Normál sík egyenlet

1.

4.

Érintősík és felület normál

Legyen adott valamilyen felület, A a felület fix pontja és B - változó pont felületek,

(1. ábra).

Nem nulla vektor

→

n

hívott normál vektor a felszínre az A pontban, ha

lim B → A j = π 2 .

Az F (x, y, z) = 0 felület egy pontját közönségesnek nevezzük, ha ebben a pontban

1. az F "x, F" y, F "z parciális deriváltak folytonosak;
2. (F "x) 2 + (F" y) 2 + (F "z) 2 ≠ 0.

Ha e feltételek közül legalább egy megsértődik, a felületen egy pontot hívunk a felület szinguláris pontja .

1. tétel. Ha M (x 0, y 0, z 0) az F (x, y, z) = 0 felület közönséges pontja, akkor a vektor

→ n = F fokozat (x 0, y 0, z 0) = F "x (x 0, y 0, z 0) → én + F "y (x 0, y 0, z 0) → j + F "z (x 0, y 0, z 0) → k

(1)

normális erre a felületre az M pontban (x 0, y 0, z 0).

Bizonyíték könyvében I.M. Petrushko, L.A. Kuznyecov, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova `` A felsőbb matematika tantárgya: Integrálszámítás. Több változó függvényei. Differenciál egyenletek... Moszkva: MPEI Kiadó, 2002 (128. o.).

Normál felületre egy ponton egyenesnek nevezzük, amelynek irányvektora ebben a pontban merőleges a felületre, és amely ezen a ponton halad át.

Kánoni normál egyenletek ként ábrázolható

x - x 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y - y 0 F "y (x 0, y 0, z 0) = z - z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Érintő sík egy felületre egy bizonyos ponton síknak nevezzük, amely ezen a ponton halad át a felület normáljára merőlegesen.

Ebből a meghatározásból az következik érintősík egyenletúgy néz ki, mint a:

(3)

Ha a felület egy pontja szinguláris, akkor ezen a ponton előfordulhat, hogy a felületre normális vektor nem létezik, és ezért a felületnek nincs normálsíkja és érintősíkja.

Két változó függvénye teljes differenciáljának geometriai jelentése

Legyen a z = f (x, y) függvény az a (x 0, y 0) pontban differenciálható. A grafikonja a felület

f (x, y) - z = 0.

Feltesszük z 0 = f (x 0, y 0). Ekkor az A (x 0, y 0, z 0) pont a felülethez tartozik.

Az F (x, y, z) = f (x, y) - z függvény parciális deriváltjai

F "x = f" x, F "y = f" y, F "z = - 1

és az A pontban (x 0, y 0, z 0)

1. folyamatosak;
2. F "2 x + F" 2 y + F "2 z = f" 2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Ezért A az F (x, y, z) felület közönséges pontja, és ezen a ponton van a felület érintősíkja. A (3) szerint az érintősík egyenlete a következőképpen alakul:

f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) = 0.

Egy pont függőleges elmozdulása az érintősíkon egy a (x 0, y 0) pontból egy tetszőleges p (x, y) pontba B Q (2. ábra). A megfelelő növekmény az

(z - z 0) = f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Itt jobb oldalon van egy differenciálmű d a z = f (x, y) függvény z-e az a (x 0, x 0) pontban. Ennélfogva,
d f (x 0, y 0). az f (x, y) függvény grafikonját érintő sík egy pontjának alkalmazásának növekménye az (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0) pontban).

A differenciál definíciójából az következik, hogy a függvény grafikonján lévő P pont és az érintősíkon lévő Q pont közötti távolság végtelenül kicsi, nagyobb, mint a p pont és az a pont távolsága.

A z = f (x, y) 2 változós függvény grafikonja egy felület, amely az XOY síkra vetül a D függvény definíciós tartományába.
Vegye figyelembe a felületet σ a z = f (x, y) egyenlet adja meg, ahol f (x, y) egy differenciálható függvény, és legyen M 0 (x 0, y 0, z 0) egy fix pont a σ felületen, azaz , z 0 = f (x 0, y 0). Időpont egyeztetés. Az online számológépet úgy tervezték, hogy megtalálja az érintősík és a felület normáljának egyenletei... A döntés Word formátumban történik. Ha meg kell találnia a görbe érintőjének egyenletét (y = f (x)), akkor ezt a szolgáltatást kell használnia.

Funkcióbeviteli szabályok:

Funkcióbeviteli szabályok:

1. Minden változót x, y, z kifejezésekkel fejezünk ki

A felület érintősíkja σ pontjában M 0 az a sík, amelyben a felületre rajzolt összes görbe érintői fekszenek σ ponton keresztül M 0 .
Az M 0 (x 0, y 0, z 0) pontban a z = f (x, y) egyenlet által adott felület érintősíkjának egyenlete a következő:

z - z 0 = f 'x (x 0, y 0) (x - x 0) + f' y (x 0, y 0) (y - y 0)

A vektort a felület normálvektorának nevezzük σ a М 0 pontban. A normálvektor merőleges az érintősíkra.
Normál felületre σ azon a ponton M A 0-t ezen a ponton áthaladó, az N vektor irányával rendelkező egyenesnek nevezzük.
A z = f (x, y) egyenlet által adott felület normáljának kanonikus egyenletei az M 0 (x 0, y 0, z 0) pontban, ahol z 0 = f (x 0, y 0), a következő formában van:

1. példa. A felületet az x 3 + 5y egyenlet adja meg. Határozzuk meg a felület érintősíkjának egyenletét az M 0 (0; 1) pontban!
Megoldás... Beírjuk az érintővonal egyenleteit Általános nézet: z - z 0 = f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
A feladat feltétele szerint x 0 = 0, y 0 = 1, akkor z 0 = 5
Határozzuk meg a z = x ^ 3 + 5 * y függvény parciális deriváltjait:
f "x (x, y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f "x (x, y) = (x 3 +5 y)" y = 5
A М 0 (0,1) pontban a parciális deriváltak értékei:
f"x (0; 1) = 0
f "y (0; 1) = 5
A képlet segítségével megkapjuk a felület érintősíkjának egyenletét a М 0 pontban: z - 5 = 0 (x - 0) + 5 (y - 1) vagy -5 y + z = 0

2. példa. A felület implicit módon y 2 -1 / 2 * x 3 -8z. Határozzuk meg a felület érintősíkjának egyenletét az M 0 (1; 0; 1) pontban!
Megoldás... Keresse meg a függvény parciális deriváltjait! Mivel a függvény implicit módon van beállítva, a deriváltokat a következő képlettel keressük:

A mi feladatunkhoz:

Azután:

A М 0 (1,0,1) pontban a parciális deriváltak értékei:
f"x (1; 0; 1) = -3/16
f"y (1; 0; 1) = 0
A képlet segítségével megkapjuk a felület érintősíkjának egyenletét a М 0 pontban: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) vagy 3/16 x + z- 19 /16 = 0

Egy példa. Felület σ egyenlettel adott z= y / x + xy – 5x 3. Határozzuk meg az érintősík és a felület normáljának egyenletét! σ azon a ponton M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) hozzátartozó ha x 0 = –1, y 0 = 2.
Keresse meg a függvény parciális deriváltjait! z= f(x,y) = y / x + xy – 5x 3:
f x '( x,y) = (y / x + xy – 5x 3) 'x = - y / x 2 + y – 15x 2 ;
f y'( x,y) = (y / x + xy – 5x 3) 'y = 1 / x + x.
Pont M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) a felülethez tartozik σ , tehát lehet számolni z 0 a megadott helyettesítésével x 0 = –1 és y 0 = 2 a felületi egyenletbe:

z= y / x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Azon a ponton M 0 (–1, 2, 1) parciális derivált értékei:
f x '( M 0) = -1 / (- 1) 2 + 2 - 15 (-1) 2 = -15; f y'( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Az (5) képlet segítségével megkapjuk a felület érintősíkjának egyenletét σ azon a ponton M 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
A (6) képlet segítségével megkapjuk a felületi normális kanonikus egyenleteit σ azon a ponton M 0: .
Válaszok: az érintősík egyenlete: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; normál egyenletek: .

1. példa. Adott egy z = f (x, y) függvény és két A (x 0, y 0) és B (x 1, y 1) pont. Szükséges: 1) számítsa ki a függvény z 1 értékét a B pontban; 2) számítsa ki a függvény közelítő z 1 értékét a B pontban az A pontban lévő függvény z 0 értéke alapján, az A pontból B pontba való áthaladáskor a függvény növekményét a különbséggel helyettesítve; 3) állítsa össze a z = f (x, y) felület érintősíkjának egyenletét a C (x 0, y 0, z 0) pontban!
Megoldás.
Írjuk fel az érintő egyenes egyenleteit általános formában:
z - z 0 = f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
A feladat feltétele szerint x 0 = 1, y 0 = 2, akkor z 0 = 25
Határozzuk meg a z = f (x, y) x ^ 2 + 3 * x * y * + y ^ 2 függvény parciális deriváltjait:
f "x (x, y) = (x 2 +3 x y + y 2)" x = 2 x + 3 y 3
f "x (x, y) = (x 2 +3 x y + y 2)" y = 9 x y 2
A М 0 (1,2) pontban a parciális deriváltak értékei:
f "x (1; 2) = 26
f"y (1; 2) = 36
A képlet segítségével megkapjuk a felület érintősíkjának egyenletét a М 0 pontban:
z - 25 = 26 (x - 1) + 36 (y - 2)
vagy
-26 x-36 y + z + 73 = 0

2. példa. Írja fel a z = 2x 2 + y 2 elliptikus paraboloid érintősíkjának és normálisának egyenleteit az (1; -1; 3) pontban!

Az érintősíkok nagy szerepet játszanak a geometriában. Az érintősíkok felépítése gyakorlati szempontból fontos, mivel jelenlétük lehetővé teszi a felület normál irányának meghatározását az érintési ponton. Ezt a problémát széles körben alkalmazzák a mérnöki gyakorlatban. Az érintősíkokat vázlatok készítésére is használják. geometriai formák zárt felületek határolják. V elméletileg a felületet érintő síkokat a differenciálgeometriában egy érintési pont közelében lévő felület tulajdonságainak tanulmányozására használják.

Alapfogalmak és definíciók

A felületet érintő síkot a vágósík határhelyzetének kell tekinteni (hasonlóan a görbe érintőjével, amelyet a vágósík határhelyzeteként is definiálunk).

A felület sík érintője a felület adott pontjában az összes egyenes halmaza - a felületre a felületre húzott érintők halmaza. ez a pont.

A differenciálgeometriában bebizonyosodott, hogy egy közönséges pontban húzott felület minden érintője egysíkú (ugyanahhoz a síkhoz tartozik).

Nézzük meg, hogyan húzzuk meg a felületet érintő vonalat. A β felület t érintője a felületen megadott M pontban (203. ábra) a felületet két pontban (MM 1, MM 2, ..., MM n) metsző lj szekáns határhelyzetét jelenti, amikor a metszéspontok egybeesnek (M ≡ M n, ln ≡ l M). Nyilvánvalóan (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, mivel g ⊂ β. A fentiekből a következő definíció következik: A felület érintője a felülethez tartozó bármely görbét érintő egyenes vonal.

Mivel a síkot két egymást metsző egyenes határozza meg, a felületet érintő sík meghatározásához beállított pont, elegendő ezen a ponton keresztül húzni két tetszőleges, a felülethez tartozó (lehetőleg egyszerű alakú) egyenest, és mindegyikhez érintőket szerkeszteni ezen egyenesek metszéspontjában. A megszerkesztett érintők egyedileg határozzák meg az érintősíkot. ábra a β felületet egy adott M pontban érintő α sík rajzának vizuális ábrázolását mutatja. 204. Ezen az ábrán a β felület normál n értéke is látható.

A felület normálja egy adott pontban az érintősíkra merőleges és az érintőponton áthaladó egyenes.

A felület és a normálon átmenő sík metszésvonalát a felület normál szakaszának nevezzük. A felület típusától függően az érintősíknak egy vagy több pontja (egyenese) lehet a felülettel. Az érintővonal egyben lehet a felület és a sík metszésvonala is.

Olyan esetek is lehetségesek, amikor a felületen vannak olyan pontok, amelyeknél nem lehet érintőt rajzolni a felülethez; az ilyen pontokat speciálisnak nevezzük. Mint például szinguláris pontok vissza lehet hozni a törzsfelület széléhez tartozó pontokat, vagy a forgásfelület meridiánjának metszéspontját a tengelyével, ha a meridián és a tengely nem metszi egymást derékszögben.

Az érintések típusai a felület görbületének jellegétől függenek.

Felületi görbület

A felület görbületének kérdéseit F. Dupin (1784-1873) francia matematikus vizsgálta, aki egy vizuális ábrázolási módot javasolt a felület normál metszeteinek görbületének változására.

Ehhez a szóban forgó felületet érintő síkban az M pontban (205., 206. ábra) e szakaszok megfelelő görbületi sugarainak négyzetgyökével egyenlő szegmenseket helyezünk az érintőkre. a normál szakaszok ennek a pontnak mindkét oldalán. A pontok halmaza - a szegmensek végei egy görbét határoznak meg Dupin indikátor... A Dupin-indikátor felépítésének algoritmusa (205. ábra) felírható:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √ (R l 1), = √ (R l 2), ..., = √ (R l n)

ahol R a görbületi sugár.

(A 1 ∪ А 2 ∪ ... ∪ А n) a Dupin indikátor.

Ha a felület Dupin-indikátora ellipszis, akkor az M pontot elliptikusnak, a felületet pedig elliptikus pontokkal rendelkező felületnek nevezzük.(206. ábra). Ebben az esetben az érintősíknak csak egy közös pontja van a felülettel, és minden, a felülethez tartozó és a vizsgált pontban metsző egyenes az érintősík egyik oldalán található. Példák az elliptikus pontokkal rendelkező felületekre: forgási paraboloid, forgásellipszoid, gömb (ebben az esetben a Dupin indikátor egy kör stb.).

Amikor a törzs felületéhez érintősíkot rajzolunk, a sík egy egyenes generatrix mentén érinti ezt a felületet. Ennek az egyenesnek a pontjait ún parabola, a felület pedig parabolapontokkal rendelkező felület... Dupin indikátora ebben az esetben két párhuzamos egyenes (207. ábra *).

ábrán. A 208. ábra olyan pontokból álló felületet mutat, amelyeknél

* Egy másodrendű görbe - egy parabola - bizonyos feltételek mellett két valós párhuzamos egyenesre, két képzeletbeli párhuzamos egyenesre, két egybeeső egyenesre osztható. ábrán. 207 két valós párhuzamos egyenessel van dolgunk.

Az érintősík metszi a felületet. Az ilyen felületet ún hiperbolikus, és a hozzá tartozó pontok - hiperbolikus pontok. Dupin indikátora ebben az esetben egy hiperbola.

Egy felület, amelynek minden pontja hiperbolikus, nyereg alakú (ferde sík, egylapos hiperboloid, homorú forgásfelületek stb.).

Egy felületen különböző típusú pontok lehetnek, például a törzs felületén (209. ábra) az M pont elliptikus; N pont - parabola; K pont hiperbolikus.

A differenciálgeometria során bebizonyosodott, hogy a normál szakaszok, amelyekben a görbületi értékek K j = 1 / R j (ahol R j a vizsgált szakasz görbületi sugara) szélső értékkel rendelkeznek, a két egymásra merőleges sík.

Az ilyen görbületek K 1 = 1 / R max. A K 2 = 1 / R min értéket főnek nevezzük, a H = (K 1 + K 2) / 2 és K = K 1 K 2 értékek pedig a felület átlagos görbületét és a teljes (Gauss-féle) görbületet jelentik. a felület görbülete a vizsgált pontban. Elliptikus pontoknál K> 0, hiperbolikus pontoknál K

Felület érintő síkjának megadása Monge-diagramon

Az alábbiakban konkrét példákon keresztül egy elliptikus (1. példa), parabola (2. példa) és hiperbolikus (3. példa) pontokkal rendelkező felület érintő síkjának felépítését mutatjuk be.

1. PÉLDA Szerkesszük meg a β fordulat felületét érintő α síkot elliptikus pontokkal. Tekintsünk két lehetőséget a probléma megoldására: a) М ∈ β pont és b) М ∉ β pont

A lehetőség (210. ábra).

Az érintősíkot a β felület párhuzamos és meridiánjának M pontjában húzott két érintő t 1 és t 2 határozza meg.

A β felület párhuzamos h t 1 érintőjének vetületei t "1 ⊥ (S" M ") és t" 1 || az x tengely. Az M ponton átmenő β felület d meridiánjának t "2 érintőjének vízszintes vetülete egybeesik a meridián vízszintes vetületével. A t" 2 érintő frontális vetületének megtalálásához a γ (γ ∋) meridiánsíkot М) a felület tengelye körüli elforgatással β γ egy pozícióba kerül, síkkal párhuzamosπ 2. Ebben az esetben az M → M 1 pont (M "1, M" 1) A t "2 rarr; t" 2 1 érintő vetülete meghatározott (M "1 S"). Ha most visszaállítjuk a γ 1 síkot eredeti helyzetébe, akkor az S pont "a helyén marad (mint a forgástengelyhez tartozó), és M" 1 → M "és a t" 2 érintő frontális vetülete meg kell határozni (M "S")

Két t 1 és t 2 érintő, amelyek egy М ∈ β pontban metszik egymást, meghatározza a β felület α érintőjét.

b lehetőség (211. ábra)

A felülethez nem tartozó ponton áthaladó felület sík érintőjének megalkotásához a következő szempontokból kell kiindulni: a felületet érintő síkok halmaza megrajzolható a felületen kívüli, elliptikus pontokból álló ponton. Ezeknek a felületeknek a burkolata valamilyen kúpos felület lesz. Ezért, ha nincsenek további utasítások, akkor a problémának sok megoldása van, és ebben az esetben egy γ kúpos felületet rajzolunk erre a β felületre.

ábrán. A 211. ábra a β gömböt érintő γ kúpos felület felépítését mutatja. A γ kúpos felületet érintő bármely α sík érinti a β felületet.

A γ felület vetületeinek megszerkesztéséhez az M "és M" pontokból húzzon érintőket a h "és f" körökhöz - a gömb vetületei. Jelölje be az 1-es (1 "és 1"), 2-es (2 "és 2"), 3-as (3 "és 3") és 4-es (4 "és 4") érintési pontokat. A kör vízszintes vetülete - a kúpos felület és a gömb érintővonala vetítésre kerül [1 "2"] Az ellipszis azon pontjainak meghatározásához, amelyekbe ez a kör a frontális vetítési síkra vetül, használja a a gömb.

ábrán. 211 ily módon meghatározzuk az E és F pontok frontális vetületeit (E "és F"). γ kúpos felülettel egy α érintősíkot építünk rá. A grafika jellege és sorrendje

Az ehhez szükséges konstrukciókat a következő példa mutatja be.

2. PÉLDA Szerkesszük meg a β felületet érintő α síkot parabolapontokkal

Az 1. példához hasonlóan tekintsünk két megoldási lehetőséget: a) N pont ∈ β; b) N pont ∉ β

A lehetőség (212. ábra).

Kúpos felület alatt parabolapontú felületeket értünk (lásd 207. ábra). A kúpos felületet érintő sík egyenes vonalú generatrix mentén érinti.

1) Rajzoljon egy SN generátort (S "N" és S "N") ezen az N ponton keresztül;

2) jelölje meg a generatrix (SN) metszéspontját a d vezetővel: (SN) ∩ d = A;

3) a t érintőt d-re tekeri az A pontban.

A generátor (SA) és az őt metsző t érintő határozza meg a β kúpfelületet érintő α síkot egy adott N * pontban.

A β kúpos felületet érintő és az N ponton átmenő α sík megrajzolásához nem tartozik

* Mivel a β felület parabolapontokból áll (kivéve az S csúcsot), a vele érintő α síknak nem egy N pontja lesz közös, hanem egy egyenes (SN).

adott felületen szükséges:

1) húzz egy egyenest a (a "és a") a β kúpos felület adott N pontján és egy S csúcsán keresztül;

2) határozza meg ennek a H a egyenesnek a vízszintes nyomát;

3) a H a-n keresztül a h 0β görbe t "1 és t" 2 húzó érintőjei - a kúpos felület vízszintes nyoma;

4) csatlakoztassa az A (A "és A") és a B (B "és B") érintőpontokat az S kúpos felület tetejéhez (S "és S").

A t 1, (AS) és t 2, (BS) metsző egyenesek határozzák meg a keresett α 1 és α 2 érintősíkokat

3. PÉLDA Szerkesszük meg a β felület érintő α síkját hiperbolikus pontokkal.

A K pont (214. ábra) a globoid felszínén (a gyűrű belső felületén) található.

Az α érintősík helyzetének meghatározásához szükséges:

1) rajzoljunk a K ponton keresztül egy párhuzamost a β h felülettel (h ", h");

2) a K ponton keresztül "rajzoljon egy t" 1 érintőt (t "1 ≡ h");

3) a meridián szakasz érintőjének vetületi irányainak meghatározásához meg kell rajzolni a γ síkot a K ponton és a felület tengelyén keresztül, a t "2 vízszintes vetület egybeesik h 0γ-val; a frontális vetület megalkotása a t" 2 érintőről először átfordítjuk a γ síkot úgy, hogy a forgásfelület tengelye körül a γ 1 helyzetbe forgatjuk || π 2. Ebben az esetben a γ sík meridionális szakaszát a frontális vetület bal oldali körívével kombináljuk - a g félkörrel.

A meridionális szakasz görbéjéhez tartozó K pont (K ", K") a K 1 (K "1, K" 1) pozícióba kerül. K "1"-en keresztül megrajzoljuk a t" 2 1 érintő frontális vetületét a γ 1 síkhoz igazítva || π 2 pozíciót, és jelölje meg metszéspontját az S forgástengely frontális vetületével "1. Állítsa vissza a γ 1 síkot eredeti helyzetébe, K" 1 → K "pont (S pont 1 ≡ S "). A t" 2 érintő frontális vetületét a K "és S" pontok határozzák meg.

A t 1 és t 2 érintők határozzák meg a kívánt α érintősíkot, amely az l görbe mentén metszi a β felületet.

4. PÉLDA Szerkesszük meg az α síkot, amely érinti a β felületet a K pontban. A K pont egy egylapos fordulathiperboloid felületén található (215. ábra).

Ez a probléma megoldható az előző példában használt algoritmus betartásával, de figyelembe véve, hogy egy lapos fordulathiperboloid felülete olyan szabályzott felület, amelyen két egyenes vonalú generátorcsalád van, és mindegyik generátor egy-egy. család metszi a másik család összes generátorát (lásd 32. §, 138. ábra). Ennek a felületnek minden pontján keresztül két egymást metsző egyenes vonal húzható - generátorok, amelyek egyidejűleg érintik egy egylapos fordulathiperboloid felületét.

Ezek az érintők határozzák meg az érintősíkot, vagyis az egylapos fordulathiperboloid felületét érintő sík két g 1 és g 2 egyenes mentén metszi ezt a felületet. E vonalak vetületeinek megszerkesztéséhez elegendő vízszintes vetítés A K pont a t "1 és t" 2 érintőket viszi a horizontra

a d kör helyi vetülete "2 - egy lapos fordulathiperboloid felületének torka; határozzuk meg az 1" és a 2 pontot, ahol t "1 és t" 2 metszi a d 1 vezetőfelületek egyikét. 1 "és 2"-re találunk 1 "és 2-t", amelyek K-val együtt meghatározzák a keresett egyenesek frontális vetületeit.

Egy bizonyos ponton, és folyamatos parciális deriváltjai vannak, amelyek közül legalább az egyik nem tűnik el, akkor ennek a pontnak a közelében az (1) egyenlet által adott felület lesz helyes felület.

A fentieken kívül implicit beállítási mód felülete meghatározható tisztán ha az egyik változó, például z, kifejezhető a többivel:

Van még parametrikus beosztás módja. Ebben az esetben a felületet egy egyenletrendszer határozza meg:

Az egyszerű felület fogalma

Pontosabban, egyszerű felület Az egységnégyzet belsejének homeomorf leképezése (vagyis egy az egyhez és kölcsönösen folytonos leképezés) képének nevezzük. Ez a meghatározás analitikusan kifejezhető.

Legyen adott egy négyzet egy u és v derékszögű koordinátarendszerű síkon, amelynek belső pontjainak koordinátái kielégítik a 0 egyenlőtlenségeket< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Egy példa egyszerű felület egy félgömb. Az egész szféra nem egyszerű felület... Ez szükségessé teszi a felület fogalmának további általánosítását.

A tér egy részhalmaza, amelynek minden pontjában van egy szomszédság, amely az egyszerű felület nak, nek hívják helyes felület .

Felület a differenciálgeometriában

Helicoid

Catenoid

A metrika nem határozza meg egyértelműen a felület alakját. Például a helikoid és a katenoid ennek megfelelően paraméterezett metrikái egybeesnek, vagyis régióik között minden hosszt megőrző megfelelés van (izometria). Az izometrikus transzformációk során megőrzött tulajdonságokat ún belső geometria felület. A belső geometria nem függ a felület térbeli helyzetétől, és nem változik, ha feszítés vagy összenyomás nélkül hajlítják (például ha egy hengert kúpmá hajlítanak).

A metrikus együtthatók nemcsak az összes görbe hosszát határozzák meg, hanem általában a felületen belüli összes mérés eredményét (szögek, területek, görbület stb.). Ezért minden, ami csak a metrikától függ, a belső geometriára vonatkozik.

Normál és normál szakasz

Normálvektorok a felületi pontokban

A felület egyik fő jellemzője az Normál- egységvektor, amely egy adott pontban az érintősíkra merőleges:

.

A normál előjele a koordináták megválasztásától függ.

Egy felületnek egy normált tartalmazó sík metszete (adott pontban) valamilyen görbét képez a felületen, amit ún. normál szakasz felület. A normál szakasz fő normálja egybeesik a felszín normáljával (egy előjelig).

Ha a felületen lévő görbe nem normálmetszet, akkor a főnormálja egy bizonyos θ szöget zár be a felületi normálással. Aztán a görbület k görbülethez kapcsolódó görbe k n normál szakasz (ugyanolyan érintővel) a Meunier-képlet szerint:

A normál ort koordinátáit a felület meghatározásának különböző módjaihoz a táblázat tartalmazza:

	Normális koordináták egy felületi pontban
implicit hozzárendelés
kifejezett megbízás
parametrikus hozzárendelés

Görbület

Mert különböző irányokba a felület egy adott pontjában a normálmetszet eltérő görbületét kapjuk, amit ún normál görbület; pluszjelet kap, ha a görbe főnormálja ugyanabba az irányba megy, mint a felület normálja, vagy mínusz, ha a normálok irányai ellentétesek.

Általánosságban elmondható, hogy a felület minden pontjában két merőleges irány van e 1 és e 2, amelyben a normál görbület veszi fel a minimális és maximális értéket; ezeket az irányokat hívják a fő... Kivételt képez az az eset, amikor a normál görbület minden irányban azonos (például egy gömb közelében vagy egy forgásellipszoid végén), akkor egy pontban minden irány fő.

Felületek negatív (bal), nulla (középen) és pozitív (jobb) görbülettel.

A főirányú normál görbületeket nevezzük fő görbületek; jelöljük őket κ 1 és κ 2-vel. Mennyiség:

K= κ 1 κ 2

hívott Gauss görbület, teljes görbület vagy egyszerűen görbület felület. Ott van a kifejezés is görbületi skalár, ami a görbületi tenzor konvolúciójának eredményét jelenti; ebben az esetben a görbületi skalár kétszer akkora, mint a Gauss-görbület.

A Gauss-görbület a metrikán keresztül számítható ki, ezért a felületek belső geometriájának tárgya (megjegyezzük, hogy a fő görbületek nem vonatkoznak a belső geometriára). A görbületi jel alapján osztályozhatja a felületen lévő pontokat (lásd az ábrát). A sík görbülete nulla. Az R sugarú gömb görbülete mindenhol egyenlő. Van egy állandó negatív görbületű felület is - egy pszeudoszféra.

Geodéziai vonalak, geodéziai görbület

A felületen lévő görbét ún geodéziai vonal, vagy egyszerűen geodéziai ha minden pontjában a görbe főnormálisa egybeesik a felület normáljával. Példa: síkon a geodetikus egyenes vonalak és vonalszakaszok, gömbön nagy körök és vonalszakaszok lesznek.

Egyenértékű definíció: egy geodéziai egyenes esetében a főnormál szomszédos síkra vetített vetülete nulla vektorral rendelkezik. Ha a görbe nem geodéziai, akkor a jelzett vetület nem nulla; hosszát nevezzük geodéziai görbület k g görbe a felületen. Van egy arány:

,

ahol k- ennek a görbének a görbülete, k n- normál szakaszának görbülete azonos érintővel.

A geodéziai vonalak a belső geometriára utalnak. Soroljuk fel főbb tulajdonságaikat.

• Egy és csak egy geodetikus halad át a felület adott pontján adott irányban.
• A felület kellően kis területén két pontot mindig össze lehet kötni geodéziával, ráadásul csak egyet. Magyarázat: a gömbön az ellentétes pólusokat végtelen számú meridián köti össze, és két közeli pontot nem csak egy nagy kör szakasza köthet össze, hanem egy teljes körre kiegészítve is, így az egyediség figyelhető meg. csak egy kicsiben.
• A geodéziai a legrövidebb. Szigorúbban: egy kis felületen a geodetikus mentén a legrövidebb út az adott pontok között.

Négyzet

A felület másik fontos tulajdonsága az négyzet, amelyet a következő képlettel számítanak ki:

Mégpedig az, amit a címben lát. Lényegében ez egy "térbeli analóg" az érintő megtalálásának problémájaés normálisak egy változó függvényének grafikonjára, és ezért nem merülhet fel nehézség.

Kezdjük néhány alapvető kérdéssel: MI AZ érintősík és MI A normál? Sokan tisztában vannak ezekkel a fogalmakkal az intuíció szintjén. A legegyszerűbb modell, ami eszünkbe jut, egy labda, amelyen egy vékony lapos kartonlap nyugszik. A karton a lehető legközelebb van a gömbhöz, és egyetlen ponton érinti. Ezenkívül az érintkezési ponton egy egyenesen felfelé szúró tűvel rögzítik.

Elméletileg van egy meglehetősen zseniális definíciója az érintősíknak. Képzelj el egy önkényes felületés a hozzá tartozó pontot. Nyilvánvalóan sok térbeli vonalak amelyek ehhez a felülethez tartoznak. Kinek milyen egyesületei vannak? =) ... én személyesen mutattam be a polipot. Tegyük fel, hogy minden ilyen sor rendelkezik térbeli érintő azon a ponton.

1. definíció: érintő sík a felszínre egy ponton van repülőgép amely érinti az összes görbét, amely ehhez a felülethez tartozik és áthalad a ponton.

2. definíció: Normál a felszínre egy ponton van egyenesáthaladva ezen a ponton az érintősíkra merőlegesen.

Egyszerű és elegáns. Egyébként, hogy ne halj bele az unalomba az anyag egyszerűsége miatt, kicsit később megosztok veled egy elegáns titkot, amivel EGYSZER ÉS ÖRÖKRE elfelejtheted a különféle definíciók összezsúfolását.

Közvetlenül a munkaképletekkel és a megoldási algoritmussal ismerkedünk meg konkrét példa... A problémák túlnyomó többségében az érintősík egyenletét és a normál egyenletét is meg kell alkotni:

1. példa

Megoldás: ha a felületet az egyenlet adja meg (azaz implicit módon), akkor egy pontban egy adott felület érintősíkjának egyenlete a következő képlettel kereshető:

Különös figyelmet fordítok a szokatlan parciális származékokra - azok hogy ne legyen összetévesztve Val vel egy implicit módon meghatározott függvény parciális deriváltjai (bár a felület implicit módon meg van adva)... Amikor megtalálja ezeket a származékokat, azt kell követnie három változóból álló függvény differenciálási szabályait, vagyis ha bármely változóhoz képest differenciálunk, a másik két betűt konstansnak tekintjük:

Anélkül, hogy elhagynánk a pénztárat, a részleges származékot a következő pontban találjuk:

Hasonlóképpen:

Ez volt a döntés legkellemetlenebb pillanata, amelyben a hiba, ha nem megengedett, de folyamatosan megjelenik. Ennek ellenére van itt egy hatékony ellenőrzési technika, amelyről a leckében beszéltem Irányi derivált és gradiens.

Az összes "összetevőt" megtaláltuk, és most egy ügyes helyettesítésre van szükség további egyszerűsítésekkel:

– általános egyenlet a szükséges érintősíkot.

Nyomatékosan javaslom, hogy a megoldás ezen szakaszát is ellenőrizze. Először is meg kell győződnie arról, hogy az érintési pont koordinátái valóban megfelelnek a talált egyenletnek:

- igazi egyenlőség.

Most "eltávolítjuk" az együtthatókat általános egyenlet síkokat, és ellenőrizze, hogy egybeesnek vagy arányosak-e a megfelelő értékekkel. Ebben az esetben arányosak. Emlékszel a analitikus geometria tanfolyam, - azt normál vektorérintő sík, és ez - irányvektor normál egyenes vonal. Komponáljunk kanonikus egyenletek normálok pont- és irányvektor szerint:

A nevezők elvileg "kettővel" csökkenthetők, de erre nincs különösebb szükség

Válasz:

Nem tilos az egyenleteket néhány betűvel jelölni, de ismét - miért? Itt, és így rendkívül világos, hogy mi az.

A következő két példa az önsegítést szolgálja. Egy kis "matematikai nyelvforgató":

2. példa

Határozzuk meg egy pontban a felület érintősíkjának és normáljának egyenleteit!

És egy technikai szempontból érdekes feladat:

3. példa

Írja fel egy pontban a felület érintősíkjának és normáljának egyenleteit!

Azon a ponton.

Minden esély megvan arra, hogy ne csak összezavarodj, hanem nehézségekkel is szembesülj a felvétel során az egyenes kanonikus egyenletei... És a normál egyenletei, ahogy valószínűleg megértette, általában ebben a formában vannak írva. Bár egyes árnyalatok feledékenysége vagy tudatlansága miatt a parametrikus forma több mint elfogadható.

Példák befejező megoldásokra a lecke végén.

Létezik-e érintősík a felület bármely pontján? Általában persze nem. Klasszikus példa- azt kúpos felület és pont - az érintők ezen a ponton közvetlenül kúpos felületet alkotnak, és természetesen nem fekszenek ugyanabban a síkban. Könnyű analitikusan meggyőződni a bajokról:.

A másik problémaforrás a tény nemlétezés bármely parciális derivált egy pontban. Ez azonban nem jelenti azt, hogy egy adott pontban nincs egyetlen érintősík.

De ez inkább populáris tudomány volt, mint gyakorlatilag jelentős információ, és visszatérünk napi ügyeinkhez:

Hogyan írjunk fel egyenleteket az érintősíkra és a normálra egy pontban,
ha a felületet explicit függvény adja?

Írjuk át implicit módon:

És ugyanezen elvek szerint megtaláljuk a parciális származékokat:

Így az érintősík képlete a következő egyenletté alakul:

És ennek megfelelően a kanonikus normálegyenletek:

Ahogy sejtheti, - ezek már "igaziak" két változó függvényének parciális deriváltjai azon a ponton, amelyet "z" betűvel szoktunk jelölni, és 100 500 alkalommal találtunk.

Vegye figyelembe, hogy ebben a cikkben elég megjegyezni a legelső képletet, amelyből szükség esetén minden más könnyen származtatható. (érthető, hogy van alapvonal készítmény)... Ez az a megközelítés, amelyet az egzakt tudományok tanulmányozásában kell alkalmazni, i.e. a minimális információból arra kell törekedni, hogy maximum következtetéseket és következményeket „kihúzzon”. "Soobrazhalovka" és a már meglévő tudás segít! Ez az elv abból a szempontból is hasznos, hogy valószínűleg megment egy kritikus helyzetben, amikor nagyon keveset tudsz.

Nézzük meg a "módosított" képleteket néhány példával:

4. példa

Írja fel a felület érintősíkjának és normáljának egyenleteit! azon a ponton.

Itt egy kis rátét derült ki jelölésekkel - most a betű egy pontot jelöl a síkon, de mit tegyünk - egy ilyen népszerű betű….

Megoldás: a szükséges érintősík egyenletét a következő képlet állítja össze:

Számítsuk ki a függvény értékét a pontban:

Számoljunk I. rendű parciális származékok ezen a ponton:

Ilyen módon:

óvatosan, ne sietve:

Egy pontban felírjuk a normális kanonikus egyenleteit:

Válasz:

És egy utolsó példa a „csináld magad” megoldásra:

5. példa

Írja fel egy pontban a felület érintősíkjának és normáljának egyenleteit!

Az utolsó - mert valójában minden technikai pontot kifejtettem, és nincs mit hozzátenni. Még maguk az ebben a feladatban felkínált függvények is unalmasak és monotonok – a gyakorlatban szinte garantált, hogy egy „polinom”-ra bukkanunk, és ebben az értelemben a 2. példa kitevővel „fekete báránynak” tűnik. Egyébként sokkal valószínűbb, hogy megfelel az egyenlet által adott felületnek, és ez a másik oka annak, hogy a függvény a "második szám" szócikkbe került.

És végül a beígért titok: hogyan kerülheti el a definíciók zsúfoltságát? (Persze nem olyan helyzetre gondolok, amikor egy diák őrjöngve tömködik valamit a vizsga előtt)

Bármely fogalom/jelenség/tárgy meghatározása mindenekelőtt a következő kérdésre ad választ: MI AZ? (ki / ilyen / ilyen / ilyen). Tudatosan a kérdés megválaszolásakor meg kell próbálnia tükrözni alapvető jelek, egyértelműen ennek vagy annak a fogalomnak/jelenségnek/tárgynak az azonosítása. Igen, ez eleinte kissé csapnivalónak, pontatlannak és fölöslegesnek bizonyul (a tanár kijavítja =)), de idővel teljesen méltó tudományos beszéd alakul ki.

Gyakoroljon például a legelvontabb tárgyakon, és válaszoljon a kérdésre: ki az a Cseburaska? Ez nem ilyen egyszerű ;-) Ez egy „nagy fülű, szemű, barna hajú mesefigura”? Messze és nagyon távol van a meghatározástól – soha nem tudhatod, hogy vannak ilyen tulajdonságokkal rendelkező karakterek... De ez már sokkal közelebb áll a definícióhoz: "Cseburaska Eduard Uszpenszkij író által 1966-ban kitalált karakter, aki ... (a fő megkülönböztető jegyek felsorolása)"... Figyeld meg, milyen jól indult