integrál. Jako výsledek výpočtů pro potenciální energii získáme výraz

V souladu se zákonem zachování energie zůstává celková energie tělesa v gravitačním poli nezměněna.

Celková energie může být kladná a záporná a také nulová. Znaménko celkové energie určuje charakter pohybu nebeského tělesa (obr. 1.24.6).

Na E = E 1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > r max. V tomto případě se nebeské těleso pohybuje podél eliptická dráha(planety sluneční soustavy, komety).

Na E = E 2 = 0 těleso se může pohybovat do nekonečna. Rychlost tělesa v nekonečnu bude nulová. Tělo se pohybuje parabolická dráha.

Na E = E 3> 0 dochází k pohybu podél hyperbolická trajektorie... Těleso se vzdaluje do nekonečna a má rezervu kinetické energie.

Keplerovy zákony platí nejen pro pohyb planet a jiných nebeských těles ve sluneční soustavě, ale také pro pohyb umělých pozemských satelitů a kosmických lodí. V tomto případě je těžištěm Země.

První vesmírná rychlost je rychlost družice na kruhové dráze blízko povrchu Země.

odtud

Druhá vesmírná rychlost je minimální rychlost, která má být hlášena kosmická loď na povrchu Země, takže se po překonání zemské gravitace promění v umělou družici Slunce (umělou planetu). V tomto případě se loď bude vzdalovat od Země po parabolické trajektorii.

odtud

Rýže. 1.24.7 znázorňuje prostorové rychlosti. Pokud je rychlost kosmické lodi rovna υ 1 = 7,9 · 10 3 m/s a je nasměrována rovnoběžně s povrchem Země, pak se sonda bude pohybovat po kruhové dráze v malé výšce nad Zemí. Při počátečních rychlostech přesahujících υ 1, ale nižších než υ 2 = 11,2 · 10 3 m/s, bude dráha kosmické lodi eliptická. Při počáteční rychlosti υ 2 se loď bude pohybovat po parabole a při ještě vyšší počáteční rychlosti po hyperbole.

Měl vynikající matematické schopnosti. Na počátku 17. století v důsledku mnohaletého pozorování pohybu planet a také na základě rozboru astronomických pozorování Tycha Brahe objevil Kepler tři zákony, které byly později po něm pojmenovány.

Keplerův první zákon(zákon elips). Každá planeta se pohybuje po elipse, v jejímž jednom z ohnisek je Slunce.

Druhý Keplerov zákon(zákon rovné oblasti). Každá planeta se pohybuje v rovině procházející středem Slunce a ve stejných časových intervalech vektor poloměru spojující Slunce a planetu zametá stejné oblasti.

Třetí Keplerov zákon(harmonický zákon). Kvadráty oběžných dob planet kolem Slunce jsou úměrné třetí mocnině hlavních poloos jejich eliptických drah.

Podívejme se blíže na každý ze zákonů.

Keplerův první zákon (zákon elips)

Každá planeta ve sluneční soustavě se točí kolem elipsy, v jejímž jednom z ohnisek je Slunce.

První zákon popisuje geometrii trajektorií planetárních drah. Představte si část boční plochy kužele s rovinou pod úhlem k jeho základně, která neprochází základnou. Výsledným tvarem bude elipsa. Tvar elipsy a míra její podobnosti s kružnicí je charakterizována poměrem e = c / a, kde c je vzdálenost od středu elipsy k jejímu ohnisku (ohnisková vzdálenost), a je polohlavní osa. Hodnota e se nazývá excentricita elipsy. Když c = 0, a tedy e = 0, elipsa se změní na kruh.

Bod P trajektorie nejblíže Slunci se nazývá perihelium. Bod A, nejvzdálenější od Slunce, je aphelion. Vzdálenost mezi aféliem a perihelem je hlavní osou eliptické oběžné dráhy. Vzdálenost mezi afeliem A a perihelem P je hlavní osou eliptické dráhy. Polovina délky hlavní osy, semiosa a, je průměrná vzdálenost od planety ke Slunci. Průměrná vzdálenost Země od Slunce se nazývá astronomická jednotka (AU) a rovná se 150 milionům km.

Druhý Keplerov zákon (oblastní zákon)

Každá planeta se pohybuje v rovině procházející středem Slunce a ve stejných časových intervalech zaujímá poloměrový vektor spojující Slunce a planetu stejné plochy.

Druhý zákon popisuje změnu rychlosti pohybu planet kolem Slunce. S tímto zákonem jsou spojeny dva pojmy: perihélium je bod oběžné dráhy nejblíže Slunci a afélium je nejvzdálenější bod oběžné dráhy. Planeta se pohybuje kolem Slunce nerovnoměrně, má větší lineární rychlost v perihéliu než v aféliu. Na obrázku jsou oblasti sektorů zvýrazněných modře stejné a v souladu s tím je také stejný čas, který planetě trvá, než každý sektor projde. Země prochází perihéliem začátkem ledna a aféliem začátkem července. Druhý Keplerov zákon, zákon oblastí, ukazuje, že síla, která řídí orbitální pohyb planet, směřuje ke Slunci.

Třetí Keplerov zákon (harmonický zákon)

Kvadráty oběžných dob planet kolem Slunce jsou úměrné třetí mocnině hlavních poloos jejich eliptických drah. To platí nejen pro planety, ale i pro jejich satelity.

Třetí Keplerov zákon umožňuje porovnávat oběžné dráhy planet mezi sebou. Čím dále je planeta od Slunce, tím delší je obvod její oběžné dráhy a při pohybu po oběžné dráze trvá její úplné otočení déle. S rostoucí vzdáleností od Slunce také klesá lineární rychlost pohybu planety.

kde T 1, T 2 - periody rotace planety 1 a 2 kolem Slunce; a 1> a 2 - délky hlavních poloos oběžných drah planet 1 a 2. Poloosa je průměrná vzdálenost planety od Slunce.

Později Newton zjistil, že třetí Keplerov zákon není zcela přesný – ve skutečnosti zahrnuje také hmotnost planety:

kde M je hmotnost Slunce a m1 a m2 jsou hmotnost planety 1 a 2.

Protože se ukázalo, že pohyb a hmotnost spolu souvisí, používá se tato kombinace Keplerova harmonického zákona a Newtonova gravitačního zákona k určení hmotností planet a satelitů, pokud jsou známy jejich dráhy a oběžné doby. Také, když znáte vzdálenost planety od Slunce, můžete vypočítat délku roku (dobu úplného otočení kolem Slunce). A naopak, pokud znáte délku roku, můžete vypočítat vzdálenost planety od Slunce.

Tři zákony pohybu planet objevený Keplerem poskytl přesné vysvětlení nerovnoměrného pohybu planet. První zákon popisuje geometrii trajektorií planetárních drah. Druhý zákon popisuje změnu rychlosti pohybu planet kolem Slunce. Třetí Keplerov zákon umožňuje porovnávat oběžné dráhy planet mezi sebou. Zákony objevené Keplerem později posloužily jako základ pro Newtonovu teorii gravitace. Newton matematicky dokázal, že všechny Keplerovy zákony jsou důsledky gravitačního zákona.