Fogalmazzon meg 3 állítást a Naprendszerről! Általánosított Kepler-törvények. Mozgás gravitációs mezőben

A bolygók megnyúlt elliptikus pályákon keringenek a Nap körül, és a Nap az ellipszis két fókuszpontjának egyikében helyezkedik el.

A Napot és a bolygót összekötő vonalszakasz egyenlő időközönként egyenlő területeket vág le.

A bolygók Nap körüli forgási periódusainak négyzeteit pályájuk fél-főtengelyeinek kockáinak nevezzük.

Johannes Keplernek volt szépérzéke. Felnőtt élete során azt próbálta bebizonyítani, hogy a Naprendszer egyfajta misztikus műalkotás. Először öttel próbálta párosítani a készülékét szabályos poliéderek klasszikus ókori görög geometria. (A szabályos poliéder egy háromdimenziós alakzat, amelynek minden lapja egyenlő egymással szabályos sokszögek.) Kepler idejében hat bolygót ismertek, amelyeket forgó „kristálygömbökre” kellett volna helyezni. Kepler azzal érvelt, hogy ezek a gömbök úgy helyezkednek el, hogy a szabályos poliéderek pontosan illeszkednek a szomszédos gömbök közé. A két külső szféra - a Szaturnusz és a Jupiter - közé a külső gömbbe írt kockát helyezett el, amelybe viszont a belső gömb van beleírva; a Jupiter és a Mars gömbjei között - egy tetraéder (szabályos tetraéder) stb. Hat bolygógömb, köztük öt szabályos poliéder - úgy tűnik, ez a tökéletesség?

Sajna, Kepler modelljét a bolygók megfigyelt pályáival összehasonlítva kénytelen volt elismerni, hogy az égitestek valós viselkedése nem fér bele az általa felvázolt karcsú keretek közé. Ahogyan a kortárs brit biológus, J. B. S. Haldane találóan megjegyezte, "az univerzum mint geometriailag tökéletes műalkotás gondolata egy újabb gyönyörű hipotézisnek bizonyult, amelyet csúnya tények romboltak le." Kepler fiatalkori impulzusának egyetlen eredménye, amely túlélte az évszázadokat, a naprendszer modellje volt, amelyet a tudós személyesen készített, és amelyet védnökének, Frederick von Württemberg hercegnek ajándékoztak. Ebben a gyönyörűen kivitelezett fémtárgyban a bolygók összes keringési gömbje és a bennük lévő szabályos poliéderek egymással nem kommunikáló üreges tartályok, amelyeket ünnepnapokon különféle italokkal kellett volna megtölteni a herceg vendégeinek vendégül látására. .

Csak miután Prágába költözött, és a híres dán csillagász, Tycho Brahe (1546-1601) asszisztense lett, Kepler olyan ötletekre bukkant, amelyek valóban megörökítették nevét a tudomány évkönyveiben. Tycho Brahe egész életében adatokat gyűjtött csillagászati ​​megfigyelésekés hatalmas mennyiségű információt halmozott fel a bolygók mozgásáról. Halála után Kepler rendelkezésére kerültek. Ezeknek a feljegyzéseknek egyébként akkoriban nagy kereskedelmi értéke volt, hiszen finomított asztrológiai horoszkópok összeállítására lehetett őket felhasználni (ma a tudósok inkább hallgatnak a korai csillagászat ezen szakaszáról).

Tycho Brahe megfigyeléseinek eredményeinek feldolgozása közben Kepler szembesült egy olyan problémával, amely még a modern számítógépekkel is megoldhatatlannak tűnhet valakinek, és Keplernek nem volt más választása, mint minden számítást kézzel elvégezni. Természetesen, mint korának legtöbb csillagásza, Kepler is ismerte már heliocentrikus rendszer Kopernikusz ( cm. Kopernikusz-elv) és tudta, hogy a Föld a Nap körül kering, amit a naprendszer fenti modellje is bizonyít. De hogyan is forog pontosan a Föld és más bolygók? Képzeljük el a problémát a következőképpen: Ön egy olyan bolygón tartózkodik, amely egyrészt a tengelye körül kering, másrészt a Nap körül kering egy Ön számára ismeretlen pályán. Az égre nézve más bolygókat látunk, amelyek szintén számunkra ismeretlen pályán mozognak. Feladatunk a Nap körüli tengelye körüli forgásunkon végzett megfigyelések adataiból meghatározni a földgömb, a pályák geometriája és más bolygók mozgási sebessége. Keplernek ez végül sikerült is, ami után a kapott eredmények alapján levezette három törvényét!

Első törvény leírja a bolygópályák pályáinak geometriáját. Talán emlékszel től iskolai tanfolyam geometria, hogy az ellipszis a sík pontjainak halmaza, azon távolságok összege, amelyektől két fix pontig - trükkök- egyenlő egy állandóval. Ha ez túl nehéz számodra, van egy másik definíció: képzeld el a kúp oldalfelületének egy szakaszát egy síkkal, amely szöget zár be az alapjával, és nem halad át az alapon - ez is ellipszis. Kepler első törvénye éppen azt állítja, hogy a bolygók pályája ellipszisek, amelyek egyik fókuszában a Nap található. Különcségek(nyúlás foka) a pályák és távolságuk a Naptól napközel(a Naphoz legközelebbi pont) és apogélia(a legtávolabbi pont) minden bolygó különbözik, de minden elliptikus pályán van egy közös pont - a Nap az ellipszis két gócának egyikében található. Tycho Brahe megfigyelési adatainak elemzése után Kepler arra a következtetésre jutott, hogy a bolygópályák egymásba ágyazott ellipszisek halmaza. Előtte ez egyszerűen egyetlen csillagásznak sem jutott eszébe.

Kepler első törvényének történelmi jelentőségét aligha lehet túlbecsülni. Előtte a csillagászok úgy vélték, hogy a bolygók kizárólag körpályán mozognak, és ha ez nem fért bele a megfigyelések keretébe, a fő körmozgást kis körökkel egészítették ki, amelyeket a bolygók a fő körpálya pontjai körül írtak le. Ez, mondhatnám, elsősorban filozófiai álláspont volt, egyfajta megmásíthatatlan tény, amely nem fér kétségbe és nem igazolható. A filozófusok azzal érveltek, hogy a mennyei szerkezet, ellentétben a földivel, tökéletes a harmóniájában, és mivel a legtökéletesebb az geometriai formák van egy kör és egy gömb, ami azt jelenti, hogy a bolygók körben mozognak (és ezt a téveszmét ma is újra és újra el kell oszlatnom tanítványaim között). A lényeg az, hogy Tycho Brahe kiterjedt megfigyelési adataihoz hozzájutva Johannes Kepler képes volt átlépni ezen a filozófiai előítéleten, látva, hogy az nem felel meg a tényeknek – ahogy Kopernikusz is ki merte venni a Földet a középpontból. az univerzumról, olyan érvekkel szembesülve, amelyek ellentmondanak a tartós geocentrikus nézeteknek.. szintén a bolygók keringési pályán való „rossz viselkedéséből” állt.

Második törvény leírja a bolygók sebességének változását a Nap körül. Formális formában már idéztem a megfogalmazását, és a jobb megértése érdekében fizikai jelentése, emlékszel a gyerekkorodra. Valószínűleg volt lehetőséged egy rúd körül lazítani a játszótéren, megragadva azt a kezével. Valójában a bolygók hasonló módon keringenek a Nap körül. Minél távolabb kerül a Naptól egy elliptikus pálya, annál lassabb a mozgás, minél közelebb van a Naphoz, annál gyorsabban mozog a bolygó. Most képzeljünk el egy pár vonalszakaszt, amelyek a pályán két bolygóhelyzetet kötnek össze annak az ellipszisnek a fókuszával, amelyben a Nap található. A köztük lévő ellipszis szegmensével együtt egy szektort alkotnak, amelynek területe pontosan ugyanaz az „egyenes szakasz által levágott terület”. Róla szól a második törvény. Hogyan közelebbi bolygó a Naphoz képest, minél rövidebbek a szakaszok. De ebben az esetben ahhoz, hogy a szektor egyenlő idő alatt egyenlő területet lefedjen, a bolygónak nagyobb távolságot kell megtennie a pályáján, ami azt jelenti, hogy mozgásának sebessége nő.

Az első két törvényben jön egyetlen bolygó keringési pályáinak sajátosságairól. Harmadik törvény A Kepler lehetővé teszi a bolygók pályáinak egymással való összehasonlítását. Azt mondja, hogy minél távolabb van a bolygó a Naptól, annál tovább tart a teljes körforgása a pályán való mozgás során, és ennek megfelelően annál tovább tart ezen a bolygón az "év". Ma már tudjuk, hogy ez két tényezőnek köszönhető. Először is, minél távolabb van a bolygó a Naptól, annál hosszabb a pályája kerülete. Másodszor, a Naptól való távolság növekedésével csökken és vonalsebesség a bolygó mozgása.

Kepler törvényeiben egyszerűen tényeket állapított meg a megfigyelések eredményeinek tanulmányozásával és általánosításával. Ha megkérdeznéd tőle, hogy mi okozta a pályák ellipticitását vagy a szektorok területeinek egyenlőségét, nem válaszolna. Ez egyszerűen az ő elemzéséből következett. Ha megkérdeznéd őt más csillagrendszerek bolygóinak keringési mozgásáról, akkor sem találna rá választ. Mindent elölről kell kezdenie – megfigyelési adatokat kell felhalmoznia, majd elemeznie kell azokat, és megpróbálnia azonosítani a mintákat. Vagyis egyszerűen nem lenne oka azt hinni, hogy egy másik bolygórendszer ugyanazoknak a törvényeknek engedelmeskedik, mint a Naprendszer.

Az egyik legnagyobb diadal klasszikus mechanika Newton éppen abban rejlik, hogy alapvetően igazolja Kepler törvényeit, és kijelenti azok egyetemességét. Kiderült, hogy Kepler törvényei Newton mechanikai törvényeiből, az egyetemes gravitáció Newton-törvényéből és a szögimpulzus-megmaradás szigorú matematikai számításokból származtathatók. És ha igen, biztosak lehetünk benne, hogy Kepler törvényei egyaránt a világegyetem bármely bolygórendszerére alkalmazható. A csillagászok, akik a világűrben új bolygórendszereket keresnek (és ezek közül jó sokat felfedeztek is), újra és újra, magától értetődően, a Kepler-egyenletek segítségével számítják ki a távoli bolygók pályájának paramétereit, bár erre nem képesek. közvetlenül figyelje meg őket.

Kepler harmadik törvénye fontos szerepet játszott és játszik a modern kozmológiában. A távoli galaxisok megfigyelése során az asztrofizikusok a galaktikus központtól távol keringő hidrogénatomok által kibocsátott halvány jeleket regisztrálják – sokkal távolabb, mint a csillagok általában. Ennek a sugárzásnak a spektrumában a Doppler-effektus segítségével a tudósok meghatározzák a galaktikus korong hidrogén-perifériájának forgási sebességét, és ezek alapján - és a galaxisok egészének szögsebességeit ( cm.(Lásd még: Sötét anyag.) Örülök annak a tudósnak a munkáinak, aki határozottan elindított minket az úton helyes megértés Naprendszerünk eszközei, és ma, évszázadokkal halála után, olyan fontos szerepet játszanak a hatalmas univerzum szerkezetének tanulmányozásában.

A Mars és a Föld gömbjei között dodekaéder (dodekaéder) található; a Föld és a Vénusz szférája között - az ikozaéder (húszoldalú); a Vénusz és a Merkúr gömbjei között - egy oktaéder (oktaéder). Az így létrejött konstrukciót Kepler egy részletes térfogati rajzon (lásd az ábrát) mutatta be első monográfiájában, a "Kozmográfiai rejtély" (Mysteria Cosmographica, 1596).- A fordító megjegyzése.

I. Kepler egész életében azt próbálta bebizonyítani, hogy naprendszerünk valamiféle misztikus művészet. Kezdetben azt próbálta bizonyítani, hogy a rendszer szerkezete az ókori görög geometriából származó szabályos poliéderekhez hasonlít. Kepler idejében hat bolygó létezését ismerték. Azt hitték, hogy kristálygömbökbe helyezték őket. A tudós szerint ezek a gömbök úgy helyezkedtek el, hogy a megfelelő alakú poliéderek pontosan illeszkedjenek a szomszédos gömbök közé. A Jupiter és a Szaturnusz közé a külső környezetbe beírt kocka van, amelybe a gömb van beleírva. A Mars és a Jupiter között van egy tetraéder stb. Sok évnyi égi objektumok megfigyelése után megjelentek Kepler törvényei, és megcáfolta a poliéder elméletét.

A törvények

A világ geocentrikus ptolemaioszi rendszerét felváltotta a Kopernikusz által létrehozott heliocentrikus típusú rendszer. Később Kepler felfedte a Nap körül.

A bolygók sok éves megfigyelése után megjelent Kepler három törvénye. Tekintsük őket a cikkben.

Első

Kepler első törvénye szerint rendszerünk összes bolygója egy ellipszisnek nevezett zárt görbe mentén mozog. Világítótestünk az ellipszis egyik fókuszában található. Ezek közül kettő van: ez a görbén belüli két pont, azon távolságok összege, amelyektől az ellipszis bármely pontjaig állandó. Hosszas megfigyelések után a tudósnak sikerült feltárnia, hogy rendszerünk összes bolygójának pályája szinte egy síkban helyezkedik el. Egyes égitestek elliptikus pályán mozognak közel egy körhöz. És csak a Plútó és a Mars mozog elnyújtottabb pályán. Ez alapján Kepler első törvényét az ellipszis törvényének nevezték.

Második törvény

A testek mozgásának tanulmányozása lehetővé teszi a tudós számára, hogy megállapítsa, hogy ez inkább abban az időszakban van, amikor közelebb van a Naphoz, és kevésbé, amikor a legnagyobb távolságra van a Naptól (ezek a perihélium és az aphelion pontjai).

Kepler második törvénye a következőt mondja: minden bolygó a csillagunk középpontján áthaladó síkban mozog. Ugyanakkor a Napot és a vizsgált bolygót összekötő sugárvektor egyenlő területeket ír le.

Így egyértelmű, hogy a testek egyenetlenül mozognak a sárga törpe körül, és a perihéliumban a legnagyobb, az aphelionban a legkisebb sebességgel. A gyakorlatban ez a Föld mozgásából is látható. Minden év január elején bolygónk gyorsabban mozog a perihéliumon való áthaladás során. Emiatt a Nap mozgása az ekliptika mentén gyorsabb, mint az év más szakaszaiban. Július elején a Föld áthalad az aphelionon, ezért a Nap lassabban halad az ekliptika mentén.

Harmadik törvény

Kepler harmadik törvénye szerint kapcsolat jön létre a csillag körüli bolygók forgási ideje és a csillagtól való átlagos távolsága között. A tudós ezt a törvényt rendszerünk összes bolygójára alkalmazta.

A törvények magyarázata

Kepler törvényeit csak azután tudták megmagyarázni, hogy Newton felfedezte a gravitáció törvényét. Eszerint a fizikai objektumok gravitációs kölcsönhatásban vesznek részt. Univerzális egyetemességgel rendelkezik, amelynek minden anyagi típusú tárgy és fizikai mező ki van téve. Newton szerint két álló test kölcsönösen olyan erővel hat egymásra, amely arányos a súlyuk szorzatával, és fordítottan arányos a köztük lévő intervallumok négyzetével.

Felháborodott mozgás

Naprendszerünkben a testek mozgását egy sárga törpe gravitációja szabályozza. Ha a testeket csak a Nap ereje vonzza, akkor a bolygók pontosan a Kepler-féle mozgástörvények szerint mozognának körülötte. Ez a fajta az elmozdulásokat zavartalannak vagy keplerinek nevezzük.

Valójában a rendszerünkben lévő összes objektumot nemcsak a világítótestünk vonzza, hanem egymás is. Ezért egyik test sem tud pontosan mozogni ellipszis, hiperbola vagy kör mentén. Ha a test mozgás közben eltér a Kepler-törvényektől, akkor ezt perturbációnak nevezzük, és magát a mozgást zavarják. Ez az, ami valósnak számít.

Az égitestek pályái nem rögzített ellipszisek. Más testek vonzása során a pályaellipszis megváltozik.

I. Newton közreműködése

Isaac Newton képes volt a törvényt a Kepler bolygók mozgási törvényeiből levezetni egyetemes gravitáció... Az űrmechanikai problémák megoldására Newton pontosan univerzális gravitációt alkalmazott.

Isaac után az égi mechanika fejlődése a matematikai tudomány fejlődéséből állt, amelyet a Newton-törvényeket kifejező egyenletek megoldására használtak. Ez a tudós meg tudta állapítani, hogy a bolygó gravitációját a távolság és a tömeg határozza meg, de az olyan mutatók, mint a hőmérséklet és az összetétel, nincs hatással.

Abban tudományos munka Newton megmutatta, hogy Keplerian harmadik törvénye nem teljesen pontos. Megmutatta, hogy a számításnál fontos figyelembe venni a bolygó tömegét, mivel a bolygók mozgása és súlya összefügg. Ez a harmonikus kombináció megmutatja a kapcsolatot Kepleri törvényei és Newton gravitációs törvénye között.

Asztrodinamika

Newton és Kepler törvényeinek alkalmazása lett az asztrodinamia kialakulásának alapja. Ez az égi mechanika egy része, amely a mesterségesen létrehozott kozmikus testek mozgását tanulmányozza, nevezetesen: műholdak, bolygóközi állomások, különféle hajók.

Az asztrodinamika az űrhajók pályájának kiszámításával foglalkozik, és azt is meghatározza, hogy milyen paramétereket kell indítani, melyik pályára kell indítani, milyen manővereket kell végrehajtani, megtervezve a gravitációs hatást a hajókra. És ezek messze nem mindazok a gyakorlati feladatok, amelyeket az asztrodinamikára vetnek. Az összes kapott eredményt különféle űrmissziók végrehajtásában használják fel.

Az égi mechanika szorosan kapcsolódik az asztrodinamikához, amely a természetes kozmikus testek gravitációs erő hatására történő mozgását vizsgálja.

Keringők

A pályán egy pont pályáját értjük egy adott térben. Az égi mechanikában általánosan elfogadott, hogy egy test röppályája egy másik test gravitációs mezejében lényegesen nagyobb tömegű. Téglalap alakú koordinátarendszerben a pálya lehet kúpos metszet, pl. parabola, ellipszis, kör, hiperbola ábrázolja. Ebben az esetben a fókusz egybeesik a rendszer középpontjával.

Sokáig azt hitték, hogy a pályáknak kereknek kell lenniük. A tudósok sokáig próbálták pontosan megtalálni a mozgás körkörös változatát, de nem jártak sikerrel. Azt pedig csak Kepler tudta megmagyarázni, hogy a bolygók nem körpályán, hanem megnyúlt pályán mozognak. Ez lehetővé tette három olyan törvény felfedezését, amelyek leírhatják az égitestek mozgását a pályán. Kepler a pálya következő elemeit fedezte fel: a pálya alakja, dőlésszöge, a test keringési síkjának helyzete a térben, a pálya mérete és az időreferencia. Mindezek az elemek meghatározzák a pályát, függetlenül annak alakjától. A fő kiszámításakor Koordináta sík talán az ekliptika síkja, galaxis, bolygóegyenlítő stb.

Számos tanulmány azt mutatja geometriai alakzat A pályák lehetnek elliptikusak vagy kör alakúak. Van egy felosztás zárt és nem zárt. A pálya földi egyenlítő síkjához viszonyított dőlésszöge szerint a pályák lehetnek polárisak, ferde és egyenlítőiek.

A test körüli forgási periódus szerint a pályák lehetnek szinkron vagy napszinkron, szinkron-napi, kvázi szinkronok.

Ahogy Kepler mondta, minden testnek van egy bizonyos mozgási sebessége, pl. keringési sebesség. Ez lehet állandó a test körüli keringésben, vagy változhat.

Minden bolygó egy ellipszis mentén mozog, amelynek egyik fókuszában a Nap található. A törvényt szintén Newton fedezte fel a 17. században (egyértelmű, hogy Kepler törvényei alapján). Kepler második törvénye egyenértékű a szögimpulzus megmaradásával. Az első kettőtől eltérően Kepler harmadik törvénye csak az elliptikus pályákra vonatkozik. I. Kepler német csillagász a 17. század elején a kopernikuszi rendszer alapján három empirikus mozgástörvényt fogalmazott meg a Naprendszer bolygóira.

A klasszikus mechanika keretein belül a kéttest-probléma megoldásából származtatják a → 0 határértékre való átlépéssel, ahol a bolygó, illetve a Nap tömege. Megkaptuk az excentricitású kúpszelet és a koordinátarendszer origójának egyenletét az egyik fókuszban. Így Kepler második törvényéből az következik, hogy a bolygó egyenetlenül mozog a Nap körül, és a perihéliumban nagyobb a lineáris sebessége, mint az aphelionban.

3.1. Mozgás gravitációs mezőben

Newton azt találta, hogy egy bizonyos tömegű bolygó gravitációs vonzása csak a távolságtól függ, és nem az egyéb tulajdonságoktól, például az összetételtől vagy a hőmérséklettől. Ennek a törvénynek egy másik megfogalmazása: a bolygó szektorális sebessége állandó. Az első törvény modern megfogalmazása a következőképpen egészül ki: zavartalan mozgás esetén a mozgó test pályája másodrendű görbe - ellipszis, parabola vagy hiperbola.

Annak ellenére, hogy a Kepler-törvények jelentik a bolygók mozgásának megértésének legfontosabb állomását, továbbra is csak csillagászati ​​megfigyelésekből nyert hüvelykujjszabályok maradtak.

Körpályák esetén Kepler első és második törvénye automatikusan teljesül, a harmadik törvény pedig kimondja, hogy T2 ~ R3, ahol T a forgási periódus, R a pálya sugara. Az energiamegmaradás törvényének megfelelően a gravitációs térben lévő test teljes energiája változatlan marad. E = E1 rmax esetén. Ebben az esetben az égitest elliptikus pályán mozog (a Naprendszer bolygói, üstökösök).

A Kepler-törvények nemcsak a bolygók és más égitestek mozgására vonatkoznak a Naprendszerben, hanem a mozgásra is mesterséges műholdak Föld és űrhajók. Johannes Kepler alapította a 17. század elején Tycho Brahe megfigyeléseinek általánosításaként. Ráadásul Kepler különösen alaposan tanulmányozta a Mars mozgását. Nézzük részletesebben a törvényeket.

Ha c = 0 és e = 0, az ellipszis körré változik. Ez a törvény, csakúgy, mint az első kettő, nemcsak a bolygók mozgására vonatkozik, hanem a természetes és mesterséges műholdaik mozgására is. Keplert nem adnak, mert nem volt rá szükség. Keplert Newton a következőképpen fogalmazta meg: a bolygók sziderális periódusainak négyzete, szorozva a Nap és a bolygó tömegének összegével, a bolygók keringési pályájának fél-főtengelyeinek kockáiként viszonyulnak egymáshoz.

17. század I. Kepler (1571-1630) T. Brahe (1546-1601) hosszú távú megfigyelései alapján. A területek törvénye.) 3. Bármely két bolygó periódusának négyzetét a Naptól való átlagos távolságuk kockáiként viszonyítjuk. Végül feltételezte, hogy a Mars pályája ellipszis alakú, és látta, hogy ez a görbe jól leírja a megfigyeléseket, ha a Nap az ellipszis valamelyik fókuszába kerül. Kepler ekkor feltételezte (bár nem tudta biztosan bizonyítani), hogy minden bolygó ellipszisben mozog, fókuszban a Nappal.

KEPLER TERÜLETI TÖRVÉNYE. 1. törvény: minden bolygó elliptikusan mozog. Amikor egy kő a Földre esik, engedelmeskedik a gravitáció törvényének. Ez az erő az egyik kölcsönható testre hat, és a másik felé irányul. Különösen I. Newton jutott erre a következtetésre, amikor gondolatban köveket dobált egy magas hegyről, tehát a Nap elhajítja a bolygók mozgását, megakadályozva, hogy minden irányban szétszóródjanak.

A Kepler a Mars bolygó Tycho Brahe alapos és hosszú távú megfigyeléseinek eredményei alapján meg tudta határozni pályájának alakját. A Föld és a Nap hatása a Holdon teljesen alkalmatlanná teszi a Kepler-törvényeket keringésének kiszámítására.

Az ellipszis alakját és a körhöz való hasonlóságának mértékét az az arány jellemzi, ahol az ellipszis középpontja és a fókusz közötti távolság (az interfokális távolság fele), a fél-főtengely. Így vitatható, hogy és ezért a terület seprésének arányos sebessége állandó. A Napé, és és a pályájuk fél-főtengelyének hossza. Az állítás a műholdakra is igaz.

Számítsuk ki annak az ellipszisnek a területét, amely mentén a bolygó mozog. Ebben az esetben az M1 és M2 testek közötti kölcsönhatást nem veszik figyelembe. A különbség csak a pályák lineáris méreteiben lesz (ha a testek különböző tömegűek). Az atomok világában és elemi részecskék a gravitációs erők elhanyagolhatóak a részecskék közötti más típusú erőkölcsönhatásokhoz képest.

3. fejezet Az égi mechanika alapjai

A gravitáció szabályozza a bolygók mozgását a Naprendszerben. Enélkül a Naprendszert alkotó bolygók különböző irányokba szóródnának szét, és elvesznének a világűr hatalmas kiterjedésében. A földi megfigyelő szempontjából a bolygók nagyon összetett pályákon mozognak (1.24.1. ábra). Ptolemaiosz geocentrikus rendszere több mint 14 évszázadig tartott, és csak a 16. század közepén váltotta fel Kopernikusz heliocentrikus rendszere.

ábrán. Az 1.24.2 a bolygó elliptikus pályáját mutatja, amelynek tömege jóval kisebb, mint a Nap tömege. A Naprendszer szinte összes bolygója (a Plútó kivételével) közeli körpályán mozog. Kör és elliptikus pályák.

Newton volt az első, aki kifejezte azt az elképzelést, hogy a gravitációs erők nemcsak a Naprendszer bolygóinak mozgását határozzák meg; a világegyetem bármely teste között hatnak. Konkrétan azt mondták már, hogy a Föld felszínéhez közeli testekre ható gravitációs erő gravitációs természetű. Egy M tömegű álló testtől r távolságra elhelyezkedő m tömegű test potenciális energiája megegyezik a gravitációs erők munkájával, amikor az m tömeg egy adott pontból a végtelenbe mozog.

A Δri → 0 határértékben ez az összeg átmegy egy integrálba. A teljes energia lehet pozitív és negatív, és egyenlő nullával. Az összenergia előjele meghatározza az égitest mozgásának jellegét (1.24.6. ábra). Ha az űreszköz sebessége υ1 = 7,9 · 103 m / s, és a Föld felszínével párhuzamosan irányul, akkor az űrszonda körpályán fog mozogni, kis magasságban a Föld felett.

Így Kepler első törvénye közvetlenül következik Newton egyetemes gravitációs törvényéből és Newton második törvényéből. 3. Végül Kepler feljegyezte a bolygómozgás harmadik törvényét is. A Nap, és a bolygók tömegei. Naprendszerünkkel kapcsolatban két fogalom kapcsolódik ehhez a törvényhez: a perihélium a pálya Naphoz legközelebbi pontja, az aphelion pedig a pálya legtávolabbi pontja.

Kepler törvényei

Az atomok és elemi részecskék világában a gravitációs erők elenyészőek a részecskék közötti más típusú erőkölcsönhatásokhoz képest. Nagyon nehéz megfigyelni a gravitációs kölcsönhatást a minket körülvevő különféle testek között, még akkor is, ha tömegük sok ezer kilogramm. Azonban a gravitáció határozza meg a "nagy" objektumok, például bolygók, üstökösök és csillagok viselkedését, a gravitáció az, ami mindannyiunkat a Földön tart.

A gravitáció szabályozza a bolygók mozgását a Naprendszerben. Enélkül a Naprendszert alkotó bolygók különböző irányokba szóródnának szét, és elvesznének a világűr hatalmas kiterjedésében.

A bolygómozgás mintái már régóta felkeltik az emberek figyelmét. A bolygók mozgásának és a Naprendszer szerkezetének tanulmányozása a gravitáció elméletének megalkotásához vezetett - az egyetemes gravitáció törvényének felfedezéséhez.

A földi megfigyelő szempontjából a bolygók nagyon összetett pályákon mozognak (1.24.1. ábra). Megtörtént az első kísérlet az univerzum modelljének létrehozására Ptolemaiosz(~ 140 g). Ptolemaiosz az univerzum közepébe helyezte a Földet, amely körül a bolygók és a csillagok nagy és kis körökben mozogtak, mint egy körtáncban.

Geocentrikus rendszer Ptolemaiosz több mint 14 évszázadon át kitartott, és csak a 16. század közepén váltották fel. heliocentrikus a kopernikuszi rendszer. A kopernikuszi rendszerben a bolygók pályája egyszerűbbnek bizonyult. német csillagász I. Kepler a 17. század elején a kopernikuszi rendszer alapján megfogalmazta a Naprendszer bolygóinak három empirikus mozgástörvényét. Kepler a dán csillagász bolygóinak mozgására vonatkozó megfigyelések eredményeit használta fel T. Brahe.

Kepler első törvénye (1609):

Minden bolygó elliptikus pályán mozog, melynek egyik fókuszában a Nap áll.

ábrán. Az 1.24.2 a bolygó elliptikus pályáját mutatja, amelynek tömege jóval kisebb, mint a Nap tömege. A nap az ellipszis egyik fókuszában van. Legközelebbi pont a Naphoz P pályát nevezzük napközel, pont A a legtávolabb a Naptól - aphelion... Az aphelion és a perihélium közötti távolság az ellipszis fő tengelye.

A Naprendszer szinte összes bolygója (a Plútó kivételével) közeli körpályán mozog.

Kepler második törvénye (1609):

A bolygó sugárvektora egyenlő időközönként egyenlő területeket ír le.

Rizs. Az 1.24.3 Kepler 2. törvényét szemlélteti.

Kepler második törvénye ekvivalens szögimpulzus megmaradási törvénye... ábrán. Az 1.24.3 a test és összetevői lendületének vektorát és a sugárvektor által rövid időn belül Δ átsöpört területet ábrázolja t, megközelítőleg egyenlő egy alappal rendelkező háromszög területével rΔθ és magasság r:

Itt - szögsebesség ( lásd 1.6).

Az impulzus pillanata L abszolút értékben egyenlő a vektorok modulusainak szorzatával és

Ezért, ha Kepler második törvénye szerint, akkor a szögimpulzus L mozgás közben változatlan marad.

Különösen, mivel a bolygó sebessége a perihéliumban és az aphelionban merőleges a sugárvektorokra, és a szögimpulzus megmaradásának törvényéből az következik:

Kepler harmadik törvénye a Naprendszer összes bolygójára 1%-nál nagyobb pontossággal teljesül.

ábrán. Az 1.24.4 két pályát ábrázol, amelyek közül az egyik kör alakú és sugarú R a másik pedig elliptikus, fél-nagy tengellyel a... A harmadik törvény kimondja, hogy ha R = a, akkor e pályák mentén a testek forgási periódusai megegyeznek.

Annak ellenére, hogy a Kepler-törvények jelentik a bolygók mozgásának megértésének legfontosabb állomását, továbbra is csak csillagászati ​​megfigyelésekből nyert hüvelykujjszabályok maradtak. Kepler törvényei elméleti alátámasztásra szorultak. Döntő lépés történt ebbe az irányba Isaac Newton 1682-ben nyitották meg a gravitáció törvénye:

ahol Més m- a Nap és a bolygó tömegei, r- a köztük lévő távolságot, G= 6,67 · 10 –11 N · m 2 / kg 2 - a gravitációs állandó. Newton volt az első, aki kifejezte azt az elképzelést, hogy a gravitációs erők nemcsak a Naprendszer bolygóinak mozgását határozzák meg; a világegyetem bármely teste között hatnak. Konkrétan azt mondták már, hogy a Föld felszínéhez közeli testekre ható gravitációs erő gravitációs természetű.

Körpályák esetén Kepler első és második törvénye automatikusan teljesül, a harmadik törvény pedig ezt mondja ki T 2 ~ R 3, ahol T a keringési periódus, R- pályasugár. Innen kaphatja meg a gravitációs erő távolságtól való függését. Amikor a bolygó körpályán mozog, erő hat rá, ami a bolygó és a Nap gravitációs kölcsönhatása következtében jön létre:

Ha T 2 ~ R 3, akkor

A gravitációs erők konzervativizmusának tulajdonsága ( lásd 1.10) lehetővé teszi a fogalom bevezetését helyzeti energia ... Az egyetemes gravitációs erők esetében célszerű a potenciális energiát egy végtelenül távoli pontból mérni.

A testtömeg potenciális energiájam távolrólr mozdulatlan tömegtestbőlM , egyenlő a gravitációs erők munkájával, amikor a tömeg mozogm adott pontból a végtelenbe.

A gravitációs térben lévő test potenciális energiájának kiszámítására szolgáló matematikai eljárás a kis elmozdulásokon végzett munka összegzéséből áll (1.24.5. ábra).

Az egyetemes gravitáció törvénye nemcsak a cizellált tömegekre vonatkozik, hanem azokra is gömbszimmetrikus testek... A gravitációs erő munkája kis elmozdulásnál a következő:

A Δ határértékben r én→ 0 ez az összeg átmegy egy integrálba. A potenciális energiára vonatkozó számítások eredményeként megkapjuk a kifejezést

Az energiamegmaradás törvényének megfelelően a gravitációs térben lévő test teljes energiája változatlan marad.

A teljes energia lehet pozitív és negatív, és egyenlő nullával. Az összenergia előjele meghatározza az égitest mozgásának jellegét (1.24.6. ábra).

Nál nél E = E 1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > r max. Ebben az esetben az égitest együtt mozog elliptikus pálya(a Naprendszer bolygói, üstökösök).

Nál nél E = E 2 = 0 a test a végtelenbe tud mozogni. A test sebessége a végtelenben nulla lesz. A test halad parabola pálya.

Nál nél E = E 3> 0 mozgás történik végig hiperbolikus pálya... A test eltávolodik a végtelenbe, kinetikus energiával rendelkezik.

A Kepler-törvények nemcsak a bolygók és más égitestek mozgására vonatkoznak a Naprendszerben, hanem a mesterséges földi műholdak és űrhajók mozgására is. Ebben az esetben a súlypont a Föld.

Első űrsebesség a műhold sebessége a Föld felszínéhez közeli körpályán.

innen

Második űrsebesség a jelentendő legkisebb sebesség űrhajó a Föld felszínén, így a föld gravitációját legyőzve a Nap mesterséges műholdjává (mesterséges bolygóvá) válik. Ebben az esetben a hajó egy parabola pályán távolodik el a Földtől.

innen

Rizs. Az 1.24.7 a térsebességet szemlélteti. Ha az űrszonda sebessége egyenlő υ 1 = 7,9 · 10 3 m / s és a Föld felszínével párhuzamosan irányul, akkor az űrszonda körpályán fog mozogni, kis magasságban a Föld felett. υ 1-et meghaladó, de υ 2 = 11,2 · 10 3 m/s-nál kisebb kezdeti sebességeknél az űrhajó pályája ellipszis alakú lesz. υ 2 kezdeti sebességnél a hajó egy parabola mentén halad, még nagyobb kezdeti sebességgel pedig egy hiperbola mentén.

Kiváló matematikai képességekkel rendelkezett. A 17. század elején a bolygók mozgásának sokéves megfigyelései, valamint Tycho Brahe csillagászati ​​megfigyeléseinek elemzése alapján Kepler három törvényt fedezett fel, amelyeket később róla neveztek el.

Kepler első törvénye(az ellipszis törvénye). Minden bolygó egy ellipszis mentén mozog, amelynek egyik fókuszában a Nap található.

Kepler második törvénye(törvény egyenlő területek). Minden bolygó a Nap középpontján áthaladó síkban mozog, és egyenlő időközönként a Napot és a bolygót összekötő sugárvektor egyenlő területeket söpör ki.

Kepler harmadik törvénye(harmonikus törvény). A bolygók Nap körüli keringési periódusainak négyzete arányos elliptikus pályájuk fél-főtengelyeinek kockáival.

Nézzük meg közelebbről az egyes törvényeket.

Kepler első törvénye (ellipszis törvénye)

A Naprendszer minden bolygója egy ellipszis körül kering, amelynek egyik fókuszában a Nap áll.

Az első törvény a bolygópályák pályáinak geometriáját írja le. Képzeljünk el egy kúp oldalfelületének egy olyan szakaszát, amelynek az alapjához képest szöget zár be egy sík, amely nem halad át az alapon. A kapott forma ellipszis lesz. Az ellipszis alakját és a körhöz való hasonlóságának mértékét az e = c / a arány jellemzi, ahol c az ellipszis középpontja és a fókusz távolsága (gyújtótávolság), a a félig fő tengely. Az e értéket az ellipszis excentricitásának nevezzük. Ha c = 0, és ezért e = 0, az ellipszis körré változik.

A pálya Naphoz legközelebb eső P pontját perihéliumnak nevezzük. A Naptól legtávolabbi A pont az aphelion. Az aphelion és a perihélium közötti távolság az elliptikus pálya fő tengelye. Az A aphelion és a P perihélium közötti távolság az elliptikus pálya főtengelye. A főtengely hosszának fele, az a féltengely a bolygó és a Nap közötti átlagos távolság. A Föld és a Nap közötti átlagos távolságot csillagászati ​​egységnek (AU) nevezik, és 150 millió km.

Kepler második törvénye (területtörvény)

Minden bolygó a Nap középpontján áthaladó síkban mozog, és egyenlő időközönként a Napot és a bolygót összekötő sugárvektor egyenlő területeket foglal el.

A második törvény a bolygók Nap körüli mozgási sebességének változását írja le. Két fogalom kapcsolódik ehhez a törvényhez: a perihélium a pálya Naphoz legközelebbi pontja, az aphelion pedig a pálya legtávolabbi pontja. A bolygó egyenetlenül kering a Nap körül, a perihéliumban nagyobb lineáris sebességgel rendelkezik, mint az aphelionban. Az ábrán a kékkel kiemelt szektorok területei egyenlőek, és ennek megfelelően egyenlő az idő, ami alatt a bolygó áthalad az egyes szektorokon. A Föld január elején megy át a perihéliumon, július elején pedig az aphelionon. Kepler második törvénye, a területek törvénye azt jelzi, hogy a bolygók keringési mozgását irányító erő a Nap felé irányul.

Kepler harmadik törvénye (harmonikus törvény)

A bolygók Nap körüli keringési periódusainak négyzete arányos elliptikus pályájuk fél-főtengelyeinek kockáival. Ez nemcsak a bolygókra igaz, hanem a műholdakra is.

Kepler harmadik törvénye lehetővé teszi a bolygók pályáinak egymással való összehasonlítását. Minél távolabb van egy bolygó a Naptól, annál hosszabb a pályája kerülete, és ha pályán mozog, a teljes körforgása tovább tart. Ezenkívül a Naptól való távolság növekedésével a bolygó mozgásának lineáris sebessége csökken.

ahol T 1, T 2 - az 1. és 2. bolygó Nap körüli forgási periódusai; a 1> a 2 - az 1. és 2. bolygók pályája fél-főtengelyeinek hossza. A féltengely a bolygó és a Nap közötti átlagos távolság.

Később Newton megállapította, hogy Kepler harmadik törvénye nem teljesen pontos – valójában a bolygó tömegét is magában foglalja:

ahol M a Nap tömege, m 1 és m 2 pedig az 1. és 2. bolygó tömege.

Mivel a mozgás és a tömeg összefüggésben áll egymással, a Kepler-harmonikus és a Newton-féle gravitációs törvény kombinációját használják a bolygók és műholdak tömegének meghatározására, ha ismert a pályájuk és keringési periódusuk. Ezenkívül a bolygó és a Nap távolságának ismeretében kiszámíthatja az év hosszát (a Nap körüli teljes forradalom idejét). Ezzel szemben az év hosszának ismeretében kiszámíthatja a bolygó távolságát a Naptól.

A bolygómozgás három törvénye Kepler által felfedezett pontos magyarázatot adott a bolygók egyenetlen mozgására. Az első törvény a bolygópályák pályáinak geometriáját írja le. A második törvény a bolygók Nap körüli mozgási sebességének változását írja le. Kepler harmadik törvénye lehetővé teszi a bolygók pályáinak egymással való összehasonlítását. A Kepler által felfedezett törvények később Newton gravitációs elméletének alapjául szolgáltak. Newton matematikailag bebizonyította, hogy Kepler minden törvénye a gravitációs törvény következménye.